新人教版八年级上数学课课外辅导、培优经典讲义

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人教版八年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共29讲)

八年级数学讲义目录专题01 整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：mnm na a a+⋅=， ()m n mna a=，()n n nab a b =，(0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1(0)p pa a a -=≠．学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件；2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若n 为不等式2003006n>的解，则n 的最小正整数的值为．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知21x x +=，那么432222005x x x x +--+= ．（“华杯赛”试题）（3）把26(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ，则121086420a a a a a a a ++++++= ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若543237629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ．（创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知252000x =，802000y=，则11x y+等于（） A ．2 B ．1 C ．12 D ．32（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：,x y 为指数，我们无法求出,x y 的值，而11x y x y xy++=，所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设,,,a b c d 都是正整数，并且5432,,19a b c d c a ==-=，求d b -的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设5420326,a b m c d n ====，这样,a b 可用m 的式子表示，,c d 可用n 的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式2223286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+，求3211m n +-的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数,p q 使得42x px q ++能被225x x ++整除？如果存在，求出,p q 的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出,p q 的值，所谓,p q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，求ab的值．（北京市竞赛试题）解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出,a b 的值．当然本题也有其他解法．能力训练A 级1．（1）24234(0.25)1⨯--= ．（福州市中考试题）（2）若23n a=，则621n a -= ．（广东省竞赛试题）2．若2530x y +-=，则432xyg． 3．满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数为．（武汉市选拔赛试题）4．,,,a b c d 都是正数，且23452,3,4,5a b c d ====，则,,,a b c d 中，最大的一个是．（“英才杯”竞赛试题）5．探索规律：133=，个位数是3；239=，个位数是9；3327=，个位数是7；4381=，个位数是1；53243=，个位数是3；63729=，个位数是9；…那么73的个位数字是，303的个位数字是．（长沙市中考试题） 6．已知31416181,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a >>7．已知554433222,3,5,6a b c d ====，那么,,,a b c d 从小到大的顺序是（）A ．a b c d <<<B ．a b d c <<<C ．b a c d <<<D ．a d b c <<<（北京市“迎春杯”竞赛试题）8．若11222,22n n n n x y +--=+=+，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（）A ．4x y =B ．4y x =C ．12x y =D ．12y x =（江苏省竞赛试题）9．已知23,26,212,abc===则,,a b c 的关系是（）A ．2b a c <+B ．2b a c =+C ．2b a c >+D ．a b c +>（河北省竞赛试题）10．化简4322(2)2(2)n n n ++-得（） A ．1128n +- B ．12n +-C ．78D ．7411．已知2233447,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=，试求171995()6()2x y xy a b ++-+的值．12．已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++．试确定,,a b c 的值．13．已知323x kx ++除以3x +，其余数较被1x +除所得的余数少2，求k 的值．（香港中学竞赛试题）B 级1．已知23,45,87,abc===则28a c b+-= ．2．（1）计算：1998200020002000200073153735+⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭= ．（第16届“希望杯”邀请竞赛试题）（2）如果5555555555555554444666666233322n ++++++++⨯=+++，那么n = ．（青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3．（1）1615与1333的大小关系是1615 1333（填“＞”“＜”“＝”）．（2）200020013131++与200120023131++的大小关系是：200020013131++ 200120023131++（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果210,x x +-=则3223x x ++= ．（“希望杯”邀请赛试题）5．已知55432(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++= ．（“五羊杯”竞赛试题）6．已知,,a b c 均为不等于1的正数，且236,ab c -==则abc 的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．12（“CASIO 杯”武汉市竞赛试题）7．若3210x x x +++=，则27261226271xx x x x x x ---+++++++++L L 的值是（）A ．1B ．0C ．—1D ．28．如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（）A ．7B ．8C ．15D ．21（奥赛培训试题）9．已知12319961997,,,,a a a a a L 均为正数，又121996231997()()M a a a a a a =++++++L gL ，121997231996()()N a a a a a a =++++++L g L ，则M 与N 的大小关系是（）A ．M N =B ．M N <C ．M N >D ．关系不确定10．满足22(1)1n n n +--=的整数n 有（）个A ．1B ．2C ．3D ．411．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55ax by +的值．12．若,,,x y z w 为整数，且x y z w >>>，52222208xyzw+++=，求2010(1)x y z w +++-的值．（美国犹他州竞赛试题）13．已知,,a b c 为有理数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除．（1）求4a c +的值；（2）求22a b c --的值；（3）若,,a b c 为整数，且1c a >≥．试比较,,a b c 的大小．（四川省竞赛试题）专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用即将公式反过来逆向使用； 4．变用即能将公式变换形式使用；5．活用即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )14．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题）（2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++L L ．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值．（西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=L（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值；（2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ．（广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----L 等于（） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（）A ．4B ．19922C ．21992D ．41992（“希望杯”邀请赛试题）10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？（“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数．（“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+L写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为．（《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）第2题图11 2 1 1 3 31146 4 11 5 10 10 5 1 … … … … … … …8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若x y a b +=+，且2222x y a b +=+，求证：2003200320032003x y a b +=+．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如222222420,1242,2064,=-=-=-因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？（浙江省中考试题）专题3 和差化积----因式分解的方法（1）阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法： 1．换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等． 2．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l 】分解因式()()=-++++122122x x x x ___________．（浙江省中考题）解题思路：把()x x +2看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程：（1）y x xy x 442-+-；原式＝()()()()()()44442+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x ；（2）bc c b a 2222+--．原式＝()()()()c b a c b a c b a bc c b a +--+=--=-+-222222．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式．仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：（1）bc ac ab a -+-2；（西宁市中考试题）（2）yz z y x 44222+--．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式（1）1999)11999(199922---x x ；（重庆市竞赛题）（2）()()()()112-+++++xy xy xy y x y x ；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）()()()33322y x y x -----．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中y x +、xy 反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式34222----y x y x 因式分解后，正确的结果是（）．A ．()()13--++y x y xB ．()()31+--+y x y xC ．()()13+--+y x y xD ．()()31--++y x y x（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式：（1）15++x x ；（扬州市竞赛题）（2）893+-x x ；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）1232234++++a a a a ．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：611623+++x x x ．（河南省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练A 级1．分解因式：（1）2341x x x -+＝___________________________．（泰安市中考试题）（2）33164mn n m -＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）xy y y x x 2)1()1(-++-＝_________________________；（2）8)3(2)3(222-+-+x x x x ＝_____________________________． 3．分解因式：32422+++-b a b a ＝____________________________． 4．多项式a ax 83-与多项式442+-x x 的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有_______个． 6．将多项式yz z y x 1294222---分解因式的积，结果是（）．A ．)32)(32(z y x z y x ---+B ．)32)(32(z y x z y x +---C ．)32)(32(z y x z y x -+++D ．)32)(32(z y x z y x --++ 7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．A ．2727923-+-x x x B ．272723-+-x x x C ．272734-+-x x x D ．279323-+-x x x（“希望杯”邀请赛试题）8．把44+a 分解因式，其中一个因式是（）．A ．1+aB ．22+aC ．42+aD ．222+-a a 9．多项式abc c b a 3333++-有因式（）．A ．b a c -+B ．c b a ++C ．ab ac bc c b a -+-++222 D ．ab ac bc +-（“五羊杯”竞赛试题）10．已知二次三项式10212-+ax x 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．A ．a 一定是奇数B ．a 一定是偶数C ．a 可为奇数也可为偶数D ．a 一定是负数 11．分解因式：（1）13322)132(222-+-+-x x x x ；（2）90)384)(23(22-++++x x x x ；（3）1724+-x x ；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）65223--+x x x ；（重庆市竞赛试题）（5）444)(y x y x +++；（6）2)1)(13)(12)(16(x x x x x +----．12．先化简，在求值：2)()(2b a b a a +-+，其中 2008=a ，2007=b ．B 级1．分解因式：344422-+--y y x x ＝_______________．（重庆市竞赛试题）2．分解因式：)5()4)(3)(2)(1(++++++x x x x x x ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x ＝_________________________．（“希望杯”邀请赛试题）4．分解因式：15-+x x ＝______________________．（“五羊杯”竞赛试题）5．将145++x x 因式分解得（）．A ．)1)(1(32++++x x x x B ．)1)(1(32+++-x x x x C ．)1)(1(32+-+-x x x x D ．)1)(1(32+-++x x x x（陕西省竞赛试题）6．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，则此三角形是（）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 7．613223+-+x x x 的因式是（）．A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+x E. 12+x（美国犹他州竞赛试题）8．分解因式：（1）2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+；（湖北省黄冈市竞赛试题）（2）19991998199924+++x x x ；（江苏省竞赛试题）（3）22212)16)(1(a a a a a ++-++；（陕西省中考试题）（4）153143+-x x ；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（5）333)(125)23()32(y x y x y x ---+-；（“五羊杯”竞赛试题）（6）6121444234++--x x x x ．（太原市竞赛试题）9．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+ ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．分解因式：（1）x x x 27623-+；（2）123--+a a a ；（3）xy y x x y x ++--)7()2(822．11．对方程20042222=++b a b a ，求出至少一组正整数解．（莫斯科市竞赛试题）12．已知在△ABC 中，),,(010616222是三角形三边的长c b a bc ab c b a =++--，求证：b c a 2=+．（天津市竞赛试题）专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（）．A ．()()()z x y x z y -+-B ．()()()z x y x z y +--C ．()()()z x y x z y +-+D ．()()()z x y x z y -++（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）bc ac ab c b a 54332222+++++；（“希望杯”邀请赛试题）（2）z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因a 的最高次数低于x 的最高次数，故将原式整理成字母a 的二次三项式．【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式12544234+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是44x ，因此二次三项式的一般形式为b ax x ++22，求出b a 、即可．【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出a c b ,,的值．能力训练A 级1．分解因式：222449c bc b a -+-＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：22635y y x xy x ++++＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：)(3)(322y x y y x x -+-+++＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式78622++-+y x y x 的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（）A ．)2)(4(+---y x y xB ．)8)(1(----y x y xC ． )2)(4(--+-y x y xD ．)8)(1(--+-y x y x6．已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（）．A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6个 7．若4323+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（）． A ．2 B ．4 C ．9 D ．10（“CASIO 杯”选拔赛试题）8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值是（）． A ．92 B ．32 C ．54D ．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）ac bc ab b a 2222++--；（吉林省竞赛试题）（2）))((4)(2b ac b a c ----；（昆明市竞赛试题）（3）a x a x x 2)2(323-++-；（天津市竞赛试题）（4）12267222--++-y x y xy x ；（四川省联赛试题）（5）2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy（天津市竞赛试题）10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）15．已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________．（“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．（北京市竞赛试题）5．若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（）．A ．8B ．7C ． 15D ．21E ．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（）．A ．4B ．5C ．16D ．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若136498322++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）8．设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（）A ．（2，2）或（－2，－2）B ．（2，2）或（2，－2）C ．（2，－2）或（－2，2）D ．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++．（北京市竞赛试题）11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数y x ,，下列的值都不会等于33．543223451241553y xy y x y x y x x ++--+（莫斯科市奥林匹克试题）专题05 和差化积——因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算； 2．代数式的化简与求值； 3．简单的不定方程（组）； 4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果： 1. 4224(22)(22)x x x x x +=++-+; 2. 42241(221)(221)x x x x x +=++-+; 3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±； 4.1(1)(1)ab a b a b ±-=±m m ；5. 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---．例题与求解【例1】已知0≠ab ，2220a ab b +-=，那么22a ba b-+的值为___________ .（全国初中数学联赛试题）解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代入关系求值．【例2】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于( ).A . －1B ．－1或－7C ．1 D.1或7（江苏省竞赛试题）解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有； (1)代入字母的值求值； (2)代入字母间的关系求值； (3)整体代入求值．【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998--+-g （“希望杯”邀请赛试题）（2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444++++++++++ （江苏省竞赛试题）解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x +的规律．【例4】求下列方程的整数解．(1)64970xy x y +--=; （上海市竞赛试题） (2)222522007x xy y ++=. （四川省竞赛试题）解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值： (1) 22a b ab +； (2) 22a b +； (3)2211a b +．