排列组合专题

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凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(一)一．选择题（共20小题）1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A 140种B 84种C 70种D 35种2．设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，若对任意的a i（i=2，3，4，5，6）总有a k（k＜i，k=1，2，3，4，5）满足|a i﹣a k|=1，则这样的排列共有（）A 36B 32C 28D 203．各位数字之和为8的正整数（如8，17，224）按从小到大的顺序构成数列{a n}，若a n=2015，则n=（）A 56B 72C 83D 1244．某人根据自己爱好，希望从{W，X，Y，Z}中选2个不同字母，从{0，2，6，8}中选3个不同数字拟编车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（）A 198个B 180个C 216个D 234个5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（）A ．48种B．72种C．96种D．108种6．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A 135B 172C 189D 2167．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i （i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A ．22种B．24种C．25种D．36种8．若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2}的不同分拆种数是（）A ．8 B．9 C．16 D．189．2011年春节，六安一中校办室要安排从正月初一至正月初六由指定的六位领导参加的值班表．要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有多少种不同的安排方法（）A ．336 B．408 C．240 D．26410．已知集合M=N={0，1，2，3}，定义函数f：M→N，且点A（0，f（0）），B（i，f（i）），C（i+1，f（i+1）），（其中i=1，2）．若△ABC的内切圆圆心为I，且R），则满足条件的函数有（）A ．10个B．12个C．18个D．24个11．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A ．12种B．18种C．24种D．36种12．若x、y∈{x|x=a0+a1•10+a2•100}，其中a i∈{1，2，3，4，5，6，7}（i=0，1，2），且x+y=636，则实数对（x，y）表示坐标平面上不同点的个数为（）A ．50个B．70个C．90个D．180个13．将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A ．6种B．9种C．11种D．23种14．将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A ．6种B．12种C．24种D．48种15．高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽出l2人，每个备课组至少1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宣．则不同的名分配方案共有（）A ．129种B．148种C．165种D．585种16．方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A ．28条B．32条C．36条D．48条17．设a n是（n≥2且n∈N）的展开式中x的一次项的系数，则的值为（）A ．18 B．17 C．﹣18 D．1918．某中学信息中心A与该校各部室、各年级B、C、D、E、F、G、H、I之间拟粒信息联网工程，经测算各段费用如图所示（单位：万元）．请据图计算，要使得中心与各部室、各年级彼此都能连通（可以直接连通或中转，从而不建部分网线就节省费用），则最少的建网费用是（）A ．10 B．13 C．14 D．1219．一个五位的自然数称为“凸”数，当且仅当它满足a＜b＜c，c＞d＞e（如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（）A ．8568 B．2142 C．2139 D．113420．从集合{1，2，3，…，10}中取出4个不同的元素，且其中一个元素的三倍等于其他三个元素之和（如1，6，7，10，就是一种取法），则这样的取法种数有（）A ．42种B．22种C．23种D．40种二．填空题21．如果一个正四位数的千位数a、百位数b、十位数c和个位数d满足关系（a﹣b）（c﹣d）＜0，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”．那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为．（直接用数字作答）22．将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号l，2，…，8．则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有种．23．形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为．24．对于各数互不相等的整数数组（i1，i2，i3…i n）（n是不小于3的正整数），对于任意的p，q∈{1，2，3，…，n}，当p＜q时有i p＞i q，则称i p，i q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于；若数组（i1，i2，i3，…，i n）中的逆序数为n，则数组（i n，i n﹣1，…，i1）中的逆序数为．25．用5种颜色将一个正五棱锥的各面涂色，五个侧面分别编有1、2、3、4、5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色的方法数为．26．对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有种（用数字作答）．27．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n 的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数称为a i的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为．（结果用数字表示）28．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”．那么，所有的三位数中，奇和数有个．29．二项式（x3+）n的展开式中，只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为；已知x＞0，y＞0，x+y=1，求lgx+lgy的最大值是．30．以集合U={a，b，c，d}的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）∅、U都要选出；（2）对选出的任意两个子集A和B，必有A⊆B或B⊆A，那么共有种不同的选法．凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(一)参考答案一．选择题（共20小题）1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．C11．A 12．C 13．B 14．B 15．C 16．B 17．A 18．D 19．B 20．B二．填空题（共10小题）21．3645 22．31 23．721 24．425．1200 26．30 27．14428．100 29．210-2lg2 30．36凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(二)一．选择题1．已知S={1，2，3，…2010}，A⊆S且A中有三个元素，若A中的元素可构成等差数列，则这样的集合A共有（）A ．C20103个B．A32010个C．2A21005个D．2C21005个2．天干地支，简称“干支”，在我国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、酉、戌、亥叫做“十二地支”．天干和地支依次按固定的顺序互相配合，两者组成了干支纪年法．2010年是庚寅年，那么上一个庚寅年是（）A ．1998年B．2000年C．1950年D．1960年3．设a1，a2，…，a n是1，2，…，n的一个排列，把排在a i的左边且比a i小的数的个数称为a i的顺序数（i=1，2，…，n）．如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在由1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为（）A ．48 B．96 C．144 D．1924．已知全集U，集合A、B为U的两个非空子集，若“x∈A”y与“x∈B”是一对互斥事件，则称A与B 为一组U（A，B），规定：U（A，B）≠U（B，A）．当集合U={1，2，3，4，5}时，所有的U（A，B）的组数是（）A ．70 B．30 C．180 D．1505．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）A ．5种B．6种C．7种D．8种二．填空题6．将1、2、3、…、9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中的位置时，填写空格的办法有7．对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，…，i n）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q时有i p＞i q，则称i p与i q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序数”是2，则（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序数”是．8．定义：我们把阶乘的定义引申，定义n!!=n（n﹣2）（n﹣4）…，若n为偶数，则乘至2，反之，则乘至1，而0!!=0．我们称之为双阶乘（Double Factorial）n对夫妇任意地排成一列，则每位丈夫都排在他的妻子后面的概率是．（结果用含双阶乘的形式表示）9．对于正整数n和m（m＜n）定义n m!=（n﹣m）（n﹣2m）（n﹣3m）…（n﹣km）其中k是满足n＞km的最大整数，则=．10．原有m个同学准备展开通信活动，每人必须给另外（m﹣1）个同学写1封信，后来又有n 个同学对活动感兴趣，若已知5＞n＞1，且由于增加了n个同学而多写了74封信，则原有同学人数m=．11．已知集合A={1，2，3，4}，函数f（x）的定义域、值域都是A，且对于任意i∈A，f（i）≠i．设a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的任意一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为．12．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）．13．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．14．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．15．从集合{P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）、每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是．（用数字作答）、16．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点（3，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有种（用数字作答）；若经过20次跳动质点落在点（16，0）处（允许重复过此点），则质点不同的运动方法共有种（用数字作答）．17．圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为．18．将3种作物种植在如图块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种．（以数字答）三．解答题19．设二项展开式C n=（+1）2n﹣1（n∈N*）的整数部分为A n，小数部分为B n．（1）计算C1B1，C2B2的值；（2）求C n B n．20.某品牌设计了编号依次为1，2，3，…，n（n≥4，且n∈N*）的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j（0≤i，j≤n，且i，j∈N）种款式用来拍摄广告．（1）若i=j=2，且甲在1到m（m为给定的正整数，且2≤m≤n﹣2）号中选择，乙在（m+1）到n号中选择．记P st（1≤s≤m，m+1≤t≤n）为款式（编号）s和t同时被选中的概率，求所有的P st的和；（2）求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．21．六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子．问（1）共有多少种不同的骰子；（2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差V．在所有的骰子中，求V的最大值和最小值．22．（1）已知k、n∈N*，且k≤n，求证：；（2）设数列a0，a1，a2，…满足a0≠a1，a i﹣1+a i+1=2a i（i=1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n，是关于x的一次式．23．设数列{a n}是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．（1）求a1；（2）用n，x表示数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（3）若，用n，x表示A n．24．已知a n=A n1+A n2+A n3+…+A n n（n∈N*），当n≥2时，求证：（1）；（2）．25．已知S n={A|A=（a1，a2，a3，…a n）}，a i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S5，使得d（U，V）=2，写出m的值；（Ⅱ）令，U，V∈S n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；（Ⅲ）令U=（a1，a2，a3，…a n），若V∈S n，求所有d（U，V）之和．26．将1，2，3，…，n这n个数随机排成一列，得到的一列数a1，a2，…，a n称为1，2，3，…，n的一个排列；定义τ（a1，a2，…，a n）=|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+…|a n﹣1﹣a n|为排列a1，a2，…，a n的波动强度．（Ⅰ）当n=3时，写出排列a1，a2，a3的所有可能情况及所对应的波动强度；（Ⅱ）当n=10时，求τ（a1，a2，…，a10）的最大值，并指出所对应的一个排列；（Ⅲ）当n=10时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列a1，a2，…，a10，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明．27．设n是正整数，如果1，2，3，…，2n的一个排列x1，x2，x3，…，x2n满足：在{1，2，…2n﹣1}中至少有一个i使得|x i﹣x i+1|=n，则称排列x1，x2，x3，…，x2n具有性质P．（Ⅰ）当n=2时，写出4个具有性质P的排列；（Ⅱ）求n=3时不具有性质P的排列的个数；（Ⅲ）求证：对于任意n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列多．28．设a1，a2，…，a n为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，f k是集合{a i|a i＜a k，i＞k}元素的个数，而g k是集合{a i|a i＞a k，i＜k}元素的个数（k=1，2，…，n），规定f n=g1=0，例如：对于排列3，1，2，f1=2，f2=0，f3=0（I）对于排列4，2，5，1，3，求（II）对于项数为2n﹣1 的一个排列，若要求2n﹣1为该排列的中间项，试求的最大值，并写出相应得一个排列（Ⅲ）证明．29．已知f n（x）=（1+x）n，（Ⅰ）若f2011（x）=a0+a1x+…+a2011x2011，求a1+a3+…+a2009+a2011的值；（Ⅱ）若g（x）=f6（x）+2f7（x）+3f8（x），求g（x）中含x6项的系数；（Ⅲ）证明：．30．设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜k＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(二)参考答案一．选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．C二．填空题6．6 7．13 8．9．10．18 11．216 12．216 13．96 14．39015．5832 16．5190 17．2n（n-1）18．42凤凰涅槃训练数学专题训练排列组合(三)。

