数形结合思想在解题中的应用

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浅谈“数形结合”思想在数学解题中的应用

浅谈“数形结合”思想在数学解题中的应用——从2003年全国数学高考题看数学解题中的“数形结合”思想数学是研究现实世界的空间形式和数学关系的一门学科。

数学思想是现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维而产生的结果，是对数学事实与理论的本质认识。

数学思想是数学学科的精髓，是素质教育的要求，是数学素养的重要内容，是获取知识、发展思维能力的重要工具，同时也是数学解题中的良方。

“数”和“形”是数学研究的两个基本的对象。

是在数学解题中，通过建立坐标系，使数和形互相渗透，互相转化，以“数解形”与以“形助数”的思想方法得到极佳的效果，寻求解题中的技巧和捷径。

这就是数学思维中所谓的“数形结合”思想。

“数形结合”思想是高中数学众多数学思想中最重要的，也是最基本的思想之一，它在高中数学中有着广泛的应用，是解决许多数学问题的有效思想。

数和形是数学研究客观物体的两个方面，数侧重研究物体数量方面，具有精确性；形侧重研究物体形的方面，具有直观性。

数和形互相联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系，“数形结合”就是将两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题。

以“数解形”是从特殊到一般，从直观到抽象的发展过程，以“形助数”是利用图形的直观帮助探求解题思路。

通过已知条件和探求目标联想甚至是构造出一个恰当的图形，可利用图形探索解题思路，甚至有时能估计出结果。

历年来，数学高考中都十分重视考查学生对数形结合思想的运用。

2003年数学高考试题中对运用这种方法的考查体现得十分突出。

如试题中第1题、第2题、第3题、第5题、第6题、第8题、第11题、第12题、第15题、第16题、第17题、第18题、第19题、第20题、第21题等，都可以借助这种思想方法求解，在整个试题中占分值达108分。

可见必须充分重视“数形结合”方法的运用。

一、“数形结合”思想在函数解题中的应用函数是高中数学的重要内容之一，通过坐标系把“数”和“形”结合起来，利用函数图像研究函数的性质，由函数的解析式画出其几何图形，由此相互依托，可以解决许多问题。

数形结合思想在初中数学解题中的应用

数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。

在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。

本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。

1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。

数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。

例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。

2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。

例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。

3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。

4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。

结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。

教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。

数形结合思想在解题中的应用

数形结合思想在解题中的应用主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法．它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化．―数缺形时少直观，形少数时难入微‖，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质．2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出―数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查‖，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能．3．―对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合‖，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础．4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是―以形示数‖，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是―以数助形‖，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了―数形结合‖的知识平台．5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题．用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，―数形结合千般好，数形分离万事休‖．二、典例分析例1．(07全国II) 在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为．解：在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（>0），正态分布图象的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率与在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8．例2．（2007湖南）函数的图象和函数的图象的交点个数是（）A．4B．3C．2D．1解：由图像易知交点共有3个．选B.例3．A. 1个B. 2个C. 3个D. 1个或2个或3个解：出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）．例4．曲线y=1＋(－2≤x≤2)与直线y=r(x－2)＋4有两个交点时，实数r的取值范围___________．解析：方程y=1＋的曲线为半圆，y=r(x－2)＋4为过（2，4）的直线.答案：（］例5．分析：．例6．求函数的最大值．解：由定义知1－x2≥0且2＋x≠0，∴－1≤x≤1，故可设x=cosθ，θ∈[0，π]，则有可看作是动点M（cosθ，sinθ）(θ∈[0，π])与定点A（－2，0）连线的斜率，而动点M的轨迹方程，θ∈[0，π]，即x2＋y2=1（y∈[0，1]）是半圆．设切线为AT，T为切点，|OT|=1，|OA|=2．≤．∴，∴0≤kAM即函数的值域为[0，]，故最大值为．点评：（1）有些代数式经变形后具备特定的几何意义，此时可考虑运用数形结合求解，如：比值——可考虑与斜率联系；根式——可考虑与距离联系；二元一次式——可考虑与直线的截距相联系．（2）本题也可如下转化：令Y=，X=2＋x，则(X＋2)2＋Y2=1（Y≥0），求的最大值，即求半圆(X－1)2＋Y2=1（Y≥0）上的点与原点连线斜率的最大值，易知．变式1解法一（代数法）：，．．．．解法二（几何法）：．．．．．．．．变式2分析：转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元．解：．第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）．相切于第一象限时，u取最大值．．．．例7．已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.则|PF1|＋｜PA｜的最大值为__________,最小值为_____________。

数形结合百般好——数形结合思想在解题中的应用

用计算的方法，要解决的形的问题转化为对数量关系的把
标系这一舞台来进行着数与形最完美的结合．
例２已知一次函数Ｙ＝ｈ＋ｂ的图像经过（一１ｍ）。，（１两点，ｍ＞１则，满足的条件是（ｍ。）且，６应
读题一边用图示或图表来直观地表示其中的量，可方便就
地发现等量关系，而解决问题．从
４．利用几何定理、型来反映数量关系模
。
是指把代数的精确刻画与几何的形象直观相统一，抽象将思维与形象直观相结合的一种思想方法．学家华罗庚教数
三角形的三边关系，口＋Ｃ的最小值就是线段ＢＰＰＣ的长．长延Ｂ，ｃ作ｃ上Ｂ，ＡＢＣ中，ｃ＝Ｂｃ２＝Ａ过ＥＥ在ＥＢＥ＋Ｅ
：
、
用形来反映数量关系
１．数
轴
数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例，充它分发挥了数的准确、的直观．的建立，仅使直线上的形它不点与实数间建立了一一对应关系，揭示了数形之间的内还在联系，实数的许多性质可由数轴上相应点的位置关系使得到形象生动的说明，为以后学习相反数、对值、理也绝有

