动态规划120071024课件教学内容
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动态规划超级详细的讲义
动态规划入门1(2008-09-20 21:40:51)第一节动态规划基本概念一，动态规划三要素：阶段，状态，决策。
他们的概念到处都是，我就不多说了，我只说说我对他们的理解：如果把动态规划的求解过程看成一个工厂的生产线，阶段就是生产某个商品的不同的环节，状态就是工件当前的形态，决策就是对工件的操作。
显然不同阶段是对产品的一个前面各个状态的小结，有一个个的小结构成了最终的整个生产线。
每个状态间又有关联（下一个状态是由上一个状态做了某个决策后产生的）。
下面举个例子：要生产一批雪糕，在这个过程中要分好多环节：购买牛奶，对牛奶提纯处理，放入工厂加工，加工后的商品要包装，包装后就去销售……，这样没个环节就可以看做是一个阶段；产品在不同的时候有不同的状态，刚开始时只是白白的牛奶，进入生产后做成了各种造型，从冷冻库拿出来后就变成雪糕（由液态变成固态=_=||）。
每个形态就是一个状态，那从液态变成固态经过了冰冻这一操作，这个操作就是一个决策。
一个状态经过一个决策变成了另外一个状态，这个过程就是状态转移，用来描述状态转移的方程就是状态转移方程。
经过这个例子相信大家对动态规划有所了解了吧。
下面在说说我对动态规划的另外一个理解：用图论知识理解动态规划：把动态规划中的状态抽象成一个点，在有直接关联的状态间连一条有向边，状态转移的代价就是边上的权。
这样就形成了一个有向无环图AOE网（为什么无环呢？往下看）。
对这个图进行拓扑排序，删除一个边后同时出现入度为0的状态在同一阶段。
这样对图求最优路径就是动态规划问题的求解。
二，动态规划的适用范围动态规划用于解决多阶段决策最优化问题，但是不是所有的最优化问题都可以用动态规划解答呢？一般在题目中出现求最优解的问题就要考虑动态规划了，但是否可以用还要满足两个条件：最优子结构（最优化原理）无后效性最优化原理在下面的最短路径问题中有详细的解答；什么是无后效性呢？就是说在状态i求解时用到状态j而状态j就解有用到状态k…..状态N。
动态规划(理论部分)课件
(4)策略（policy）
把从第一阶段开始到最后阶段终止的整个决策过程，称为问题 的全过程；而把从第k阶段开始到最后阶段终止的决策过程，或称 为k子过程。在全过程上，各阶段的决策按顺序排列组成的决策序 列
p1,n＝{ u1,u2,……,un }
称为全过程策略，简称策略；而在k子过程上的决策序列
pk,n＝{ uk,uk+1,……,un }
B2 10
4 13
B3
12
11
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2
2
f4 (D1) d (D1, E) f5 (E) 5 0 5
2
A5
1
B1 12 14 10 6
B2 10
4 13
12
B3 11
C1
3
9
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
二、动态规划的基本思想
用动态规划求解多阶段决策问题，是把整个问题划分为若干阶 段后，依次地为每一个阶段作出最优决策，而每个阶段的最优决策 应该是包含本阶段和所有以前各阶段在内的最优决策，也就是到本 阶段为止，包含以前各阶段在内的最优总决策。因此，在确定了最 后一个阶段的决策之后，整个问题的最优决策序列也就随之产生。 这就是用动态规划解多阶段决策问题的基本思想。
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5
动态规划ppt课件
再如
当硬币系统为4分、3分、1分时，要找给顾客6分钱， 怎么做？
一般思维：6 = 1个4分 + 2个1分 2个3分才是最优解！
6
Example: Counting Coins. Find the minimum number of coins (1¢, 3¢, and 4¢) to make any amount. For 6¢:
fibonacci(4) = fibonacci(3) + fibonacci(2)
如果能够记录已解决的子问题的答案，而在需要 时再找出，就可以避免大量重复计算。
表格式方法
10
矩阵连乘 (matrix-chain multiplication)
给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，其中，Ai和Ai+1是可 乘的，现要计算出这n个矩阵的连乘积A1A2,…,An。
4
基本思想
动态规划策略通常用于求解具有某种最优性质的 问题。
在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对 应于一个值，我们希望找到具有最优值（最大值或最 小值）的那个解。