2024年高考数学专项排列组合专题16 分解法模型和最短路径问题(解析版)

专题16分解法模型和最短路径问题类型1：分解模型例1．对33000分解质因数得=⨯⨯⨯333300023511，则33000的正偶数因数的个数是（）A．48B．72C．64D．96例2．5400的正约数有（）个A．48B．46C．36D．38例3.30030能被多少个不同的偶数整除类型2：最短路径问题例1．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6B．8C．10D．12例2．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）2024年高考数学专项排列组合专题16 分解法模型和最短路径问题（解析版）A．10B．13C．15D．25例3．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以的方向行走至B，不同的行走路线有()A．6条B．7条C．8条D．9条例4．如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）A．14B．15C．16D．17例5．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）A．72B．56C．48D．40例6．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i i，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又(1,2,,6)=⋅⋅⋅回到点A处的所有不同走法共有（）A．21种B．24种C．25种D．27种例7．如下图，从A点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达B点的路径的条数为________.例8．如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对.（用数字作答）例9．如图所示线路图，机器人从A地经B地走到C地，最近的走法共有________种.（用数字作答）例10．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有____种.例11．如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有_____种．例12．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A移动到B最近的走法共有____种．例13．某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从A点到B点的最短路径的走法有___种．例14．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为()A．516B．532C．16D．以上都不对例15．如图所示，某城镇由7条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有45种不同的走法．例16．如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有35种不同的走法．例17．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为516．例18．在⨯n n的方格中进行跳棋游戏．规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格．设()f n表示从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数．如图，给出了=3f n．n时的一条路径．则f（3）=9；=()例19．某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？专题16分解法模型和最短路径问题类型1：分解模型例1．对33000分解质因数得=⨯⨯⨯333300023511，则33000的正偶数因数的个数是（）A ．48B ．72C ．64D ．96【解析】33000的因数由若干个2（共有32102,2,2,2四种情况），若干个3（共有03,3两种情况），若干个5（共有32105,5,5,5四种情况），若干个11（共有1011,11两种情况），由分步计数乘法原理可得33000的因数共有⨯⨯⨯=424264，不含2的共有⨯⨯=24216，∴正偶数因数的个数有-=641648个，即33000的正偶数因数的个数是48，故选A.例2．5400的正约数有（）个A ．48B ．46C ．36D ．38【解析】=⨯⨯3325400235，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，所以正约数个数为+⨯+⨯+=(31)(31)(21)48．故选：A ．例3.30030能被多少个不同的偶数整除【解析】先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5×7×11×13，依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：++++=012345555555+32C C C C C C .类型2：最短路径问题例1．有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？（）A．6B．8C．10D．12【解析】如图，①从入口﹣1﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，②从入口﹣1﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，③从入口﹣1﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，④从入口﹣1﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑤从入口﹣2﹣3﹣4﹣6﹣0﹣出口，⑥从入口﹣2﹣3﹣5﹣6﹣0﹣出口，⑦从入口﹣2﹣3﹣4﹣7﹣8﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，⑧从入口﹣2﹣3﹣4﹣9﹣10﹣6﹣0﹣出口，共有8种，故选：B．例2．如图，某城市中，M、N两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M到N不同的走法共有（）A．10B．13C．15D．25【解析】因为只能向东或向北两个方向向北走的路有5条，向东走的路有3条走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果根据分步计数原理知共有⨯=3515种结果，选C例3．如图，蚂蚁从A沿着长方体的棱以的方向行走至B，不同的行走路线有()A．6条B．7条C．8条D．9条【解析】共有3个顶点与A点相邻，经过每个相邻顶点，按规定方向都有2条路径到达B点，所以，蚂蚁从A沿着长方体的棱以规定的方向行走至B，不同的行走路线有：⨯=326（条），故选A.例4．如图所示为某市各旅游景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A到H可走的不同的旅游路线的条数为（）A．14B．15C．16D．17【解析】要到H点，需从F、E、G走过来，F、E、G各点又可由哪些点走过来，这样一步步倒推，最后归结到A，然后再反推过去得到如下的计算方法：A至B、C、D的路数记在B、C、D的圆圈内，B、C、D分别到F、E、G的路数亦记在圈内，最后F、E、G各路数之和，即得到至H的总路数，如下图所示，易得到17条路线，故选D．例5．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）A．72B．56C．48D．40【解析】由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有63472（种）⨯⨯=例6．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i i，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次次骰子后棋子恰好又(1,2,,6)=⋅⋅⋅回到点A处的所有不同走法共有（）A．21种B．24种C．25种D．27种【解析】由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出=336A种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．根据分类计数原理知共有+=24125种结果，故选：C．例7．如下图，从A点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达B点的路径的条数为________.【解析】如下图所示从点A到C,D,E,F,G的路径都只有1条从点A到点H的路径有2条，分别为→→A F HA C H,→→从点A到点O的路径有3条，分别为从A经过H到点O有2条和→→→A F G O从点A到点M的路径有3条，分别是从点A经过点H到点M有2条和→→→A C D M从点A到点P的路径有6条，分别是从点A经过点O到点P的3条和从点A经过点M到点P的3条从点A到点N的路径有4条，分别是从点A经过点M到点N的3条和从点A经过点E到点N的1条从点A到点Q的路径有10条，分别是从点A经过点P到点Q的6条和从点A经过点N到点Q的4条从点A到点R的路径有6条，就是从点A经过点P到点R的6条所以从点A到点B的路径有16条，分别是从点A经过点R到点B的6条和从点A经过点Q到点B的10条所以到达B点的路径的条数为16条故答案为：16例8．如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对.（用数字作答）【解析】甲从A 到B ，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A 到B 共有48C 种走法，乙从C 到D ，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A 到B 共有48C 种走法，根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径⋅4488C C 对，甲从A 到D ，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以从A 到D 共有410C 种走法,乙从C 到B ，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以从C 到B 共有26C 种走法,所以相交路径共有⋅42106C C 对，因此不同的孤立路一共有⋅-⋅=⨯-⨯=4442881067070210151750C C C C 对.故答案为：1750例9．如图所示线路图，机器人从A 地经B 地走到C 地，最近的走法共有________种.（用数字作答）【解析】A 到B 共2种走法，从B 到C 共25C 种不同走法，由分步乘法原理，知从A 地经B 地走到C 地，最近的走法共有=25220C 种.故答案为：20例10．如图所示，机器人明明从A 地移到B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从A 移到B 最近的走法共有____种.【解析】-A C 有22A 种方法；-C B 有36C 种方法；-D B 有22A 种方法；共有=23226280A C A 例11．如图所示，机器人明明从A 地移到B 地，每次只移动一个单位长度，则明明从A 移到B 最近的走法共有_____种．【解析】分步计算，第一步→A C 最近走法有2种；第二步→C D 最近走法有=3620C 种；第三步→D B 最近走法有2种，故由→A B 最近走法有⨯⨯=220280种．故答案为：80．例12．如图，机器人亮亮沿着单位网格，从A 地移动到B 地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A 移动到B 最近的走法共有____种．【解析】分三步来考查：①从A到C，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位，一步是向上移动一个单位，此时有12C种走法；②从C到D，则亮亮要移动六步，其中三步是向右移动一个单位，三步是向上移动一个单位，此时有36C种走法；③从D到B，由①可知有12C种走法.由分步乘法计数原理可知，共有=13126280C C C种不同的走法.故答案为：80.例13．某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从A点到B点的最短路径的走法有___种．【解析】根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动；从A到B，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，有=2510C种情况，但图中有空格，故是方法数为-=1037中故答案为：7.例14．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为()A．516B．532C．16D．以上都不对【解析】我们把从A到3的路线图单独画出来：分析可得，从A 到3总共有=2510C 种走法，每一种走法的概率都是12，∴珠子从出口3出来是=25515()216C ．故选：A ．例15．如图所示，某城镇由7条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A 处走到B 处，使所走的路程最短，最多可以有45种不同的走法．【解析】由题意知本题有两种途径是最短的路程，①→→A CF B 其中→A C 有5法．→F B 有1法，共有⨯=515法．②→→A DE B ，从A 到D ，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，故有=2510C 种，从E 到B ，最短的路程需要向下走3次，向右走1次，即从4次中任取3次向下，剩下1次向右，故有=344C 种，∴从→→A DE B 共有⨯=10440法，∴从A 到B 的短程线总共+=54045种走法．故答案为：45．例16．如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道，现要从城镇的A 处走到B 处，使所走的路程最短，最多可以有35种不同的走法．【解析】由题意知本题有两种大途径是最短的路程，Q ①→→A CD B 其中→A C 有5法．→D B 有1法，共有⨯=515法．②→→A EF B 其中→A E 有10种方法，→F B 有3法，共有⨯=10330法，∴从A 到B 的短程线总共+=53035种走法．故答案为：35．例17．某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果某人在该游戏中，猜得珠子从3号口出来，那么他取胜的概率为516．【解析】我们把从顶点A 到3的路线图单独画出来：分析可得，从顶点A 到3总共有=2510C 种走法，每一种走法的概率都是12，∴珠子从出口3出来是=25515()216C ．例18．在⨯n n 的方格中进行跳棋游戏．规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格．设()f n 表示从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数．如图，给出了=3n 时的一条路径．则f （3）=9；=()f n ．【解析】由给出的⨯33方格看出，要从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置，需要先从第一行跳到第二行，共有3种跳法，跳到第二行的每一个方格内要完成到达右上角“☆”位置，又可以看作从该方格有几种到达第三行的方法，所以该题只需思考向上走就行了，从第一行到第二行有3种跳法，从第二行到第三行也有3种跳法，故f （3）==239．由此可推得⨯n n 的方格中从左下角“〇”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置的方法种数是-1n 个n 的乘积．即-=1()n f n n ．故答案分别为9；-1n n ．例19．某城市由n 条东西方向的街道和m 条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A 处走到B 处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A 到B 需要走+-(2)n m 段，而这些段中，必须有东西方向的-(1)n 段，其余的为南北方向的-(1)m 段，∴共有--+-+-=1122m n m n m n C C 种走法．。

