初二数学寒假培优班讲义
学而思八年级数学培优讲义
学而思八年级数学培优讲义学而思八年级数学培优讲义旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提高数学素养，为初中阶段的学习打下坚实基础。
以下是八年级数学培优讲义的部分内容：一、有理数及其运算1. 有理数的分类：整数、分数、正有理数、负有理数、零。
2. 有理数的加法：同号相加，异号相减；绝对值相加，符号决定和的大小。
3. 有理数的减法：减法转化为加法，被减数、减数与差的的关系。
4. 有理数的乘法：符号规律，绝对值相乘。
5. 有理数的除法：除法转化为乘法，商的变化规律。
6. 有理数的乘方：乘方的意义，乘方运算规则。
二、几何知识1.点、线、面的基本概念：点的坐标，线段的平行、垂直，平面的性质。
2.三角形的基本概念：三角形的分类，三角形的边角关系，三角形的判定。
3. 四边形的基本概念：四边形的分类，四边形的对边、对角线、内角和。
4.平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，平行四边形的判定。
5.矩形、菱形、正方形的性质：矩形的对角线相等，菱形的对角线垂直，正方形的性质。
三、函数与方程1.函数的基本概念：函数的定义，函数的图像，函数的性质。
2.一次函数：一次函数的解析式，一次函数的图像，一次函数与直线。
3.方程的基本概念：方程的定义，方程的解法，方程的应用。
4. 一元一次方程：一元一次方程的解法，一元一次方程的应用。
5. 一元二次方程：一元二次方程的解法，一元二次方程的应用。
四、三角形和四边形的几何证明1.三角形的证明：全等三角形的判定，相似三角形的判定。
2. 四边形的证明：平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定。
3.几何证明的方法：综合法、分析法、反证法。
五、统计与概率1.统计的基本概念：数据的收集、整理、分析。
2.频数与频率：频数分布表，频率分布表，概率的基本概念。
3.事件的概率：等可能事件的概率，条件概率，独立事件的概率。
4.统计的应用：平均数、中位数、众数，概率的应用。
通过学习八年级数学培优讲义，学生可以系统地回顾和巩固课堂所学知识，提高自己的数学能力，为初中阶段的学习打下坚实基础。
八年级数学寒假班讲义二第20讲-期末备考(二)448XJLRRZ0TT
1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题期末备考（二）学习目标熟练掌握函数与几何图形的综合问题，学会分析动态图形并会画图，掌握分类讨论思想．教学内容案例：如图，ABCD是正方形，点G是线段BC上任意一点（不与点B、C重合），DE垂直于直线AG于E，BF∥DE，交AG于F.（1）求证：AF—BF＝EF；（2）当点G在BC延长线上时（备用图一），作出对应图形，问：线段AF、BF、EF之间有什么关系（只写结论，不要求证明）？（3）当点G在CB延长线上时（备用图二），作出对应图形，问：线段AF、BF、EF之间又有什么关系（只写结论，不要求证明）？EF B DACG B DAC G B DAC G例题1：两解和易错题汇总（1)在ABC ∆中，15,20,AB AC BC ==边上的高12AH =，则BC = 。
（2)边长为3的正方形ABCD 中，E 是边AD 的三等份点，联结BE ，过BE 上一点P 作MN ⊥BE 交AB 、CD于M 、N ，那么MN ＝ ．（3)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90B ，4=AB cm ，5=CD cm ，5=AD cm ，则BC 的长为cm ．（4)已知A 、B 到直线m 的距离分别是4和6，D 是线段AB 的中点，求点D 到直线m 的距离是 （5)有两个角相等的梯形是 （6)如果直角梯形的上底长为7厘米，两腰分别为8厘米和10厘米，那么这个梯形下底的长为 厘米． （7)直角三角形两边长为5、12，则斜边中线为 .（8)小组有x 人，每人都向他人赠送礼物共182件，则列式 ，x = 。
（9)若方程22110x x k -++=没有实数解，则k 的取值范围 。
（10）梯形两底长分别为6、8，腰长为7，则另外一个腰长a 的取值范围是（11）直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，E 点是CD 边上的中点，且满足AB =AD +BC ，BE =2.5 ， 则梯形的面积为（12)梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B = 80° ，∠C = 50° ， AD =1 ，BC =3 ，则AB =例2:如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 坐标为（3,0），点B 坐标为（0,4）． （1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为菱形，求点D 坐标；（3）在（2）的条件下，点E 在x 轴上，点P 在直线AB 上，且以B 、D 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的P 点坐标．例题3：如图，点A （m ，6），和点B （6，2），（点B 在点A 的右侧）在反比例函数的图像上，直线BC ∥x 轴，与y 轴交于点C ．（1）求m 的值及直线AC 的解析式；（2）如果点D 在x 轴的正半轴上，点E 在反比例函数的图像上，当四边形AEDC 是平行四边形时，求边CD 的长．期末模拟测试（二）一、选择题【每题列出的四个选项中，有且只有一个是正确的】（本大题共5题，每题3分，满分15分）xy BAOxy DCBAOxyECOAB D1．函数21y x =-的图像不经过（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2．已知向量a r 、b r 满足a b =r r，则（ ）（A ）a b =r r （B ）a b =-r r （C ）a r ∥b r（D ）以上都有可能3．用来表示某事件发生可能性的大小的数叫做这个事件的概率，我们用P 来表示，如果一个随机事件发生的可能性很大，那么其P 的值可能为（ ）（A ）0.5 （B ）0.98 （C ）1 （D ）984．顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（ ）（A ）等腰梯形 （B ）正方形 （C ）菱形 （D ）矩形5．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∠BAD ＝90º，BO ＝DO ，那么下列条件中不能．．判定四边形ABCD 是矩形的是（A ）∠ABC ＝90º； （B ）∠BCD ＝90º ； （C ）AB ＝CD ； （D ）AB//CD ． 二、填空题（本大题共11题，每题3分，满分33分）6．如果将函数22y x =-的图像向上平移3个单位，那么所得图像的函数解析式是______________.7．已知方程221321x x x x +-=+，如果设21xy x =+，那么原方程可以变形为___________. 8．方程12x x +=的解是______________.9．方程32230x x x --=的解是______________.10．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，4AB =cm ，5CD =cm ，5AD =cm ，则BC 的长为 cm ． 11．在1、2、3、4、5这五个数字中，任意取两个相加，结果是奇数的概率是____________. 12．已知一个菱形的两条对角线长分别为3与4，那么这个菱形的周长为______________.（第5题图）ABCDO13．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90︒，如果AB ＝5，BC ＝4，CD ＝3，那么AD ＝____________.（第13题）（第14题） （第15题）14．如图，将正方形ABCD 折叠，使点C 与点D 重合于形内点P 处，折痕分别为AF 、BE ，如果正方形ABCD的边长是2，那么△EPF 的面积是______________.15．如图，函数y kx b =+的图像经过点()1,2-与()2,1-，当函数值1y >-时，自变量x 的取值范围是______________.16．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为4与6，O 是线段AB 的中点，那么点O 到直线l 的距离是________.三、解答题（本大题共8题，满分52分） 17、（本题5分）解方程：242111xx x x +=-+-18．（本题5分） 解方程：1251x x ++-=．19．（本题5分） 解方程组：222694,0.x xy y y xy y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩FEDCBAPDCBAOyx··20．