动态Dynamic
在一定条件下，当前阶段和下一阶段的状态的转换。
规划Programming
建立状态转移方程（或称各阶段间的递推关系式）、 将各个阶段的状态以表格式方法存储。
子问题的最优解逐步构造出原问题的最优解。
重叠子问题(overlapping subproblem)
有些子问题被反复计算多次（前一阶段的状态 带到当前阶段，当前阶段的状态带到下一阶 段）。
8
最优子结构/最优化原理
最优策略的子策略也是最优策略
原问题的最优解不一定组成原问题的最优解
当硬币系统为4分、3分、1分时，要找给顾客6分钱， 怎么做？
一般思维：6 = 1个4分 + 2个1分 2个3分才是最优解！
6
Example: Counting Coins. Find the minimum number of coins (1¢, 3¢, and 4¢) to make any amount. For 6¢:
fibonacci(4) = fibonacci(3) + fibonacci(2)
如果能够记录已解决的子问题的答案，而在需要 时再找出，就可以避免大量重复计算。
表格式方法
10
矩阵连乘 (matrix-chain multiplication)
给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，其中，Ai和Ai+1是可 乘的，现要计算出这n个矩阵的连乘积A1A2,…,An。
4
基本思想
动态规划策略通常用于求解具有某种最优性质的 问题。
在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对 应于一个值，我们希望找到具有最优值（最大值或最 小值）的那个解。
动态Dynamic
在一定条件下，当前阶段和下一阶段的状态的转换。
规划Programming
建立状态转移方程（或称各阶段间的递推关系式）、 将各个阶段的状态以表格式方法存储。
子问题的最优解逐步构造出原问题的最优解。
重叠子问题(overlapping subproblem)
有些子问题被反复计算多次（前一阶段的状态 带到当前阶段，当前阶段的状态带到下一阶 段）。
8
最优子结构/最优化原理
最优策略的子策略也是最优策略
原问题的最优解不一定组成原问题的最优解
《动态规划》课件
《动态规划》ppt课 件
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
《动态规划课件》课件
应用场景：求解最短路径、背 包问题等
注意事项：避免重复计算子问 题和记忆化搜索
定义：将问题划分为 若干个较小的子问题， 并逐个解决子问题， 最终得到原问题的解
特点：将原问题分解为 更小的子问题，通过求 解子问题的最优解得到 原问题的最优解
应用场景：适用于 具有重叠子问题和 最优子结构特性的 问题
示例：背包问题、 最大子段和问题等
分段算法的代码 实现
分段算法的时间 复杂度分析
避免重复计算：使用备忘录或动态规划表来记录已计算过的子问题 减少子问题的数量：通过合并或减少不必要的子问题来降低计算复杂度 选择合适的递归方式：根据问题的特点选择最优的递归方式 优化递归栈：通过减少递归深度或使用循环代替递归来提高性能
优化算法：动态规划可以优化算法，提高计算效率 避免重复计算：通过记忆化搜索，避免重复计算，提高计算速度
添加标题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
动态规划与分治法比较：分治法将 问题分解为子问题，而动态规划将 子问题联系起来
动态规划与回溯法比较：回溯法会 穷举所有可能解，而动态规划可以 避免不必要的搜索
机器学习与深度 学习中的动态规 划
自然语言处理中 的动态规划
计算机视觉中的 动态规划
推荐系统中的动 态规划
最大子段和问题的定义 最大子段和问题的应用场景 最大子段和问题的解决方法 最大子段和问题的实际应用案例
定义：矩阵链乘法问题是一种优化问题，通过动态规划算法来求解
应用场景：在科学计算、机器学习、图像处理等领域都有广泛的应用
算法原理：通过动态规划算法，将矩阵链乘法问题转化为子问题，从而避免重复计算，提高 计算效率
应用场景：背包问题在计算机科学、运筹学、经济学等领域都有广泛的应用，如资源分配、路径规划、时间表安 排等。
运筹学教材课件(第四章动态规划)
最优解的存在性
对于多阶段决策问题，如果每个 阶段的决策空间是有限的，则存 在最优解。
最优解的唯一性
对于某些多阶段决策问题，可能 存在多个最优解。在这种情况下， 我们需要进一步分析问题的性质 和约束条件，以确定最优解的个 数和性质。
最优解的稳定性
在某些情况下，最优解可能受到 参数变化的影响。我们需要分析 最优解的稳定性，以确保最优解 在参数变化时仍然保持最优。
VS
详细描述