高二排列组合专题训练(优秀经典练习及答案详解)

高二排列组合专题训练(优秀经典练习及答案详解)概述本文档为高二排列组合专题训练提供了一系列优秀的经典练题目及其答案详解。

通过这些练题的研究和复，学生们可以加深对排列组合问题的理解，并提升解题能力。

练题目及答案详解题目一问题：有5名学生A、B、C、D、E，从中选出3名学生组成一支代表队，要求队伍中至少要包含学生C，有多少种不同的选队方式？答案详解：我们可以将问题拆分为两种情况：1. 学生C在队伍中：在剩下的4名学生中选出2名学生，共有C(4, 2) = 6种选队方式。

2. 学生C不在队伍中：在剩下的4名学生中选出3名学生，共有C(4, 3) = 4种选队方式。

因此，总共有6 + 4 = 10种不同的选队方式。

题目二问题：某班级有10名学生，其中4名男生和6名女生。

选出3名学生组成一支代表队，要求队伍中至少要包含1名男生和1名女生，有多少种不同的选队方式？答案详解：我们可以将问题拆分为三种情况：1. 选出1名男生和2名女生：在4名男生中选出1名男生，共有C(4, 1) = 4种选男生方式。

在6名女生中选出2名女生，共有C(6, 2) = 15种选女生方式。

因此，共有4 * 15 = 60种选队方式。

2. 选出2名男生和1名女生：在4名男生中选出2名男生，共有C(4, 2) = 6种选男生方式。

在6名女生中选出1名女生，共有C(6, 1) = 6种选女生方式。

因此，共有6 * 6 = 36种选队方式。

3. 选出3名男生和0名女生：在4名男生中选出3名男生，共有C(4, 3) = 4种选男生方式。

因此，共有4种选队方式。

综上所述，总共有60 + 36 + 4 = 100种不同的选队方式。

结论本文档提供了高二排列组合专题训练的优秀经典练习题目及其答案详解。

通过完成这些题目，学生们可以加深对排列组合问题的理解和掌握，提高解题能力，并为应对考试做好准备。

排列组合专题各方法题型及其答案

排列组合题型总结一．直接法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例44名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共多少种六．平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法七．染色问题例7 某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．561432八．递推法例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法九.几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种十．先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有多少种十一．用转换法解排列组合问题例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．十二．转化命题法例 11.圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。

高三——排列组合专题汇编(含答案+解析)

1.五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 ( ）A ．120种B ．96种C ．78种D ．72种解析：①若甲在排位，剩下四人可自由排，有44A =24种排法；②若甲在第二、三、四位上，则有54131333=A A A 种排法；共78种。

2.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A ．8B ．24C ．48D ．120解析：483412=A A 。

3．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A ．324B ．328C ．360D ．648解析：当尾数是2、4、6、8时，个位有四种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，共有8*8*4=256；当尾数为0时，百位有9种选法。

十位有8种结果，共有9*8*1=72；共有256+72=328.4.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A.6种B.12种C.24种D.30种解析：①所有两人各选修2门的总数362424=C C ；②两人所选两门都相同的有624=C 种；③都不同的种数为624=C ；所以恰好有一门相同的选法有36-6-6=24种。

5.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。

若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A.150种 B.180种 C.300种 D.345种解析：恰有1名女同学的选法分两类：甲组选一男一女，乙组两男的选法有225261315=C C C 种；乙组选一男一女，甲组两男的选法有120121625=C C C 种，共有345种。

6.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为A.18B.24C.30D.36解析：法一）总的方法数是363324=A C ，甲乙被分到同一个班级的方法数是633=A ，故甲乙不分到同一个班级的方法数是36-6=30.法二）如丙丁分到同一个班级，则为33A ；如甲丙分到同一个班级，则丁只能独自一个班级，方法数是33A ；如乙丙分到同一个班级，则丁也只能独自一个班级，方法数是33A ；同理，若丁分到甲或乙所在班级，方法数是332A 。

高中数学排列组合专题练习题

高中数学排列组合专题练习题一、选择题1、从 5 名男同学和 4 名女同学中选出 3 名男同学和 2 名女同学，分别担任 5 种不同的职务，不同的选法共有（）A 5400 种B 18000 种C 7200 种D 14400 种解析：第一步，从 5 名男同学中选出 3 名，有\（C_{5}＾3\）种选法；第二步，从 4 名女同学中选出 2 名，有\（C_{4}＾2\）种选法；第三步，将选出的 5 名同学进行排列，有\（A_{5}＾5\）种排法。

所以不同的选法共有\（C_{5}＾3 × C_{4}＾2 × A_{5}＾5 ＝ 10×6×120 ＝7200\）种，故选 C。

2、有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本。

若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（）A 24B 48C 72D 96解析：先排语文书有\（A_{2}＾2 ＝ 2\）种排法，再在语文书的间隔（含两端）处插数学书有\（A_{3}＾2 ＝ 6\）种插法，最后将物理书插入 4 个间隔中的一个有 4 种方法。

所以共有\（2×6×4 ＝ 48\）种排法，故选 B。

3、从 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字中，任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A 300B 216C 180D 162解析：分两类情况讨论：第一类：取出的偶数含 0。

偶数 0 和另外一个偶数的取法有\（C_{2}＾1\）种，奇数的取法有\（C_{3}＾2\）种。

0 在个位时，其他三个数字全排列，有\（A_{3}＾3\）种；0 不在个位时，0 有 2 种位置，其他三个数字全排列，有\（2×A_{2}＾1×A_{2}＾2\）种。