（本题满分5分，第（1）小题2分，第（2）小题3分）如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 在边AC 上，设BA a =u u u r u r ，BD b =u u u r u r ，DE c =u u u r u r． （1）试用向量a u r 、b u r 、c u r 表示下列向量：EC u u u u r ＝ ；EA u u u r＝ ； （2）求作：a b -u r u r 、a b c ++u u r u r u r．(保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法)21．（本题满分6分） 某副食品基地向甲、乙两个超市分别提供总量为140吨、80吨的一种季节性商品，向乙超市供货天数比甲超市少4天，且每天比甲超市少2吨，每天给同一超市供货量相同且不超过7.5吨，求这个副食品基地向乙超市供货的天数．22．（本题8分）已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）写出图中所有的全等三角形，并证明其中任意一对三角形全等；（2）如果四边形BFDE 是菱形，那么四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．（第20题DEBCA23．（本题8分）如图，直角坐标平面xoy 中，点A 在x 轴上，点C 与点E 在y 轴上，且E 为OC 中点，BC //x轴，且BE ⊥AE ，联结AB ， （1）求证：AE 平分∠BAO ；（2）当OE ＝6， BC ＝4时，求直线AB 的解析式．24．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知点E 是正方形ABCD 外的一点，EA=ED ，线段BE 与对角线AC 相交于点F ， （1）如图1，当BF=EF 时，线段AF 与DE 之间有怎样的数量关系？并证明；（2）如图2，当△EAD 为等边三角形时，写出线段AF 、BF 、EF 之间的一个数量关系，并证明．FCGEABDxy BE OC AE。
初二年级寒假数学辅导讲义一(4课时)
BC寒假班初二年级数学复习（第一章）第一课时考点1：轴对称及轴对称图形的意义（4课时）一、知识点：1．轴对称： 2．轴对称图形： 3．轴对称的性质： 4．简单的轴对称图形：线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． 角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线． 等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线． 等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线． 等腰梯形：过两底中点的直线 正n 边形有n 条对称轴 圆有无数条对称轴。
二、基本图形：1．已知：点A 、B 分别在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最短。
变形1：正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，在对角线AC 上找一点P ，使PE+PB 最短。
变形2：已知点A （1，6）、点B （6，4），在x 轴和y 轴上各找一点C 、D ，使四边形ACDB 的周长最短。
三、经典考题剖析： 1．（2006无锡市3分）在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（ ）4．（2006鸡西市3分）在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A B C D 6．（2006梅州市3分）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ）11．(2006十堰市3分)如图，在平面直角坐标系中，请按下列要求分别作出ABC △变换后的图形（图中每个小正方形的边长为1个单位）：BlA ．B ．C ．D ．A B C D （1）向右平移8个单位；（2）关于x轴对称；（3）绕点O顺时针方向旋转180 ．考点2：折叠问题一、考点讲解：常见的折叠问题有两种类型：一种是将一个图形沿着某一条直线折叠到另一个位置，这时候，这条直线两旁的图形全等；另一种是将一个图形沿着某一条直线折叠，使两个点重合，此时，这折痕所在的直线是这两点连线的垂直平分线。
二、基本图形：1．将矩形ABCD沿着对角线AC对折，则三角形AFC是三角形。
初二年级寒假数学辅导讲义二(3课时)
寒假班初二年级数学复习（第二章)第1课时勾股定理、勾股定理的应用（3课时）一、知识点:1、勾股定理：２、神秘的数组(勾股定理的逆定理):二、典型例题:例1：⑴一个直角三角形的两条直角边分别为3和４,求斜边的长度⑵一个直角三角形一条直角边为6,斜边为10,求另一条直角边例２：在△ABC 中，AB=1３,AC ＝15,BC=14，。
求B Ｃ边上的高ＡＤ。
例3:在△ABC 中,AB=15,AC=20,B Ｃ边上的高AD=1２，试求BC 的长.(两解)例４:如图,在△ABC 中，A Ｃ=AB ，Ｄ是ＢC 上的一点，ＡD ⊥A Ｂ，A Ｄ＝９cm ，ＢD=15cm,求AC 的长.例5：一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km,接着,它又掉头向正东方向航行１5千米.⑴ 此时轮船离开出发点多少k ｍ? ⑵ 若轮船每航行1ｋm,需耗油0．4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?DCBADCBA例6:如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm, BC ＝8c ｍ,现将直角边AC 沿直线折叠,使它落在斜边AB 上,且点C 落到E 点,则C Ｄ的长是多少？例７:如图,四边形ＡBCD 中，A Ｂ=3,BC=4,C Ｄ=12,ＡD=13,∠B=90°,求四边形ABC Ｄ的面积。
例８:有一根70cm 的木棒，要放在50ｃm,４0cm ，30cm 的木箱中,试问能放进去吗？例9:甲、乙两人在沙漠进行探险,某日早晨8∶0０甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走,1小时后乙出发，他以5千米／时速度向西南方向行走，上午１０∶00时,甲、乙两人相距多远？10:如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开,使剪成的若干块能够拼成一个大正方形。
（1） 如果剪4刀，应如何剪拼？（2） 少剪几刀,也能拼成一个大正方形吗？ 边的长为多少？EDCBABACD第二课时平方根、立方根一、知识点:1、什么叫做平方根？２、平方根的表示方法:3、平方根的性质： 4、算术平方根：5、算术平方根的性质： 6、什么叫做立方根?７、立方根的性质：二、举例:例1：填空题：⑴１６的平方根是 ;２5的平方根是 ；4916的平方根是 ； 2．56的平方根是 ;(－２)2的平方根是 ;210-的平方根是 。
八年级数学寒假班讲义阶段复习
1对3辅导教讲义（6）学员姓名：学科教师：年级：八年级辅导科目：授课日期时间主题阶段性复习与检测教学内容1．巩固复习八年级第一学期的二次根式、一元二次方程、正反比例函数、几何证明章节知识。
（此环节设计时间在10-15分钟）说明：学科教师根据八年级上学期的章节思维导图，通过提问的方式与学生一起回顾相关知识点，也可以通过三人之间的竞争抢答来加强对知识点的巩固，让学生与学生之间多一些互动。
（此环节设计时间在20-30分钟）例题1：如图，正比例函数图像直线l 经过点A （3，5），点B 在x 轴的正半轴上，且∠ABO ＝45°，AH ⊥OB ，垂足为点H 。
（1）求直线l 所对应的正比例函数解析式； （2）求线段AH 和OB 的长度；（3）如果点P 是线段OB 上一点，设OP ＝x ，△APB 的面积为S ，写出S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围。
答案：（1）35y x=（2）AH ＝5，OB ＝8（3）5202S x =-（08x ≤<）试一试：已知：如图，Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3cm ，OB ＝33cm ．以O 为原点、OB 为x 轴建立平面直角坐标系．设P 是AB 边上的动点，从A 向点B 匀速移动，速度为1cm ／秒；Q 是OB 边上的动点，从O 向点B 匀速移动，速度为2cm ／秒．当任意一点到达点B ，运动随之停止． （1）试求B ∠的度数；（2）设P 、Q 移动时间为t 秒，建立△OPQ 的面积S （cm 2）与t （秒）之间的函数关系式，并写出函数的定义域；yxBAOPQyx备用图B AOPQ答案：（1）∠B ＝30°； （2）2132S t t =-yxl BHO A此环节设计时间在60分钟左右（40分钟练习+20分钟互动讲解）。