排序问题可以分为多种类型，如冒泡排序 、快速排序、归并排序等。动态规划可以 通过将问题分解为子问题，逐一求解最优 解，最终得到全局最优解。在排序问题中 ，动态规划可以应用于求解最小化总成本 、最大化总效益等问题。
04
动态规划的求解方法
逆推法
逆推法
从问题的目标状态出发，逆向推算出达到目标状态的 最优决策，直到达到初始状态为止。
案例二：投资组合优化问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
投资组合优化问题是动态规划在金融领域的重要应用，通 过合理配置资产，降低投资风险并提高投资收益。
投资组合优化问题需要考虑市场走势、资产特性、风险偏 好等多种因素，通过动态规划的方法，可以确定最优的投 资组合，使得投资者在风险可控的前提下，实现收益最大 化。
详细描述
在背包问题中，给定一组物品，每个物品都有一定的重量和价值，要求在不超过背包容量的限制下， 选择总价值最大的物品组合。通过动态规划的方法，可以将背包问题分解为一系列子问题，逐一求解 最优解。
排序问题
总结词
排序问题是动态规划应用的另一个重要 领域，主要涉及到将一组元素按照一定 的顺序排列，以达到最优的目标。
本最小化和效率最大化。
感谢您的观看
动态规划(完整)ppt课件
3
• Ⅲ --Ⅳ :
B1—C1—T
4
• Ⅱ--Ⅲ--Ⅳ ：A2—B1—C1—T
7
• Ⅰ--Ⅱ--Ⅲ --Ⅳ：
•
Q—A2—B1—C1—T
11
•
Q--A3—B1—C1—T
11
•
Q--A3—B2—C2—T
11
最新版整理ppt
3
最短路径
11
4
7
A1
4
2
6
11
47
3 2
Q
A2
4
B1
1
4 76
3
C1
3
B2 3
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16
(4)策略和允许策略集合
策略(Policy)也叫决策序列．策略有全过程 策略和 k 部子策略之分，全过程策略是指具 有n 个阶段的全部过程，由依次进行的 n 个 阶段决策构成的决策序列，简称策略，表示
为 p1,n{x1,x2, ,xn}。从 k 阶段到第 n 阶段，
依次进行的阶段决策构成的决策序列称为 k
新分支的创立。
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6
• 动态规划将复杂的多阶段决策问题分解为 一系列简单的、离散的单阶段决策问题, 采用顺序求解方法, 通过解一系列小问题 达到求解整个问题目的;
• 动态规划的各个决策阶段不但要考虑本阶 段的决策目标, 还要兼顾整个决策过程的 整体目标, 从而实现整体最优决策.
最新版整理ppt
第七章 动态规划
主要内容:
§7.1多阶段决策问题 §7.2 动态规划的基本概念和基本原理 §7.3 动态规划应用举例
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1
例 求解最短路问题
2
Q
4
《动态规划教学》课件
动态规划的理论研究
要点一
动态规划算法的收敛性研究
深入探讨动态规划算法的收敛速度和收敛条件，为算法优 化提供理论支持。
要点二
动态规划的近似算法研究
研究近似动态规划算法，在保证一定精度下降低计算复杂 度，提高求解效率。
THANK YOU
缺点
01
空间复杂度高
动态规划通常需要存储所有子问题的解决方案，因此其空 间复杂度通常较高。对于大规模问题，可能需要大量的存 储空间，这可能导致算法在实际应用中受到限制。
02 03
可能陷入局部最优解
虽然动态规划有助于找到全局最优解，但在某些情况下， 它可能陷入局部最优解。这是因为动态规划通常从问题的 初始状态开始，逐步解决子问题，如果初始状态不是最优 的，则可能在整个过程中都围绕着一个非最优的解决方案 。
期权定价
动态规划可以用于期权定价模型，以更准确地预测期 权价格。
计算机科学
算法优化
动态规划可以用于优化算法，以提高计算效率和 准确性。
数据压缩
动态规划可以用于数据压缩算法，以更有效地压 缩和解压缩数据。
游戏开发
动态规划可以用于游戏开发和AI算法，以提高游 戏的可玩性和智能性。
生物信息学
基因序列比对
动态规划可以用于基因序列比对 ，以ห้องสมุดไป่ตู้定不同基因序列之间的相 似性和差异性。
蛋白质结构预测
动态规划可以用于预测蛋白质的 三维结构，以更好地理解蛋白质 的功能和作用机制。
进化树构建
动态规划可以用于构建进化树， 以更好地理解物种的进化关系和 演化历程。
05
动态规划的优缺点
优点
高效性
动态规划能够有效地解决最优化问题，特别是那些具有重叠子问题和最优子结构的问题。通过将问题分解为子问题并 存储它们的解决方案，动态规划避免了重复计算，从而大大提高了算法的效率。
动态规划专题讲义课件
VS
状态转移方程是动态规划中的重要概念，它描述了状态之间的转移关系。在求解问题时，通过状态转移方程可以将一个状态转移到另一个状态，从而逐步求解出问题的最优解。
