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2019版二轮复习数学(文) 第一层级 基础送分专题三 不等式 Word版含解析

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不等式的专题

不等式的专题

2019一轮复习（文科数学）不等式专题一、温故知新 夯实基础1．两个实数比较大小的依据 (1) 0a b a b ->⇔>. (2) 0a b a b -=⇔=. (3) 0a b a b -<⇔<. 2．不等式的性质(1)对称性：a b b a >⇔<； (2)传递性：,a b b c a c >>⇔>； (3)可加性：a b a c b c >⇔+>+；,a b c d a c b d >>⇔+>+；(4)可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；(5)可乘方性：0n n a b a b >>⇒> (,1n N n ∈≥)； (6)可开方性：0a b >>⇒>(,2)n N n ∈≥．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系在不等式0ax bx c ++> ()中，如果二次项系数，则可根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解．有两相等实数根4.不等式20ax bx c ++> (0<)恒成立的条件 (1)不等式20ax bx c++>对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0. (2)不等式20ax bx c++>对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.5．二元一次不等式(组)表示的平面区域6.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤7．简单的线性规划中的基本概念82a b+ (1)基本不等式成立的条件：0,0a b >>. (2)等号成立的条件：当且仅当a b =. 9．几个重要的不等式(1) 222(,)a b ab a b R +≥∈；(2)2b aa b+≥ (,a b 同号)； (3) 2()(,)2a b ab a b R +≤∈；(4222()(,)22a b a b a b R ++≤∈． 10．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则,a b 的算术平均数为2a b+，，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 11．利用基本不等式求最值问题 已知0,0x y >>，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x y =时，x y +有最小值是 (简记：积定和最小)． (2)如果x y +是定值q ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24q (简记：和定积最大)．二、典例剖析 思维拓展考点一： 一元二次不等式的解法1.解下列不等式： (1) 2320x x +-≥； (2) 2(1)0x a x a -++<.【解析】(1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1).3.已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集为B ，不等式20x ax b ++<的解集为A B ，则a b +等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【答案】A【解析】由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.考点二： 由一元二次不等式恒成立求参数范围1.已知不等式2210mx x m --+<，是否存在实数m 使得对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m 1－m ＜0， 不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．2.设函数2()1(0)f x mx mx m =--≠，若对于[]1,3x ∈，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围．【答案】m ＜0或0＜m ＜67【解析】要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m 221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．法一：令g (x )＝m 221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，则m ＜0. 综上所述，m 的取值范围是m ＜0或0＜m ＜67.法二：因为x 2－x ＋1＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝432162+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是m ＜0或0＜m ＜67.3.对任意[]1,1m ∈-，函数2()(4)42f x x m x m =+-+-的值恒大于零，求x 的取值范围．【解析】由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，则原问题转化为关于m 的一次函数问题． 由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-++-=>+-++-⋅-=-044)2()1(044)1()2()1(2222x x x x g x x x x g ，解得x <1或x >3.故当x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．考点三 求线性目标函数的最值或范围1．(2017·全国卷Ⅲ)设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z x y =-的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]【答案】B【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 【易错点】本题中目标函数变为z x y -=，所以学生易把最值弄混. 【方法点拨】求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．2.(2017·全国卷Ⅰ)设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩则32z x y =-的最小值为________．【答案】－5【解析】解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.即A (－1,1)．所以z min ＝－5.考点四 求非线性目标函数的最值或范围1.已知(,)x y 满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则1y k x =+的最大值为( )A.12B.32 C ．1 D.14【答案】C【解析】如图，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部区域，k ＝y x ＋1＝y －0x －－1表示平面区域内的点(x ，y )和点(－1,0)连线的斜率．由图知，平面区域内的点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以k max ＝1－00－－1＝1.2.(2018·太原模拟)已知实数,x y 满足约束条件330220240x y x y x y ++≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则22z x y =+的取值范围为( )A ．[]1,13B ．[]1,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1354， D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡454，【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，z min ＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，z max ＝|OA |2＝13.【易错点】识别不出目标函数的几何意义【方法点拨】距离平方型目标函数最值问题的求法：目标函数为z ＝(x －a )2＋(y －b )2时，可转化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离的平方求解．考点五 利用基本不等式求最值1.(2018·常州调研)若实数x 满足4x >-，则函数9()4f x x x =++的最小值为________． 【答案】2【解析】∵x ＞－4，∴x ＋4＞0， ∴f (x )＝x ＋9x ＋4＝x ＋4＋9x ＋4－4≥2(x ＋4)·9x ＋4－4＝2，当且仅当x ＋4＝9x ＋4，即x ＝－1时取等号．故f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为2.2.若直线220(0,0)mx ny m n --=>>过点(1,2)-，则12m n+的最小值为( )A ．2B ．6C ．12 D．3+【答案】D【解析】因为直线2mx －ny －2＝0(m >0，n >0)过点(1，－2)， 所以2m ＋2n －2＝0，即m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m 21(m ＋n )＝3＋n m ＋2mn ≥3＋22，当且仅当“n m ＝2mn ，即n ＝2m ”时取等号，所以1m ＋2n的最小值为3＋22，故选D.3.若正数,x y 满足2610x xy +-=，则2x y +的最小值是( )A.223B.23C.33D.233【答案】223【解析】因为正数x ，y 满足x 2＋6xy －1＝0， 所以y ＝1－x 26x.由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－x 26x>0解得0<x <1.所以x ＋2y ＝x ＋1－x 23x ＝2x 3＋13x ≥22x 3·13x ＝223， 当且仅当2x 3＝13x ，即x ＝22，y ＝212时取等号．故x ＋2y 的最小值为223.考点六 基本不等式综合运用1.设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则32a b+的最小值为( ) A.256B. 83C. 113 D ．4【答案】D【解析】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z ＝ax ＋by 得y ＝－a b x ＋zb ，当z 变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－a b ，在y 轴上的截距为zb，由图可知当直线经过点A (4,6)时，在y 轴上的截距最大，从而z 也最大，所以4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以3a ＋2b ＝2a ＋3b 6·⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 23＝16⎪⎭⎫ ⎝⎛+++a b b a 9466≥4，当且仅当a ＝32，b ＝1时等号成立．三、举一反三 成果巩固考点一 利用基本不等式求最值1.已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为________． 【答案】1【解析】因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x 45145＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.2.已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为________． 【答案】 26－3【解析】因为xy ＋2x ＋y ＝4，所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－yy ＋2>0，得－2<y <4，又y >0，则0<y <4，所以x ＋y ＝4－y y ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3，当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4)，即y ＝6－2时取等号．3.实数,x y 满足22x y +=，则39x y+的最小值是________． 【答案】6【解析】利用基本不等式可得3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x＋2y.∵x ＋2y ＝2，∴3x ＋9y ≥232＝6，当且仅当3x ＝32y ，即x ＝1，y ＝12时取等号．考点二 基本不等式综合运用1.设(1,2)=-OA ，(,1)a =-OB ，(,0)b =OC (0,0a b >>，O 为坐标原点)，若,,A B C 三点共线，则21a b+的最小值是( ) A ．4 B. 92C ．8D ．9 【答案】D【解析】∵AB ＝OB －OA ＝（a －1，1），AC ＝OC －OA ＝(－b －1,2)，若A ，B ，C 三点共线，则有AB ∥AC ，∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又a >0，b >0， ∴2a ＋1b ＝b a 12+·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋2 2b a ·2ab＝9， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．。

高三数学二轮复习重点

高三数学二轮复习重点

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题33基本不等式(教学案)含解析

2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题33基本不等式(教学案)含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1.均值不等式：ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用均值不等式求最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).高频考点一 配凑法求最值【例1】 [2017·山东高考]若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．答案 8解析 ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋4a b ＋b a≥4＋24a b ·ba＝8，当且仅当b a＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8.【变式探究】 (1)已知x ＜54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)求函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值.【方法规律】(1)应用均值不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用均值不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式.【变式探究】 (1)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________. (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )最小值＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 (2)23＋2高频考点二 常数代换或消元法求最值【例2】 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. (2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 解析 (1)法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)， ∴3x ＋4y 的最小值是5. 法二 由x ＋3y ＝5xy ，得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y 5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋4y ＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.法二 ∵x ＞0，y ＞0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立.设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6. 答案 (1)5 (2)6【方法规律】条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用均值不等式求解最值；三是对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.【变式探究】 (1)已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y的最小值为________.(2)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A.8 B.4 C.2 D.0解析 (1)(常数代换法) 因为x >0，y >0，且x ＋y ＝1， 所以8x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x ＋2xy≥10＋28y x ·2xy＝18，当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y 时等号成立，所以当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y 有最小值18.(2)由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x＋xy＋4≥4＋4＝8.答案 (1)18 (2)A高频考点三 均值不等式在实际问题中的应用【例3】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).【方法规律】(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.【变式探究】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v，即v ＝11时取“＝”.∴最大车流量F 为1 900辆/时.答案 (1)1 900 (2)100高频考点四 利用基本不等式解决实际问题例4、某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为_______辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 答案 (1)1900 (2)100 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76000vv 2＋18v ＋121＝76000v ＋121v＋18≤760002v ·121v＋18＝1900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时取“＝”．∴最大车流量为1900辆/小时． (2)当l ＝5时，F ＝76000vv 2＋18v ＋20×5＝76000v ＋100v＋18，∴F ≤760002v ·100v＋18＝2000，当且仅当v ＝100v，即v ＝10时取“＝”．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2000－1900＝100(辆/小时). 【方法技巧】有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.【变式训探究】 某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？(2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元.1. （2018年天津卷）已知，且，则的最小值为_____________.【答案】 【解析】由可知，且：，因为对于任意x ，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立. 综上可得的最小值为.1、[2017·天津高考]若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．答案 42.[2017·江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)．一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3600x ＋4x 万元．因为3600x＋4x ≥23600x·4x ＝240，当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.1.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D）17【答案】B2.【2016高考山东理数】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（ ）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C【解析】不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC =,故选C.1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【解析】2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.226,182m nm n mn +⋅≤≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤.28129,22n m n m mn +⋅≤≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..2.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C【解析】)ln p f ab ab ==()ln22a b a b q f ++==，11(()())ln 22r f a f b ab =+==()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b ab +>，所以()()2a bf f ab +>，所以q p r >=，故选C ． 3．（2014·辽宁卷）对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．【答案】－24．（2014·山东卷）若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．【答案】2【解析】T r ＋1＝C r6(ax 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.5．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2)．容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立)．故选C.【答案】C6．(2014·重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．【答案】7＋4 35．（2014·四川卷）已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728 D.10【答案】B【解析】由题意可知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝1y 1＋y 2(x －y 21)， 令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 22时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B. 6．(2013年高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.94【解析】含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值．z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)， ∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥2 x y ·4yx－3＝1. 当且仅当x y＝4yx，即x ＝2y 时“＝”成立，此时 z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2 (y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 【答案】C7．（2013·重庆卷）（3－a ）（a ＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.3 22【答案】B。

2019版高考数学一轮回顾 专题三 数列与不等式配套教案 理

2019版高考数学一轮回顾 专题三 数列与不等式配套教案 理
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{nbn}的前n项和Tn.
解：(1)由 2Sn＋an＝n2＋2n＋2， ① 得 2S1＋a1＝5，解得 a1＝53. 2Sn＋1＋an＋1＝(n＋1)2＋2(n＋1)＋2. ② ②－①，得 3an＋1－an＝2n＋3. ∵bn＝an－n，∴an＝bn＋n，an＋1＝bn＋1＋n＋1. ∴3bn＋1＝bn.又∵b1＝a1－1＝23. ∴{bn}是以23为首项，13为公比的等比数列. ∴bn＝32n.
例 2: (2015 年广东梅州调研)若数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且满足 an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.
(1)求证：S1n成等差数列； (2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明：当 n≥2 时，由 an＋2SnSn－1＝0， 得 Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.所以S1n－Sn1－1＝2. 又S11＝a11＝2，故S1n是首项为 2，公差为 2 的等差数列. (2)解：由(1)，可得S1n＝2n，则 Sn＝21n. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝21n－2n1－1
(2)由(1)，得 bn＝32n.∴nbn＝23nn. ∴Tn＝213＋322＋333＋…＋3nn. ∴13Tn＝2312＋323＋334＋…＋n－3n 1＋3nn＋1， 两式相减，得23Tn＝213＋312＋313＋…＋31n－3nn＋1 ＝21311－－1331n－3nn＋1＝1－23nn＋＋13.∴Tn＝321－23nn＋＋13.
因为 an＞0，所以 an－an－1＝2. 所以数列{an}是首项为 3，公差为 2 的等差数列. 所以 an＝2n＋1. (2)由(1)知，bn＝2n＋112n＋3＝122n1＋1－2n1＋3. 所以数列{bn}的前 n 项和为 b1＋b2＋…＋bn＝ 1213－15＋15－17＋…＋2n1＋1－2n1＋3＝16－4n1＋6.

