华师版初中数学九年级下册第27章二次函数《23.3 实践与探索(一)》

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华师版初中数学九年级下册第27章二次函数 27.3实践与探索 27.3实践与探索教案 1

27.3 实践与探索教材：华东师大版九年级下1.教学目标1）知识目标：①掌握如何将实际问题抽象出二次函数模型；②能运用函数关系中的对应法则并解释自变量取值范围的实际意义；③学会根据题意，合理建系，并准确标识题意；④能运用并合理解释二次函数模型。

2）能力目标：①数学思考能力：联系实际，感知数学与现实世界的密切联系，让学生经历数学建模过程，渗透数学建模思想，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型。

②解决问题的能力：结合具体情境，发现并提出问题，并寻找解决问题的方法。

能与他人合作交流，并通过反思来体验解决问题策略的多样性，以此来获得解决问题的经验。

3）情感目标：了解数学理论的实用价值，提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的自信心，同时借助题目中丰富的背景知识来充实自己的精神世界，形成良好的个性品质。

2.教学重点——建立并合理解释数学模型3.教学难点——实际问题数学化过程4.教学过程1）教学思路实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。

——体现构建二次函数数学模型解决实际问题的思想——通过丰富的问题情景，形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。

——合理解释相应的数学模型2）教学环节分析环节一：抛砖引玉，点明主旨环节二：自主探索，实践新知环节三：拓展转化，加深理解环节四：合作探索，学以致用环节五：反思小结，形成新知环节六：布置作业，巩固新知教学环节教师活动学生活动设计意图二、自主探索，实践新知问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。

连喷头在内，柱高为0.8m。

水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？2) 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？从简入手，忽略建系以及求解析式的过程，通过变式让学生着重体会函数关系中对应法则和自变量取值范围的实际意义。