解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的立方，则称自然数a 为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若a ＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a 是一个完全立方数．（北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将a 分解为完全立方式的形式即可．能力训练A 级1. 如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．（烟台市初中考试题）babbaa2．已知223,4x y x y xy +=+-=，则4433x y x y xy +++的值为__________．（江苏省竞赛试题） 3．方程25510x xy x y --+-=的整数解是__________．（“希望杯”邀请赛试题） 4. 如果2(1)1x m x -++是完全平方式，那么m 的值为__________．（海南省竞赛试题）5. 已知22230x xy y -+=(0≠xy )，则x yy x+的值是( )． A ．2，122 B ．2 C ．122 D ．12,22-- 6．当1x y -=，43322433x xy x y x y xy y ---++的值为( )． A . －1 B ．0 C ．2 D ．17．已知a b c ＞＞，222222M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的大小关系是( )．A . M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8．n 为某一自然数，代入代数式3n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A . 388944B .388945C .388954D .388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) 3331999100099919991000999--⨯⨯ （北京市竞赛试题）(2) 333322223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)10. 一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数．（北京市竞赛试题）16．已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成立.(1)求a c +的值；(2)分别求a ，b ，c ，d 的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n ____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3．已知正数a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则(1)(1)(1)a b c +++＝_________ . （北京市竞赛试题） 4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．（浙江省中考试题）5．已知a ，b ，c 是一个三角形的三边，则444222222222a b c a b b c c a ++---的值( )．A .恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(太原市竞赛试题) 6．若x 是自然数，设4322221y x x x x =++++，则( )．A . y 一定是完全平方数B ．存在有限个x ，使y 是完全平方数C . y 一定不是完全平方数D ．存在无限多个x ，使y 是完全平方数 7．方程2223298x xy x --=的正整数解有( )组．A .3B ．2C ．1D ．0（“五羊杯”竞赛试题）8．方程24xy x y -+=的整数解有( )组．A .2B ．4C ．6D .8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N ＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N 的因数？（美国中学生数学竞赛试题）10．当我们看到下面这个数学算式333337133713503724372461++==++时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，… 你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，而以a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设k ，a ，b 为正整数．k 被22,a b 整除所得的商分别为m ，16+m .(1)若a ，b 互质，证明22a b -与22,a b 互质；(2)当a ，b 互质时．求k 的值；( 3)若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值．（江苏省竞赛试题）专题06 从地平面到脚手架------分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等．分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：1．分步通分，步步为营； 2．分组通分，化整为零； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．拆项相消后通分； 5．恰当换元后通分，学习分式时．应注意：(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形； (2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．分式问题比起整式问题，增加了几个难点； (1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序； (3)需要考虑字母的取值范围，例题与求解【例1】m ＝_________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为0. （杭州市中考试题）解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式1m -就不为0．【例2】已知1abc =，以2a b c ++=，2223a b c ++=，则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为( )．A .1B ．12-C ．2D ．23- （太原市竞赛试题）解题思路：不宜直接通分，运用已知条件2a b c ++=，对分母分解因式，分解后再通分.【例3】计算：(1)322441124a a a b a b a b a b+++-+++ （武汉市竞赛试题）(2) 2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b+++--+++-+--+- （天津市竞赛试题）（3）33232322112(1)2212211x x xx x x x x x x-+++-+++-+--（赣州市竞赛试题）（4）22223322332223()2b a b aa b a bb a b a b aa b a b a b+++÷---+-（漳州市竞赛试题）解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于ba或ab的代数式，考虑设bxa=，ayb=，则1xy=，通过换元可降低问题的难度．当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。

学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版)

第1讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是. 邻补角是.⑵中有几对对顶角，几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝AOCBOC21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180°∴∠EOF ＝21×180°＝90°⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（）A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝. 【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A 画直线l2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P到直线l 的距离为（）A ．4cmB ．5cmC ．不大于4cmD ．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行ABCDEFAB CDEFPQRABCEFOEAACDO（第1题图） 143 2（第2题图）ABOl 2l 1驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在的路上距离M 村越来越近..在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ．⑴求∠AOC 的度数；⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数. 【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6：∠2和∠4：∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】FBAOCDECDB AEOCDABAEDCFEBAD14 2 365AB ＧE01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（）A ．4对B ． 8对C ．12对D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由?⑴∠CBD ＝∠ADB ；⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行.⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行.⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠（已知）∴AC ∥ED （）⑵∵∠C ＝∠（已知）∴AC ∥ED （）⑶∵∠A ＝∠（已知）∴AB ∥DF （）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系.解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）又∵EF 平分∠DEC （已知）∴（）又∵∠1＝∠2（已知）∴（）∴AB∥DE（）03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE＝90°，求证：AB ∥CD ．04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF.7 1 5 6 8 4 1 2乙丙3 23 4 5 6123 4甲1 A BC 2 3 456 7 ABCDOABDEFCABC DEA BCDE F12ADE【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是.03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝.演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠ B B．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BDA．0 B． 2 C．4 D．605．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝.l1l2l3l4l5l6图⑴l1l2l3l4l5l6图⑵AEB C FDABC DFEMNα第1题图第2题图AB D C第4题图07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝. 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是.10．在同一平面内两条直线的位置关系有.11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A＝（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠2＝（已知）∴AC∥ED（）⑶∵∠A＋＝180°（已知）∴AB∥FD．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）A．1，3 B．0，1，3 C．0，2， 3D．0，1，2，302．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10ABCDOAB CDEFGHabc第6题图第7题图第9题图123 4567 81AC DEBA BC DEF12AB CDEF第14题图ADEA D条直线最多能把平面分成（）部分.A．60 B．55 C．50 D．4503．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（）个交点.A．35 B．40 C．45 D．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点.05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a、b是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）A．3 B．1或3 C．1或2或3 D．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么两条对角线的夹角等于（）A．60°B．75°C．90°D．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，∠A＝38°，求∠C的度数.【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB∥CD BC∥AD∴∠A＋∠B＝180°∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)∴∠A＝∠C ∵∠A＝38°∴∠C＝38°【变式题组】01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC 的度数为（）A．155°B．50°C．45°D．25°a bAC02．（安徽）如图，直线l1 ∥l2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. 【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD∠F ＝∠FCD(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60°∠EFC ＝45°∴∠BCD ＝60°∠FCD ＝45°又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理）∴∠GCD ＝90°－45°＝45°∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC, 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥MP ∥CD, MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ．求证：∠A ＝∠F.【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ．要证明DF ∥AC, 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°，即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC＝180°即要证明DB ∥EC ．要证明DB ∥EC 即要证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等?两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180°∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG ABC DOE FAEBC （第1题图）（第2题图）EABDα12 C F（第3题图）321l 1l 2（第2题图）（第1题图） EDCBAEAFG D CB BAMCDN P （第3题图）DAE F1 32B CA 1DFDA 21BFE ACD02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ．求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O ′Ｂ平行于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3.求证：AD 平分∠BAC ．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：∠1＝∠3）证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC∴∠EGC ＝∠ADC ＝90°（垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行）∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等）∴AD 平分∠BAC （角平分线定义）【变式题组】01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E,DF ⊥AB 于F, AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ．求证：∠EDF ＝∠BDF.3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的度数.【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360°【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，A DMCNEBA2CF 3 ED1B（第2题图）O/αO θβB31ABG DCEA BαβP BC D A∠P ＝α＋β 3 21γ 4ψDαβEBC AFHF γD αβE BCA FDEB CABCAA ′lB ′C ′DBCA联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键.【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360°即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360°【变式题组】01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________⑵____________________________ ⑶____________________________⑷____________________________【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180°【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.【解】过点E 作EH ∥AB ．过点F 作FG∥AB ．∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】01．如图，AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（）A ．∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ．∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.⑴定：确定平移的方向和距离.⑵找：找出图形的关键点.⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.⑷连: 按原图形顺次连接对应点.【解】①连接AA/②过点B 作AA/的平行线l ③在l 截取BB/＝AA/,则点B/就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/.【变式题组】01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.BAPCACCDAAPCBDPBPD BD ⑴⑵⑶⑷西B 30°A北东南02．如图,已知三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC 与△A/B/C/的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（）A ．北偏东52°B ．南偏东52°C ．西偏北52°D ．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）P.P.P.P .⑴⑵⑶⑷D538AFCB E B B/AA/CC/150°120°DBCE 湖21ABEF09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？DEAB CE DB CE D AB CEDAB CEDA B C4P231 ABEFCD 15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA1＝2cm. 将AC 平移到A1C1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________.04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1 [即阴影部分如图⑴];将折现A1A2 A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________, S2＝________, S3＝________. ⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（）A ．720°B ．108°或144°C ．144°D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b 上顺次有10个点B1、B2、…、B9，将a 上每一点与b 上A 2B 2A 3B 3B 4A 4A 1B 1草地草地A 1B 2⑵B 1A 2B 2A 1B 1A 3B 3A 2⑴⑶⑷⑸CB 1A A 1C 1D 1BD.B .O .A FADE CBBDCFAE FEBA CGD每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（）A ．90B ．1620C ．6480D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF. 求∠BEG 和∠DEG.08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ．问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF.⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？第06讲实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若2x ＝a(a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平FEBACGD100°FEBCABCD方根为x＝±a，其中a的平方根为x＝a叫做a的算术平方根．若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝3a．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2na≥0（n为正整数），a≥0(a≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m -4与3m-l是同一个数的平方根，∴2m-4 ＋3m-l＝0，5m＝5，m＝l．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知m是小于152的最大整数，则m的平方根是____．03．9的立方根是____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足2242342a b a b a，则a＋b等于( )A．－1 B．0 C．1 D．2【解法指导】若23a b有意义，∵a、b为非零实数，∴b2>0∴a－3≥0 a ≥3∵2242342a b a b a∴2242342a b a b a，∴2230b a b．∴22030ba b，∴32ab，故选C．【变式题组】0l．在实数范围内，等式223a a b＝0成立，则ab＝____．02．若2930a b，则ab的平方根是____．03．（天津）若x、y为实数，且220x y，则2009xy的值为（）A．1 B．－1 C．2 D．－204．已知x是实数，则1xx x的值是( )A．11B．11C．11D．无法确定输入x取算术平方根输出y是无理数是有理数【例3】若a、b都为有理效，且满足123a b b．求a＋b的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵123a b b，∴123a bb即112a bb，∴1312ab，a ＋b＝12 ＋13＝25．∴a＋b的平方根为：255a b．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m、n是有理数，且（5＋2）m＋(3－25)n＋7＝0求m、n．02．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（123）x＋（132）y-4-＝0，则x-y＝____．【例4】若a为17-2的整数部分，b-1是9的平方根，且a b b a，求a＋b的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，17-2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝17-2 -2＝17-4．∵a＝2，b-1＝±3 ，∴b＝－2或4∵a b b a．∴a<b ，∴a＝2，b＝4，即a＋b＝6．【变式题组】01．若3＋5的小数部分是a，3-5的小数部分是b，则a＋b的值为____．02．5的整数部分为a，小数部分为b，则（5＋a）·b＝____．演练巩固反馈提高0l．下列说法正确的是( )A．－2是(－2)2的算术平方根B．3是－9的算术平方根C．16的平方根是± 4 D．27的立方根是± 302．设3a，b＝－2，52c，则a、b、c的大小关系是( )A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b03．下列各组数中，互为相反数的是( )A．－9与81的平方根B．4与364C．4与364D．3与904．在实数 1.414，2，0.1?5?，5-16，，3.1?4?，83125中无理数有( )A．2个B．3个C．4个D．5个05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( )A．b>a B．a bC．－a＜b D．－b>a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( ) A．1个B．2个C．3个 D ．4个07．设m是9的平方根，n＝23．则m，n的关系是( )A. m＝±nB.m＝n C .m＝－n D.m n08．（烟台）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和3，点B关于点A 的对称点C，则点C所表示的数为( )A．－23B．－13C．－2 ＋3D．l ＋309．点A在数轴上和原点相距5个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝a ba b，如3※2＝3232＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<7<b，则a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝22a b a bab a b≥<，已知3*m ＝36，则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a，213a在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a-1的平方根是±3，3a＋b-1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b＝315a＋153a＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn-2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x-y＋1）2与533x y互为相反数，求22x y的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a-3，则a值为( ) A． 2 B．－1 C． 1 D．002．（黄冈竞赛）代数式x＋1x＋2x的最小值是( )A．0 B．1＋2C．1 D． 203．代数式53x-2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋b3＝21-53，则a＋b＝____．05．若a b＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．06．已知实数a满足20092010a a a，则a- 20092＝_______．m满足关系式3523199199x y m x y m x y x y，试确定m的值．08．（全国联赛）若a、b满足35a b＝7，S＝23a b，求S的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030aaa2830a2930a18，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y ＋231x a，231x y b ，求22x ya b的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x 轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1。

