勾股定理专题复习(第1课时)

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八年级数学下册第十七章勾股定理17-1勾股定理第1课时认识勾股定理新版新人教版

②如图②，AD在△ABC外部.
在Rt△ACD中，由勾股定理得CD＝5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得DB＝16，
∴CB＝BD－CD＝16－5＝11，

∴S△ABC＝ ·
BC·
AD＝ ×11×12＝66.

综上所述，△ABC的面积为66或126.
利用勾股定理求作图中线段的长
9.[2023·天津]如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，
若AC＝3，BC＝4，则CD的长为( A )
(第2题)
A.2.4
B.2.5
C.4.8
D.5
【点拨】
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52，∴AB＝5.

∵CD⊥AB，∴S△ABC＝ AB·
CD＝ AC·
BC.

∴CD＝
· ×
＝＝2.4.
∵BD＝CD，
∴BD＝AD.
∴∠B＝∠BAD.
∵∠B＋∠BAD＋∠C＋∠DAC＝180°，
∴2∠BAD＋2∠DAC＝180°.
∴∠BAD＋∠DAC＝90°.
∴∠BAC＝90°.
在Rt△ABC中，BC＝BD＋CD＝2AD＝10，AC＝8，
∴AB＝ − ＝ − ＝6.
故选D.

3.[2023·随州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD
＝
5
.
(第3题)
【点拨】
如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，
∵BD是∠ABC的平分线，

勾股定理第一节复习课

勾股定理复习课（一）学习目标：结合方程的思想，运用勾股定理解决实际问题。

学习过程：一、尝试自学1. 知识点回顾：（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b,斜边长为c ，那么=+22b a _______ ，即___________平方和等于___________平方。

（2）注意：勾股定理只适用于三角形。

在使用勾股定理时，先要弄清边和边，边最长。

2.运用一：已知两边求第三边如图，在直角三角形ABC 中，090=∠A ，边BC,AC, AB 的长度分别是a ，b ，c （1）若c=5，b=12，则a=________（2）若c=6，a=10，则b=________（3）若a=6，b=1，则c=_________3. 运用二：已知一边和另两边的关系，求另两边在直角三角形ABC 中，090=∠C ，边BC,AC, AB 的长度分别是a ，b ，c （1）若c=2，a=b ，求a ，b（2）若a=3，c=2b ，求b ，c（3）若c=10，4:3:=b a ，求a ，b思考：在直角三角形已知一边和另两边的关系，求另两边，通常用什么方法解决？二、例题：实际应用：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出旗杆的高度吗？三.局部训练： A 组题1. 在直角三角形ABC 中，090=∠A （1）若AB=1，AB=AC ，则AC=_____，BC=_______（2）若BC=2，2AB=BC ，则AB=_____，AC=_______2. 在直角三角形ABC 中，边BC,AC, AB 的长度分别是a ，b ，c（1）若 090=∠C ，045=∠=∠B A ,c=8，求a ，b（2）若 090=∠B ，030=∠A ,a=1，求b ，c3.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这跟芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少尺？B组题：4. 如图，已知AB=25，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B， DA=15，CB=10，点E在AB 上，为了使得C，D两点到点E的距离相等，则AE的长度是多少？DCE B 变式：（两个直角三角形有公共边的）C组题：5.如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。

勾股定理复习(第1课时)

问题2：求下列直角三角形未知边x的长
x 5
8
17
16
x
12
x
20
（1）图①中，x=___________;(2) 图②中，x=___________;(3)图③中， x=___________; 师生活动：学生独立解答. 提问2：勾股定理的内容是什么？提问3：当三个数满足怎样的条件时，被称为勾股数？能否举出一些勾股数？设计意图：用勾股定理计算未知边的长度，帮助学生总结在直角三角形中，已知两条边的长度，就可以求出第三条边的长度.此时关注学生计算是否准确，快速，是否熟悉一些常见的勾股数.
M O E B A x
问题4: 如图，在等腰直角三角形ABC中， ∠ABC=90°, 点D是边AC的中点，过点D作 DE⊥DF,交AB于点E,交BC于点F (1)如图1，若BF=CF=3，求EF. (2)如图2，若BF≠CF, 且 AE=,CF=,求EF. (用含a, b的式子表示)
B
B
F
E
F
E
C
D
巡视，并适时指导. 设计意图：（1）利用DF是三角形中位线，直角三角形两锐角互余，等角对等边帮助学生建立DE,DF之间的数量关系，为进一步运用勾股定理计算EF的长度作铺垫.通过引导学生观察，三角形的中位线，从而四边形BFDE是矩形，当四边形有一条对角线相连的时候，提醒学生往往连接另一条对角线，引导学生通过三角形全等，等腰直角三角形性质证明四边形BFDE是正方形，引导学生充分挖掘几何图形性质. （2）引导学生类比（1）中的方法，连接另一条对角线 BD，进一步体会三角形全等带来的方便，将不在同一个三角形的两条线段转化为在同一个三角形中.
特别地，勾股定理与图形折叠的结合，学生在画图有一定的困难，还需要教师引导学生从折叠的性质，即折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，从而帮助学生顺利建立方程模型，积累一定的学习经验. 本节课难点：利用折叠性质正确建立方程模型；利用三角形全等性质求相关线段的长度.