数形结合思想在解题中的应用

数形结合思想在解题中的应用2012年秋季学期，广西将进入高中新课程改革，新课程理念逐渐深入人心；学习新理念，转变旧观念正成为高中教师重要的课题.数学课程改革的重心是发展学生的广泛的数学能力，注重数学思想、方法的教学渗透,培养学生形成良好的数学素质.数形结合是高中数学中重要的思想方法，通过数形结合可沟通数与形的内在联系，把代数语言的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能使高中数学中许多复杂问题迎刃而解，收到事半功倍的效果.【例1】解不等式x+2＞x.解法一：原不等式可化为x≥0x+2≥0x+2≥x2或x＜0x+2≥0，解得0≤x＜2或-2≤x＜0，∴原不等式的解集为{x|-2≤x＜2}.解法二：设y1=x+2,y2=x,在同一坐标系中作出这两个函数的图象（如图1），则不等式x+2＞x的解就是y1=x+2的图象在y2=x的上方的那一段对应的横坐标，即不等式的解集为{x|xa≤x＜xb}，其中xa=-2，解方程x+2=x得xb=2.∴原不等式的解集为{x|-2≤x＜2}.评析：比较上述两种解法，可以看到用图形直观地反映数量关系，解决问题简洁明了.【例2】设f(x)=x2-2ax+2-a，当x∈［-1,+∞］时，f(x)＞a恒成立，求实数a的取值范围.解法一：f(x)＞a在x∈［-1,+∞)上恒成立等价于x2-2ax+2-a ＞0在x∈［-1,+∞)上恒成立.设函数g(x)=x2-2ax+2-a，其图象在x∈［-1,+∞)时位于x轴上方有两种情况（如图2、图3所示）.(1)δ=4a2-4(2-a)＜0,解得-2＜a＜1；(2)δ=4a2-(2-a）≥0a＜-1g(-1)=a+3＞0，解得-3＜a≤-2.故实数a的取值范围是(-3,1).解法二：由f(x)＞a得x2+2＞a(2x+1)，设h(x)=x2+2，t(x)=a(2x+1),在同一坐标系中这两个函数的图象如图4所示，直线l1与抛物线相切，的对应值为1，直线l2经过点(- 12,0) 和点（-1，3），a的对应值为-3，符合题意的直线t(x)=a(2x+1)恒过点(-12,0)且位于l1与l2之间，故实数a的取值范围是(-3,1).图5【例3】已知：椭圆x29+y24=1 与抛物线y=x2+m有四个不同的交点，求实数m的取值范围.错解：在同一坐标系中作出椭圆和抛物线的图象（如图5），根据图象可得：m＜-2-m＜3，解得-9＜m＜-2.评析：图形的直观性给解决问题提供了很大的帮助，但离开了严格的数学推理，往往受图形直观错觉的影响得出错误的结论.图6正解：联立椭圆和抛物线的方程，得x29+y24 =1y=x2+m ，消去y,整理得9x4+(18m+4)x2+9m2-36=0，令t=x2,得9t2+(18m+4)t+9m2-36=0.设f(t)=9t2+(18m+4)t+9m2-36，根据题意知方程f(t)=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根（如图6），即得δ=(18m+4)2-36(9m2-36)＞0，-18m+418 ＞0，f(0)=9m2-36＞0解得-829＜m＜-2 .评析：这是一个关于图形交点的问题，求解过程却是从分析方程的根的情况入手，而在讨论方程f(t)=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根时，又需要利用二次函数的图象特征，这样数和形的密切结合、相互补充，使问题得到了圆满的解决.(责任编辑黄春香）。

49.数形结合思想在解题中的应用(王景超)

解析：已知可联想到长方体的对角线与过同一由
点的三条棱所成的角的关系．，，ａ（７可以看做是长方３
体的一条对角线与过这条对角线一端的三条棱所成的角．样通过构造长方体模型，使问题迎刃而解．这可构造如图５所示的长方体ＡＢＣ－Ｂ，，ＤＡ，，ＣＤ，
求得ｙ。一万＋－二６；．一６ｙ、十棍图３ｒ已知点（，）二，满足的一平面区域，罕。十ｂ的最值问求牛．ｙ
霎嘿毕１｝ｌｌ赢潜似；！）｝ｆｆ！ｖ，甲＇，是就塑
设艺ＤＡＣ “ａ匕Ｂ，，Ａ，，，，，ＡＣ＝召乙ＡＣ＝ｙＡＤ＝ａＡＢ，＝ｂＡ＝（连结Ｄ，，Ｃ，，Ａ，一Ｃ，Ｃ，，易知ｃｓａｃｓ３ｃｓｙ．ＢＡ，ｏ＇ｏｔｏｔ＋（＋＝１
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譬鳗
Ｎ＝何的关键是要能够把 “ 气‘ 有机结合起来，形数‘ ＿实现形中有Ｊ‘
戮瞥
成功是寻海人经过长途跋涉后看到大海时的那份欣喜。 — 贵州盘县第二中学高三（ｏ班ｌ）陈刚
中举生数理化
解析：Ｆ（）（）．（）由已知得Ｆ（）征：设二－ｆ二ｇ二，二特０二是奇函数；１Ｆ（） ② 当二时，ｘ＞０所以二时，（）＜０尸＜），＜。Ｆ二为增函数； ③ （）ｆ一３ｇ一３二０Ｆ一３＝（）・（）二Ｆ（）３．根据ＦＣ）ｘ的性质大致画出Ｆ（）图象，图４观察二的如．一３Ｕ３故选Ｄ（）０・知不等式Ｆ（）Ｏ的解集是（ｘＧ一二，），，

数形结合思想在中学数学中的解题应用

数形结合思想在中学数学中的解题应用数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。

数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。

教师要尽量发掘数与形的本质联系，促使学生善于运用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题，从而提高学生的数学能力。

下面结合具体实例谈谈数形结合思想在解题中的应用：1.函数中的数形结合思想例1：已知：点（-1，y1）（-3，y2）（2，y3）在y=3x2+6x+2的图象上，则： y1、y2、y3 的大小关系为（）a.y1>y2>y3b.y2>y1>y3c.y2> >y1d.y3>y2>y1分析：由y=3x2+6x+2=3（x+1）2-1画出图象1，由图象可以看出：抛物线的对称轴为直线x=-1即：x=-1时，y有最小值，故排除a、b，由图象可以看出：x=2时y3的值，比x=-3时y2的值大，故选c.例2：二次函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点在第三象限，且不经过第四象限，则此抛物线开口向，c的取值范围，b的取值范围，b2-4ac的取值范围。

解：由题意画出图象，如图：从而判断：a>0，c≥0∴对称轴：x=- 0图象与x轴有两个交点：∴△>0即b2-4ac>0例3：如图3，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点c （0，），与x轴交于两点a（x1，0）、b（x2，0）（x2>x1），且x1+x2=4，x1x2=-5.求（1）a、b两点的坐标；（2）求二次函数的解析式和顶点p的坐标；（3）若一次函数y=kx+m的图象的顶点p，把△pab分成两个部分，其中一部分的面积不大于△pab面积的，求m的取值范围。

解：（1）∵x1+x2=4x1·x2=-5且x1<x2∴x1=5，x2=-1.∴a、b两点的坐标是a（5，0），b（-1，0）（2）由a（5，0），b（-1，0），c（0，），求得y=- （x-2）2+3.∴顶点p的坐标为（2，3）；（3）由图象可知，当直线过点p（2，3）且过点m（1，0）或n （3，0）时，就把△pab分成两部分，其中一个三角形的面积是△pab的面积的 .①过n（3，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=-3x+9；过点a（5，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=-x+5.又一次函数y=kx+m，当x=0时，y=m，此一次函数图象与y轴的交点的纵坐标为m，观察图形变化，可得m的取值范围是5<m≤9.②过b（-1，0），p（2，3）的一次函数解析式为y=x+1；过点m （1，0），p（2，3）一次函数解析式为y=3x-3，观察图形变化，得m的取值范围是-3≤m<1.∴m的取值范围是-3≤m<1或5<m≤9.2.求最值问题：例.已知正实数x，求y= + 的最小值.分析：可以把 + 整理为 + ，即看作是坐标系中一动点（x，0）到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题.解：y= + ，令p=（x，0）、a（0，2）和b（2，1），则y=pa+pb.作b点关于x轴的对称点b’（2，-1），则y的最小值为ab’= = .3.利用方程解决几何问题例：本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取a、b、c三根木柱，使得a、b之间的距离与a、c之间的距离相等，并测得bc长为240米，a到bc的距离为5米，如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.[解析]如图2，设圆心为点o，连结ob、oa，oa交线段bc于点d.因为ab=ac，所以ab= bc，∴oa⊥bc，且bd=dc= bc=120.由题意，知da=5.设ob=x米.在rt△bdo中，因为ob2=od2+bd2，所以x2=（x-5）2+120.得x=1442.5 .所以，滴水湖的半径为1442.5米.数形结合思想在对于培养和发展学生的空间观念和数感方面有很大的启发作用，利用数形结合思想进行解题可以使的有些复杂问题简单化，抽象问题具体化。