2019年高考理科数学复习 第一部分 二轮配套热练 专题三 不等式

2019年高考理科数学复习 第一部分 二轮配套热练 专题三 不等式

专题三不等式第1讲三个二次的关系 (15)第2讲基本不等式与恒成立、存在性问题 (17)专题三不等式第1讲三个二次的关系A组基础达标1.若关于x的不等式ax2＋2x＋a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________．2. (2017·启东中学)已知函数y＝x2－2x＋a的定义域为R，值域为[0，＋∞)，那么实数a的取值集合为________．3. (2017·南通基地密卷)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，5)，其中a，b，c为常数，那么不等式cx2＋bx＋a≤0的解集为________．4. (2017·南通一调)若对任意实数x∈[－1，1]，不等式x2＋ax－3a<0恒成立，则实数a 的取值范围是________．5.(2017·镇江期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的解集为________．6. 若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m的值为________．7. 已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意的x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．8. 已知不等式(ax＋3)(x2－b)≤0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，其中a，b是整数，那么a＋b的取值集合为________．9.(2017·高邮期初调研)已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x 的两个零点为m，n.(1) 若m＝－1，n＝2，求b，c的值；(2) 若b＝c＋1，解不等式f(x)>0.B 组 能力提升1. 不等式(x 2－2x －3)(x 2－4x ＋4)<0的解集为________．2. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，x －x 2，x<0.若f(a)>f(2－a)，则实数a 的取值范围是________． 3. 已知函数f(x)＝2ax 2＋2x －3.若函数y ＝f(x)在区间[－1，1]上有零点，则实数a 的取值范围是________．4. 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0的解集是不等式2x 2－9x ＋a<0的解集的子集，则实数a 的取值范围是________．5. 已知a ∈R ，若关于x 的一元二次不等式2x 2－17x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则实数a 的取值范围是________．6. 已知二次函数f(x)＝x 2＋2bx ＋c(b ，c ∈R )满足f(1)＝0，且关于x 的方程f(x)＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内．(1) 求实数b 的取值范围；(2) 若函数F(x)＝log b f(x)在区间(－1－c ，1－c)上具有单调性，求实数c 的取值范围．7. (2018·海安中学期中)已知函数f(x)＝x 2－mx ＋m －1.(1) 当x ∈[2，4]时，f(x)≥－1恒成立，求实数m 的取值范围；(2) 是否存在整数a ，b(其中a ，b 是常数，且a ＜b)，使得关于x 的不等式a ≤f(x)≤b 的解集为{x|a ≤x ≤b}？若存在，求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．第2讲 基本不等式与恒成立、存在性问题A 组 基础达标1. (2017·山东卷)若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________．2. (2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．3. 若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0，1]恒成立，则m 的最大值为________．4. (2017·无锡一中)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a>0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是________．5. (2017·盐城中学)当－1≤a ≤1时，x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，则实数x 的取值范围是________．6. (2018·盱眙中学)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y的最小值为________．7. (2018·常熟寒假调查)已知1a －1－1b －1＝2且b>1，则b －4a 的最小值为________．8. (2018·六合中学考前卷)已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋3－(ab ＋bc ＋ac)(其中a ，b ，c 为正实数)的值域为[0，＋∞)，则2a ＋b ＋c 的最小值为________．9. (2017·苏州大学考前指导卷)某油库的容量为31万吨，年初储油量为10万吨，从年初起计划每月初先购进石油m(单位：万吨)，然后再调出一部分石油来满足区域内和区域外的需求．若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y(单位：万吨)与x 的函数关系式为y ＝5＋px(p>0，1≤x ≤10，x ∈N *)．已知前4个月区域外的需求量为15万吨．(1) 试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M(x)(单位：万吨)的函数表达式；(2) 要使油库中的石油在前10个月内任何时候都不超出油库的容量，又能满足区域内和区域外的需求，求m 的取值范围．B 组 能力提升1. (2018·南京期末)已知正实数x ，y 满足x 2＋xy －2y 2＝1，则5x －2y 的最小值为________．2. (2018·南京三模)若正数a ，b ，c 成等差数列，则c 2a ＋b ＋b a ＋2c的最小值为________． 3. (2018·盐城期末)若x>0，y>0，且x ＋1x ＋y ＋4y ≤9，则1x ＋4y的最大值为________． 4. (2018·苏北六市二调)已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________．5. (2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．6. (2018·苏州期末)如图，在长方形材料ABCD 中，已知AB ＝23，AD ＝4，点P 为材料ABCD 内部一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，且PE ＝1，PF ＝ 3.现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足∠MPN ＝150°，点M ，N 分别在边AB ，AD 上．(1) 设∠FPN ＝θ，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；(2) 试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．(第6题)7. (2017·南师附中)已知函数f(x)＝x2－2alnx(a∈R)，g(x)＝2ax.(1) 求函数f(x)的极值；(2) 若0<a<1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|> |g(x1)－g(x2)|成立，求实数a的取值范围．。

2019版数学高考大一轮复习备考浙江专用讲义：第三章 不等式3.2 Word版含答案

2019版数学高考大一轮复习备考浙江专用讲义：第三章 不等式3.2 Word版含答案

§3.2一元二次不等式及其解法最新考纲考情考向分析1.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系.2.会解一元二次不等式.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.1.“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a{x|x∈R}一元二次不等式ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2.常用结论(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集 a <ba ＝b a >b (x －a )· (x －b )>0 {x |x <a 或x >b } {x |x ≠a }{x |x <b 或 x >a } (x －a )· (x －b )<0{x |a <x <b }∅{x |b <x <a }口诀：大于取两边，小于取中间. 知识拓展(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0). (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集.( √ ) 题组二 教材改编2.[P80A 组T2]y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0， 令3x 2－2x －2＝0， 得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为。

2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(二) 函数概念与函数的性质 Word版含解析

2019届高三数学(文)二轮复习查漏补缺课时练习：小题必刷卷(二) 函数概念与函数的性质 Word版含解析

小题必刷卷(二).函数概念与函数的性质考查范围:第4讲~第6讲题组一 刷真题角度1 函数的概念1.[2016·全国卷Ⅱ] 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( )A .y=xB .y=lg xC .y=2xD .y=√x2.[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )={2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )= ( )A .-74B .-54C .-34D .-143.[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=log 2(x 2+a ),若f (3)=1,则a= .4.[2018·江苏卷] 函数f (x )=√log 2x -1的定义域为 .5.[2015·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )=ax 3-2x 的图像过点(-1,4),则a= . 角度2 函数的性质6.[2016·北京卷] 下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( ) A .y=11−x B .y=cos x C .y=ln (x+1) D .y=2-x7.[2017·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )=ln x+ln (2-x ),则 ( ) A .f (x )在(0,2)单调递增 B .f (x )在(0,2)单调递减C .y=f (x )的图像关于直线x=1对称D .y=f (x )的图像关于点(1,0)对称8.[2016·天津卷] 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a-1|)>f (-√2),则a 的取值范围是( )A .-∞,12B .-∞,12∪32,+∞C.12,3 2D.32,+∞9.[2018·全国卷Ⅱ]已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.5010.[2018·上海卷]已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=.11.[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.12.[2017·山东卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.13.[2016·北京卷]函数f(x)=xx-1(x≥2)的最大值为.14.[2016·四川卷]若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f-52 +f(2)=.15.[2018·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.16.[2018·江苏卷]函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)={cosπx2,0<x≤2,|x+12|,−2<x≤0,则f(f(15))的值为.题组二刷模拟17.[2018·广西部分重点中学联考]已知函数f(x)=5-log3x,x∈(3,27],则f(x)的值域是()A.(2,4]B.[2,4)C.[-4,4)D.(6,9]18.[2018·合肥联考]已知函数f(x)与g(x)=a x(a>0且a≠1)的图像关于直线y=x对称,则“f(x)是增函数”的一个充分不必要条件是()A.0<a<12B.0<a<1C.2<a<3D.a>119.[2018·洛阳三模]下列函数为奇函数的是()A.y=x3+3x2B.y=e x+e-x 2C.y=log23−x3+xD.y=x sin x20.[2018·四川南充二模] 设f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),则f (-92)= ( ) A .34B .-34C .14D .-1421.[2019·哈尔滨三中月考] 函数f (x )=|log 3x|在区间[a ,b ]上的值域为[0,1],则b-a 的最小值为 ( ) A .2 B .23C .13D .122.[2018·合肥二模] 已知函数f (x )=a -2xa+2x是奇函数,则f (a )= ( )A .-13B .3C .-13或3 D .13或323.[2018·昆明二模] 若函数f (x )={x 2-4x +a,x <1,lnx +1,x ≥1的最小值是1,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,4]B .[4,+∞)C .(-∞,5]D .[5,+∞)24.[2018·安阳二模] 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足12f (x )-g (x )=x -1x 2+1,则f(x)xg(x)的值为( )A .1B .2C .3D .1225.[2018·湖南郴州二模] 已知函数f (x )=e x -1ex ,其中e 是自然对数的底数,则关于x 的不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0的解集为 ( )A .(-∞,-43)∪(2,+∞) B .(2,+∞) C .(-∞,43)∪(2,+∞) D .(-∞,2)26.[2018·河南郑州三模] 设函数f (x )={x 2+x -2,x ≤1,-lgx,x >1,则f [f (-4)]= .27.[2018·广西南宁模拟] 若函数f (x )={(a -1)x +2,x ≤1,-5-2lgx,x >1是R 上的减函数,则a 的取值范围是 .28.[2018·广西梧州二模] 已知函数f (x )是奇函数,定义域为R ,且x>0时,f (x )=lg x ,则满足(x-1)f (x )<0的实数x 的取值范围是 .29.[2018·福州3月质检] 已知函数f (x )对任意x ∈R 都满足f (x )+f (-x )=0,f x+32为偶函数,当0<x ≤32时,f (x )=-x ,则f (2017)+f (2018)= .小题必刷卷(二)1.D [解析] y=10lg x =x ,定义域与值域均为(0,+∞),只有选项D 满足题意.2.A [解析] 因为2x-1-2>-2恒成立,所以可知a>1,于是由f (a )=-log 2(a+1)=-3得a=7,所以f (6-a )=f (-1)=2-1-1-2=-74.3.-7 [解析] 由f (3)=log 2(9+a )=1, 得9+a=2,即a=-7.4.[2,+∞) [解析] 要使函数f (x )有意义,必须满足{log 2x -1≥0,x >0,解得x ≥2,则函数f (x )的定义域为[2,+∞).5.-2 [解析] 由函数图像过点(-1,4),得f (-1)=a×(-1)3-2×(-1)=4,解得a=-2.6.D [解析] 选项A 中函数y=11−x =-1x -1在区间(-1,1)上是增函数;选项B 中函数y=cos x 在区间(-1,0)上是增函数,在区间(0,1)上是减函数;选项C 中函数y=ln (x+1)在区间(-1,1)上是增函数;选项D 中函数y=2-x =12x在区间(-1,1)上是减函数.7.C [解析] 因为函数f (x )的定义域为(0,2),f (x )=ln x+ln (2-x )=ln (-x 2+2x )=ln [-(x-1)2+1],所以函数f (x )在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故选项A ,B 错.由于函数y=-(x-1)2+1,x ∈(0,2)的图像关于直线x=1对称,所以函数f (x )=ln x+ln (2-x )的图像关于直线x=1对称.故选C .8.C [解析] 由f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(-∞,0)上单调递增,可知f (x )在区间(0,+∞)上单调递减,∴由f (2|a-1|)>f (-√2),f (-√2)=f (√2),可得2|a-1|<√2,即|a-1|<12,∴12<a<32.9.C [解析] 因为f (x )是奇函数,所以f (0)=0,且f [-(1-x )]=-f (1-x ),即f (1-x )=-f (x-1),又由f (1-x )=f (1+x )得f (x+1)=-f (x-1),所以f (x+2)=-f (x ),f (x+4)=-f (x+2)=-[-f (x )]=f (x ),所以f (x )是以4为周期的周期函数.因为f (1)=2,f (2)=f (1+1)=f (1-1)=f (0)=0,f (3)=f (-1)=-f (1)=-2,f (4)=f (0)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0,故f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=f (1)+f (2)=2,故选C .10.-1 [解析] 因为α∈-2,-1,-12,12,1,2,3,幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,所以α是奇数且α<0,所以α=-1.11.12 [解析] 因为函数f (x )为奇函数,所以f (2)=-f (-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.12.6 [解析] 由f (x+4)=f (x-2)可知周期T=6,所以f (919)=f (153×6+1)=f (1),又因为f (x )为偶函数,所以f (1)=f (-1)=6-(-1)=6.13.2 [解析] 因为函数f (x )=x x -1=1+1x -1在区间[2,+∞)上是减函数,所以当x=2时,函数f (x )有最大值f (2)=1+1=2.14.-2 [解析] 因为f (x )是周期为2的函数,所以f (x )=f (x+2).又f (x )是奇函数,所以f (x )=-f (-x ),所以f (0)=0.所以f (-52)=f (-12)=-f (12)=-412=-2,f (2)=f (0)=0,所以f (-52)+f (2)=-2. 15.-2 [解析] 由题,f (-x )=ln (√1+x 2+x )+1.∵f (x )+f (-x )=ln (√1+x 2-x )+1+ln (√1+x 2+x )+1=ln (1+x 2-x 2)+2=2,∴f (a )+f (-a )=2,∴f (-a )=-2.16.√22[解析] 由f (x+4)=f (x )(x ∈R ),得f (15)=f (-1+4×4)=f (-1),又-1∈(-2,0],所以f (15)=f (-1)=-1+12=12.而12∈(0,2],所以f (f (15))=f (12)=cosπ2×12=cos π4=√22.17.B [解析] 因为3<x ≤27,所以1<log 3x ≤3,-3≤-log 3x<-1,则2≤f (x )<4.故选B .18.C [解析] 依题意得f (x )=log a x (a>0且a ≠1).当a>1时,f (x )是增函数,所以“2<a<3”是“f (x )是增函数”的充分不必要条件.故选C .19.C [解析] y=x 3+3x 2是非奇非偶函数,y=e x +e -x 2是偶函数,y=log 23−x3+x是奇函数,y=x sin x 是偶函数.故选C .20.B [解析] 因为函数f (x )是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=x (1+x ),所以f (-92)=f -92+4=f (-12)=-f (12)=-12×1+12=-34,故选B .21.B [解析] 根据函数f (x )=|log 3x|的图像(图略)可知,若函数f (x )在[a ,b ]上的值域为[0,1],则a=13,1≤b ≤3或b=3,13≤a ≤1.易知当a=13,b=1时,b-a 取得最小值23.故选B . 22.C [解析] 因为f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),即a -2-xa+2-x =-a -2xa+2x 恒成立,整理可得a 2=1,所以a=±1.当a=1时,函数f (x )=1−2x 1+2x ,f (a )=f (1)=-13;当a=-1时,函数f (x )=-1-2x -1+2x ,f (a )=f (-1)=3.综上可得,f (a )=-13或3.故选C .23.B [解析] 当x ≥1时,y=ln x+1的最小值为1,所以要使f (x )的最小值是1,必有当x<1时,y=x 2-4x+a 的最小值不小于1.因为y=x 2-4x+a 在(-∞,1)上单调递减,所以当x<1时,y>a-3,则a-3≥1,即a ≥4,故实数a的取值范围是[4,+∞),故选B . 24.B [解析] 因为12f (x )-g (x )=x -1x 2+1,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,所以12f (-x )-g (-x )=-12f (x )-g (x )=-x -1x 2+1,可得f (x )=2xx 2+1,g (x )=1x 2+1,所以f(x)xg(x)=2,故选B .25.B [解析] 由指数函数的性质可得f (x )是增函数.因为f (-x )=e -x -1e-x =-e x -1e x=-f (x ),所以f (x )是奇函数,则不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0等价于f (2x-1)>f (x+1),即2x-1>x+1,解得x>2,故选B . 26.-1 [解析] f (-4)=(-4)2+(-4)-2=10,所以f [f (-4)]=f (10)=-lg 10=-1. 27.[-6,1) [解析] 由题意可得{a -1<0,a -1+2≥-5-2lg1,则-6≤a<1.28.(-1,0) [解析] 作出函数f (x )的图像如图所示.当x>1时,f (x )<0无解;当x<1时,由f (x )>0,得-1<x<0,所以满足(x-1)f (x )<0的实数x 的取值范围是(-1,0).29.-2[解析]因为f x+32为偶函数,所以f x+32=f-x+32,则f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,且图像的对称轴是直线x=32,所以f(2017)+f(2018)=f(336×6+1)+f(336×6+2)=f(1)+f(2)=2f(1)=-2.。

