全等三角形中的动态问题

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全等三角形动态问题

- 1 -专题----全等三角形动态问题1、如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB=CD ，AF=CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB=MD ，ME=MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．2、如图所示，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点且∠AEF=90°，EF 交正方形外角平分线CF 于点F ，取边AB 的中点G ，连接EG. （1）求证：EG=CF ；（2）将△ECF 绕点E 逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF 与EG 的位置关系.3、在△ABC 中，,∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E (1)当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE(3)当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时，试问：DE 、AD 、BE 有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明GFE B C AD- 2 -4、（1）如图1，A 、B 、C 三点在一直线上，分别以AB 、BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，AE 交BD 于点F ，，DC 交BE 于点G 。

则AE=DC 吗？BF=BG 吗？请说明理由。

（2）如图2，若A 、B 、C 不在同一直线上，那么这时上述结论成立吗？若成立请证明. （3）在图1中，若连结F 、G ，你还能得到什么结论？（写出结论，不需证明）5、如图，△ABC 的边BC 在直线m 上，AC ⊥BC ，且AC=BC ，△DEF 的边FE 也在直线m 上，边DF 与边AC 重合，且DF=EF ．（1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB 与AE 所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）将△DEF 沿直线m 向左平移到图（2）的位置时，DE 交AC 于点G ，连结AE ，BG ．猜想△BCG 与△ACE 能否通过旋转重合？请证明你的猜想．6、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =∠，60MBN =∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，．（1）当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），求证AE CF EF +=．（2）当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．A B CDE F G图A B CD EF G 图2（图1）ABCD EFMN（图2）ABCD EFM N（图3）A B CDE F MN。

难点探究专题：全等三角形中的动态问题

难点探究专题：全等三角形中的动态问题◆类型一全等三角形中的动点问题1．如图，在△MAB中，MA＝MB，过M点作直线MN交AB于N点．P是直线MN 上的一个动点，在点P移动的过程中，若NA＝NB，则∠PAM与∠PBM是否相等？说明理由．2．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为________；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)；(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二全等三角形中的动图问题3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE.(1)如果点B，C，D在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD＝BE；(2)如果△ABC绕C点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理由．◆类型三全等三角形中的翻折问题4．如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB.试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并说明理由．参考答案与解析1．解：∠P AM ＝∠PBM .理由如下：∵NA ＝NB ，MA ＝MB ，MN 是公共边，∴△AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠MAN ＝∠MBN ，∠MNA ＝∠MNB .又∵NA ＝NB ，PN 是公共边，∴△P AN ≌△PBN (SAS)，∴∠P AN ＝∠PBN .∴∠P AM ＝∠PBM .2．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .3．解：(1)∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝DE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∵点B ，C ，D 在同一条直线上，∴∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝120°.在△ACD与△BCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)．∴AD ＝BE .(2)成立．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD .又∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE .4．解：DE ＋BF ＝EF .理由如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如图所示．∵将Rt △ABC沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠2＋∠3＝∠1＋∠4，∴∠ABG ＝90°＝ADE .∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .在△AGB 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE .在△AGF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .。

全等三角形中的动态性问题

全等三角形中的动态性问题动态性几何问题是中考数学题型中的热点题型，这类试题常以运动的点、线段、变化的图形等为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其它量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答。

解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，要始终把握住“动静结合找界点、分类讨论细演算” 。

一、图形的全等图形经过“轴对称”、“平移”、“旋转” 后，位置发生了变化，但形状和大小不变，变换后的图形和变换前的图形能完全重合，这样的两个图形就全等。

1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等。

2、全等三角形的判定：SSS , SAS , ASA , AAS , HL 。

二、试题探究例题1、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

例题1图（1）（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.结论：AC⊥CE （证明略）（2）若将△ECD沿CB方向平移，其余条件不变, 结论：AC⊥C1E 还成立吗?请说明理由。

例题1图（2）结论：AC⊥C1E （证明略）例题2、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

（1）线段BD、AB、DE之间有怎样的数量关系，并说明理由。

例题2图（1）结论：BD=AB+DE （证明略）（2）若将两个三角形绕点C 旋转到如图所示的位置，则线段BD、AB、DE之间数量关系还成立吗？并说明理由。

例题2图（2）结论：BD = AB - ED （证明略）总结：图形变换，全等不变；遇到变式，先找不变。

三、典型例题例题3、如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ 。

（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E，如图b，求证：BE⊥DQ 。

例题3图（a）例题3图（b）证明：略。

例题4、已知,如图1,E、F为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF ⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点；（1）求证：MB=MD，ME=MF；（2）当E、F两点移至如图2所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。

