八年级数学寒假班讲义二第18讲-概率初步024JT6NH4XLX

1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题概率初步学习目标1．理解必然事件，不可能事件和随机事件，知道概率的含义；2．掌握等可能试验中事件的概率计算公式，会用枚举法得出事件的概率；3．学会画树形图计算简单事件的概率．教学内容甲乙两个同学做“石头、剪刀、布”的游戏，在一个回合中两人能分出胜负的概率是多少？知识点1：随机事件、必然事件、不可能事件在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件（不确定事件）；一般用A表示，则概率P（A）介于0到1之间；P（A）——纯小数、真分数、百分数等表示．在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件；如果用U表示，则概率为1：P（U）＝1；在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件；如果用V表示，则概率为0：P（V）＝0；例题1：下列语句正确的是（）A、“上海冬天最低气温低于-5℃”，这是必然事件；B、“在去掉大小王的52张扑克牌中抽13张牌，其中有4张黑桃”，这是必然事件；C、“电视打开时正在播放广告”，这是不可能事件；D、“从由1，2，5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数，这个三位数能被4整除”，这是随机事件．【试一试】1．下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（）．A、瓮中捉鳖；B、守株待兔；C、旭日东升；D、夕阳西下．2．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是（）A．必然事件；B．不可能事件；C．随机事件；D．确定事件．知识点2：事件发生的可能性各种事件发生的可能性有大有小，可用普通词语来表述。

例如，“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等。

例题2：事件“钟面上时针与分针成一直线”发生的可能性（）A、不可能；B、可能性很小；C、可能性很大；D、以上都不对．【试一试】1．投掷一枚普通的六面体骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不大于4；④掷得的点数不小于2；这些事件发生的可能性由大到小排列正确的是（）A、①②③④；B、④③②①；C、③④②①；D、②③①④．2．木盒里有10个红球，3个黄球和1个白球，这些球只是颜色不同，大小一样；从木盒中任意摸出1个球，①摸出1个黄球；②摸出1个白球；③摸出1个绿球；④摸出一个红球；⑤摸出一个球颜色是黄色或者白色；这些事情发生可能性的大小从大到小排列为．知识点3：概率的理解用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率。

不可能事件必定不发生，规定用“0”作为不可能事件的概率；而必然事件必定发生，就规定用“1”作为必然事件的概率。

这样，随机事件的概率，就是大于0小于1的一个数，通常可以写成纯小数、百分数或真分数。

例题3：气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说法正确的是（）A、本市明天将有80%的地区降水；B、本市明天将有80%的时间降水；C、明天肯定下雨；D、明天降水的可能性比较大．【试一试】1．下列说法正确的是（）A．“明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%；B．连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次；C．连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数；D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖．2．下列事件中，概率接近于1的是（）A、大晴天出门遇到下冰雹；B、在1到10的十个整数中任取一个数恰是偶数；C、自然数1是素数；D、买了一张福利彩票，但没有中奖．3.下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（）A．瓮中捉鳖；B．守株待兔；C．旭日东升；D．夕阳西下知识点4：频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数；而频率是不确定的，与试验次数的多少有关。