状态转移方程的建立需要通过对问题进行深入分析，找出状态之间的依赖关系，并建立数学模型。在应用状态转移方程时，需要注意状态的初始状态和终止状态，以及状态转移过程中的约束条件。
02
动态规划的基本概念
最优化原理是动态规划的核心思想，它认为一个问题的最优解可以通过子问题的最优解来构建。在解决复杂问题时，将问题分解为若干个子问题，分别求解子问题的最优解，再利用子问题的最优解来求解原问题的最优解。
最优化原理的应用范围很广，包括计算机科学、运筹学、经济学等领域。通过将问题分解为子问题，可以降低问题的复杂度，提高求解效率。
自顶向下策略
自底向上策略
分支定界法：通过将问题分解为多个分支来解决问题，同时使用界限来排除不可能的解。与动态规划结合，可以更有效地处理具有大量状态和决策的问题。
THANK YOU
感谢各位观看
排班问题
如求解最优的排班方案，使得员工的工作计划合理且满足各种约束条件。
03
递推关系
建立子问题的解之间的递推关系，通过这种关系逐步求解更大规模的问题，直到达到原问题的解。
01
将原问题分解为子问题
将原问题分解为若干个子问题，这些子问题是原问题的较小规模或部分问题的解。
02
存储子问题的解
将已解决的子问题的解存储起来，以便在求解更大规模的问题时重复使用，避免重复计算。
03
动态规划的算法实现
状态空间法是动态规划的基本方法，通过构建状态转移方程来求解最优化问题。
状态转移方程描述了从状态转移至其他状态的过程，通过迭代更新状态变量的值，最终得到最优解。
动态规划120071024课件
11 08.02.2021
用暴力的方法，可以吗？
12 08.02.2021
试想一下：
这道题如果用枚举法（暴力思想），在数 塔层数稍大的情况下（如31），则需要列 举出的路径条数将是一个非常庞大的数目 （2^30= 1024^3 > 10^9=10亿）。
13 08.02.2021
拒绝暴力，倡导和谐～
m条直线的交点方案数 =（m-r）条平行线与r条直线交叉的交点 数
+ r条直线本身的交点方案 =（m-r）*r+r条之间本身的交点方案数 （1<=r<=m）
10 08.02.2021
一、数塔问题
有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每 一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底 层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。
0，2，3
如果已知<N的情况，我们来分析加入第N条直线的情况(这里N=4)：
1、第四条与其余直线全部平行 => 无交点；
2、第四条与其中两条平行，交点数为(n-1)*1+0=3;
3、第四条与其中一条平行，这两条平行直线和另外两点直线的交点数
为(n-2)*2=4,而另外两条直线既可能平行也可能相交，因此可能交点
思考（期末考试题）：
Super Jumping! Jumping! Jumping!
22 08.02.2021
解题思路？
23 08.02.2021
四、HDOJ_1159 Common Subsequence
题目链接
Sample Input abcfbc abfcab programming contest abcd mnp
27 08.02.2021
理论总结
28 08.02.2021
用暴力的方法，可以吗？
12 08.02.2021
试想一下：
这道题如果用枚举法（暴力思想），在数 塔层数稍大的情况下（如31），则需要列 举出的路径条数将是一个非常庞大的数目 （2^30= 1024^3 > 10^9=10亿）。
13 08.02.2021
拒绝暴力，倡导和谐～
m条直线的交点方案数 =（m-r）条平行线与r条直线交叉的交点 数
+ r条直线本身的交点方案 =（m-r）*r+r条之间本身的交点方案数 （1<=r<=m）
10 08.02.2021
一、数塔问题
有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每 一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底 层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。
0，2，3
如果已知<N的情况，我们来分析加入第N条直线的情况(这里N=4)：
1、第四条与其余直线全部平行 => 无交点；
2、第四条与其中两条平行，交点数为(n-1)*1+0=3;
3、第四条与其中一条平行，这两条平行直线和另外两点直线的交点数
为(n-2)*2=4,而另外两条直线既可能平行也可能相交，因此可能交点
思考（期末考试题）：
Super Jumping! Jumping! Jumping!
