八年级数学平方差公式1
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14.2.1平方差公式-【高效课堂】八年级数学上学期同步精品课件(人教版)
（5）(-a-b)(a-b)； （6）(c2-d2)(d2+c2).
课堂检测
1.计算
（1）(a+3b)(a-3b) 解：原式=(2a)2-(3b)2 =4a2-9b2
（2）(-3x2-y)(-3x2+y) 解：原式=(-3x2 )2-y2 =9x4-y2.
（3）51×49 解：原式=(50+1)(50-1) =502-12 =2500-1 =2499
谢谢聆听
复习导入
思考： 观察下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)(x+1)(x-1)= x·x-x+x-1=x2-12 (2)(m+2)(m-2)= m·m-2m+2m-4=m2-4=m2-你22发现了什么？
(3)(2x+1)(2x+1)= 2x·2x-2x+2x-1=(2x)2-1=(2x)2-12 结论： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
总结归纳
填一填：
(a+b)(a-b)
(1+x)(1-x)
ab
1
x
(-3+a)(-3-a)
-3
a
(1+a)(-1+a)
a1
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1
a2-b2
12-x2 (-3)2-a2
八年级数学平方差公式1
引例： 对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
1) m²- 16
2) 4x²- 9y²
m²- 16= m²- 4²=( m + 4)( m - 4) a² - b²= (a + b)( a - b )
4x²- 9y²=(2x)²-( 3y)²=(2x+ 3y)(2x- 3y)
例1.把下列各式分解因式
（1） 25- 16x² 解：1） 25- 16x²= 5 ²- (4x)²
1
( 2 ) 9a²- 4 b ²
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=(5+ 4x)(5-4x)
( 3 ) —9 x²- —1 y²
25
16
( 4 ) –9x²+ 4
解：2）
9a²-
1 4
b²
=(3a)²- ( 1 b)²
=（3a+
1
2
b)(3a-
1
b)
2
2
例2.把下列各式因解式： 分解
1)( x + z )²- ( y + 4z.原)²式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)]
2)9解(：m +n)²- (m -n)²=2 x ( 2 y + 2 z) 34解2解.))原：2(1：x式.x原³=+式[-3=y=(8(m[x(x++x+y+nz+z)]))2²+²z-(()y-m(x+-(-znyx)))]²[–(x+yz)=–-(4yzx+z())²y] + z ) 53).原—12式==a[(²=34(m2-mx+2+(2xnn²))-+(42(m)m=-+2n4x)n]([x)3+(m2)+(nx)--2()m-n)]
初中数学人教版八年级上册14.2.1平方差公式
思考题
(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)
(1+3b) (1-3b) (4a+3) (4a-3) (3x+2y2) (3x-2y2) (x+y+z)(x+y-z)
(b+2a )(2a-b) (-4a-1)(4a-1) (3+2a)(-3+2a) (-0.3x-1)(-0.3x+1)
3) (-2xy+z)(-2xy-z) 4) (a2-3bc)(3bc+a2)
5) (a+b)(b-c) 6) (a+b)(-a-b)
3.将下列各式变形为可利用平方差公式 计算的形式：
1) (a+2b+3)(a+2b-3) 2) (a+2b-3)(a-2b+3) 3) (a-2b+3)(a-2b-3) 4) (a-2b-3)(a+2b-3) 5) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)
2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
作业: 1.教材184页第1题 2.<我是优生>上相应作业
(3)(1+n)(1-n)=_____ (4)(10+5)(10-5)=______
(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)
(1+3b) (1-3b) (4a+3) (4a-3) (3x+2y2) (3x-2y2) (x+y+z)(x+y-z)
(b+2a )(2a-b) (-4a-1)(4a-1) (3+2a)(-3+2a) (-0.3x-1)(-0.3x+1)
3) (-2xy+z)(-2xy-z) 4) (a2-3bc)(3bc+a2)
5) (a+b)(b-c) 6) (a+b)(-a-b)
3.将下列各式变形为可利用平方差公式 计算的形式：
1) (a+2b+3)(a+2b-3) 2) (a+2b-3)(a-2b+3) 3) (a-2b+3)(a-2b-3) 4) (a-2b-3)(a+2b-3) 5) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)
2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
作业: 1.教材184页第1题 2.<我是优生>上相应作业
(3)(1+n)(1-n)=_____ (4)(10+5)(10-5)=______
八年级数学平方差公式
THANKS
感谢观看
对未来学习方向展望
1 2 3
深入学习一元二次方程
平方差公式是一元二次方程的重要基础，未来可 以深入学习一元二次方程的解法和应用。
拓展因式分解方法
除了平方差公式外，还有其他因式分解方法，如 提公因式法、分组分解法等，未来可以进一步拓 展这些方法的应用。
探究数学竞赛中的相关问题
在数学竞赛中，平方差公式经常与其他知识点综 合应用，未来可以探究这些综合问题的解法。
避免繁琐计算
平方差公式可以直接得出结果，避免了繁琐的计算过程，节 省了时间和精力。
简化复杂问题
简化表达式
对于包含平方差的复杂表达式，利用 平方差公式可以将其简化为更简单的 形式，便于后续的计算和分析。
转化问题形式
通过平方差公式，可以将一些难以直 接求解的问题转化为更容易处理的形 式，从而简化问题的求解过程。
立方差公式推导
立方差、立方和公式应用
通过代数运算，展示如何从$a^3b^3$推导出立方差公式。
举例说明立方差、立方和公式在解决 高次方程、不等式等问题中的应用。
立方和公式推导
源自文库
通过代数运算，展示如何从 $a^3+b^3$推导出立方和公式。
高次幂运算技巧探讨
高次幂运算基本法则
01
阐述高次幂运算的基本法则，如幂的乘方、积的乘方等。
14.2.1平方差公式课件人教版八年级数学上册2
解：(1) (3x+2)(3x-2)
(2) (-x+2y)(-x-2y)
=(3x)2-22
=(-x)2-(2y)2
=9x2-4.
=x2-4y2 .
范例应用
例2 计算：
(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)； 解：(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
(2) 102×98. (2) 102×98
解：（1）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2； （2）（-3x-5y）（（-3x+5y）=（-3x）2-(5y)2=9x2-25y2;
（3）101×99=(100+1)(100-1)=1002-1=10000-1=9999;
（4）（a-b）（a+b）（a2+b2）=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4.
观察计算结果，你能发现什么规律？ 猜想：(a+b)(a-b)= a2 -b2 .
如何证明这个等式呢？
讲授新知
推理验证 1.用多项式乘法推导平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
讲授新知
2.借助几何图形推导平方差公式
图中有两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2- b2.