用频率表示概率，得到的知识近似值，为了得到概率的可靠地估计值，试验的次数要足够大。

例题4：甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率；B、抛一枚硬币，出现正面的概率；C、任意写一个整数，它能2被整除的概率；D、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率．【试一试】1．在一个不透明的盒子里装着若干个白球，小明想估计其中的白球数，于是他放入10个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，得到如下数据：摸球的次数n 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数m 15 33 49 63 97 128 158 摸到白球的频率0.750.830.820.790.810.800.79估算盒子里白球的个数为（ ）A 、8个；B 、40个；C 、80个；D 、无法估计． 2．下列说法正确的有（ ）A 、在一次抛掷硬币的试验中，甲同学说：“我只做了10次试验就得到了正面朝上的概率为30%”；B 、某同学在抛掷两枚硬币的试验中做了400次，得到“一正一反”的频率为26.7%，如果再做400次，得到的频率仍然是26.7%；C 、在投掷一枚均匀的正方体骰子的试验中，小明得到“1点朝上”的概率为16，那么他再做300次试验，一定有50次“1点朝上”；D 、在抛掷一枚硬币的试验中，小刚为了节约时间，同时抛掷5枚硬币，这样得到的结果不会受到影响．知识点5：等可能事件概率的计算一般地，如果一个试验共有n 个等可能的结果，事件A 包含其中的k 个结果，那么事件A 的概率n k ==所有的可能结果数包含的可能结果数事件A P(A)例题5：（1）从1，2，3，4，5，6中任意取一个数，取到的数是6的因数的概率是（ ）A 、12； B 、13； C 、23； D 、16． （2）在一个不透明的袋子中装有2个白球，n 个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是54，则n 的值等于 ． （3）同时抛掷两枚质地均匀的正方形骰子，出现“朝上两面的点数和为奇数”的概率为 ．【试一试】1．在0、1、2三个数中任取两个，组成两位数，则在组成的两位数中是奇数的概率为 ． 2．用0，4，5三个数字组成的三位数中能被5整除的概率是 ．3.在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有线段、直角三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形、正五边形、正六边形、圆等10个图形，小杰随机抽 取一张卡片，抽得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．知识点6：利用树状图法或列表法求概率把所有可能的结果一一列出的方法叫“枚举法”，“树形图”就是枚举法的一种表示形式。