《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)

A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，

苏科版初中八年级数学上册3-1勾股定理第一课时勾股定理课件

圆的面积S2= 9 π,以BC为直径的半圆的面积S3=25 π,S△ABC=6,
8
8
∴S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=6,故选A.
13.(2023江苏南京中考,5,★☆☆)我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题:“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲知为田几何?”问题大意:在△ABC中,AB=13里,BC=14里,AC =15里,则△ABC的面积是 ( C ) A.80平方里 B.82平方里 C.84平方里 D.86平方里
解析 (1)证明:∵BD⊥AC, ∴∠C+∠CBD=90°=∠EDA+∠BDF, ∵∠BDF=∠C,∴∠CBD=∠EDA. (2)设AD=x,则AB=AC=AD+CD=x+1, ∵BD=3,AD2+BD2=AB2,∴x2+32=(x+1)2, 解得x=4,∴AB=x+1=5.
能力提升全练
11.(情境题·中华优秀传统文化)(2023江苏苏州姑苏期中,5,★ ★☆)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按如图2所示的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 ( C )
8.(2022江苏盐城校级期末)若一个直角三角形的两边长分别为4和5,则第三条边长的平方为 9或41 . 解析当5为直角边长时,第三条边长的平方为42+52=41;当5 为斜边长时,第三条边长的平方为52-42=9.故答案为9或41.
9.如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A、B、C均在格点上,求AB2-CA2的值.

人教版八年级数学下册第十七章第一节第1课时勾股定理

B
解：(1) 据勾股定理得
c a2 b2 52 52 50 5 2. C
A
(2) 据勾股定理得
b c2 a2 22 12 3.
【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. (1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a ; (2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c. 解：(1) 设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得 x2 + (2x)2 = 52，解得 x 5， ∴ a 5 . (2) ∵A 30°，b 15，∴c 2a . 因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得 (2x)2 - x2 = 152，解得 x 5 3 . ∴ a 5 3 ，c 10 3 .
1 4
BC2.
勾股定理
内容注意
在Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，
b 为直角边，c 为斜边，则有 a2 + b2 = c2.
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
D
根据三角形面积公式，
3
∴ ∴
1 2
AC×BC
12
CD = 5 .
=
1 2
AB×CD.
C
4
B
归纳由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角
边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联
合使用．
练一练
求下列图中未知数 x、y 的值：
81 x
144
解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2，
解得 x = 15.
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：

2.1 勾股定理(第1课时)

苏科8上数学2.1 勾股定理(第1课时)班级姓名学号学习目标1、体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法。

2、会运用勾股定理解决简单问题。

3、通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值，体会数学的价值。

4、培养动口、动手、动脑的综合能力，并感受从具体到抽象的认知规律。

学习难点勾股定理在生活实际中的应用教学过程一、情景导入：小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。

小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。

你能解释这是为什么吗？二、数学活动勾股故事1最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。

赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。

如图,在边长为c的正方形中,有四个斜边是c的全等直角三角形,已知它们的直角边分别是a, b . 说明:我国古代数学家赵爽在他所著的<勾股圆方图注>中,利用这个图证明勾股定理.勾股圆方图勾股故事2中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话－－“勾股术”，并且还记载了勾股定理的一般形式。

勾股故事3美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．勾股故事41955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。