此时共有\（C_{2}＾1×C_{3}＾2×（A_{3}＾3 ＋ 2×A_{2}＾1×A_{2}＾2) ＝ 108\）种。

排列组合专题复习

《排列组合专题复习》【复习巩固】【1】分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N m 1 m 2 m n 种不同的方法．【2】分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N m 1m 2 m n 种不同的方法．【3】分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事.分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．【 0 1 特殊元素和特殊位置优先策略】【例1】由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.【答案】288【解析】由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有C 31，然后排首位共有3 C 41. CCA 41 31 43 288 C 14 A 34 C 13 最后排其它位置共有A 4 ，由分步计数原理得【练习】7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？【答案】【 0 2 ★ 相邻元素 ★捆绑策略】【例2】7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.【答案】480【解析】可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有AAA 55 2222 480种不同的排法.要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题. 即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.【练习】某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为【答案】20【 ★ 0 3 ★ 不相邻问题 ★插空策略 ★ 】【例3】一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？【答案】A 55A 64【解析】分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 A 55种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A 64 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A 55A 64种. 乙甲丁丙【练习】某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30【答案】30【★04★定序问题★倍缩空位插入策略★】【例4】7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？【答案】A77/ A33或A74【解析】(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：.(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A74 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有A74 种方法.【思考】可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有____________________.方法.【答案】排法？【答案】C105【★05★重排问题求幂策略★】【例5】把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法.【答案】76【解析】完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有76 种不同的排法.【练习1】某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为____________________.【答案】42【练习2】某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法.【答案】78【★06★环排问题★线排策略★】【例6】8人围桌而坐,共有多少种坐法?【答案】7！【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44 并从此位置把圆形展成【答案】120【★07★多排问题★直排策略★】【例7】8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法.【答案】A24A14A55【解析】8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A24 种,再排后4个位置上的特殊元素丙有A14 种,其余的5人在5个位置上任意排列有A55种,则共有A24A14A55种.前排后排一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.【练习】有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是____________________.【答案】346【★08★排列组合混合问题★先选后排策略★】【例8】有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.【答案】C52A44【解析】第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C52种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有A44 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C52A44解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?【练习】一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有____________________种.【答案】192【★09★小集团问题★先整体后局部策略★】【例9】用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？【答案】A22A22A22【解析】把1,5,2,4当作一个小集团与３排队共有A22 种排法，再排小集团内部共有A22A22种排法，由分步计数原理共有A22A22A22 种排法.【练习1】计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为____________________.直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！HFDCAA B C D E ABEGHGF【练习】6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？一般地,n个不同元素作圆形排列,共有n(-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnAn15243【答案】A22A55A44【练习2】5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种.【答案】A22A55A55【★10★元素相同问题★隔板策略★】【例10】有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？【答案】C96【解析】因为10个名额没有差别，把它们排成一排。

排列组合专题复习及经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解研究目标：掌握排列、组合问题的解题策略。

重点：1.特殊元素优先安排的策略；2.合理分类与准确分步的策略；3.排列、组合混合问题先选后排的策略；4.正难则反、等价转化的策略；5.相邻问题捆绑处理的策略；6.不相邻问题插空处理的策略。

难点：综合运用解题策略解决问题。

研究过程：1.知识梳理1.分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类型办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+。

+mn种不同的方法。

2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有N=m1×m2×。

×mn种不同的方法。

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3.排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，m<n时叫做选排列，m=n时叫做全排列。

4.排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pn表示。

5.排列数公式：Pn=n(n-1)(n-2)。

(n-m+1)=m!/(n-m)。

其中m≤n，n、m∈N+。

特别提醒：规定0!=1.6.组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合。

7.组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数，用符号Cn表示。

排列组合专题各方法题型及其答案

排列组合题型总结一.直接法例1用1, 2, 3, 4, 5, 6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个(1)数字1不排在个位和千位(2)数字1不在个位，数字6不在千位。

二.间接法当直接法求解类别比较大时，应釆用间接法。

例2有五张卡片，它的正反面分别写0与1, 2与3, 4与5, 6与7, 8与9,将它们任意三张并排放在一是组成三位数，共可组成多少个不同的三位数三.插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法四.捆梆法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种五.阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜釆阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共多少种六.平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法七.染色问题例7菜城市中心广场建造一个花圃，花囲6分为个部分，现要我种4种颜色的花，每部分我种一种且相邻部分不能我种同一样颜邑的话，不同的我种方法有 _________ 种（以数字作答）.八・逼推法例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法九•几何问题1.四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种十.先选后排法例9有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有多少种十一.用转换法解排列组合问题例10.某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种.十二.转化命题法例11 •圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各•排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的究破口。

排列组合专题练习

排列组合专题练习第一、特殊优化法（对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以先从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其他元素或位置。

）1. 用1，2，3，4，5这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A、24个B、30个C、40个D、60个2. 乒乓球队的10名队员中有三名主力队员，若派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种。

（用数字作答）3. 1名老师和4名学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种。

4. 从，5个元素中，取出4个放在四个不同的格子中，且元素不能放在第二个格子里，共有种不同的放法。

第二、合理分类准确分步（对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况进行合理分类和准确分步，以便有条不紊的进行解答，避免重复或遗漏现象发生。

）5. 0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个。

6. 用五种不同颜色给下图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻的区域涂不同的颜色，共有种涂法。

7. 有11名外语翻译人员，其中5名会英语，4名会日语，另外两名英、日语都精通，从中选出8人，组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，问共有种不同的选派方式。

8. 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）种A、90B、180C、270D、5409. 集合的并集，当时，和视为不同的对，则这样的对的个数有个。

10. 已知是定义域，值域为的函数。

（1）试问：这样的函数共有几个？（2）若对于定义域中的4个不同元素，对应的函数值都是1，那么这样的函数共有多少个？第三、先选后排（对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。

）11. 4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒内，则恰有一个空盒的方法有种。

排列组合专题复习题

排列组合专题复习题排列组合专题复习题在数学中，排列组合是一种重要的概念和方法，它在解决各种问题中起着关键的作用。

本文将通过一些复习题来帮助读者巩固和加深对排列组合的理解。

一、排列问题1. 有5个不同的球，将它们排成一排，共有多少种排法？解析：这是一个典型的排列问题。

由于球是不同的，所以每个位置都有5种选择，因此总的排法数为5的阶乘，即5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。

2. 有6个人，其中3个人是A、B、C，另外3个人是D、E、F。

他们排成一排，要求A、B、C三人相邻，D、E、F三人相邻，共有多少种排法？解析：将A、B、C看作一个整体，D、E、F看作一个整体，那么一共有2个整体。

这两个整体可以看作一个人，所以总共有4个人，排列的方法是4的阶乘，即4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。

但是在A、B、C中，A、B、C之间也可以有不同的排列方式，因此还需要乘以A、B、C的排列方式，即3! = 3 × 2 × 1 = 6。

所以总的排法数为24 × 6 = 144。

二、组合问题1. 从10个人中选出3个人，共有多少种选法？解析：这是一个典型的组合问题。

从10个人中选出3个人，相当于从10个人中挑选3个人，不考虑他们的排列顺序。

根据组合的定义，C(10, 3) = 10! / (3!× (10-3)!) = 10 × 9 × 8 / (3 × 2 × 1) = 120。

2. 从10个不同的球中选出5个球，共有多少种选法？解析：这是另一个组合问题。

从10个不同的球中选出5个球，也是不考虑它们的排列顺序。

根据组合的定义，C(10, 5) = 10! / (5! × (10-5)!) = 10 × 9 × 8 × 7× 6 / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 252。

排列组合综合应用题专题

排列组合综合应用题专题
排列组合是数学中的一个重要分支，常常用于计数。

在实际生活中，排列组合常常被用来解决各种问题。

下面介绍几个常见的应用案例。

1. 摆放位置问题
假设有10个人要坐在一排座位上，问有多少种不同的坐法？这
是一个典型的排列问题，因为这10个人的顺序不同，组合起来的结果
也就不同。

答案是10的阶乘，即10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3,628,800种。

2. 抽奖问题
假设有40个人参加了一次抽奖活动，每人只能中一次奖，问中
奖的人数有多少种可能性？这是一个组合问题，因为每个人是否中奖
并不影响其他人是否中奖。

答案是40个人中选取1个人中奖的方案数，即40种。

3. 球队比赛问题
假设有20支球队要进行比赛，每两支球队之间只能比赛一次，
问需要多少场比赛才能产生胜负？这是一个排列组合问题。

首先需要
从20支球队中选取两支进行比赛，共有C(20,2)种选法，即20 * 19
/ 2 = 190种。

然后每一场比赛都有胜负和平局三种可能性，因此总共需要190 * 3 = 570场比赛。

排列组合在实际生活中的应用非常广泛，以上只是其中的几个例子。

对于排列组合的掌握不仅能够帮助我们解决生活中的问题，也对
数学学习有很大帮助。

排列组合应用题求解专题

有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有
种.
解：符合条件的要求着色至少
2
须要三种颜色，故可分为： 3
1
5
（1）使用三种颜色时，
4
A 2与4同色且3与5同色，共有 3 种方法 4
（2）使用四种颜色时，
A 若2与4同色，有
4 4
种方法；若3与5
同色，也有 A44 种方法
所以不同的着色方法共有 A43 2A44 72 种
(2)2张2一起出，3张A分两次出，有种 C32 A53 方法
(3)2张2一起出，3张A分三次出，有种 A54 方法
(4)2张2分开出，3张A一起出，有种 A53 方法
(5)2张2分开出，3张A分两次出，有 C32 A54 种方法.
(6) 2张2分开出，3张A分三次出，有 A55 种方法
因此，共有不同的出牌方法 A55 A52 A54 C32 A53 A53 C32 A54
7、全体学生手拉手站成一圈
7、机会均等法：七个人站成一圈，有七个
接点，从不同的接点剪开后得到的排列数就
是七人的全排 A77 ，而七个人站成一圈，只
有顺序之分，无位置之分，所以满足条件的
排法为 A77 种
7
练习
例题一、12个相同的小球放入编号为 1、 2、3、4的盒子中：
（1）、每个盒子中至少有一个小球的不同方法有多少种？
法能一满样足，条有件，C和53 种（放1）法的解法一样，有 C53
种放法
练习
例题一、按以下要求分配6本不同的书, 各有几种分法？
(1) 平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2) 平均分成三份，每份2本；
(3)分成三份，一份一本，一份2本，一份3本；

