大学画法几何10标高投影
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画法几何工程制图道路与桥梁制图课件第三章标高投影
•b5 •5
•R=6
•4
•3
•a2
•2
画法几何工程制图道路与桥梁制图课 件第三章标高投影
•道路桥梁制图部分
•3.两平面的相对位置
•(1）两平面平行 • 若两平面平行，则它们的坡度比例尺平行，平距相等。而且标 •高数字的增减方向一致。
•11 •10
•Pi
•9
•8 •7
•12 •11
•Qi
•Pi
•6
•10
画法几何工程制图道路与桥梁制图课 件第三章标高投影
•道路桥梁制图部分
•直线的标高投影
•（2）在标高投影中整数标高点的求法：
•B
•A
•a4.5 •5
•b7.8
•7 •6
•0 •1 •2 •3
•平行直线的水平投影作平行 线，间距相等，令最下一条 •直线高为4个单位；
•根据A、B两点的标高，定 出 ••与A、各B平点行，线连的线交；点，即为整 •数标高点；
•2/3 •3/2 •－3 •1/3
•2/3
•0
•5
•解： •1.求出四个坡面的水平距离；
•L1＝3x2/3=2 L2=3x3/1=9 •L3=3x3/2=4.5
•2.作图
•L3
•L1 •－3
•L2
•L3
画法几何工程制图道路与桥梁制图课 件第三章标高投影
•道路桥梁制图部分
•[例题3-4] 已知一段路堤的堤顶ABCD,高度由零升到3单位，假设地面是标高为零
•求出平距：
•5
•l=1/i=3 (平距为坡度的倒数）
•5
•i=1:3
•0
•5
•5 •4
•3
画法几何工程制图道路与桥梁制图课 件第三章标高投影
画法几何与工程制图教学大纲
《画法几何与工程制图》课程教学大纲课程名称：画法几何与工程制图课程代码：课程类型:专业必修课学分：3 总学时：64 理论学时：32 实验学时：32 先修课程：无适用专业:工程管理一、课程性质、目的和任务画法几何与工程制图是工程管理专业的必修课程。
学习画法几何与工程制图课程的目的是培养学生绘制和阅读建筑工程图的基本能力，是通过画法几何及制图理论的学习和建筑工程制图实训的实践，培养正确使用绘图仪器和徒手作图能力，熟悉建筑制图国家标准的规定，掌握并应用各种图示方法来表达和阅读建筑工程图，本课程的主要任务是：通过让学生掌握制图及投影的基本知识，掌握建筑图样的画法，培养专业识图的基本能力，培养空间想象能力和空间表达能力，培养学生认真负责的工作态度和严谨细致的工作作风，为学习计算机绘图及后续专业课程打下良好的基础。
二、教学基本要求1、知识、能力、素质的基本要求：（1）明确本课程的地位、性质、任务和学习方法。
（2）培养用仪器绘图、徒手绘图的基本技能。
（3）学习用正投影法表达空间几何形体的基本原理和方法。
（4）培养绘制与阅读投影图的能力。
（5）培养适度与绘制建筑施工图、结构施工图、钢筋混凝土构件图等施工图的基本能力。
2、教学模式基本要求本课程采用理论教学和实验教学交叉进行的教学方式，授课方式为多媒体教学，精心设计课堂教学环节，如讲授、练习、制图、讨论等多种实践活动。
实践课以学生动手画图、识图为主，在掌握基本理论基础上增加制图、识图的能力，注意教与学之间的信息沟通与反馈。
三、教学内容及要求1 绪论教学内容：1.1 画法几何及土木工程制图课程概述1.2 投影的基本知识1.3 画法几何及土木工程制图的发展史和发展方向教学要求：（1）了解画法几何与土木工程制图的课程性质及画法几何及土木工程制图的发展史和发展方向；（2）掌握投影的基本知识。