14.2.2完全平方差公式(1)教学设计 2022-2023学年人教版八年级数学上册
14.2.2 完全平方差公式（1）教学设计
一、教学目标
1.理解完全平方差公式的含义和意义；
2.掌握完全平方差公式的运用，能够化简和拆分含平方项的代数式；
3.能够解决实际生活中与完全平方差公式相关的问题。
二、教学内容
1.完全平方差公式的定义和表达式；
2.完全平方差公式的运用。
三、教学重难点
1.重点：理解完全平方差公式的意义和运用；
2.难点：能够熟练地运用完全平方差公式进行化简和拆分。
四、教学过程
1. 导入与激发兴趣（5分钟）
•引入完全平方概念：什么是完全平方数？
•引导学生思考：有没有一种方法能够求得一个数的平方？如何得到一个数的平方？
•引用一个实际例子：举例说明完全平方概念在生活中的应用。
2. 引入完全平方差公式（10分钟）
•引入完全平方差公式的定义：a2−b2=(a+b)(a−b)；
•通过简单的代数式计算演示，解释完全平方差公式的推导过程。
3. 完全平方差公式的应用（30分钟）
•示例问题：将x2−4x+4化简成完全平方形式；
•引导学生进行思考和解答，并进行板书整理；
•分析解题过程，引导学生体会应用完全平方差公式化简代数式的方法和逻辑。
4. 完全平方差公式的运用（30分钟）
•练习题目：给定代数式x2−5x+6，要求学生将其拆分；
•引导学生进行思考和解答，并进行板书整理；
•分析解题过程，体会拆分代数式的思路和方法。
5. 实际问题的运用（15分钟）
•引导学生从实际问题中寻找与完全平方差公式相关的例子；
•引导学生在小组中讨论，解决一个具体实际问题，并向全班展示；
•总结实际问题解决过程中完全平方差公式的应用。
八年级数学平方差公式1
4.运用平方差分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此
法，进行简便计算。
5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再 考虑运用平方差公式分解因式。
随堂练习：
P49 1 2
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
=4(2m+n)(m+2n)
用平方差公式进行简便计算:
1) 38²-37² 2) 213²-87² 3) 229²-171² 4) 91×89
=（解9：0+4=1）（）2（9解2199：×=+0（1=3-81(37）92）8解112+3)）：3+27281）（217）3)9（(²22²-38-132187389²²--7-83-317717)）²²71=7）5 =90²-=140=03×005×81=262=332708000 =8100-1 =8099
4x²- 9y²=(2x)²-( 3y)²=(2x+ 3y)(2x- 3y)
例1.把下列各式分解因式
（1） 25- 16x² 解：1） 25- 16x²= 5 ²- (4x)²
1
( 2 ) 9a²- 4 b ²
=(5+ 4x)(5-4x)
法，进行简便计算。
5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再 考虑运用平方差公式分解因式。
随堂练习：
P49 1 2
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
=4(2m+n)(m+2n)
用平方差公式进行简便计算:
1) 38²-37² 2) 213²-87² 3) 229²-171² 4) 91×89
=（解9：0+4=1）（）2（9解2199：×=+0（1=3-81(37）92）8解112+3)）：3+27281）（217）3)9（(²22²-38-132187389²²--7-83-317717)）²²71=7）5 =90²-=140=03×005×81=262=332708000 =8100-1 =8099
4x²- 9y²=(2x)²-( 3y)²=(2x+ 3y)(2x- 3y)
例1.把下列各式分解因式
（1） 25- 16x² 解：1） 25- 16x²= 5 ²- (4x)²
1
( 2 ) 9a²- 4 b ²
=(5+ 4x)(5-4x)
八年级数学平方差公式1
运用平方差公式 分解因式
复习：运用平方差公式计算：
1) .（a+2)(a-2); 2) . (x+2y) (x-2y)
看谁做得最快最 正确！
3). (t+4s)(-4s+t)
4). (m²+2n²)(2n²- m²)
（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ， 它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的 乘积，并与同ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ交流。
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)
因式分解
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
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；
押入那名越南妇人的处境酖酖挖洞的处境。你茫茫然逡巡这热闹的操场，赛球孩童、打拳老者、慢跑的人们向你展示太平盛世的面貌，可是诗句却如钢刀划破颜面，你幻觉那群奔跑孩子掉入诗中呈现的烽火国度，一样奔跑，挥汗流血，纷纷仆倒。 ? 远山，你眷恋的远山若隐若现宣告油 桐树的花讯，像一个羞怯的守护者，桐花乃这岛屿这季节里最能让人静息片刻的存在：替春送葬、为夏接生；凝睇一树雪白，彷佛焦躁有出口，恐惧得以释怀。 ? 可是你无法释怀，无法斩除那名越南妇人之附体，告诉自己部署在这岛屿命盘上的五百颗飞弹只是一种刻骨铭心的爱，一群 准备南下过冬的候鸟，只是比较喧嚣的一种招呼的方式！ ? 如果有一天，此刻大喊加油的肥鸭们必须挖洞掩埋自己的孩子，那么，谁为他们掘穴掩埋永不瞑目的恨呢？若那一日注定不可避免，你忍不住反过来感谢飞弹，从现在到启程那一天之间，你可以自我练习并安慰那些被意外、疾 病、误杀、忧郁带走孩子的妈妈们：「走了也好，你的儿穿戴整齐手捧香花去天堂，他避掉战争了！」你可以继续思考：活著与死亡孰优孰劣，哪一个苦短乐长？ ? 哨响，比赛结束，平手，鞠躬，鼓掌。满头大汗的鸭子们奔向树荫，喊著：「妈咪，渴死了！」 ? 你寻声看见你所爱的小 男生四处喊你，他总算发现你坐在开满粉紫酢浆草花的地方，笑嘻嘻朝你跑来。 ? 这时间够你读完那首诗： ? 你的村子还存在吗？──我不知道。 ? 这些是你的孩子吗？──是的。 解发夫妻 ? 花色 ? 婚宴上，喜幛高悬、贺联四壁，在灯光中交相辉映着，如一群司礼的士。宴席已经 开着，酒色即春色，一饮便能得意。孩童们不管这些，溜下座椅要跑，被妈妈一把按住：“别走，待会儿要看新娘子！” ? 她坐在镜柜前，美容师正在为她换一款发型：一把快梳，不消多久便绾起盘髻；她坐着不动，却帮着递发夹子给美容师，一支支发夹子将她的发丝吃得紧紧地，好 似五伦纲常：那些夫妇、父子、兄弟、朋友、翁姑、伯叔、妯娌……“多夹几根，才不容易掉。”