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第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版)

第1讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角.【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE.【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC＝100°，则∠BOD 的度数是（） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A 画直线l2的垂线.⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，A B C D E F A B C DEF PQ R A BCE F E A ACD O （第1题图） 1 4 3 2（第2题图）2垂线段是一条线段. 【变式题组】01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在的路上距离M 村越来越近..在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数；⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6： F B AO CD EAEB ACDO A BA E DCF EBAD 1 4 2 3 6 5∠2和∠4： ∠3和∠5： ∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】 01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（） A ．4对 B ． 8对 C ．12对 D ．16对 02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（） A ．∠1和∠2是同旁内角 B ．∠3和∠4是内错角 C ．∠5和∠6是同旁内角 D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由• ⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角. 【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行.⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】 01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （）⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系.解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）又∵EF 平分∠DEC （已知） A BDC HＧ E F 7 1 5 6 84 1 2 乙丙 3 23 4 5 61 23 4甲1 A BC 2 3 45 67 A B CDO A BD E FA E12∴ （）又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （） ∴AB ∥DE （） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． 04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF. 【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵. 证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31° 【变式题组】 01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 . 03．已知n （n ＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn ＝ . 演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（） A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DACC ．∠ACF 是α的余角D ．α与∠ACF 互补 A BC D E A BC D E F l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6l 1 l 2 l 3l 4 l 5 l 6 A EA B EMα A02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BD A．0 B． 2 C．4 D．605．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝.07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝. 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是.10．在同一平面内两条直线的位置关系有.11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A＝（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠2＝（已知）∴AC∥ED（）⑶∵∠A＋＝180°（已知）∴AB∥FD．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．ABCDOAB CDEFGHabc第6题图第7题图第9题图123 4567 81AC DEBAC DE12AB CDEF第14题图培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）A ．1，3B ．0，1，3C ．0，2，3D ．0，1，2，302．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（）A ．60°B ． 75°C ．90°D ．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？a b AB C⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD度数.【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB∥CD BC∥AD∴∠A＋∠B＝180°∠B＋∠C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补)∴∠A＝∠C ∵∠A＝38°∴∠C＝38°【变式题组】01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延长线上，若∠ADE＝155°，则∠DBC的度数为（）A．155°B．50°C．45°D．25°1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）A．50°B．55°C．60°D．65°03．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B的度数.【例２】如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB∥CD∥EF ∴∠B＝∠BCD ∠F＝∠FCD(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B＝60°∠EFC＝45°∴∠BCD＝60°∠FCD＝45°又∵GC⊥CF ∴∠GCF＝90°（垂直定理）∴∠GCD＝90°－45°＝45°∴∠BCG＝60°－45°＝15°【变式题组】EAFGDCB01．如图，已知AF ∥BC, 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD, MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ．求证：∠A ＝∠F. 【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ．要证明DF ∥AC, 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°，即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ．要证明DB ∥EC 即要证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ．求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3）证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行）∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等）ABCDOE FAEBC （第1题图）（第2题图） BA MC D N P （第3题图）DE F2GB 3C A 1D 2E F （第1题图） A2 CF 3 E D1B（第2题图） 31ABG D CEDA2 E1 B C B F E AC D ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义）【变式题组】01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E,DF ⊥AB 于F, AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ．求证：∠EDF ＝∠BDF.3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的度数.【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键.【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________BAPCAC CDAAPCBDPBPD BD ⑴⑵⑶⑷A DMCN EB F E D 2 1 AB Cα β P B C D A∠P ＝α＋βF γ Dα β E B C A FD EBC A AA ′ lB ′C ′【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路【解】过点E 作EH ∥AB ．过点F 作FG∥AB ． ∵直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD ∴∠ψ＋∠4＝180°＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180° 【变式题组】01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γA ． ∠β＝∠α＋∠γ B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180° C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90° D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点.的平行线l ③在l 截取BB/＝AA/,则点B/C 的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就21cm ，作出平移后的图形. 三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A/B/C/的重叠部分的面积. 03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）BB / AA / C C /演练巩固反馈提高 01．如图，由A 测B 得方向是（） A ．南偏东30° B ．南偏东60° C ．北偏西30° D ．北偏西60° 02平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120° 04．下列命题中，正确的是（） A ．对顶角相等 B ．同位角相等 C ．内错角相等 D ．同旁内角互补 05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]） .C ．③④D ．①④ A 地测得B 地的走向是南B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（） A ．北偏东52° B ．南偏东52° C ．西偏北52° D ．北偏西38° 07．下列几种运动中属于平移的有（） ①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动. A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种 08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）150°120°DBCE 湖09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的DEAB CE DB CE D AB CED AB CEDA B C4 P 23 1A BEF CD15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________, S2＝________, S3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜⑶ ⑷ ... AF E B A C GD α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144° 06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b 上顺次有10个点B1、B2、…、B9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF. 求∠BEG 和∠DEG.08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ．问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF. ⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？FEB AC GD 100° FE BAC O ABCD第06讲实数考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a(a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平方根为xa 的平方根为xa 的算术平方根．若x3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq （p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式． 3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2na ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m−l 是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知mm 的平方根是____． 03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b2>0∴a －3≥0 a≥3∵24242a b a -+++=∴24242a b a -++=，∴20b ++=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l3b +＝0成立，则ab ＝____．02()230b -=，则a b 的平方根是____．03．（天津）若x 、y为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -+=+∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩， a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n2）m ＋(3－)n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y−4−π＝0，则x−y ＝____．【例4】若a2的整数部分，b−1是9的平方根，且a b b a-=-，求a＋b 的值．【解法指导】−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2−2 −2−4．∵a ＝2，b−1＝±3 ，∴b ＝－2或4 ∵a b b a-=-．∴a<b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6．【变式题组】01．若3a ，的小数部分是b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为ba ）·b ＝____．演练巩固反馈提高0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±302．设3a =-，b ＝－2，52c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ． b<a<c D ．c<a<b03．下列各组数中，互为相反数的是( ) A ．－9与81的平方根 B ．4与364- C ．4与364 D ．3与904．在实数1.414，2-，0.1•5•，5−16，π，3.1•4•，83125中无理数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( ) A ．b>a B ．a b>C ．－a ＜bD ．－b>a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( ) A ． 1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A. m ＝±nB.m ＝n C .m ＝－n D.m n≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数． 11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a ba b +-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a<7 <b ，则a ＋b ＝____．13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a*b ＝()()22a b a b ab a b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，则实数m ＝____．14．设a 是大于1的实数．若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b＝315a-＋153a-＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn−2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2与533x y--互为相反数，求22x y+的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( )A．2 B．－1 C．1 D．002．（黄冈竞赛）代数式x＋1x-＋2x-的最小值是( )A．0 B．1＋2C．1 D．203．代数式53x+−2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋则a＋b＝____．05．若a b-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．06．已知实数a满足2009a a-=，则a− 20092＝_______．m满足关系式199y x=--，试确定m的值．08．（全国联赛）若a、b满足5b＝7，S＝3b，求S的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a、b、x、y满足y＋21a=-，231x y b-=--，求22x y a b+++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x 轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1－y2|，则(1)A(2，2)，B(2，－1)；(2)3；(3)C(5，2)，D(5，－1)或C(－1，2)，D(－1，－1)．【变式题组】01．如图，四边形ACBD是平行四边形，且AD∥x轴，说明，A、D两点的___________坐标相等，请你依据图形写出A、B、C、D四点的坐标分别是_________、_________、____________、____________．02．已知：A(0，4)，B(－3，0)，C(3，0)要画出平行四边形ABCD，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标，你的答案是唯一的吗？03．已知：A(0，4)，B(0，－1)，在坐标平面内求作一点，使△ABC的面积为5，请写出点C的坐标规律．【例6】平面直角坐标系，已知点A(－3，－2)，B(0，3)，C(－3，2)，求△ABC 的面积．【解法指导】(1)三角形的面积＝12×底×高．。

初二数学上册培优辅导讲义(人教版)(2020年整理).pptx

经典·考题·赏析【例 1】如图，三条直线 AB、CD、EF 相交于点 O，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？
【解法指导】
AE
【变式题组】
01．如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC，且∠EOC
D ＝100°，则∠BOD 的度数是（）
A．20° B． 40°
C．50°
第 12 讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译
【解】⑴∵OE、OF 平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC＝ 1 ∠BOC，∠FOC 2
1. 了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2. 掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
不重合） 09．如图所示，直线 a、b 被直线 c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，
②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断 a∥b 的条件的序号是 .