22 08.02.2021
解题思路？
23 08.02.2021
四、HDOJ_1159 Common Subsequence
题目链接
Sample Input abcfbc abfcab programming contest abcd mnp
27 08.02.2021
理论总结
28 08.02.2021
第6章_动态规划ppt课件
第三部分 动态规划
第一章 动态规划的基本方法 §1 动态规划的研究对象
特征：包含有随时同变化的因素和变量，整个 过程可以分为若干个相互联系的阶段，而且每个 阶段都要做出决策。
PPT学习交流
1
应用：
企业管理：动态规划可以用来解决最优路径问题、资源 分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序 问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题等等。
xk(sk)Dk(sk)
PPT学习交流
10
PPT学习交流
11
在实际过程中，可供选择的策略有一定的范围，此 范围称为允许策略集合，用P表示，从允许策略集合中 找出达到最优效果的策略称为最优策略。
五、状态转移方程
在多阶段决策过程中，第k阶段到第（k+1）阶段的 演变规律，称为状态转移方程。当给定了第K阶段的状 态变量sk和决策变量xk时，根据状态转移方程，第 （k+1）阶段的状态Sk+1的值也随之而定。也就是说， sk+1将依某种函数关系与（sk,xk（sk））相对应，这种对 应关系常记为：
一个阶段包含若干个状态，描述状态的变量称为状 态变量。常用sk表示第k阶段的某一状态。所有状态 变量组成的集合，称为状态变量集合。常用Sk表示第 k阶段的状态变量集合。 三、决策和决策变量
决策就是某阶段状态给定以后，从该状态演变 到下一阶段某状态的选择。描述决策的变量，称为 决策变量。常用xk（sk）表示第k阶段当状态处于sk时 的决策变量，在实际问题中，决策变量的取值往往 限制在某一范围内，此范围称为允许决策集合，通 常用Dk（sK）表示第k阶段的允许决策集合，显然有：
二、动态规划的基本方程 动态规划函数基本方程的一般形式为：
fk(sk)opvk( tsk,xk(sk) )fk 1(sk 1)
第一章 动态规划的基本方法 §1 动态规划的研究对象
特征：包含有随时同变化的因素和变量，整个 过程可以分为若干个相互联系的阶段，而且每个 阶段都要做出决策。
PPT学习交流
1
应用：
企业管理：动态规划可以用来解决最优路径问题、资源 分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序 问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题等等。
xk(sk)Dk(sk)
PPT学习交流
10
PPT学习交流
11
在实际过程中，可供选择的策略有一定的范围，此 范围称为允许策略集合，用P表示，从允许策略集合中 找出达到最优效果的策略称为最优策略。
五、状态转移方程
在多阶段决策过程中，第k阶段到第（k+1）阶段的 演变规律，称为状态转移方程。当给定了第K阶段的状 态变量sk和决策变量xk时，根据状态转移方程，第 （k+1）阶段的状态Sk+1的值也随之而定。也就是说， sk+1将依某种函数关系与（sk,xk（sk））相对应，这种对 应关系常记为：
一个阶段包含若干个状态，描述状态的变量称为状 态变量。常用sk表示第k阶段的某一状态。所有状态 变量组成的集合，称为状态变量集合。常用Sk表示第 k阶段的状态变量集合。 三、决策和决策变量
决策就是某阶段状态给定以后，从该状态演变 到下一阶段某状态的选择。描述决策的变量，称为 决策变量。常用xk（sk）表示第k阶段当状态处于sk时 的决策变量，在实际问题中，决策变量的取值往往 限制在某一范围内，此范围称为允许决策集合，通 常用Dk（sK）表示第k阶段的允许决策集合，显然有：
二、动态规划的基本方程 动态规划函数基本方程的一般形式为：
fk(sk)opvk( tsk,xk(sk) )fk 1(sk 1)
《动态规划》课件
《动态规划》PPT课件
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
《动态规划》课件
特点
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
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什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
第5章动态规划.ppt
企业在使用设备时都要考虑设备的更
新问题，因为设备越陈旧所需的维修费用
越多，但购买新设备则要一次性支出较大
的费用；现某企业要决定一台设备未来8
年的更新计划，已预测了第j年购买设备
的价格为Kj，设Gj为设备经过j年后的残
值，Cj为设备连续使用j-1年后在第j年
的维修费(j＝1，2，…，8)，问应在哪些
5.3动态规划模型的建立与求解 5.3.1动态规划模型的建立
资源分配问题 例5 某公司有资金10万元，若投资于项目j(j＝ 1，2，3)的投资额为xi时，其收益分别为g1(x1) ＝4x1，g2(x2)＝9x2，g3(x3)＝2x32，问应如何 分配投资数额才能使总收益最大?
fk (sk )
min{d uk
k
(
sk
,
uk
)
f k 1 ( sk 1 )}
f6(s6) 0
k 5,4,3,2,1
图7-2
5.1.2.动态规划的基本原理
动态规划方法的基本思想：
(1) 将多阶段决策过程划分阶段，恰当地选取状态变 量、决策变量及定义最优指标函数，从而把问题化 成一族同类型的子问题，然后逐个求解。
Vk,n = Vk,n（sk,sk+1,…,sn）
指标函数Vk,n的最优值，称为相应的最优指标
函数，记为fk(sk)。
5.2动态规划的基本概念和基本原理
5.1.2.动态规划的基本原理
• Bellman最优化原理
•作为整个过程的最优策略具有这 样的性质：即无论过去的状态和 决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言，余下的诸决策必须 构成最优策略。
例1 生产与存贮问题
动态规划(运筹学讲义).