这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。

邮票上的图案是对勾股定理的说明。

希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。

勾股定理直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边平方。

用数学式子表示：c 2=a 2+b 2 三、例题例题 1已知：如图，等腰△ＡＢC 的周长是32cm ，底边长是12cm 。

（1）求高AD 的长；bbaa22222122122121221221212122212212221211)2())((cb a cab ab b a s s cab c ab ab s abb a b ab a b a b a s =++=++=+=++=++=++=++=（2）求S △ＡＢC 。

第一章勾股定理

7．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，AB＝13， BD＝5，AC＝15. (1)求 AD 的长． (2)求 BC 的长．
知识点 2 利用勾股定理求面积
8．如图，以直角三角形的三边为边长向外作三个正方
形 A，B，C.若 SA＝26，SB＝18，则 SC＝
．
3．如图，在△ABC 中，AB⊥AC，BD 是 AC 边上的中
5．(教材 P4 习题 T4 变式)如图，在△ABC 中，AB＝AC
＝10，AD 是角平分线，AD＝6，则 BC 的长度为
．
6．在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c. (1)若 a＝8，b＝15，求 c. (2)若 a∶b＝3∶4，c＝25，求 a，b.
知识点 3 勾股定理的简单应用
长为 a，较短直角边长为 b.若 ab＝8，大正方形的面积
为 25，则小正方形的边长为( )
年，美国总统伽菲尔德利用如下图验证了勾股定理，其
中两个全等的直角三角形的边 AE，EB 在一条直线上，
证明中用到的面积相等关系是( )
5．如图，从电线杆离地面 12 m 的点 C 处向地面拉一条长为 13 m 的钢缆，则地面钢缆固定点 A 到电线杆底部 B 的距离为 _ ．
6．某地规定小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 72 km/h.如图，一辆小汽车在城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A 正前方 50 mC 处，过了 5 s 后，测得小汽车位置 B 与车速检测仪 A 之间的距离为 130 m，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
第一章勾股定理
1 探索勾股定理
第 1 课时探索勾股定理
01 基础题
知识点 1 认识勾股定理

第一章：勾股定理复习专题

C
A
B
3、勾股定理的应用（ 1 ）一只蚂蚁从点 A 沿圆柱表面爬到点 B，如果圆柱的高为 8cm ，圆柱的底面半径为的路线长是多少？ B
6 cm ，那么最短
（6）一个三级台阶的每一段的长、宽、高分别为 20、 3、 2 分米，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，点 A 有一只蚂蚁，想到 B 点去吃食物，求蚂蚁爬的最短路程？
C A B B A
C
2、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
100 225
6、已知直角△ABC 的两直角边分别为 6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
C 6 A 8 B
x
17 15
?
3、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm，则正方形 A，B，C，D 的面积的和是 cm2．
B
等面积法思路：利用图形面积的不同表达方式建等式（1）在△ABC 中，∠ACB=90º， CD⊥AB，D 为垂足， AC=6cm,BC=8cm.求① △ABC 的面积； ②斜边 AB 的长； ③斜边 AB 上的高 CD 的长
A D
（2）一辆卡车装满货物后，高 4 米，宽 2.8 米.这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？
B A C D
7cm
三、习题 1、勾股定理习题折叠问题思路：找折痕（对称轴）；表数据；利用勾股定理建立等式（1）折叠长方形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的 F 点处，若 AB=8cm，BC=10cm，求 EC 的长.
A D E
4、用拼图法证明勾股定理
B

17.1第1课时勾股定理及验证

图 17－1－13
第1课时勾股定理及验证
解：证明：连接 DB，过点 B 作 DE 边上的高 BF，则 BF＝b－a. 1 1 ∵S 五边形 ACBED＝S 梯形 ACBE＋S△AED＝ (a＋b)b＋ ab， 2 2 1 1 2 1 又∵S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ADB＋S△BED＝ ab＋ c ＋ a(b－a)， 2 2 2 1 1 1 1 2 1 ∴ (a＋b)b＋ ab＝ ab＋ c ＋ a(b－a)， 2 2 2 2 2 ∴a2＋b2＝c2.
第1课时勾股定理及验证
C拓广探究创新练
15．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图 17－1－12 或图 17－1－13 摆放时，都可以用“面积法” 来证明．下面是小聪利用图 17－1－12 证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图 17－1－12 所示的方式摆放，其中 ∠DAB＝90° ，求证：a ＋b ＝c .
第1课时勾股定理及验证
14．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图 17－1－11 所示，火柴盒的一个侧面 ABCD 倒下到四边形 AB′C′D′的位置，连接 CC′，AC′，AC，设 AB＝a， BC＝b，AC＝c，请利用四边形 BCC′D′的面积验证勾股定理： a2 ＋b ＝c .
图17－1－7
第1课时勾股定理及验证
10．[2018· 凉山州] 如图 17－1－8，数轴上点 A 对应的数为 2， AB⊥OA 于点 A，且 AB＝1，以 O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴于点 C，则 OC 的长为( D ) A．3 B. 2 C. 3 D. 5