高三数学排列组合专题试卷

一、选择题（每题5分，共20分）1. 从5个不同的元素中取出3个元素，所有可能的排列共有（）A. 20种B. 30种C. 60种D. 120种2. 从5个不同的元素中取出3个元素，所有可能的组合共有（）A. 20种B. 30种C. 60种D. 120种3. 在3个男生和2个女生中，选出2人参加比赛，若选出的2人中有女生，则不同的选法共有（）A. 6种B. 8种C. 10种D. 12种4. 某个班级有10名学生，其中有5名男生和5名女生，从中选出3名学生参加比赛，若选出的3名学生中有2名男生和1名女生，则不同的选法共有（）A. 30种B. 60种C. 90种D. 120种5. 某班级有5名男生和5名女生，现要从他们中选出3名男生和2名女生参加比赛，则不同的选法共有（）A. 150种B. 200种C. 300种D. 600种二、填空题（每题5分，共20分）6. 从0、1、2、3、4这5个数字中取出3个数字，组成一个三位数，则这个三位数的个位数字是2的排列共有________种。

7. 某班级有8名学生，其中有4名男生和4名女生，从中选出3名学生参加比赛，若选出的3名学生中有2名男生和1名女生，则不同的选法共有________种。

8. 从5个不同的元素中取出3个元素，组成的排列中，包含“123”这个元素的排列共有________种。

9. 在3个男生和2个女生中，选出2人参加比赛，若选出的2人中有女生，则不同的选法共有________种。

10. 某班级有10名学生，其中有5名男生和5名女生，从中选出3名学生参加比赛，若选出的3名学生中有2名男生和1名女生，则不同的选法共有________种。

三、解答题（每题10分，共30分）11. （1）从1、2、3、4、5、6这6个数字中取出3个数字，组成的排列中，包含“123”这个元素的排列共有多少种？（2）从1、2、3、4、5、6这6个数字中取出3个数字，组成的排列中，不包含“123”这个元素的排列共有多少种？12. 某班级有8名学生，其中有4名男生和4名女生，从中选出3名学生参加比赛，若选出的3名学生中有2名男生和1名女生，则不同的选法共有多少种？13. 某班级有10名学生，其中有5名男生和5名女生，从中选出3名学生参加比赛，若选出的3名学生中有2名男生和1名女生，则不同的选法共有多少种？四、附加题（20分）14. （10分）某班级有8名学生，其中有4名男生和4名女生，现要从他们中选出3名学生参加比赛，若选出的3名学生中有1名男生和2名女生，则不同的选法共有多少种？15. （10分）某班级有10名学生，其中有5名男生和5名女生，现要从他们中选出3名学生参加比赛，若选出的3名学生中有1名男生和2名女生，则不同的选法共有多少种？。

高中数学排列组合真题(解析版)

高中数学专题14 排列组合真题汇编1．将6个数2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一个8位数(首位不为0)，则产生的不同的8位数的个数为.【答案】498【解析】所有首位非0的8位数：6!-5！2、0相邻的不同8位数：.1、9相邻的不同8位数：.2、0与1、9均相邻的不同8位数：故所求的8位数个数为：.2．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为______(用数字作答).【答案】15000【解析】由题意知满足条件的方案有两种情形：1.有一个项目有3人参加，共有种方案；2.有两个项目各有2人参加，共有种方案.故所求的方案数为.故答案为：150003．将3333的方格表中毎个格染三种颜色之一,使得每种颜色的格的个数相等.若相邻两格的颜色不同,则称其公共边为“分隔边".试求分隔边条数的最小值。

【答案】56【解析】记分隔边的条数为L。

首先,将方格表按图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边。

此时,共有56条分隔边，即L=56。

其次证明:L≥56。

将方格表的行从上至下依次记为,列从左至右依次记为。

行中方格出现的颜色数记为,列中方格出现的颜色个数记为。

三种颜色分别记为，对于一种颜色为含有色方格的行数与列数之和。

定义类似地定义.所以由于染色的格有个,设含有色方格的行有a个、列有b个,则色的方格一定在这a行和b 列的交叉方格中。

从而,所以①由于在行中有种颜色的方格，于是,至少有条分隔边。

类似地,在列中,至少有条分隔边。

则②③下面分两种情形讨论。

1.有一行或一列所有方格同色。

不妨设有一行均为色则方格表的33列中均含有色的方格，又色方格有363个，故至少有11行含有色方格.于是，④由式①、③、④得(2)没有一行也没有一列的所有方格同色.则対任意均有从而，由式②知;综上，分割边条数的最小值为56.4．给定空间中十个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.【答案】15【解析】以这十个点为顶点、所连线段为边得一个十阶简单图G.下面证明：图G的边数不超过15.设图G的顶点为，共有k条边，用表示顶点的度.若均成立，则.假设存在顶点满足.不妨设，且均相邻.于是，之间没有边，否则，就形成三角形.从而，之间恰有n条边.对每个至多与中的一个顶点相邻(否则，设相邻，则就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾).从而，之间的边数至多为.在个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，知至多有条边.因此，图G 的边数为.如图所示给出的图共有15条边，且满足要求.综上，所求边数的最大值为15.5．一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时，在每个顶点处染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？【答案】当为奇数时，有种；当为偶数时，有种.【解析】对于该种密码锁的一种密码设置，若相邻两个顶点上所赋值的数字不同，则在它们所在的边上标上；若颜色不同，则标上；若数字和颜色都相同，则标上.于是，对于给定的点上的设置(共有4种)，按照边上的字母可以依次确定点上的设置.为了使得最终回到时的设置与初始时相同，标有的边都是偶数条.所以，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记使得标有的边都是偶数条的方法数的4倍.设标有的边有)条，标有的边有)条.选取条边标记的有种方法，在余下的边中取出条边标记的有第种方法，其余的边标记.由乘法原理知共有种标记方法.对求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为.①这里，约定.当为奇数时，，此时，.②代入式①中得.当为偶数时，若，则式②仍然成立；若，则正边形的所有边都标记，此时，只有一种标记方法.于是，所有不同的密码设置的方法数为.综上，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当为奇数时，有种；当为偶数时，有种.1．把16本相同的书全部分给4名学生，每名学生至少有一本书且所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为__________.(用数字作答)【答案】216.【解析】将16分解成四个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7，16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7，16=2+3+5+6.故符合条件的不同分配方法数为9=216.2．把1，2，…，按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格，第一行是1，2，…，n.例如：.设2018在的第i行第j列，则(i，j)=___________.【答案】(34，95)【解析】设，则的第k行第k列元素是.因此，1901在第6行第6列，1900在第6行第95列，2018在第34行第95列.故答案为：(34，95)3．【2018年湖南】从-3、-2、-1、0、1、2、3、4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数的系数.若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有_____个.【答案】24【解析】可将二次函数分为两大类：一类顶点在第一象限；另一类顶点在第三象限，然后由顶点坐标的符号分别考查.因为图象过坐标原点，所以c=0.故二次函数可写成的形式.又，所以其顶点坐标是.若顶点在第一象限，则有.故.因此，这样的二次函数有个.若顶点在第三象限，则有.故.这样的二次函数有个.由加法原理知，满足条件的二次函数共有个.故答案为：244．的展开式中常数项为_____.【答案】-20【解析】因为.所以.故答案为：-205．【2018年广东】袋中装有m个红球和n个白球，m＞n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系的数组(m，n)的个数为_______.【答案】3【解析】记“取出两个红球”为事件A，“取出两个白球”为事件B，“取出一红一白两个球”为事件C，则.依题意得，即.所以，从而为完全平方数.又由，得.所以.解之得(m，n)=(6，3)(舍去)，或(10，6)，或(15，10)，或(21，15).故符合题意的数组(m，n)有3个.故答案为：36．将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的阶色序．若某圆的任意两个“3阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最多可有______个．【答案】8【解析】“3阶包序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有种．一方面，个点可以构成个“3阶色序”，故该圆中等分点的个数不多于8个．另一方面，若，则必须包含全部8个“3阶色序”，如按逆时针方向确定8个的颜色为“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件．故该圆中等分点的个数最多可有8个．7．在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有________个既约分数.【答案】36【解析】在7，11，13中任取一个整数与在2，4，6，8，12中任取一个整数构成既约分数，共有种；在7，11，13中任取两个整数也构成既约分数，共有中.合计有36种不同的既约分数.8．学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有_______种.【答案】42【解析】分两类：(1)甲、乙同一天值班，则只能排在1日，有种排法.(2)甲、乙不在同一天值班，有种排法.故共有42种方法.。