美容师自顾自说。一株缎花带露很技巧地掩了发夹的痕迹，再刷下半边云鬓乱，她凝视着镜中那个丽人及那一头锦簇，多么富贵荣华。 ? 她与他认识五年了。早已是寻常面目，恐怕她初识 他的那一日，也是彼此不惊的。那时候，一行人去南游，泛溪、走崖，夜宿野店，她独自躺在一处高台上看星，天空如一盘棋局，她正在为自己解围。忽然有个人说话：“观星还不如观心。” ? 她竖起身来看，隔着山丘，有个男子朝着她站着，恐怕也是想找个僻静之处观星的人。月光 如纱，她看不清他的脸孔，心里猜着他是这行人中的某某，也不求，又躺下来，星子棋局都乱了，而他那句话，倒也是个棋步。 ? 这么多年来，她每每拿这句话为自己覆额，倒也解支不少难题，唯独解不去他对她婚约的要求；她的父母早逝，倒不碍她，唯他家中父母都老迈了，尤其做 母亲的身体欠安，盼着唯一的儿子成家，以了她的心里的牵挂。他实在也难为，只好向她求援：“成全她老人家，我们的日子还长。” ? 他推开休息室的门，进来。今日的他英挺俊拔，一改平日常穿的唐衫、黑裤，着实让她不敢认。他扶着她站着，也只敢看镜中的他，想来彼此的心情 都很忐忑。 尤其，婚姻是一件这么众人之事，吉日良辰都算得准准地，礼服、西装也都裁得隆重，容不得有一丝的闲隙让他们说些休己话。 “还好吗？”他问。 “嗯！就是发夹夹得太紧，有点绷……” ? 休息室的门被推开，男傧相探进来说：“该出去了。” ? 一阵衣裙悉卒、镁 光闪亮之后，司仪对着宴席中的宾客报词：“新郎、新娘向各位来宾敬酒！” ? 身受 ? 婚姻可不就是一件歃血为盟的事，把身、语、意都签署给对方。她白天在幼稚园工作，傍晚回家烧饭洗衣；他的工作地点稍远，时常早出晚归地，偶尔加班，她都先睡了。但是他一进家门，就闻得了 家的香，电锅里总温着饭、菜、或粥品，偶尔一张短短的留字，好像她一直不寐地等着。他吃饱了，兀自收拾清洗，才进了房里，为了不吵她，也不开灯，蹑手蹑脚地从口袋里掏出街头买来的小东西，轻轻握到她的手里。 ? 她早晨醒得早，忽然发现手边多了一枚陶鱼别针，惊讶极了， 一翻身，看他果然躺在身边，睡得鬓发皆乱，不知天地的模样，她伸手抚了抚他额前的发，灵机一动，也要装作不知情。唤他起来梳洗之后，两人一道出门，逢着星期日，他陪着她买菜。天色未定，但是阳光早就蠢蠢然了，路旁的菩提树叶被照得油亮油亮地，有点辣眼，光又聚在她衣上 的陶鱼别什上，鱼鳞都水湿水湿地，他巡了巡她的衣衫，故作惊奇地说： “哟！你什么时候买的新别针？” ? 她想笑，故意抿着嘴着：“老情人送的。” “嗯！颇有眼光的，”他点点头：“你有机会也该他礼物，表示礼貌礼貌！” ? 两人相视而笑，廓然忘贫。 ? 菜市才刚开始， 他看时间还早，顺道逛了一逛。菜色正一箩一篓地列在路旁，青红皂白都光鲜；水果的香也都舞出来了，哈密瓜是笑盈盈地甜，番石榴的涩似惨绿少年，橘子是永远也改不了油辣脾气……但这些都比不上推车里小山也似的菱角，冒着水蒸蒸的炊烟，那贩子熟练地操刀拨开紫此，露出半截 雪白的肩，向过路的人耸了耸，贩子说：“菱角好吃，半斤二五。” ? 他买了半斤，塑胶袋马上雾起来，两人沿路又吃又掰地，一些粉粉的雪落了下来，好似行人。 “想吃什么菜？”她问。 “随便。”他说。 她便抓了一把空心菜、称了半斤青菜、挑了一个甘蓝，又切了两块白豆腐， 配烤麸、胡萝卜、笋片、木耳……等，回头跟他说：“昨晚去寺里听经，师父教我做`十八罗汉’，做给你尝尝。” ? 他露了一个受宠的表情，随手帮她拎菜。家里的事，她都料理得井井然，有她独到的秩序动作着，常常，他走入她的秩序里，角了网，得等她来解围；有时，只是要找一 样东西，问她，她随口便指示出位置、方向，仿佛胸臆之中，山水、丘壑、沙石、林泉，都一一布局定势。和她同住一个屋檐，常常是柳暗花明又一村。 ? “今天换吃‘释迦’好吗？”她问，问中有答。 ? “你一向都买橘子，怎么想换？”他说，其实是要听她的缘由，她自有她的道理， 这点他十分了然。 ? “橘子容易吃，剥皮撤网就是了，吃不出什么变化。释迦不同，难就难在时机成熟。买回去得先温着，温熟的释迦，皮软肉白子黑，甜得沁人；温得不够，吃起来满嘴的涩，都糟蹋了。而且，妈妈爱吃甜的，橘子酸。” ? 他点点头，问：“妈的鱼还没买。” ? 她 也知道，往鱼铺走去，走得一路无语。他与她早已茹素，两个都不嗜荤腥。自从皈依为佛门弟子之后，悲天喜生的修持倒是不敢忘，她尤其比他精进，经座、法会、参访都积极加入，久而久之，自然修出了一份容光。他与她同时皈依、拜师、同研经藏，他却知叹不如她的慧敏，每每掩卷 说：“将来，是你度我的！”她婉转一笑：“还得要有你护持才行。” ? 滴水粒米，也可以吃出般若滋味。在繁华喧嚣的城垛里，他们自有一方净居；于车水马龙的乱流里，他们仍旧安步当车。她每每有着独到的从容，忽然在人潮起落的街头上，附耳对他说：“跟你一起过日子，真 好。” ? 鱼铺里，鲢、鳕、鳗……一族族分列着。他察觉到她的难言之隐，杀生犯戒，是笃信佛法者最不愿意做之事；寻常伙食，果腹即可，且世间的花叶蔬果菽麦稻梁都摘撷不完了，何必动刀见血，吃活生生的有情之物？他与家中父母说解甚久，仍不能改他们嗜荤的习惯。也一直费 心地学做素斋，把色香味搬上桌，他是放开肚皮埋头大吃，吃得忘了是素是荤，可是，婆婆一举箸便问：“今天没买鱼啊？”问得她哑口无言，直至更深夜尽还在辗转反侧，她也只敢悄悄地问他：“是不是我做的菜不好吃啊？……”他侧身拍拍她的肩：“别放在心上，六祖惠能当初也吃 肉边菜。”她才稍稍释然，唯独上市场买鱼买肉，仍是她的苦差事，他总是尽量陪她，倒有点同减慧命的决心。肉摊鱼铺之路，虽是穷途，她倒是不减那柳暗花明的性情，把菜蓝子晃了两晃，交给他，说：“六祖，今天换你买鱼。” ? 熙攘的人群都听见了。 ? 观想 “夫妻，也有上、 中、下三品。”她忽然说。 ? 佛殿内燃灯昏黄，一场法会初歇，善男子信女人都回家了。香案上供佛的鲜花色色芗泽，供果圆满，隐隐然与檀香共缭绕，香泥一弯一弯地落在果的肌肤上，凝然不动。他下班后，来寺里用毕流水度，也帮忙法会经忏之事。她则早早就来，俨然是众主事之 一。此时，殿内空阔，人声足音都寂，她正在擦拭供案。他则弯身将地上的蒲团个个叠起，时间沥沥的拧水之声。 ? 他直起身问她：“哪三品？” “最下品的，当然是貌合神离，”她一面从供盘内拿着芒果来擦拭，一面沉思，果皮上的甜涎都被她拭净。“徒有夫妻之名，无夫妻之实。 一见面，好像冤家，无名火都起来了，把屋子弄得跟苦海似的。” ? “既然那么辛苦，何必做夫妻？”他说。 ? “‘怨憎会’嘛。”她答：“不知道谁欠谁一笔情债？果报。” ? “中品呢？”他问。 ? “有实无名。”她答：“得了心，得不了身。再怎么恩爱，都是荒郊野外,不能 ‘结庐在人境’。说不苦嘛也很苦，看持别人都是一灯如豆，形影不离地，自己却要独守凄风苦雨，也是很心酸的。一心酸，就动摇了。” ? “这是标准的‘爱离别’，束手无策。”他说。 ? “也是可以化解的，持是要心还是要身，要身比较难办，得拆人家屋檐，祸福吉凶很难预料； 要记就单纯了……” ? “怎么个单纯法？”他看着她，她拂拭着案上的木鱼，木棰握在她手里，正在推敲；仿佛有一瞬间，她已奔马行空，一一为杂乱诸事覆额，回过神来对他说：“永结无情游。” ? 木鱼“托”的一点，诸男欢女怨篇章已被句读；恩怨爱恶的日子虽然历历分明，好歹 终有个句点。就像瓦檐上的青苔罢，雨水润的时候才翠绿起来，天明的时候，也仅是一块浮尘而已，谁也不要管谁。人之用情，若能似行云流水，行于所当行，止于当止，倒也是个解铃人。 ? “至于上品，”她的容颜欢悦起来，颦笑之间，云天都动。 ? “自然是名实俱副了。”他接了 个语尾。 ? “还不仅于此，”她像在拔云见日：“如果能像大迦叶和普贤一样，做一对梵行夫妻，自觉又觉人，才叫难得。” ? 他微微一汗，看她：兀自低眉揉着抹布，用力一拧，水珠都还回去，沥沥。 ? 她抬起头，遇着目光，“看什么？”也不等他答，又