数学(文)一轮教学案：第二章第3讲 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

数学(文)一轮教学案：第二章第3讲 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

第3讲函数的奇偶性与周期性考纲展示命题探究奇偶性的定义及图象特点奇函数偶函数定义如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数图象特点关于原点对称关于y轴对称注意点判断函数的奇偶性时需注意两点(1)对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．(2)所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性.1．思维辨析(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的．()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()(5)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．()(6)若函数f(x)＝x(x－2)(x＋a)为奇函数，则a＝2.() 答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×(6)√2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是()A．－13 B.13C.12 D ．－12答案 B解析 由已知得a －1＋2a ＝0，得a ＝13，又f (x )为偶函数，f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，所以a ＋b ＝13.3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2x－12xB ．y ＝x 3sin xC ．y ＝2cos x ＋1D ．y ＝x 2＋2x答案 A解析 由函数奇偶性的定义知，B 、C 中的函数为偶函数，D 中的函数为非奇非偶函数，只有A 中的函数为奇函数，故选A.[考法综述] 判断函数的奇偶性是比较基础的问题，难度不大，常与函数单调性相结合解决求值和求参数问题，也与函数的周期性、图象对称性在同一个题目中出现．主要以选择题和填空题形式出现，属于基础或中档题目．命题法 判断函数的奇偶性及奇偶性的应用 典例 (1)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 [解析] (1)因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x －e －x ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x为奇函数，故选D.(2)由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.[答案] (1)D (2)C【解题法】 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1答案 A解析 y ＝cos x 是偶函数且有无数多个零点，y ＝sin x 为奇函数，y ＝ln x 既不是奇函数也不是偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，故选A.2．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 C解析 f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x＝－2x ＋12x－a，即1－a ·2x ＝－2x ＋a ，化简得a ·(1＋2x )＝1＋2x ，所以a ＝1，f (x )＝2x ＋12x －1.由f (x )>3得0<x <1.故选C.3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 C解析 令x ＝－1得，f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.∵f (x )，g (x )分别是偶函数和奇函数，∴f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)， 即f (1)＋g (1)＝1.故选C.4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33答案 B解析 当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3a 2，x ≥2a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，－x ，0≤x ≤a 2，画出图象，再根据f (x )是奇函数补全图象．∵满足∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则只需3a 2－(－3a 2)≤1， ∴6a 2≤1，即－66≤a ≤66，故选B.5．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x－e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x )答案 D解析 因为f (x )＋g (x )＝e x ①，则f (－x )＋g (－x )＝e －x ，即f (x )－g (x )＝e －x②，故由①－②可得g (x )＝12(e x －e －x)，所以选D.6.若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 解法一：由题意得f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln (a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1. 解法二：由f (x )为偶函数有y ＝ln (x ＋a ＋x 2)为奇函数，令g (x )＝ln (x ＋a ＋x 2)，有g (－x )＝－g (x )，以下同解法一．7.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ， x >0，0， x ＝0，－x 2－4x ， x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5； ②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．解 (1)证明：因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立， 令t ＝e x (x >0)，则t >1，所以m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t >1成立． 因为t －1＋1t －1＋1≥2(t －1)·1t －1＋1＝3，所以－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立． 因此实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13.(3)令函数g (x )＝e x＋1e x －a (－x 3＋3x )，则g ′(x )＝e x －1e x ＋3a (x 2－1)．当x ≥1时，e x－1e x >0，x 2－1≥0，又a >0，故g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是g (1)＝e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋3x 0)<0成立，当且仅当最小值g (1)<0，故e ＋e －1－2a <0，即a >e ＋e－12.令函数h (x )＝x －(e －1)ln x －1，则h ′(x )＝1－e －1x . 令h ′(x )＝0，得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调增函数．所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0；当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时，h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立．①当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时，h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋e －12，e时，e a －1<a e －1； 当a ＝e 时，e a －1＝a e －1； 当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1. 1 周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2 最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．注意点 常见的有关周期的结论 周期函数y ＝f (x )满足：(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a . (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a .(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数的周期为2a .1．思维辨析(1)若函数f (x )满足f (0)＝f (5)＝f (10)，则它的周期T ＝5.( ) (2)若函数f (x )的周期T ＝5，则f (－5)＝f (0)＝f (5)．( ) (3)若函数f (x )关于x ＝a 对称，也关于x ＝b 对称，则函数f (x )的周期为2|b －a |.( )(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数．( )(5)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2016)＝0.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2014)等于( )A ．0B ．3C ．4D ．6答案 A解析 ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，∴f (－2＋4)＝f (2)＝f (－2)＋f (2)＝2f (2)， ∴f (2)＝0，f (2014)＝f (4×503＋2)＝f (2)＋503×f (2)＝f (2)＝0，故选A. 3．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.答案 －12解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. [考法综述] 函数周期性的考查在高考中主要以选择题、填空题形式出现．常与函数的奇偶性、图象对称性结合考查，难度中档．命题法 判断函数的周期性，利用周期性求值典例 (1)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (4)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0D ．－12[解析] (1)由于f (x )周期为5，且为奇函数，∴f (8)＝f (5＋3)＝f (3)＝f (5－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (5－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (8)－f (4)＝－2－(－1)＝－1.(2)因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π.又因为当0≤x ≤π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.[答案] (1)A (2)A【解题法】 函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．1．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．－1 B.45 C ．1 D ．－45答案 A解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝4，结合f (－x )＝－f (x )，有f (log 220)＝f (1＋log 210)＝f (log 210－3)＝－f (3－log 210)，∵3－log 210∈(－1,0)，∴f (log 220)＝－23－log 210－15＝－45－15＝－1.故选A.2．函数f (x )＝lg |sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 答案 C解析 易知函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，又f (－x )＝lg |sin(－x )|＝lg |－sin x |＝lg |sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以函数f (x )＝lg |sin x |是最小正周期为π的偶函数．故选C.3.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则f (2013)＋f (2014)的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 D解析 ∵函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又函数的图象关于x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )的周期为4.又函数的图象关于x ＝1对称，∴f (0)＝f (2)，∴f (2013)＋f (2014)＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (0)＝21－1＋20－1＝1.故选D.4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b ＝cB ．b >a ＝cC ．b >c >aD ．a >c >b答案 A解析 由题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的奇函数，所以f (2)＝f (0)＝0.因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (3)＝－f (2)＝0.又f (x )在[0,1)上是增函数，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (0)＝f (2)＝f (3)，即a >b ＝c .故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124B.112C.16D.13答案 A解析 ∵2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)．∵3＋log 23>4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×13＝124.故选A. 6．若y ＝f (x )既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )( )A ．既是周期函数，又是奇函数B．既是周期函数，又是偶函数C．不是周期函数，但是奇函数D．不是周期函数，但是偶函数答案 B解析因为y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数为周期函数．因为y＝f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边同时求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，即导函数为偶函数，选B.判断f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2)的奇偶性．[错解][错因分析]忽视判断函数的奇偶性时对定义域的要求．[正解]由于x∈[－2,2)，所以f(x)＝x2＋1的定义域不关于原点对称，所以函数f(x)＝x2＋1是非奇非偶函数．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·冀州中学期末]下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是()A．y＝x2B．y＝2|x|C．y＝log21|x|D．y＝sin x答案 C解析函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log21|x|＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin x不是偶函数．综上所述，选C.2. [2016·衡水中学预测]函数f (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ＋4(a ，b ∈R )，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12014＝2013，则f (lg 2014)＝( ) A ．2018B ．－2009C ．2013D ．－2013答案 C解析 g (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (－x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (x )＝g (－x )，g (x )为偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12014＝f (－lg 2014)，f (－lg 2014)＝g (－lg 2014)＋4＝g (lg 2014)＋4＝f (lg 2014)＝2013，故选C.3．[2016·枣强中学热身]若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则一定成立的是( )A ．函数f (g (x ))是奇函数B ．函数g (f (x ))是奇函数C ．函数f (f (x ))是奇函数D ．函数g (g (x ))是奇函数答案 C解析 由题得，函数f (x )，g (x )满足f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，则有f (g (－x ))＝f (g (x ))，g (f (－x ))＝g (－f (x ))＝g (f (x ))，f (f (－x ))＝f (－f (x ))＝－f (f (x ))，g (g (－x ))＝g (g (x ))，可知函数f (f (x ))是奇函数，故选C.4．[2016·衡水中学猜题]定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )不恒为0，且对于定义域内的任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (y )x ＋f (x )y 成立，则f (x )( )A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数答案 A解析 令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)1＋f (1)1，∴f (1)＝0.令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f (－1)－1＋f (－1)－1，∴f (－1)＝0. 令y ＝－1，则f (－x )＝f (－1)x ＋f (x )－1， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．又∵f (x )不恒为0，∴f (x )不是偶函数．故选A.5．[2016·衡水中学一轮检测]设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2} 答案 B解析 当x <0时，－x >0，∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0，∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)3－8，x ≥2，－(x －2)3－8，x <2，由f (x －2)>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－(x －2)3－8>0， 解得x >4或x <0.故选B.6. [2016·冀州中学模拟]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案 D解析 由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)<f (80)<f (11)．7．[2016·衡水二中周测]函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (m )＝2，则f (－m )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2答案 B解析 把f (x )＝x 3＋sin x ＋1变形为f (x )－1＝x 3＋sin x ，令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函数，有g (－m )＝－g (m )，所以f (－m )－1＝－[f (m )－1]，得到f (－m )＝－(2－1)＋1＝0.8．[2016·枣强中学仿真]设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 答案 32解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32. 9．[2016·枣强中学月考]若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.答案 4解析 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)，得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.10．[2016·武邑中学热身]设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (2)>1，f (2014)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23解析 ∵f (2014)＝f (1)＝f (－2)＝－f (2)<－1，∴2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23. 11．[2016·衡水二中热身]设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足：①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.(1)判断函数f (x )是否为周期函数；(2)求f解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝f (2－x )，f (x )＝f (－x )⇒f (－x )＝f (2－x )⇒f (x )＝f (x ＋2)⇒f (x )是周期为2的周期函数．(2)fffff12．[2016·武邑中学期末]已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )．(1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<3－2x <2，∴⎩⎨⎧ －1<x <3，12<x <52，解得12<x <52，故函数g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52. (2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0.∴f (x －1)≤－f (3－2x )．又∵f (x )为奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)，而f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎨⎧ x －1≥2x －3，12<x <52，解得12<x ≤2，∴不等式g (x )≤0的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 能力组13.[2016·衡水二中预测]已知y ＝f (x )是偶函数，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，且对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10117，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615的大小关系是( ) A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <c <bD ．a <b <c答案 B 解析 因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )，①因为y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以f (x )＝－f (2－x )，②所以f (－x )＝－f (2－x )，即f (x )＝f (x ＋4)．所以函数f (x )的周期为4.又因为对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，所以函数在[0,1]上单调递增，又因为函数y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以函数在[0,2]上单调递增，又a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10117＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1415＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，即c <a <b . 14．[2016·衡水二中月考]已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.答案 －1解析 设h (x )＝f (x )＋x 2为奇函数，则h (－x )＝f (－x )＋x 2，∴h (－x )＝－h (x )，∴f (－x )＋x 2＝－f (x )－x 2，∴f (－1)＋1＝－f (1)－1，∴f (－1)＝－3，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.15. [2016·衡水二中猜题]定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)．(1)判断k 为何值时f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)若f (x )在R 上为奇函数，则f (0)＝0，令x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，∴k ＝0.证明：令a ＝b ＝0，由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0.令a ＝x ，b ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，∴f (x )是奇函数．(2)∵f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.∴f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立．又f (x )是R 上的增函数，∴mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1. ∴实数m 的取值范围是[0,1)．16．[2016·衡水二中一轮检测]已知函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，又f (1)＝－2.(1)判断f (x )的奇偶性；(2)求证：f (x )是R 上的减函数；(3)求f (x )在区间[－3,3]上的值域；(4)若∀x ∈R ，不等式f (ax 2)－2f (x )<f (x )＋4恒成立，求a 的取值范围．解 (1)取x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝2f (0)，∴f (0)＝0.取y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )为奇函数．(2)证明： 任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)<－f (－x 1)，又f (x )为奇函数，∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )是R 上的减函数．(3)由(2)知f (x )在R 上为减函数，∴对任意x ∈[－3,3]，恒有f (3)≤f (x )≤f (－3)，∵f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝－2×3＝－6，∴f (－3)＝－f (3)＝6，f (x )在[－3,3]上的值域为[－6,6]．(4)f (x )为奇函数，整理原式得f (ax 2)＋f (－2x )<f (x )＋f (－2)， 则f (ax 2－2x )<f (x －2)，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax 2－2x >x －2，当a ＝0时，－2x >x －2在R 上不是恒成立，与题意矛盾；当a >0时，ax 2－2x －x ＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a <0，即a >98；当a <0时，ax 2－3x ＋2>0在R 上不是恒成立，不合题意．综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞.。