华师大版九年级数学下册教案：26.3 实践与探索

26．3 实践与探索第1课时二次函数的应用教学目标一、基本目标会运用二次函数的图象与性质解决生活中的实际问题，培养分析和解决问题的能力．二、重难点目标【教学重点】利用二次函数解决实际问题的步骤．【教学难点】读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＞0，当x ＝－b 2a 时，函数值y 有最小值，其值为4ac －b 24a ；若a ＜0，当x ＝－b 2a 时，函数值y 有最大值，其值为4ac －b 24a .2．建立二次函数模型，解决实际问题的一般步骤：(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出所求函数的解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析判断并进行相关的计算．3．常见的二次函数模型：直观图象式：直接由物体运动的轨迹，如喷出的水流、涵洞等建立数学模型解决问题．情景应用式：根据实际问题创设情景，由所提供的条件建立数学模型解决问题．几何综合式：与几何知识结合并运用其性质建立数学模型解决问题．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A 处安装一个喷头向外喷水．柱子在水面以上部分的高度为1.25 m ，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路径落下，如图1所示．根据设计图纸已知：在图2所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54. (1)喷出的水流距水面的最大高度是多少？(2)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？【互动探索】(引发学生思考)在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点(最大高度)、与x 轴、y 轴的交点，解答题目的问题．【解答】(1)∵y ＝－x 2＋2x ＋54＝－(x －1)2＋2.25，∴顶点是(1,2.25)，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米．(2)解方程－x 2＋2x ＋54＝0，得x 1＝－12，x 2＝52，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0， ∴OB ＝52.故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外．【互动总结】(学生总结，老师点评)这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，利用抛物线的性质即可解决问题．【例2】一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图．现测得当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m?【互动探索】(引发学生思考)根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为y ＝ax 2.根据AB ＝1.6，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4 m ，那么B 点坐标应该是(0.8，－2.4)，利用待定系数法即可求出函数的解析式，继而求出点D 的坐标及ED 的长．【解答】设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2(a ＜0)．由题意，得点B 在抛物线上，且B (0.8，－2.4)，将B (0.8，－2.4)代入y ＝ax 2(a ＜0)，解得a ＝－154，∴所求函数解析式为y ＝－154x 2.设点D 的坐标为(x ，－0.9)(x >0)，则有－0.9＝－154x 2，解得x ＝65，故DE 宽度为265＜1，∴涵洞宽ED 不超过1 m.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的实际应用，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？解：球出边线了．【教师点拨】抛物线的解析式为y ＝－245(x －9)2＋5.5.代入C 点的纵坐标0，得x ≈20.12＞18，所以球出边线了．2．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管(如图1)做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图2所示的坐标系进行计算．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)计算所需不锈钢管立柱的总长度．图1图2解：(1)y ＝－12x 2＋12. (2)80米．3．如图，一位运动员在距篮下4 m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8 m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？解：(1)抛物线的表达式为y ＝－0.2x 2＋3.5.(2)0.2 m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】某跳水运动员在进行10 m 跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面1023 m ，入水处距池边的距离为4 m ，同时运动员在距水面高度5 m 或5 m 以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1)求这条抛物线的函数关系式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335 m ，问：此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．【互动探索】(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式．(2)要判断会不会失误，只要看运动员是否在距水面高度5 m 以前完成规定动作，于是只要求运动员在距池边水平距离为335 m 时的纵坐标即可．【解答】(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由题意知，O 、B 两点的坐标依次为(0,0)、(2，－10)，且顶点A的纵坐标为23，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝0，4ac －b 24a ＝23，4a ＋2b ＋c ＝－10.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－256，b ＝103，c ＝0.或⎩⎨⎧ a ＝－32，b ＝－2，c ＝0.∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴－b 2a ＞0，∴a ＝－256，b ＝103，c ＝0.∴抛物线的解析式为y ＝－256x 2＋103x .(2)此次试跳会出现失误．理由如下：由题意知，横坐标为3.6－2＝1.6，即当x ＝1.6时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－256×⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋103×85＝－163，此时运动员距水面的高为10－163＝143＜5.因此，此次试跳会出现失误．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题时，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次函数与一元二次方程、不等式的关系教学目标一、基本目标1．经历探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系的过程，体会二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．2．理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝h(h是实数)交点的横坐标．二、重难点目标【教学重点】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系．【教学难点】用图象法解一元二次不等式．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P28的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．3．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？(1)方程x2＋x－2＝0的根是x1＝－2，x2＝1；(2)方程x2－6x＋9＝0的根是x1＝x2＝3；(3)方程x2－x＋1＝0的根的情况是无实根.4．若二次函数的解析式为y＝2x2－4x＋3，则其函数图象与x轴交点的情况是没有交点.5．给出三个二次函数：①y ＝x 2－3x ＋2；②y ＝x 2－x ＋1；③y ＝x 2－2x ＋1.它们的图象分别为(1)观察图象与x 轴的交点个数，分别是2个、0个、1个．(2)你知道图象与x 轴的交点个数与什么有关吗？图象与x 轴的交点个数与对应的一元二次方程的根的情况有关．(3)能否利用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象寻找方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解？能．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】画出函数y ＝x 2－x －34的图象，根据图象回答下列问题．(1)图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？(2)当x 取何值时，y ＝0？这里x 的取值与方程x 2－x －34＝0有什么关系？(3)x 取什么值时，函数值y 大于0？x 取什么值时，函数值y 小于0?【互动探索】(引发学生思考)数形结合法：画出函数图象→根据所画图象解决问题．【解答】函数图象如图所示：(1)图象与x 轴的交点坐标为错误!、错误!，与y 轴的交点坐标为错误!.(2)当x ＝－12或x ＝32时，y ＝0，x 的取值与方程x 2－x －34＝0的解相同．(3)当x ＜－12或x ＞32时，y ＞0；当－12＜x ＜32时，y ＜0.