数形结合思想在解题中的应用

数形结合思想在解题中的应用（一）教学目标：1．利用图形来处理方程及函数问题和不等式问题，求函数的值域，最值等问题时能运用数形结合思想，避免复杂的计算与推理，在解题时能提高效率。

2．增养学生问题转化的意识。

重点：“以形助数”，培养学生在解题过程中运用数形结合的意识。

难点：问题的转化。

利用多媒体形象地展示图形在解题中的应用，克服解题中的困难.数形结合作为一种重要的数学思想，历年来一直是高考考查的重点之一.这种思想体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.本节课着重研究在函数与不等式问题中，在求函数的值域、最值问题时，运用数形结合的思想，使某些问题直观化、生动化、能够变抽象思维为形象思维，达到发现解题途径，避免复杂的计算和推理，简化解题过程的目的。

一、基础训练：1．方程lgx = sinx 的实根的个数为 [ ] A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个解：画出y = lgx 和y = sinx 在同一坐标系中的图象，两图象有3个交点，选C.2．函数y = a |x|与y = x + a 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是[ ] A ．(1，+∞)B ．(- 1，1)C ．(- ∞，- 1]∪[1，+∞)D ．(- ∞，- 1)∪(1，+∞)解：画出y = a |x|与y = x + a 的图象，两图象有两个交点的情形如下：情形1：⎩⎨⎧a > 0a > 1 => a > 1 情形2：⎩⎨⎧a < 0a < - 1 => a < - 1 选D3．不等式x + 2 > x 的解集是______________. 解法一：（常规解法）教师：杨如钢2007-4-23原不等式等价于（Ⅰ）⎩⎪⎨⎪⎧x ≥ 0x + 2≥0x + 2 > x2，或（Ⅱ）⎩⎨⎧x < 0x + 2≥0，解（Ⅰ）得0≤x < 2；解（Ⅱ）得- 2≤x < 0.综上可知，原不等式的解集为{x|- 2≤x < 0}∪{x|0≤x < 2}= {x|- 2≤x < 2} 解法二：（数形结合解法）令y 1 = x + 2，y 2 = x ，则不等式x + 2 > x 的解就对应于：函数y 1 = x + 2的图象在y 2 = x 上方的图象的部分在x 轴上的射影.如图，不等式的解集为{x|x A < x < x B }，由x + 2 = x 得x B = 2，而x A = - 2，∴不等式的解集是{x| - 2≤x < 2}.变题：不等式x + 2 > kx 的解集为M ，且M ⊆{x| - 2≤x < 2}，则k ∈____________. 答案：[1，+∞）4．函数y = sinx + 2cosx - 2的值域为_______________.解法一：（代数法）由y =sinx + 2cosx - 2得ycosx – 2y = sinx + 2，∴sinx – ycosx = - 2y – 2，∴y 2 + 1sin(x + φ) = - 2y – 2， ∴sin(x + φ) = - 2y – 2y 2 + 1，而|sin(x + φ)|≤1， ∴|- 2y – 2y 2 + 1|≤1，解不等式得- 4 - 73≤y ≤- 4 + 73，∴函数的值域为[- 4 - 73，- 4 + 73].解法二（几何法）：y = sinx + 2cosx - 2的形式类似于斜率公式k = y 2 - y 1x 2 - x 1，∴y =sinx + 2cosx - 2表示过两点P 0(2，- 2)及P(cosx ，sinx)的直线的斜率，由于点P 在单位圆x 2 + y 2 = 1上（如图），显然A P k 0≤y ≤B p k 0，设过P 0的圆的切线方程为y + 2 = k(x – 2)，则有|2k + 2|k 2 + 1= 1，解得k = - 4±73，即A P k 0=- 4 - 73，B p k 0= - 4 + 73∴- 4 - 73≤y ≤- 4 + 73，∴函数的值域为[- 4 - 73，- 4 + 73]5．过圆M ：(x -1)2＋(y -1)2=1外一点P 向此圆作两条切线，当这两切线互相垂直时，动点P 的轨迹方程是_____________．解：如图，设切点为A 、B ，连结MA 、MB 、PM ，则MA ⊥AP ，MB ⊥PB ，又AP ⊥PB ，且|PA|=|PB|，那么MBPA 是正方形，从而|PM| = 2|MA| = 2.设动点P(x ，y)，则(x －1)2+(y-1)2=2，这就是所求的轨迹方程．二、例题：例1．若关于x 的方程x 2 + 2kx + 3k = 0的两根都在-1和3之间，求k 的取值范围. 解：解法一：令f (x) = x 2 + 2kx + 3k ，其图象与x 轴交点的横坐标就是方程f (x) = 0的解，由y = f(x)的图象可知，要使两根都在-1和3之间，只需⎩⎨⎧f (-1) > 0f (3) > 0- 1 < - k < 34k 2- 12k ≥0，∴k ∈(- 1，0].解法二：设函数f (x) = x 2，g(x) = -2k(x +32)，问题转化为两函数图象的两个交点的横坐标必须在- 1和3之间.画出两函数图象（如图），而PA 、PB 的斜率相等，都是2，∴0≤- 2k < 2，即k ∈(- 1，0] 例2．定圆C ：(x – 3) 2 + (y – 3) 2 = (52) 2上有动点P ，它关于定点A(7，0)的对称点为Q ，点P 绕圆心C 依逆时针方向旋转120°后到达点R ，求线段RQ 长度的最大值和最小值．[分析]本题一般解法是，设点P(3 + 52cosα，2 + 52sinα)，然后求出点Q 、R 的坐标，最后用两点间距离公式，求出|RQ|的最值．但这种解法运算量较大，还易出错．观察图，在△PRQ 中，欲求|RQ|，因A 是PQ 的中点，易想起三角形的中位线. 解：取PR 的中点B ，连结BA ，则|RQ|=2|AB|．又B 是弦RP 的中点，连CB ，则CB ⊥RP ，∠BCP = 12∠PCR = 60°，∴|BC| = 12|CP| = 54.∴点B 的轨迹是以C 为圆心，54为半径的圆.这时求|QR|的最值，转化为求点A 与所作圆上点的距离的最值．过C 、A 作直线，交所作圆于B 1、B 2两点，则由平面几何知，|AB|的最大值为|AB 2| = |AC| + |CB 2| = (7 - 3) 2 + (0 - 3) 2 + 54 = 254，|AB|的最小值为|AB 1| =|AC| - |CB 1| = 5 - 54 = 154.故|QR|的最大值、最小值分别是252和152.例3. 求函数u = 2t + 4 + 6 - t 的最值.[分析]由于等式右端根号内同为t 的一次式，故作简单换元，设2t + 4 = m ，无法转化为一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。