)
min
d d
( (
E2 E2
, ,
F1) F2 )
f6 (F1) f6 (F2 )
min
5 2
4 3
5
u*5 (E2 )= F2
f5
(E3
)
min
d d
( (
E3 E3
, ,
F1) F2 )
f6 (F1) f6 (F2 )
min
fk
(sk
)
opt
uk Dk ( sk
)
vk (sk ,uk ) fk1(sk1)
fn1(sn1) 0
k=n, n 1, ,1
(8.4a) (8.4b)
Opt 可根据题意取 min 或 max
11
动态规划的基本思想如下：
（1）动态规划方法的关键在于正确写出基本递推关系式和恰当的边界条 件，因此必须将多阶段决策过程划分为n个相互联系的阶段，恰当地选取 状态变量、决策变量及定义最优指标函数，从而把问题化为一族同类型 的子问题，然后逐个求解 （2）求解时从边界条件开始，逆（或顺）过程逐段递推寻优。在每一个 子问题求解中，均利用了它前面子问题的最优结果，最后一个子问题的 最优解，就是这个问题的最优解。 （3）动态规划方法既把当前阶段与未来阶段分开，又把当前效益和未来 效率结合，因此每段的最优决策选取是从全局来考虑。 （4）在求这个问题的最优解时，由于初始状态是已知，而每阶段的决策 都是该段状态的函数，故最优策略所经过的各各阶段状态可逐次变换得 到，从而确定最优路线。
量最高。
决策
决策
决策
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结论：自顶向下的分析，自底向上的计算。
15 2020/5/15
Understand?
16 2020/5/15
二、思考题：最长有序子序列
I 012 3 4 5 6 7 8 Num[I] 1 4 7 2 5 8 3 6 9
请回答： 穷举（暴力）方法的时间复杂度是多少？
17 2020/5/15
解决方案：
考虑一下：
从顶点出发时到底向左走还是向右走应取决 于是从左走能取到最大值还是从右走能取到最大 值，只要左右两道路径上的最大值求出来了才能 作出决策。
同样，下一层的走向又要取决于再下一层上 的最大值是否已经求出才能决策。这样一层一层 推下去，直到倒数第二层时就非常明了。
如数字2，只要选择它下面较大值的结点19前 进就可以了。所以实际求解时，可从底层开始， 层层递进，最后得到最大值。
11 2020/5/15
用暴力的方法，可以吗？
12 2020/5/15
试想一下：
这道题如果用枚举法（暴力思想），在数 塔层数稍大的情况下（如31），则需要列 举出的路径条数将是一个非常庞大的数目 （2^30= 1024^3 > 10^9=10亿）。
13 2020/5/15
拒绝暴力，倡导和谐～
14 2020/5/15
{ f(i,j)=
f(i-1,j-1)+1 (a[i]==b[j]) max(f(i-1,j),f(i,j-1)) (a[i]!=b[j])
由于f(i,j)只和f(i-1,j-1), f(i-1,j)和f(i,j-1)有 关, 而在计算f(i,j)时, 只要选择一个合适 的顺序, 就可以保证这三项都已经计算出 来了, 这样就可以计算出f(i,j). 这样一直 推到f(len(a),len(b))就得到所要求的解了.
I 012 3 4 5 6 7 8 Num[I] 1 4 7 2 5 8 3 6 9
F[I] 1 2 3 2 3 4 3 4 5
18 2020/5/15
三、HDOJ_1160 FatMouse's Speed
题目链接
Sample Input 6008 1300 6000 2100 500 2000 1000 4000 1100 3000 6000 2000 8000 1400 6000 1200 2000 1900
9 2020/5/15
从上述n=4的分析过程中，我们发现：
m条直线的交点方案数 =（m-r）条平行线与r条直线交叉的交点 数
+ r条直线本身的交点方案 =（m-r）*r+r条之间本身的交点方案数 （1<=r<=m）
10 2020/5/15
一、数塔问题
有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每 一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底 层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。
f[i] = max(f[i], f[j]+1) (1<=j<i，且Mice[i].W> Mice[j].W，Mice[i].S < Mice[j].S)
其中，初始条件为f[i]=1 (i=1, 2, ..., n)。
20 2020/5/15
Qestion:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ两个问题有本 质区别吗？
21 2020/5/15
思考（期末考试题）：
Super Jumping! Jumping! Jumping!