新人教版八年级下第18章第一节勾股定理（第一课时）

利用多媒体展示分割、拼接的过程.让学生体会图形之间的联系。
（2）想一想，怎样利用小方格计算正方形P、Q、R面积？
P的面积
Q的面积
R的面积
图
（3）正方形P、Q、R面积之间的关系是什么？
（4）直角三角形三边之间的关系用命题形式怎样表述？
教师出示图表.
学生独立观察并计算图中正方形P、Q、R的面积并完成填表.
教师参与小组活动，指导、倾听学生交流.针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积.
或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积.
教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方,归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
通过讲述故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态.
“问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知.
得到教科书66页图18.1—3图1，构造了以a、b为直角边的直角三角形，令斜边为c，沿直角三角形的斜边分割从而拼得边长为c的正方形，完成拼图. 学生容易想到：未剪之前，图形面积是a +b ，在拼图过程中，构造了以a、b为直角边的直角三角形，得到斜边为c.拼接之后新的正方形边长是c，面积为c .从而得到直角三角形三边的关系：a +b ＝c ，即验证了命题1.
课题
18．1勾股定理（第一课时）
学校
嘉积中学海桂学校
上课教师
刘红军
项目
内容
理论依据或意图
教
材
分
析
教材地位与作用
《勾股定理》是人教版八年级(下册)第十八章第一节的内容。它是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,将数与形密切联系起来,在数学的发展中起着重要的作用，它可以解决许多直角三角形的计算问题,在生产,生活中用途很大。

勾股定理(第1课时)-

a c b
1 s大正方形=4× 2ab+(b-a)2
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2 ∵s大正方形= s大正方形 ∴c2=a2+b2
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾
a
股
弦
c
b
学以致用 1、已知：a＝3，
通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。
３、学了本节课后我们有什么感想？很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。
作业：
１、通过查阅资料，了解勾股定理的文化背景。２、通过查阅资料，了解勾股定理的证明方法。
5
D
C
因此,AC=
2m
A B
大于木板的宽, 因为AC______ 能从门框内通过. 所以木板____
学以致用
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多少千米？ 3000米 C B
20秒后
4000米 5000米
S１+S２=S３等腰直角三角形三边有什么关系？
两直边的平方和等于斜边的平方
B A C 图2 图3 图2
A的面积(单位长度)
B的面积(单位长度)
C的面积(单位长度)
4
9
9
25
13
34
C A

勾股定理复习(一)

勾股定理复习（一）本章教材分析本章主要介绍勾股定理及其逆定理，以及这两个定理的应用，具体内容如下：探索勾股定理；验证勾股定理；探索直角三角形的判别条件以及勾股定理及其逆定理在实际中的应用。

勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就，是反映自然界基本规律中的一条重要结论。

它对数学的发展起着重要作用。

它揭示了直角三角形的本条边之间的数量关系，为将来解直角三角形提供了有利武器。

课本中通过数格子的办法，让学生经历探索、发现直角三角形三边间的数量关系，利用拼图的方法论证勾股定理的合理性，体会证明方法的多样性，通过勾股定理的实际生活中的广泛应用，让学生感受到它可以帮助我们解决很多与线段求值相关的问题。

课本中介绍了古埃及人做直角的方法，通过学生亲手制作、度量，发现勾股定理的逆定理。

逆定理是证明一个角是直角的主要方法之一，也是证明一个三角形是直角三角形的重要依据，它体现了数学的重要思想——数形结合思想。

通过定理“探索——发现——证明”，渗透了数学的转化思想。

本章内容小结本章教材的知识点主要有勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用一、构建知识网络⎪⎩⎪⎨⎧应用勾股逆定理直角三角形的判定应用历史勾股定理三边的关系直角三角形————、二、复习指导在运用勾股定理时一定要有三角形为直角三角形这个前提；在判定一个三角形是否为直角三角形时不能只从某两条边的平方和是否等于第三边的平方来进行判断，我们的建议是找出所有的情形再判断（当然成立的情形只有一种可能）。