10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .
11．如图，已知 BE 平分∠ABD，DE 平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试
02．在同一平面内有 2010 条直线 a1,a2,…，a2010,如果 a1⊥a2,a2∥a3， a3⊥a4，a4∥a5…… 那么 a1 与 a2010 的位置关系是 . 03．已知 n（n＞2）个点 P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设 Sn 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条演数练，巩显固然·反：馈S2＝提1高，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10… 则 Sn＝ . 01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（） A．α 的余角只有∠B C B．α 的邻补角是∠DAC

初二数学上册培优辅导讲义经典例题(人教版)

第 1 页共 100 页第12讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（）A ．20°B ． 40°C ．50°D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cmABC D EF AB C DEF PQ RABCEF E A ACD O （第1题图）1 4 32 （第2题图）l 2第 2 页共 100 页02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置. ⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在的路上距离M 村越来越近..在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6： ∠2和∠4： ∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.F B A O CD E C D B A EO B ACDO A BA E DC F E BA D 1 4 2 3 6 5第 3 页共 100 页【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（）A ．4对B ． 8对C ．12对D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行.⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （） ⑵∵∠C ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （）⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （） 02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （）又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （） ∴AB ∥DE （） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． ABDCHＧ EF7 1 5 6 8 4 1 2 乙丙 3 2 3 4 56 1 2 3 4甲 1 A BC 2 3 4 5 6 7 A B C DOA B E FCABC DE A B CE1 204．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 .03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD ＞BDA．0 B． 2 C．4 D．6ABD El1l2l3l4l5l6图⑴1l2l3l4l5l6图⑵AEB C FDABC DFEMNα第1题图第2题图AB D C第4题图第4 页共100 页第 5 页共 100 页05．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（） A ．4cm B ．5cm C ．小于4cm D ．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC＝ .07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ . 08．在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝（已知） ∴AC ∥ED （） ⑵∵∠2＝（已知） ∴AC ∥ED （）⑶∵∠A ＋＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD ∥BC ．ABCDABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 81A CDEB AB C DEF12AB CD EF第14题图第 6 页共 100 页培优升级·奥赛检测 01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（） A ．1，3 B ．0，1，3 C ．0，2，3 D ．0，1，2，3 02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．55 04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（） A ．60° B ． 75° C ．90°D ．135° 10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？ ⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD 求∠C 的度数. 【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°a b AB C第 7 页共 100 页【变式题组】01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC的度数为（） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25°02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）A ． 50°B ． 55°C ． 60°D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ．求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ．要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°，即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC＝180°即要证明DB ∥EC ．要证明DB ∥EC 即要证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等） AB CDOE FAEB C （第1题图）（第2题图）E AF GDC B BA MCD N P （第3题图） CDABE F 1 32第 8 页共 100 页DA2 E1 B C B F E AC D 【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ．求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行于α，则角θ等于_________. 【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3）证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义）【变式题组】 01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ．求证：∠EDF ＝∠BDF .AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：的度数.A D M C N EB GB 3C A 1D 2E F （第1题图） A2 C F3 E D1B（第2题图）3 1 AB G DC E第 9 页共 100 页 α βP B C D A ∠P ＝α＋β3 2 1 γ4 ψDα β E B CAFH F γ Dα β E B C AFD EBC A B C AA′ lB′C′【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】 01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________ ⑶____________________________ ⑷____________________________ 【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作EH ∥AB ．过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】 01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（）A ． ∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90° 02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA / ②过点B 作AA /的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /,则点B /就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C /.连接A /B /，B /C /，C /A /就得到平移后的三角形A /B /C /. B AP C A C C D A A P C B D PBPD B D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ FE D 2 1 AB C第 10 页共 100 页西B 30° A北东南【变式题组】01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.02．如图,三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A /B /C /的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A /B /C /的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A ．对顶角相等B ．同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（）A ．北偏东52°B ．南偏东52°C ．西偏北52°D ．北偏西38°BB /AA /C C /150° 120° D B C E 湖07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动. A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD ∥BC ，AB ∥CD ，AE ⊥BC ，现将△ABE 进行平移. 平移方向为射线AD 的方向. 平移距离为线段BC 的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角； ⑵两个锐角的和是锐角； ⑶直角都相等. 13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A ＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C ，这时道路CE 恰好和道路AD 平行，问∠C 是多少度？并说明理由.43 2 1ABE F CD4 P 231A BEFCD 14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、D 成64°角. 当小船行驶到河中F 点时，看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F 与码头B 、D 所形成的角∠BFD 的度数吗？15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移） 03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________. 04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1[即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________. ⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？⑶⑷CB 1AA 1C 1D 1BD. AF E B A CG D05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ．问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？ 09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF . ⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？