第十一章线性规划初步

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2025江苏中职职教高考-数学-强化班-精编讲义

数学课程知识框架第一章集合第二章不等式第三章函数第四章三角函数第五章数列第六章复数第七章平面向量第八章平面解析几何第九章立体几何第十章线性规划初步第十一章概率与统计初步第十二章排列、组合、二项式定理第十三章逻辑代数初步第十四章算法与程序框图第十五章数据表格信息处理第十六章编制计划的原理与方法第一章集合核心知识清单1.集合的表示法2.集合与集合之间的关系3.集合的运算（并、交、补）4.逻辑用语的判断巩固训练【例题1】下列集合属于无限集的是（）.A.某学校教师组成的集合B.方程x2−2=0的解组成的集合C.不等式x>3的解集组成的集合D.大于1且小于10的整数组成的集合【答案】C【解析】该不等式的解集是无限集.【例题2】下列关系不正确的是（）.A.2∈{1，2，3，4}B.0⫋{0}C.{1，2，3，4}={4，3，2，1}D.Z⊆Q【答案】B【解析】0∈{0}【例题3】设集合M ={−2，0，1}，N ={−1，0，2}，则M ∩N=（）.A.{0}B.{1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}【答案】A【解析】交集运算，取两个集合的公共部分.【例题4】平面直角坐标系中不在坐标轴上点的集合为（）.A.{（x ，y）|xy ≠0}B.{（x ，y）|x ≠0}C.{（x ，y）|y ≠0}D.{（x ，y）|xy =0}【答案】A【解析】坐标轴上的点至少一个坐标为零，故坐标乘积不为0的点一定不在坐标轴上.【例题5】“x>1”是“|x|>1”的（）.A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件【答案】A【解析】>1可以推出||>1，反之不成立，故为充分非必要条件.【例题6】“0<a <1”是“log a 2>log a 3”的（）.A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件【答案】B【解析】两者可以互相推导，故为充分必要条件.第二章不等式核心知识清单1.不等式的性质2.一元一次不等式和不等式组的计算3.一元二次不等式的计算4.简易分式不等式与绝对值不等式的计算【例题1】已知0<a <1，则（）.A.2a >a >a2B.a >2a >a2C.a>a2>2aD.a2>a>2a【答案】A【解析】a>0可得2a>a，0<a<1可得a>a2，故A正确.【例题2】解不等式3−r14>1并用区间表示解集.解：3−r14>1⇒4x-3(x+1)>12⇒x>15解集为x∈（15，+∞).【例题−2>2(x+1)−2≤−65x+6并用区间表示解集.解：4x-2>2(x+1)⇒x>5254x-2≤−65x+6⇒x≤4解集为x∈（，4].【例题4】不等式x2+7x+6<0的解集是（）.A.（1，6）B.(−∞,1）∪（6，+∞)C.(−6，−1）D.(−∞,−6）∪(−1，+∞)【答案】C【解析】x2+7x+6<0可得（x+6）（x+1）<0，故解集为(−6，−1）.【例题5】不等式x2−6x+9>0的解集是（）.A.（3，+∞)B.(−∞,3）∪（3，+∞)C.∅D.R【答案】B【解析】x2−6x+9>0可得（x−3）2>0，故解集为(−∞,3）∪（3，+∞).【例题6】不等式x−1x+4>0等价于（）.A.（x−1）（x+4）>0B.（x−1）（x+4）<0C.（1−x）（x+4）<0D.（x−1）（x+4）≤0【答案】B【解析】分式不等式转化为一元二次不等式，不等式两端同乘负一倍得（x−1）（x+4）<0.【例题7】解不等式|3x−1|> 2.解：此不等式转化为3x−1>2或3x−1<−2，解得x>1或x<−13.故不等式的解集为(−∞,−13）∪（1，+∞).第三章函数核心知识清单1.函数的概念2.函数的性质3.