浅谈三角形中的动点问题

浅谈三角形中的动点问题动点问题是一类灵活、有难度的数学问题，也是近些年来各市中考中常出现的考点。

本文将以湘教版八年级全等三角形中一道习题为例，对变化出来的一系列动点问题从如下几个方面进行探讨和阐述。

一．本文选题背景1、知识背景：本题用到的知识点是：全等三角形；2、思维方法背景：转化思想；二．选择母题的目的：动点问题历来是中考的压轴考点；要让学生解决复杂的动点问题，必须让学生在初二就形成动态问题的思考方式，遵循由易到难的原则，故选择这道题作为母题；三、原题已知：如图，△ABC 是等边三角形、点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为边作△ADE ，△ADE 是等边三角形，连接CE ；求证：BD=CE题目分析：从数量上来看，BE 与CE 是应该相等的；证明边相等，可以考虑全等三角形的判定定理来证明△BAD ≌△EAC ，然后利用全等三角形的性质来说明边相等.证明：∵ △ABC 、△ADE 是等边三角形 ∴ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°；又∵∠DAC=∠DAC ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠EAC∴ △BAD ≌△EAC ∴ BD=CE四、拓展与变式变式1：“正三角形”改为等腰三角形，是否△BAD ≌△EAC 成立那么BD 与CE 的结论成立吗？探究BC=DC+CE 是否成立.题目：在△ABC 中，AB=AC,点D 是线段BC 上一点（不与B 、C 重合），AD 为一边作△ADE ，使AD=AE ，∠DAE=∠BAC ，连接CE.求证：BD=CE ，并直接判断结论BC=DC+CE 是否成立；证明： ∵∠DAE=∠BAC∴DAE-DAC BAC-DAC ∠∠=∠∠ 即EAC BAD ∠=∠又∵AB=AC ，AD=AE∴△BAD ≌△EAC∴CE=BD ∵BC=DC+BD ∴BC=DC+CEC AB F DC B F D变式2：将变式1的条件“点D 是线段BC 上一点（不与B 、C 重合）”修改为“点D 在边CB 的延长线上或者在边BC 的延长线上”，是否△BAD ≌△EAC 成立？并探究“BC 、DC 、CE ”的数量关系。

全等三角形及动点问题分析

FED CBA举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．(2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形例2、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．举一反三：【变式】如图，AD是ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求证：∠B与∠AHD互补；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形例3、如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且∠APB=∠ABC．（1）如图1，若∠BAC=60°，点P恰巧在∠ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若∠BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若∠BAC=120°，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段例4、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．例5、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD，求证：BD是∠ABC的平分线．类型二、全等三角形动态型问题例6、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.（1）如图1当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF.（2）将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.举一反三：【变式】【问题情境】如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．【探究展示】（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF．知识梳理三角形全等中的动点问题分析思路：审题:要明白动点问题的关键是什么,一是点的运动路径,也就是点往哪里运动?有多少个点运动?点的运动速度是多少?运动到何时停止?运动情景分析:点运动的过程中会发生哪些变化?线段长的变化和线段长的表示.经过转折点后,图形会发生什么变化?线段长的表示是否发生变化,能否用代数式表示出来等;建立等量关系解答:动点问题到最后都是等量关系建立起来解答,如全等三角形对应边相等的讨论时,建立的就是线段长方程。

全等三角形经典动态几何问题1

1．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD ＋BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD －BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2、如图，已知∠AOB=120°，OM 平分∠AOB ，将等边三角形的一个顶点P 放在射线OM 上，两边分别与OA 、OB （或其所在直线）交于点C 、D ．（1）如图①，当三角形绕点P 旋转到PC ⊥OA 时，证明：PC=PD ．（2）如图②，当三角形绕点P 旋转到PC 与OA 不垂直时，线段PC 和PD 相等吗？请说明理由．（3）如图③，当三角形绕点P 旋转到PC 与OA 所在直线相交的位置时，线段PC 和PD 相等吗？直接写出你的结论，不需证明．C B A ED 图1 N M A B C DE M N 图2 A C B ED N M 图33、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.4、如图(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，求证：AC⊥CE．若将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，结论AC1⊥C2E还成立吗？请说明理由．5、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．6、将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中45°和30°的两个角顶点重合在一起．(1)如图1所示，边OA 与OC 重合，此时，AB ∥CD ，则∠BOD______；(2)三角板△COD 的位置保持不动，将三角板△AOD 绕点O 顺时针方向旋转，如图2，此时OA ∥CD ，求出∠BOD 的大小；(3)在图2中，若将三角板△AOB 绕点O 按顺时针方向继续旋转，在转回到图1的过程中，还存在△AOB 中的一边与CD 平行的情况，请针对其中一种情况，画出图形，并直接写出∠BOD 的大小．图1 图2 图3。

专题05 难点探究专题：全等三角形中的动态问题(解析版)