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题常用数形结合的思想方法：(1)二次函数图象与x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．(2)利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x 轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，请你根据图象求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是x 1＝－3，x 2＝1.2．若二次函数y ＝x 2－2x ＋c 的图象与x 轴没有交点，求c 的取值范围．解：∵二次函数y ＝x 2－2x ＋c 的图象与x 轴没有交点，∴x 2－2x ＋c ＝0的判别式Δ＜0，即b 2－4ac ＝4－4c ＜0，解得c ＞1.3．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的最低点的坐标为(1，－1)，求关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的根．解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的最低点的坐标为(1，－1)，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的顶点是(1，－1)，∴当y ＝－1，即ax 2＋bx ＋c ＝－1时，x 1＝x 2＝1，∴关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的根为x 1＝x 2＝1.4．已知二次函数y ＝2x 2－4x －6.(1)此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；(2)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)通过观察图象，在x ＞0及当y ≥－6时，试求x 的取值范围．解：(1)∵y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8，∴图象开口向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－8)．画出的函数图象如下图所示：(2)∵对称轴x ＝1，图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．(3)由图知，点(0，－6)关于x ＝1的对称点为(2，－6)，∴在x ＞0及当y ≥－6时，x 的取值范围为x ≥2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知二次函数y ＝x 2－(a －1)x ＋a －2，其中a 是常数．(1)求证：不论a 为何值，该二次函数的图象与x 轴一定有公共点；(2)当a ＝4时，该二次函数的图象顶点为A ，与x 轴交于B 、D 两点，与y 轴交于点C ，求四边形ABCD 的面积．【互动探索】(1)要证明二次函数的图象与x 轴一定有公共点，可以转化为一元二次方程根的判断方法．(2)由a ＝4→确定A 、B 、C 、D 的坐标→求四边形ABCD 的面积．【解答】(1)证明：令y ＝x 2－(a －1)x ＋a －2＝0.∵Δ＝[－(a －1)]2－4(a －2)＝(a －3)2≥0，∴方程x 2－(a －1)x ＋a －2＝0有实数根，∴不论a 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．(2)由题可知，当a ＝4时，y ＝x 2－3x ＋2.配方，得y ＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－14. 当y ＝0时，x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.∴B (1,0)、D (2,0)．当x ＝0时，y ＝2，∴C (0,2)，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC ＝18＋1＝98.【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的情况即可．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．二次函数与一元二次方程有下列对应关系：0,0程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．练习设计请完成本课时对应训练！第3课时利用二次函数的图象求一元二次方程的根教学目标一、基本目标1．掌握方程与函数间的转化．2．掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．二、重难点目标【教学重点】能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．【教学难点】用图象法求解一元二次方程．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P29的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，这样求出的根是准确值吗？由于作图或观察可能存在误差，由二次函数的图象求得一元二次方程的根，一般是近似值．2．根据二次函数的图象求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的近似解的方法：(1)直接作出函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根；(2)先将方程ax2＋bx＋c＝0变形为ax2＋bx＝－c，再分别作抛物线y1＝ax2＋bx和直线y2＝－c，则两图象交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根；(3)先将方程ax2＋bx＋c＝0变形为ax2＝－bx－c，再分别作出抛物线y1＝ax2和直线y2＝－bx－c，则两图象交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．3．在难以读出交点的坐标时，我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的近似根．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】利用函数的图象，求下列方程的解：(1)x 2＋2x －3＝0； (2)2x 2－5x ＋2＝0.【互动探索】(引发学生思考)将一元二次方程转化为两个函数→利用图象法求交点坐标即可．【解答】(1)在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝－2x ＋3的图象，得到它们的交点(－3,9)、(1,1)，如图1，则方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.(2)先把方程2x 2－5x ＋2＝0化为x 2－52x ＋1＝0，然后在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝52x －1的图象，如图2，得到它们的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14、(2,4)，则方程2x 2－5x ＋2＝0的解为x 1＝12，x 2＝2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)一般地，求一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的近似解时，可先将方程ax 2＋bx ＋c ＝0化为x 2＋b a x ＋c a ＝0，然后分别画出函数y ＝x 2和y ＝－b a x －c a 的图象，得出两函数图象的交点，交点的横坐标即为方程的解．【例2】利用函数的图象，求下列方程组的解：(1)⎩⎨⎧ y ＝－12x ＋32，y ＝x 2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋6，y ＝x 2＋2x . 【互动探索】(引发学生思考)(1)可以通过直接画出函数y ＝－12x＋32和y ＝x 2的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；(2)也可以同样解决．【解答】(1)在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝－12x ＋32的图象，如图1，得到它们的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94、(1,1)，则方程组⎩⎨⎧ y ＝－12x ＋32，y ＝x 2的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－32，y 1＝94，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. (2)在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2＋2x 和y ＝3x ＋6的图象，如图2，得到它们的交点(－2,0)、(3,15)，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ＋6，y ＝x 2＋2x的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝15. 【互动总结】(学生总结，老师点评)根据题意分别画出两函数的图象，由函数图象的交点即可得出方程组的解，考查的是用数形结合的方法求方程组的解，解答此题的关键是正确画出函数的图象，找出两图象的交点坐标．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，y 与x 的部分对应值如下：C )A ．1.2＜x ＜1.3B ．1.3＜x ＜1.4C ．1.4＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜1.62．如图，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 2＝kx ＋b (k ≠0)的图象交于A (－2,4)、B (8,2)，求能使y 1<y 2成立的x 的取值范围．解：－2＜x ＜8.一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

