11.2.分式的基本性质

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分式的基本性质

例2
解分式方程 $\frac{x}{2} - \frac{3x}{4} = 1$
解
将方程两边同时乘以4，得 $2x + 3 = 7$，解得 $x = 2$。
解
将方程两边同时乘以4，得 $2x - 3x = 4$，解得程的步骤 • 整理方程：将方程中的分式转化为整式，通过通分、约分等方式简化方程。 • 确定未知数的值或取值范围：根据简化后的方程，确定未知数的值或取值范围。 • 检验：将求得的未知数的值代入原方程进行检验，确保方程的根的正确性。 • 注意事项 • 在解分式方程时，需要注意方程的化简和约分，避免出现计算错误。 • 在求出未知数的值或取值范围后，需要进行检验，确保根的正确性。 • 当方程的根的个数多于1个时，需要注意解的取舍，确保得到正确的解。
分式除法是指一个分式除以另一个分式。在进行分式除法时，需要将除数的分子和分母颠倒，然后将颠倒后的除数与被除数相乘。
分式的运算性质应用举例
求解分式方程
通过使用代入消元法或加减消元法，可以将分式方程转化为整式方程，从而求解出未知数的值。
简化分式
通过使用分式的加法、减法、乘法和除法，可以将一个复杂的分式简化成一个简单的分式。
分数的定义可以扩展到复数范围，但在高中数学中通常只涉及有理数分式的讨论。
分式的形式
1 2
最简分式
分子和分母没有公共因子，且分子和分母的最高次数相同。
真分式
分子和分母都是多项式，且分子和分母的次数不同。
3
假分式
分子和分母的次数相同，或分子和分母有公共因子。
分式的基本性质
分式的值不等于零
分式的值是分子与分母相除的结果，当分母为零时，分式的值不存在，即分式不等于零。

8、分式的概念、分式的基本性质

8 、分式的概念、分式的基本性质【知识精读】分式的概念要注意以下几点：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；（3）分式有意义的条件是分母不能为0。

分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。

在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。

下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。

【分类解析】例1. 已知a b ，为有理数，要使分式a b 的值为非负数，a b ，应满足的条件是（） A. a b ≥≠00，B. a b ≤<00，C. a b ≥>00，D. a b ≥>00，，或a b ≤<00，分析：首先考虑分母b ≠0，但a 可以等于0，由a b≥0，得a b ≥>00，，或a b ≤<00，，故选择D 。

例2. 当x 为何值时，分式||x x -+55的值为零？分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。

解：由题意得，得||x x -==±505，，而当x =-5时，分母x +5的值为零。

∴当x =5时，分式55||+-x x 的值为零。

例3. 已知113a b -=，求2322a ab b a ab b----的值（） A. 12 B. 23 C. 95D. 4 分析： 113113a b b a-=∴-=-，，将分式的分母和分子都除以ab ，得 23222231122333295a ab b a ab b b a b a ----=----=⨯----=()，故选择C 。

例4. 已知x y -=20，求x xy y x xy y2222323-++-的值。

分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。

分式的基本性质课件

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目录
• 分式的定义与分类 • 分式的基本性质 • 分式的约分与通分 • 分式的运算性质 • 分式在实际生活中的应用
01 分式的定义与分类
分式的定义
分数形式的表示
分式是形如A/B（其中A和B都是整式，并且B中含有字母）的数学表达式，表示为分数形式。
分数形式的特性
分式具有分数形式的特性，如分子、分母、分数线等。
04 分式的运算性质
分式的加减法运算
相同分母分式的加减法
相同分母的分式可以直接进行加减运算，分母不变，分子进行相应的加减运算。
不同分母分式的加减法
不同分母的分式需要先通分，再进行加减运算。通分后，分母变为两个分母的最小公倍数，分子进行相应的加减运算。
分式的乘除法运算
分式的乘法
两个分式相乘，直接将分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
分子分母同号性质
分子分母同号，分式值为正
如果分子和分母同为正数或同为负数，则分式的值为正。
分子分母异号，分式值为负
如果分子和分母异号，则分式的值为负。
分子分母异号性质
分式值为负
当分子和分母异号时，分式的值一定是负数。
分子分母同号时，分式值为正
当分子和分母同号时，分式的值一定是正数。
分子分母同倍性质
05 分式在实际生活中的应用
分数在生活中的应用
日常生活中的分数
在日常生活中，我们经常遇到与分数有关的问题。例如，在食品包装上，我们经常看到分数的标注，表示食品的营养成分或成分
比例。
金融领域中的分数
在金融领域中，分数的应用也非常广泛。例如，在股票交易中，我们经常听到“五五开”的说法，这实际上就是将股票分成五份