专题排列组合专题突破训练(练习)2023届高考数学二轮复习专题

排列组合专题突破排列组合专项突破一（两个计数原理）1.．将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字即不同行也不同列，则不同的填写方法有()A.288种B．144种C．576种D．96种2．里约奥运会期间，小赵常看的6个电视频道中有2个频道在转播奥运比赛．若小赵这时打开电视，随机打开其中一个频道，若在转播奥运比赛，则停止换台，否则就进行换台，那么，小赵所看到的第三个电视台恰好在转播奥运比赛的不同情况有()A．6种B．24种C．36种D．42种3．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有多少种不同的排法．() A．1 080B．1 280 C．1 440D．2 5604．甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有种．(用数字作答)排列组合专项突破二（排数问题）1．从1,3,5三个数中选两个数字，从0,2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．6B．12C．18D．242．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()A．56B．54C．53D．523．4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成个不同的三位数．4．某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差，若不安排甲去北京，则不同的安排方法共有() A．18种B．20种C．24种D．30种5．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343,12 521等．两位数的回文数有11,22,33，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是()A．40 B．30C．20D．10排列组合专项突破三（分类问题）1．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A．48B．18C．24D．362．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种3．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为() A．15 B．30C．35D．424．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13 C．12 D．105.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．排列组合专项突破四（涂色问题）1. 如图，给7条线段的5个端点染色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的染色方法种数有()A．24B．48C．96D．1202.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是()A．120 B．140C．240 D．2603.用红、黄、蓝，紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“恰有一个面上的三个顶点同色”的概率为（）A．12B．13C．14D．3164.如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A. 480B. 720C. 1080D. 12005．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为(用数字作答)．排列组合专项突破五（相邻不相邻问题）1.七人并排站成一行，如果甲、乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是()A．3 600 B．1 440 C．4 820 D．4 8002.把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．3．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )A ．12B ．6C ．8D ．164.张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（） A ．12 B ．24 C ．36 D ．485.A 家庭有一对夫妻和两个女儿，B 家庭有一对夫妻和两个儿子，共8人，一起去游乐场游玩，坐在共有8个座位的一排座位上，A 家庭的两个女儿要相邻，B 家庭的两个儿子要相邻，并且为了安全起见，两位爸爸要坐在两端．那么这8人的排座方法种数为． 6.在大课间风采展示中，某班级准备了2个舞蹈，2个独唱，1个小品，共5个节目.要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有___________种，7.北京APEC 峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有( )A ．12种B ．24种C ．48种D ．96种排列组合专项突破六（分组分配问题）1．从5名大学毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、丙地区各一人，则不同的选派方法总数为( )A ．40B ．60C ．100D ．1202．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作．若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为 .3．把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有( )A ．18种B ．9种C ．6种D ．3种4.数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有( )A.C 312C 39C 36A 33A 44种 B ．C 312C 39C 3634种 C.C 312C 39C 36A 4443种 D ．C 312C 39C 3643种5.将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答)6．（多选）下列说法正确的是( )A ．4只相同的小球放入3个不同的盒子，共有12种不同放法B ．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有54种C ．将4封信投入到3个信箱中，共有64种不同的投法D ．用0,1，…，9十个数字可以组成没有重复数字的三位偶数328个。

自主招生辅导讲义(二)排列组合专题

自主招生辅导讲义（二）排列组合专题1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种例3.已知集合{1,2,3,,19,20}A =，集合1234{,,,}B a a a a =，且B A ⊂，若||1(,1,2,3,4)i j a a i j -≠=，则满足条件的集合B 有多少个？3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例4.（1）A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种（2）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例5.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例6.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种6.全员分配问题分组法:例7.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种7.名额分配问题隔板法:例8：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？例9.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？8.限制条件的分配问题分类法:例10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A．152 B. 126 C. 90 D. 549.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

排列组合专题汇总 (包罗万象彻底搞定所有排列组合问题!!!)