FEBAC GD 100° FE BAC O A BCD第06讲实数考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平方根为x ＝a 的平方根为xa 的算术平方根．若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p 、q 是两个互质的整数，且q≠0）的形式． 3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2na ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m −l 是同一个数的平方根，∴2m −4 ＋3m −l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知mm 的平方根是____． 03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0a ≥3∵24242a b a -+++=∴24242a b a -++=，∴20b ++．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l3b +＝0成立，则a b ＝____． 02()230b -=，则ab的平方根是____． 03．（天津）若x 、y 为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b都为有理效，且满足1a b -=+a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -=+，∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩，a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a−2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．【解法指导】−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分−2 −24．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4∵a b b a -=-．∴a <b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6．【变式题组】01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为ba ）·b ＝____．演练巩固反馈提高 0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±3 02．设a =b ＝－2，c =a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与C ．4D ．304．在实数1.414，0.1•5•，π，3.1•4•( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( ) A．b>a B．a b>C．－a＜b D．－b>a0611之间的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个07．设mn＝2．则m，n的关系是( )A. m＝±nB.m＝n C .m＝－n D.m n≠08．（烟台）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1B关于点A的对称点C，则点C所表示的数为( )A．－2B．－1C．－2D．l09．点AB在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝a b-，如3※212.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<b，则a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m＝36，则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、yx、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．19．若b＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn−2）(3mn＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2的值．培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( )A．2 B．－1 C．1 D．002．( )A．0 B．1C．1 D．203−2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋则a＋b＝____．05．若a b-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．06．已知实数a满足2009a a-=，则a− 20092＝_______．m满足关系式199x--，试确定m的值．08．（全国联赛）若a 、b满足5b ＝7，S＝3b ，求S 的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a <1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y＋21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0,b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a ＞202．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．。

学而思初二数学上册培优辅导讲义人教版

第 1 讲与订交相关看法及平行线的判断考点·方法·破译1．认识在平面内，两条直线的两种地址关系：订交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们 .3．掌握直线平行的条件，并能依照直线平行的条件说明两条直线的地址关系.经典·考题·赏析【例 1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 订交于点O，一共组成哪几对对顶角一共组成哪几对邻补角A 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共极点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线 .C⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有 6 对对顶角 . 12 对邻补角 .【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、 CD、EF 订交于 P、Q、R，则：C⑴∠ ARC 的对顶角是.邻补角是.⑵中有几对对顶角，几对邻补角02．当两条直线订交于一点时，共有 2 对对顶角；A Q 当三条直线订交于一点时，共有 6 对对顶角；当四条直线订交于一点时，共有12 对对顶角 .F问：当有 100 条直线订交于一点时共有对顶角 .【例２】以下列图，点O 是直线 AB 上一点， OE、 OF 分别均分∠ BOC 、∠AOC ．⑴求∠ EOF 的度数；⑵写出∠ BOE 的余角及补角 .F 【解法指导】解这类求角大小的问题，要依照所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转变成代数式进而求解；1A【解】⑴∵ OE、OF 均分∠ BOC 、∠ AOC∴∠ EOC＝2∠BOC ，111∠ FOC＝2∠ AOC∴∠ EOF＝∠ EOC＋∠ FOC＝2∠ BOC＋2∠AOC ＝1AOC1BOC又∵∠ BOC＋∠ AOC ＝ 180° ∴∠ EOF＝2× 180°＝ 90°2⑵∠ BOE 的余角是：∠ COF 、∠ AOF ；∠ BOE 的补角是：∠ AOE.【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 订交于点 O，OA 均分∠ EOC，且∠ EOC＝100°，E则∠ BOD 的度数是（）D A ．20°B ． 40°C． 50° D ．80°02ED14．B（32F杭A O A州）已知∠ 1CE（第 1 题图）（第 2 题图）＝∠ 2＝∠ 3＝ 62°，则∠ 4＝.P【例３】如图，直线l1、 l2订交于点O， A 、 B 分别是 l1、 l2上的R点，试用三角尺达成以下作图：AB⑴经过点 A 画直线 l2的垂线 .D⑵画出表示点 B 到直线 l1 的垂线段 .O【解法指导】垂线是一条直线，垂线l2B段是一条线段 .【变式题组】l 101． P 为直线 l 外一点， A 、 B 、 CCE是直线 l 上三点，且PA＝ 4cm， PB＝ 5cm，PC＝ 6cm，则点 P到直线 l 的距离为（）A ． 4cm B．5cm C．不大于 4cmD．不小于 6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由 A向B行驶，M、O B N 为位于公路两侧的农村；⑴设汽车行驶到路AB 上点 P 的地址时距离农村M 近来.行驶到 AB 上点 Q 的地址时，距离农村N 近来，请在图中的公路上分别画出点P、Q 的地址 .A．4对B． 8 对C．12 对D．16对⑵当汽车从 A 出发向 B 行驶的过程中，在的路上距离M 村越来越02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.近 ..在的路上距离农村N 越来越近，而距离农村Ｍ越来越远.【例４】如图，直线AB 、 CD 订交于点O，OE⊥ CD，OF⊥ AB ，∠ DOF ＝ 65°，求∠ BOE 和∠ AOC 的度数 .E 【解法指导】图形的定义现能够作为判断图形的依照，也能够作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝ 90°，D51 3478234621653214甲乙丙AOF⊥AB ．A 【变式题组】01．如图，若EO⊥ AB 于 O，直线 CD 过点 O，∠ EOD ︰OCBF03．如图，按各组角的地址判断错误的选项是13（）25∠ EOB ＝ 1︰ 3，求∠ AOC 、∠ AOE 的度数 .02．如图，O 为直线 AB 上一点，∠ BOC＝ 3∠AOC ，OC 均分∠ AOD⑴求∠ AOC 的度数；⑵试说明OD 与 AB 的地址关系 .E．DDAO C CA ．∠ 1 和∠ 2 是同旁内角B．∠ 3 和∠ 4 是内错角C．∠ 5 和∠ 6 是同旁内角D ．∠ 5 和∠ 7 是同旁内角4B67 C03．如图，已知 AB ⊥ BC 于 B，DB ⊥ EB 于 B，并且∠ CBE︰∠ ABD ＝ 1︰ 2，请作出∠ CBE 的对顶角，并求其度数 .【例５】如图，指出以下各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而获取的，并说出它们的名称：B ∠1 和∠ 2：∠1 和∠ 3：∠1和∠6：A ∠2 和∠ 6：∠2 和∠ 4：∠3 和∠ 5：∠3 和∠ 4：ABOBFAE5D【例６】如图，依照以下条件，可推得哪两条直线平行并说明原因?⑴∠ CBD ＝∠ ADB ；A D⑵∠ BCD ＋∠ ADC ＝ 180°D A⑶∠ ACD ＝∠ BACC【解法指导】图中有即即O1有同旁内B4C236角，有“”即有内错角 .B【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ ADB ，可推得 AD ∥ BC；依照内E错角相等，两直线平行 .⑵由∠ BCD ＋∠ ADC ＝ 180°，可推得AD ∥ BC ；依照同旁内【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：第一弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其他两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与订交直线 EF，GH 订交，图中的同旁内角共有（）ACH角互补，两直线平行.⑶由∠ ACD ＝∠ BAC 可推得 AB ∥ DC；依照内错角相等，两直线平行.【变式题组】AEＧ01．如图，推理填空 .⑴∵∠ A ＝∠（已知）F B∴AC ∥ED（）EDF BD⑵∵∠ C＝∠（已知）12× 31°＝ 372°＞ 360°∴AC ∥ ED（）与一周角等于 360°矛盾⑶∵∠ A ＝∠（已知）C所以 12 个角中最少有一个角小于 31°∴AB ∥ DF（）【式】02．如， AD 均分∠ BAC ， EF 均分∠ DEC，且∠ 1＝∠ 2，明 DE 与 AB 的地址关系 .01．平面内有18 条两两不平行的直，：在全部的交角中最少有一个角小于11° .解：∵ AD 是∠ BAC 的均分（已知）∴∠ BAC ＝ 2∠ 1（角均分定）又∵ EF 均分∠ DEC （已知）∴（）又∵∠ 1＝∠ 2（已知）∴（）A1E202．在同一平面内有2010 条直 a1,a2,⋯， a2010,若是 a1⊥a2,a2∥ a3，a3⊥ a4， a4∥ a5⋯⋯那么a1 与 a2010 的地址关系是.03．已知 n（ n＞ 2）个点 P1，P2，P3⋯Pn.在同一平面内没有任何三点在同素来上， Sn 表示几个点中的随意两个点所作的全部直的条数，然：S2＝1， S3＝ 3， S4＝6，∴ S5＝ 10⋯ Sn＝.演牢固·反提高∴AB ∥DE（）03．如，已知 AE 均分∠ CAB ， CE 均分∠ ACD ．∠ CAE ＋∠ ACE ＝ 90°，求： AB ∥ CD．04．如，已知∠ ABC ＝∠ ACB ， BE 均分∠ ABC ， CD 均分∠ ACB ，∠ EBF ＝∠ EFB ，求： CD ∥ EF.