专题05 难点探究专题：全等三角形中的动态问题考点一利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）考点二利用全等三角形中的动点求线段长问题考点三利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题考点四利用全等三角形中的动点综合问题考点一利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，12cm AB =，6cm AC =．动点E 从A 点出发以3cm /s 的速度沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着 E 点运动而运动，始终保持ED CB =．若点E 的运动时间为(0)t t >，则当 t =________ 个秒时，DEB 与BCA 全等．【答案】2或6或8【解析】【分析】分两种情况：①当E 在线段AB 上时，②当E 在BN 上，再分别分成两种情况AC =BE ，AB =BE 进行计算即可．【详解】解：①当E 在线段AB 上，AC =BE 时，ACB BED ≅AC =6，∴ BE =6，∴ AE =12-6=6，∴ 点 E 的运动时间为632÷= (秒)．②当E 在BN 上，AC =BE 时，ACB BED ≅AC =6，∴ BE =6，∴ AE =12+6=18．∴ 点 E 的运动时间为6318=÷ (秒)．③当E 在BN 上，AB =BE 时，ACB BDE ≅∴ AE =12+12=24.∴点E 的运动时间为8324=÷ (秒)④当E 在线段AB 上，AB =BE 时，ACB BDE ≅这时E 在A 点未动，因此时间为0秒不符合题意．故答案为：2或6或8．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形ABCD 中，6,10AB AD ==延长BC 到点E ，使4CE =，连接DE ，动点F 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点F 的运动时间为t 秒，当t 的值为_______时，ABF 和DCE 全等．【答案】2或11【解析】【分析】分两种情况讨论，根据题意得出BF =2t =4和AF =26-2t =4即可求得答案．【详解】解：∵DCE 为直角三角形，且AB =DC ，∵当ABF ∵DCE 时，有BF =2t =CE =4，解得：t =2；当BAF △∵DCE 时，有AF =CE =4，此时2=10610-2t=26-2t AF BC CD DA t =++-++=4，解得：11t =，故答案为：2或11．【点睛】本题考查全等三角形的判定，注意到DCE为直角三角形，且AB=DC，故只有BF=2t=4和AF=26-2t=4两种情况．2．（2019·江苏·镇江实验学校八年级阶段练习）已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=8cm，∵A=∵B=∵C=∵D=90°．动点P以每秒2cm的速度从点B出发沿线段BC方向运动，动点Q同时以每秒8cm的速度从B点出发沿正方形的边BA-AD-DC-CB方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接P A，当t的值为___________________秒时，P AB和QAD全等．【答案】0.8秒或83．【解析】【分析】分点Q在AB，AD，DC，BC边上这几种情况进行讨论，根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而列出方程求得t的值．【详解】解：①当点Q在边AB上时，如图1，∵AB＝AD，∵ABP＝∵DAQ＝90°，要使P AB和QAD全等，只能是P AB∵QDA，∵BP＝AQ，∵AQ＝8－8t，BP＝2t，∵8－8t＝2t，∵t＝0.8，②当点Q在边AD时，不能构成QAD，③当点Q在边CD上时，如图2，同①的方法得，要使P AB和QAD全等，只能是P AB∵QAD，∵BP＝DQ，∵2t＝8t－16，∵t＝83，④当点Q在边BC时，QAD不是直角三角形，而P AB是直角三角形，所以，不能全等；即：当P AB和QAD全等时，t的值为0.8或83，故答案为：0.8或83．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是分类讨论，用方程的思想解决问题．考点二利用全等三角形中的动点求线段长问题例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∵B=90°AB∵DF，AB=3cm，BD=8cm，点C 是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC∵CE，若AC=CE ,则DE的长为______.【答案】5【解析】【分析】根据全等得出对应边相等，即可得出答案.【详解】解：∵∵B=90°，AB∵DF，∵∵D=∵B=90°，∵AC∵CE，∵∵ACE=90°，∵∵ECD +∵CED =90°，∵ACB +∵ECD =90°，∵∵ACB =∵CED ；∴在∵ABC 和∵CDE 中ACB CED B DAC CE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ∵∵ABC ∵∵CDE （AAS ），∵AB =CD =3cm ，∵DE =BC =8cm -3cm =5cm故答案为5.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．【变式训练】1．（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC 中，点D 在边BC 上，DE ∵AB 于E ，DH ∵AC 于H ，且满足DE =DH ，F 为AE 的中点，G 为直线AC 上一动点，满足DG ＝DF ，若AE =4cm ，则AG = _____cm ．【答案】2或6.【解析】【详解】∵DE ∵AB ，DH ∵AC ，∵∵AED =∵AHE =90°.在△ADE 和△ADH 中，∵AD =AD ,DE =DH , ∵∵ADE ∵∵ADH (HL ),∵AH =AE =4cm .∵F 为AE 的中点，∵AF =EF =2cm .在△FDE 和△GDH 中，∵DF =DG ,DE =DH , ∵∵FDE ∵∵GDH (HL ),∵GH =EF =2cm .当点G 在线段AH 上时，AG =AH -GH =4-2=2cm ;当点G 在线段HC 上时，AG =AH +GH =4+2=6cm ;故AG 的长为2或6.2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，AO∵OM，OA=7，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB 为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度____________．