九年级数学下册第27章二次函数27.3 实践与探索(第1课时)课件华东师大版

x1=1，x2=3
∴A (1，0) , B(3，0)
OA
B
x
P
∵二次函数y=x2-4x+3与y轴的交点是C（0，3）
∴│AB│=│3-1│=2 ，│OB│=│3-0│=3
△ABC的高=│3│=3 ，△ABP的高=│-1│=1 ∴ S△ABC=2×3÷2=3
S△COB=3×3÷2=4.5
（2）∵ S△ABP=2×1÷2=1
【解析】（1）由题意可知，
当x≤100时，购买一个需5 000元，故y1=5 000x 当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3 500元/个，所以x5≤000 3500 100 250
10
即100<x≤250时，购买一个需5 000-10(x-100)元，
故y1=6 000x-10x2；
3.（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少 10千克. （1）现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？
∴ S四边形CAPB= S△ABC +S△ABP=3+1=4
【跟踪训练】
如图，二次函数的图象经过 y
A,B,C三点.
（1）求这个二次函数的关系式.
（2）抛物线上是否存在一点
P(P不与C重合)，使△PAB的面
积等于△ABC的面积，如果存在， A -2
o
B 4
x
求出点P的坐标；若不存在，请
说明理由.
-3 C

九年级数学下册第26章二次函数26.3实践与探索26.3.1实践与探索导学案无答案新版华东师大版

实践与探索年级九学科数学课型新授授课人学习内容实践与探索（1）学习目标 1．巩固二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与性质，并运用其解决实际问题；2．在解决实际问题中体会数学“建模”、“数形结合”等思想，并感受数学的应用价值。

学习重点巩固二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与性质，并运用其解决实际问题；学习难点灵活运用二次函数解决实际问题。

导学方案复备栏【温故互查】1．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象是一条____________，它的对称轴是直线x=－ab 2，顶点是______________。

2．二次函数y=﹣2x 2+3x ﹣1的图象开口______，所以函数有最_______值，即当x=____时，y max =_________。

【设问导读】例1、某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8 m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如下图（1）所示．根据设计图纸已知：在图（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋0.8．（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（2）如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？例2、如图，一个运动员推铅球，铅球在点A 处出手，出手时球离地面约213m ；铅球落地在点B 处．铅球运行中(第1题)在运动员前4 m处（即OC＝4）达到最高点，最高点高为3 m．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？例3、一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米，高6米，如图，车辆双向通行，规定车辆必须在中心线右侧、距道路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13米的空隙。

你能否根据这些要求，建立适当的坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？例4、行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．甲车在弯路作刹车实验，收集到的数据如下表所示：速度x（千米/时）0 5 10 15 20 25 …刹车距离y（米）0 3421546354…（1）请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在下图的坐标系中画出甲车刹车距离y（米）与速度x（千米/时）的函数图象，并观察图象，估计函数类型，求函数关系式。