2 画法几何教学内容：2.1 点2.1.1 点在三面体系第一角中的投影与该点的直角坐标关系2.1.2 点在两面体系第一角中的投影2.1.3 两点的相对位置2.2 直线2.2.1 直线的投影以及直线对投影面的各种相对位置2.2.2 直线上的点的投影特性2.2.3 求直线的真长及其对投影面的倾角2.2.4 两直线的相对位置2.2.5 两直线垂直2.3 平面2.3.1 平面的表示法2.3.2 平面对投影面的各种相对位置2.3.3 平面上的点、直线和图形2.4 直线与平面以及两平面的相对位置2.4.1 直线与平面以及两平面平行2.4.2 直线与平面以及两平面相交2.4.3 直线与平面以及两平面垂直2.4.4 点、直线、平面的综合作图题示例2.5 投影变换2.5.1 投影变换的目的和方法2.5.2 换面法以及用换面法解定位及度量问题示例2.5.3 以投影面垂直线为轴的旋转法简介2.6 曲线、曲面和立体2.6.1 平面立体及其表面上的线和点2.6.2 平面曲线和空间曲线2.6.3 曲面、曲面立体及其表面上的线和点2.6.4 圆柱螺旋线和平螺旋面2.7 平面、直线与立体相交2.7.1 平面与平面立体相交2.7.2 直线与平面立体相交2.7.3 平面与曲面立体相交2.7.4 直线与曲面立体相交2.8 两立体相交2.8.1 两平面立体相交2.8.2 平面立体与曲面立体相交2.8.3 两曲面立体相交2.9 轴测投影2.9.1 轴测投影的基本知识2.9.2 正等测的画法2.9.3 斜等测和斜二测的画法2.9.4 轴测投影的选择2.10 标高投影2.10.1 点和直线2.10.2 平面2.10.3 曲线、曲面和地面2.10.4 应用示例教学要求：（1）掌握点、直线、平面、曲面、立体等的投影的基本原理及其作图方法。
标高投影
a3 b2
0 1
1:4
a3
2
3m
例1：已知直线AB的标高投影，求该直线的坡度、平
距及线上整数高程点 。
b10.5
b10.5 g9 h10
b10.5
a4.5
0 2 4
a4.5
6m
a4.5
c5
d6
e7
f8
解：
（1）求坡度和平距 根据绘图比例尺量得A、B两点水平距离LAB 为12m，则 直线的坡度为
H AB 10.5 4.5 1 i L AB 12 2
第十章、标高投影
工程建筑物是建在地面上或地面下的，与地面产 生交线。而地形面往往是不规则的复杂曲面，很难用 正投影的方法表达清楚，标高投影则能够很好地解决 这个问题。标高投影法是在水平投影上标注高度数字 表达空间形体的图示方法，由此得到的单面正投影图 称为标高投影图。
标高投影的单位以米计， 是单面正投影，标高 是以某海平面为基准面的，为绝对标高，有些时候采 用相对标高,已选定的水平面为基准面。
（2）求开挖线。可先求开挖线上一系列点。
21 20 19 18
18.00
18 19 20 21 22
18
19
20
21 22 22
21
20
19 18
18
19
20
21 22 22
21
20
19 18
0 2 4 6 8m
0 2 4 6 8m
例2：已知地形面的标高投影，要在地面上修建一高程
21m的平台，挖方坡度为1：1.5，填方坡度为1：2，求 平台各坡面与地面的交线和坡面交线。
例1：在高程为1m的地面上修建一圆形平台，平台顶
画法几何工程制图道路与桥梁制图课件第三章标高投影.pptx
§3-1 点、直线和平面的标高投影
标高投影：在水平投影图上加注物体上某些特殊点、线、
平面的高程。即在物体的水平投影上以数字标注出各点 的高度。
一、点的标高投影
A
a6 c0 a6
b-3
用标高投影表示
012 3
co b-3 0 1 2 3
B
二、直线的标高投影
1、直线的表示法
三种常见的表示法
等高线
b9
1/1 d0 c0
1/1
0