22 2020/5/15
解题思路？
23 2020/5/15
四、HDOJ_1159 Common Subsequence
题目链接
Sample Input abcfbc abfcab programming contest abcd mnp
27 2020/5/15
理论总结
28 2020/5/15
一、动态规划的基本思想
如果各个子问题不是独立的，不同的子 问题的个数只是多项式量级，如果我们 能够保存已经解决的子问题的答案，而 在需要的时候再找出已求得的答案，这 样就可以避免大量的重复计算。由此而 来的基本思路是，用一个表记录所有已 解决的子问题的答案，不管该问题以后 是否被用到，只要它被计算过，就将其 结果填入表中。
为(n-2)*2=4,而另外两条直线既可能平行也可能相交，因此可能交点
数为：
（n-2）*2+0=4 或者
(n-2)*2+1=5
4、 第四条直线不与任何一条直线平行，交点数为：
(n-3)*3+0=3 或者 (n-3)*3+2=5 或者 (n-3)*3+3=6
即n=4时，有0个，3个，4个，5个，6个不同交点数。
输入：n（n<=20）
输出：每个测试实例对应一行输出，从小到大列 出所有相交方案，其中每个数为可能的交点数。
样例输入
4
样例输出
03456
6 2020/5/15
初步分析:
我们知道:
n条直线互不平行且无三线共点的最多 交点数max=1+2+……(n-1)=n(n1)/2,
但本题不这么简单，因为问题问的是：这 些直线有多少种不同的交点数？
ACM 程序设 计
计算机学院 刘春英
1 2020/5/15
今天，
你 了吗？
2 2020/5/15
每周一星（3）：
05059127陈谦益
3 2020/5/15
第四讲
动态规划(1)
（Dynamic programming）
4 2020/5/15
（1466）计算直线的交点数
问题描述：
平面上有n条直线，且无三线共点，问这些直线 能有多少种不同交点数。
7 2020/5/15
思考2分钟:如何解决?
8 2020/5/15
容易列举出N=1,2,3的情况：
0
0，1
0，2，3
如果已知<N的情况，我们来分析加入第N条直线的情况(这里N=4)：
1、第四条与其余直线全部平行 => 无交点；
2、第四条与其中两条平行，交点数为(n-1)*1+0=3;
3、第四条与其中一条平行，这两条平行直线和另外两点直线的交点数
Sample Output
4 4 5 9 7
19 2020/5/15
题目分析：
设Mice[i].W表示第i只老鼠的重量，Mice[i].S 表示第i只老鼠的速度。我们先对Mice进行排 序，以W为第一关键字，从小到大，S为第二 关键字，从大到小。
设f[i]为Mice[i]至Mice[n]最长的序列长度。考 虑某一个f[i]，则有：
Sample Output
4 2 0
24 2020/5/15
请先计算暴力算法的时间复杂度： （当然是指最坏情况！）
25 2020/5/15
辅助空间变化示意图
abc fbc a111111 b122222 f 122333 c123334 a123334 b123344
26 2020/5/15
子结构特征：
15 2020/5/15
Understand?
16 2020/5/15
二、思考题：最长有序子序列
I 012 3 4 5 6 7 8 Num[I] 1 4 7 2 5 8 3 6 9
请回答： 穷举（暴力）方法的时间复杂度是多少？
17 2020/5/15
解决方案：
考虑一下：
从顶点出发时到底向左走还是向右走应取决 于是从左走能取到最大值还是从右走能取到最大 值，只要左右两道路径上的最大值求出来了才能 作出决策。
同样，下一层的走向又要取决于再下一层上 的最大值是否已经求出才能决策。这样一层一层 推下去，直到倒数第二层时就非常明了。
如数字2，只要选择它下面较大值的结点19前 进就可以了。所以实际求解时，可从底层开始， 层层递进，最后得到最大值。
11 2020/5/15
用暴力的方法，可以吗？
12 2020/5/15
试想一下：
这道题如果用枚举法（暴力思想），在数 塔层数稍大的情况下（如31），则需要列 举出的路径条数将是一个非常庞大的数目 （2^30= 1024^3 > 10^9=10亿）。
13 2020/5/15
拒绝暴力，倡导和谐～
14 2020/5/15
{ f(i,j)=
f(i-1,j-1)+1 (a[i]==b[j]) max(f(i-1,j),f(i,j-1)) (a[i]!=b[j])
由于f(i,j)只和f(i-1,j-1), f(i-1,j)和f(i,j-1)有 关, 而在计算f(i,j)时, 只要选择一个合适 的顺序, 就可以保证这三项都已经计算出 来了, 这样就可以计算出f(i,j). 这样一直 推到f(len(a),len(b))就得到所要求的解了.