一、填空题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．化简二次根式2)3(π-＝ ．2．在实数范围内因式分解：241x x -+=______________________． 3．方程23x x =的解是_________________． 4．如果反比例函数2k y x-=的图像在当0x >的范围内，y 随着x 的增大而增大，那么k 的取值范围 是__________．5．如果关于x 的一元二次方程260x x c -+=（c 是常数）没有实数根，那么c 的取值范围是__ ____． 6．若直角三角形两直角边的长是8和6，则斜边上的高是_______ ___．7．点C 在x 轴上，点C 到点A （﹣1，4）与点B （2，﹣5）的距离相等，则点C 的坐标为 ． 8．如图，等腰三角形ABC 中，已知,40AB AC A =∠=︒，AB 的垂直平分线交AC 于D ，那么CBD ∠的度数为 ．9．如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB ，若EC ＝1，那么EF ＝ _________ .10．如图，AD 是ABC △的中线，45ADC ∠=o ，2cm BC =，把ACD △沿AD 对折，使点C 落在E 的位置，那么BE = cm ．BA第9题图CEOF二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分） 11．下列关于x 的方程一定有实数解的是（ ）A ．022=+xB ．012=--mx xC ．0222=+-x xD ．02=-+m x x12．下列命题中，不正确的是（ ） DABC第8题图（A ）各有一个角为95°，且底边相等的两个等腰三角形全等； （B ）各有一个角为40°，且底边相等的两个等腰三角形全等；（C ）各有一个角为40°，且其所对的直角边相等的两个直角三角形全等； （D ）各有一个角为40°，且有斜边相等的两个直角三角形全等．13．在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，︒=∠15B ，AC ＝2，如果将这个三角形折叠，使得点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N ，那么BN 等于（ ）．（A ） 2 （B ） 4 （C ） 6 （D ） 8 14．已知函数)0(≠=k kx y 中y 随x 的增大而增大，那么它和函数(0)ky k x=≠在同一直角坐标平面内的大致图像可能是（ ）．(A ) (B ) (C ) (D )三、计算题（本大题共3题，第15、16题各6分，第17题8分，满分20分） 15．用配方法解方程：01242=--x x16．计算： 86218322xx x x x x ++17．已知函数21y y y +=，1y 与x 成反比例，2y 与2-x 成正比例，当1=x 时，1-=y ，当3=x 时，5=y 。
八年级数学寒假班讲义二10讲：八年级开学备考(二)
学科教师辅导讲义第9题图第10题图∴______∥_______（）．∴∠1=_________（）．∵∠1=65°（已知），∴∠C=65°（）．7．把命题“两个无理数的积仍是无理数”改写成“如果……那么……”的形式结果是_____ ____，那么_______ ___．8．命题“直角都相等”的题设是______ __，结论是_______ _____．9．如图，已知∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°，则∠A=________．10．如图，已知DB平分∠ADE，DE∥AB，∠CDE=82°，则∠EDB=_____，∠A=______．三、解答题（共49分）11．判断下列命题的真假，若是假命题，举出反例．（15分）（1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；（2）若a+b=0，则ab=0；（3）若ab=0，则a+b=0．12．（10分）如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A=27°，∠D=20°，求∠ACB与∠B的度数．13．（10分）如图，∠A=65°，∠ABD=∠DCE=30°，求∠BEC的度数．14．（14分）如图，AB∥DE．（1）猜测∠A，∠ACD，∠D有什么关系，并证明你的结论．（2）若点C向右移动到线段AD的右侧，此时∠A，∠ACD，∠D之间的关系，仍然满足（1）中的结论吗？若符合，请你证明；若不符合，请你写出正确的结论并证明（要求：•画出相应的图形）．第三部分经典证明例题解析在证明举例中，主要学习了以下几种题型：题型一：证明两条线段相等；题型二：证明两线平行；题型三：证明两线垂直；题型四：证明两角相等；题型五：证明线段或角的和差倍；题型六：证明两次全等；证明线段相等的方法要证明两条线段相等，一般的思路是从结论入手，结合已知分析，主要看要证明的两条线段分布的位置怎样，无外乎有三种情况：（一）要证明的两条线段分别在两个三角形中——利用全等三角形；一般的思路是证三角形全等——两全等三角形中对应边相等。
学而思初二数学寒假班第5讲.梯形.提高班.教师版
梯形初步寒假班第三讲漫画释义找梯形四边形 1级平行四边形四边形 3级梯形四边形 2 级矩形、菱形、正方形寒假班第四讲寒假班第五讲题型切片（两个）对应题目题型目标梯形的定义、等腰梯形的性质及判定例 1；演练 1；例 2 ；例 3 ；演练 2 ；梯形中的常见辅助线例 4 至 6；演练 3 至 5 ；例 7；本讲内容主要分为两个模块，其中模块一主要为梯形的定义、等腰梯形的性质及判定，主要重点练习了和等腰梯形相关的题型，并强化了等腰梯形的性质及判定，学生尤其需要注意的是等腰梯形对角线相等这个性质，比较容易被忽视；模块二主要归纳了梯形中的常见辅助线的作法，老师可以结合班内情况重点对例 6 进行深入拓展，本题可以用梯形中所有的做辅助线的方法，是一道经典题目；本讲的最后一部分是 2013 年北京中考试题，题目难度不大，但是综合了平行四边形，勾股定理等相关知识点，综合性较强．知识互联网题型切片初二寒假·第 5 讲·提高班·教师版模块一梯形的定义、等腰梯形的性质及判定等腰梯形的性质示例剖析①两腰相等②同一底上的两个角相等③对角线相等AD⑴AB=DCO⑵ ABC DCB⑶AC=DBBC判定①两腰相等的梯形是等腰梯形② 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形③对角线相等的梯形是等腰梯形例 1】⑴ 下列说法正确的是（）A ．梯形是特殊的平行四边形B ．等腰梯形的两底角相等C．有两邻角相等的梯形是等腰梯形D．有且只有一组相邻角为直角的四边形是直角梯形⑵ 如图是六个等边三角形组成的一个正六边形，请问图中共有个平行四边形，_____ 个等腰梯形．⑶ 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC ，对角线BD BC ，ADAB，则 A ___ ．⑷如图，直角梯形 ABCD 中， AB//CD ，CB⊥AB，△ ABD 是等边三角形，若 AB=2，则 BC=解析】⑴ D；⑵ 6； 6；⑶ 108°；⑷ 3 ．A初二寒假·第 5 讲·提高班·教师版例2】 如图，在梯形 ABCD 中， AB∥DC ， DB 平分 延长线于点 E ，且 C 2 E ．⑴ 求证：梯形 ABCD 是等腰梯形．⑵ 若 BDC 30 ， AD 5 ，求 CD 的长． 解析】 ⑴ ∵ AE∥ BD∴ E BDC∵ DB 平分 ADC ∴ ADC 2 BDC=2 E 又 ∵ C 2 E ∴ ADC C∴梯形 ABCD 是等腰梯形⑵ 由⑴ ，得 C 2 E 2 BDC 60 ，且 BC AD5∵在 △BCD 中， C 60 ， BDC 30DBC 90 ∴ DC 2BC 10已知，如图，在△ ABC 中， AB=AC ，BE ⊥AC 交 AC 于点 证：四边形 DBCE 是等腰梯形∵ AB=AC ∴ ABC ACB∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ∴ BDC= CEB =90°在 △ BDC 和 △ CEB 中 CDB BECABC ACB BC CB∴△BDC ≌△CEB （AAS ） ∴BD=CE ， CD=BE ∵ AB=AC ∴ AD=AE ∴ ADE= AED在 △ ADE 中， A ADE+ AED =180 在 △ ABC 中， A ABC+ ACB =180 ∴ ADE= ABC ∴DE//BC∵在△ABC 中，BD 、CE 交于一点 ∴BD 与 CE 不平行 ∴ 四边形 DBCE 是梯形 ∵ BD CE∴ 梯形 DBCE是等腰梯形ADC ，过点 A 作 AE ∥BD ，交 CD 的例 3】 E ，CD ⊥AB 交 AB 于 D ，求C类型图形作法本质典型应用与高有关ADB EFC过A 作AE BC 于E ，过D 作DF BC于F （简称作双高）把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形面积计算与腰有关ADB A E C过D作DE∥AB 交BC 于E （平移一腰）把梯形转化为一个平行四边形和集中两腰、上下底之差的三角形（△DEC ）梯形中四边关系AD EBA D EB C过C作CE ∥ AB ，交AD 延长线于E（平移一腰）A E DB M N C过E 作EM ∥ AB交BC 于M ，EN∥DC 交BC 于N（平移两腰）把梯形转化为两个平行四边形和一个集中两腰和上下底之差的三角形（△EMN ）EA DBDC分别延长BA、CD交于点E （补成三角形）把梯形补全为△EBC梯形中构造特殊三角形与对角线有关ADBOEB C E过D 作DE ∥ AC交BC 延长线于E（平移对角线）把梯形转化为一个平行四边形（ADEC ）和一个集中两条对角线与上下底之和的三角形（△BDE ）集中对角线与腰ADBA MB C E连接AM 并延长交BC 延长线于E（倍长类中线）将梯形切割拼接成一个与它面积相等的三角形（△ABE）梯形的中位线证明；初二寒假·第 5 讲·提高⑴60°．