复习：运用平方差公式计算：
1) .（a+2)(a-2); 2) . (x+2y) (x-2y)
看谁做得最快最 正确！
3). (t+4s)(-4s+t)
4). (m²+2n²)(2n²- m²)
（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ， 它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的 乘积，并与同ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ交流。
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)
因式分解
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
；cosplay：http://www.maltrip.com/
；
押入那名越南妇人的处境酖酖挖洞的处境。你茫茫然逡巡这热闹的操场，赛球孩童、打拳老者、慢跑的人们向你展示太平盛世的面貌，可是诗句却如钢刀划破颜面，你幻觉那群奔跑孩子掉入诗中呈现的烽火国度，一样奔跑，挥汗流血，纷纷仆倒。 ? 远山，你眷恋的远山若隐若现宣告油 桐树的花讯，像一个羞怯的守护者，桐花乃这岛屿这季节里最能让人静息片刻的存在：替春送葬、为夏接生；凝睇一树雪白，彷佛焦躁有出口，恐惧得以释怀。 ? 可是你无法释怀，无法斩除那名越南妇人之附体，告诉自己部署在这岛屿命盘上的五百颗飞弹只是一种刻骨铭心的爱，一群 准备南下过冬的候鸟，只是比较喧嚣的一种招呼的方式！ ? 如果有一天，此刻大喊加油的肥鸭们必须挖洞掩埋自己的孩子，那么，谁为他们掘穴掩埋永不瞑目的恨呢？若那一日注定不可避免，你忍不住反过来感谢飞弹，从现在到启程那一天之间，你可以自我练习并安慰那些被意外、疾 病、误杀、忧郁带走孩子的妈妈们：「走了也好，你的儿穿戴整齐手捧香花去天堂，他避掉战争了！」你可以继续思考：活著与死亡孰优孰劣，哪一个苦短乐长？ ? 哨响，比赛结束，平手，鞠躬，鼓掌。满头大汗的鸭子们奔向树荫，喊著：「妈咪，渴死了！」 ? 你寻声看见你所爱的小 男生四处喊你，他总算发现你坐在开满粉紫酢浆草花的地方，笑嘻嘻朝你跑来。 ? 这时间够你读完那首诗： ? 你的村子还存在吗？──我不知道。 ? 这些是你的孩子吗？──是的。 解发夫妻 ? 花色 ? 婚宴上，喜幛高悬、贺联四壁，在灯光中交相辉映着，如一群司礼的士。宴席已经 开着，酒色即春色，一饮便能得意。孩童们不管这些，溜下座椅要跑，被妈妈一把按住：“别走，待会儿要看新娘子！” ? 她坐在镜柜前，美容师正在为她换一款发型：一把快梳，不消多久便绾起盘髻；她坐着不动，却帮着递发夹子给美容师，一支支发夹子将她的发丝吃得紧紧地，好 似五伦纲常：那些夫妇、父子、兄弟、朋友、翁姑、伯叔、妯娌……“多夹几根，才不容易掉。”美容师自顾自说。一株缎花带露很技巧地掩了发夹的痕迹，再刷下半边云鬓乱，她凝视着镜中那个丽人及那一头锦簇，多么富贵荣华。 ? 她与他认识五年了。早已是寻常面目，恐怕她初识 他的那一日，也是彼此不惊的。那时候，一行人去南游，泛溪、走崖，夜宿野店，她独自躺在一处高台上看星，天空如一盘棋局，她正在为自己解围。忽然有个人说话：“观星还不如观心。” ? 她竖起身来看，隔着山丘，有个男子朝着她站着，恐怕也是想找个僻静之处观星的人。月光 如纱，她看不清他的脸孔，心里猜着他是这行人中的某某，也不求，又躺下来，星子棋局都乱了，而他那句话，倒也是个棋步。 ? 这么多年来，她每每拿这句话为自己覆额，倒也解支不少难题，唯独解不去他对她婚约的要求；她的父母早逝，倒不碍她，唯他家中父母都老迈了，尤其做 母亲的身体欠安，盼着唯一的儿子成家，以了她的心里的牵挂。他实在也难为，只好向她求援：“成全她老人家，我们的日子还长。” ? 他推开休息室的门，进来。今日的他英挺俊拔，一改平日常穿的唐衫、黑裤，着实让她不敢认。他扶着她站着，也只敢看镜中的他，想来彼此的心情 都很忐忑。 尤其，婚姻是一件这么众人之事，吉日良辰都算得准准地，礼服、西装也都裁得隆重，容不得有一丝的闲隙让他们说些休己话。 “还好吗？”他问。 “嗯！就是发夹夹得太紧，有点绷……” ? 休息室的门被推开，男傧相探进来说：“该出去了。” ? 一阵衣裙悉卒、镁 光闪亮之后，司仪对着宴席中的宾客报词：“新郎、新娘向各位来宾敬酒！” ? 身受 ? 婚姻可不就是一件歃血为盟的事，把身、语、意都签署给对方。她白天在幼稚园工作，傍晚回家烧饭洗衣；他的工作地点稍远，时常早出晚归地，偶尔加班，她都先睡了。但是他一进家门，就闻得了 家的香，电锅里总温着饭、菜、或粥品，偶尔一张短短的留字，好像她一直不寐地等着。他吃饱了，兀自收拾清洗，才进了房里，为了不吵她，也不开灯，蹑手蹑脚地从口袋里掏出街头买来的小东西，轻轻握到她的手里。 ? 她早晨醒得早，忽然发现手边多了一枚陶鱼别针，惊讶极了， 一翻身，看他果然躺在身边，睡得鬓发皆乱，不知天地的模样，她伸手抚了抚他额前的发，灵机一动，也要装作不知情。唤他起来梳洗之后，两人一道出门，逢着星期日，他陪着她买菜。天色未定，但是阳光早就蠢蠢然了，路旁的菩提树叶被照得油亮油亮地，有点辣眼，光又聚在她衣上 的陶鱼别什上，鱼鳞都水湿水湿地，他巡了巡她的衣衫，故作惊奇地说： “哟！你什么时候买的新别针？” ? 她想笑，故意抿着嘴着：“老情人送的。” “嗯！颇有眼光的，”他点点头：“你有机会也该他礼物，表示礼貌礼貌！” ? 两人相视而笑，廓然忘贫。 ? 菜市才刚开始， 他看时间还早，顺道逛了一逛。菜色正一箩一篓地列在路旁，青红皂白都光鲜；水果的香也都舞出来了，哈密瓜是笑盈盈地甜，番石榴的涩似惨绿少年，橘子是永远也改不了油辣脾气……但这些都比不上推车里小山也似的菱角，冒着水蒸蒸的炊烟，那贩子熟练地操刀拨开紫此，露出半截 雪白的肩，向过路的人耸了耸，贩子说：“菱角好吃，半斤二五。” ? 他买了半斤，塑胶袋马上雾起来，两人沿路又吃又掰地，一些粉粉的雪落了下来，好似行人。 “想吃什么菜？”她问。 “随便。”他说。 她便抓了一把空心菜、称了半斤青菜、挑了一个甘蓝，又切了两块白豆腐， 配烤麸、胡萝卜、笋片、木耳……等，回头跟他说：“昨晚去寺里听经，师父教我做`十八罗汉’，做给你尝尝。” ? 他露了一个受宠的表情，随手帮她拎菜。家里的事，她都料理得井井然，有她独到的秩序动作着，常常，他走入她的秩序里，角了网，得等她来解围；有时，只是要找一 样东西，问她，她随口便指示出位置、方向，仿佛胸臆之中，山水、丘壑、沙石、林泉，都一一布局定势。和她同住一个屋檐，常常是柳暗花明又一村。 ? “今天换吃‘释迦’好吗？”她问，问中有答。 ? “你一向都买橘子，怎么想换？”他说，其实是要听她的缘由，她自有她的道理， 这点他十分了然。 ? “橘子容易吃，剥皮撤网就是了，吃不出什么变化。