排列组合专题排列组合专题零排列组合入门................................................................................................. - 2 - 排列组合专题一定序法........................................................................................................... - 11 - 排列组合专题二捆绑法........................................................................................................... - 21 - 排列组合专题三插空法........................................................................................................... - 30 - 排列组合专题四位置分析法................................................................................................... - 39 - 排列组合专题五隔板法........................................................................................................... - 46 - 排列组合专题六选分排........................................................................................................... - 52 - 排列组合专题七数字型排列组合........................................................................................... - 71 - 排列组合专题八染色问题....................................................................................................... - 77 - 排列组合专题九几何问题专杀............................................................................................... - 86 - 排列组合专题十二项定理重点............................................................................................... - 92 - 排列组合专题十一二项式定理逆用与整除....................................................................... - 108 -排列组合专题零排列组合入门一、分步与分类........................................................................................................................... - 4 -（一）分步：互不影响相乘............................................................................................... - 4 - （二）分类：对后续有影响............................................................................................... - 4 - （三）分步加法................................................................................................................... - 4 - 二、排列....................................................................................................................................... - 5 -（一）排列引入介绍........................................................................................................... - 5 - （二）排列公式................................................................................................................... - 6 - 三、组合....................................................................................................................................... - 6 -（一）组合引入介绍........................................................................................................... - 6 - （二）组合公式及其性质................................................................................................... - 7 -1.组合公式.................................................................................................................... - 7 -2.性质1......................................................................................................................... - 8 -2.性质2......................................................................................................................... - 8 -（三）比赛握手问题........................................................................................................... - 9 - （四）握手问题升级......................................................................................................... - 10 - （五）疑惑诠释：不可多次选取..................................................................................... - 10 -一、分步与分类（一）分步：互不影响相乘【例1】现有上衣5件，裤子3件，一共有多少种搭配方法？【答案】15（二）分类：对后续有影响【例1】比516大的三位渐升数有多少个？【答案】10（三）分步加法【例1】12名战士，每人一个储物箱，对应有12把钥匙混在一起，现要打开所有箱子，最多要试多少次？【答案】78二、排列（一）排列引入介绍【例1】有4名同学排一排，有多少种排法？A【答案】44【例2】有10名同学，从中选4名同学排一排，有多少种排法？A【答案】410【例3】从n个元素中选m个元素排成一排，有多少种排法？A【答案】mn（二）排列公式【例1】?8161718=⨯⨯⨯⨯【答案】1118A【例2】以下不等于!n 的是（）n n A A . 1111.+++n n A n B n n A C 1.+ 11.--n n nA D【答案】C 三、组合（一）组合引入介绍【例1】5个人中选出3个人组成一组，有多少种选法？【答案】35C【练习1】d c b a ,,,中选3个，有多少种选法？【答案】34C【练习2】6个人中选3个人参加运动会，有多少种选法？【答案】36C （二）组合公式及其性质1.组合公式()!!!!m m n n m A C m n mn-== 【例1】?,10711765==-m C C C m m m【答案】22.性质1m n n m n C C -=【例1】e d c b a ,,,,中选3个，有多少种选法？【答案】35C 或25C 2.性质2112111111;;++++-+---=+++++=+=r n r n r r r r r r m n m n m n m n m n m n C C C C C C C C C C C 【例1】从n 个元素中选出m 个元素，有多少种选法？【答案】m n m n m n C C C 111---+或【例2】310353433=++++C C C C【答案】411C【例1】10个人比赛，每2个人比一局，共要比多少局？【答案】210C【例2】6人人聚会，每2人握手一次，共要握手多少次？【答案】26C【例3】n 边形有多少条对角线？【答案】n C n 2【例4】圆上有10个点，每三个点内接一个三角形，一共可以连成多少个三角形？【答案】310C【例1】火车往返与甲乙俩地之间，中途停5次，一共要设计多少种车票？【答案】42（五）疑惑诠释：不可多次选取【例1】10个人中选3个人组成一组，有多少种选法?C【答案】310排列组合专题一定序法一、基本模型............................................................................................................................. - 13 -（一）顺序确定................................................................................................................. - 13 - （二）元素相同................................................................................................................. - 13 - 二、基本变形............................................................................................................................. - 15 -（一）变形：空位问题..................................................................................................... - 15 - （二）变形：插入问题..................................................................................................... - 15 - （三）变形：位置定序问题............................................................................................. - 16 - 三、应用：路径问题................................................................................................................. - 17 -（一）二维路径问题......................................................................................................... - 17 - （二）三维路径问题......................................................................................................... - 18 - （三）路径问题推广：步骤数固定，步骤不固定......................................................... - 18 - 四、应用：条件触发终止型问题............................................................................................. - 19 -（一）连中射击问题......................................................................................................... - 19 - （二）对局比赛问题......................................................................................................... - 20 - 五、疑惑诠释：同色摸球的思考............................................................................................. - 20 -一、基本模型（一）顺序确定【例1】5个不同的玩偶排成一列，要求A 在B 前面，有多少种排法？【答案】2255A A【例2】5个不同的玩偶排成一列，要求A 在C 前面，C 在B 前面，有多少种排法？【答案】3355A A （二）元素相同【例1】5个不同的玩偶排成一列，要求A 在B 前面，有多少种排法？【答案】2255A A【练习1】3本相同的数学书与其余6本不同的书排成一排，有多少种排法？【答案】3399A A【练习2】5名男生，6名女生进行排列，男生顺序一定，女生顺序也一定，有多少种排法？【答案】66551111A A A【练习3】2个红球，3个黄球，4个白球排成一排，有多少种排法？【答案】44332299A A A A二、基本变形（一）变形：空位问题【例1】3个人去坐5个座位，有多少种坐法？【答案】2255A A （二）变形：插入问题【例1】4个人站成一排，找2个人插入队列中，要求原来4个人的相对位置不变，有多少种排法？【答案】4466A A【例2】在4枚整齐排列的白球中插入一枚红球和一枚黄球，有多少种方法？【答案】4466A A（三）变形：位置定序问题【例1】6个西瓜排成一列，前3个位置按照由重到轻的顺序排列，有多少种排法？【答案】3366A A【例2】7名同学站一排，个子最高的站中间，其余6个按照从高到底、从中间到左右两边进行排列，有多少种排法？【答案】333366A A A三、应用：路径问题（一）二维路径问题【例1】如图所示：求A 到B 的最短走法有多少种？【答案】334477A A A【例2】小明哥小红去活动中心，现两人位置如下，小明先和小红回合然后俩人一到达活动中心，问小明的最短路径有多少种？【答案】18（二）三维路径问题【例1】三维直角坐标系中，从点()0,0,0到点()3,3,3，每次只能走一个单位，则最短路径有多少种？【答案】33333399A A A A【例2】元宵节灯会中如图挂了9盏灯，每次取下一盏，有多少种取法？【答案】3639C C （三）路径问题推广：步骤数固定，步骤不固定【例1】已知1532=+yx ，y x ,均为正整数，有多少种解？【答案】2【例2】有15根火柴，若规定每次取2根或3根，取完这堆火柴有多少种取法？【答案】28【例3】10阶台阶，一次上一阶或两阶，有多少种走法？【答案】89四、应用：条件触发终止型问题（一）连中射击问题【例1】射击游戏中，击中3次则获胜，恰好射击5次获胜有多少种情况？【答案】10（二）对局比赛问题【例1】两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则可能出现的情形（个人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）10.A 种 15.B 种 20.C 种 30.D 种【答案】C【例2】口袋中有大小相同，颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止，则恰好取了5次停止的种数为（）【答案】42五、疑惑诠释：同色摸球的思考【例1】有一个箱子里有3个实心球，2个空心球，从中摸出一个球，有多少种摸法？【答案】12C【例2】箱子里有2个黄球，2个白球，3个红球，4个绿球，从中摸出一个球，有多少种结果？【答案】13C排列组合专题二捆绑法一、捆绑法介绍......................................................................................................................... - 22 -二、捆绑法的两种类型............................................................................................................. - 23 -（一）大小夹杂型捆绑法............................................................................................. - 23 - （二）小团体型捆绑法................................................................................................. - 24 - 三、捆绑的“包裹”................................................................................................................. - 25 -（一）包裹内的定序......................................................................................................... - 25 - （二）包裹内元素按照实况排列..................................................................................... - 27 - （三）包裹与外部元素的关系......................................................................................... - 27 - （四）捆绑法的缺陷......................................................................................................... - 28 -四、选取+捆绑+排列................................................................................................................. - 28 -五、取反策略转化为捆绑......................................................................................................... - 29 -一、捆绑法介绍【例1】5个人站成一排，要求甲乙排在一起，有多少种排法？