第5章 回溯法

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if (constraint(t) && bound(t)) backtrack(t + 1); 回溯(的代码); } }2011-8-20
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C
D
3
F
4
G
2
H
4
I O
E
2
J P
3
K
3
M
4
N
2 3
Q
2
L
2
第5章 回溯法
第5章 回溯法
②回溯法搜索排列树的算法描述 void backtrack(int t) { if (t > n) output(x); else for (int i = t; i < n; i++) { swap(x[t], x[i]); //x[i]为当前活结点
而且，事实上不存在穷尽搜索之外的其他算法。
5.1 回溯法的算法框架
5.1.1 问题的解空间 回溯法的解空间
• 明确定义解空 间，至少包含 一个最优解。 1 • 例如：n=3时， 0-1背包问题的 解空间。
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1
B
A
0
C
1
D
0
E
1
F
0
G
0
I
1
J
0
K
1
L
0 1
M N
0
O
希望将搜索空间减少到尽可能的小。 所采用的组织搜索的技术：回溯法。
第5章 回溯法
第5章 回溯法 public static int maxLoading(int[]ww,int cc,int[] xx){ //修改
算法设计
//类数据成员 public static int n; //集装箱数 public static int[] w; //集装箱重量 public static int c; //第一艘轮船载重量 public static int cw; //当前载重量 public static int bestw; //当前最优载重量 public static int r; //修改：剩余集装箱重量 public static int [] x; //修改：当前解 public static int [] bestx; //修改：当前最优解
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} 2011-8-20
第5章 回溯法
第5章 回溯法
private static void backtrack(int i){ //回溯算法－搜索第i层结点 if(i>n){ //到达叶结点 if(cw>bestw){ bestw=cw; System.out.println("此时最优解是："); for(int j=1;j<=n;j++){ //修改 bestx[j]=x[j]; //修改 System.out.println(bestx[j]); } } return;
使用剪枝函数： ① 约束函数。 ② 限界函数。
2 2
G
3
C
4 4
H D
3
E
4
F
2
I
3
J
5. 总结：回溯法解题步骤
① 针对所给问题，定义解空间。 2 ② 确定易于搜索的解空间结构。 ③ 深度优先搜索解空间，使用剪枝函数避免无效搜 索。
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4
K
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3
L
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1
B
A
0
C
1
D
0
E
1
F
0
G
0 1
I J
0 1
K L
0 1
M N
0
O
第5章 回溯法
第5章 回溯法
②回溯法搜索子集树的算法描述 void backtrack(int t) { if (t > n) output(x); else for (int i = 0; i <=1; i++) { 1 H x[t] = i; //x[t] = 0,1
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1
D E
C
0
1
F
0
G
1
H
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0
I
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1
J
0
K
1
L
0
M
1
N
0
O
1
第5章 回溯法
第5章 回溯法
3. 例2：旅行售货员问题
1 6 3 20 30 5 2 4 10 4 B
1
A
解空间树中： 周游路线—根到叶的路径 叶结点个数为：(n-1)!
4. 避免无效搜索的策略
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n=ww.length-1; //初始化；n为层数 w=ww; c=cc; cw=0; bestw= 0; x=new int[n+1]; //修改 bestx=xx; //修改 r=0; //修改－初始化 for(int i=1;i<=n;i++) r+=w[i]; //修改 backtrack(1); //计算最优载重量 return bestw;
B
A
②回溯法求解。 ③处理不存在符号三角形的n值。 判断n*(n+1)%4==1 n*(n+1)/2为奇数 ④可行性约束条件－剪去子树。 ＋ (－)个数超过n*(n+1)/4。
0
O
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1
第1层
0
C
＋ ＋ － ＋ ＋ － － － ＋ － x[t]为解空间树的第t层
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曹来成 24
}
曹来成
23
4
第5章 回溯法
第5章 回溯法
算法复杂性： ①由于bestx可能被更新O(2n) 次, 所以计算时间为： T(n)=O(n2n) 。 ②额外递归栈空间：S(n)=O(n) 。
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5.3 符号三角形问题
＋ ＋ － ＋ － ＋ ＋ ＋ － － － － ＋ ① 第1行有n个符号。 － ＋ ＋ ＋ － ② 两个同号下是“＋”，两个 － ＋ ＋ － 异号下是“－”。 － ＋ － ③ 对于给定n，计算有多少 － － ＋ 个不同符号三角形，使其 所含的“＋”和“－”的个数 相同。
第5章 回溯法
本章内容
☞5.1 回溯法的算法框架 ☞5.2 装载问题 ☞5.3 符号三角形问题 ☞5.4 n后问题 ☞5.5 图的m着色问题 ☞5.6 旅行售货员问题
第5章 回溯法
第5章 回溯法
引 言
图的遍历算法：①深度优先搜索；②广度 优先搜索。 在许多真实世界的问题中，通过穷尽搜索 数量巨大但有限多个可能性，可以获得一 个解。
A 1 B 1 D 0 1 I J 0 E 0 1 K L
0 C 1 F 0 G 0 1 M N 0 O
2. 什么是排列树？ 当所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排 列时，相应的解空间树称为排列树。 A 1 排列树通常有n!个叶 B 结点。 2 4 3 遍历排列树需要Ω(n!) 计算时间。 ①旅行售货员问题的解 4 空间是一棵排列树。
1
D
0 第2层1
14个“＋”和14个“－”组成的符号三角形
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1. 问题描述
第5章 回溯法
第5章 回溯法
2. 算法思想
①解空间：第一行n个符号确定1棵完全2叉树。 x[1:n]表示第一行n个符号，x[i]=1(0) 表示第i个符号为“＋”(“－”)。
x[1] x[2] x[3] x[4]
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n
i1
backtrack(t + 1); swap(x[t], x[i]); //回溯 } }
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第5章 回溯法
算法设计
2. 最优 装载方案
①首先将第一艘轮船尽可能装满。 ②将剩余的集装箱装上第二艘轮船。
3. 等价于一个特殊的0-1背包问题
将第一艘轮船尽可能的装 max 满等价于选取全体集装箱 的子集，使该子集中集装 箱的重量之和最接近 c1。
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②实现的策略
H
设cw为当前载重量，bestw为当前最优载重量，r 为剩余集装箱的重量，则 r 定义：上界函数为cw+r。
j i 1
w
n
j
。
在结点Z处，当cw+r≤ bestw时，将Z的右子树剪 去。 平均情况下检查的结点数减少。
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第5章 回溯法
第5章 回溯法
第5章 回溯法
//回溯算法－搜索第i层结点 private static void backtrack(int i)
i=1：第1层 ...... 第i层
B1 1 0EFra bibliotekA0
C
算法复杂性： ①计算时间：T(n)=O(2n) 。
0
G
1
F
第i+1层 ...... 第n层
D
② 额外递归栈空间：S(n)=O(n) 。
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System.out.println("当前最优载重量："+bestw);
//搜索子树 r-=w[i]; //修改 if(cw+w[i]<=c){ //搜索左子树，即x[i]=1 x[i]=1; //修改 cw+=w[i]; backtrack(i+1); cw-=w[i]; } if(cw+r>bestw) //修改 x[i]=0; //修改 backtrack(i+1); //搜索右子树 r+=w[i]; //修改 }2011-8-20