I 012 3 4 5 6 7 8 Num[I] 1 4 7 2 5 8 3 6 9
F[I] 1 2 3 2 3 4 3 4 5
18 2020/5/15
三、HDOJ_1160 FatMouse's Speed
题目链接
Sample Input 6008 1300 6000 2100 500 2000 1000 4000 1100 3000 6000 2000 8000 1400 6000 1200 2000 1900
9 2020/5/15
从上述n=4的分析过程中，我们发现：
m条直线的交点方案数 =（m-r）条平行线与r条直线交叉的交点 数
+ r条直线本身的交点方案 =（m-r）*r+r条之间本身的交点方案数 （1<=r<=m）
10 2020/5/15
一、数塔问题
有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每 一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底 层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。
f[i] = max(f[i], f[j]+1) (1<=j<i，且Mice[i].W> Mice[j].W，Mice[i].S < Mice[j].S)
其中，初始条件为f[i]=1 (i=1, 2, ..., n)。
20 2020/5/15
Qestion:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ两个问题有本 质区别吗？
21 2020/5/15
思考（期末考试题）：
Super Jumping! Jumping! Jumping!
22 2020/5/15
解题思路？
23 2020/5/15
四、HDOJ_1159 Common Subsequence
题目链接
Sample Input abcfbc abfcab programming contest abcd mnp
27 2020/5/15
理论总结
28 2020/5/15
一、动态规划的基本思想
如果各个子问题不是独立的，不同的子 问题的个数只是多项式量级，如果我们 能够保存已经解决的子问题的答案，而 在需要的时候再找出已求得的答案，这 样就可以避免大量的重复计算。由此而 来的基本思路是，用一个表记录所有已 解决的子问题的答案，不管该问题以后 是否被用到，只要它被计算过，就将其 结果填入表中。
为(n-2)*2=4,而另外两条直线既可能平行也可能相交，因此可能交点
数为：
（n-2）*2+0=4 或者
(n-2)*2+1=5
4、 第四条直线不与任何一条直线平行，交点数为：
(n-3)*3+0=3 或者 (n-3)*3+2=5 或者 (n-3)*3+3=6
即n=4时，有0个，3个，4个，5个，6个不同交点数。
输入：n（n<=20）
输出：每个测试实例对应一行输出，从小到大列 出所有相交方案，其中每个数为可能的交点数。
样例输入
4
样例输出
03456
6 2020/5/15
初步分析:
我们知道:
n条直线互不平行且无三线共点的最多 交点数max=1+2+……(n-1)=n(n1)/2,
但本题不这么简单，因为问题问的是：这 些直线有多少种不同的交点数？
ACM 程序设 计
计算机学院 刘春英
1 2020/5/15
今天，
你 了吗？
2 2020/5/15
每周一星（3）：
05059127陈谦益
3 2020/5/15
第四讲
动态规划(1)
（Dynamic programming）
4 2020/5/15
（1466）计算直线的交点数
问题描述：
平面上有n条直线，且无三线共点，问这些直线 能有多少种不同交点数。
7 2020/5/15
思考2分钟:如何解决?
8 2020/5/15
容易列举出N=1,2,3的情况：
0
0，1
0，2，3
如果已知<N的情况，我们来分析加入第N条直线的情况(这里N=4)：
1、第四条与其余直线全部平行 => 无交点；
2、第四条与其中两条平行，交点数为(n-1)*1+0=3;
3、第四条与其中一条平行，这两条平行直线和另外两点直线的交点数
Sample Output
4 4 5 9 7
19 2020/5/15
题目分析：
设Mice[i].W表示第i只老鼠的重量，Mice[i].S 表示第i只老鼠的速度。我们先对Mice进行排 序，以W为第一关键字，从小到大，S为第二 关键字，从大到小。
设f[i]为Mice[i]至Mice[n]最长的序列长度。考 虑某一个f[i]，则有：
Sample Output
4 2 0
24 2020/5/15
请先计算暴力算法的时间复杂度： （当然是指最坏情况！）
25 2020/5/15
辅助空间变化示意图
abc fbc a111111 b122222 f 122333 c123334 a123334 b123344
26 2020/5/15
子结构特征：