例谈数形结合思想在解题中的应用

中的应用
程组｛Ｌ戈：十：Ｖ一 — ３ｊ：＝０Ｕ得
＝
—
３
０雪
曰
根据函数的图像，讨论方程的解的个数是一种重要的思想方法，基本思想是把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式，然后在同一坐标系中作出两个函数的图像，图像的交点个数即为解的个数。例１（２０１２辽宁卷）设函数厂（）（Ｒ）满足）＝厂【），）＝２），且当 ∈［０，１］时，），又函数（）＝ｌｃｏｓ（）Ｉ，则函数ｈ（）（）－ｆ（）在
实数ｃ的取值范围是（一，一２］ｕｆ一１，一 ÷１。故选Ｂ。
运用数形结合的思想解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果。一方面借助“ 形” 的生动ｆｘ＋ｙ一３≤０性和直观性来阐述 “ 数” 的联系，另一方面，也借助点（，＇，）满足约束条件｛【一２一３ ≤０，则实数ｍ的最大 “ 数” 的精确性，规范性及严密性来阐明“ 形” 的某些 ≥ 属性。重点是研究 “ 以形助数 ” ，在学习中要争取“ 胸值为（）有成图” ， “ 见数想图” ， “ 依图判性” ，以开拓自己解题
ｒ１１
１，所以ｍ≤Ｉ，故
／
－ｙ一３＝０
选Ｂ。
一２ｒ－３＝０戈：
三、数形结合思想在求参数取值范围中的应用
例３（２０１１天津卷）对实数ｎ和ｂ，定义运算

“数形结合”思想在高中解题中的应用

二、形结合在数列中的应用数
例３等差数列｛中，％｝ｄ＜０若ｌ１，ａ：３ｌｌ则数列｛的前几项的和最大？ａ，ｇ％｝
解
・．．
【考文献】参
［］张奠宙．学代数研究［．京：等教育出版１中Ｍ］北高
解
八
构造点（，，１１，１０）（，）
Ｃ（１，Ｏ，）四边形ＡＢＣ为Ｏ，）Ｄ（０，Ｄ正方形（图６）如，令Ｐ点坐标为（，，贝ＩＤＩ／＋ｂ，Ｐ＝ｎｂ）０Ｐ＝、ＩＩＡ、（ —０６，ＢＩ／（一）１６，／１）＋Ｉ＝、１。 — ）Ｐ＋（
三、形结合思想在解不等式中的应用数
例３设不等式Ｉｘ一１＋Ｉ பைடு நூலகம் ｘ一４＜ｎ有实数解．求实数 Ⅱ １
的取值范围．
解
令Ｙ＝Ｉｌｘ一１＋一４，２，ｌ１＝ｎＹ
＼
函数ｖ＝～１＋一４的零点ｌ１
、＋（一） ≥ ２／．／１ｂ、２
数形结合的特点是属性互化，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理．可起到事半功倍的效果．
图
３
和＝一求ｃ的坐是．以＋＝× ＝ｙ３，点横标所卢２手３得
时，。ｘ一５Ｙ，：图像如图６Ｙ＝２．Ｙ的
所示．

数形结合思想在解题中应用

数形结合思想在解题中的应用摘要:数形结合思想是中学数学中最重要和最常见的数学思想方法之一,数与形是中学数学研究的两类基本对象,相互独立,又互相渗透。

尤其在坐标系建立以后数与形的结合更加紧密。

从数中去认识图形,从形中去认识数。

数缺形少直观,形少数难入微。

高中数学的一些代数问题,通过研究其几何性质,能使抽象的数量关系在图形上直观地表达出来,使问题变得简单。

关键词:数形结合数学思想解题与应用所谓数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数式的含义又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题途径,使问题得以解决。

它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

著名数学家华罗庚先生说过“数形结合百般好,隔离分家万事休”。

高中数学的一些代数问题,通过研究其关系、性质,能使抽象的数量关系在图形上直观地表达出来,使问题变得简单。

而构造图形的关键在于敏锐的观察和合理的联想,巧用构造图形不仅可以提升学生数形互用解题的水平,而且还能培养他们不循常规、不拘常法、不落俗套的创新思维和探求精神。

纵观近几年的高考试题,巧妙地运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题可起到事半功倍的效果。

数形结合的思想方法应用是非常广泛的,在考试乃至平常的教学中常见的如解方程和解不等式问题,求函数的值域、最值问题,求复数和三角函数问题等。

运用数形结合思想不仅直观、易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。

所以要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。

下面通过几个例题的分析给予解评。

例1.某班有50名学生报名参加a、b两项比赛,参加a项的30人,参加b项的有33人,且a、b都不参加的同学比a、b都参加的同学的三分之一多一人。

问:只参加a不参加b的学生有多少?分析:此类问题若只进行空洞的分析,很难找到我们所需的等量关系,甚至易出现多解和漏解情形。

数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)

数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

22-+-=214x y如等式()()3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析例1.的取值范围。

之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2.解不等式x x +>2解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222法二、数形结合解法：令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x yx 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。

数形结合的思想在高中数学解题中的应用

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数形结合的思想在高中数学解题中的应用
作者：刘锋
来源：《理科考试研究·高中》2013年第09期
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法.
一、利用数形结合思想解决集合的问题
1.利用韦恩图法解决集合之间的关系问题
二、运用数形结合思想解三角函数题
纵观近三年的高考试题，巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.
三、利用单位圆中的有向线段解决三角不等式问题
在教材中利用单位圆的有向线段表示角的正弦线，余弦线，正切线，并利用三角函数线可作出对应三角函数的图象.如果能利用单位圆中的有向线段表示三角函数线，应用它解决三角
不等式问题，简便易行.
总之，由于数形结合的思想在高考中考查的比重很大，因而要花大力气，循序渐进地使学生建立数形结合的对应转化和应用，既要借助形的直观性来阐明数之间的关系，也要借助于数的精确性来阐明形的某些属性，使学生抓住数形结合本质，在解题中自觉地运用数形结合的思想，以提高解题的能力和速度.。

数形结合作用

数形结合作用
数形结合是一种重要的数学思想方法，它将数学问题的数量关系和几何图形结合起来，通过相互转化和利用，使问题得以简化和解决。

数形结合的作用主要体现在以下几个方面：
简化问题：通过将数量关系和几何图形结合起来，可以将一些复杂的数学问题转化为直观的图形问题，从而简化问题的求解过程。

加深理解：数形结合有助于深入理解数学概念和原理，通过直观的图形展示，可以更加清晰地理解数学问题的本质和内涵。

拓展思维：数形结合能够拓展思维，激发创新灵感。

通过将数量关系和几何图形相互转化，可以开拓解题思路，发现新的解题方法。

提高解题效率：数形结合能够提高解题效率，减少计算量。

通过直观的图形展示，可以迅速找到问题的关键所在，从而快速求解。

总之，数形结合在数学学习和研究中具有重要的作用，它能够将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，简化问题求解过程，加深理解，拓展思维，提高解题效率。