a3 3/2
b3 d0
5
c0
L1
1
2 a3
L3
1
2 b3
L2
解：1.求出三个坡面的水平距离L1、L2、L3; L1＝L2=3x1/1=3 L3=3x2/3=2
2.作出三个坡面的等高线； 3.求出地面与坡面及坡面与坡面的交线。
§3-2 曲面的标高投影
一、曲面的表示法
在标高投影中，表示曲面就是用一系列的水平面与曲面相截，画 出这些平面与曲面的交线的标高投影。
５ ４
３ ２ １
０
【例题3-5】一弯曲倾斜道路与干线相连，干道顶面标高为＋4，设 地面标高为零，
三、地 形 面
由于地面是不规则的曲面，因此必须用标高投影来表示它。即用等 高线来表示。其等高线是不规则曲线，有如下特性： （1）等高线一般是封闭曲线； （2）除悬崖绝壁的地方外，等高线不相交； （3）等高线越密表明地势越陡，反之越陡。
5
等高线
4P
②互相平行； ③平距相等。
3
地面线标高+0
2
平距
5
1
4 3 21
0
0
坡度比例尺
（最大坡度线的水平投影）
第十一章 标高投影画法几何及土木工程制图
何问题，所以像填挖边坡的交线、坡脚等问题也常用标高投影来求 解。
第十一章 标高投影
4
§11-1 点和直线的标高投影
标高投影的基准面是水平面，但在必要时增加铅垂面作为 辅助投影面，就能把单面投影转化为多面正投影。为了作图的 需要，标高投影图上应画出比例尺或指明绘图比例。
标高投影法不限于在土建工程中使用，在机械工程中像飞 机、船舶、汽车等产品的外壳，也常用类似的方法表示，但基 准面不一定是水平面。
27
§11-3 曲面的标高投影
二、同坡曲面的标高投影
同坡曲面可以看作是锥轴始终垂直于水平面而锥顶沿着空间曲线L运动 的直圆锥的包络曲面。同坡曲面是直纹面，它与圆锥面的切线为同坡曲面上 的坡度线，其坡度等于锥顶半角的余切。用水平面截割同坡曲面及圆锥面， 所得的交线相切，即同坡曲面上的等高线与圆锥面上的同高程的等高线相 切。
第十一章 标高投影
8
§11-1 点和直线的标高投影
例11-1 已知直线AB 的标高投影a9b5 和直线上点C 到点 A 的水平距离L=4m，试求直线AB 的坡度i、平距l 和点C 的高程。
解： 使用图中的比例尺量得点a9和点b5之间的距离为10 m,
于是可求得直线的坡度为：
i = H/L =(9-5)/10 = 2/5
面间的交线。（点 击鼠标看作图）
第十一章 标高投影
21
§11-2 平面的标高投影
最后，以点a6 为圆心，以LAB=6:1/3=18 m 为半径作圆弧， 与坡面上高程为0 的等高线交于b0，a6b0 即为所求的坡面上的一 条坡度i=1:3 的倾斜直线。
边坡面上常画出示坡线，示坡线是一组长短相间、垂直于 等高线的细实线，从高程值大的一侧画向小的一侧。
第十一章 标高投影
4
§11-1 点和直线的标高投影
标高投影的基准面是水平面，但在必要时增加铅垂面作为 辅助投影面，就能把单面投影转化为多面正投影。为了作图的 需要，标高投影图上应画出比例尺或指明绘图比例。
标高投影法不限于在土建工程中使用，在机械工程中像飞 机、船舶、汽车等产品的外壳，也常用类似的方法表示，但基 准面不一定是水平面。
27
§11-3 曲面的标高投影
二、同坡曲面的标高投影
同坡曲面可以看作是锥轴始终垂直于水平面而锥顶沿着空间曲线L运动 的直圆锥的包络曲面。同坡曲面是直纹面，它与圆锥面的切线为同坡曲面上 的坡度线，其坡度等于锥顶半角的余切。用水平面截割同坡曲面及圆锥面， 所得的交线相切，即同坡曲面上的等高线与圆锥面上的同高程的等高线相 切。
第十一章 标高投影
8
§11-1 点和直线的标高投影