可平移一腰得到等边三角形 ⑵ 18 ．可平移一腰（或延长两腰）得到含 30 的直角三角形，用直角三角形的性质得答∥AB 、EN∥CD 交BC 于 M 、 N ．（也可延长两腰，则需证明三点 共线）例5】 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，∠BOC = 120 ， AD = 2，BC = 4．求等腰梯形 ABCD 的面积．AD 3， AB 4 ， BC 7 ， 则 B = ⑵ 在梯形 ABCD 中， AB∥CD ， A 为．60 ， B 30 ， AD CD6 ，则 AB 的长度⑶ 如图，在梯形 ABCD 中， B 52 ， 是 AD 、 BC 的中点，则 EF 的长度为C 38 ， AD 6 ， BC 10，点E 、F 分别解析】案．⑶ 过点 E 作点评】 BC∵ AE DE ， 90 ， ∴ MEN 90又 ∵ BM AE BF CF DE CN∴ MF NF ， 1∴EF MN2 在 梯 形 ABCD MN BC AD 4， B C 90 ， EF 是 两 底 中 点 的 连 线 （ BC AD），则 EF BC AD ．2的 中 点 有 关夯实基⑴ 等腰梯形 ABCD 中， AD∥ BC ，例梯形拼成三角或四边能力提解析】E作 DE ∥AC ，交 BC 延长线于 E，作 DF⊥BE于F．∵ AD ∥ BC ，∴ ACED 是平行四边形，∴ DE = AC ， CE = AD ．又∵梯形 ABCD 是等腰梯形，∴ AC = DB ，∴ DB = DE ．∴△ DBE 是等腰三角形．∵∠ BOC=120°，AC∥DE，∴∠ BDE =120°．∴∠DBE=∠DEB=30°．又∵DF ⊥BE，1 1 1 1∴BF=EF= BE = (BC+CE )= (BC+AD)= (4＋2)=3．2 2 2 21在 Rt △ DBF 中， BD2=BF 2＋ DF 2，DF= BD，2 ∴DF=3 ．11∴SABCD (AD BC) DF = (2 4) 3 =3 3 ．22∴等腰梯形 ABCD 的面积是3 3 ．例 6】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，B 90 ，C45 ，AD 1，BC 4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF 的长．解析】解法过点D作DG BC于点G．∵ AD∥BC ，B 90 ，∴ A 90 ．可得四边形ABGD 为矩形．BG AD 1 ，AB DG．BC 4 ，∴GC 3．DGC 90 ， C 45B GF C13 又∵E 为 AB 中点， ∴ BE AB ． 22∵ EF∥DC ，3在 △BEF 中， B 90 ，∴ EF 2 ．2 解法二：延长 FE 交 DA 的延长线于点G ．∵ AD∥BC ，EF∥DC ，∴四边形 GFCD 为平行四边形， G 1． ∴ GD FC ．∵ EA EB ， 2 3 ，∴ △GAE≌△ FBE ． ∴AG BF ． ∵ AD 1， BC 4 ，设 AG x ，则 BF x ， CF 4 x ， GD x 1 ．真题赏析例7】 如图，在 YABCD 中， F 是AD 的中点，延长 BC 到点 E ，使2CE BC ，连接 DE ， CF ．3⑴求证：四边形 CEDF 是平行四边形；⑵若 AB 4， AD 6 ， B 60 ，求 DE 的长．（ 2013 北京中考）解析】 ⑴在 YABCD 中， AD ∥BC∵ F 是 AD 中点 .11∴ DF AD ，又 ∵ CE BC .22∴ DF CE 且 DF ∥ CE ∴四边形 CEDF 为平行四边形∴ x 1 4 x ． 解得 x3 2． ∵ C 45 ，∴ 1 45 ．在 △ BEF 中， B 90 ，EF 1 2 3 42 ． 2 点评】 此 外，本题方法还有：⑴ 延长 BA ，CD 交于一点； ⑵ 过点 A 作 DC 的平当然不排除还有其它方法，此题几乎囊括了梯形所有常见的辅助线作法，比较具有代表性．⑵过 D 作 DH BE 于H 在 YABCD 中 ∵ B 60 ∴ DCE 60 ∵ AB 4 ∴ CD 4∴ CH 2 ， DH 2 3 1在 YCEDF 中， CE DF AD 32∴ EH 1在 Rt△ DHE 中 DE (2g 3)21213分析】梯形题目掌握起来比较容易上手，学生只要熟练掌握几种常见的作辅助线的方法即可，学有余力的班级，老师可以带着学生进行下面一道题目的探究巩固本讲知识．如图，在梯形 ABCD 中，AB∥ CD ，E 是 AD 的中点， BEC 90 ．求证： BC ABCD ．如图，延长 BE 交CD 的延长线于 F 在 △ABE 和△DFE 中点评】 此 题是道经典题型，老师们可以在此题的基础上进行拓展和变形，比如：⑴ 将上题中的 “ BEC 90 ”与“BC AB CD ”交换位置，其它条件不变，你会探究】解析】A FDE ， AE DE ， ∴ △ ABE≌△ DFE ， ∴ BE ∴ CF CD DF AB CD AEB DEF∵ CE BF ， BE EF ，∴ EF ， A B DF BC CF AB CD ．证明吗？⑵ 此题中还可以拓展为：在梯形ABCD中，AB∥CD ，①E是AD的中点；② BEC 90 ；③BC AB CD；④ BE平分ABC；以上四个条件，除由②③ 不能推出①④ 外，由其它任意两个作条件，均个结论，老师可适当可推出另两补充思维拓展训练（选讲）训练1. ⑴在等腰梯形 ABCD中， AD∥BC，对角线 AC⊥BD 于点O， DF ⊥ BC，垂足分别为 E、F，AD= 4，BC =8，则 AE+EF =（ A．9 B．10 C．11⑵如图，形折叠，解析】⑴B训练2.如图，解析】AE⊥BC ， )D．20在梯形 ABCD 中，∠ DCB=90°，AB∥CD ，AB=25 ，点 A 恰好与点 D 重合， BE 为折痕，那么 AD 的长度为；⑵ 30（提示：作高运用勾股定理求边）在梯形 ABCD 中，AD//BC，BD⊥DC ，∠ C=60°， AD= 4，BC=6，过点 A作 AE⊥BD，垂足为E．∵BD⊥DC，∠C=60°，BC=6，∴∠ 1= 30°，CD=3， BDAD//BC ，∠ 2=∠1=30°AE⊥BD，2 ，DE 2 3BDAD=4，AEBE DE 33 23 3．∴ AB AE2BE27．训练 3. 如图，在△ ABC中，ACB 90 ，初二寒假·第 5 讲·提高班·教师版BC=24．将该梯求 AB 的长．1DE∥AC且DE AC，点 F 在 AC延长线上，且2CF 1 AC ．求证：四边形 ADEF 是等腰梯形．2【解析】连接CD ，过点D 作DH AC 于点H ，易知四边形DHCE 为矩形，1∴HC DE AC2∴HC AH又∵ DH AC∴DA DC11∵DE AC,CF AC,DE∥ AC22∴DE CF,DE ∥CF∴四边形DEFC 为平行四边形∴DC EF∴DA EF又∵DE ∥AF∴四边形ADEF 是等腰梯形训练4. 在梯形 ABCD 中， AD//BC ，C 90°，E为CD的中点， EF//AB交BC于点F ．⑴求证：BF AD CF ；⑵当AD 1，BC 7，且BE平分ABC时，求EF 的长．初二寒假·第 5 讲·提高班·教师版解析】 ⑴延长 AD 交 FE 的延长线于 N ， Q NDE FCE 90 °，DEN FEC ， DE CE ，∴△NDE ≌△ FCE ． ∴DN CF ．Q AB∥FN ，AN ∥BF ，∴四边形 ABFN 是平行四边形．∴BF AD DN AD FC ．⑵Q AB∥ EF ，∴ ABE BEF Q ABE CBE ，∴ CBE BEF ．∴EF BF ． ∴EF AD CFAD BC 1 74．A D A DD ，这种题型要确定梯形的腰与底，为此需分类 讨论，解题的关键是，给出四条线段要构成梯形需满足一定的条件．如下图，需满足： b cd a （利用三边关系演练 2】 如图，这是一张等腰梯形纸片，它的上底长为 2 ，下底长为 4，腰长为2 ，这样的纸片共有 5 张．打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形，那 么你能拼出哪几种不同的等腰梯形 ?分别画出它们的示意．图．．，并写出它们 的周长． 解析】 如 图：知识模块一 梯形的定义、等腰梯形的性质及判定 课后演练 【演练 1】 ⑴如图，等腰梯形 ABCD 中， AB∥ CD ，对角线 AC 平分BAD B 60 CD 2 ABCD⑵若等腰梯形的三边长分别为3， 4， 11，则这个等腰梯形的周长是（ C ．21或 29D ．21或 22或 29解析】 ⑴ 3 3 ；⑵ B ．分析：很多学生会错选 CAc知识模块二 梯形中的常见辅助线 课后演练演练 3】 如图，在等腰梯形 ABCD 中，已知 AD∥BC ，AB DC ，AD到 E ，使 CE AD ．