因此，在数学学习和研究中，应该注重数形结合的思想方法的应用。

数形结合思想在解题过程中的应用

摘要近年来,随着科学研究的进步与发展,我国数学地位在教育中也有明显的提升,数学已经广泛地渗入到数学以外的学科和我们的生活中.数学的精髓不在于知识本身,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法.本文首先简述了数形结合思想的历史演进、地位和原则.其次,借助实例从“以形辅数”、“以数思形”和“数形并重”等对数形结合思想在不等式、方程、函数、解析几何以及微积分等方面的应用加以分析,以便人们学会正确运用抽象和概括的科学思维方法,提高人们研究问题和解决问题的能力,充分体现数形结合思想在解题中的优越性.最后,总结出数形结合思想在数学教学中的作用和意义以及对人类生活的影响.关键词：数形结合思想,以数思形,以形辅数,数形并重The application of the number form combining ideas inthe problem solving processAbstract: In recent years, with the progress of scientific research and development, the status of mathematics in China also has obvious improvement in education, mathematics has been widely penetrated into mathematics discipline and in our life. The essence of mathematics lies not in knowledge itself, but is contained in the mathematical knowledge of mathematics thinking method. This article first briefly describes several form combining ideas of historical evolution, status and principle. Secondly, with the aid of examples from "to shape and auxiliary number", "thinking" and "number form and logarithmic form combining ideas" in inequality, equation, function, the application of analytic geometry and calculus analysis, so that people learn to correctly use of abstraction and generalization of scientific thinking methods, improve the ability of people to study and solve problems, fully embody the superiority of the number form combining ideas in problem solving. Finally, summarizes several form combining ideas in mathematics teaching the role and significance as well as the impact on human life.Key words:Several form combining ideas, To the number of Si-shaped, To form secondary number, Both the number of shape目录一、引言 (1)二、数形结合思想的背景 (1)三、数形结合思想的概述及其地位 (1)四、数形结合思想的原则 (2)（一）“形”的精确性原则 (2)（二）等价性原则 (2)（三）双向性原则 (2)（四）简单性原则 (3)五、数形结合思想在解题中的应用 (3)（一）利用数形结合思想解决方程和不等式问题 (3)（二）利用数形结合思想解决数列问题 (5)（三）利用数形结合思想解决最值问题 (5)（四）利用数形结合思想解决解析几何问题 (6)（五）利用数形结合思想解决三角形问题 (6)（六）利用数形结合思想解决定积分问题 (7)（七）利用数形结合思想解决实际问题 (8)六、数形结合思想在教学中的作用和意义 (9)七、数形结合思想对人类生活的影响 (12)（一）“数形结合”的思想方法与人类生活的关系 (12)（二）“数形结合”的思想方法对人类生活影响的具体体现 (12)八、结束语 (13)参考文献 (14)一、引言数与形是数学中两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定的条件下可以互相转化.数形结合是一种很重要的数学思想,它是研究与解决数学问题的重要方法,在数学中占有举足轻重的地位.把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数”与“形”互相转化的研究策略,就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,由“数”思“形”,由“形”思“数”,相互渗透,相互作用,根据条件和结论之间的内在联系,即分析其代数含义,又揭示其几何背景,使数量关系的精确刻画与空间形式的主观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,有利于多角度、多层次地展开思维,培养学生的观察能力、理解能力、记忆能力、逻辑能力,以及提高学生思维的广阔性、灵活性和深刻性,使思维具有发散性,开拓解题思路,从而起到优化解题途径的目的.二、数形结合思想的背景早在数学萌芽时期,人们在度量长度、面积和体积的过程中,就把数和形联系起来了.我国宋元时期,系统地引进了几何问题代数化的方法,用代数式描述某些几何特征,把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系.17世纪上半叶,法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁,在点与数对之间、曲线与方程之间建立起对应关系,用代数方法研究几何问题,从而创立了解析几何学.后来,几何学中许多长期不能解决的问题,例如三等分任意角、化圆为方问题,最终也借助于代数方法得到了完满的解决.即使在近代和现代数学的研究中,几何问题的代数化也是一条重要的方法原则,有着广泛的应用.初等数学历来被划分为代数和几何两大分支,前者偏重于数的分析,而后者则偏重于形的研究.但是今天人们越来越认识到：仅有代数的思想而无图形的直观,或虽有直观的图形而缺少数据的分析,许多数学问题都难以高质有效的解决.形是数的翅膀,数是形的灵魂.[1]三、数形结合思想的概述及其地位“问题是数学的心脏”,提出问题并解决问题是推动数学发展的动力.数学的精髓不在于知识本身,而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法.“欲善其事,必先利其器”,数形结合就是解决数学问题的一个有力工具,也是数学教学中极为重要的数学思想的基本方法之一,通过数形结合可以将抽象的数学语言与直观图形相结合,使抽象思维与形象思维相结合,缩短了思维链,简化了思维过程.所谓数形结合,就是将抽象的数学语言和直观的图形结合起来.一方面借助数的精确性来阐明形的某些属性,另一方面借助图形的直观性来阐明数量之间的关系.其实质就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,把代数上的“数”与几何上的“形”和谐地结合起来去认识问题以至于解决问题的一种思想.给“数”的问题以直观图形的描述,揭示出问题的几何特征,就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量,分析数据之间的关系,更能从本质上认识“形”的属性.正如著名数学家华罗庚所说:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞,数缺形时少直观,形少数时难人微”.具体点说,就是在解决数学问题时,不能单一的从数或者形的方面去思考,而是要将两者和谐的运用,才能使问题简单化、明朗化.在现代数学教育的各个阶段,数形结合思想都是尤为重要的.利用数形结合,能有效地讲解有关基本概念、定理、培养学生的学习能力、提高学生的主观能动性、发展学生智力.解题中运用它能使复杂的问题简单化、明朗化、清晰化,提高学生思考、分析、解决问题的能力.可以说数形结合思想是师范学生应重点掌握的一种数学思想,在教学中教师应引起高度重视. 四、数形结合思想的原则为了正确地在解题中运用数形结合思想,一般要遵循以下四个原则：（一）“形”的精确性原则几何图形的优点是其具有直观性,但若构图不精确,则往往会造成视觉性的误解.（二）等价性原则等价性原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转化应是对应的,即对于所讨论的问题,形与数所反映的对应关系应具有一致性.