【答案】7 2【解析】【分析】根据题意过点E作EN∵BM，垂足为点N，首先证明∵ABO∵∵BEN，得到BO=ME；进而证明∵BPF∵∵MPE并分析即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作EN∵BM，垂足为点N，∵∵AOB=∵ABE=∵BNE=90°，∵∵ABO+∵BAO=∵ABO+∵NBE=90°，∵∵BAO=∵NBE，∵∵ABE、∵BFO均为等腰直角三角形，∵AB=BE，BF=BO；在∵ABO与∵BEN中，BAO NBE AOB BNE AB BE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，∵∵ABO ∵∵BEN （AAS ），∵BO =NE ，BN =AO ；∵BO =BF ，∵BF =NE ，在∵BPF 与∵NPE 中，FBP ENP FPB EPN BF NE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，∵∵BPF ∵∵NPE （AAS ），∵BP =NP =12BN ，BN =AO ， ∵BP = 12AO = 12×7=72．故答案为：72．【点睛】本题考查三角形内角和定理以及全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形并灵活运用有关定理进行分析．考点三利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题例题：（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt ∵ABC 中，∵ACB =90°，AC =6，BC =8，AB =10，AD 平分∵CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE +EF 的最小值为________．【答案】245【解析】【分析】在AB 上取点F ′，使AF ′=AF ，过点C 作CH ∵AB ，垂足为H ．因为EF +CE =EF ′+EC ，推出当C 、E 、F ′共线，且点F ′与H 重合时，FE +EC 的值最小．【详解】解：如图所示：在AB 上取点F ′，使AF ′=AF ，过点C 作CH ∵AB ，垂足为H ．∵AD 平分∵CAB ，∵∵CAD =∵BAD ，又AE =AE ，∵∵AEF ∵∵AE F ′（SAS ），∵FE =E F ′，∵S △ABC =12AB •CH =12AC •BC ， ∵CH =•245AC BC AB =， ∵EF +CE =EF ′+EC ，∵当C 、E 、F ′共线，且点F ′与H 重合时，FE +EC 的值最小，最小值为245，故答案为：245．【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，明确当C 、E 、F ′共线，且点F ′与点H 重合时，CE +EF 的值最小．【变式训练】1．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在线段AB 两侧作ABC 和ABD △，使AC AB =，ABC ABD ∠=∠，E 为BC 边上一点，满足2EAD BAC ∠=∠，P 为直线AE 上的动点，连接BP 、DP ．已知3AB =， 2.6AD =，BDE 的周长为3.6，则BP DP +的最小值为______．【答案】2.8【解析】【分析】在BC上取CD′=BD，连接AD′，证明∵ACD′∵∵ABD，得到AD′=AD，∵CAD′=∵BAD，从而证明∵AED′∵∵AED，得到D′E=DE，∵AED′=∵AED，过A作AF∵BC，AF与BC交于点F，从而推断出BP+DP=BP+D′P最小值为P 点与E点重合时，BP与D′P共线，BP+D′P=BD′，利用勾股定理求出BD′的长度即可．【详解】解：在BC上取CD′=BD，连接AD′，∵AC=AB，∵∵C=∵ABC，∵∵ABC=∵ABD，∵∵C=∵ABD，又CD′=BD，AC=AB，∵∵ACD′∵∵ABD（SAS），∵AD′=AD，∵CAD′=∵BAD，∵∵DAD′=∵BAC，∵2∵EAD=∵BAC=∵DAD′，∵∵D′AE=∵DAE，又AD′=AD，AE=AE，∵∵AED′∵∵AED（SAS），∵D′E=DE，∵AED′=∵AED，∵D′在直线BD上，过A作AF∵BC，AF与BC交于点F，∵CD′=BD，D′E=DE，∵CD′+D′E+EB=BC=BD+DE+BE=3.6，∵P为AE上的动点，故BP+DP=BP+D′P最小值为P点与E点重合时，BP与D′P共线，BP+D′P=BD′，∵∵ABC中，AB=AC=3，BC=3.6，AF∵BC，AD′=AD=2.6，∵F为BC中点，即CF=BF=12BC=12×3.6=1.8，∵AF 2.4==，∵D′F1，∵BD′=BF+D′F=1.8+1=2.8，∵BP+DP的最小值为2.8，故答案为：2.8．【点睛】本题考查了最短路径问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键正确作出辅助线，利用全等三角形的性质得到相等线段．2．（2019·湖北·武汉大学附属外语学校八年级阶段练习）∵ABC是边长为2的等边三角形，点P为直线BC 上的动点，把线段AP绕A点逆时针旋转60°至AE，O为AB边上一动点，则OE的最小值为____．【解析】【分析】根据题意连接EC，作CH∵AB于H，首先证明CE∵AB，再求出平行线之间的距离即可解决问题．【详解】解：如图，连接EC，作CH∵AB于H．∵∵ABC是等边三角形，∵∵BAC=∵ABC=∵ACB=60°，AB=AC，∵∵P AE=∵BAC=60°，∵∵P AB=∵EAC，∵P A=EQ，BA=CA，∵∵P AB∵∵EAC(SAS)，∵∵ABP=∵ACE，∵∵ABP=180°﹣60°=120°，∵∵ACE=120°，∵∵BCE=120°﹣60°=60°，∵∵ABC=∵BCE，∵CE ∵AB ，∵点E 的运动轨迹是直线CE (CE ∵AB )，∵CB =CA =AB =2，CH ∵AB ，∵BH =AH =1，∵CH=根据垂线段最短，可知OE 的最小值=CH =【点睛】本题考查旋转变换和等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质和垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．考点四利用全等三角形中的动点综合问题例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=．点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合），90,DAE AD AE ∠=︒=，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CD 与CE 之间的数量关系；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，请探究线段,BC CD 与CE 之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D 在边CB 的延长线上，且点A ，E 分别在直线的两侧，其他条件不变，若10,6CD BC ==，直接写出CE 的长度．【答案】(1)CE +CD =BC ，证明见解析(2)CE =BC +CD ，证明见解析(3)CE =4【解析】【分析】（1）根据条件AB =AC ，∵BAC =90°，AD =AE ，∵DAE =90°，判定∵ABD ∵∵ACE （SAS ），即可得出BD 和CE 之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE +CD =BC ；（2）根据已知条件，判定∵ABD ∵∵ACE （SAS ），得出BD =CE ，再根据BD =BC +CD ，即可得到CE =BC +CD ；（3）根据条件判定∵ABD ∵∵ACE （SAS ），得出BD =CE ，即可解决问题．