⑴ 写出图中所有与 △ DCE 全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；⑵ 探究当等腰梯形 ABCD 的高 DF 是多少时，对角线 AC 与 BD 互相垂直？请回答并说 明理由． 解析】 ⑴ △CDA≌△DCE ， △BAD≌△DCE ；① △CDA≌△ DCE 的理由是： ∵ AD ∥ BC ∴ CDA DCE又∵ DA CE ， CD DC ∴ △CDA ≌△ DCE或②△BAD≌△DCE 的理由是： ∵ AD ∥ BC∴CDADCE又∵四边形 ∴ BADABCD 是等腰梯形，CDA 又∵ AB CD ， AD CE ∴ △BAD≌△DCE⑵ 当等腰梯形 ABCD 的高 DF 为 3时，对角线 AC 与 BD 互相垂直． 理由是：设 AC 与 BD 的交点为点 G ，∴ AC DB又∵ AD CE ， AD∥BC∴四边形 ACED 是平行四边形， ∴ AC DE ， AC∥ DE ∴ DB DE2 ， BC 4 ，延长 BC四边形 ABCD 是等腰梯形， 2 4 2 4 2(2) 周长为 34则BF FE又∵ BE BC CE BC AD 6初二寒假·第 5 讲·提高班·教师版∴ BF FE 3∵ DF 3∴ BDF DBF 45 ， EDF DEF 45∴ BDE BDF EDF 90又 ∵ AC∥ DE ∴ BGC BDE 90 ，即 AC BD ．演练 4】 已知：如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC ， AB DC 数及 AC 的长． 解析】 解法一：∵ AD∥BC ，∴四边形 AECD 是平行四边形．∴ AD EC ， AE DC ．∵ AB DC AD 2， BC 4 ，∴ AE BE EC AB ．可证 △BAC 是直角三角形， △ABE 是等边三角形．∴ BAC 90°， B 60°．在 Rt △ ABC 中， AC 2 3 ．∴ B 60°， AC 2 3．解法二：分别作 AF BC ， DG BC ， F 、G 是垂足∴ AFB DGC 90°．∵ AD∥BC ，∴四边形 AFGD 是矩形．∴ AF DG ．∵ AB DC ，∴Rt△AFB≌Rt△DGC ．∴ BF CG ．∵ AD 2 ， BC 4 ，∴ BF 1 ．在 Rt △ AFB 中，AB 2BFB 60°． BF 1，AF 3．FC 3，由勾股定理，得 AC 2 3 ． 过 A 点作 AE∥DC 交BC 于点 E ．AD 2， BC 4．求 B 的度 C解析】 ⑴ 解：分别过 A 、D 作 AE BC 于E ，DF BC 于F ． ∴ AB CD ， EF AD ， BE CF∴ AE DF 4∵ AD 5∴ EF 5∵ BC 11∴ BE 3∴ CD AB BE 2 AE 2 5∴ AB BC CD AD 26⑵ 证明：过 D 作 DE ∥ AC 交 BC 延长线于 E ． ∴ BO C BDE ∵ AD BC∴四边形 ADEC 为平行四边形 ∴ CE AD ， AC DE ∵ AC BD∴ DE BD∵ AD 3， BC 7 ， BD 5 2 ∴ BE 10， BD DE 5 2 ∴ BD 2 DE 22 2 BE 2 ∴ B 60°， AC 2 3 ．点评】 此 题的方法二中用到了： 如果一个直角三角形一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为 30°，这个定理可以让学生了解一下，到初三学习三角函数后就能直接用 了，所以建议老师以第一种方法为主． 另外可以总结有关梯形的一个规律： 如果一个等腰梯形有一底边等于另一底与一腰的和，则该底边的两底角为60°．（可用平移一腰来证明） AD∥ BC ． BC 11，梯形的高为 4 ，求梯形的周长；BC 7， BD 5 2，求证： AC BD ．演练 5】 在等腰梯形 ABCD中， ⑴ 如图 1，若 AD 5 ， 图∵四边形 ABCD 为等腰梯形， AD∥ BCAD∴BDE 90 ∴ BOC 90E第十六种品格：感恩感恩地活着史蒂文斯失业了，一切来得那么突然。
八年级数学寒假班讲义二11讲：八年级开学备考复习(三)
学科教师辅导讲义例3：如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE 平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.二、轨迹例4：已知：∠MON及点A、B，求作点P，使PA=PB，且点P到∠MON两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）三、直角三角形的全等判定和性质例1：如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE||AC,EF⊥AD交BC延长线于F．求证：∠FAC=∠B．图10FCDBAE例2：如图，AD ∥BC,AD =12BC,CE 垂直平分AB ，垂足为E ．求证：∠1=∠2=∠3．例3：如图, ,,A C MON OM AB ON B CD ON D ∠⊥⊥、是的边上两点于于， 若1OA=,OB=CD,OD+AB=12求MON ∠的度数．例4：如图，已知在ABC ACB AC BC AE BE E AE BD ∠==⊥=V 中，，，于，． 求证：BD ABC ∠平分．四、勾股定理和两点间距离公式例1：如图，长方形ABCD 中，AD=10，AB=8，将长方形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 点，求EF 及AE 的长.EACBD8、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） 二、解答题1.如图在Rt △ ABC 中，∠C=90°AC ＞BC,AB 的垂直平分线与AC 相交于点E,联结BE,若∠CBE ∶∠CEA=1∶4,求∠A 和∠ABC 的度数 EADCB2、如图已知BE,CE 分别为△ ABC 的两个外角平分线，EP ⊥AM, EQ ⊥AN 求证： （1） EP=EQ（2） 点E 在∠NAM 的平分线上MPB ENQ CA3．如图，△ABC 中，∠C=90°，点D 是AB 边的中点，E 、.F 分别在CA 、CB 上，且∠EDF =90°．求证：DE=DF ．CAEF DB4.已知：如图，△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，M 是BC 的中点，MN ⊥DE ，垂足为N ． 求证：DN=EN ．5、已知直角坐标平面内的两点分别为A （3，3），B （6，1）,设点P 在x 轴上，且PA=PB ，求点P 的坐标.6、已知：如图，ECD ∆∆和ABC 都是等腰直角三角形，090=∠=∠DCE ACB ，D 为AB 上一点. 求证：222DE AE AD =+.A B AE ND M B C课后作业：一：填空选择题1．△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=2，点O是AB的中点，直线l是线段AO的垂直平分线，那么下列命题中，错误的是 ( )A．直线l不经过C点 B．点C在直线l上C．直线l与AC边相交 D．直线l与BC边相交2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=12AB ,D是AB的中点，DE ⊥BC于E，图中等于60°的角有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是斜边上的高，则下列结论中，正确的是 ( ) A．AD=2BD B．2AD=5BDC．AD=3BD D．AD=4BD4．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，CE是斜边AB上的中线，那么下列结论中，错误的是 ( )A．∠ACD=∠BB．∠ECB=∠DCEC．∠ACD=∠ECBD．∠B = ∠A-∠ECD5．下列定理中，没有逆定理的是 ( )A．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等B．在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半C．如果两个三角形全等，那么它们的周长相等D．有两余边相等的三角形是等腰三角形6.等腰直角三角形斜边上的中线为lOcm，则此等腰直角三角形的面积为_____________2cm7．如图△ABC中，AB=AC，∠A：∠B：∠C=4:1:1，BD=DC．DE⊥ AB于E，则AE：EB=_______________________.3.如图，正方形ABCD中，BD∥AE ,BD=BE ，BE交AD于F．求证：(1)∠EBD=30°；(2)DE=DF．4.如图，已知：BAC CBF∠∠与的平分线相交于P，联结CP，分别过点B、C作PC、PB的垂线交AC、AB的延长线于E、F，G、H为垂足。
八年级下数学培优班寒假讲义