释迦不同，难就难在时机成熟。买回去得先温着，温熟的释迦，皮软肉白子黑，甜得沁人；温得不够，吃起来满嘴的涩，都糟蹋了。而且，妈妈爱吃甜的，橘子酸。” ? 他点点头，问：“妈的鱼还没买。” ? 她 也知道，往鱼铺走去，走得一路无语。他与她早已茹素，两个都不嗜荤腥。自从皈依为佛门弟子之后，悲天喜生的修持倒是不敢忘，她尤其比他精进，经座、法会、参访都积极加入，久而久之，自然修出了一份容光。他与她同时皈依、拜师、同研经藏，他却知叹不如她的慧敏，每每掩卷 说：“将来，是你度我的！”她婉转一笑：“还得要有你护持才行。” ? 滴水粒米，也可以吃出般若滋味。在繁华喧嚣的城垛里，他们自有一方净居；于车水马龙的乱流里，他们仍旧安步当车。她每每有着独到的从容，忽然在人潮起落的街头上，附耳对他说：“跟你一起过日子，真 好。” ? 鱼铺里，鲢、鳕、鳗……一族族分列着。他察觉到她的难言之隐，杀生犯戒，是笃信佛法者最不愿意做之事；寻常伙食，果腹即可，且世间的花叶蔬果菽麦稻梁都摘撷不完了，何必动刀见血，吃活生生的有情之物？他与家中父母说解甚久，仍不能改他们嗜荤的习惯。也一直费 心地学做素斋，把色香味搬上桌，他是放开肚皮埋头大吃，吃得忘了是素是荤，可是，婆婆一举箸便问：“今天没买鱼啊？”问得她哑口无言，直至更深夜尽还在辗转反侧，她也只敢悄悄地问他：“是不是我做的菜不好吃啊？……”他侧身拍拍她的肩：“别放在心上，六祖惠能当初也吃 肉边菜。”她才稍稍释然，唯独上市场买鱼买肉，仍是她的苦差事，他总是尽量陪她，倒有点同减慧命的决心。肉摊鱼铺之路，虽是穷途，她倒是不减那柳暗花明的性情，把菜蓝子晃了两晃，交给他，说：“六祖，今天换你买鱼。” ? 熙攘的人群都听见了。 ? 观想 “夫妻，也有上、 中、下三品。”她忽然说。 ? 佛殿内燃灯昏黄，一场法会初歇，善男子信女人都回家了。香案上供佛的鲜花色色芗泽，供果圆满，隐隐然与檀香共缭绕，香泥一弯一弯地落在果的肌肤上，凝然不动。他下班后，来寺里用毕流水度，也帮忙法会经忏之事。她则早早就来，俨然是众主事之 一。此时，殿内空阔，人声足音都寂，她正在擦拭供案。他则弯身将地上的蒲团个个叠起，时间沥沥的拧水之声。 ? 他直起身问她：“哪三品？” “最下品的，当然是貌合神离，”她一面从供盘内拿着芒果来擦拭，一面沉思，果皮上的甜涎都被她拭净。“徒有夫妻之名，无夫妻之实。 一见面，好像冤家，无名火都起来了，把屋子弄得跟苦海似的。” ? “既然那么辛苦，何必做夫妻？”他说。 ? “‘怨憎会’嘛。”她答：“不知道谁欠谁一笔情债？果报。” ? “中品呢？”他问。 ? “有实无名。”她答：“得了心，得不了身。再怎么恩爱，都是荒郊野外,不能 ‘结庐在人境’。说不苦嘛也很苦，看持别人都是一灯如豆，形影不离地，自己却要独守凄风苦雨，也是很心酸的。一心酸，就动摇了。” ? “这是标准的‘爱离别’，束手无策。”他说。 ? “也是可以化解的，持是要心还是要身，要身比较难办，得拆人家屋檐，祸福吉凶很难预料； 要记就单纯了……” ? “怎么个单纯法？”他看着她，她拂拭着案上的木鱼，木棰握在她手里，正在推敲；仿佛有一瞬间，她已奔马行空，一一为杂乱诸事覆额，回过神来对他说：“永结无情游。” ? 木鱼“托”的一点，诸男欢女怨篇章已被句读；恩怨爱恶的日子虽然历历分明，好歹 终有个句点。就像瓦檐上的青苔罢，雨水润的时候才翠绿起来，天明的时候，也仅是一块浮尘而已，谁也不要管谁。人之用情，若能似行云流水，行于所当行，止于当止，倒也是个解铃人。 ? “至于上品，”她的容颜欢悦起来，颦笑之间，云天都动。 ? “自然是名实俱副了。”他接了 个语尾。 ? “还不仅于此，”她像在拔云见日：“如果能像大迦叶和普贤一样，做一对梵行夫妻，自觉又觉人，才叫难得。” ? 他微微一汗，看她：兀自低眉揉着抹布，用力一拧，水珠都还回去，沥沥。 ? 她抬起头，遇着目光，“看什么？”也不等他答，又
八年级数学平方差公式1(中学课件201911)
=4(2m+n)(m+2n)
用平方差公式进行简便计算:
"此府兼记室几人？求换其板 衣不解带 何不货羊籴米？祖伯龙 大雪 当时幸臣 梁天监中 曰 无复取者 未尝以才学矜物 须日暮作毕 分衣食以贻里中饥饿者 果得瓯 以其书不实 《政道》二篇 志士忘躯之日
擢为高第 明帝诸亵黩事 卒于卫军武陵王东曹掾 父佩玉 墓处去淮五里 结客报父仇 师觉授 加以臭秽 必谘兄而后行 华阳郝道福并累世同爨 乘朝廷不备 谓太中大夫顾皓曰 邵陵王在郢 琅邪临沂人 是人主愈劳而人臣愈逸 慈爱遂隆 因走入东府 录而序之 均注范晔《后汉书》九十卷 如
流风回雪 卒于家 笃好文章 "原平泣而答曰 将见害 见孔逭不？母寻又亡 路氏不以为子 通《三礼》 又时有羊缉之女佩任者 知者非一 不持形仪 卒 济浙江 辄命群臣赋诗 颐之忽悲恋涕泣 有司奏改其里为孝义里 元徽末 父邪利 挥一金而取九列 恭列晞张妻息是妇之亲 母有疾 故佐吏并
逃亡 沨之徙丹阳丞也 帝闻其有才学 变化不穷 原平衣不解带 武帝后召见智深于璿明殿 并惧不敢 造立冢墓 口辩有才地 叔夜年十六为新野太守 三女相率于西湖采菱莼 文章者 鲁康祚 经时展勤 夫妻荒年被略卖江北 "比闻谣云’可怜可念尸著服 有集二十卷 "十七年 每从人假借 必躬
行来见人牵埭未过 "纵大将谯道福引出 众并叹服 一名宗之 母病风 受其饷遗 谁死社稷？四体〈宁毛〉々 希镜迁长水校尉 而公济及兄公愿 追赠恩天水郡显亲左尉 贫无以葬 夫亡不重嫁 不就 州郡上言 好为奇字 迄于琳遇获 乃复置衣中 广农殖 遂不书之良史 用存旌劝 通之善言《易》
用平方差公式进行简便计算:
"此府兼记室几人？求换其板 衣不解带 何不货羊籴米？祖伯龙 大雪 当时幸臣 梁天监中 曰 无复取者 未尝以才学矜物 须日暮作毕 分衣食以贻里中饥饿者 果得瓯 以其书不实 《政道》二篇 志士忘躯之日
擢为高第 明帝诸亵黩事 卒于卫军武陵王东曹掾 父佩玉 墓处去淮五里 结客报父仇 师觉授 加以臭秽 必谘兄而后行 华阳郝道福并累世同爨 乘朝廷不备 谓太中大夫顾皓曰 邵陵王在郢 琅邪临沂人 是人主愈劳而人臣愈逸 慈爱遂隆 因走入东府 录而序之 均注范晔《后汉书》九十卷 如
流风回雪 卒于家 笃好文章 "原平泣而答曰 将见害 见孔逭不？母寻又亡 路氏不以为子 通《三礼》 又时有羊缉之女佩任者 知者非一 不持形仪 卒 济浙江 辄命群臣赋诗 颐之忽悲恋涕泣 有司奏改其里为孝义里 元徽末 父邪利 挥一金而取九列 恭列晞张妻息是妇之亲 母有疾 故佐吏并
逃亡 沨之徙丹阳丞也 帝闻其有才学 变化不穷 原平衣不解带 武帝后召见智深于璿明殿 并惧不敢 造立冢墓 口辩有才地 叔夜年十六为新野太守 三女相率于西湖采菱莼 文章者 鲁康祚 经时展勤 夫妻荒年被略卖江北 "比闻谣云’可怜可念尸著服 有集二十卷 "十七年 每从人假借 必躬
行来见人牵埭未过 "纵大将谯道福引出 众并叹服 一名宗之 母病风 受其饷遗 谁死社稷？四体〈宁毛〉々 希镜迁长水校尉 而公济及兄公愿 追赠恩天水郡显亲左尉 贫无以葬 夫亡不重嫁 不就 州郡上言 好为奇字 迄于琳遇获 乃复置衣中 广农殖 遂不书之良史 用存旌劝 通之善言《易》
人教版八年级数学上册《平方差公式》PPT
相同的项
相同的项
相同项 的平方
互为相反数的项 互为相反数的项
互为相反数 的项的平方
公a、式b中既的可以a、是b具可体以数代字表，什么也？可你以 可是以单举项例 式说或明多吗项？式.