九年级数学下册第27章二次函数27.3实践与探索 1实践与探索第1课时课件华东师大版

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求这条抛物线的关系式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
【规范解答】(1)M(12，0)，P(6，6).………………………4分
(2)设抛物线的关系式为:y=a(x-6)2+6.
_5 _
_5 _
DE=
26
__5__
m．
(4)因为 2624＜25，所以 2 6 _<_1,即涵洞宽ED_不__会__超过
5
1 m．
【点拨】注意把实际问题转化为数学问题．
【预习思考】在问题1中,左边的抛物线的关系式是什么？
提示：yx2 2x4．
5
理由：右边的抛物线为 y x22x4左 (x 、右1 )2 抛物9,
2.在如图所示的直角坐标系中，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米(即MO=6米).小孔顶点N距水面4.5 米(即NC=4.5米)，当水位上涨刚好淹没小孔时，此时大孔的水面宽度EF=_______米.
【解析】设大孔抛物线的关系式为y=ax2+6.
即这个“支撑架”总长的最大值是15米.………12分
【规律总结】用二次函数解实际问题的步骤
1.建立合适的平面直角坐标系； 2.把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 3.用待定系数法求出抛物线的关系式； 4.用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
【跟踪训练】 1.(2011·河北中考)一小球被抛出后,距离地面的高度h(米) 和飞行时间t(秒)满足下列函数关系式:h=-5(t-1)2+6,则小球距离地面的最大高度是( ) (A)1米 (B)5米 (C)6米 (D)7米【解析】选C.该函数为二次函数,当t=1时,h最大,为6，即小球距离地面的最大高度是6米．

华师大版九年级数学下册教案第27章二次函数

华师大版九年级数学下册教案第27章二次函数27.1二次函数27.2 二次函数的图象与性质第一课时y=ax2的图象与性质第二课时y＝ax2＋bx＋c的图象与性质①第三课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质②第四课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质③第五课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质④第六课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质⑤第七课时求二次函数的函数关系式①第八课时求二次函数的函数关系式(二)27.3 实践与探索27.3 实践与探索第27章二次函数27.1二次函数一、教学目标知识与技能：认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式。

过程与方法：通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系和求自变量的取值范围。

情感态度与价值观：培养学生探索新知的能力，鼓励学生通过观察、猜想、验证，主动地获取知识。

二、重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

三、难点：熟练地列出二次函数关系式。

四、教具准备：投影仪、幻灯片、课外资料。

五、教学过程：（一）、试一试对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。

形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．（二）、提出问题（p3问题2）分析：1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)×销售量]2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?[(10－8－x)；(100＋100x)]4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

华师大版九年级[下册]数学知识点总结

华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。

⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。

概括成八个字“左加右减，上加下减”。

方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。

华东师大版九年级下册数学26.3实践与探索(华师大版全)

灿若寒星
1、抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴交于A、 B两点，与y轴交于C点. 点A、C的坐标分别是（－1，0）、（0，）. 3
2
(1) 求此抛物线对应的函数解析式； (2) 若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值.
灿若寒星
灿若寒星
1、抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点. 点A、 C的坐标分别是（－1，0）、（0， 3 ）. (1) 求此抛物线对应的函数解析式； (2) 若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值.
（2）解：由 y=-x2 +2x+5/4=-(x-1)2 +9/4=0时解得x1=5/2 ,x2=-1/2(不符合题意，舍去）
答：水池的半径至少为5/2米时，才能使喷出的水流都落在水池内。
灿若寒星
1、如图所示是一学生推铅球时，铅
球行进高度y(m)与水平距离x(m)的函数关系式 y 1 x2 2 x 5 。
12 3 3
问：此学生把铅球推出多远？。
y
分析：此题实际上求抛物线与x轴的交点
∵y 0
∴ 1 x2 2 x 5 0
12
33
x2 8x 20 0
(x 10)(x 2) 0
o
x
x1 10
x2 2
(舍去)
∴此同学把铅球推出了10米
灿若寒知二次函数y=2(x+1)2+1,(-2≤x≤1），
则y的最小值是 1
，y的最大值
是9 。
灿若寒星
总结：
• 二次函数应用于抛物线的实物相当常见，如抛物线形的桥梁、隧道、涵洞等。