第十六章 分式一、本单元 知识结构图：1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ） 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n n aa 1=- （)0≠a 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=⋅； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方：n n n b a ab =)(；（4）同底数的幂的除法n m n m a a a -=÷( ≠0)；（5）商的乘方：n nn ba b a =)(()；(b ≠0)bcadc d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;CB C A B A ÷÷=7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
初二寒假讲义
DC BA初二数学第一讲 复习专题——— 三角形一、学习要求：1、掌握三角形辅助线的基本做法。
2、能够掌握几何中常见的几何证明和计算 二、知识梳理方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
三、典型例题（一）、倍长中线（线段）造全等例1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.EDFCBA例2：如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.练习：如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CB A总结：如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
（二）、与角平分线的辅助线作法过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1、△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.E DGFCBA例2、已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。
八年级上册数学寒假讲义(北师大版)
八年级上册数学寒假讲义(北师大版)第一章：整数1.1 正负数的概念与运算- 正数的概念：表示数轴上的右侧数- 负数的概念：表示数轴上的左侧数- 正数与负数的运算：有正有负，符号与绝对值相加1.2 整数的加法和减法- 整数加法：同号相加，异号相减，结果取相同符号- 整数减法：整数减去一个负数，相当于整数加上这个负数的绝对值1.3 整数的乘法和除法- 整数乘法：同号得正，异号得负- 整数除法：除以正数得正，除以负数得负第二章：分数2.1 分数的概念与运算- 分数的概念：表示一部分与整体的比例关系- 分数的加减法：通分后，分子相加减，分母保持不变- 分数的乘法：分子相乘，分母相乘- 分数的除法：乘以倒数2.2 分数与整数的转化- 分数转化为整数：分子是分母的整倍数- 整数转化为分数：整数作为分子，分母为12.3 分数与小数的转化- 分数转化为小数：除法运算- 小数转化为分数：小数部分作为分子，分母是位数的10的次幂第三章：代数式与方程3.1 代数式的概念与运算- 代数式的概念：表达式中含有字母的式子- 代数式的加减法：同类项相加减，按字母排序- 代数式的乘法：分配律，相似项合并- 代数式的除法：使用分配律和消去法则3.2 一元一次方程- 一元一次方程的概念：含有一个未知数的一次方程- 解一元一次方程的方法：等式两边相等，去括号、同类项合并，移项、系数约分- 一元一次方程的应用：解决实际问题3.3 一元一次方程组- 一元一次方程组的概念：含有两个或多个未知数的一次方程组- 解一元一次方程组的方法：代入法或消元法- 一元一次方程组的应用：解决实际问题以上内容为八年级上册数学寒假讲义的简要概述。
具体内容请参考北师大版八年级上册数学教材。
八年级数学寒假班讲义1第6讲：一元二次方程
学科教师辅导教案学员姓名：杨添学科教师：徐泽文年级：初二辅导科目：数学授课日期时间主题一元二次方程教学内容1．掌握开平方法、因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程并能用适当的方法解一元二次方程；2．了解一元二次方程根的判别式的意义，能用一元二次方程根的判别式判别一元二次方程根的情况，学会运用一元二次方程判别式解决相关应用问题；3．会列一元二次方程解面积问题、增长率问题等常见的应用题．案例：比赛（握手）、互送礼物问题问题1：要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场（即单循环比赛），现有x支球队，一共要比赛n场．①当x＝2时，n＝场；②当x＝3时，n＝场；③当x＝4时，n＝场；……④根据以上规律，探讨x与n的关系，n＝．问题2：生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，现有x名兴趣小组的同学，一共要赠送标本n件．①当x＝2时，n＝件；②当x＝3时，n＝件；③当x＝4时，n＝件；……④根据以上规律，探讨x与n的关系，n＝．练习：运用以上知识，解决下列问题：（1）要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间比赛一场，计划安排28场比赛，设有x 支球队参加比赛，则所列方程化为一般形式为： ．（2）一个小组有x 人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则所列方程化为一般形式： ．（3）参加一次同学聚会，每两个人都握了一次手，所有人共握手56次．设有x 人参加聚会，则所列方程化为一般形式为： ．（4）某次足球赛采用“主客场”制，即每支球队在主场与其他球队比赛一场，在客场与其他球队比赛一场.已知此次比赛一共赛了56场，设有x 支球队参加，那么所列方程为： ．例题1：解方程：()()21112x x ---=．试一试：若()()230x y x y +--+=，则x y +的值为 。
思考：如果将本题改为若()()2222230x y x y +--+=，则22x y +的值为 。
人教版初二数学寒假高分班讲义
实战演练
知识模块一 一元二次方程的概念 课后演练
【练习1】 ⑴ 已 知 x 2 是 一 元 二 次 方 程 x2 mx 2 0 的 一 个 解 ， 则 m 的 值 是 ___________． ⑵ 若方程 2kx2 x k k 2 0 有一个根是 0，则 k 的值是____________． ⑶ 如果 x 1 是关于 x 的方程 2x2 3ax 2a 0 的根，那么关于 y 的方程 y2 3 a 2 的根是________________． ⑷ 已 知 3 是 关 于 x 的 方 程 x2 2x 3a 1 0 的 一 个 根 ， 则 3a 1 的 值 是 _____________．
ax2 bx c 0(a 0) 的一个根．
02 0 0 ，则 0 是方程 x2 x 0
的 另 一 个 根 ． ∴ 0,1 是 方 程
x2 x 0 的 两 个 根 ， 表 示 为
一元二次方程都可化成如下形式：
x1 =0, x2 =1
ax2 bx c 0 （ a 0 ）．
一元二次方程 2x2 2x 1 0 ， 其中 a 2，b 2，c 1 ．
系数为 b ； c 为常数项．
一元二次方程的根：
1 满 足 12 1 0 ， 则 1是 方 程
如果 x0 满足 ax02 bx0 c 0(a 0) ，则 x0 就是方程 x2 x 0 的 一 个 根 ． 0 满 足
二次方程；当 m _________时，方程为一元一次方程； ⑵已知 m 是方程 x2 x 1 0 的一个根，求代数式 5m2 5m 2008 的值；
⑶已知 a 是 x2 2009x 1 0 的根，求 a2 2008a a2 1 的值． 2009
学而思初二数学寒假班第1讲.一元二次方程认识初步.提高班.教师版
围图形漫画释义满分晋级阶梯1一元二次方程的基本解法方程10级 判别式与求根公式方程9级一元二次方程的基本解法 方程8级分式方程题型切片（四个） 对应题目题型目标一元二次方程的概念例1；例2；练1； 直接开平方法解一元二次方程 例3；例4；练2； 配方解一元二次方程 例5；例6；练3；练4； 因式分解法解一元二次方程例7；练5．本讲内容的思路非常简单，主要学习一元二次方程的概念及三种解法，公式法则放到了下一讲，因为学完公式法就可以和判别式联系在一起学习。
这一讲共分为四个模块，模块一主要讲解一元二次方程的基本概念，首先要先会判断一个方程是不是一元二次方程以及一元二次方程的项数组成，所以例1给出了这样的练习，这里面有一些易错点，希望老师给同学们强调到位。
接下来例2是针对一元二次方程的概念经常遇到的几种出题的形式，继续加强概念的理解。
编写思路知识互联网题型切片下面三个模块就是针对一元二次方程的不同解法进行练习，这些例题中都有不同的题型， 希望通过这部分的练习让同学们见到不同形式的方程，才能达到练一抵百的效果。