【例７】如⑴，平面内有六条两两不平行的直，：BD FAEC AC 01．如，∠ EAC ＝∠ ADB ＝ 90°.以下法正确的选项是（）A ．α的余角只有∠B B ．α的角是∠ DACC．∠ ACF 是α的余角D．α与∠ ACF 互BEEA A AαMD BC D在全部的交角中，最少有一l 6个角小于31° .【解法指】如⑵，我能够将全部的直移后，使它订交于同一点，此的形⑵ .明：假⑵中的l4l3l5l 2Bl1⑴12 个角中的每一个角都不小于31°DE l4l3l5l6C⑵BD CFFN BD C第 2第 4l2第 102．如，已知直 AB 、CD 被直 EF 所截，∠ EMB 的同位角F l 1（）A ．∠ AMFB ．∠ BMF C．∠ ENC D．∠ END03．以下句中正确的选项是（）A．在同一平面内，一条直只有一条垂B．直上一点的直只有一条C．直上一点且垂直于条直的直有且只有一条D．垂段就是点到直的距离04．如，∠ BAC ＝ 90°， AD ⊥ BC 于 D ，以下中，正确的个数有（）① AB ⊥AC② AD与AC互相垂直③点C到AB的垂段是段AB④ 段AB的度是点 B 到 AC 的距离⑤垂段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BD A．0B．2C．4D．605．点 A 、 B、 C 是直 l 上的三点，点P 是直 l 外一点，且PA＝ 4cm， PB＝5cm， PC＝6cm，点 P 到直 l 的距离是（）∴AC∥ED（）⑶∵∠ A ＋＝180°（已知）∴AB ∥ FD．14．如，你填上一个合适的条件使AD∥ BC．A ． 4cmB ．5cm C．小于 4cm 06．将一副直角三角板按所示的方法旋＝.C ADBGBA O第 61D．不大于4cm（直角点重合），∠ AOB ＋∠ DOCcE D21a34b657 8FCH第 7第 9F培升·奥01．平面上互不重合的三条直的交点的个数是（）ADA． 1，3B． 0，1，3C．0，2，3D． 0， 1，2， 3B第 1402．平面上有 10 条直，其中 4 条是互相平行的，那么 10条直最多能把平面分成（）部分 .DA． 60B． 55C．50D． 45A03．平面上有六个点，每两点都成一条直，除了本来的6 个点之外，些直最多有（）个交点 .A． 35B． 40C．45D．55CECE07．如，矩形ABCD 沿 EF 折，且∠ DEF ＝ 72°，∠ AEG ＝. 08．在同一平面内，若直 a1∥ a2,a2⊥ a3,a3∥ a4,⋯ a1a10（. a1 与 a10不重合）09．如所示，直a、b 被直 c 所截，出以下四个条件：①∠1＝∠ 5，②∠ 1 ＝∠ 7，③∠ 2＋∠ 3＝ 180°，④∠ 4＝∠ 7，其中能判断a∥ b 的条件的序号是.10．在同一平面内两条直的地址关系有.11．如，已知 BE 均分∠ ABD ，DE 均分∠ CDB ，且∠ E＝∠ ABE ＋∠ EDC．明 AB∥CD12．如，已知 BE 均分∠ ABC ， CF 均分∠ BCD ，∠ 1A＝∠ 2，那么直 AB 与 CD 的地址关系怎样E13．如，推理填空：AC1⑴∵∠ A＝（已知）∴AC ∥ED（）⑵∵∠ 2＝E（已知）C 204．如，上有 6 个点，作两两，内最多有__________________ 交点 .B05．如是某施工一破的，已知a、b是一个角的两，在要在上画一条与个角的均分平行的直，你帮助个施工画出条平行，并明你的正确性.06．平面上三条直互相的交点的个数是a（）BA ． 3B．1或 3C．1或2或 3D．不用然是 1， 2，307．你在平面上画出 6 条直（没有三条共点）使得它中的每条直都恰好与B另三条直订交，并明画法CD08．平面上有 10 条直，无任何三条交于一点，要使它出31 个交点，怎么安排才能到F09．如，在一个正方体的 2 个面上画了两条角DF bA线 AB 、 AC ，那么两条对角线的夹角等于（）A ． 60°B． 75°C． 90° D ． 135°10．在同一平面内有9 条直线怎样安排才能满足下面的两个条件⑴随意两条直线都有交点；⑵总合有29 个交点 .第 13 讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判断与性质定理之间的差异和联系；2．初步认识命题，命题的组成，真假命题、定理；3．灵便运用平行线的判断和性质解决角的计算与证明，确定两直线的地址关系，AE3l 1D2B C1l 2（第 1 题图）（第 2 题图）FC21α感觉转变思想在解决数学问题中的灵便应用 . 经典·考题·赏析【例１】如图，四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，度数 .【解法指导】两条直线平行，同位角相等；两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.BC∥AD ，∠ A ＝ 38°，求∠ C 的DAA B（第 3 题图）D EC∥ l2,∠ 1＝ 55°，∠ 2＝ 65°，则∠ 3 为（）02．（安徽）如图，直线 l1A． 50°B． 55°C． 60°D． 65°B03．如图，已知 FC∥ AB ∥ DE ，∠α：∠ D：∠ B＝ 2:3: 4, 试求∠α、∠ D、∠ B的度数 .【例２】如图，已知 AB ∥CD ∥ EF，GC⊥ CF，∠ B＝ 60°，∠ EFC＝ 45°，求∠ BCG平行线的性质是推导角关系的重要依照之一，必定正确鉴别图形的特点，看清截线，鉴别角的关系式要点 .【解】：∵ AB ∥ CD BC∥AD∴∠ A ＋∠ B＝ 180°∠B ＋∠ C＝ 180°(两条直线平行，同旁内角互补 )∴∠ A＝∠ C∵∠ A ＝38°∴∠ C＝ 38°【变式题组】01．如图，已知 AD ∥ BC ，点 E 在 BD 的延长线上，若∠ADE ＝ 155 °，则∠ DBC 的度数为（）A ． 155°B．50°C．45°D ． 25°的度数 .【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平A分线相结合，可求各种地址的角的度数，但注意看清角的位置 .【解】∵ AB ∥ CD ∥EF∴∠ B＝∠ BCD∠ F＝∠ FCD( 两C条直线平行，内错角相等 )又∵∠ B＝ 60° ∠EFC＝ 45° ∴∠ BCD ＝ 60°∠ FCD ＝ 45°又∵ GC⊥CF∴∠ GCF＝E90∴∠ GCD ＝ 90°－ 45°＝ 45°∴∠ BCG ＝°（垂直定理）60°－ 45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥ BC, 且 AF 均分∠ EAB ，∠ B ＝ 48°，则∠ C 的的度数＝_______________BGDFEA求证： AD 均分∠ BAC ．E【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细解析A BM 条件给我们带来的结论，关于不能够直接直接得出结论AFC.（题目中的：的条件，要正确掌握住这些条件的妄图13DO E∠ 1＝∠ 3）N D 证明：∵ EG ⊥ BC ， AD ⊥ BC∴∠ EGC ＝∠ ADC ＝ 90°B（第 1 题图）C BCAP（垂直定义）∴ EG ∥ AD （同位角相等，两条直线平行） BGDC（第 2 题图）（第 3 题图）∵∠ 1＝∠ 3 ∴∠ 3＝∠ BAD （两条直线平行，内错角相等） 02.如图 ,已知∠ ABC ＋∠ ACB ＝ 120°， BO 、 CO 分别∠ ABC 、∠ ACB ， DE 过点 ∴ AD 均分∠ BAC （角均分线定义）O 与 BC 平行，则∠ BOC ＝___________【变式题组】D03．如图，已知 AB ∥ MP ∥ CD, MN 均分∠ AMD ，∠ A ＝ 40°，∠ D ＝50°，求01．如图，若 AE ⊥ BC 于 E ，∠ 1＝∠ 2，求证： DC ⊥ BC ．∠ NMP 的度数 .02．如图，在△ ABC 中， CE ⊥ AB 于 E,DF ⊥ AB 于 F, AC∥ED ，【例３】如图，已知∠ 1＝∠ 2，∠ C ＝∠ D ．求证：∠ A ＝∠ F.CE 均分∠ ACB ．求证：∠ EDF ＝∠ BDF.AA【解法指导】3．已知如图， AB ∥ CD ，∠B ＝ 40°， CN 是∠ BCE1因果转变，综合运用 .的均分线 . CM ⊥ CN ，求：∠ BCM 的度数 .E2逆向思想：要证明∠ A ＝∠ F ，即要证明 DF ∥AC ．AB要证明 DF ∥ AC, 即要证明∠ D ＋∠ DBC ＝ 180°，【例５】已知，如图， AB ∥ EF ，求证： BEFC 即：∠ C ＋∠ DBC ＝ 180°；要证明∠ C ＋∠ DBC ∠ ABC ＋∠ BCF ＋∠ CFE ＝ 360° N＝ 180°即要证明 DB ∥ EC ．要证明 DB ∥ EC 即要【解法指导】从考虑 360°这个特别角下手张开联想，解析M B DC证明∠ 1＝∠ 3.类比，ECD证明：∵∠ 1＝∠ 2，∠ 2＝∠ 3（对顶角相等）所以∠ 1＝∠ 3 ∴ DB ∥EC （同位角AB联想周角 .构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.相等 ?两直线平行）∴∠ DBC ＋∠ C ＝ 180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠ C过点 C 作 CD ∥AB 即把已知条件 AB ∥ EF 联系起来，这是关1＝∠ D ∴∠ DBC ＋∠ D ＝ 180° ∴ DF ∥ AC （同旁内角，互补两直线平行）∴ DC∠ A ＝∠ F （两直线平行，内错角相等）键 .2【证明】：过点 C 作 CD ∥ AB∵CD ∥AB∴∠ 1＋∠ ABC【变式题组】EFFDC＝ 180°E01．如图，已知 AC ∥FG ，∠ 1＝∠ 2，求证： DE ∥ FG2F (两直线平行，同旁内角互补 ) 又∵ AB ∥ EF ，∴ CD ∥ EF （平行D31A于同一条直线的两直线平行）∴∠ 2＋∠ CFE ＝ 180°(两直线平行，02．如图，已知∠ 1＋∠ 2＝ 180°，∠ 3＝∠ B ．求证：∠ AED ＝∠ ACB3 B03．如图，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光辉 AO 平行2同旁内角互补 ) ∴∠ ABC ＋∠ 1＋∠ 2＋∠ CFE ＝180°＋ 180°＝ 360°1ED即∠ ABC ＋∠ BCF ＋∠ CFE ＝ 360 °AO ′B 平行于 β入射到 α上，经两次反射后的出射光辉Eα1 G3B C2 【B 变式题组】于 α，则角 θ等于 _________.（第 1题图） F【例４】如图，已知 EG ⊥ BC ， AD ⊥BC ，∠ 1＝∠ 3.O01．如图，已知， AB ∥ CD ，分别研究下面四个图形中∠APC 和∠ PAB 、∠ PCDCB.的关系，请你从所得四个关系中选出随意一个，说明你研究的结论的正确性（第 2 题图）θβO/结论： ⑴ ____________________________⑵B/ 就是的 B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点 C/.连接 A/B/ ，B/C/ ， C/A/____________________________⑶ ____________________________⑷ ____________________________ABPABABBAPPPDC ⑴D C ⑵ D C ⑶ DC ⑷【例６】如图，已知， AB ∥ CD ，则∠ α、∠ β、∠ γ、∠ ψ之间的关系是∠ α＋∠ γ＋∠ ψ－∠ β＝ 180°Aα B【解法指导】基本图形A B.善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路1βHα【解】过点 E 作 EH ∥AB ．过点 F 作 FG ∥AB ． ∵AB ∥ EH2∴∠ α＝∠ 1（两直线平行，内错角相等）又∵P ∠ P ＝ α＋ β EFG ∥AB ∴ EH ∥ FG （平行于同一条直线的两直线F34 平行）∴∠ 2＝∠ 3 又∵ AB ∥ CD βγ ∴FG ∥ CD （平行于同一条直线的两直线平行）C Dα＋∠ γ＋∠ ψ－∠ψ β＝∠ 1 ∴∠ ψ＋∠ 4＝ 180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠ ＋∠ 3＋∠ 4－ ψ－∠ 1－∠ 2＝∠ 4＋ ψ＝180° CD 【变式题组】就获取平移后的三角形 A/B/C/.【变式题组】01．如图，把四边形 ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形 .02．如图 ,已知 A三角形 ABC 中，∠ C ＝ 90°, BC ＝4， AC＝ 4 ，现将△ DABC 沿 CB 方向平移到△ A/B/C/ 的地址，若平移距离为 3, 求△ ABC 与△ A/B/C/ 的重叠部分的面BAA /CCC /BB /积.03．本来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移 BE 的距离，就获取此图形，求阴影部分的面积 .（单位：厘米）AD01．如图， AB ∥ EF ，∠ C ＝ 90°，则∠ α、∠ β、∠ γ的关系是（）A ． ∠ β＝∠ α＋∠ γB ．∠ β＋∠ α＋∠ γ＝ 180°C ． ∠ α＋∠ β－∠ γ＝ 90°D ．∠ β＋∠ γ－∠ α＝ 90°02．如图，已知， AB ∥ CD ，∠ ABE 和∠ CDE 的均分线订交于点 F ，∠ E ＝ 140°，求∠ BFD 的度数 .A Bα【例７】如图，平移三角形 ABC ，设点 A 搬动到点 A A/ ，画出平移后的三角形 A/B/C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”—— 定，找，移，连 . BC83B5 ECF演练牢固反响提高A北01．如图，由 A 测 B 得方向是（）A ′ A ．南偏东 30°B ．南偏东 60°°30⑴定：确定平移的方向和距离 . ⑵找：找出图形的要点点 .γ D⑶移：过要点点作平行且相等的线段，获取要点点的对应点β C ⑷连 : 按原图形按次连接对应点 . 