另外通过图形展开求最近距离体现了勾股定理的运用。

注意展开方式是否唯一。

从全国各地近几年中考试题来看，对于勾股定理及其逆定理的考查，从题型上来看有选择题、填空题等客观题，也有证明题、计算题、解答题，近两年涉及本章内容还出现了阅读题、探索题、分类讨论等新题型，特别是和工农业生产以及实际生活紧密相连的创新应用题，目的是考查运用数学知识解决实际问题以及创新能力，今后在中考试题中，这部分内容多与其他知识一起综合出现。

17.1 勾股定理(第一课时勾股定理的证明)(练习)(解析版)八年级数学下册(人教版)

第十七章勾股定理17.1 勾股定理（第一课时勾股定理的证明）精选练习答案一、单选题（共10小题)1．（2020·山东青岛市·八年级期中）若实数m、n满足|m﹣3|+4n-＝0，且m、n恰好是Rt的两条边长，则的周长是（）A．5 B．57C．12 D．12或7【答案】D【分析】根据非负数的性质分别求出m、n，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】n-0，∵|m﹣4n-0，∴|m﹣3|＝04∴m﹣3＝0，n﹣4＝0，解得，m＝3，n＝4，当422+5，34则△ABC的周长＝3+4+5＝12，当422-7，43则△ABC的周长＝7＝7故选：D．2．（2020·吉林长春市·八年级期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（）A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】B【分析】由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．【详解】设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S 1，S 2，S 3，大小正方形重叠部分的面积为S ，则由勾股定理可得：S 1+S 2=S 3，在图②中，S 1+S 2+3-S=S 3，∴S=3，故选：B ．3．（2020·广东清远市·八年级期末）下列各组数是勾股数的是（）A ．4，5，6B ．5，7，9C ．6，8，10D ．10，11，12【答案】C【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数a 、b 、c 叫做勾股数，逐一进行判断即可．【详解】解：A. 222456+≠，故此选项错误；B. 222579+≠，故此选项错误；C. 2226810+=，故此选项正确；D. 222101112+≠，故此选项错误．故选：C ．4．（2020·福建福州市·八年级期末）在平面直角坐标系中，点P(1-，3)到原点的距离是( ) A ．10 B ．4 C ．22 D ．2 【答案】A【分析】根据平面直角坐标系中，两点间的距离公式，即可求解．【详解】∵P(1-，3)，原点坐标为（0，0），∴点P(1-，3)到原点的距离=22(10)(30)10--+-=，故选A ．5．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )A ．4B ．3C ．3D 3【答案】C【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD ，再用勾股定理即可求出AC ．【详解】解：∵点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，BD=4，∴AD=BD=4，∴2222AC AD CD；4223故选：C．6．（2020·张掖市期中）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12 B．C．12或D．以上都不对【答案】C【详解】设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，=，此时这个三角形的周长．故选C7．（2020·江门市期中）在△ABC中，AB=10，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10 B．8 C．6或10 D．8或10【答案】C【详解】分两种情况：在图①中，由勾股定理，得==;BD8===;CD2∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得==;BD8===;CD2∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选C.8．（2020·河北张家口市·八年级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【详解】如图所示，∵（a+b ）2=21∴a 2+2ab+b 2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选C ．9．（2020·山东泰安市·八年级期中）如图，直线L 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为1和9，则b 的面积为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【详解】试题分析：运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE ，然后证明△ACB ≌△DCE ，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，，∴△ACB≌△CDE（AAS），∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即S b=S a+S c=1+9=10，∴b的面积为10，故选C．10．（2020·伊宁市期中）若一个直角三角形的两直角边的长为12和5，则第三边的长为（）A．13119B．13或15 C．13 D．15【答案】C【分析】直角三角形中斜边最长，结合已知数据，利用勾股定理可求出第三边的长.【详解】当12，522+=12513.故第三边的长为13.故选:C.二、填空题（共5小题)11．（2020·南丹县期中）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．【答案】57【解析】试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：22-=；437②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：22435；∴第三边的长为：7或5．∆的周12．（2020·黑龙江绥化市期中）在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC长为_______________．【答案】32或42【分析】根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案【详解】当△ABC是钝角三角形时，∵∠D=90°，AC=13，AD=12，∴2222CD AC AD=-=-=,13125∵∠D=90°，AB=15，AD=12，∴2222BD AB AD=-=-=,15129∴BC=BD-CD=9-5=4，∴△ABC的周长=4+15+13=32；当△ABC是锐角三角形时，∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，∴2222=-=-=，13125CD AC AD∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，∴2222=-=-=，15129BD AB AD∴BC=BD-CD=9+5=14，∴△ABC的周长=14+15+13=42；综上，△ABC的周长是32或42，故答案为：32或42.13．（2020·广西防城港市·八年级期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是__________cm2．【答案】17【解析】试题解析：根据勾股定理可知，∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S正方形2，S正方形A+S正方形B=S正方形1，∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.14．（2020·山东菏泽市·八年级期中）已知一直角三角形两直角边的长分别为6cm和8cm，则第三边上的高为________.【答案】4.8cm【分析】先由勾股定理求出斜边的长，再用面积法求解.【详解】解：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6cm ，BC =8cm ，CD ⊥AB ，则2210AB AC BC =+=（cm ），由1122ABC S AC BC AB CD ==，得6810CD ⨯=，解得CD =4.8(cm).故答案为4.8cm.15．（2020·广东韶关市·八年级期中）平面直角坐标系中，点()3,4P -到原点的距离是_____．【答案】5【分析】作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =，再根据勾股定理求解．【详解】作PA x ⊥轴于A ，则4PA =，3OA =．则根据勾股定理，得5OP =．故答案为5．三、解答题（共2小题）16．（2020·湖南株洲市期末）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE 的长；（2）求△ADB 的面积．【答案】（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE ，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：2222AB AC BC 6810=+=+=， ∴△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=. 17．（2020·宿州期中）在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，CD ＝12，AD ＝13．（1）求AC 的长；11/1 （2）求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）5；（2）36【分析】（1）由勾股定理可得：22AC AB BC =+，从而可得答案；（2）先证明ACD △是直角三角形，再利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积和，从而可得答案．【详解】解：（1）∵∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，∴2222435AC AB BC =+=+=；（2）由（1）知，AC ＝5，∵CD ＝12，AD ＝13，∴AC 2+CD 2＝22251216913+===AD 2，∴ACD △是直角三角形，∠ACD ＝90°，∵AB ＝4，BC ＝3，∠B ＝90°，AC ＝5，CD ＝12，∠ACD ＝90°，∴四边形ABCD 的面积是，即四边形ABCD 的面积是36．。