定 义示例剖析一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ⑴整式方程．⑵方程中只含有一个未知数．⑶化简后方程中未知数的最高次数是2．⑷二次项的系数不为0 22210x x -+=此方程满足： 整式方程；只含有一个未知数x ；x 的最高次数是2，系数是2所以这个方程是一个一元二次方程．一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠． 其中2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项． 一元二次方程22210x x -+=， 其中221a b c ==-=，，． 一元二次方程的根：如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根．1满足2110-=，则1是方程20x x -=的一个根．0满足2000-=，则0是方程20x x -=的另一个根．∴0,1是方程20x x -=的两个根，表示为12=0, =1x x一元二次方程都可化成如下形式： 20ax bx c ++=（0a ≠）． 1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．2．一般形式中，b 、c 可以是任意实数，而二次项系数0a ≠，若0a =，方程就不是一元知识导航模块一 一元二次方程的概念二次方程了，也未必是一次方程，要对b 进行讨论．3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定a 、b 、c 的值，不要漏掉符号．．．．． 4．项及项的系数要区分开．建议 强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今后学习基本初等函数时也要使用．【例1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程．⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵413x =+ ⑶ 210x -=； ⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2233x x +=-；⑺ 2320mx x -+=（m 为常数） ⑻ ()()2212150a x a x a ++-+-=（a 为常数）．【解析】 ⑴⑶⑷⑻易错点：二次项前面的系数不为0，和一次项前面系数及常数项无关；⑵是分式方程；⑸是二元方程；⑹整理后是一元一次方程；⑺当0m =时，是一元一次方程；⑻因为210a +≠永远成立，所以无论a 为何值，方程⑻都是一元二次方程．⑴，⑶，⑷，⑻是一元二次方程．判断一个方程是什么方程，必须化简成最简形式再判断.2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴ 2216x x -=； ⑵ ()()3213x x x -+=-； ⑶ ()()()3253115x x x x ++--=； ⑷ 23323x x x ++=-．【解析】 ⑴ 22610x x --=；261--，，；⑵ 2310x +=；301，，；⑶ 2120x x -=；1120-，，⑷ ()2231330x x +++-=；123133+-，，【例2】 ⑴关于x 的方程()()2293510m x m x m -+++-=，当m ________时，方程为一元二次方程；当m =_________时，方程为一元一次方程．⑵已知m 是方程210x x --=的一个根，求代数式2552008m m -+的值；能力提升夯实基础⑶已知a 是22009+1=0x x -的根，求22+120082009a a a --的值．【解析】 ⑴3m ≠±；3；易错点：容易忽略当其是一次方程时一次项系数不为零 ⑵∵m 是方程210x x --=的一个根，∴210m m --=()225520085120132013m m m m -+=--+=．⑶1-．结合一元二次方程根的定义，采用整体思想求解a 是2-2009+1=0x x 的根，∴2-2009+1=0a a ，∴22+1-2008-2009a a a 22009-2009+2009aa a a =-1=-定 义示例剖析直接开平方法：对于形如2x m =或()2ax b m+=()00a m ≠≥，的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解．()211x +=11x +=或11x +=-1202x x ==-，【例3】 用直接开平方法解关于x 的方程：⑴ ()()323212x x +-=； ⑵ ()22463x -=； ⑶ ()2x m n -=； ⑷ ()2214x b c -=+夯实基础知识导航模块二 直接开平方法解一元二次方程【解析】 ⑴ 124433x x ==-，；⑵ 1217x x ==，；⑶ 当0n ≥时，12x m n x m n =+=-，；当0n <时，无实数根． ⑷ 当40b c +≥时，214x b c -=±+，∴114b c x ++=，214b cx -+=；当40b c +<时，无实数根．注意：1.方程的两边应同时开方2.开方后，方程的一边应有正负号，即有相等和互为相反数两种情况。
初中八年级数学培优竞赛辅导讲义全册(213页)
初中八年级数学培优竞赛辅导讲义（共213页，按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节）第1讲全等三角形的性质与判定 (2)第2讲角平分线的性质与判定 (12)第3讲轴对称及轴对称变换 (17)第4讲等腰三角形 (25)第5讲等边三角形 (37)第06讲实数 (43)第7讲变量与函数 (50)第8讲一次函数的图象与性质 (55)第9讲一次函数与方程、不等式 (64)第10讲一次函数的应用 (69)第11讲幂的运算 (81)第12讲整式的乘除 (87)第13讲因式分解及其应用 (94)第14讲分式的概念•性质与运算 (101)第15讲分式的化简求值与证明 (109)第16讲分式方程及其应用 (118)第17讲反比例函数的图象与性质 (126)第18讲反比例函数的应用 (139)第19讲勾股定理 (146)第20讲平行四边形 (158)第21讲菱形与矩形 (167)第22讲正方形 (175)第23讲梯形 (185)第24讲数据的分析 (194)B AC D EF 第1讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等A F C E DB D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图B （E ）OC F 图③DA【变式题组】01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D第1题图a αcca50° b72° 58°A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCEABE D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFCD 第1题图B第2题图第3题图AB C DEAEBDC＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
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第一讲 分式主要公式： 1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 例1、当x 有何值时，下列分式有意义 （1）44+-x x （2）232+x x例2、当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）42||2--x x例3、当x 为何值时，分式x-84为正；例4、已知：511=+y x，求yxy x yxy x +++-2232的值.例5已知：21=-xx ，求221xx +的值.例6、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.例7、计算：（1）mn mn m n m n n m ---+-+22；（2）112---a a a ；例8、先化简后求值1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足a=2.例9、解下列分式方程 （1）xx 311=-； （2）3423-=--x x x ；例10、若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围.例11．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇，若同向而行，则b 小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ）。
（A ）a b b + (B)b a b + (C)b a b a +- (D)b ab a-+ 例12. A 、B 两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购贷方式不同，其中，采购员A 每次购买1000千克，购贷员B 每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购贷方式合算？（ ） （A ）Ａ (B)Ｂ （C)都一样 (D)不能确定 例13．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x 公顷，根据题意列方程正确的是（ ）。