(1)解：如图1，∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAD =∵CAE ，在∵ABD 和∵ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∵∵ABD ∵∵ACE （SAS ），∵BD =CE ，∵BC =BD +CD =CE +CD ，(2)线段BC ，CD 与CE 之间存在的数量关系为BC =CE -CD ．理由：如图2中，由（1）同理可得，∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAC +∵CAD =∵DAE +∵CAD ，即∵BAD =∵CAE ，∵在∵ABD 和∵ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∵∵ABD ∵∵ACE （SAS ），∵BD =CE ，∵BD =BC +CD ，即CE =BC +CD ．(3)如图3，由（1）同理可得， ∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAC -∵BAE =∵DAE -∵BAE ，即∵BAD =∵EAC ，同理，∵ABD ∵∵ACE （SAS ），∵BD =CE ，∵CD =10，BC =6，∵DB =DC -BC =4，∵CE =4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．【变式训练】1．（2021·河南商丘·八年级期中）如图1，ABC 中，50A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 别在边AB 、AC 上，且DE //BC ．(1)求证：BD CE =；(2)围绕A 点旋转ADE ，使其一边AD 落在线段AC 上（如图2所示），连接CE 、BD 并延长相交于M 点．试求BMC ∠的度数．【答案】(1)证明见解析部分．(2)50°．【解析】【分析】（1）利用平行线的性质以及等腰三角形的性质证明∵ADE ＝∵AED ，推出AD ＝AE 即可解决问题．（2）证明△BAD∵∵CAE（SAS），推出∵ABD＝∵ACE，可得∵BAD＝∵CMD＝50°．(1)证明：如图1中，∵AB＝AC，∵∵B＝∵C，∵DE∵BC，∵∵ADE＝∵B，∵AED＝∵C，∵∵ADE＝∵AED，∵AD＝AE，∵AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝EC．(2)解：如图2中，∵AB＝AC，∵BAD＝∵CAE，AD＝AE，∵∵BAD∵∵CAE（SAS），∵∵ABD＝∵ACE，∵∵ADB＝∵CDM，∵∵BMC＝∵BAD＝50°．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC 为边在AB同侧作等边∵ACD和等边∵BCE，连接AE，BD交于点P．(1)观察猜想：1.AE与BD的数量关系为______；2.∵APD的度数为______；(2)数学思考：如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．【答案】(1)①AE＝BD；②60°(2)上述结论成立．∵APD＝60°，证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件只要证明∵DCB∵∵ACE，即可证明出AE于BD的数量关系，以及∵APD的角度；（2）根据∵ACD，∵BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∵DCA＝∵BCE＝60°，进而可知∵DCA＋∵ACB ＝∵ACB＋∵BCE，即∵DCB＝∵ACE，从而可证∵DCB∵∵ACE（SAS），则DB＝AE，∵CDB＝∵CAE，根据∵DCA ＝∵DP A＝60°可证∵APD＝60°．(1)解：∵∵ACD和∵CBE都是等边三角形，∵AC=DC，CE=CB，∵ACD=∵ECB=60°，∵∵ACE=∵ACD+∵DCE，∵DCB=∵DCE＋∵ECB，∵∵DCB=∵ACE，∵∵DCB∵∵ACE，∵AE=BD，∵BDC=∵CAE，又∵∵DOP=∵COA，∵∵APD=∵ACD=60°，故答案是：AE=BD，60°；(2)上述结论成立，∵∵ACD，∵BCE均为等边三角形，∵DC＝AC，BC＝EC，∵DCA＝∵BCE＝60°，∵∵DCA＋∵ACB＝∵ACB＋∵BCE，即∵DCB＝∵ACE，在∵DCB和∵ACE中，DC ACDCB ACE CB CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵DCB∵∵ACE（SAS），∵DB＝AE，∵CDB＝∵CAE，如图，设BD与AC交于点O，易知∵DOC＝∵AOP（对顶角相等），∵∵CDB＋∵DCA＝∵CAE＋∵DP A，∵∵DCA＝∵DP A＝60°，即∵APD＝60°．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．一、选择题1．（2020·广西百色·八年级期末）如图，在长方形ABCD中，4AB=，6AD=，延长BC到点E，使2CE=．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA--方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当ABP△和DCE全等时，t的值是（）A．1B．1或3C．1或7D．3或7【答案】C【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出22BP t==和1622AP t=-=即可求得．【详解】解：因为AB CD=，若90ABP DCE∠=∠=︒，2BP CE==，根据SAS证得ABP DCE∆≅∆，由题意得：22BP t ==，所以1t =，因为AB CD =，若90BAP DCE ∠=∠=︒，2AP CE ==，根据SAS 证得BAP DCE ∆≅∆，由题意得：1622AP t =-=，解得7t =．所以，当t 的值为1或7秒时．ABP ∆和DCE ∆全等．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握判定方法有：ASA ，SAS ，AAS ，SSS ，HL ．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在锐角∵ABC 中，∵BAC =45°，点B 到AC 的距离为2，∵BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是（）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】C【分析】在AC 上截取AE =AN ，连接BE ，由AD 平分∵CAB ，可得∵EAM =∵NAM ，然后根据SAS 可证∵AEM ∵∵ANM ，可得MN =ME ,然后根据BM +MN =BM +ME ≥BE ，可得当BE ∵AC ，即BE 是点B 到AC 的距离时，BM +MN 的值最小，从而求得答案.