人教版数学八年级下册17.1勾股定理(第1课时)优秀教学案例

2.利用合作交流、讨论探究等学习方式，培养学生解决问题的能力，提高学生的团队协作精神。
3.教师引导学生运用数形结合的思想，将抽象的数学问题具体化，提高学生的数学思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对古代数学文化的兴趣，培养学生对数学的热爱，提高学生的学科素养。
2.通过赞美勾股定理的美，让学生感受数学的严谨、精确，树立正确的数学观念。
5.人文素养培养：教师在教学过程中注重培养学生的人文素养，让学生体会数学的博大精深，感受数学的美。这种教学方式使学生在学习数学知识的同时，也能够提升自己的综合素质，培养自己的审美情趣。
本节课的案例亮点体现了教学的实用性、互动性和人文性，充分调动了学生的积极性、主动性，使学生在探究、合作、交流中收获知识，提高能力。同时，注重培养学生的人文素养，让学生体会数学的博大精深，感受数学的美。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示古代中国建筑中的勾股定理应用，如赵州桥、故宫等，让学生感受数学与实际生活的紧密联系。
2.创设有趣的问题情境，如“勾股定理是如何被发现的？”、“你能用勾股定理解决生活中的问题吗？”等，激发学生的好奇心，引发学生的思考。
3.教师总结并提出本节课的学习目标，引导学生明确本节课的学习内容。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行总结，让学生明确勾股定理的定义、证明方法及其应用。
2.学生通过自我评价、同伴评价等方式，反思自己在探究过程中的表现，发现自身的不足，提高自我调控能力。
3.教师针对学生的学习情况，给予及时的反馈和评价，关注学生的成长过程，激发学生的学习动力。
在整个教学过程中，教师应以引导者、组织者、合作者的角色，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性，使学生在探究、合作、交流中收获知识，提高能力。同时，注重培养学生的人文素养，让学生体会数学的博大精深，感受数学的美。