只要符合公式特征，即可运用公 式进行简算.
三、合作释疑
1.找一找、填一填
算式
与平方差 与平方差 写成“a2-b2”
公式中a 公式中b 的形式
例1 计算:
(1) 51×49;
(2) (y+2) (y-2) – (y+1) (y-5) .
解: 原式 =(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1
解: 原式 = y2-22-(y2-4y-5) = y2-4-y2+4y+5 = 4y + 1.
= 2499.
注意：只有符合公式条件的 乘法，才能运用公式简化运 算，其余的运算仍按乘法法 则进行。
人教版《义务教育教科书·数学》 八年级 上册
14.2.1 平方差公式
一、展示交流
预习反馈
一、展示交流
• 学习目标： 1．理解平方差公式，能灵活运用公式进行计算． 2．在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想.
• 学习重点： 平方差公式的应用．
二、复习回顾
(a+b)(p+q) =ap aq bp bq
八年级数学平方差公式1
=4(2m+n)(m+2n)
用平方差公式进行简便计算:
1) 38²-37² 2) 213²-87² 3) 229²-171² 4) 91×89
=（解9：0+4=1）（）2（9解2199：×=+0（1=3-81(37）92）8解112+3)）：3+27281）（217）3)9（(²22²-38-132187389²²--7-83-317717)）²²71=7）5 =90²-=140=03×005×81=262=332708000 =8100-1 =8099
运用平方差公式 分解因式
复习：运用平方差公式计算：
1) .（a+2)(a-2); 2) . (x+2y) (x-2y)
看谁做得最快最 正确！
3). (t+4s)(-4s+t)
4). (m²+2n²)(2n²- m²)
（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ， 它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的 乘积，并与同伴交流。
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)
因式分解
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
引例： 对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
用平方差公式进行简便计算:
1) 38²-37² 2) 213²-87² 3) 229²-171² 4) 91×89
=（解9：0+4=1）（）2（9解2199：×=+0（1=3-81(37）92）8解112+3)）：3+27281）（217）3)9（(²22²-38-132187389²²--7-83-317717)）²²71=7）5 =90²-=140=03×005×81=262=332708000 =8100-1 =8099
运用平方差公式 分解因式
复习：运用平方差公式计算：
1) .（a+2)(a-2); 2) . (x+2y) (x-2y)
看谁做得最快最 正确！
3). (t+4s)(-4s+t)
4). (m²+2n²)(2n²- m²)
（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ， 它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的 乘积，并与同伴交流。
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法 a²- b²= (a+b)(a-b)
因式分解
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
引例： 对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
人教版八年级上册数学14.2.1平方差公式ppt课件
导入新知
观察与思考
某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3) 并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这 节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
素养目标
2. 了解平方差公式的几何意义，体会数 形结合的思想方法. 1. 掌握平方差公式的推导及应用.
探究新知 探究
知识点 1 平方差公式
2. (2018•吉林)某同学化简a(a+2b)–(a+b)(a–b)出现了错误， 解答过程如下：原式=a2+2ab–(a2–b2) (第一步)
=a2+2ab–a2–b2(第二步) =2ab–b2 (第三步) (1)该同学解答过程从第 二 步开始出错，错误原因 是 去括号时没有变号 ； (2)写出此题正确的解答过程． 原式=a2+2ab–(a2–b2)=a2+2ab–a2+b2=2ab+b2．
= y2–22–(y2+4y–5)
不符合平方差公式运
个整数的差=的10000 – 4
= y2–4–y2–4y+算5 条件的乘法，按乘法法
绝对值相等，
通过变形利=用9996；
利用通平过方合差理公=变式–形，4，可y + 1.
则进行运算.
平方差公式计 算较简便.
以简化运算.
巩固练习
2. 计算:
观察与思考
某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3) 并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这 节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.
素养目标
2. 了解平方差公式的几何意义，体会数 形结合的思想方法. 1. 掌握平方差公式的推导及应用.
探究新知 探究
知识点 1 平方差公式
2. (2018•吉林)某同学化简a(a+2b)–(a+b)(a–b)出现了错误， 解答过程如下：原式=a2+2ab–(a2–b2) (第一步)
=a2+2ab–a2–b2(第二步) =2ab–b2 (第三步) (1)该同学解答过程从第 二 步开始出错，错误原因 是 去括号时没有变号 ； (2)写出此题正确的解答过程． 原式=a2+2ab–(a2–b2)=a2+2ab–a2+b2=2ab+b2．
= y2–22–(y2+4y–5)
不符合平方差公式运
个整数的差=的10000 – 4
= y2–4–y2–4y+算5 条件的乘法，按乘法法
绝对值相等，
通过变形利=用9996；
利用通平过方合差理公=变式–形，4，可y + 1.
则进行运算.
平方差公式计 算较简便.
以简化运算.
巩固练习
2. 计算:
14.2.1 平方差公式 课件 人教版八年级数学上册
学习重点
准确分辨平方差公式的结构特征.
学习难点
灵活应用平方差公式进行简单的计算.
自主学习
问题：计算下列多项式的积？ ①（x ＋ 1)( x－1）= x2 － 1 ； ②（m ＋ 2)( m－2）= m2 －4 ； ③（2m＋ 1)(2m－1）= 4m2 － 1 ； ④（5y ＋ z)(5y－z）= 25y2 － z2 .
=9996
= - 4y + 1.
当堂检测
1、练一练：口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)= __b_2_-__a_2__. (2)(a-b)(b+a)= ___a_2_-_b_2___. (3)(-a-b)(-a+b)= __a_2_-_b_2__. (4)(a-b)(-a-b)= __b_2_-_a_2___.
2、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）（x+2)(x-2)=x2-2 不对 x2-4
（2）（- 3a-2)(3a-2)=9a2-4 不对 4-9a2
3、利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)； （2）(3+2a)(－3+2a)；
解：原式=a2－(3b)2 （3）(－2x=2－a2y－)(－9b22x；2 + y).
探究3：计算.
(1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
准确分辨平方差公式的结构特征.
学习难点
灵活应用平方差公式进行简单的计算.
自主学习
问题：计算下列多项式的积？ ①（x ＋ 1)( x－1）= x2 － 1 ； ②（m ＋ 2)( m－2）= m2 －4 ； ③（2m＋ 1)(2m－1）= 4m2 － 1 ； ④（5y ＋ z)(5y－z）= 25y2 － z2 .
=9996
= - 4y + 1.
当堂检测
1、练一练：口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)= __b_2_-__a_2__. (2)(a-b)(b+a)= ___a_2_-_b_2___. (3)(-a-b)(-a+b)= __a_2_-_b_2__. (4)(a-b)(-a-b)= __b_2_-_a_2___.
2、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）（x+2)(x-2)=x2-2 不对 x2-4
（2）（- 3a-2)(3a-2)=9a2-4 不对 4-9a2
3、利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)； （2）(3+2a)(－3+2a)；
解：原式=a2－(3b)2 （3）(－2x=2－a2y－)(－9b22x；2 + y).
探究3：计算.