【答案】4422A A【例2】现有3本数学书，2本外语书，3本其他课本进行排列，要求外语课本排在一起，数学课本放在一起，有多少种排法？【答案】552233A A A【例3】5个人站成一排，要求甲乙排在一起，且甲排在乙的前面，有多少种排法？【答案】44A【例4】现有3本相同的数学书，2本相同的外语书，3本其他不同课本进行排列，要求外语课本排在一起，数学课本放在一起，有多少种排法？【答案】55A【例5】12个停车位，8辆车要停，要求空位连在一起，有多少种排法？【答案】99A 二、捆绑法的两种类型（一）大小夹杂型捆绑法【例1】5个人站成一排，要求甲乙排在一起，有多少种排法？【答案】4422A A【例2】排课表时，有语数英3门文化课和3门艺术课，要求文化课间没有艺术课，有多少种排法？【答案】4433A A （二）小团体型捆绑法【例1】7名同学中有4名男生，3名女生站成一排，现要求男生站一起，女生站一起，问有多少种排法？【答案】223344A A A【例2】7名同学中有4名男生，3名女生站成两列，现要求男生站一列，女生站一列，问有多少种排法？【答案】223344A A A【例3】3个三口之家共9人坐一起吃饭，要求每家人坐一起，，有多少种排法？【答案】33333333A A A A【例4】2部小说各分一、二、三、四卷，每卷一本，共八本，排成一排，要求左边4本属于同一部小说，有多少种排法？【答案】224444A A A 三、捆绑的“包裹”（一）包裹内的定序【例1】名7同学中有4名男生，3名女生站成一排，现要求男生站一起，女生站一起，且男生按从高到低的顺序排列，问有多少种排法？【答案】2233A A【例2】名7同学中有4名男生，3名女生站成两列，现要求男生站一列，女生站一列，且按从低到高的顺序排列，问有多少种排法？【答案】2【例3】5辆车8个停车位，有多少种停法？【答案】5538A A【例4】5辆车8个停车位，要求空位连在一起，有多少种停法？【答案】66A【例5】love " "math 由8个字母组成，现将字母重新排列，要求math 连在一起，且顺序不变，有多少种排法？【答案】55A（二）包裹内元素按照实况排列【例1】5名同学排成一排，要求甲与乙相邻，乙与丙相邻，有多少种排法？【答案】12【例2】10名同学排一排，男生站一起，女生站一起，小红不站外面，有多少种排法？【答案】22331266A A A A （三）包裹与外部元素的关系【例1】5名志愿者，2名老师参加完活动要站成一排合影，要求2个老师站一起且不站两端，有多少种排法？【答案】551422A C A（四）捆绑法的缺陷1.元素个数视为1无影响【例1】4男，2女站一排，甲站中间，女生排一起.2.与外部元素无关【例1】6人，ABC 站一起，B 不与E 相邻，A 与F 差一个元素.四、选取+捆绑+排列【例1】20个学生有10男10女，现从中选10名同学，要求刚好选出5男5女，然后将选出的学生排成一排，男生站一起，女生站一起，有多少种排法？【答案】22510510A A A【例2】从字母""equation 中选4个字母含qu （顺序不变）排成一排，有多少种排法？【答案】3326A C 五、取反策略转化为捆绑【例1】5人排一排，要求甲乙不相邻，有多少种排法？【答案】442255A A A【例2】5件产品排一排，要求甲乙相邻，乙丙不相邻，有多少种排法？【答案】36排列组合专题三插空法一、标准的插空法..................................................................................................................... - 32 -（一）插空法引入介绍..................................................................................................... - 32 - （二）插空法模型训练..................................................................................................... - 32 -二、插空中的定序..................................................................................................................... - 34 -三、插空中的转化：相邻至少与插空..................................................................................... - 34 -四、插空中的分类..................................................................................................................... - 35 -（一）三类元素各自不邻问题......................................................................................... - 35 - （二）相邻至多与插空..................................................................................................... - 36 - （三）部分同种元素相邻问题......................................................................................... - 36 - 五、疑惑诠释：插空法与分步法............................................................................................. - 37 -（一）分步插空法介绍..................................................................................................... - 37 - （二）分步插空法示例..................................................................................................... - 38 - （三）分步插空与插空法的区别..................................................................................... - 38 -一、标准的插空法（一）插空法引入介绍【例1】5个人站一排，甲乙不相邻，有多少种排法？【答案】443A【例2】8个人站一排，甲乙丙都不相邻，有多少种排法？【答案】3655A A【方法】①找出被插对象并排列②将不相邻者放入空中并排列（二）插空法模型训练【例1】5名妈妈和5个儿童进行排列，要求5个儿童不相邻，有多少种排法？【答案】5655A A【例2】对四门文化课，三门艺术课进行排列，要求艺术课不能在一起，有多少种排法？【答案】3544A A【例3】对四门文化课，三门艺术课进行排列，要求艺术课不能在一起，且不能排在第一节和最后一节，有多少种排法？【答案】4433A A【例4】8名同学和2名老师合影，要求老师不相邻且不排在两端，有多少种排法？【答案】2788A A【例5】把5名同学排到6个座位中，且B A ,不相邻，有多少种排法？【答案】2544A A【例1】文艺演出舞台上有15只相同的彩灯，每次闪灯恰有6只是关着的，且相邻的灯不能同时关，两端的灯必须一直亮，有多少种排法？【答案】28【例2】显示屏一排有7个小孔，可以显示0或1两种信号，每次显示3个小孔，但相邻孔不能同时显示，则显示屏能显示的信号种数是多少？【答案】80三、插空中的转化：相邻至少与插空【例1】6节课进行排列，有3门文化课，3门艺术课，要求相邻两节文化课之间至少有一节艺术课，有多少种排法？【答案】3433A A（一）三类元素各自不邻问题【引理】两人分类的相邻与不邻A,都不与C相邻，共有多少种排法？【例1】5人排成一排，B【答案】36【破解方法】1.从最多开始2.相邻与不邻的讨论【例1】5本不同的书，其中语文2本，数学2本，物理1本，对其进行排列，要求同一科目不相邻，有多少种排法？【答案】48【例2】文艺演出中有三类节目，3个歌舞类节目，2个小品类，1个相声类，对其排列，要求同类节目不相邻，有多少种排法？【答案】120（二）相邻至多与插空【破解方法】讨论相邻个数【例1】6节课进行排列，有3门文化课，3门艺术课，要求相邻两节文化课之间至多有一节艺术课，有多少种排法？【答案】22222333A A C A （三）部分同种元素相邻问题【破解方法】打包+不邻【例1】将4个白球，1红1蓝1黄1绿进行排列，要求只有2个白球相邻，有多少种排法？【答案】441524A C C【例2】将4名男生，2名女生排成一排，男生只有两个相邻，则不同的排法有多少种？【答案】144【例3】某名学生默写英文单词()”会计“bookkeeper ，他记得这个单词是由3个""e ，2个""o ，2个""k ，r p b ,,各一个组成，2个""o 相邻，3个""e 恰有两个相邻，e o ,都不在首位，他按此条件写出的结果有多少个？【答案】9000五、疑惑诠释：插空法与分步法（一）分步插空法介绍 1.可以用分步法理解2.用分步法涉及从一堆元素中多次选取时会重复（二）分步插空法示例【例1】5名同学排成一排，甲不站排头或排尾，有多少种排法？【答案】1344C A【例2】12名同学合影，前排站4人，后排站8人，摄影师从后排找2人站在前排，剩下的同学相对顺序固定，有多少种排法？【答案】2830C【小结】向一群元素中插入多个元素，不涉及相邻时，可采用多次插入的方法. （三）分步插空与插空法的区别【例1】6个人站一排，甲乙不相邻，共有多少种排法？【答案】141544C C A【小结】避开相邻的特殊空也可以插入排列组合专题四位置分析法一、位置分析法......................................................................................................................... - 40 -（一）位置法：间隔数问题............................................................................................. - 40 - （二）位置法：移动型讨论............................................................................................. - 40 - （三）位置法：特殊元素................................................................................................. - 41 -1.优先级策略.............................................................................................................. - 41 -2.讨论的起点：对后续结果造成影响...................................................................... - 42 -3.讨论的技巧：对称的妙用...................................................................................... - 42 -二、位置法处理其他问题......................................................................................................... - 43 -（一）位置法与捆绑法..................................................................................................... - 43 -1.位置法解决捆绑问题.............................................................................................. - 43 -2.位置分析补充捆绑法的短处.................................................................................. - 43 -（二）位置法处理三类元素不相邻问题......................................................................... - 44 - （三）位置法处理至多问题............................................................................................. - 44 -（四）创新型问题：位置法+枚举排列+排除 .......................................................... - 45 -一、位置分析法（一）位置法：间隔数问题【例1】有10陇地，选2陇种植B A ,两种作物，要求AB 间隔不小于6陇，有多少种选法?【答案】12【例2】有4名男生，3名女同学进行排列，要求甲乙之间恰有3名学生，有多少种排法？【答案】55223A A（二）位置法：移动型讨论【例1】甲乙丙3名志愿者周一到周五参加活动，每人参加一天，且每人至多一天，要求甲排在乙丙前，有多少种排法？【答案】20法一：法二：（三）位置法：特殊元素1.优先级策略【例1】6个人站一排，甲不站最左或最右端，有多少种排法？【答案】480【例2】5个人参加了比赛，已知甲乙都不是冠军，乙不是最差的，从以上信息中可以得出多少种结果？【答案】54【练习1】6个人站一排，甲乙站两端，有多少种排法？【答案】4422A A2.讨论的起点：对后续结果造成影响【例1】6个人站一排，甲不站左端，乙不站右边，有多少种排法？【答案】5043.讨论的技巧：对称的妙用【例1】7人站一排，甲在最中间，乙丙相邻，丁不在两端，有多少种排法？【答案】120【例2】7人站一排，甲在最中间，乙丙不相邻，丁不在两端，有多少种排法？【答案】480【例3】7个人排列，要求甲乙相邻，丙不在排头，丁不在排尾，有多少种排法？【答案】1008二、位置法处理其他问题（一）位置法与捆绑法1.位置法解决捆绑问题【例1】e d c b a ,,,,五个元素排列，以下情况中各有多少种结果：()a 1在e 的左边，且e a ,相邻；()2e a ,相邻；()3e a ,不相邻；【答案】()3341A ；()44222A A ；()723 2.位置分析补充捆绑法的短处【例1】5个男生2个女生排列，要求2名女生排在一起，男生甲站中间，有多少种排法？【答案】192（二）位置法处理三类元素不相邻问题【例1】对3个歌舞类节目，2个小品类，2个相声类进行排列，要求同类节目不相邻，有多少种排法？【答案】120【例2】现有5本不同的课本，语文2本，数学2本，物理1本，随机将书放在同一层书架上，同一科目不相邻的可能结果有多少种？【答案】48（三）位置法处理至多问题【例1】一天共6节课，其中文化课有语、数、外3节，其他艺术课各1门，要求相邻文化课间至多有一节艺术课，有多少种排法？【答案】432（四）创新型问题：位置法+枚举排列+排除【例1】将6,5,4,3,2,1六个数排一列，记第i 个数为i a (),63,2,1 =i 531531,5,3,1a a a a a a ≠≠≠，问有多少种排法？【答案】30排列组合专题五隔板法一、相同元素不同去处 ............................................................................................................. - 47 -（一）隔板法 ..................................................................................................................... - 47 -1.相同元素不同去处（非空） .............................................................................. - 47 -2.相同元素不同去处（可空） .............................................................................. - 48 -3.隔板法应用：()nc b a ++项数 ............................................................................. - 48 - 4.隔板法中的分类 ...................................................................................................... - 49 -（二）不定方程模型 ......................................................................................................... - 50 -1.不定方程整数解问题 .............................................................................................. - 50 -2.不定方程模型应用 .................................................................................................. - 50 -二、相同元素相同去处 ............................................................................................................. - 51 -一、相同元素不同去处（一）隔板法1.相同元素不同去处（非空）【例1】将10个颜色相同的小球放入六个不同的盒子中，每个盒子至少一个，那么有多少种放法？C【答案】59【总结】将n个相同元素分到m个不同的去处，每个去处至少一个元素，则共有11--m n C种放法.【练习1】四个人分五张相同的足球票，每人至少一张，则共有多少种分法？C【答案】342.相同元素不同去处（可空）【例1】将10个颜色相同的小球放入三个不同的盒子中，一共有多少种放法？C【答案】212【练习1】将5个相同的信封分别放入3个邮箱中，一共有多少种放法？C【答案】27【总结】n个元素+放入m个不同去处+去处可空，共有11--+m m n C种放法【方法】借球法3.隔板法应用：()n c+项数ba+a+一共有多少项？【例1】()11b【答案】12【例2】5)(c b a ++的项数为多少？【答案】214.隔板法中的分类【例1】小红有10块糖，每天至少吃一块，问一共有多少种放法把糖吃完？【答案】512（二）不定方程模型1.不定方程整数解问题【例1】()6~1,106321=∈=++++i N x x x x x i ，问该方程有多少组解？【答案】515C【例2】()6~12,166321=≥=++++i x x x x x i ，问该方程有多少组解？【答案】59C 2.不定方程模型应用【例1】现有10本相同的书要分给①②③3阅览室，要求每个阅览室分得的书的数量不能小于其编号数，则一共有多少种不同的分法？【答案】15。

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