二次函数4.函数的解析式5.函数的应用6.指数幂运算与指数函数7.对数运算与对数函数【例题1】函数f(x)=5−+ln(x-1)的定义域为（）.A.(−∞,5）B.（1，5]C.[1，5）D.（1，+∞)【答案】B【解析】5−x≥0可得x≤5，x−1>0可得x>1.解集取交集得（1，5].【例题2】已知函数2+1,≤12,>1,则f[f（2）]=（）.A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】f（2）=22=1，故f[f（2）]=f（1）=1+1=2.【例题3】若函数f（x）=3x2+bx,(b∈R为偶函数，则f(1)=（）.A.4B.−4C.2D.−2【答案】C【解析】由f（1）=f(−1）可得b=0，f（1）=3−1=2.【例题4】已知定义在R上的奇函数f（x），对任意的x都有f（x+4）=f（x），若f(−1）=3，则f（4）+f（5）=（）.A.6B.1C.3D.−3【答案】D【解析】由f(−1）=3可得f（1）=−3，奇函数可得f（0）=0，故f（4）=f（0），f（5）=f（1），f（4）+f（5）=0−3=−3.【例题5】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则（）.A.ac>0B.ac<0C.ac=0D.ab>0【答案】B【解析】二次函数开口向下得a<0，对称轴在y轴右侧得−2>0，故b>0，与y轴交点在正半轴得c>0，故ab<0，ac<0.【例题6】已知矩形的周长为10，设该矩形的面积为A，一边的长为x，1.将A表示为x的函数；2.求A 的最大值；3.设周长为10的圆的面积为S ，试比较A 和S 的大小关系，并说明理由.解：1.矩形的两条边的长为x，10−22,，故A =x ·10−22=−x 2+5x （0<x <5）；2.二次函数的对称轴为x =52，显然在定义域内，代入得A =X ∙254；3.2πT =10得T =52，S =πT 2=25>254，故S >A.【例题7】下列运算错误的是（）.A.3−1=13B.13=3aC.a 2·a 3=a 5D.a 2+a 3=a 5【答案】D【解析】不是同类项不能运算.【例题8】下列大小关系正确的是（）.A.0.3−6>0.3−4>3−0.6B.0.3−4>0.3−6>3−0.6C.3−0.6>0.3−6>0.3−4D.3−0.6>0.3−4>0.3−6【答案】A【解析】指数函数y =0.3x 是减函数，故0.3−6>0.3−4>1，而3−0.6<1，故A 正确.【例题9】若log 155=m ，则log 153=（）.A.3B.1+mC.1−mD.m −1【答案】C【解析】log 155+log 153=log 1515=1，故log 153=1−log 155=1−m.【例题10】函数f(x)=1l|r1|的定义域为______.解：|x+1|>0⇒x ≠−1lg |x+1|≠0⇒|x+1|≠1⇒-2，x ≠0综上，可得定义域为(-∞,-1)∪(-2,-1)∪(-1,0)∪(0,+∞).第四章三角函数【例题1】2020°角是（）.A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】C【解析】2020°=360°×5+220°,故为第三象限角.【例题2】终边在y轴负半轴上的角的集合为（）.A.{β|β=k.360∘+90∘,k∈Z}B.{β|β=k.60∘−90∘,k∈Z}C.{β|β=k.180∘+90∘,k∈Z}D.{β|β=k.180∘−90∘,k∈Z}【答案】B【解析】−90∘在y轴负半轴上，B为与它终边相同的角的集合.【例题3】已知角θ的顶点与原点重合，始边为x轴的非负半轴，如果θ的终边与单位圆的交点为P（35，−45），则下列等式正确的是().A.sinθ=35C.tanθ=−35B.cosθ=−45D.tanθ=−45【答案】C，【例题4】sin2-cosπ+tan0=______。