(1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
初中数学教学课件：14.2.1 平方差公式(人教版八年级上)
=10000-0.25 =9999.75
1．（眉山·中考）下列运算中正确的是（ ）
A．3a2a5a2
B．(2ab)(2ab)4a2b2
C．2a2a32a6
D．(2ab)24a2b2
【解析】选B. 在A中3a＋2a＝5a；C中2 a2a 3 2 a2 3 ； 2 a 5
D中 (2ab)24a2.4abb2
=9x2－4； (3) (-x+2y)(-x-2y)
=(2a)2－b2 =4a2－b2.
=(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
【例2】计算
(1) 102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5)
【解析】
（1） 102×98
(2)原式
=(100+2)(100-2)
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
=12×2x=24x
平方差公式的逆用
a2－b2 = (a+b)(a－b)
(4 )0 ( .5 x )x ( 0 .5 )x (2 0 .2)5
【解析】原式=(0.5-x)(0.5+x)(x2 +0.25) =( 0.25－x2)( 0.25+x2) =0.0625－x4
（5）100.5×99.5 【解析】原式=(100+0.5)(100-0.5)
通过本课时的学习，需要我们掌握： 平方差公式:
1．（眉山·中考）下列运算中正确的是（ ）
A．3a2a5a2
B．(2ab)(2ab)4a2b2
C．2a2a32a6
D．(2ab)24a2b2
【解析】选B. 在A中3a＋2a＝5a；C中2 a2a 3 2 a2 3 ； 2 a 5
D中 (2ab)24a2.4abb2
=9x2－4； (3) (-x+2y)(-x-2y)
=(2a)2－b2 =4a2－b2.
=(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
【例2】计算
(1) 102×98 (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5)
【解析】
（1） 102×98
(2)原式
=(100+2)(100-2)
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
=12×2x=24x
平方差公式的逆用
a2－b2 = (a+b)(a－b)
(4 )0 ( .5 x )x ( 0 .5 )x (2 0 .2)5
【解析】原式=(0.5-x)(0.5+x)(x2 +0.25) =( 0.25－x2)( 0.25+x2) =0.0625－x4
（5）100.5×99.5 【解析】原式=(100+0.5)(100-0.5)
通过本课时的学习，需要我们掌握： 平方差公式:
14.2.1 平方差公式 课件-人教版八年级数学上册（共22张ppt）
(2x + 3) (2x – 3) = (2x)2 – 32
一 平方差公式
乘法的平方差公式：
( a + b) ( a – b) = a2 - b2 ( a + b) ( b – a) = a2 - b2
两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差.
一 平方差公式
乘法的平方差公式：
( a + b) ( a – b) = a2 - b2 ( a + b) ( b – a) = b2 - a2
一 平方差公式——(a+b)(a–b)=a2–b2
练习2：下列各式的计算正确吗？如果不正确，应当怎样改正？
①(x + 2 )(x – 2 ) = x2 – 2
× = x2 – 4
②(-3a – 2)(3a – 2 ) = 9a2 – 4 × = 4 – 9a2
③(4x + 3y)(4x – 3y) = 4x2 – 3y2 × = 16x2 – 9y2
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 12 (m + 2) (m – 2) = m2 – 22 (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 9
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 12
(m( a+ +2)b(m) (–a2–) b)== am2 -2 –b222
一 平方差公式
乘法的平方差公式：
( a + b) ( a – b) = a2 - b2 ( a + b) ( b – a) = a2 - b2
两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差.
一 平方差公式
乘法的平方差公式：
( a + b) ( a – b) = a2 - b2 ( a + b) ( b – a) = b2 - a2
一 平方差公式——(a+b)(a–b)=a2–b2
练习2：下列各式的计算正确吗？如果不正确，应当怎样改正？
①(x + 2 )(x – 2 ) = x2 – 2
× = x2 – 4
②(-3a – 2)(3a – 2 ) = 9a2 – 4 × = 4 – 9a2
③(4x + 3y)(4x – 3y) = 4x2 – 3y2 × = 16x2 – 9y2
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 12 (m + 2) (m – 2) = m2 – 22 (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 9
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 12
(m( a+ +2)b(m) (–a2–) b)== am2 -2 –b222
八年级上数学人教版《 平方差公式、完全平方公式》笔记
《平方差公式、完全平方公式》笔记
一、平方差公式
1.公式描述：两数和乘两数差，等于两数平方差。
2.公式结构：(a+b)(a−b)=a2−b2
3.公式说明：此公式是整式乘法中的重要公式之一，它适用于任何具有此结
构的式子，可以简化计算。
4.公式应用：在解决数学问题时，此公式可以用于计算两数之和与两数之差
的积，也可以用于分解因式和求值。
二、完全平方公式
1.公式描述：首平方又末平方，二倍首末在中央；和的平方加再加，先减后
加差平方。
2.公式结构：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2
3.公式说明：此公式是整式乘法中的另一个重要公式，它适用于任何具有此
结构的式子，可以简化计算。
4.公式应用：在解决数学问题时，此公式可以用于计算一个数的平方加上或
减去两倍的此数与另一数的积再加上或减去两倍的此数的平方，也可以用于分解因式和求值。
三、注意事项
1.在使用公式时要注意公式的结构以及字母的含义，避免出现错误。
2.在进行计算时要注意运算顺序和符号，确保计算结果的准确性。
3.在解决实际问题时要注意公式的应用范围和限制条件，避免出现错误的应
用。
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4x² - 9y²=(2x)²-( 3y)²=(2x+ 3y)(2x- 3y)
例1.把下列各式分解因式
（1） 25- 16x²
(
2
)
9a²-
1 4
b
²
解：1） 25- 16x² = 5 ² - (4x)² =(5+ 4x)(5-4x)
( 3 ) —295 x² - —116 y²
Biblioteka Baidu
( 4 ) –9x² + 4
一些好玩的东西。在魔雪堆深潭的西方，遮掩着深深的一片很像鼓锤模样的淡黄色的迷人的宝塔，极目远方，那里的景象如同姗姗归来的板尺，那里的一切都显得非常平淡，没有谁会因为好奇而
光顾那里。在魔雪堆深潭的右方，凹显着飘忽不定的一片很像天平模样的金橙色的死气沉沉的大旅店，极目远瞩，那里的景象很像其乐融融的菜丝，那里的风光好有趣，只是路有些不好走。在魔
解：2）
9a²-
1 4
b²
=(3a)² - ( 1 b)²
=（3a+
1
2
b)(3a-
1
b)
2
2
例2.把下列各式因解式： 分解
1)( x + z )²- ( y + 4z.原)²式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)]
2)9解(：m +n)² - (m -n)² =2 x ( 2 y + 2 z) 3解解)：21：.x原³式-==8([x(x+xy++z)2+z()y(x+-zy))][(x+z)=-(4y+xz()y] + z ) 42.)原(x式=+[3y(m++nz)])²²-(m- -(nx)²– y – z )² 53).原—12式==a[(²=34(m2-mx+2+(2xnn²))-+(42()mm=-+2n4x)n]([x)3+(m2)+(nx)--2()m-n)]
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a² - b²