【解】 ①连接 AA/ E ③在②过点 B 作 AA/F 的平行线 lElF . B ′Dl 截取 BB/ ＝ AA/, 则点C ．北偏西 30°D ．北偏西 60° 西B 东02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一南A条直线的两直线平行； ④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（）C ′B ．2 个C ．3个D ．4个A ．1 个BC03．一个学在广上汽，两次拐弯后，行的方向与本来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）A ．第一次向左拐 30°，第二次向右拐 30°B ．第一次向右拐 50°，第二次向左拐 130°C．第一次向左拐 50°，第二次向右拐 130 ° D ．第一次向左拐 60°，第二次向左拐 120°04．以下命中，正确的选项是（）A ．角相等B．同位角相等C．内角相等 D ．同旁内角互05．学了平行后，小敏想出直外一点画条直的平行的新方法，是通折一半透明的获取的 [ 如⑴—⑷ ]P.P.P.P.⑴⑵⑶⑷从中可知，小敏画平行的依照有（）①两直平行，同位角相等；②两直平行，内角相等；③同位角相等，两直平行；④内角相等，两直平行.A ．①②B ．②③C．③④D．①④06．在 A 、B 两座工厂之要修建一条笔直的公路，从 A 地得 B 地的走向是南偏 52° . A 、 B 两地要同动工，若干天后，公路正确接， B 地所修公路的走向是（）A ．北偏 52°B ．南偏 52°C．西偏北 52°D．北偏西 38°07．以下几种运中属于平移的有（）①水平运上的的运；②笔直的高公路上行的汽的运（忽略的）；③起落机上下做机械运；④足球上足球的运.A．1种B．2 种C．3 种D．4 种08．如，网格中的房子案正好于网格右下角的地址.平移个案，使它正好位于左上角的地址（不能够出格）09．察，哪个是由⑴平移而获取的（）10．如， AD ∥ BC ，AB ∥ CD ，AE ⊥BC，将△ ABE 行平移 . 平移方向射AD 的方向 . 平移距离段 BC 的，平移获取的三角形是中（）的阴影部分 .D A D A D ABE A CBE B CBE C C B E DC11．判断以下命是真命是假命，若是是假命，出一个反例.⑴ 角是相等的角；⑵相等的角是角；⑶两个角的和是角；⑷同旁内角互，两直平行.12．把以下命改写成“若是⋯⋯那么⋯⋯”的形式，并指出命的真假.⑴互的角是角；⑵两个角的和是角；⑶直角都相等.13．如，在湖修一条公路.若是第一个拐弯∠ A ＝ 120 °，第二个拐弯∠B＝150°，第三个拐弯∠ C，道路 CE 恰好和道路 AD 平行，∠ C 是多少度并明原因 .14．如，一条河流两岸是平行的，当小船行到河中湖 E 点，与两岸B、D 成 64°角 . 当小船行到河中 F 点，看 B 点和 D 点的EFB 、FD 恰好有∠1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4 的关系 . 你能出此点 F 与 B、D 所形成的角∠ BFD 的度数150°120°CBAB15．如， AB ∥ CD ，∠ 1＝∠ 2，明∠1E和∠F的关系 .DA2ABF E培升·奥3D3FE D 01．如，等△ ABC 各都被分成五均分，C4EF42CB PCD在△ ABC 内能与△ DEF 达成重合的小三角形共有25 个，那么在△ ABC 内由△DEF 平移获取的三角形共有（）个02．如，一足球运在球上点 A 看到足球从 B 点沿着 BO 方向匀速来，运立刻从 A 以匀速直奔跑前去截足球 .若足球的速度与运奔跑的速度同样，出运的平移方向及最快能截住足球的地址.（运奔跑于足球点的平移）. D A03．如，方体的 AB ＝ 4cm， BC ＝3cm，高 AA1 ＝ 2cm. 将 AC 平移到 A1C1 的地址上，平移的距离是 ___________,平移的方向是___________..A .B04．如是形的操作程（五个矩形水平方向O D1的均 a，直方向的 b ）；将段BA1A2 向右平移 1 个位获取 B1B2 ，获取封A1B1形 A1A2B2B1 [即阴影部分如⑴]; 将折 A1A2A3 向右平移 1 个位获取 B1B2B3 ，获取封形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如⑵ ];⑴在⑶中，你似地画出一条有两个折点的直，同的向右平移 1 个位，A． 720° B ．108°或 144°C． 144° D ． 720°或 144°06．两条直 a、b 互相平行，直 a 上次有 10 个点 A1 、A2 、⋯、 A10 ，直b 上次有10 个点 B1 、B2 、⋯、 B9 ，将 a 上每一点与 b 上每一点相可得段 .若没有三条段订交于同一点，些段的交点个数是（）A． 90 B ．1620C． 6480D． 200607．如，已知 AB ∥CD ，∠ B＝ 100 °，EF 均分∠ BEC ，EG⊥ EF. 求∠ BEG 和∠C DEG.BA100°C1G FD E C08．如， AB ∥ CD ，∠ BAE ＝ 30°，∠ DCE＝ 60°，EF、EG 三均分∠ AEC ．：EF 与 EG 中有没有与AB 平行的直什么进而获取 1 个封形，并画出阴影.⑵ 你分写出上述三个阴影部分的面S1＝ ________, S2＝ ________, S3＝________.⑶ 想与研究：如⑷，在一矩形草地上，有一条波折的柏油小路（小路在任何地方的水平度都是1个位），你猜想空白部分草地面是A1 B1A11A11B B草地A22 A2A B23B B309．如，已知直 CB∥ OA ，∠C＝∠ OAB ＝ 100 °，E、 F 在CB 上，且足∠ FOB＝∠ AOB ，OE 均分∠FCOF.⑴求∠ EOB 的度数；⑵若平行移 AB ，那么∠ OBC ：∠ OFC 的是G生化若化，找出化律；若不，求出个比 .⑶在平行移AB 的程中，可否存在某种状况，使∠A BE否随之C D草地22A3 B34B4B AA⑴⑵⑶⑷⑸多少05．一位模型手遥控一，先前一半，尔后原地逆旋α°（ 0°＜α°＜ 180 °），被称一次操作，若 5 次后回到出点，α°角（）OEC＝∠ OBA 若存在，求出其度数；若不存在，明原因.E10．平面上有 5 条直，其中随意两条都不平行，那么在C FB5条直两两订交所成的角中，最少有一个角不超36°,明原因 .11．如，正方形 ABCD 的 5,把它的角AC 分成 n 段，以每一小段角作小正方形，n 个小正方形的周之和多少A B 12．如将面 a2 的小正方形和面 b2 的大正方形放在一同，用添法如何求出阴影部分面O A第06讲实数FA考点·方法·破译1．平方根与立方根：EB 若 x2＝ a(a≥0) 则 x 叫做 a 的平方根，记为： a 的平方根为 x＝±a，其中 a 的平方根为 x＝C Da 叫做 a 的算术平方根．若 x3＝ a，则 x 叫做 a 的立方根．记为： a 的立方根为 x＝3 a ．2．无量不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一p一对应．任何有理数都能够表示为分数q（ p、 q 是两个互质的整数，且q≠ 0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0， a2n≥ 0（ n 为正整数），a≥ 0(a≥ 0) ．经典·考题·赏析【例 1】若 2m－ 4 与 3m－1 是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m ?4 与3m?l 是同一个数的平方根，∴2m?4 ＋ 3m?l＝ 0， 5m＝ 5， m＝ l．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知 m 是小于152的最大整数，则 m 的平方根是 ____．03．9的立方根是 ____．04．如图，有一个数值转变器，当输入的x 为 64 时，输出的y 是____．输入 x是无理数输出 y取算术平方根是有理数【例 2 】（全国竞赛）已知非零实数 a 、 b满足2a 4 b 2 a 3 b2 4 2a)，则 a＋b 等于 (A．－ 1B． 0C． 1 D ． 2【解法指导】若 a 3 b2有意义，∵ a、 b 为非零实数，∴ b2>0∴ a－ 3≥ 0 a ≥ 3∵2a4b2a 3 b2 4 2a∴2a 4 b 2 a 3 b2 4 2a b 2 a 3 b20，∴．b20a3∴a 3 b2，∴ b2，应选 C．【变式题组】0l．在实数范围内，等式2a a 2b3＝ 0 成立，则 ab＝ ____．2a02．若a9b3，则 b 的平方根是____．2009x03．（天津）若 x、 y 为实数，且x 2y 2 0，则y的值为（）A． 1B．－ 1C． 2D．－2x x104．已知 x 是实数，则x的值是 ()111111A ．B．C．D．无法确定【例 3】若 a、 b 都为有理效，且满足 a b b 1 23．求 a＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不用然是无理数．∵a b b 1 2 3 ，a b 1 a b1a13∴ b 2 3 即b12 ，∴ b 12，a ＋ b＝ 12 ＋ 13＝ 25．∴ a＋ b 的平方根为： a b255．【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m、 n 是有理数，且（5＋ 2）m＋ (3－ 25)n＋7＝ 0求 m、 n．1102．（希望杯试题）设 x、y 都是有理数，且满足方程（23）x＋（3 2）y?4?＝ 0，则 x?y＝ ____ ．【例 4】若 a 为17?2 的整数部分， b?1 是 9 的平方根，且 a b b a ，求a＋ b 的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，17?2＝整数部分＋小数部分．整数部分估计可得2，则小数部分＝17?2 ?2＝17?4．∵ a＝ 2， b?1＝± 3，∴ b＝－ 2 或 4∵abb a．∴ a<b ，∴ a＝ 2， b＝ 4，即 a＋ b＝ 6．【变式题组】01．若 3＋5的小数部分是 a， 3?5的小数部分是b，则 a＋b 的值为 ____．02．5的整数部分为a，小数部分为b，则（5＋ a）· b＝____．演练牢固反响提高0l．以下说法正确的选项是()A．－ 2 是(－ 2)2 的算术平方根 B ． 3 是－ 9 的算术平方根C． 16 的平方根是± 4D． 27 的立方根是± 3c502．设a3， b＝－ 2，2，则 a、 b、 c 的大小关系是 ( )A． a<b<c B ． a<c<b C． b<a<cD． c<a<b03．以下各组数中，互为相反数的是()A．－ 9 与 81 的平方根B．4 与364C．4 与3 64D．3与9? ?? ?382，5?16 ，125中无理数有 ()04．在实数，，，4，5A．2个B．3 个C．4 个D． 5个05．实数 a、 b 在数轴上表示的地址以下列图，则()A． b>aa bB．C．－ a＜ b D ．－ b>a06．现有四个无理数5， 6，7 ，8，其中在2＋1与3＋1 之间的有 ()A． 1个B．2 个C． 3个 D ．4个3207．设 m 是9的平方根， n＝．则 m， n 的关系是 ()A. m ＝± n＝ nC .m ＝－ nmnD.08．（烟台）如，数上 A 、B 两点表示的数分－ 1 和 3，点 B 关于点 A的称点 C ，点 C 所表示的数 ( )A ．－23B ．－ 13C ．－2 ＋3D ． l ＋309．点 A 在数上和原点相距5个位，点 B 在数上和原点相距 3 个位，且点 B 在点 A 左， A 、 B 之的距离 ____ ．11110．用算器研究：已知按必然律排列的一数：1，2， 3⋯，19，120．若是从中出若干个数，使它的和大于3，那么最少要 ____个数．a b11．于随意不相等的两个数a 、b ，定一种运算※以下：a ※b ＝ab，如33 2※ 2＝3 2＝ 5．那么 12.※4＝ ____．12．（沙中考）已知 a 、 b 两个整数，且 a<7<b ， a ＋ b ＝____ ．a 2b a ≥ b13．数 a 、 b ，定运算“ * ”，以下 a*b ＝ ab2a<b，已知 3*m＝ 36，数 m ＝ ____．a2 2a 114． a 是大于 1 的数．若 a ， 3 ，3 在数上的点分是A 、B 、C ，三点在数上从左自右的序是____ ．15.如，直径1 的与数有唯一的公共点 P ．点 P 表示的数－ 1．若是沿数正方向一周后与数的公共点P ′，那么点 P ′所表示的数是 ____．16．已知整数 x 、 y 足x＋ 2y ＝ 50 ，求 x 、 y ．17．已知 2a?1 的平方根是± 3，3a ＋ b?1 的算平方根是 4，求 a ＋ b ＋ 1 的立方根．18．小同学在上做扇形的游，如有一心角60°，半径 1 个位的扇形放置在数上，当扇形在数上做无滑的，当B 点恰好落在数上，(1)求此 B 点所的数； (2) 求心 O 移的行程．19．若 b ＝3a 15＋153a＋ 3l ，且 a ＋ 11 的算平方根m ， 4b ＋ 1 的立方根 n ，求（ mn?2） (3mn＋ 4)的平方根与立方根．20．若 x 、y 数，且（ x?y ＋ 1）2 与 5x 3y 3互相反数，求x 2y2的．培升奥01．（州市八年数学）一个正数x 的两个平方根分是a ＋ 1 与 a?3，a( )A ． 2B ．－ 1C ． 1D ． 002．（黄）代数式x ＋ x 1＋ x2的最小是 ()A ． 0B ．1＋2C ． 1D ． 203．代数式5 3x?2 的最小 ____．04． a 、b 有理数，且 a 、b 足等式 a2＋ 3b ＋ b 3 ＝ 21?53， a ＋b ＝ ____．05．若a b＝ 1，且 3a＝ 4b，则在数轴上表示a、b 两数对应点的距离为____．112009a a 2010a，则 a? 20092＝ _______．A( －3， 0)， B( －2，－3) ，C(2，2)， D(0,3) ， E(π－，－π )06．已知实数 a 满足【例 2】若点 P(a， b)在第四象限，则点Q(― a， b― 1)在（）3x5y 2m x 3 y m x199y g 199 x y ，A．