【详解】解：如图，在AC 上截取AE =AN ，连接BE ，∵AD 平分∵CAB ，∵∵EAM =∵NAM ，在∵AEM 和∵ANM 中， ∵AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵AEM ∵∵ANM (SAS )，∵MN =ME ，∵BM +MN =BM +ME ≥BE ，【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、点到直线的距离，通过构造全等【答案】261⊥AD BC∴BG A//∴∠=GBAAB BG=∴∆≅∆ABF∴=GE BFBF CE CE CG∴+，∴当G、三点共线时，AB AC=BC=12在Rt BCG∆故答案为：【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造三角形全等，将所求【答案】2.5或1在Rt∵ABC中，AB＝10，AC＝6，∵O是AB 的中点，∵OA＝OB，在∵OAP和∵OBQ中，A OBQOA OBAOP BOQ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∵∵OAP∵∵OBQ（ASA），∵P A＝BQ＝6﹣1＝5，OQ＝OP，∵OM∵PQ，∵MQ＝MP，∵52+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝2.5．当点P在AC的延长线上时，同法可得72+x2＝12+（8﹣x）2，解得x＝1，综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1．故答案为：2.5或1．【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．5．（2022·江苏·八年级单元测试）如图, 在ABC中, 90,8cm,10cmACB AC BC∠===．点C在直线l 上, 动点P从A点出发沿A C→的路径向终点C运动; 动点Q从B点出发沿B C A→→路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动, 其中一点到达终点时另一点也停止运动, 分别过点P和Q作PM⊥直线l于,M QN⊥直线l于N．当点P运动时间为___________秒时, PMC与QNC全等．【答案】2或6##6或2【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】解：如图1所示：PMC ∆与QNC ∆全等，PC QC ，8102t t ∴-=-，解得∵2t =；如图2所示：点P 与点Q 重合，PMC 与QNC ∆全等，8210t t ∴-=-，解得∵6t =；故答案为∵1或6．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．三、解答题6．（2022·江西吉安·七年级期末）如图，在长方形ABCD 中，6cm,8cm AB BC ==，动点P 从点B 出发，沿BC 方向以2cm /s 的速度向点C 匀速运动：同时动点Q 从点C 出发，沿CD 方向以2cm /s 的速度向点D 匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时()()0t s t <<3．解答下列问题：(1)当点C 在线段PQ 的垂直平分线上时，求t 的值；(2)是否存在某一时刻t ，使AP PQ ⊥?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由：【答案】(1)2(2)存在某一时刻t ，使AP PQ ⊥，t =1．【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得PC CQ =，列出方程可求解；（2）证出ABP PCQ ASA ≌（），由全等三角形的性质可得AB PC =，列出方程可求t 的值．（1）解：由题意得，2BP CQ t ==，∵82PC BC BP t =-=-，若点C 在线段PQ 的垂直平分线上，∵PC CQ =，即822t t -=，∵2t =；（2）解：存在某一时刻t ，使AP PQ ⊥．∵AP PQ ⊥，90B C ∠=∠=︒，∵90PQC QPC ∠+∠=︒，∵90∠+∠=︒APB QPC ，∵APB PQC ∠=∠．又∵BP CQ =，∵ABP PCQ ASA ≌（），∵AB CP =，∵826t -=，∵1t =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，一元一次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．7．（2021·江苏南通·八年级期中）如图，在∵ABC 中，AB ＝AC ，∵BAC ＝90°，点D 是边BC 上的动点，连接AD ，点C 关于直线AD 的对称点为点E ，射线BE 与射线AD 交于点F ．（1）在图中，依题意补全图形，并求证：∵ABF =∵AEB ；（2）记∵DAC ＝α（α＜45°），求∵AFB 的大小；（3）若AB =BD ，猜想BE 和AD 的数量关系，并证明．【答案】（1）补全图见解析，证明见解析；（2）∵AFB＝45°；（3）AD＝BE，证明见解析【分析】（1）根据垂直平分线的性质求解即可；（2）根据三角形内角和定理计算即可；（3）连接DE，CE，AE，根据题意求得∵CAF＝22．5°，再证明∵BED∵∵ADC（ASA），即可得解；【详解】解：（1）补完图并小结如图所示；连接CE，AE，由题意可知，∵点C关于直线AD的对称点为点E，AF垂直平分CE，∵AC＝AE，∵AB＝AC，∵AB＝AE，∵∵ABF＝∵AEB；（2）如图，由题意可知，∵EAF＝∵CAD＝α，∵∵BAE＝90°﹣2α，在∵ABE中，∵BAE+∵ABF+∵AEB＝180°，∵∵ABF＝∵AEB＝45°+α，∵∵AEB＝∵EAF+∵AFB，∵EAF＝α，∵∵AFB＝45°；（3）结论：AD＝BE；证明：如备用图，连接DE，CE，AE，在∵ABC中，AB＝AC，∵ACB＝∵ABC＝45°，在∵ABD中，AB＝BD，∵BAD＝∵BDA＝67．5°，∵∵CAF＝22．5°，由（2）可知，∵ABE＝∵ABC+∵CBF＝45°+α，∵ABC＝45°，∵∵CBF＝α＝22．5°，∵∵CAF=∵CBF，∵点C关于直线AD的对称点为点E，∵ED＝DC，【点睛】本题主要考查了几何综合变换，结合全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理证明是解题的(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，∵ACP∵BPQ是否全等？PC与PQ是否垂直？请分Rt ABC C 中，出发，沿折线CA -(1)点P 在CA 上运动的过程中，当CP =______时，CPD △与CBD 的面积相等；（直接写出答案）是等腰三角形，求∠CD 所在直线上存在另一动点______．（直接写出答案）与CBD 的面积相等时，证∵PCD 45°，分两种情况：=∵PCD =45∵CPD =∵与CBD 的面积相等，理由如下：45=︒，在PCD 和△CP CB PCD CD CD =∠=∠=与CBD 的面积相等．）得：PCD ∠分两种情况：AC 上，如图若PC PD =，则45PDC PCD ∠=∠=︒，存在DP DC =，'∥，则MP AC八年级）如图，在ABC中，（1）求线段AO的长；∵AD是高，∵CQ＝OP，∵CQ＝OP，。