高考数学(文)二轮复习专题三 不等式 第2讲 三个二次关系与恒成立问题、存在性问题 Word版含答案

高考数学(文)二轮复习专题三 不等式 第2讲 三个二次关系与恒成立问题、存在性问题 Word版含答案

第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性问题【课前热身】第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性问题(本讲对应学生用书第21~22页)1.(必修5 P69练习3改编)不等式x2+x-2<0的解集为.【答案】(-2，1)【解析】方程x2+x-2=0的根为x1=-2，x2=1，故不等式x2+x-2<0的解集为(-2，1).2.(必修5 P73习题6改编)已知不等式ax2+bx-1<0的解集为{x|x<3或x>4}，则a=，b=.【答案】-112712【解析】由题意知3和4是方程ax2+bx-1=0的两根，所以a(x-3)(x-4)=0，所以a=-1 12，b=7 12.3.(必修5 P94习题11改编)已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立，则实数a 的取值范围是.【答案】(0，8)【解析】因为x2-ax+2a>0在R上恒成立，所以Δ=a2-4×2a<0，所以0<a<8.4.(必修5 P71练习5改编)在R上定义运算：x*y=x(1-y)，若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】13 -22⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】依题意知x-a-x2+a2<1恒成立，即21-2x⎛⎫⎪⎝⎭+23-4a a⎛⎫+⎪⎝⎭>0恒成立，于是a2-a-34<0恒成立，解得-12<a<32.5.(必修1 P32习题7改编)若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0，2]上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是.【答案】{m|0≤m≤4}【解析】由函数的对称轴为x=2，且在[0，2]上为增函数，知a<0，根据函数图象可得实数m的取值范围是{m|0≤m≤4}.【课堂导学】含参一元二次不等式的解法例1解关于x的一元二次不等式(x-2)(ax-2)>0.【解答】当a=0时，原不等式可化为x-2<0，所以x<2.当a≠0时，原不等式化为a(x-2)x-2a>0，①当a>1时，2a<2，原不等式化为(x-2)2-xa⎛⎫⎪⎝⎭>0，所以x<2a或x>2.②当a=1时，2a=2，原不等式化为(x-2)2>0，所以x∈R且x≠2.③当0<a<1时，2a>2，原不等式化为(x-2)2-xa⎛⎫⎪⎝⎭>0，则x<2或x>2a.④当a<0时，2a<2，原不等式化为(x-2)2-xa⎛⎫⎪⎝⎭<0，所以2a<x<2.综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|x<2}；当a>1时，原不等式的解集为2|2x x xa⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当a=1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2}；当0<a<1时，原不等式的解集为22x x xa⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当a<0时，原不等式的解集为22x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.变式解关于x的一元二次不等式ax2+(a-1)x-1>0. 【解答】由ax2+(a-1)x-1>0，得(ax-1)(x+1)>0.当a>0时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-xa⎛⎫⎪⎝⎭(x+1)>0⇔x<-1或x>1a；当-1<a<0时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-xa⎛⎫⎪⎝⎭(x+1)<0⇔1a<x<-1；当a=-1时，(ax-1)(x+1)>0⇔-(x+1)2>0⇔(x+1)2<0⇔x∈∅；当a<-1时，(ax-1)(x+1)>0⇔1-xa⎛⎫⎪⎝⎭(x+1)<0⇔-1<x<1a.综上所述，当a>0时，不等式的解集为1|-1x x xa⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当-1<a<0时，不等式的解集为1|-1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a=-1时，不等式的解集为∅；当a<-1时，不等式的解集为1|-1x xa⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.三个二次之间的关系例2 (2016·苏州调研测试)已知函数f (x )=x|x-a|，a ∈R ，g (x )=x 2-1. (1)当a=1时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)记函数f (x )在区间[0，2]上的最大值为F (a )，求F (a )的表达式. 【解答】(1)由f (x )≥g (x )，当a=1时，即解不等式x|x-1|≥x 2-1. 当x ≥1时，不等式为x 2-x ≥x 2-1，解得x ≤1，所以x=1；当x<1时，不等式为x-x 2≥x 2-1，解得-12≤x ≤1， 所以-12≤x<1.综上，不等式f (x )≥g (x )的解集为1-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. (2)因为x ∈[0，2]，当a ≤0时，f (x )=x 2-ax ，则f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以F (a )=f (2)=4-2a.当0<a<2时，f (x )=22-0-2x ax x a x ax a x ⎧+≤<⎨≤≤⎩，，，，则f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在区间2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在区间[a ，2]上是增函数，所以F (a )=max (2)2a f f ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，，而f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ，f (2)=4-2a ，令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<f (2)，即24a <4-2a ，解得-4-42<a<-4+42，所以当0<a<2-4时，F (a )=4-2a ；令f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥f (2)，即24a ≥4-2a ， 解得a ≤-4-42或a ≥-4+2，所以当42-4≤a<2时，F (a )=24a . 当a ≥2时，f (x )=-x 2+ax ，当1≤2a <2，即2≤a<4时，f (x )在区间02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，则F (a )=f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=24a ；当2a≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0，2]上是增函数，则F (a )=f (2)=2a-4；综上，F (a )=24-242-442-4442-4 4.a a aa a a ⎧<⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，，，，，变式 (2016·苏锡常镇一调)已知函数f (x )=2x-1+a ，g (x )=bf (1-x )，其中a ，b ∈R .若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则实数a 的取值范围是 .【答案】(-∞，-2]∪1-4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 【解析】因为g (x )=b (2-x +a )，所以f (x )≥g (x )，即2x-1+a ≥2xb+ab ，即(2x )2-2a (b-1)2x -2b ≥0.由二次不等式与二次方程的根的关系知，关于2x 的方程(2x )2-2a (b-1)2x -2b=0的2x 的值分别为4，-2b .因为2x 取正值，要想2x 最小为4，所以-2b≤0，即b ≥0.又因为4-2b =2a (b-1)，所以b=4(2)41a a ++≥0，解得a ≤-2或a>-14.恒成立问题与存在性问题例3已知函数f(x)=x2+2ax-a+2.(1)若对于任意的x∈R，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对于任意的x∈[-1，1]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若对于任意的a∈[-1，1]，x2+2ax-a+2>0恒成立，求实数x的取值范围. 【点拨】恒成立问题中注意变更主元法的运用.【解答】(1)若对于任意的x∈R，f(x)≥0恒成立，需满足Δ=4a2-4(-a+2)≤0，解得-2≤a≤1.故实数a的取值范围是[-2，1].(2)由题知对称轴方程为x=-a，当-a<-1，即a>1时，f(x)min=f(-1)=3-3a≥0，解得a≤1，与已知矛盾，舍去；当-a>1，即a<-1时f(x)min=f(1)=3+a≥0，解得-3≤a<-1；当-1≤a≤1时，f(x)min=f(-a)=-a2-a+2≥0，解得-1≤a≤1.综上，实数a的取值范围是[-3，1].(3)对于任意的a∈[-1，1]，x2+2ax-a+2>0恒成立，等价于g(a)=(2x-1)a+x2+2>0，所以222-120-2120x xx x⎧++>⎨++>⎩，，解得x≠-1，所以x的取值范围是{x|x ≠-1}.变式(2016·盐城中学)已知函数f(x)=22x x ax++，x∈[1，+∞).(1)若对任意的x∈[1，+∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对任意的a∈[-1，1]，f(x)>4恒成立，求实数x的取值范围.【解答】(1)若对任意的x∈[1，+∞)，f(x)>0恒成立，即22 x xax++>0，x∈[1，+∞)恒成立，亦即x2+2x+a>0，x∈[1，+∞)恒成立，即a>-x2-2x，x∈[1，+∞)恒成立，即a>(-x2-2x)max，x∈[1，+∞)，而(-x2-2x)max=-3，x∈[1，+∞)，所以a>-3.所以实数a的取值范围为{a|a>-3}.(2)因为a∈[-1，1]时，f(x)>4恒成立，即22x x ax++>4，x∈[1，+∞)恒成立，所以x2-2x+a>0对a∈[-1，1]恒成立，把g(a)=a+x2-2x看成a的一次函数，则使g(a)>0对a∈[-1，1]恒成立的条件是(1)0(-1)0gg>⎧⎨>⎩，，即22-210-2-10x xx x⎧+>⎨>⎩，，解得x<1-2或x>2+1.又x≥1，所以x>2+1，故所求x的取值范围是(2+1，+∞).【课堂评价】1.(2016·全国卷Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}，则A∩B=. 【答案】332⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】因为集合A=(1，3)，B=32∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，所以A ∩B=332⎛⎫ ⎪⎝⎭，.2.(2016·启东调研测试)已知偶函数f (x )在[0，+∞)上单调递增，且f (3)=0，则不等式f (x 2-2x )<0的解集为 . 【答案】(-1，3)【解析】根据偶函数的性质，可得-3<x 2-2x<3，解得-1<x<3，从而不等式的解集为(-1，3).3.(2016·扬州中学)已知函数f (x )=13x 3+2x ，对任意的t ∈[-3，3]，f (tx-2)+f (x )<0恒成立，则实数x 的取值范围是 .【答案】51--33⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】易知函数f (x )=13x 3+2x 是R 上的奇函数且单调递增，f (tx-2)+f (x )<0化为f (tx-2)<f (-x )，即tx-2<-x ，问题变为g (t )=(x+1)t-2<0在t ∈[-3，3]上恒成立，故有(-3)0(3)0g g <⎧⎨<⎩，，解得-53<x<-13.4.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知对满足x+y+4=2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2+2xy+y 2-ax-ay+1≥0，则实数a 的取值范围是 .【答案】17-4∞⎛⎤⎥⎝⎦， 【解析】对于正实数x ，y ，由x+y+4=2xy ，得x+y+4=2xy ≤2()2x y +，解得x+y ≥4.不等式x 2+2xy+y 2-ax-ay+1≥0可化为(x+y )2-a (x+y )+1≥0，令t=x+y (t ≥4)，则该不等式可化为t 2-at+1≥0，即a ≤t+1t 对于任意的t ≥4恒成立，令u (t )=t+1t (t ≥4)，则u'(t )=1-21t =22-1t t >0对于任意的t ≥4恒成立，从而函数u (t )=t+1t (t ≥4)为单调增函数，所以u (t )min =u (4)=4+14=174，于是a ≤174.5.(2015·宿迁一模)已知函数f (x )=x 2-2ax+a 2-1，若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(-∞，-2]【解析】因为f (x )=[x-(a+1)][x-(a-1)]，所以f (f (x ))<0等价于[f (x )-(a+1)][f (x )-(a-1)]<0，从而a-1<f (x )<a+1，要使f (f (x ))<0的解集为空集，根据函数的图象，则需y=a+1与y=f (x )至多有一个交点.又因为f (x )=(x-a )2-1≥-1，所以a+1≤-1，解得a ≤-2.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第11~12页.【检测与评估】第2讲 三个二次关系与恒成立问题、存在性问题一、 填空题1.若关于x 的不等式ax 2+2x+a>0的解集为R ，则实数a 的取值范围是 .2.(2016·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x+y=2，且1xy≥M恒成立，则M的最大值为.3.(2016·南师附中)若当x>-3时，不等式a≤x+23x 恒成立，则实数a的取值范围是.4.若对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，则实数a的取值范围是.5.(2016·常州中学)当x∈(-∞，-1]时，不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立，则实数m的取值范围是.6.(2016·启东中学)已知f(x)=x2+2x+a ln x，若f(x)在区间(0，1]上恒为单调函数，则实数a的取值范围为.7.(2016·江苏信息卷)若对任意实数x>1，y>12，不等式p≤22-1xy+24-1yx恒成立，则实数p的最大值为.8.(2016·苏大考前卷)已知不等式(ax+3)(x2-b)≤0对任意x∈(0，+∞)恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值集合为.二、解答题9.(2016·江苏怀仁中学)设函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0).(1)若不等式f(x)>0的解集为(-1，3)，求a，b的值；(2)若f(1)=2，a>0，b>0，求1a+4b的最小值.10.(2016·泰州中学)已知函数f(x)=ax2+2x+c(a，c∈N*)满足①f(1)=5；②6<f(2)<11.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若对任意的x∈[1，2]，都有f(x)-2mx≥0恒成立，求实数m的取值范围.11.(2015·浙江卷)设函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R).(1)当b=24a+1时，求函数f(x)在区间[-1，1]上的最小值g(a)的表达式；(2)已知函数f(x)在区间[-1，1]上存在零点，且0≤b-2a≤1，求实数b的取值范围.【检测与评估答案】第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性问题一、填空题1. (1，+∞)【解析】当a=0时，易知条件不成立；当a≠0时，要使不等式ax2+2x+a>0的解集为R，必须满足24-40aa>⎧⎨∆=<⎩，，解得a>1.2.1【解析】因为正实数x，y满足x+y=2，所以xy≤2()4x y+=224=1，所以1xy≥1.又1xy≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.3. (-∞，-3]【解析】设f(x)=x+23x+=(x+3)+23x+-3，因为x>-3，所以x+3>0，故f(x)≥23=2-3，当且仅当-3时等号成立，所以a的取值范围是(-∞，-3].4.12∞⎛⎫+⎪⎝⎭，【解析】设f(x)=x2+ax-3a.因为对任意实数x∈[-1，1]，不等式x2+ax-3a<0恒成立，所以(-1)1--30(1)1-30f a af a a=<⎧⎨=+<⎩，，解得a>12.5.(-1，2)【解析】原不等式变形为m2-m<12x⎛⎫⎪⎝⎭，因为函数y=12x⎛⎫⎪⎝⎭在(-∞，-1]上是减函数，所以12x⎛⎫⎪⎝⎭≥-112⎛⎫⎪⎝⎭=2.当x∈(-∞，-1]时，m2-m<12x⎛⎫⎪⎝⎭恒成立等价于m2-m<2，解得-1<m<2.6. (-∞，-4]∪[0，+∞)【解析】由题意知f'(x)=2x+2+ax=222x x ax++，因为f(x)在区间(0，1]上恒为单调函数，所以f'(x)在区间(0，1]上恒大于等于0或恒小于等于0，所以2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在区间(0，1]上恒成立，即a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x)，而函数y=-2x2-2x在区间(0，1]上的值域为[-4，0)，所以a≥0或a≤-4.7. 8【解析】令a=2y-1，b=x-1，则22-1xy+24-1yx=2(1)ba++2(1)ab+，问题转化为求2(1)ba++2(1)ab+的最小值.又2(1)b a ++2(1)a b +≥2×ab =2×ab =2ab ab ab ⎛++ ⎪⎭≥2×(2+2)=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时取等号.8. {8，-2} 【解析】当b ≤0时，由(ax+3)(x 2-b )≤0得ax+3≤0在x ∈(0，+∞)上恒成立，则a<0，且a ·0+3≤0，矛盾，故b>0.当b>0时，由(ax+3)(x 2-b )≤0可设f (x )=ax+3，g (x )=x 2-b ，又g (x )的大致图象如图所示，那么由题意可知03-a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩，，再由a ，b 是整数得到-19a b =⎧⎨=⎩，或-31a b =⎧⎨=⎩，，因此a+b=8或-2.(第8题)二、 解答题9. (1) 由题意得(-1)0(3)0f f =⎧⎨=⎩，，即-5093-30a b a b +=⎧⎨+=⎩，， 解得-14.a b =⎧⎨=⎩，(2) 因为f (1)=2，所以a+b=1，所以1a +4b =(a+b )14a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=5+b a +4a b ≥9，当且仅当b=2a=12时取等号.10. (1) 由题知5=a+c+2，即c=3-a.又6<4a+c+4<11，所以-13<a<43.又a∈N*，所以a=1，c=2. 所以f(x)=x2+2x+2.(2) 由已知得2(m-1)≤x+2x在x∈[1，2]上恒成立.因为当x∈[1，2]时，x+2x∈3⎡⎤⎣⎦，所以2(m-1)≤2，即m+1，所以实数m的取值范围为(-∞+1].11. (1) 当b=24a+1时，函数f(x)=22ax⎛⎫+⎪⎝⎭+1，故其图象的对称轴为直线x=-2a.当a≤-2时，g(a)=f(1)=24a+a+2；当-2<a≤2时，g(a)=f-2a⎛⎫⎪⎝⎭=1；当a>2时，g(a)=f(-1)=24a-a+2.综上，g(a)=222-2 41-22-2 2.4aa aaaa a⎧++≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，，，，，(2) 设s，t为方程f(x)=0的解，且-1≤t≤1，则-.s t a st b+=⎧⎨=⎩，因为0≤b-2a≤1，所以-22tt+≤s≤1-22tt+(-1≤t≤1).当0≤t≤1时，2-22tt+≤st≤2-22t tt+，由于-23≤2-22tt+≤0和-13≤2-22t tt+≤9-4，所以-23≤b≤9-.当-1≤t<0时，2-22t tt+≤st≤2-22tt+，由于-2≤2-22tt+<0和-3≤2-22t tt+<0，所以-3≤b<0.故b的取值范围是-3⎡⎣，.。