4.2线性规划ppt课件

4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种，它通过将问题转化为线性方程组，并寻找满足一定约束条件的解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，可以用于求解一些特殊类型的问题，如运输问题、分配问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对偶变量的非负性、对偶问题的最优解与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一组线性不等式和等式约束以及一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可以用来表示各种资源和限制条件。
目标函数是决策变量的线性函数，表示要优化的目标。

中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）

中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征11.5一元线性回归分析第十二章三角计算及其应用（第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(?ω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。

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基解：令所为有 0，非求基出变的 (1量 .2)的满解足称为基解。
基可行解与可行足基 (1.3)：的满基解称为基可对应基可行解的为基可，行称基。基显可然解的数目基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基满：足(1.1) 的基可行解称为基本优最解，
对应m,如果 B是矩A中阵的一 mm个阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵称 B是线性规题的一个基。
基向量与非基向B量中：的基列向量称为，基向矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中向共量有nm个非基向量。
基变量与非基基变向P量 j量对：应与的xj变称量为基变量；否基则变称量为。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即可得到如下输出：
“资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解基解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200

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目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 11.5一元线性回归分析第十二章三角计算及其应用（第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。

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顶点可达到。 4.解题思路是：先找出凸集的任一顶点，计算Z值，比较
Z值最大的顶点为止。
4.无可行解(例1.15):原因是模型本身错误，约束条件之间互相
矛盾，应检查修正。
1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解
-
36
图解法得到的启示
1.求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解。
2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一凸集。 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解一定在某个
一般情况，决策变量只取正值（非负值）
x1 0, x2 0
-
6
数学模型
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120
2x1+ x2 50 x1,x2 0
线性规划数学模型三要素：
决策变量、约束条件、目标函数
-
7
1-2 线性规划问题的数学模型
例1 .2 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中
第一章线性规划与单纯形方法
-
1
内容：
线性规划的数学模型，标准形式，基本概念及基本原理；线性规划的图解法，单纯形法，大M法，两阶段法。
• 重点： • （1）线性规划的基本概念 • （2）单纯形法的基本原理与计算步骤 • 难点： • （1）单纯形法的基本原理与计算步骤
• 基本要求： • （1）理解线性规划的基本概念：目标函数、约束条件、可行解与可行域、基可
和约束方程的影响是独立于其他变量的，
目标函数值是每个决策变量对目标函数
贡献的总和。
-
16
•连续性假定：线性规划问题中的决策变量应取连续值。
•确定性假定：线性规划问题中的所有参数都是确定的参数。线性规划问题不包含随机因素。

1、线性规划(数学建模)

⎧2 x1 + x2 ≤ 10 ⎪x + x ≤ 8 ⎪ 1 2 s.t.（约束条件） ⎨ ⎪ x2 ≤ 7 ⎪ ⎩ x1 , x2 ≥ 0
（2）
（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式这里变量 x1 , x 2 称之为决策变量，是问题的约束条件，记为 s.t.(即 subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的 Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为
max z = 2 x1 + 3x2 − 5 x3 s.t. x1 + x2 + x3 = 7 2 x1 − 5 x2 + x3 ≥ 10 x1 + 3 x2 + x3 ≤ 12 x1 , x2 , x3 ≥ 0
-3-
解（i）编写 M 文件 c=[2;3;-5]; a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12]; aeq=[1,1,1]; beq=7; x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)) value=c'*x （ii）将M文件存盘，并命名为example1.m。（iii）在Matlab指令窗运行example1即可得所求结果。例3 求解线性规划问题

数学建模线性规划

线性规划1.简介：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.规划问题。

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

在优化模型中，如果目标函数f(x)和约束条件中的gi(x)都是线性函数，则该模型称为线性规划。

2.线性规划的3个基本要素（1）决策变量（2）目标函数f(x)（3）约束条件（gi(x)≤0称为约束条件）3.建立线性规划的模型（1）找出待定的未知变量（决策变量），并用袋鼠符号表示他们。