专题03 全等三角形中的动态问题(解析版)

专题03全等三角形中的动态问题
初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。

解决动点问题常见的答题思路是：
1. 注意分类讨论；
2. 仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；
3. 利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.
【典例解析】
【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______ 秒时，△DEB与△BCA全等．
【答案】0，2，6，8.
【解析】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，
∵AC=4，
∴BE=4，
∴AE=8−4=4，
∴点E的运动时间为4÷2=2(秒)；
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难点探究专题：全等三角形中的动态问题

难点探究专题：全等三角形中的动态问题◆类型一全等三角形中的动点问题1．如图，在△MAB中，MA＝MB，过M点作直线MN交AB于N点．P是直线MN 上的一个动点，在点P移动的过程中，若NA＝NB，则∠PAM与∠PBM是否相等？说明理由．2．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为________；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)；(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二全等三角形中的动图问题3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，连接AD ，BE.(1)如果点B ，C ，D 在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD ＝BE ；(2)如果△ABC 绕C 点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理由．◆类型三全等三角形中的翻折问题4．如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB.试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并说明理由．参考答案与解析1．解：∠P AM ＝∠PBM .理由如下：∵NA ＝NB ，MA ＝MB ，MN 是公共边，∴△AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠MAN ＝∠MBN ，∠MNA ＝∠MNB .又∵NA ＝NB ，PN 是公共边，∴△P AN ≌△PBN (SAS)，∴∠P AN ＝∠PBN .∴∠P AM ＝∠PBM .2．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .3．解：(1)∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝DE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∵点B ，C ，D 在同一条直线上，∴∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝120°.在△ACD与△BCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)．∴AD ＝BE .(2)成立．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD .又∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE .4．解：DE ＋BF ＝EF .理由如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如图所示．∵将Rt △ABC沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠2＋∠3＝∠1＋∠4，∴∠ABG ＝90°＝ADE .∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .在△AGB 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE .在△AGF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .。