2019二轮复习数学(文) 第一部分 第一层级 基础送分专题三 不等式含解析

2019二轮复习数学(文) 第一部分 第一层级 基础送分专题三 不等式含解析

基础送分专题三 不等式[题组练透]1．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( )A ．ac 2>bc 2 B.ab >1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C 若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；若b <0，则ab <1，故B 错；不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；若a ，b 都小于0，则a 2<b 2，故D 错．于是选C.2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：选B 根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2. 3．设p ：x 2－x －20>0，q ：1－x 2|x |－2<0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A p ：由x 2－x －20>0，解得x >5或x <－4.q ：由1－x 2|x |－2<0⇒(1－x 2)(|x |－2)<0，当x ≥0时，可化为(x ＋1)(x －1)(x －2)>0，解得0≤x <1或x >2.当x <0时，可化为(x －1)(x ＋1)(x ＋2)<0，解得－1<x <0或x <－2，故1－x 2|x |－2<0的解为x <－2或－1<x <1或x >2，所以由p ⇒q ，但qp ，故选A.4．若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，65 B.⎣⎡⎭⎫－2，65 C.⎣⎡⎦⎤－2，65 D.⎣⎡⎭⎫－2，65∪{2}解析：选B 当a 2－4＝0时，解得a ＝2或a ＝－2，当a ＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a ＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a 2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得 －2<a <65.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－2，65，故选B. 5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ [题后悟通][题组练透]1．(2019届高三·重庆调研)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最小值，且z min ＝2×1＋2＝4，故选B.2．(2018·广州测试)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2y －1≥0，x －1≤0，则z ＝x 2＋2x ＋y 2的最小值为( )A.12 B.14C ．－12D ．－34解析：选D 画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z ＝x 2＋2x ＋y 2＝(x ＋1)2＋y 2－1的几何意义是平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为12，故z min ＝14－1＝－34.3．(2019届高三·湖北八校联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，2x －y ≥m ，若z ＝x ＋2y 的最大值为4，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．1解析：选B 作出约束条件所对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取得最大值4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，得A (0,2)，所以m ＝2×0－2＝－2.4．(2018·合肥质检)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时，生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元解析：选B 设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x ，y ∈N *，每月利润z ＝2x ＋y ，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)时，z 取得最大值，为360.5．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示． 由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z 2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z 2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6. 答案：6[题后悟通][题组练透]1．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，所以m ＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ≥2ab ＋2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故m ＋n 的最小值为5.2．已知P (a ，b )为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，则当1a 2＋4b 2取最小值时，a 2的值为( )A.45 B ．2 C.43D ．3解析：选C ∵P (a ，b )为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，∴a 2＋b 2＝4.又a ≠0，b ≠0，∴1a2＋4b 2＝14⎝⎛⎭⎫1a 2＋4b 2·(a 2＋b 2)＝14⎝⎛⎭⎫5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥14⎝⎛⎭⎫5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝94，当且仅当b 2＝2a 2＝83时取等号，故a 2＝43，选C.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．解析：y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2－2＝0.当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．答案：04．(2018·石家庄质检)已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线l 经过点(2,3)， 所以2a ＋3b －ab ＝0， 即3a ＋2b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝5＋3b a ＋2a b ≥5＋26，当且仅当3b a ＝2a b ，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立．答案：5＋2 65．(2018·洛阳统考)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则1a ＋4b的最小值为________．解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x ＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y －6)＋5＋7＋10＝0，解得y ＝4.由x ，G ，y 成等比数列，可得G 2＝xy ＝4，由正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列，可得G ＝2，a ＋b ＝2G ＝4，所以1a ＋4b ＝14⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝14⎝⎛⎭⎫1＋b a ＋4a b ＋4≥14×(5＋4)＝94(当且仅当b ＝2a 时取等号)．故1a ＋4b 的最小值为94.答案：94[题后悟通][专题过关检测] 一、选择题1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3解析：选D 由题意得，不等式x 2－2x －3＜0的解集A ＝(－1，3)，不等式x 2＋x －6＜0的解集B ＝(－3,2)，所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.2．若x >y >0，m >n ，则下列不等式正确的是( ) A ．xm >ym B ．x －m ≥y －n C.x n >y mD ．x >xy解析：选D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为0或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为m ，n 的正负不确定．故选D.3．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a ≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( )A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a<1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.4．(2018·成都一诊)若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[0，＋∞)解析：选B 法一：当x ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x ＞0时，x 2＋2ax ＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2＋1)⇒2a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，又－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取等号，所以2a ≥－2⇒a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．法二：设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a .当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1＞0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立； 当－a ＞0，即a ＜0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝－a 2＋1≥0，得－1≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ＞0，2x －1，x ≤0，若不等式f (x )＋1≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D ．[0,2]解析：选C 由f (x )≥－1在R 上恒成立，可得当x ≤0时，2x －1≥－1，即2x ≥0，显然成立；又x ＞0时，x 2－ax ≥－1，即为a ≤x 2＋1x ＝x ＋1x ，由x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时，取得最小值2，可得a ≤2，综上可得实数a 的取值范围为(－∞，2]．6．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.法二：由1a <1b <0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <1ab，故①正确；②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．7．(2018·长春质检)已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx ，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.8．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． 则A (1,2)，B (1，－1)，C (3,0)， 因为目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，所以目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 处取得， 所以若在A 处取得，则k －2＝0，得k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；若在B 处取得，则k ＋1＝0，得k ＝－1，此时，z ＝－x －y ， 在B 点取得最大值，故不成立，故选B.9．(2019届高三·湖北五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A ．15万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 解析：选D 设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获利润z 万元，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝3x ＋4y 过点M 时取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2,3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18，故选D.10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若y ≥kx －3恒成立，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－115，0 B.⎣⎡⎦⎤0，113 C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫115，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－115∪[0，＋∞) 解析：选A 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3作出可行域如图中阴影分部所示，则A ⎝⎛⎭⎫－52，52，B (3，－3)，C (3,8)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3≥3k －3，52≥－52k －3， 解得－115≤k ≤0.所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－115，0. 11．若两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n 12＜0有解，则实数n 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－2512，1 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－2512∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－2512 解析：选B 因为不等式x ＋y 4－n 2－13n12＜0有解，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min ＜n 2＋13n12， 因为x ＞0，y ＞0，且13x ＋3y＝1， 所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 4⎝⎛⎭⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥1312＋2 3x y ·y 12x ＝2512，当且仅当3x y ＝y 12x ，即x ＝56，y ＝5时取等号，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min ＝2512， 故n 2＋13n 12－2512＞0，解得n ＜－2512或n ＞1，所以实数n 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)． 12．(2019届高三·福州四校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，其中a ＞0，若x －yx ＋y的最大值为2，则a 的值为( ) A.12 B.14C.38D.59解析：选C 设z ＝x －y x ＋y ，则y ＝1－z 1＋zx ，当z ＝2时，y ＝－13x ，作出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－13x ，易知此直线与区域的边界线2x －2y －1＝0的交点为⎝⎛⎭⎫38，－18，当直线x ＝a 过点⎝⎛⎭⎫38，－18时，a ＝38，又此时直线y ＝1－z 1＋z x 的斜率1－z 1＋z 的最小值为－13，即－1＋2z ＋1的最小值为－13，即z 的最大值为2，符合题意，所以a 的值为38，故选C.二、填空题13．(2018·岳阳模拟)不等式3x －12－x≥1的解集为________． 解析：不等式3x －12－x ≥1可转化成3x －12－x －1≥0，即4x －32－x≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(4x －3)(x －2)≤0，2－x ≠0，解得34≤x ＜2，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x ＜2. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x ＜214．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则关于x 的不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a ＜0的解集为________．解析：由题意知－1，12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－12＝－ba ，－12＝ca ，且a ＜0，所以⎩⎨⎧b ＝12a ，c ＝－12a .所以不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a ＜0化为 －12a (lg x )2＋b lg x ＋a ＜0， 即－12a (lg x )2＋12a lg x ＋a ＜0.所以(lg x )2－lg x －2＜0， 所以－1＜lg x ＜2，所以110＜x ＜100. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |110＜x ＜100 16．设x ＞0，y ＞0，且⎝⎛⎭⎫x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y 2＝________. 解析：∵x ＞0，y ＞0，∴当x ＋1y 取最小值时，⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2取得最小值，∵⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2＝x 2＋1y 2＋2x y ，⎝⎛⎭⎫x －1y 2＝16y x ，∴x 2＋1y2＝2x y ＋16yx ，⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2＝4x y ＋16y x ≥2 4x y ·16y x ＝16，∴x ＋1y ≥4，当且仅当4x y ＝16y x ，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y 取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2xy ＝16，即x 2＋1y 2＋2×2y y ＝16，∴x 2＋1y2＝16－4＝12.答案：12。