分式的基本性质人教版八年级数学上册

6. （例 4）通分：
（2）最简公分母是x（x+3）.
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重难易错
7. （例 5）约分：
（1）原式＝1.
（2）原式＝-1．
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7. （例 5）约分：
（3）原式＝2-x.
16. 已知 a+2b=0，求
的值.
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谢谢！
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二级能力提升练
11. 约分：
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11. 约分：
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12. 约分：
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知识点2.分式的通分
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 最简公分母：各分母中数字因数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的乘积.
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5. （例 3）填空：
（1）分式
的最简公分母是 6xy ；
（2）分式
的最简公分母是（x+1）（x+.2）
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分式的基本性质是什么

分式的基本性质是什么
分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。

一、分式的基本性质
1、分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

2、分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除数，分母为除数，分数线起除号（或括号）的作用。

3、分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。

4、在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。

这里，分母是指除式而言。

而不是只就分母中某一个字母来说的。

二、分式条件
1、分式有意义条件：分母不为0。

2、分式值为0条件：分子为0且分母不为0。

3、分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。

4、分式值为1的条件：分子=分母≠0。

5、分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。

三、代数式分类
整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无理式和有理式统称代数式。

《分式的基本性质》课件

将结果验证为方程的解，
个无分式的方程。
程，找到未知变量的值。
确保它满足原始方程。
分式的简化与取消
1
简化
将分式的分子和分母的公因数约分，以最简形式表示。
2
取消
删除分式的分子和分母的公因式，以取消分式的形式表示。
3
例子
例如，将16/24简化为2/3，将4/8取消为1/2。
分式的加法与减法
1
共同分母
加减法只适用于具有相同分母的分式。
找到分式的公共分母
2
如果两个分式的分母不同，需要将它们转
果简化为最简形式。
分式的化简与约分
1
化简分式
2
约分分式
3
化简和约分的例子
通过将分子和分母简化为
通过将分式的分子和分母
例如，将8/12化简为2/3，
最简形式来化简分式。
除以它们的最大公约数来
将15/20约分为3/4。
约分分式。
解分式方程
1
步骤1
2
步骤2
3
步骤3
将方程中的分式转换为一
通过使用代数运算解决方
分式的总体数量。
3
分式的例子
例如：1/2、3/4、x/y等都是分式的例子。
分式的基本形式
1
基础形式
分式通常以a/b的形式表示，其中"a"是分子，"b"是分母。
2
整数形式
当分母为1时，分式可以简化为整数形式，例如：5/1可以简化为5。
3
带分数形式
当分子大于或等于分母时，分式可以表示为带分数形式，例如：7/4可以表示为1 3/4。
《分式的基本性质》PPT
课件

分式基本性质

04
分式运算
分式乘除法运算
分子乘分子，分母乘分母
当分式的分子和分母都是多项式时，应先进行因式分解，再约分。约分时，分子和分母同时除以它们的最大公因式。
整式与分式的乘除法
在分式的乘除法运算中，如果分子或分母是多项式，可以将这个多项式作为一个整体，运用整式的乘除法法则进行计算。
负号移到分母
当分式的分子或分母是多项式时，如果有负号，可以将这个负号移到分母上，同时改变分式的符号。
例如解方程 x/2 + 1/(x-1) = 2，步骤为：设y=x-1，则原方程变为y/2 + 1/y = 2，解得y=1或y=-2，经检验得x=3或x=-1
参数法
例如解方程 (x+1)/x = (3-x)/(2x+4) ，步骤为：设t=x+1，则原方程变为 t/t-1 = (3-t)/(2t+2)，解得t=1或t=3，经检验得x=-2或x=4
因式分解
在进行通分时，需要对分子或分母进行因式分解，以便更好地进行通分。例如， $\frac{2x+4}{3x^2+2x}$可以分解为$\frac{2(x+2)}{x(x+1)}$。
乘除法通分
对于一些简单的分式，可以通过乘除法进行通分。例如，$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$可以通分为$\frac{8}{12}$和$\frac{9}{12}$。
VS
间接通分
间接通分是指通过引入中间变量或利用等价关系进行通分。例如，将 $\frac{x+1}{x^2-1}$和$\frac{x-1}{x^22x+1}$进行通分，可以先将后者变形为 $\frac{(x-1)^2}{x^2-2x+1}$，再利用等价关系进行通分。

分式知识点总结

分式知识点总结一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是，分母 B 的值不能为 0，如果 B=0，那么分式就没有意义了。