（A ）24024054x x +=+ （B ）24024054x x -=+ （C ）24024054xx +=- （D ）24024054x x -=- 例14．某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？例15．. 翻译一份文稿，用某种电脑软件翻译的效率相当于人工翻译的效率的75倍，电脑翻译3300个字的文稿比人工翻译少用2小时28分。
求用人工翻译与电脑翻译每分钟各翻译多少个字？ 练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3、若0106222=+-++b b a a ，求ba b a 532+-的值.4．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）ab abb b a a ----222；（3）b a b b a ++-22； （4）2121111x x x ++++-；7．解下列方程： （1）021211=-++-xxx x ； （2）3423-=--x x x ；8．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.第二讲 二次根式一、基础知识：1.（0a ≥）的式子叫二次根式。
2.二次根式的性质：0≥（0a ≥）②2a =（0a ≥）≥()()00a a a a ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩0a <a =- 3.二次根式的乘除：0,0)a b =≥≥0,0)a b =≥>③二次根式乘除法则的逆用。
④最简二次根式： 当二次根式满足：a.被开方数不含分母，即被开方数中因数是整数，因式是整式;b.被开方数中不含开得尽方的因式这两个条件时，我们称这样的二次根式为最简二次根式。
⑤加减实质是同类项合并。
二、例题：10,0)x y ≥≥=__________ 。
2、=•y xy 82 ，=•2712 。
3、计算：125＝_______， (6)2＝____ __ 4、计算20102009)23()23(+-＝ 5、已知4322+-+-=x x y ，则，=xy ． 6、计算：(1) 21418122-+- (2) 2)352(-7、先化简，再求值：11212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中23-=x ．8、计算：（1）451227+-； （2；（3）|1－2| +（3．14-π）0-91)21(-+9、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
10. 已知2310x x -+=11. 已知,a b (10b --=，求20052006a b -的值。
12．若x ，y 是实数，且2111+-+-<x x y ，求1|1|--y y 的值。
13.观察下列等式：①121-=2+1；②231-=3+2；③341-=4+3；……，（1）、请用字母表示你所发现的律：即nn ++11= 。
（n 为正整数）（2）化简计算：（211+＋321+＋431+＋…＋201220111+）．四、练习323.1.2.7..1ab D x C m B A +-）（式的是下列各式一定是二次根2.().2.2.2.2x A x B x C x D x ≥≤的取值范围＞＜3．在15，61，211，40中最简二次根式的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．下列各式正确的是 （ ）A ．a a =2B ．a a ±=2C ．a a =2D ．22a a = 5．若1＜x ＜2，则()213-+-x x 的值为（ ）A ．2x-4B ．-2C ．4-2xD ．26n 的最小值是（ ）A ．4；B ．5；C ．6；D ．77.如果最简根式3a－8 与17－2a 是同类二次根式，那么使4a－2x 有意义的x的范围是（ ）A 、x ≤10B 、x ≥10C 、x<10D 、x>108、若a ，b ，c 为三角形的三边，化简222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+的结果是{ }A 、a-b+cB 、a+b-cC 、a+b+cD 、-a+b+c10. 当__________11. 11m +有意义，则m 的取值范围是 。
12.2x =，则x 的取值范围是 。
13. 2x =-，则x 的取值范围是 。
14. )1x 的结果是 。
15. 当15x≤5_____________x -=。
16. 若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。
17. 若23a ，则-）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a - 18. 若1a ≤ ）A. (1a -B. (1a -C. (1a -D. (1a - 19. ）A. 0B. 42a -C. 24a -D. 24a -或42a -第三讲 勾股定理例1、已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是________________． 例2、已知两条线段的长为9cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形.例3、已知Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6，则ABC S ＝例4、已知一个三角形的三边长分别是12cm ，16cm ，20cm ，你能计算出这个三角形的面积吗？ 练习：1、在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是__________2、如果梯子底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可达到建筑物的高度是______________3、已知直角三角形的两边长分别为7和24，则第三边长为4、如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的2倍，斜边长是5 cm ，那么这个直角三角形的周长是例5、已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么它的最长边上的高为（ ）A 、6B 、8C 、245 D 、125例6、一等腰三角形底边长为10cm ，腰长为13cm ，则腰上的高为 ( )A. 12cmB. cm 1360 C.cm 13120 D.cm 513练习：1、CD 为直角三角形ABC 斜边AB 上的高，若AB = 10，AC ：BC = 3：4，则这个直角三角形的面积为（ ） A 、6 B 、8 C 、 12D 、 24A 例72、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为（ ） A 、6 B 、8C 、1380D 、1360 3、在同一平面上把三边BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB 翻折后得到△ABC ′，则CC ′的长等于（ ） A 、125B 、135C 、56D 、245例7、已知长方体的长为2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B 点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少?例8、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．例9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，•A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食 物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是_________ ．B例9B A6cm 3cm1cm例8例10、如图，公路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄， DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在公 路AB 上 建一车站E ， （1）使得C ，D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少km 处？ （2）DE 与CE 的位置关系（3）使得C ，D 两村到E 站的距离最短，E 站建在离A 站多少km 处？例11、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C 移动，且台风中心风力不变。