2019年高考理数考前核心考点解读冲刺攻略专题1： 不等式 Word版含答案【8页】

2019年高考理数考前核心考点解读冲刺攻略专题1： 不等式 Word版含答案【8页】

核心考点解读——不等式二元一次不等式（组）表示的平面区域（II）简单的线性规划问题（II）利用基本不等式求最大（小）值问题（II）利用基本不等式求恒成立问题（II）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题、填空题的形式出现，一般考查二元一次不等式（组）表示的平面区域问题以及简单的线性规划问题，利用基本不等式求解最小（大）值问题，以及基本不等式的实际应用等.2.从考查内容来看，线性规划重点考查不等式（组）表示的可行域的确定，目标函数的最大（小）值的计算等，重点体现数形结合的特点.基本不等式则根据其模型计算最值问题，注意取到最值时的条件是否成立.3.从考查热点来看，求最值是高考命题的热点，通过线性规划求最值体现了数形结合思想以及特殊位置求最值的思想；通过基本不等式求最值，则在于模型化求最值方法的应用.1.二元一次不等式（组）表示的平面区域(1)能够通过取特殊点，由不等式的符号来确定不等式表示的平面区域.通常情况下取错误!未找到引用源。

，若不等式相应的直线过错误!未找到引用源。

，则可在坐标轴上取错误!未找到引用源。

或错误!未找到引用源。

.(2)能够确定不等式组表示的平面区域，并计算相应平面区域的面积.计算时要注意利用平面区域所呈现的多边形形状，利用面积公式求解.2.简单的线性规划(1)解不含参数的线性规划问题的一般步骤：根据给定的约束条件画出相应的可行域，考察目标函数的特征，并根据其几何意义确定使其取得最值时的点的坐标，代入目标函数求最值.通常情况下，给定的约束条件多为二元一次不等式组，常见的目标函数有：错误!未找到引用源。

型的线性目标函数；错误!未找到引用源。

型的斜率型目标函数；错误!未找到引用源。

型的两点间距离型目标函数等.(2)使目标函数取得最值的点一般是可行域边界的交点，求出交点坐标，并代入目标函数，可以快捷、准确地计算最值，但要注意可行域的边界是否是实线.(3)解含参数的线性规划问题通常有以下两种类型：i)条件不等式组中含有参数，此时不能明确可行域的形状，因此增加阶梯式画图分析的难度.求解这类问题时，要有全局观，要能够结合目标函数取得最值的情况进行逆向分析，利用目标函数取得最值时所得的直线与约束条件所对应的直线形成交点，求解参数.ii)目标函数中设置参数，旨在增加探索问题的动态性和开放性.要能够从目标函数的结论入手，多图形的动态分析，对变化过程中的相关数据准确定位，以此解决问题.3.利用基本不等式求最值问题(1)利用基本不等式求最值的主要方法：和定积最大，积定和最小.(2)注意基本不等式应用的环境及最值取到的条件：一正二定三相等.(3)常用的不等式模型：①基本不等式链：若错误!未找到引用源。