九年级数学下册第27章二次函数27.3实践与探索第1课时习题课件华东师大版

1.通过分析已知条件、观察抛物线图象，建立适当的平面直角坐标系，把实际问题转化为二次函数问题.（重点、难点） 2.会根据已知条件，选取合适的形式，利用二次函数的性质，解决实际问题.（重点）
1.用二次函数解决问题的步骤：（1）建立合适的平面直角坐标系. （2）把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来. （3）用待定系数法求出抛物线的关系式. （4）用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
4
当x=1时，y 1 5 当； x 时 3，
4
2
y 35 . 16
即 P(1， 15)，Q在(3，抛35物)线上.
4 2 16
当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高为 0.3 5 3 .
2
315且∴3网球35，不能落入桶内.
2 4 2 16
7.(2013·武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表).
2
的面积最大.( √)
知识点利用二次函数的图象和性质解决实际问题【例】(2013·河北中考)某公司在固定线路上运输,拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩.Q=W+100,而W的大小与运输次数n 及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成:一部分与x的平方成正比,另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.
(打“√”或“×”) (1)一小球被抛出后,距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足下面的函数关系式:h=-5t2+10t+1,则小球距离地面的最大高度是5m.( ×) (2)向空中发射一枚炮弹,经xs后的高度为ym,且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0).若此炮弹在第5s与第16s时的高度相等,当炮弹所在高度最高时是第10.5s.( √)

初中数学华东师大九年级下册二次函数二次函数实践与探索(华师版)PPT

y=- x²+2.4
4
Ｂ(0.8,0)
x
离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？
根据已知条件，要求涵洞ED的宽度，只要求出FD的长度即可，即在如下所示的平面直角坐标系中，求出点D的横坐标.
15
y=- x²+2.4
4
Ｅ
y
(0,2.4)
F Ｄ (?,1.5)
点题分析
(-0.8,0)A
O

x
最小半径
线段OB的长度 (B点的横坐标)
令y = 0,即-(x-1)²+2.25 =0
则x的值为 x1=2.5 x2=-0.5 (不合题意,舍去)
∴最小半径为2.5m.
注意自变量的
实际意义
问题2 E AＡ
D ＢB
涵洞的截面边缘是抛物线，如图，现测得当水面宽一个AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m，这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？
当x=3时,S 取最大值9m2
此时最大费用是9000 元。
• ③8000元
建立直角找坐点标坐系标找（找点坐标）
求解析式解决问题
把实际问题转化为点坐标
布置作业
习题26.3 1题、2题
∴最大高度为2.25m.
实际问题与函数知识的对应
（2）如果不计其他因素，水池的半径至少为多少时，才能使喷出
的水流都落在水池内？
y
A
B
O
x
析题分意：
水池为圆形，O点在中央，喷水的落点到圆心的距离相等。
水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
y y=-x²+2x+1.25

]华师大九年级数学下册26.3《实践与探索1》教案

《二次函数实践与探索》教案马蹬初中袁波一、教学目标知识与技能会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．数学思考与问题解决1．通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛应用，发展数学思维．2．在转化、建模中，让学生学会合作、交流．情感态度1．通过对实际问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学习热情．2．在转化、建模的过程中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神．二、重点难点重点：利用二次函数的牲质解决实际问题，特别是商品利润及拱桥等问题．难点：建立二次函数的数学模型．三、教学设计引人新课在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱髙计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有现实的意义．本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题．指出本节所学内容．问题探究问题1 某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A 处安装一个喷头向外喷水．柱子在水面以上部分的高度为1．25m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示．根据设计图纸已知：在图(2)所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度y (m )与水平距离x (m )之间的函数关系式是2425y x x =-++． (1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？(2)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？教师出示问题，巡视指导；引导学生如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数：2425y x x =-++最大值，问題(2)就是求如图(2)B 点的横坐标；最后教师讲评学生板演．问题2 —个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示，现测得当水面宽AB =1．6m 时，涵洞顶点与水面的距离为2．4m ．这时，离开水面1．5m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1m ？1．教师引导学生思考：(1)此题与问题1有何区别？(问题1中已有函数表达式，本问题中需列出函数表达式．)(2)怎样建立平面直角坐标系？(3)建立如图所示的平面直角坐标系后，要求ED的长，只需求出什么就可以？(求出D点的横坐标)（4）小船宽为１m，高为1.5m，能否通过？2．巡回检查，最后板书解题过程．巩固练习1．如图，—位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落人篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数表达式；(2)该运动员身髙1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方0．25m 处出手问：球出手时，他跳离地面的髙度是多少？2、3．教材第28页上方练习．教师让学生思考、板演，纠错，巡视指导，讲评．本课小结(1)通过本节学习，你有哪些收获？(2)对本节课你还有什么疑惑？教师引导学生归纳、总结本节所学知识．作业教材习题26．3第1、2题．华东师大版九年级数学下册《二次函数实践与探索1》教案设计马蹬初中袁波2018年12月。