利用数形结合解决数学问题时要注意转化的等价性,我们常常由“形”观察出“数”,由“数”构造出“形”,这中间的观察与构造并未经过严格的逻辑推理,加之审题不周到,容易造成数形转化的不等价而产生误解.（三）双向性原则双向性原则是指既进行几何直观的分析,又进行代数抽象的探索,代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性,能克服几何直观方法的局限性.（四）简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理,即使几何形象优美又使代数计算简洁,明了,避免繁琐的运算.五、数形结合思想在解题中的应用对一个学生数学水平的评价,不仅要看学生对数学知识掌握多少,也要注重学生的数学技能.而提高这种能力,最好的方法就是学习和运用数形结合思想.通过以下应用来实际说明这一点.（一）利用数形结合思想解决方程和不等式问题利用二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图像与x 轴交点的横坐标是方程0)(=x f 的实根,根据二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 与x 轴的交点情况就可以确定方程0)(=x f 的实根的情况,即通过)(0)(x f y x f =⇔=的相互转化,利用函数)(x f y =的图像可以直观解决问题.例1：a 为何值时,方程0122222=-++a ax x a 的两根在()1,1-之内？分析：显然02≠a ,我们可从已知方程联想到相应的二次函数=y 222122a ax x a -++的草图（如图1所示）,从图像上我们可以看出,要使抛物线与x 轴的两个交点在()1,1-之间,必须满足 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤->-0)1(0)21(0)1(f a f f , 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤->-0)1(0210)1(222a a a ,从而可解得a 的取值范围为22≥a 或22-≤a 且1±≠a .图1 图2例2:如果方程05)2(2=++++k x k x 有两个不相等的正实根,求k 的范围.y xx y 0 -1 1 1x 2x a 21-解：设5)2()(2++++=k x k x x f因为01>=a , 抛物线开口向上,如图2所示,又因为方程有两个不相等的实根.故 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>∆020)0(0a b f 45-<<-⇒k所以当45-<<-k 时,方程有两个不相等的正根.对于一些不规则的方程,通过构造两个函数,然后,把方程的根转化为两个函数的交点问题.例3：设方程112+=-k x ,试讨论k 取不同范围的值时其不同解的个数的情况.分析：我们可把这个问题转化为确定函数121-=x y 与12+=k y 的图像（图3）交点个数的情况,因函数12+=k y 表示平行于x 轴的所有直线,从图像可以直观看出：①当1-<k 时, 1y 与2y 没有交点,这时原方程无解；②当1-=k 时,1y 与2y 有两个交点,原方程有两个不同的解；③当01<<-k 时,1y 与2y 有四个不同交点,原方程不同解的个数有四个； ④当0=k 时,1y 与2y 有三个交点,原方程不同解的个数有三个；⑤当0>k 时1y 与2y 有两个交点,原方程不同解的个数有三个.图3 图4求不等式的解集时,只要联想对应的函数的图像,确定它们的交点情况,便可直观地看出所求不等式地解集.xy1-1 1 -1 o例4：不等式x x 1>的解集是？分析：令x x f =)(,xx g 1)(=,在同一坐标系中画出这两函数图像.如图4所示,由图像可知：)(x f 与)(x g 的两个交点为)1,1(,)1,1(--.则不等式x x 1>的解集为(-1,0)∪(1,+∞). 这类求解像)()(x g x f >这样的不等式,跟上面所提的方程)()(x g x f =的类似,方程问题是看两个函数图像有几个交点这类的信息,而这里不等式问题的是看不同的区间内,两个函数图像谁上谁下,从而知道谁大谁小,也就是不等式的解区间,区间的端点就是方程问题所要讨论的.（二）利用数形结合思想解决数列问题等差数列的通项n a 是关于n 的函数,即()n f a n =,其图象是一群离散的点.等差数列的通项公式是)()1(11d a dn d n a a n -+=-+=,是关于n 的一次式.其各项的点(n ,n a )在同一直线上,等差数列的前n 项和公式n d a n d d n n na s n )2(22)1(121-+=++=,是关于n 的二次式,其对应点(n ,n s )在同一抛物线上,此抛物线一定过原点.而点(n ,n s n )在直线)2(21d a x d y -+=上.等比数列的通项公式n n n cq q a a ==-)1(1(q a c 1=)及前n 项和公式n n n Bq A q q a s +=--=1)1(1(0,11=+-=B A qa A ),其图像是指数型函数曲线.（三）利用数形结合思想解决最值问题例5：求函数的y =222+-x x +1362+-x x 的最小值.分析：本题难度较大,若从代数的角度思考,学生的思维受阻,不易求解且过程十分繁琐.这时利用数形结合为转化手段,引导学生探索函数背后的几何背景,巧用两点间距离公式,可化为：y =22)]1(0[)1(--+-x +22)20()3(-+-x解:如图5所示,所求函数的最小值可视为求点)0,(x p ,到)1,1(-A 及)2,3(B 的距离和的最小值.显然AB 的连线与x 轴的交点,即为所求的)0,(x p点.AB 的直线方程为:2523-=x y . 令y =0,解得35=x . 13)12()13(22min =++-==AB y 所以,当时35=x , 有最小值13=y .图5 图6（四）利用数形结合思想解决解析几何问题例6：过双曲线2x 2-y 2-8x+6=0的右焦点作直线L 交双曲线于A 、B 两点.若|AB|=4,这样的直线存在几条?分析:此题若从代数的角度去思考,则显得比较困难,无从下手,如换个角度,从数形结合方面去考虑,先画出图形,再对问题进行求解,则显得很简洁.解:如图6所示,双曲线C 的方程为121)2(22=--y x 其通径长为：422=a b 即通径所在直线符合题设条件,是所求的直线之一.又因为,双曲线的右焦点到左顶点的距离为413<+,所以当A 、B 分别在双曲线的两支上符合条件的直线有两条,故符合题意的直线有三条.（五）利用数形结合思想解决三角形问题在一些含有一般三角形的题目中,若要求其面积,都经常利用正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换来解决,但若能利用三角函数的图像及数形结合思想,则可以简化计算过程.1 2 3 A(1,-1) -1 1 2 x P B(3,2) o 1 2 -1 -2 1 2 3 y xF 2 F 1 y例7：在△ABC 中,3,3==BC A π,则△ABC 的周长为是多少？分析：本题思路一般都是用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成,但是注意到数形结合,可以很快解决问题.为此,延长CA 到D ,使AB AD =（如图7）,则 AC AB CD +=,6π+∠=∠CBA CBD ,由正弦定理⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6sin sin πB AC AB D BC ,即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+6sin 6πB AC AB . 因此,△ABC 的周长为⎪⎭⎫ ⎝⎛++6sin 63πB.图7（六）利用数形结合思想解决定积分问题例8：求二重积分dxdy y x x D⎰⎰+22,其中D 是由抛物线y=22x 和直线y x =所围成.分析：1、求出围成 D 中各曲线间的交点由 ⎪⎩⎪⎨⎧==x y x y 22得到交点为（0,0）、（2,4）2、画出草图在该步骤中,可以用刚才讲到的垂直数轴判别法.我们先取定内积分,这一点在运用该方法时很重要,内积分的积分变量取定后,才能进一步确定是做 x 轴的垂线还是 y 轴的垂线.此题,我们可取 y 为内积分的积分变量,画出草图,同时,在围成区域 D 相应的曲线标出方程,并写成关于内积分变量的表达形式.即y=22x （1）,x y =（2）（若 x 为内积分的积分变量,则写成y x =和y x 2=的形式）,利用垂直数轴判别法,过)2,0(1∈∀x 作 x 轴垂线,单位、大小、方向同 y 轴,由判别法知,对应着较大单位的交点所在的曲线方程为内积分的上限,相应的较小交点所在的曲线方程为内积分的下限.图形如下：图 83、求体积dxdy y x x D ⎰⎰+22 =dy yx x dx x x ⎰⎰+20222220arctan 42x dx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ 2ln 2=（七）利用数形结合思想解决实际问题在现实生活中,我们经常会遇到一些关于数学方面的问题,比如水、电费问题,打折销售问题,追击问题等等.此时若能对数学知识理解掌握好,巧用数形结合思想,在现实生活中有些问题便可迎刃而解.例9：某厂拟生产甲、乙两种试销产品,每件销售收入分别为3千元,2千元.甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工,在每台A 、B 上加工一件甲产品所需要的时间分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400和500,如何安排生产可使收入最大？解：设加工甲产品x 件,加工乙产品y 件,目标函数y x z 23+=,线性约束条件为 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+≤+0,50024002y x y x y x ,作出可行域,如图9所示阴影部分.把yx （2,2） 2 22x y = x y =2y x z 23+=变形为平行直线系223:z x y l +-=,由图可知当l 经过可行域上点M 时,截距2z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+50024002y x y x 得)100,200(M ,80010022003max =⨯+⨯=z ,所以当生产甲产品200件,乙产品100件时,可使收入最大,最大为80万.图9六、数形结合思想在教学中的作用和意义在实际生活中,形与数是不可分离的结合在一起,这是直观与抽象、感知与思维相结合的体现.形与数的结合不仅是数学自身发展的需要,也是加深对数学知识理解,发展智力,培养能力的需要.数形结合是解决数学问题的一个有力工具,也是中学数学中极为重要的基本方法之一.[2]其在教学方面的作用有如下几个方面：（一）有助于学生形成合理、完整的数学概念.数学概念是数学逻辑思维的源头,是学生认知的基础,是学生数学思维的中心思想.但是由于数学中的概念往往是高度抽象,比较发散的.或许是一个理论,或许是一个公式,很难立刻被理解,给人一种单调、乏味的感觉.但利用数形结合的思想可以很好的帮助学生理解数学概念.1、化抽象为具体,化单调为丰富,有利于学生对数学概念的理解、记忆.这一点主要表现在以下几个方面：第一、利用数形结合,容易揭示数学概念的由来,学生易于感知和接受.第二、利用数形结合有利于学生对知识理论本质的理解,画图能力也会有明显的提升.第三、利用数形结合,为概念赋予图形信息,可以使学生通过看图形信息来加深理解其概念以及相关定理、性质的应用.2、提高和发展学生对数学结构的认知.数学结构的认知是学生头脑中的数学知识结构,即数学知识结构通过内化在学生脑海中所形成的理论内容和归纳整理.数形结合可以使学生的知识整体化、系统化,便于学生在各种知识背景下快速,有效的提取相关有用的信息,并且能从“数”与“形”两个方向去思考并解决问题.主要体现在下面几个方面:第一、数形结合加强了知识与图形之间的相互联系与转化,建立了有效的知识网络,提高了学生的数学认知层次.第二、通过数形结合不仅使学生原有的认知水平得到了明显提高,而且使学生对知识的理解更加深刻透彻,还能使学生的智力得到发展.（二）有助于拓展学生发现解决问题的的方法.1、数形结合思想对解决数学问题有着“导向功能”.我们知道,对于数学而言,具体问题,具体分析有多么重要.数形结合思想作为一种思维策略,虽然不能通过这种思想使之全部解决,但在解题过程中却可以作为寻求解法的一个途径,或在思路受阻时寻求新的突破口,所以这又是数形结合思想另一方面的积极意义.2、有助于学生积累数学理论知识、分清结构层次,简化思维过程.不同的学生对同一问题的思考方向不同,则思维过程也就不尽相同.思维能力强的学生思维过程短,思维链少,能力弱的同学往往表现出思维过程长,思维链多且无序,不能快速、清晰的表达出来.数形结合最大的特点就是模型化、直观化、明朗化,通过图形,可以快速的知道题里给出的已知条件和所隐含的条件.用简单直观的图形代替复杂的代数推理.学生的知识结构中要是有了一些丰富的图形模块和数式模块,将会快速、准确地解题.（三）有助于学生逻辑思维能力的发展.进入高中阶段的学生己完成了由直观形象思维到抽象逻辑思维的飞跃,但这并不是说我们在教学中就可以偏颇某一种思维方式.形象思维的培养在高中阶段是不容忽视的,也是很重要的.数形结合思想可以培养以下思维：1、有助于发展学生的形象思维.这一点主要表现在以下几个方面：第一、数形结合丰富了表象的储备,而表象的运动过程可促进形象思维发展.第二、数形结合有助于培养学生对图形的想象能力,促进学生形象思维的发展.2、有助于培养学生的直觉思维.运用数形结合解题能直接揭示问题的本质,直观、清楚地看到问题的结果,省掉了许多思维过程.只需稍加计算或推导,就能得到确切的答案,因此许多数学问题的解答过程都是先从几何图形的直觉感知中得到某种猜想、假设,然后再进行逻辑推理和证明,进而使问题得以解决的过程.3、有助于培养学生的抽象思维能力.这一点主要表现在以下几个方面：第一、数形结合从表面上看是代数与几何之间相结合.第二、我们知道任何的学习迁移都是通过概括这一思维过程来实现的.数形结合思想在应用的过程中,常常根据数量关系与图形特征之间的联系和规律,可以把一个形的问题等价转化迁移到与之相应的数的问题,反之数的问题等价转化迁移到与之相应的形的问题.在这方面,很好的体现了数形结合思想的等价性原则.（四）利用数形结合,唤起学生对数学美学的认识以及追求.数学本身就是一门美的学科,数学上的对称美、轮换美、简洁美、和谐美、奇异美等形式在图形上的体现更为直观、更为动人.利用数形结合,使学生具有发现美的眼睛,培养学生的审美情趣,提高审美意识和审美能力,以激励起学生学好数学的激情、动力和追求解题的艺术美,促进人的素质全面提高.美国著名数学教育家波利亚说过:“掌握数学就意味着要善于解题.”只有对数学思想、数学方法理解透彻并达到融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.[3]我国现在不论是小学教育、中学教育、还是高中教育对数学思想的考察都十分重视,其解答过程中都蕴含着各式各样的数学思想,虽说数学思想的种类繁多,但在其中,我认为数形结合思想显得尤为重要.实际上数形结合思想的应用是很广泛的,只要我们用心去分析,动脑去思考,数学上有很多问题通过数形结合思想是很容易解决的.数形结合思想几乎贯穿了整个解析几何,可以说数形结合思想是解析几何的精髓所在.恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系的精确刻画与空间的直观图形巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决.“数”与“形”是一对矛盾,是抽象与直观在数学中的体现,二者的有机结合,是数学魅力之所在.宇宙间万物无不是“数”和“形”矛盾的统一.通过代数问题与几何图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.但在应用中也应该注意其应用的适用性、科学性、合理性等.七、数形结合思想对人类生活的影响从李文林的《数学史概论》和莫里斯·克莱因所著的《古今数学思想》两书中我们都可注意到:“数形结合”这一思想方法的产生与发展也是经历了一个曲折的变化过程,如公元前6世纪前,数学主要是关于“数”的研究与从公元前6世纪开始,希腊数学的兴起,突出了对“形”的研究,[4]最终作为人类几千年数学文化沉淀的结晶——数学中最基本的思想方法之一.这就如恩格斯所论述的那样：数学是关于现实世界的空间形式与数量关系的一门科学.然而,我认为数形结合思想的重要性不单单是体现在数学科学中,在我们的实际生活中也具有极其重要的作用.（一）“数形结合”的思想方法与人类生活的关系“我们认为,所谓数学思想是对数学知识本质的认识,是对数学规律的理性认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点”.[5]既然数学思想是一种认识和观点,也就可认为它是一种观念,而“数学观念系统与数学思想系统等基本认识对数学思维过程起着定向的作用”.[6]同时,“数学方法就是数学思维结构的主要成分”,其作用是“数学思维的操作手段”,[6]亦即“数学方法是指从数学角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等”.[5]综上可知数学思想对数学思维具有导向功能,而数学方法是数学思维的具体方法,也是各种具体问题的实施方式、途径.因此,“日本数学家和数学教育家米山国臧在从事了多年数学教育之后,说过一段寓意深刻的话:学生们在初中或高中所学到的数学知识在进入社会后,几乎没有什么机会应用,因而这种作为知识的数学,通常在出校门后不到一两年就忘掉了,然而不管他们从事什么工作,那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法,却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用.”[7]作为数学中一个最基本的思想方法——数形结合思想,它无疑地为人类的逻辑思维提供了导航作用和各种具体的方法与途径,为人们的提供了很好的思维模式,而这种思维模式已经刻画在了人们的脑海中,人们在生活中运用时却又感受不到其重要性,也就是说“数形结合”的思想方法在默默地指导着人类生活.（二）“数形结合”的思想方法对人类生活影响的具体体现“许多数学家在创立数学的时候,不断地从一般文化中汲取营养.许多数学的本原思想和人类普通的思想是相通的.文学中的“对仗”、“物理学中的能量守恒定理”与“数学中的对称”等等思想都是相通的.[8]同样,“数形结合”的思想与人类其他的诸多思想也是相通的,不过,通过对数形结合思。