例题6：如图，转盘A 等分为四个扇形，号码为1、2、3、4；转盘B 等分为六个扇形，号码为1、2、3、4、5、6，甲乙两位同学想这样玩游戏：甲任意转动A 盘，停止时指针得到一个号码；乙任意转动B 盘，停止时指针得到一个号码（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）如果两号码的积为奇数，那么甲胜；如果两号码的积为偶数，那么乙胜；判断这个游戏是否公平，如果不公平，请设计一个公平的游戏规则．【试一试】在一个口袋中，装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，从中随机摸出两个球，摸到两个球颜色不同的概率是 ．知识点7：转化为面积问题的概率计算例题7：如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，矩形ABCD 内的一个动点P 落在阴影部分的概率是 ；【试一试】1．一矩形场地内有两相邻的正方形，面积分别为2和8，（如图）小明随机地向场地进行丢石子实验，则石子落在阴影部分的概率是 ；6543214321A BFOABC D E2．如图两块完全相同的正方形木板重叠而成的，其中一个正方形的一个顶点恰好落在另一个正方形的中心O ，现有一个机器猫在上面走动，则机器猫恰好落在重叠区域的概率是 ；3.若实数x 、y 满足：x y ，则称：x 比y 远离0．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 五点在数轴上对应的实数分别是a 、b 、c 、d 、e ．若从这五个数中随机选一个数，则这个数比其它数都远离0的概率是 ．1．如图，飞镖投一个被平均分成6份的圆形靶子，那么飞镖落在阴影部分的概率是（ ）．A 、16； B 、13； C 、12； D 、23． 2．有8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，从中随机抽取 1只杯子，恰好是一等品的概率是 ．3．布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．4．将“定理”的英文单词theorem 中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e 的概率为 _________ ．5．口袋里装有8个白球和5个黑球，从中任意取出2个球，设事件A “取到的2个球都是白球”和事件B “取到的2个球都是黑球”的概率分别为P （A ）、P （B ），则（ ）A 、P （A ）=P （B ）； B 、P （A ）>P （B ）；C 、P （A ）<P （B ）；D 、以上都有可能.82O6．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（）A、28个B、30个C、36个D、42个7．如图所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C，在组成的△ABC 中恰好能使它的面积为1的概率是；AB8．从甲地到乙地有A1、A2两条路线，从乙地到丙地有B1、B2、B3三条路线，从丙地到丁地有C1、C2两条路线．一个人任意选了一条从甲地到丁地的路线．则他恰好选到B2路线的概率是；9．小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E、F分别是矩形ABCD的两边AD、BC 上的点，EF∥AB，点M、N是EF上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是；10．左手有4张完全相同的卡片，分别写有1、2、3、4，右手有2张完全相同的卡片，分别写有5、6；现随机从左手取出两张卡片，右手取出一张卡片放在一起，以卡片上的数字分别作为三条线段的长度，回答下列问题：（1）这三条线段能构成三角形的概率是；（2）这三条线段能构成直角三角形的概率是．11．小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，小晶赢；点数之和等于7．小红赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．问他们两人谁获胜的概率大？请你用“画树形图”的方法加以分析说明．12．有5张卡片，上面分别写有0，1，2，3，4，（1）从中任取两张卡片，两张卡片上的两数之和等于4的概率是多少？（2）从中任取两次卡片，每次取出一张；第1次取出卡片，记下数字后放回，再取第2次；两次取出的卡片上数的和等于4的概率是多少？1．下列事件中，属于确定事件的个数是（）①打开电视，正在播广告；②投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于10；③射击运动员射击一次，命中10环；④在一个只装有红球的袋中摸出白球．A、0；B、1；C、2；D、32．甲、乙两人各自投掷一个普通的正方体骰子，如果两者之积为奇数，那么甲得1分；如果两者之积为偶数，那么乙得1分，连续投掷20次，谁得分高，谁就获胜．请你用掌握的数学知识分析，谁获胜的可能性大？（）A 、甲；B 、乙；C 、甲、乙一样；D 、不能确定3．如图，一飞镖游戏板,其中每个小正方形的大小相等，则随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是（ ）A 、； B 、； C 、； D 、4．布袋中有两个红球和两个白球，它们除颜色外其它都相同，从布袋中一次摸出两个球，事件“一次摸出的两个球都是白球”的概率是__ ____．5．在3×3的方格纸中，点A 、B 、C 、D 、E 、F 分别位于如图所示的小正方形的顶点上．（1）从A 、D 、E 、F 四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B 、C 为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是 ；（2）从A 、D 、E 、F 四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B 、C 为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表法求解）．期末小测试（测试时间30分钟，满分50分）一、选择题（本大题共3题，每题4分，满分12分）1．对于二项方程0(0,0)nax b a b +=≠≠，当n 为偶数时，已知方程有两个实数根，那么下列不等式成立的是（ ）（A ）0ab <； （B ）0ab ≤； （C ）0ab >； （D ）0ab ≥． 2．已知一次函数31y x =-，则下列判断错误的是 （ ） （A ）直线31y x =-在y 轴上的截距为1-； （B ）直线31y x =-不经过第二象限；21834131（C ）直线31y x =-在x 轴上方的点的横坐标的取值范围是1x >； （D ）该一次函数的函数值y 随自变量x 的值增大而增大.3．已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）（A ）90D ∠=︒； （B ）AB CD =； （C ）BC CD =； （D ）AC BD =． 二、填空题（本大题共4题，每题3分，满分12分）4．已知：正方形ABCD 的边长等于8cm ，那么边AB 的中点M 到对角线BD 的距离等于 cm ． 5．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，4AB =cm ，5CD =cm ，5AD =cm ，则BC 的长 为 cm ．6．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠A ＝45°，将菱形ABCD 绕点A 旋转45°，得到菱形111AB C D ，其中B 、C 、D 的对应点分别是111B C D 、、，那么点1C C 、的距离为 ．7.如图，将正方形ABCD 折叠，使点C 与点D 重合于形内点P 处，折痕分别为AF 、BE ，如果正方形ABCD 的边长是2，那么△EPF 的面积是______________.8．（本题6分）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB CD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AG //DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G ＝90︒，求证：四边形DEBF 是菱形．DABCF CGEABDFE DC BAP11 / 119.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD .（1）如果∠A =︒50，∠B =︒80，求证：AB CD BC =+.（2）如果AB CD BC =+，设∠A =︒x ，∠B =︒y ，那么y 关于x 的函数关系式是_______.10．（本题14分）已知： O 为正方形ABCD 对角线的交点，点E 在边CB 的延长线上，联结EO ，OF ⊥OE 交BA 延长线于点F ，联结EF （如图）。