第一象限 B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限m 满足关系式【解法指导】∵ P(a，b)在第四象限，∴ a＞0，b＜ 0，∴－ a＜ 0, b－１＜ 0,应选 C．试确定 m 的值．【变式题组】3 a 5 b＝ 7，S＝2 a3 b，求 S 的取值范围．01．若点 G(a，2－ a)是第二象限的点，则 a 的取值范围是（）08．（全国联赛）若 a、 b 满足A． a＜ 0B． a＜2C． 0＜ a＜ 2 B ． a＜ 0 或 a＞ 2 09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1 ，并且02．若是点 P(3x－２，２－ x)在第四象限，则x 的取值范围是 ____________．1a 2a3ggg a28a2903．若点 P(x， y)满足 xy ＞ 0，则点 P 在第 ______________象限．a30303018，求 [10a] 的值04．已知点 P(2a－ 8， 2－ a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．3030【例３】已知 A 点与点 B(－ 3， 4)关于 x 轴对称，求点 A 关于 y 轴对称的点的坐[ 其中 [x] 表示不高出 x 的最大整数 ]．标．10 ．（北京竞赛试题）已知实数a、 b、 x 、 y y ＋x3 1a2【解法指导】关于x 轴对称的点的坐标的特点：横坐标 (x)相等，纵坐标 (y)互为相满足，反数，关于 y 轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．x 3y 1b2，求 2x y2a b的值．【变式题组】____________ ．01．P(－ 1， 3)关于 x 轴对称的点的坐标为第 14讲平面直角坐标系（一）02．P(3，－ 2)关于 y 轴对称的点的坐标为____________ ．考点．方法．破译03．P(a， b)关于原点对称的点的坐标为____________ ．1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．04．点 A( － 3 ， 2m－１ ) 关于原点对称的点在第四象限，则m 的取值范围是2．认识点与坐标的对应关系．____________ ．3．会依照点的坐标特点，求图形的面积．05．若是点Ｍ (a＋b， ab)在第二象限内，那么点N(a， b) 关于 y 轴对称的点在第经典．考题．赏析______象限．【例 1】在坐标平面内描出以下各点的地址．【例４】 P(3，－ 4)，则点 P 到 x 轴的距离是 ____________．A(2 ， 1)， B(1， 2)， C(－1， 2)， D( － 2，－ 1)， E(0， 3)， F(－ 3， 0)【解法指导】 P(x，y)到 x 轴的距离是 | y|，到 y 轴的距离是 |x|．则 P 到轴的距离是【解法指导】从点的坐标的意义去思虑，在描点时要注意点的坐标的有序性．|－ 4|＝4【变式题组】【变式题组】01．第三象限的点 P(x，y)，满足 |x|＝ 5,2x＋ |y|＝ 1，则点 P 得坐标是 _____________ ．01．已知点 P(3， 5)， Q(6，－５ )，则点 P、 Q 到 x 轴的距离分别是 _________ ，02．在平面直角坐标系中，若是＞０，那么（ m, |n|）必然在 ____________象__________．P 到 y 轴的距离是点Q 到 y 轴的距离的 ________倍．限 .02．若 x 轴上的点Ｐ到 y 轴的距离是3，则 P 点的坐标是 __________ ．03．指出以下各点所在的象限或坐标轴．03．若是点 B(m ＋1， 3m－ 5) 到 x 轴的距离与它到 y 轴的距离相等，求 m 的值．04．若点 (5－a ， a － 3)在一、三象限的角均分上，求 a 的．【式】05．已知两点 A( －3， m)， B(n ，4) ，AB ∥ x ，求 m 的，并确定n 的取范01．在平面直角坐系中，已知△ ABC 三个点的坐．分 A( ― 3，― 1)， B(1 ，3)，C(2，－ 3)，△ ABC 的【例５】如，平面直角坐系中有A 、B 两点．面．(1) 它的坐分是 ___________，___________； 02．如，已知 A( － 4，0)，B( － 2，2)，C,0 ，－ 1)，D(1 ，0)，求四形 ABDC (2) 以 A 、 B 相两个点的正方形的 _________；的面．(3) 求正方形的其他两个点C 、D 的坐．03．已知： A( － 3， 0)，B(3 ，0) ，C( － 2，2)，若 D 点在 y 上，且点 A 、 B 、 C 、【解法指】平行 x 的直上两点之的距离是：两个点的横坐的差得 D 四点所成的四形的面 15，求 D 点的坐．，平行 y 的直上两点之的距离是：两个点的坐的差得．即：【例 7】如所示，在平面直角坐系中，横、坐都整数的点称整点．A(x1 ， y1)，B(x2 ， y2)，若 AB ∥ x ， |AB| ＝ |x1－ x2|；若 AB ∥ y ， |AB| ＝ |y1 你察中正方形 A1B1C1D1 、 A2B2C2D2 ⋯⋯每个正方形四条上的整点的个－ y2| 数，计算出正方形A10B10C10D10 四条上的整点共有 __________个．， (1)A(2 ，2) ，B(2 ，－ 1)； (2)3； (3)C(5 ， 2)，D(5 ，－ 1)或 C(－ 1， 2)， D(－ 1，【解法指】找律，每个正方形四条上的整点个数 S ＝ 8n ，－ 1)．所以 S10＝ 8×10＝ 80 个．【式】【式】01．如，四形 ACBD 是平行四形，且 AD ∥ x ， 01．如所示，在平面直角坐系中，第一次将△ OAB 成△明， A 、D 两点的 ___________坐相等，你依照 OA1B1 ，第二次将△ OA1B1 成形写出 A 、 B 、 C 、 D 四点的坐分是 _________ 、 △ OA2B2 ，第三次将△ OA2B2 成_________、 ____________ 、____________ ．△ OA3B3 ．已知： A(1 ，2)， A1(2 ， 02．已知： A(0 ，4)， B( －3， 0)， C(3， 0)要画出平行四 2)，A2(4 ，2)，A3(8 ，2)，B(2 ，0)，形 ABCD ，依照 A 、 B 、C 三点的坐，写出第四 B1(4 ， 0)， B2(8， 0)， B3(16， 0)．个点 D 的坐，你的答案是唯一的(1) 察每次前后的三角形有03．已知： A(0 ， 4)， B(0 ，－ 1)，在坐平面内求作一何化找出律，按此律再将三角形△OA3B3成△ OA4B4 ，点，使△ ABC 的面 5，写出点 C 的坐律．A4 的坐是 ____________， B4 的坐是 _____________；【例 6】平面直角坐系，已知点A( － 3，－ 2)， B(0， 3)， C(－ 3， 2) ，求△ ABC(2)若按 (1) 找到的律将△ OAB 行 n 次，获取三角形△ OAnBn ，推 An的面．的坐是 _____________ ， Bn 的坐是1_____________．【解法指】由 AA1A2A3 、BB1B2B3 的坐可知，【解法指】 (1)三角形的面＝2×底×高．每一次，点 A 的横坐乘以 2，坐不，(2) 通三角形的点做平行于坐的平行将不的形割成形，点 B 的横坐乘以 2，坐不．1 1如，已知 A1(1 ，0)，A2(1 ，1)，A3( － 1，1)，A4( －尔后算其面．Ｓ△ABC ＝Ｓ△ ABD ＝Ｓ△ BCD ＝ 2 ·3·5－ 2 ·3·1＝ 6．1，－ 1)，A5(2 ，－ 1)⋯ 点 A2010 的坐_______________．。

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A O B (第 1题图 ) C B (第 3题图 ) P O C A
3．如图，∠O＝140° ，∠P ＝100° ，BP 、CP 分别平分∠ABO、∠ACO，则∠A ＝______________. 【例６】如图，已知∠B ＝35° ，∠C＝47° ，AD⊥BC，AE 平分∠BAC，则∠EAD＝______________.
2．已知三角形的两边长分别是 4cm 和 9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是(
3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成 12 和 10 两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图 AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若 S △ GFC＝1cm ，则 S △ABC＝______________.
A E
B C (例 4题图 )
D
【变式题组】 1．如图，则∠A +∠B +∠C+∠D+∠E ＝______________. 2．如图，则∠A +∠B +∠C+∠D+∠E +∠F ＝______________. 3．如图，则∠A +∠B +∠C+∠D+∠E +∠F ＝______________. A A
二、例子
【例１】若的三边分别为 4，x，9，则 x 的取值范围是______________，周长 l 的取值范围是 ______________ 【变式题组】 1．若△ABC 的三边分别为 4，x，9，且 9 为最长边，则 x 的取值范围是______________，周长 l 的取值范围是______________. 2．设△ABC 三边为 a，b，c 的长度均为正整数，且 a＜b＜c，a+b+c＝13，则以 a，b，c 为边的三角形，共有______________个. 3．用 9 根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( A ．1 ). B ．2 C．3 D．4 ；当周长为奇数时，x＝______________.
数学培优讲义
八年级上册
努力是为了能有一个让人羡慕的未来！
目录第一讲三角形 ....................... 1 第二讲全等三角形的性质与判定 ....... 5 第三讲角平分线的性质与判定 ......... 9 第四讲轴对称及轴对称变换 .......... 12 第五讲等腰三角形 .................. 16 第六讲等边三角形 .................. 19 第七讲认识多边形 .................. 23 第八讲幂的运算 .................... 23 第九讲整式乘法 .................... 27 第十讲整式乘法公式讲义 ............ 31 第十一讲整式除法讲义 .............. 38 第十二讲因式分解及其应用 .......... 42 第十三讲分式的概念 •性质与运算 ..... 45 第十四讲分式的化简求值与证明 ...... 48 第十五讲分式方程及其应用 .......(例 6题图 )
C
A D F
【变式题组】 1.（改）如图，已知∠B ＝39° ，∠C＝61° ，BD⊥AC，AE 平分∠BAC，则∠BFE ＝__________. 2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40° ，AD 平分∠BAC，∠ACB 的外角平分线交 AD 的延长线于点 P ，点 F 是 BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点 F 作 EF ⊥BC 交于点 E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.
D B (第 1题图 ) E C
A D
E D B (第 2题图 ) F C
B E F (第 3题图 )
C
【例５】如图，已知∠A ＝70° ，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB ．则∠BOC ＝ ______________.
A O B C
2
【变式题组】 1．如图，∠A ＝70° ，∠B ＝40° ，∠C＝20° ，则∠BOC＝______________.
第一讲
一、学习目标
三角形
1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于 180° ，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题. 6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.
【例２】已知等腰三角形的一边长为 18cm，周长为 58cm，试求三角形三边的长. 【变式题组】 1．已知等腰三角形两边长分别为 6cm，12cm，则这个三角形的周长是( A ．24cm A ．13cm B ．30cm B ．6cm C．24cm 或 30cm C．5cm D．4cm D．18cm ) )
A E G B D F C
2
1
【变式题组】 1．如图，已知点 D、E 、F 分别是 BC、AD、BE 的中点，S △ABC＝4，则 S △EFC＝______________.
A E F B D (第 1题图 ) C
B D (第 2题图 ) E F C A
A
D
F B (第 3题图 ) E C
2．如图，点 D 是等腰△ABC 底边 BC 上任意一点，DE ⊥AB 于 E ，DF ⊥AC 于 F ，若一腰上的高为 4cm，则 DE +DF ＝______________. 3．如图，已知四边形 ABCD 是矩形(AD＞AB) ，点 E 在 BC 上，且 AE ＝AD，DF ⊥AE 于 F ，则 DF 与 AB 的数量关系是______________. 【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C+∠D+∠E ＝______________.

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