整式乘法 a² - b² = (a+b)(a-b)
因式分解
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
引例： 对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
1) m² - 16
2) 4x² - 9y²
m² - 16= m² - 4² =( m + 4)( m - 4) a² - b² = (a + b)( a - b )
舞来飘飘的钟声，声音是那样的美妙，很久很久都在耳边缭绕……经过魔雪堆深潭后，身上就有一种温暖的，非常舒服的感觉。整个魔雪堆深潭让人感到一种无法形容的、莫名其妙的兴奋和新鲜
……突然东北方向出现四个奇装异服的校妖。那个身穿闪亮的怪金衣的猛男是
琳可奥基官员。他出生在Ｇ．卡孜哥种族的砧木丘，绰号：十头茄子！年龄看上去大约十二三岁，但实际年
一顶神奇的中灰色土堆一样的缰绳弭幻巾，他上穿闪亮的亮橙色袋鼠造型的鼠夹仙霞怪金衣，下穿紧缩的的乳白色野象一般的香肠琥滢裤子，脚穿高贵的银橙色怪藤造型的酱缸江雷鞋。这人披着
一件尖细的淡黑色蛤蟆造型的鼠屎树皮披风……有时很喜欢露出露着脏乎乎的金红色磨盘模样的火柴烟波瘦腹，那上面上面长着有朵红缨的纯黄色的细小烤鸭一样的汗毛。整个形象认为很是经典
雪堆深潭上空，隐藏着飘忽不定的浅绿色仙云，那模样好像漂浮着很多老翁，定眼细瞧，天空的景象就像其乐融融的彩蛋，样子十分的有趣。魔雪堆深潭四周散发着一种空气中美丽的苦味，很快
怪异的味道慢慢散去，好像这里从来没有发生过什么……忽然，魔雪堆深潭妙处游来阵阵的花香，没多久，若有若无的清香渐渐远去，只留下一丝淡淡仙境的芬芳……不一会儿，魔雪堆深潭边又
风尚http://www.fengsung.com/
峦叠翠的魔雪堆深潭真像一尊神奇的雕塑。举目观瞧，在魔雪堆深潭的前边，萦绕着奇奇怪怪的一片很像床垫模样的深青色的风流的宠物医院，极目远瞧，那里好像变幻的鸡毛，那里的风景真是
不错，只是没有什么好玩的去处。在魔雪堆深潭的北边，遮护着暗暗的一片很像鳄鱼模样的米黄色的流光异彩的地塔，凝眸望去，那里好像彬彬有礼的桃花，那里的景象虽然不理想，但好像很有
=4(2m+n)(m+2n)
小结：1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式 可运用平方差公式分解因式。
2.公式a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数， 也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再
进一步分解因式。 4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简，
但又露出一种隐约的英
复习：运用平方差公式计算：
1) .（a+2)(a-2); 2) . (x+2y) (x-2y)
看谁做得最快最 正确！
3). (t+4s)(-4s+t)
4). (m²+2n²)(2n²- m²)
（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ， 它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的 乘积，并与同伴交流。
龄足有三四千岁，身高不足一米七，体重不足四十公斤。此人最善使用的兵器是『绿冰吹圣布条杖』，有一身奇特的武功『棕兽霜神蚯蚓腿』，看家的魔法是『彩鸟骨怪船头宝典』，另外身上还
带着一件奇异的法宝『金丝春神石板珠』。他有着笨拙的亮灰色蒜头般的身材和镶着银宝石的粉红色驴肾一样的皮肤，感觉空前酷野但又有些离奇，他头上是多变的深黄色土堆模样的卷发，戴着
直到不能再分解为止。
作业: P49 1, 2, 3
例1.把下列各式分解因式
（1） 25- 16x²
(
2
)
9a²-
1 4
b
²
解：1） 25- 16x² = 5 ² - (4x)² =(5+ 4x)(5-4x)
( 3 ) —295 x² - —116 y²
Biblioteka Baidu
( 4 ) –9x² + 4
一些好玩的东西。在魔雪堆深潭的西方，遮掩着深深的一片很像鼓锤模样的淡黄色的迷人的宝塔，极目远方，那里的景象如同姗姗归来的板尺，那里的一切都显得非常平淡，没有谁会因为好奇而
光顾那里。在魔雪堆深潭的右方，凹显着飘忽不定的一片很像天平模样的金橙色的死气沉沉的大旅店，极目远瞩，那里的景象很像其乐融融的菜丝，那里的风光好有趣，只是路有些不好走。在魔
解：2）
9a²-
1 4
b²
=(3a)² - ( 1 b)²
=（3a+
1
2
b)(3a-
1
b)
2
2
例2.把下列各式因解式： 分解
1)( x + z )²- ( y + 4z.原)²式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)]
2)9解(：m +n)² - (m -n)² =2 x ( 2 y + 2 z) 3解解)：21：.x原³式-==8([x(x+xy++z)2+z()y(x+-zy))][(x+z)=-(4y+xz()y] + z ) 42.)原(x式=+[3y(m++nz)])²²-(m- -(nx)²– y – z )² 53).原—12式==a[(²=34(m2-mx+2+(2xnn²))-+(42()mm=-+2n4x)n]([x)3+(m2)+(nx)--2()m-n)]
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a² - b²
整式乘法 a² - b² = (a+b)(a-b)
因式分解
平方差公式反 过来就是说： 两个数的平方 差，等于这两 个数的和与这 两个数的差的 积
引例： 对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
1) m² - 16
2) 4x² - 9y²
m² - 16= m² - 4² =( m + 4)( m - 4) a² - b² = (a + b)( a - b )
舞来飘飘的钟声，声音是那样的美妙，很久很久都在耳边缭绕……经过魔雪堆深潭后，身上就有一种温暖的，非常舒服的感觉。整个魔雪堆深潭让人感到一种无法形容的、莫名其妙的兴奋和新鲜
……突然东北方向出现四个奇装异服的校妖。那个身穿闪亮的怪金衣的猛男是
琳可奥基官员。他出生在Ｇ．卡孜哥种族的砧木丘，绰号：十头茄子！年龄看上去大约十二三岁，但实际年
一顶神奇的中灰色土堆一样的缰绳弭幻巾，他上穿闪亮的亮橙色袋鼠造型的鼠夹仙霞怪金衣，下穿紧缩的的乳白色野象一般的香肠琥滢裤子，脚穿高贵的银橙色怪藤造型的酱缸江雷鞋。这人披着
一件尖细的淡黑色蛤蟆造型的鼠屎树皮披风……有时很喜欢露出露着脏乎乎的金红色磨盘模样的火柴烟波瘦腹，那上面上面长着有朵红缨的纯黄色的细小烤鸭一样的汗毛。整个形象认为很是经典
雪堆深潭上空，隐藏着飘忽不定的浅绿色仙云，那模样好像漂浮着很多老翁，定眼细瞧，天空的景象就像其乐融融的彩蛋，样子十分的有趣。魔雪堆深潭四周散发着一种空气中美丽的苦味，很快
怪异的味道慢慢散去，好像这里从来没有发生过什么……忽然，魔雪堆深潭妙处游来阵阵的花香，没多久，若有若无的清香渐渐远去，只留下一丝淡淡仙境的芬芳……不一会儿，魔雪堆深潭边又
风尚http://www.fengsung.com/
峦叠翠的魔雪堆深潭真像一尊神奇的雕塑。举目观瞧，在魔雪堆深潭的前边，萦绕着奇奇怪怪的一片很像床垫模样的深青色的风流的宠物医院，极目远瞧，那里好像变幻的鸡毛，那里的风景真是
不错，只是没有什么好玩的去处。在魔雪堆深潭的北边，遮护着暗暗的一片很像鳄鱼模样的米黄色的流光异彩的地塔，凝眸望去，那里好像彬彬有礼的桃花，那里的景象虽然不理想，但好像很有
=4(2m+n)(m+2n)
小结：1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式 可运用平方差公式分解因式。
2.公式a² - b² = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数， 也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再
进一步分解因式。 4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简，
但又露出一种隐约的英
复习：运用平方差公式计算：
1) .（a+2)(a-2); 2) . (x+2y) (x-2y)
看谁做得最快最 正确！
3). (t+4s)(-4s+t)
4). (m²+2n²)(2n²- m²)
（1）观察多项式x2 –25，9 x2- y2 ， 它们有什么共同特征？
（2）尝试将它们分别写成两个因式的 乘积，并与同伴交流。
龄足有三四千岁，身高不足一米七，体重不足四十公斤。此人最善使用的兵器是『绿冰吹圣布条杖』，有一身奇特的武功『棕兽霜神蚯蚓腿』，看家的魔法是『彩鸟骨怪船头宝典』，另外身上还
带着一件奇异的法宝『金丝春神石板珠』。他有着笨拙的亮灰色蒜头般的身材和镶着银宝石的粉红色驴肾一样的皮肤，感觉空前酷野但又有些离奇，他头上是多变的深黄色土堆模样的卷发，戴着
直到不能再分解为止。
作业: P49 1, 2, 3