数形结合思想在初中数学解题中的应用

数形结合思想在初中数学解题中的应用数学是一门抽象而又具体的科学，数形结合思想是数学中的一种重要解题方法。

在初中数学中，数形结合思想的应用非常广泛，能够帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。

下面将从几何、代数和应用题三个方面来探讨数形结合思想在初中数学解题中的应用。

一、几何问题在初中数学中，几何问题是学生们比较容易遇到的难题，而数形结合思想可以帮助学生更好地理解和解决几何问题。

在计算多边形的面积时，可以利用数形结合思想将多边形分解为若干个简单的几何形状，然后计算每个几何形状的面积再相加即可。

又在计算三角形的面积时，可以利用数形结合思想将三角形划分为两个简单的图形，然后计算每个简单图形的面积再相加即可。

这种数形结合的思想不仅能够帮助学生更好地理解几何问题，还能够使计算更加简便和直观。

二、代数问题在代数问题中，数形结合思想也能够派上用场。

在解决一元二次方程时，可以利用图形的对称性来帮助理解和解决问题。

当一元二次方程的图像是抛物线时，通过观察抛物线的对称轴和顶点，可以很容易地找到一元二次方程的解。

又在解决函数图像的性质问题时，可以利用图形的变化来推导函数的变化规律。

通过将函数的图像与数学公式相结合，可以更加清晰地理解函数的性质和规律。

三、应用题在应用题中，数形结合思想也能够帮助学生更好地理解和解决问题。

在解决速度、时间、距离之间的关系问题时，可以利用图形表示速度、时间和距离的关系，从而更加直观地理解三者之间的关系。

通过将问题抽象成图形，再结合数学方法来解决问题，能够使学生更快地找到解题的方法和规律。

又在解决物体的测量问题时，可以利用图形来帮助理解和解决问题。

通过将物体的形状抽象成图形，再结合几何和代数的方法来解决问题，能够使学生更好地掌握物体测量的方法和技巧。

高中数学教学论文《数形结合思想》在解题中应用

《数形结合思想》在解题中的应用一、数形结合思想的提出在高中数学解析几何这一模块中，处理问题的方法常见有代数法和几何法。

代数法是从“数”的角度解决问题、几何法从“形”的角度解决问题，这两种方法相辅相成，相得益彰。

现举例如下：若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，求k 的取值范围.解：（代数法）曲线方程可化为)0(122≥=+x y x ，把k x y +=代入)0(122≥=+x y x可得：012222=-++k kx x （0≥x ），由题意可知方程仅有一个非负根①当方程有等根时，即)1(8)2(22--=∆k k =0，可得2±=k ，当2=k 时，方程可化为012222=++x x ，得22-=x 不合题意；当2-=k 时，方程为012222=+-x x 得22=x 符合题意，可知2-=k ； ②当方程根为0=x 时，得012=-k ，1±=k ，当1-=k 时，方程为0222=-x x ，得方程两个根为01=x ，12=x 不合题意应舍去；当1=k 时，方程为0222=+x x ，得方程两个根为01=x ，12-=x 适合题意，可知1=k ； ③当方程根为一正一负时，只需021221<-=k x x ，可得11<<-k 。

综上所述：所求 k 的取值范围为2-=k 或11≤<-k 。

（几何法）曲线21y x -=是单位圆122=+y x 的右半圆（0≥x ），k 是直线k x y +=在y 轴上的截距.在同一坐标系中画出两曲线图像如图所示知：直线与曲线相切时，2-=k ，由图形：可得2-=k 或11≤<-k 。

上述两种解法可以看出利用代数法求解过程较为复杂、繁琐且容易错；而利用几何法即一种数形结合的思想方法，却能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它在数学解题中具有极为独特的指导作用。

二、数形结合思想的概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石。

浅谈数形结合在解题中的应用

＼
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Ｊ＝ｘ２ｙＩ２＋ ’
＼／ｘｍ４距之，见点Ｐ直ｙｘ与线Ｂ交：２椭ｍ）离和易当在线＝上直Ａ的点＋的
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ｘ＋２２
．
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／
０
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，
与最小值
易、化繁为简，从而得到解决．数学中的知识，有的本身就可以
转化为三角函数的最值问题，除此之外，
／
角定；的函借直标三ｉ６斜设截，看数结如角数助角系．运成为，ｂ｜形义合锐函定借直￣ ” 率３距６作形任：角的是于单“ 用方“ｘ把来意角数义坐或，几 ” “ 是的．三是于助角）看法，为角三－何～ ” 一．ｆ３以３／
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＼ｊ／、
１
＜４时，唯一解，一３有即＜ ≤ Ｏ．
ｙｌｇｚ的图像关于Ｙ轴对称， — ０２观
察图像知一１＜ｏ＜Ｘ．
点评：以形助数可以起到事半
功倍之效，图形一定要作准确．但
・ｍ一１－３或＜ｍ￣０．注也可设曲线一一（－２１ｚ∈ （，）直线 — ｘ）＋，Ｏ３和：