（2）找出问题中所有的限制或者约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式。

（3）找到模型的目标或判据，写成决策变量的线性函数，以便求出其最大值或最小值。

以下题为例，来了解一下如何将线性规划用与实际的解题与生活中。

生产计划问题某工厂生产甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表试拟订生产计划，使该厂获得利润最大解答：根据解题的三个基本步骤（1）找出未知变量，用符号表示：设甲乙两种产品的生产量分别为x1与x2吨，利润为z万元。

（2）确定约束条件：在这道题目当中约束条件都分别为：钢材，电力，工作日以及生产量不能为负的限制钢材：9x 1+5 x 2≤360，电力：4x 1+5 x 2≤200，工作日：3x 1+10 x 2≤300，x 1 ≥0 ，x 2 ≥0，（3）确定目标函数：Z=7x 1+12 x 2所以综合上面这三步可知，这个生产组合问题的线性规划的数学模型为：max Z=7x 1+12 x 2s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+00300103200543605921212121x x x x x x x x4.使用MATLAB 解决线性规划问题依旧是以上题为例，将其用MATLAB 来表示出来1.将目标函数用矩阵的乘法来表示max Z=(7 12)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21x x 2.将约束条件也用矩阵的乘法表示s.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121003002003601035459x x x x 编写MATLAB 的程序如下：c=[-7 -12]; (由于是max 函数，因此将目标函数的系数全部变为负数)A=[9,5;4,5;3,10];b=[360;200;300];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)其运行结果显示如下：x =20.000024.0000fval =-428.00005.MATLAB 求解线性规划的语句(1)c=[ ] 表示目标函数的各个决策变量的系数(2)A=[ ] 表示约束条件中≥或≤的式子中的各个决策变量的系数。

运筹学-1、线性规划

则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位运价如下表：现场砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题）某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的下料方式，如下表所示：

线性规划基础知识

线性规划
Linear Programming
§1 线性规划发展简史
线性规划是目前应用最广泛的一种系统优化方法。
线性规划问题最早是前苏联学者康德洛维奇（L.V. Kantorovich）于1939年提出的。 1952年，美国国家标准局（NBS）在当时的SEAC 电子计算机上首次实现单纯形算法。 1976年IBM研制成功功能十分强大、计算效率极高的线性规划软件MPS，后来又发展成为更为完善的 MPSX。
s.t.
x11+x12+x13+x14=1 x21+x22+x23+x24=1
（1）（2）
x31+x32+x33+x34=1
x41+x42+x43+x44=1
（3）
（4）
x11+x21+x31+x41=1
x12+x22+x32+x42=1 x13+x23+x33+x43=1 x14+x24+x34+x44=1 xij=0, 1
x 1 , x 1 , x n 0
记向量和矩阵
c1 x1 b1 a 11 a 12 c x b a 2 ，X= 2 ，b= 2 ，A= 21 a 22 C= c n x n b n a m1 a m2 a 1n a 2n a mn
≤2000 ≤8000 ≤5000 ≥0
这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。求解这个线性规划，可以得到最优解为：
x1=293.6，x2=1500，x3=0，x4=58.84 最大利润为： z=12734.41（元）

线性规划ppt课件

a11x1+a12x2++a1nxn=b1
a21x1+a22x2++a2nxn=b2
(*)
am1x1+am2x2++amnxn=bm
x1, x2, , xn≥0
其中，bi≥0 (i=1,2,,m)
或者更简洁的，利用矩阵与向量记为
max z CT x
s.t. Ax b
(**)
x0
其中C和x为n维列向量，b为m维列向量， b≥0,A为m×n矩阵，m<n且rank(A)=m
⑵约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≤b1 加入非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx松n+弛xn+变1=量b1，有
⑶约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≥b1 减去非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx剩n -余xn变+1=量b1，有
⑷变量xj无约束。
令xj= xj - xj，对模型中的进行变量代换。
1.2 线性规划问题的求解——单纯形法 1.2.1 基本概念
可行解满足约束条件（包括非负条件）的一组变量值，称可行解。
所有可行解的集合称为可行域。
最优解使目标函数达到最大的可行解称为最优解。
基本解对于有n个变量、m个约束方程的标准型线性规划问题，取其m个变量。若这些变量在约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组成一组基变量。确定了一组基变量后，其它n-m个变量称为非基变量。
x0 必非最优解。
证（1）显然