全等三角形动态问题

全等三角形动态问题全等三角形动态问题一：什么是全等三角形？•解释：全等三角形是指两个三角形的对应边长和对应角度都相等的情况下，它们是全等的。

问题二：全等三角形的性质有哪些？•解释：全等三角形具有以下性质：1.对应边长相等：如果两个三角形的对应边长相等，那么它们是全等的。

2.对应角度相等：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是全等的。

3.对边角的对应关系：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，那么它们是全等的。

4.SSA 判定条件：如果两个三角形的两对对应边和一对夹角相等，那么它们可能全等或无解。

5.SSS 判定条件：如果两个三角形的三对对应边相等，那么它们是全等的。

问题三：如何判断两个三角形是否全等？•解释：判断两个三角形是否全等可以使用以下方法：1.SSS 判定条件：如果两个三角形的三对对应边相等，那么它们是全等的。

2.SAS 判定条件：如果两个三角形的一对对应边和夹角相等，那么它们是全等的。

3.ASA 判定条件：如果两个三角形的两对对应角度和一对对应边相等，那么它们是全等的。

4.AAS 判定条件：如果两个三角形的两对对应角度和一对对边相等，那么它们是全等的。

5.RHS 判定条件：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角相等，那么它们是全等的。

问题四：全等三角形的应用有哪些？•解释：全等三角形具有以下应用：1.几何证明：全等三角形的性质可以用于几何证明中，帮助推导出其他几何定理和性质。

2.三角测量：通过判定两个三角形是否全等，可以进行相关角度和边长的测量，用于解决实际问题。

3.相似三角形的推导：全等三角形的性质也可以用于推导相似三角形的性质和定理。

以上是关于全等三角形动态的一些问题及解释。

全等三角形是几何学中的重要概念，掌握其性质和应用可以帮助我们更好地理解和运用几何学知识。

问题五：如何构造一个全等三角形？•解释：构造一个全等三角形可以使用以下方法：1.SSS 构造法：根据给定的三个边长，可以使用直尺和量角器来构造一个全等的三角形。

全等三角形中的动态问题

全等三角形中的动态问题在学习全等三角形的时候，大家总是皱眉头，眼神恍惚，好像在解一道超级难的题。

三角形这个东西，真没那么复杂。

想象一下，三个小三角形在操场上聚会，嬉戏打闹，大家都挺亲密，根本不分你我。

全等三角形就像是这些小伙伴，它们的边长和角度一模一样，简直就是同一个模子里刻出来的。

听起来是不是很简单呢？你要知道，这个可不是说说而已，真正的乐趣在于如何运用它们。

想想，我们日常生活中也常常用到全等三角形。

比如说，拼图游戏。

拼图就是把不同形状的块组合成一个完整的图案。

你那块拼图，不管怎么换，最终都会和那些相同的块契合。

全等三角形就是这样的存在，它们在某种程度上能让我们快速解决问题，像魔法一样。

我们在设计房屋时，也会用到这些小三角形。

像屋顶的结构，有时候全等三角形的存在，能让我们的设计更加稳固。

这就像是搭积木，底部要稳，才能往上堆得高高的，三角形就给了我们这种力量。

说到三角形，就不得不提到那条著名的“毕达哥拉斯定理”，真是让人又爱又恨的家伙。

它说的是直角三角形的边长关系，有点像调皮的孩子，时不时就跑出来捣蛋。

不过，等你搞懂了，就会发现这玩意儿在全等三角形中简直是个无价之宝。

比如，你在设计一座桥的时候，桥的稳定性就是靠三角形的特性来保证的。

就像高空走钢丝的杂技演员，必须得有坚固的基础，才能一步一步走得稳稳当当。

全等三角形还常常出现在各种比赛中，像篮球赛、足球赛之类的，队员们都是通过精准的配合来获得胜利。

三角形的特性让他们能找到最佳的位置和角度，简直就像是在打游戏，得找准时机出手。

想象一下，一个队员在三角形的顶点，他的传球角度和距离就能让队友更容易得分。

哎呀，这样一想，数学和运动还真是个完美的组合呢。

再说说建筑设计，很多建筑师就是喜欢用全等三角形来增加美感和稳定性。

有时候你会发现，建筑物的外观就像一个个拼在一起的三角形，给人一种和谐又稳定的感觉。

这个设计就像是为建筑加了一层保护壳，让它不轻易倒下。

想象一下，那些高耸入云的摩天大楼，若没有三角形的帮忙，恐怕早就摇摇欲坠了。

(word完整版)七年级下册数学三角形全等动点问题

初一数学全等三角形之动点问题专题（B类）一、考点、热点回顾动点型问题是近年来中考的一个热点问题。

动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。

动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。

《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。

本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。

对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。

本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。

二、典型例题1、单动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动. 设点P 的运动时间为（s ），那么t=____时，△PBC 是直角三角形？2、双动点问题引例：已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿BC 向点C 运动，如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），那么t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?巩固练习，拓展思维已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形. 动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.设运动时间为t （s ），那么当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?BCPA CQBPA QDBCPAA变式练习：1、已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形.动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 设运动时间为t （s ），连接PC. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和△QCD 的面积是否相等？变式练习：2、已知等边三角形△ABC ，（1）动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向点C 运动，连接CP 、AQ 交于M ，如果动点P 、Q 都以相同的速度同时出发，则∠AMP=___度。

全等三角形动态问题

全等三角形动态问题在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的知识点，而其中的动态问题更是让许多同学感到头疼。

今天，咱们就来好好探讨一下全等三角形的动态问题，争取把这个难题给攻克了。

首先，咱们得明白啥是全等三角形的动态问题。

简单来说，就是在一个几何图形中，三角形的某些顶点或者边在按照一定的规律运动，然后让我们去研究在这个运动过程中三角形全等的情况。

比如说，有一个三角形 ABC，其中点 A 沿着一条直线匀速移动，然后问在移动过程中，是否存在某个时刻，使得三角形 ABC 和另一个给定的三角形 A'B'C'全等。

解决这类问题，关键在于抓住全等三角形的判定条件。

咱们都知道，全等三角形的判定条件有“SSS”（三边对应相等）、“SAS”（两边及其夹角对应相等）、“ASA”（两角及其夹边对应相等）、“AAS”（两角及其中一角的对边对应相等）和“HL”（直角三角形的斜边和一条直角边对应相等）。

那在动态问题中，怎么运用这些判定条件呢？这就需要我们仔细观察图形的运动过程，找出那些不变的量和变化的量。

举个例子，假设在一个矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，以 BE 为斜边作一个直角三角形 BEF，其中∠F ＝ 90°，BF ＝ EF。

当点 E 从 A 点运动到 D 点时，问三角形 BEF 和哪个三角形全等。

咱们来分析一下，在这个过程中，因为 BF ＝ EF，所以这是一个等腰直角三角形。

而矩形的对边是相等的，所以 AB ＝ DC。

如果我们连接 CE，那么就会发现三角形 BAE 和三角形 DCE 有可能全等。

当点 E 运动到使得 BE ＝ CE 时，因为 AB ＝ DC，AE ＝ DE（矩形对边相等，E 是 AD 中点），根据“SSS”判定条件，就可以得出三角形 BAE ≌三角形 DCE。

再来看一个例子，在三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ BC，D 是AB 边上的一点，E 是 BC 边上的一个动点，连接 DE，将三角形 BDE沿着 DE 翻折，得到三角形 B'DE。

全等三角形中的动态问题

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