数学(文)一轮教学案：第三章第2讲 导数的应用 Word版含解析

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第2讲导数的应用考纲展示命题探究1函数的单调性与导数的关系2用充分必要条件来诠释导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)．注意点应用导数解决函数单调性问题的原则方法(1)求函数f(x)的单调区间，也是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集，但单调区间不能脱离函数定义域而单独存在，求单调区间要坚持“定义域优先”的原则．(2)由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或f′(x)<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验.1．思维辨析(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间是相同的说法．()答案(1)×(2)√(3)×2．函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)答案 D解析y′＝－2x e x＋(3－x2)e x＝e x(－x2－2x＋3)，由y′>0⇒x2＋2x－3<0⇒－3<x<1，∴函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是(－3,1)．故选D.3．函数f (x )＝e x －2x 的单调递增区间是________．答案 (ln 2，＋∞)解析 f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )＝0得x ＝ln 2.当x ∈(ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )＝e x －2x 的单调递增区间为(ln 2，＋∞)．[考法综述] 单调性是导数几种应用中最基本也是最重要的内容，因为求极值和最值都离不开单调性．利用导数讨论函数单调性或求函数的单调区间是导数的重要应用，也是高考的热点，经常在解答题的分支问题中出现，难度一般．命题法 判断函数的单调性典例 已知函数f (x )＝ln x －mx ＋m ，m ∈R .(1)已知函数f (x )在点(1，f (1))处与x 轴相切，求实数m 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)在(1)的结论下，对于任意的0<a <b ，证明：f (b )－f (a )b －a<1a －1. [解] 由f (x )＝ln x －mx ＋m ，得f ′(x )＝1x －m (x >0)．(1)依题意得f ′(1)＝1－m ＝0，即m ＝1.(2)当m ≤0时，f ′(x )＝1x －m >0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当m >0时，f ′(x )＝－m ⎝⎛⎭⎪⎫x －1m x ，由f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m ，由f ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，＋∞， 即函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，＋∞上单调递减． (3)证明：由(1)知m ＝1，得f (x )＝ln x －x ＋1，对于任意的0<a <b ，f (b )－f (a )b －a<1a －1可化为(ln b －b )－(ln a －a )b －a<1a －1，因为0<a <b ，所以有b －a >0，故不等式可化为(ln b －b )－(ln a －a )<⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1(b －a )，即ln b a <b a －1，令t ＝b a ，得ln t －t ＋1<0(t >1)，令f (t )＝ln t －t ＋1.由(2)知，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且f (1)＝0，即f (t )<f (1)，于是上式成立，故对于任意的0<a <b ，f (b )－f (a )b －a <1a－1成立． 【解题法】 单调区间的求法及由单调性求参数取值范围的方法(1)利用导数求函数的单调区间的两个方法①方法一：a.确定函数y ＝f (x )的定义域；b ．求导数y ′＝f ′(x )；c ．解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；d ．解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． ②方法二：a.确定函数y ＝f (x )的定义域；b ．求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义域内的一切实根；c ．把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义域分成若干个小区间；d ．确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．(2)由函数的单调性求参数的取值范围的方法①可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)(f ′(x )在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．②可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题．③若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．1．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 答案 D解析 由题意可知存在唯一的整数x 0，使得e x 0(2x 0－1)<ax 0－a ，设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝ax －a ，由g ′(x )＝e x (2x ＋1)可知g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故⎩⎪⎨⎪⎧ h (0)>g (0)h (－1)≤g (－1)，即⎩⎨⎧ a <1－2a ≤－3e ，所以32e≤a <1，故选D.2.设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 A解析 令F (x )＝f (x )x ，因为f (x )为奇函数，所以F (x )为偶函数，由于F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以F (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F (x )＝f (x )x 在(－∞，0)上单调递增，又f (－1)＝0，f (1)＝0，数形结合可知，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．故选A.3．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k <1k B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k －1 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1答案 C解析 构造函数g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴g (x )在R 上为增函数．∵k >1，∴1k －1>0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)． 而g (0)＝f (0)＋1＝0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＋1>0， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1， 所以选项C 错误，故选C.4．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)答案 C解析 (1)当a ＝0时，显然f (x )有两个零点，不符合题意．(2)当a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a .当a >0时，2a >0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在(－∞，0)与⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上为减函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0>0，则f (0)<0，即1<0，不成立．当a <0时，2a <0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上为增函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0>0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a ·8a 3－3·4a 2＋1>0，解得a >2或a <－2，又因为a <0，故a 的取值范围为(－∞，－2)．选C.5．已知函数f (x )＝－2(x ＋a )ln x ＋x 2－2ax －2a 2＋a ，其中a >0.(1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．解 (1)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝2(x－a )－2ln x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x ， 所以g ′(x )＝2－2x ＋2a x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14x 2当0<a <14时，g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2上单调递减； 当a ≥14时，g (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：由f ′(x )＝2(x －a )－2ln x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x ＝0，解得a ＝x －1－ln x 1＋x －1. 令φ(x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x －1－ln x 1＋x －1ln x ＋x 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－ln x 1＋x －1x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－ln x 1＋x －12＋x －1－ln x 1＋x －1. 则φ(1)＝1>0，φ(e)＝－e (e －2)1＋e －1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫e －21＋e －12<0. 故存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0.令a 0＝x 0－1－ln x 01＋x －10，u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)． 由u ′(x )＝1－1x ≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．所以0＝u (1)1＋1<u (x 0)1＋x －10＝a 0<u (e )1＋e －1＝e －21＋e －1<1. 即a 0∈(0,1)．当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0.由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增，故当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )<0，从而f (x )>f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而f (x )>f (x 0)＝0.所以，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )≥0.综上所述，存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0在区间(1，＋∞)内恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．6.设函数f (x )＝3x 2＋ax e x (a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x(e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x，因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ， 从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)，化简得3x－e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x， 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366， x 2＝6－a ＋a 2＋366. 当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数；当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0，故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92， 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. 7．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )． ①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1. 故此时f (x )在R 上是增函数．②由于a ≠0，故当a <1时，f ′(x )＝0有两个根：x 1＝－1＋1－a a ，x 2＝－1－1－a a. 若0<a <1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时f ′(x )>0， 故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数；若a <0，则当x ∈(－∞，x 1)或(x 2，＋∞)时f ′(x )<0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时f ′(x )>0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．(2)当a >0，x >0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3>0，故当a >0时，f (x )在区间(1,2)是增函数．当a <0时，f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a ＜0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0∪(0，＋∞)． 1 判断函数极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．2 求可导函数f (x )的极值的步骤(1)求导函数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y ＝f (x )在这个根处取得极小值，可列表完成．3 函数的最值在闭区间[a ，b ]上的连续函数y ＝f (x )，在[a ，b ]上必有最大值与最小值．在区间(a ，b )上的连续函数y ＝f (x )，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点．注意点 极值点的含义及极值与最值的关系(1)“极值点”不是点，若函数f (x )在x 1处取得极大值，则x 1即为极大值点，极大值为f (x 1)；在x 2处取得极小值，则x 2为极小值点，极小值为f (x 2)．(2)极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.1．思维辨析(1)导数为零的点不一定是极值点．( )(2)三次函数在R 上必有极大值和极小值．( )(3)函数的极大值不一定比极小值大．( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( )(6)函数f (x )＝x sin x 有无数个极值点．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)√2．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2,3]上的最小值为( )A ．72B ．36C ．12D ．0 答案 D解析 因为y ′＝4x 3－4，令y ′＝0即4x 3－4＝0，解得x ＝1.当x <1时，y ′<0，当x >1时，y ′>0，所以函数的极小值为y |x ＝1＝0，而在端点处的函数值y |x ＝－2＝27，y |x ＝3＝72，所以y min ＝0.3．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( )A ．1，－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1，－3 答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0.①又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3. [考法综述] 函数的极值与最值是高考热点内容，对极值的考查主要有2个命题角度：①判断极值的情况，②已知函数求极值．考查函数最值时必定涉及函数的单调性，还会涉及方程和不等式．题型有大题也有小题且有一定难度．另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是热点考查内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大．命题法 求函数的极值与最值典例 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2(x <1)，a ln x (x ≥1). (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．[解] (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x(－∞，0) 0 f ′(x )－ 0 ＋ 0 －f (x )极小值 极大值 点为x ＝23.(2)①当－1≤x <1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递增． 因为f (－1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2.②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增，则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ；当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.【解题法】 求函数极值和最值的方法(1)求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f ′(x )＝0，再判断f ′(x )＝0的根是否是极值点，可通过列表结合导函数与0的大小(或函数的单调性)进行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类讨论．(2)函数的最大值①若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．②若函数在闭区间[a ，b ]内有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．③函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．1．对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上答案 A解析 由A 知a －b ＋c ＝0；由B 知f ′(x )＝2ax ＋b,2a ＋b ＝0；由C 知f ′(x )＝2ax ＋b ，令f ′(x )＝0可得x ＝－b 2a ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝3，则4ac －b 24a ＝3；由D 知4a ＋2b ＋c ＝8.假设A 选项错误，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ≠0，2a ＋b ＝0，4ac －b 24a ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－10，c ＝8，满足题意，故A 结论错误．同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A.2．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d (b ，c ，d 为常数)，当x ∈(0,1)时，f (x )取得极大值，当x ∈(1,2)时，f (x )取得极小值，则⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫372，5 B ．(5，5) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫374，25 D ．(5,25)答案 D解析 因为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，f ′(x )的两个根分别在(0,1)和(1,2)内，所以f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ c >0，3＋2b ＋c <0，12＋4b ＋c >0，作出可行域如图中阴影部分所示(不包括b 轴)，⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2表示可行域内一点到点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3的距离的平方，由图象可知，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3到直线3＋2b ＋c ＝0的距离最小，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|3－1＋3|52＝5，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，6的距离最大，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122＋(c －3)2＝25，因为可行域的临界线为虚线，所以所求范围为(5,25)，故选D.3．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－5，1)B ．[－5，1)C ．[－2,1)D ．(－2,1)答案 C 解析 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝－1为函数f (x )的极大值点，x ＝1为函数f (x )的极小值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值，则函数f (x )的极小值点必在区间(a,6－a 2)内，且左端点的函数值不小于f (1)，即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2，解得－5<a <1，且a ≥－2.故实数a 的取值范围是[－2，1)．4．设函数f (x )＝e x (sin x －cos x )(0≤x ≤2015π)，则函数f (x )的各极小值之和为( )A ．－e 2π(1－e 2015π)1－e 2πB ．－e 2π(1－e 2015π)1－e πC ．－1－e 2016π1－e 2πD ．－e 2π(1－e 2014π)1－e 2π答案 D解析 因为f ′(x )＝2e x sin x ，所以x ∈(2k π＋π，2k π＋2π)(k ∈Z )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ∈(2k π＋2π，2k π＋3π)(k ∈Z )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故当x ＝2k π＋2π(k ∈Z )时，f (x )取极小值，其极小值为f (2k π＋2π)＝－e 2k π＋2π(k ∈Z )，又0≤x ≤2015π，所以f (x )的各极小值之和S ＝－e 2π－e 4π－…－e 2014π＝－e 2π(1－e 2014π)1－e 2π，故选D. 5．已知点M 在曲线y ＝3ln x －x 2上，点N 在直线x －y ＋2＝0上，则|MN |的最小值为________．答案 2 2解析 当点M 处的曲线的切线与直线x －y ＋2＝0平行时|MN |取得最小值．令y ′＝－2x ＋3x ＝1，解得x ＝1，所以点M 的坐标为(1，－1)，所以点M 到直线x －y ＋2＝0的距离为|1＋2＋1|2＝22，即|MN |的最小值为2 2.6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋6在x ＝________时取得极小值． 答案 2解析 依题意得f ′(x )＝3x (x －2)．当x <0或x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.因此，函数f (x )在x ＝2时取得极小值．7．设函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝x 2e x .已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0平行．(1)求a 的值；(2)是否存在自然数k ，使得方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)，求m (x )的最大值．解 (1)由题意知，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2，又f ′(x )＝ln x ＋a x ＋1，所以a ＝1.(2)k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根．设h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)ln x －x 2e x ，当x ∈(0,1]时，h (x )<0，又h (2)＝3ln 2－4e 2＝ln 8－4e 2>1－1＝0，所以存在x 0∈(1,2)，使得h (x 0)＝0.因为h ′(x )＝ln x ＋1x ＋1＋x (x －2)e x ，所以当x ∈(1,2)时，h ′(x )>1－1e >0，当x ∈[2，＋∞)时，h ′(x )>0，所以当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增．所以k ＝1时，方程f (x )＝g (x )在(k ，k ＋1)内存在唯一的根．(3)由(2)知方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的根x 0，且x ∈(0，x 0)时，f (x )<g (x )，x ∈(x 0，＋∞)时，f (x )>g (x )，所以m (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)ln x ，x ∈(0，x 0]，x 2e x ，x ∈(x 0，＋∞).当x ∈(0，x 0]时，若x ∈(0,1]，m (x )≤0；若x ∈(1，x 0]，由m ′(x )＝ln x ＋1x ＋1>0.可知0<m (x )≤m (x 0)．故m (x )≤m (x 0)．当x ∈(x 0，＋∞)时，由m ′(x )＝x (2－x )e x ，可得x ∈(x 0,2)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增；x ∈(2，＋∞)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减．可知m (x )≤m (2)＝4e 2，且m (x 0)<m (2)．综上可得，函数m (x )的最大值为4e 2.8.设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3， x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1<x 2， 所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减．所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a 3处取得最大值． 又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． 9.设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k …是自然对数的底数)． (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝e x ·x 2－2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x ＝(x －2)(e x －kx )x 3(x >0)， 由k ≤0，知e x －kx >0，令f ′(x )＝0，则x ＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．综上，f (x )的减区间为(0,2)，增区间为(2，＋∞)．(2)由题意知f ′(x )＝0，即e x －kx ＝0在(0,2)内存在两个不等实根． 令g (x )＝e x －kx ，g ′(x )＝e x －k ，令g ′(x )＝0，x ＝ln k ，则0<ln k <2，即1<k <e 2.当0<x <ln k 时，g ′(x )<0，g (x )为减函数．当ln k <x <2时，g (x )为增函数．∵g (0)＝1>0，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (2)>0，g (ln k )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧e 2－2k >0，e ln k －k ·ln k <0，得e<k <e 22. 综上可知，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22 10．已知函数f (x )＝ln x －a (x 2－x )(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求f (x )在[1,2]上的最大值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，f ′(x )＝1x －2x ＋1. ∴f (1)＝0，f ′(1)＝0，即所求切线方程为：y ＝0.(2)∵f ′(x )＝1x －2ax ＋a ＝－2ax 2＋ax ＋1x，x >0. ∴当a ＝0时，f ′(x )>0，f (x )在[1,2]上单调递增．∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2.当a ≠0时，可令g (x )＝－2ax 2＋ax ＋1，x ∈[1,2]，g (x )的对称轴x ＝14且过点(0,1)．∴当a <0时，f ′(x )>0在[1,2]上恒成立，f (x )在[1,2]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－2a .当a >0时，若g (1)≤0，即a ≥1时，f ′(x )<0在[1,2]上恒成立． f (x )在[1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝0.若g (1)>0，g (2)<0，即16<a <1时，f ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a ＋a 2＋8a 4a 上大于零， 在⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋a 2＋8a 4a ，2上小于零， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，a ＋a 2＋8a 4a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋a 2＋8a 4a ，2上单调递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋8a 4a ＝ln a ＋a 2＋8a 4a ＋a 2＋8a ＋a －48. 若g (1)>0，g (2)≥0，即0<a ≤16时，f ′(x )>0在[1,2]上恒成立，f (x )在[1,2]上单调递增，∴f (x )max ＝f (2)＝ln 2－2a .综上：f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln 2－2a ，a ≤16ln a ＋a 2＋8a 4a ＋a 2＋8a ＋a －48，16<a <10，a ≥1.11．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)当a ＝2时，对于任意的m ∈[－1,1]，n ∈[－1,1]，求f (m )＋f ′(n )的最小值；(2)若存在x 0∈(0，＋∞)，使f (x 0)>0，求a 的取值范围．解 (1)由题意得f (x )＝－x 3＋2x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或43.当x 在[－1,1]上变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：∵f ′(x )＝－3x 2＋4x 的对称轴为直线x ＝23，且抛物线开口向下，∴对于n ∈[－1,1]，f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－7.∴f (m )＋f ′(n )的最小值为－11.(2)∵f ′(x )＝－3x ⎝⎛⎭⎪⎫x －2a 3.①若a ≤0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减．又f (0)＝－4，则当x >0时，f (x )<－4.∴当a ≤0时，不存在x 0>0，使f (x 0)>0.②若a >0，则当0<x <2a 3时，f ′(x )>0；当x >2a 3时，f ′(x )<0.从而f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2a 3上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a 3，＋∞上单调递减， ∴当x ∈(0，＋∞)时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＝－8a 327＋4a 39－4＝427a 3－4. 根据题意，得4a 327－4>0，即a 3>27，解得a >3.综上，a 的取值范围是(3，＋∞)．1 利用导数证明不等式的常用技巧(1)利用给定函数的某些性质，如函数的单调性、最值、极值等，服务于所要证明的不等式．(2)当给出的不等式无法直接证明时，先对不等式进行等价转化后再进行求证．(3)根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的最值进行求证，构造函数的方法较为灵活，要结合具体问题，平时要多积累．其一般步骤为：构造可导函数→研究其单调性求最值→得出不等关系→整理得出所证明的结论．2 导数在研究函数零点中的作用(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等．(2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．3 利用导数求解实际问题中的优化问题生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案．利用导数解决实际应用问题一般有如下几类：(1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可；(2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质；(3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质．注意点 函数定义域的重要性在函数的综合应用中，不论是研究函数的性质，还是构造函数，还是建立新的函数关系时，都要正确求出函数的定义域，再利用导数求解.1．思维辨析(1)2ax ＋e x≥x ＋1恒成立，可转化为a ≥x ＋1－e x2x 恒成立．( ) (2)对任意x ∈R ，f (x )≥g (x )恒成立，则f (x )min ≥g (x )max .( )(3)若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有2个交点，则f (x )－g (x )有2个零点．( )答案 (1)× (2)× (3)√2．在区间(0，π)上，sin x 与x 的大小关系是________．答案 sin x <x解析 构造函数f (x )＝sin x －x ，则f ′(x )＝cos x －1≤0且不恒等于0，故函数f (x )在(0，π)上单调递减，所以f (x )<f (0)＝0，故sin x <x .3．已知函数f (x )＝x ＋1e x .(1)讨论函数f (x )的单调性，并求其最值；(2)若对任意的x ∈(0，＋∞)，有f (x )<ax 2＋1恒成立，求实数a的取值范围．解 (1)f (x )＝x ＋1e x ，f ′(x )＝1－1e x ＝0，则x ＝0.当x ∈(－∞，0)时f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的最小值为f (0)＝1，无最大值．(2)由(1)知，若a ＝0，则当x >0时f (x )>1＝ax 2＋1，原不等式不成立．若a <0，则当x >0时，ax 2＋1<1，原不等式不成立．若a >0，f (x )<ax 2＋1等价于(ax 2－x ＋1)e x >1.设φ(x )＝(ax 2－x ＋1)e x ，那么φ′(x )＝[ax 2＋(2a －1)x ]e x .若a ≥12，则φ(x )＝(ax 2－x ＋1)e x 在(0，＋∞)上单调递增，φ(x )的最小值大于φ(0)＝1，因而(ax 2－x ＋1)e x >1恒成立．若0<a <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －2时φ(x )单调递减，φ(x )<φ(0)＝1，原不等式不成立．综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [考法综述] 函数与导数的压轴试题，在每年的高考中属于必考内容，其命题方向主要有两个：一是围绕函数的性质考查函数的奇偶性、单调性、周期性、极值、最值，曲线的切线等问题展开，二是围绕函数与方程、不等式命制探索方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立等问题展开．此类压轴试题难度较大，逻辑推理能力较强，在今后的备考中不可小视．命题法1 利用导数证明不等式问题典例1 已知函数f (x )＝e xx e x ＋1. (1)证明：0<f (x )≤1；(2)当x >0时，f (x )>1ax 2＋1，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设g (x )＝x e x ＋1，则g ′(x )＝(x ＋1)e x .当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(－1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以g (x )≥g (－1)＝1－e －1>0.又e x >0，故f (x )>0.f ′(x )＝e x (1－e x )(x e x ＋1)2. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )≤f (0)＝1.综上，有0<f (x )≤1.(2)①若a ＝0，则x >0时，f (x )<1＝1ax 2＋1，不等式不成立． ②若a <0，则当0<x <1－a时，1ax 2＋1>1，不等式不成立． ③若a >0，则f (x )>1ax 2＋1等价于(ax 2－x ＋1)e x －1>0.(*) 设h (x )＝(ax 2－x ＋1)e x －1，则h ′(x )＝x (ax ＋2a －1)e x .若a ≥12，则当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )>h (0)＝0.若0<a <12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2a a 时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，h (x )<h (0)＝0.不等式不恒成立．于是，若a >0，不等式(*)成立当且仅当a ≥12.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 【解题法】 利用导数证明不等式的方法(1)证明f (x )≥g (x )或f (x )≤g (x )，可通过构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，将上述不等式转化为求证h (x )≥0或h (x )≤0，从而利用求h (x )的最小值或最大值来证明不等式．(2)关于恒成立问题可以转化为求函数的最值．一般地，f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a 即可；f (x )≤a 恒成立，只需f (x )max ≤a 即可．命题法2 利用导数研究函数的零点问题典例2 已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )；(3)若方程f (x )＝a (a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 2－x 1≤－a 3＋4 13 .[解] (1)由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3.当f ′(x )>0，即x <1时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >1时，函数f (x )单调递减．所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)证明：设点P 的坐标为(x 0,0)，则x 0＝4 13 ，f ′(x 0)＝－12.曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)，即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)．令函数F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)·(x －x 0)，则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)．由于f ′(x )＝－4x 3＋4在(－∞，＋∞)上单调递减，故F ′(x )在(－∞，＋∞)上单调递减．又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )>0，当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减，所以对于任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0，即对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x)．(3)证明：由(2)知g(x)＝－12(x－413)．设方程g(x)＝a的根为x2′，可得x2′＝－a12＋413.因为g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，又由(2)知g(x2)≥f(x2)＝a＝g(x2′)，因此x2≤x2′.类似地，设曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝h(x)，可得h(x)＝4x.对于任意的x∈(－∞，＋∞)，有f(x)－h(x)＝－x4≤0，即f(x)≤h(x)．设方程h(x)＝a的根为x1′，可得x1′＝a4.因为h(x)＝4x在(－∞，＋∞)上单调递增，且h(x1′)＝a＝f(x1)≤h(x1)，因此x1′≤x1.由此可得x2－x1≤x2′－x1′＝－a3＋413.【解题法】利用导数研究零点问题的方法利用导数研究方程根、函数的零点、图象交点问题的常用方法为：通过导数研究函数的单调性、最值、变化趋势等，根据题目的要求得出图象的走势规律，通过数形结合的思想分析问题，使问题的求解清晰、直观的整体展现．命题法3利用导数求解实际生活中的优化问题典例3某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.[解] (1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3， 又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，因此43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ≥2r ， 整理得40r 2≥5r ，故0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c . 因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π(c －2)r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2. 由于c >3，所以c －2>0，当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2. 令 320c －2＝m ，则m >0， 所以y ′＝8π(c －2)r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0.所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0,2]时，y ′<0，函数单调递减，所以r ＝2是函数y 的最小值点．综合所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝320c －2. 【解题法】 利用导数解决实际生活中的优化问题的方法(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y ＝f (x )．(2)求导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)判断使f ′(x )＝0的点是极大值点还是极小值点．(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．1.设f (x )是定义在R 上的可导函数，当x ≠0时，f ′(x )＋f (x )x >0，则关于x 的函数g (x )＝f (x )＋1x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．0或2答案 C 解析 由f ′(x )＋f (x )x >0，得xf ′(x )＋f (x )x>0，当x >0时，xf ′(x )＋f (x )>0，即[xf (x )]′>0，函数xf (x )单调递增；当x <0时，xf ′(x )＋f (x )<0，即[xf (x )]′<0，函数xf (x )单调递减．∴xf (x )>0f (0)＝0，又g (x )＝f (x )＋x －1＝xf (x )＋1x ，函数g (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数等价于函数y ＝xf (x )＋1的零点个数．当x >0时，y ＝xf (x )＋1>1，当x <0时，y ＝xf (x )＋1>1，所以函数y ＝xf (x )＋1无零点，所以函数g (x )＝f (x )＋x －1的零点个数为0.故选C.2．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2014)2f (x ＋2014)－4f (－2)>0的解集为________．答案 (－∞，－2016)解析 由2f (x )＋xf ′(x )>x 2，x <0得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3，∴[x 2f (x )]′<x 3<0.令F (x )＝x 2f (x )(x <0)，则F ′(x )<0(x <0)，即F (x )在(－∞，0)上是减函数，因为F (x ＋2014)＝(x ＋2014)2f (x ＋2014)，F (－2)＝4f (－2)，所以不等式(x ＋2014)2f (x ＋2014)－4f (－2)>0即为F (x ＋2014)－F (－2)>0，即F (x ＋2014)>F (－2)，又因为F (x )在(－∞，0)上是减函数，所以x ＋2014<－2，∴x <－2016.3．已知f (x )＝ax －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，∀x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，x 1≠x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则实数a 的取值范围为________． 答案 a ≤－32解析 f ′(x )＝a ＋sin x .依题意可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上为减函数，所以f ′(x )≤0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3恒成立，可得a ≤－sin x 对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3恒成立．设g (x )＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.易知g (x )为减函数，故g (x )min ＝－32，所以a ≤－32.4．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a 取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1)．5．设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a .(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明：m ≤ 3a －2e －1.解 (1)f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x 2＋2x ＋1)e x ＝(x ＋1)2e x ≥0，故f (x )是R 上的单调递增函数，其单调增区间是(－∞，＋∞)，无单调减区间．(2)证明：因为f (0)＝(1＋02)e 0－a ＝1－a <0，且f (ln a )＝(1＋ln 2 a )e ln a －a ＝(1＋ln 2 a )a －a ＝a ln 2 a >0，由零点存在性定理知，f (x )在(－∞，＋∞)上至少有一个零点． 又由(1)知，函数f (x )是(－∞，＋∞)上的单调递增函数， 故函数f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(3)证明：设点P (x 0，y 0)，由曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行知，f ′(x 0)＝0，即f ′(x 0)＝(x 0＋1)2e x 0＝0，(x 0＋1)2＝0，x 0＝－1，即P (－1,2e －1－a )．由点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行知，f ′(m )＝k OP ，即(1＋m )2e m ＝2e －1－a －0－1－0＝a －2e . 由e m ≥1＋m 知，(1＋m )3≤(1＋m )2e m＝a －2e ， 即1＋m ≤ 3a －2e ，即m ≤ 3a －2e －1.6．已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)．解 (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )>0得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1>0.解得0<x <1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.(3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意．当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)，则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意．当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋(1－k )x ＋1x . 由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －(1－k )2＋42<0，x 2＝1－k ＋(1－k )2＋42>1. 当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增． 从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)， 综上，k 的取值范围是(－∞，1)． 7．设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点． 解 (1)由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得 f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx . 由f ′(x )＝0，解得x ＝k .f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的情况如下：∞)；f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. (2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2. 因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e. 当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．。