华师大版九年级数学下册电子课本课件【全册】

华师大版九年级数学下册电子课本课件【全册】
第27章圆
华师大版九年级数学下册电子课本课件【全册】
27.1 圆的认识
华师大版九年级数学下册电子课本课件【全册】
1. 圆的基本元素
华师大版九年级数学下册电子课本课件【全册】
2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
华师大版九年级数学下册电子课本课件【全册】
3. 求二次函数的表达式
华师大版九年级数学下册电子课本课件【全册】
26.3 实践与探索
华师大版九年级数学下册电子课本课件【全册】目录
0002页 0044页 0070页 0100页 0145页 0173页 0175页 0213页 0230页 0281页 0283页 0310页 0345页 0次函数的图象与性质 2. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 26.3 实践与探索 27.1 圆的认识 2. 圆的对称性 27.2 与圆有关的位置关系 2. 直线与圆的位置关系 27.3 圆中的计算问题第28章样本与总体 1. 普查和抽样调查 28.2 用样本估计总体 2. 简单随机抽样调查可靠吗 1. 借助调查作决策
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2. 圆的对称性
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第26章二次函数
华师大版九年级数学下册电子课本课件【全册】
26.1 二次函数
华师大版九年级数学下册电子课本课件【全册】
26.2 二次函数的图象与性质
华师大版九年级数学下册电子课本课件【全册】
1. 二次函数y=ax2的图象与性质

华师大九年级下《二次函数的实践与探索》(一)

(师生活动): 解题后的反思 :①请同学们回顾总结你的解题思路和方法. ②本题建立平面直角坐标系时还有其他方式吗? (请课后小组内讨论研究 )
课堂训练
1.如图1,桥拱是抛物线形,其函数解析式为
y=－x2,当水位线在AB位置时,水面宽AB为12 m, 这时水面离桥顶的高度h是米.
课堂训练
2. 如图2,某幢建筑物从10米高的窗口A处用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线形状,如果抛物线的最高点M离墙面1米离地面12米,则水流落点B离墙的距离是___米.
教学目标
[过程与方法] 1.通过教学中的探索活动,让学生经历运用二次函数及其图象、性质来解决实际问题, 提高学生应用数学的意识; 2.通过教学中的探索活动, 培养学生综合解题能力,渗透数形结合思想,并从中进一步体会二次函数的实际意义、图象与性质.
教学目标
[情感态度与价值观] 1.通过教学中的探索活动,让学生体会到团结合作的作用; 2.通过问题的探索解决,让学生体验二次函数这一数学模型在生活实践中的作用,体会到数学的价值观,从中激发学生的学习热情.
教学处理方式
(教师活动)分析:这是一个运用抛物线的有关知识来解决实际问题的应用题,首先必须这个实际问题抽象转化成一个涉及二次函数的数学问题,再应用二次函数的知识来加以解决. (学生活动)1.学生讨论、交流,如何将文学语言转化为数学语言,得出问题(1)就是求函数y=－x2+2x+ 的最大值是多少 ?问题(2)就是求如图(2)中的B点的横坐标； 2. 学生解答，教师巡视指导； 3. 让一两位同学板演，教师讲评(略)。 (师生活动)解题后的反思:①解决本题中应用哪些数学知识和数学方法? ②通过本题的解决,从中你有哪些收获或体会?