线性规划中目标函数的几种类型

乙— s in x
则原函数可看成由函数
y=
/ 4 、 . 。，_
一i t十丁少十乙Tw
t = 2- sinx复合而成，
': sinx E 〔一1，1] ，…t= 2一sinx E [ 1,3] ，结合图 2 可以看出当 t = 2 时，yma二二一2，当t= 1
时，y二一3，当 t = 3 时，y =
以上 4 种目标函数类型的处理方法对于限制条件为非一次不等式时，原则上也是可行的，只要能画出(x , y) 满足的可行域.
求值域
护一4x + 5
例 5 求函数 y = log!' x 一 2 的值域 .
解:原函数可以变形为 y =
log,
护一4x +
x 一2
5
(x 一2) 2+ 1
. 二， _ 、 . 1 ，
= logy, x 一 2
109 2 LCx 一 G) 十丁一一7 j ， J— 乙
则原函可以看成由 y = 1og2 t 与 t = u十
求 z = Ix + 2y- 4 1的最大值.
解 :先画出满足条
件的可行域，如图 4 阴
，理
况分、节岭
少.洲训么
影部分. 将目标函数
,, ,
黝一倒
z= Ix + 2y- 4 1转化为
z= 万 · }x + 2y- 4 }
12+ 22
问题化归为求可行域
图4
内的点(x ,y) 到直线 x + 2y - 4 = 0 距离者倍的最大值，观察知 c 点到直线x + 2y - 4= 0 距离

线性规划PPT优秀课件

y
1
x+y-1>0
1
O
x+y-1<0 x+y-1=0
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。 y
6
注意：把直
线画成虚线以表示区域不包括边界
O
2x+y-6=0
3
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 y
5Hale Waihona Puke 例2 画出不等式组 x+y=0
x y 5 0 x y 0 x 3
探索结论
复习判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法
由于对在直线ax+by+c=0同一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可判断ax+by+c>0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
可行域
(5,2)
(1,1)
线性规划
例1 解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件： 2x+y=0 y
解线性规划问题的一般步骤：
2x+y=-3 y x 1 1 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； C( , ) 2 2 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； x y 1 O y 1 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数 B(2,-1) 2x+y=3
x-y=7 C(3,6) y=6

线性规划课件ppt

根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。

线性规划详细

Matlab计算线性规划问题
二、图解法
对模型中只含2个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解。
一、图解法的步骤
1.等直线法
例 1： max z = 2x1 + 3x2
s.t. x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12
x1，x2 0
1.建立平面直角坐标系；
2. 找出表示每个约束的半平面，所有半平面的交集是可行域（全体可行解
在满足约束条件的所有x行解中求出使目标函数达到最大小z值的决策变量值xaxcx22211211某城市在一昼夜间市内交通需要车辆数如图对车辆的需求在昼夜间是变化的车辆的工作制度是一天连续工作8小时派车时间在各时间间隔的端点一旦派出就连续工作8小时
线性规划问题及单纯形法
线性规划问题及其数学模型图解法单纯形法原理单纯形法计算步骤 Matlab计算线性规划问题
0
x1
无界不一定无最优解
x2
例如：
min Z=60x1+50x2
2x1+4x2 ≥ 80 3x1+2x2 ≥ 60
x1，x2 ≥0
0
x1
X1=10, x2 =15
Z=1350
4. 无可行解（可行域为空集）
模型的约束条件之间存在矛盾，建模时有错误。
例如：
max Z=x1+2x2
-x1-x2≥2 2x1+x2≤4 x1，x2 ≥0
③ 约束条件（分三部分：资源限制、市场限制、非负限制）
x1+2x2≤6
约束
2x1+x2≤8
条 x2≤2
件 x2 -x1≤1
x1，x2≥0
资源限制市场限制非负限制