2019年高考数学(文科)二轮复习专题透析1函数、导数与不等式

2019年高考数学(文科)二轮复习专题透析1函数、导数与不等式

续表
2015 年 考点分类 零点 导数的几 何意义 导数及其 应用 解简单的 不等式 线性规划 Ⅰ卷 第 21 题 2016 年 2017 年 合计 Ⅰ(乙) Ⅱ(甲) Ⅲ(丙) Ⅰ(乙) Ⅱ(甲) Ⅲ(丙) Ⅱ卷 卷 卷 卷 卷 卷 卷 第 21 题 第 12 题 3 年 3 考 第 20 题 第 16 题 第 14 题 3年5考
函数. (ⅱ)单调性的常见判定方法:①定义法;②图象法;③复合函 数的单调性判定方法(同增异减);④导数法.
(ⅲ)函数的单调性可用来比较大小,求函数的最值,解不等式 和证明方程根的唯一性. (2)奇偶性 (ⅰ)奇偶性的定义:f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(x)=0;f(x)为偶函数⇔f(x)=f(-x)=f(|x|)⇔f(x)-f(-x)=0. (ⅱ)奇偶性的性质及常用结论: ①若 f(x)是奇函数,且 0 在其定义域内,则 f(0)=0. ②f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于 y 轴对称;f(x)是奇函数 ⇔f(x)的图象关于原点对称. ③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对 称的单调区间内有相反的单调性. ④若 f(x+a)为奇函数,则 f(x)的图象关于点(a,0)中心对称; 若 f(x+a)为偶函数,则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称.
5.不等式 (1)不等式的证明:不等式的证明要注意和不等式的性质结合 起来,常用的方法有比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、 分析法、综合法、反证法,还要结合放缩和换元的技巧. (2)不等式的恒成立、能成立问题: ①f(x)>g(x)对一切 x∈[a,b]恒成立⇔[a,b]是 f(x)>g(x)的 解集的子集⇔[f(x)-g(x)]min>0(x∈[a,b]); ②f(x)>g(x)对 x∈[a,b]能成立⇔[a,b]与 f(x)>g(x)的解集 的交集不是空集⇔[f(x)-g(x)]max>0(x∈[a,b]); ③对∀x1,x2∈[a,b]使 f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min; ④对∀x1∈[a,b],∃x2∈[a,b]使 f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥ g(x)min.
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基础送分专题三 不等式[题组练透]1．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列式子正确的是( )A ．ac 2>bc 2 B.ab >1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C 若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 错；若b <0，则ab <1，故B 错；不论c 取何值，都有a －c >b －c ，故C 正确；若a ，b 都小于0，则a 2<b 2，故D 错．于是选C.2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12D.12解析：选B 根据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋(a －1)x －1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2. 3．设p ：x 2－x －20>0，q ：1－x 2|x |－2<0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A p ：由x 2－x －20>0，解得x >5或x <－4.q ：由1－x 2|x |－2<0⇒(1－x 2)(|x |－2)<0，当x ≥0时，可化为(x ＋1)(x －1)(x －2)>0，解得0≤x <1或x >2.当x <0时，可化为(x －1)(x ＋1)(x ＋2)<0，解得－1<x <0或x <－2，故1－x 2|x |－2<0的解为x <－2或－1<x <1或x >2，所以由p ⇒q ，但qp ，故选A.4．若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，65 B.⎣⎡⎭⎫－2，65 C.⎣⎡⎦⎤－2，65 D.⎣⎡⎭⎫－2，65∪{2}解析：选B 当a 2－4＝0时，解得a ＝2或a ＝－2，当a ＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a ＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a 2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得 －2<a <65.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－2，65，故选B. 5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ [题后悟通][题组练透]1．(2019届高三·重庆调研)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．7解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最小值，且z min ＝2×1＋2＝4，故选B.2．(2018·广州测试)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2y －1≥0，x －1≤0，则z ＝x 2＋2x ＋y 2的最小值为( )A.12 B.14C ．－12D ．－34解析：选D 画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z ＝x 2＋2x ＋y 2＝(x ＋1)2＋y 2－1的几何意义是平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为12，故z min ＝14－1＝－34.3．(2019届高三·湖北八校联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，2x －y ≥m ，若z ＝x ＋2y 的最大值为4，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．1解析：选B 作出约束条件所对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取得最大值4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，得A (0,2)，所以m ＝2×0－2＝－2.4．(2018·合肥质检)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时，生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A ．320千元B ．360千元C ．400千元D ．440千元解析：选B 设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，x ，y ∈N *，每月利润z ＝2x ＋y ，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)时，z 取得最大值，为360.5．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示． 由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z 2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z 2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6. 答案：6[题后悟通][题组练透]1．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，所以m ＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ≥2ab ＋2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故m ＋n 的最小值为5.2．已知P (a ，b )为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，则当1a 2＋4b 2取最小值时，a 2的值为( )A.45 B ．2 C.43D ．3解析：选C ∵P (a ，b )为圆x 2＋y 2＝4上任意一点，∴a 2＋b 2＝4.又a ≠0，b ≠0，∴1a2＋4b 2＝14⎝⎛⎭⎫1a 2＋4b 2·(a 2＋b 2)＝14⎝⎛⎭⎫5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥14⎝⎛⎭⎫5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝94，当且仅当b 2＝2a 2＝83时取等号，故a 2＝43，选C.3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．解析：y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2－2＝0.当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．答案：04．(2018·石家庄质检)已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．解析：因为直线l 经过点(2,3)， 所以2a ＋3b －ab ＝0， 即3a ＋2b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝5＋3b a ＋2a b ≥5＋26，当且仅当3b a ＝2a b ，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立．答案：5＋2 65．(2018·洛阳统考)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则1a ＋4b的最小值为________．解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x ＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y －6)＋5＋7＋10＝0，解得y ＝4.由x ，G ，y 成等比数列，可得G 2＝xy ＝4，由正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列，可得G ＝2，a ＋b ＝2G ＝4，所以1a ＋4b ＝14⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝14⎝⎛⎭⎫1＋b a ＋4a b ＋4≥14×(5＋4)＝94(当且仅当b ＝2a 时取等号)．故1a ＋4b 的最小值为94.答案：94[题后悟通][专题过关检测] 一、选择题1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3解析：选D 由题意得，不等式x 2－2x －3＜0的解集A ＝(－1，3)，不等式x 2＋x －6＜0的解集B ＝(－3,2)，所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.2．若x >y >0，m >n ，则下列不等式正确的是( ) A ．xm >ym B ．x －m ≥y －n C.x n >y mD ．x >xy解析：选D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为0或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为m ，n 的正负不确定．故选D.3．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a ≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( )A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a<1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.4．(2018·成都一诊)若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[0，＋∞)解析：选B 法一：当x ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x ＞0时，x 2＋2ax ＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2＋1)⇒2a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，又－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取等号，所以2a ≥－2⇒a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．法二：设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a .当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1＞0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立； 当－a ＞0，即a ＜0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝－a 2＋1≥0，得－1≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ＞0，2x －1，x ≤0，若不等式f (x )＋1≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D ．[0,2]解析：选C 由f (x )≥－1在R 上恒成立，可得当x ≤0时，2x －1≥－1，即2x ≥0，显然成立；又x ＞0时，x 2－ax ≥－1，即为a ≤x 2＋1x ＝x ＋1x ，由x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，取得最小值2，可得a ≤2，综上可得实数a 的取值范围为(－∞，2]．6．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.法二：由1a <1b<0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <1ab，故①正确；②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b ，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．7．(2018·长春质检)已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx ，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.8．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． 则A (1,2)，B (1，－1)，C (3,0)， 因为目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，所以目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 处取得， 所以若在A 处取得，则k －2＝0，得k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；若在B 处取得，则k ＋1＝0，得k ＝－1，此时，z ＝－x －y ， 在B 点取得最大值，故不成立，故选B.9．(2019届高三·湖北五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A ．15万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 解析：选D 设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获利润z 万元，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝3x ＋4y 过点M 时取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2,3)，故z ＝3x ＋4y 的最大值为18，故选D.10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若y ≥kx －3恒成立，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－115，0 B.⎣⎡⎦⎤0，113 C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫115，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－115∪[0，＋∞) 解析：选A 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3作出可行域如图中阴影分部所示，则A ⎝⎛⎭⎫－52，52，B (3，－3)，C (3,8)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3≥3k －3，52≥－52k －3， 解得－115≤k ≤0.所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－115，0. 11．若两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n 12＜0有解，则实数n 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－2512，1 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－2512∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－2512 解析：选B 因为不等式x ＋y 4－n 2－13n12＜0有解，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min ＜n 2＋13n12， 因为x ＞0，y ＞0，且13x ＋3y＝1， 所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 4⎝⎛⎭⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥1312＋2 3x y ·y 12x ＝2512，当且仅当3x y ＝y 12x ，即x ＝56，y ＝5时取等号，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min ＝2512， 故n 2＋13n 12－2512＞0，解得n ＜－2512或n ＞1， 所以实数n 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)． 12．(2019届高三·福州四校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，其中a ＞0，若x －y x ＋y的最大值为2，则a 的值为( ) A.12B.14C.38D.59 解析：选C 设z ＝x －y x ＋y ，则y ＝1－z 1＋z x ，当z ＝2时，y ＝－13x ，作出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－13x ，易知此直线与区域的边界线2x －2y －1＝0的交点为⎝⎛⎭⎫38，－18，当直线x ＝a 过点⎝⎛⎭⎫38，－18时，a ＝38，又此时直线y ＝1－z 1＋zx 的斜率1－z 1＋z 的最小值为－13，即－1＋2z ＋1的最小值为－13，即z 的最大值为2，符合题意，所以a 的值为38，故选C. 二、填空题13．(2018·岳阳模拟)不等式3x －12－x≥1的解集为________． 解析：不等式3x －12－x ≥1可转化成3x －12－x －1≥0，即4x －32－x≥0， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ (4x －3)(x －2)≤0，2－x ≠0，解得34≤x ＜2， 故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x ＜2. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x ＜214．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则关于x 的不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a ＜0的解集为________．解析：由题意知－1，12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， 所以⎩⎨⎧ －12＝－b a ，－12＝c a ，且a ＜0， 所以⎩⎨⎧b ＝12a ，c ＝－12a . 所以不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a ＜0化为－12a (lg x )2＋b lg x ＋a ＜0， 即－12a (lg x )2＋12a lg x ＋a ＜0. 所以(lg x )2－lg x －2＜0，所以－1＜lg x ＜2，所以110＜x ＜100. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |110＜x ＜100 16．设x ＞0，y ＞0，且⎝⎛⎭⎫x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y 2＝________. 解析：∵x ＞0，y ＞0，∴当x ＋1y 取最小值时，⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2取得最小值，∵⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2＝x 2＋1y 2＋2x y ，⎝⎛⎭⎫x －1y 2＝16y x ，∴x 2＋1y 2＝2x y ＋16y x ，⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2＝4x y ＋16y x ≥2 4x y ·16y x ＝16，∴x ＋1y ≥4，当且仅当4x y ＝16y x ，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y 取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x y ＝16，即x 2＋1y 2＋2×2y y ＝16，∴x 2＋1y 2＝16－4＝12. 答案：12。

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