例如，分式 1/x，当 x=0 时，这个分式就没有意义。

二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于 0 的整式）。

这就像分蛋糕，如果把蛋糕（分式的值）平均分成的份数（分母）和每份的大小（分子）同时扩大或缩小相同的倍数，蛋糕的大小（分式的值）不变。

例如，对于分式 2/3，分子分母同时乘以 2，得到 4/6，分式的值不变。

三、分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公因数。

2、字母：取相同字母的最低次幂。

例如，对于分式 6x/8x²，分子分母的公因式是 2x，约分后得到 3/4x。

四、分式的通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的方法：1、取各分母系数的最小公倍数。

2、凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。

3、同底数幂取次数最高的。

例如，对于分式 1/2x 和 1/3y，最简公分母是 6xy，通分后分别为3y/6xy 和 2x/6xy。

五、分式的运算1、分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。

用式子表示为：（A/B)×（C/D) ＝ AC/BD。

例如，（2/3)×（4/5) ＝ 8/15。

2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式的概念与基本性质

分式的概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地,如果A ，B 表示两个整式,并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点: ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式,中间以分数线隔开．分式有意义的条件两个整式相除,除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义．分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a mb b m÷=÷(0m ≠)．注意:①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时"，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中,哪些是分式？哪些是整式？1t ，(2)3x x +，2211x x x -+-,24x x +，52a ，2m ，21321x x x +--，3πx -，323a a a +【考点】分式的基本概念【解析】根据分式的概念可知,分式的分母中必然含有字母，由此可知1t,2211x x x -+-，24x x +，21321x x x +--，323a a a +为分式．(2)x x +，5a ,2m ，3x-为整式．【答案】1t，1x -，24x x +,21321x x x +--,3a 为分式(2)3x x +，52a ，2m ，3πx-为整式．【例2】代数式22221131321223x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个 C 。

分式的基本性质

学校：大塬学校授课人：杨春霞
回顾复习
B a=2
自主探究
分数的基本性质
2.分不等于零的数，分数的值不变。
分式的基本性质
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
（C≠0），其中A、B、C是整式.
比较：分式的基本性质与分数的基本性质有哪些不同？
分式的基本性质分数的基本性质
分式的分子、分母都分数的分子、分母都
乘以（或除以)同一个乘以（或除以)同一个
不等于零的整式,分式不等于零的数, 分数
的值不变.
的值不变.
例2.化简下列各式：
模仿练习
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
议一议
5 xy
5x
20 x 2 y 20 x 2
5xy 5xy 1 20 x 2 y 5 xy 4 x 4 x
你对他们两人的做法有何看法？与同伴交流。
最简分式：分子和分母没有公因式的分式。
化简的结果是：最简分式或整式。
本节课你学到了什么？还有什么疑惑？
课堂小结
1.分式的基本性质； 2.约分； 3.最简分式.
注意！！
(1)分子、分母应该同时进行乘、除中的同一运算； (2)所乘(或除以)的必须是同一个整式； (3)所乘(或除以)的整式非零.

《分式的基本性质》分式

总结词
注意符号运算
详细描述
在进行分式的加减法时，需要注意符号运算，特别是当分子或分母为负数时，需要特别小心。
总结词
化简运算结果
详细描述
在进行分式的加减法后，需要对结果进行化简，即约分，将结果化为最简形式。
分式的乘除法
总结词
分子乘除、分母乘除法
详细描述
在进行分式的乘除法时，需要将分子和分母分别进行乘除运算。
通分的注意事项
通分是将两个或多个分式化为相同分母的过程。
通分时要注意分母的选择，要选择一个所有分母都能整除的最小正整数作为最简公分母。
通分的步骤
首先找出各个分式的最简公分母，然后将各个分式的分子和分母都乘以相应的倍数，使其分母与最简公分母相同。
分式的运算性质
运算性质的定义
分式的运算性质是指在进行分式的加减乘除等运算时，可以运用的一些性质和规则。
数，简化分式。
约分时，要特别注意约去的公因数是否为0，避免出现除数为0
的情况。
约分时，要注意分子和分母的符号，确保约分后分式的符号正确
。
通分时注意最简公分母的选择
通分时，要选择最简公分母，避免出现复杂和不必要的计算。
最简公分母的选择要考虑分式的分母和分子，确保最简公分母能够同时整除分式的分母和分子。
数学中的分式
总结词
数学中分式用于解决几何、代数等问题。
详细描述
在数学中，分式经常被用来解决几何和代数等问题。例如，在几何学中，分式用于计算面积和体积的比率；在代数中，分式用于解决方程和不等式等问题。
05
分式的注意事项与易错点
约分时注意分子和分母的公因数
约分时，要仔细观察分子和分母的公因数，确保正确地约去公因