例11-1 已知直线AB 的标高投影a9b5 和直线上点C 到点 A 的水平距离L=4m，试求直线AB 的坡度i、平距l 和点C 的高程。
解： 使用图中的比例尺量得点a9和点b5之间的距离为10 m,
于是可求得直线的坡度为：
i = H/L =(9-5)/10 = 2/5
面间的交线。（点 击鼠标看作图）
第十一章 标高投影
21
§11-2 平面的标高投影
最后，以点a6 为圆心，以LAB=6:1/3=18 m 为半径作圆弧， 与坡面上高程为0 的等高线交于b0，a6b0 即为所求的坡面上的一 条坡度i=1:3 的倾斜直线。
边坡面上常画出示坡线，示坡线是一组长短相间、垂直于 等高线的细实线，从高程值大的一侧画向小的一侧。
第七章 标高投影(2010)
－3
2:3
后，连接相邻坡面上同高程等
高线的两个交点，即得四条坡 面交线。
解题步骤：
1、求开挖线； 2、求坡面交线； 3、画出各坡面的示坡线。
3:2
2:3
－3
1:3
2:3
例2：在高程为零的地面修一平台，台顶高程4m，有一斜坡
引道通到平台顶面，平台的坡面与引道两侧的坡面坡度均 为1：1，画出坡脚线和坡面交线。
以两点间的高度距离差为一直角 边，水平投影为另一直角边。
例：求下图中所示直线的坡度和平距，并求点C 的标高
HAB=24.3-12.3=12 LAB=36（用比例尺量） i=12/36=1/3 l=3 C 19.3 b12.3 LAC=15（用比例尺量） HAC=1/3×15＝5 C点的标高为： 24.3-5＝19.3 α24.3
4.00
0
5
二、建筑物与地形面的交线
求交线的原理：
1、地面一般是起伏不平的曲面。建筑物与地面相交时，交 线是不规则的曲线，必须求出曲线上一系列共有点以后才能连 线。 2、作图时，先根据地形等高线的高差，在建筑物坡面上作 一系列等高线。 3、则建筑物坡面上的等高线与同高程地形等高线的交点， 就是交线上的共有点。
6 5 4 3 2 1
相邻等高线之间的 距离为平距，最大坡度 线的倾角为平面倾角。 b6
解题步骤
1
5 4 3 2
l
a
a1
0 1
c2
2 3
4 5
1、连接a1、b6、c2， 任取两边，求出各边 的整数标高点。 2、分别连接相同整数 标高点，得等高线。 3、作平面的最大坡度 线，求平距及倾角。
根据标高投影求平面交线
平面的表达法
画法几何与水利工程制图09--标高投影
10.1 概述10.2 点、直线、平面10.3 曲面和地形面10.4 标高投影在工程中的应用10.1 概述•标高投影—表达地面与复杂曲面，解决交线求法。
•水平投影加注高度数字表示空间形体。
•属于单面正投影。
•标高投影中，基准面为水平面，水利工程中常用标准海平面。
高程单位为米（m），一般无须标注。
图中必须画出比例尺或注明比例。
•一点•H面投影注高程。
H面上为正，下为负。
•二直线• 1 直线的坡度和平距•坡度i=直线上两点的高差（H）/水平距离（L）•平距l=直线上两点的高差为1个单位时的水平距离=L/H=1/I •坡度与平距互为倒数。
• 2 直线的标高投影•（1）用直线上两点的标高投影表示。
•（2）用直线上一点的标高投影和直线方向（坡度和下坡箭头）表示。
• 3 直线上的点•例1 在已知直线上定已知高程的点。
•例2 求直线上已知点的高程。
•求出坡度i=0.5，得点C高程=4m。
•三平面• 1 平面上的等高线和坡度线•等高线—平面上的水平线。
•一组等高线互相平行；同一等高线上点的高程相等；高差相同时水平距离相等；高差为1时水平距离为平距l。
•坡度线—平面上与等高线垂直的直线。
•坡度线和等高线的投影垂直；坡度线的α角即平面的α角，坡度即平面的坡度。
• 2 平面的标高投影•（1）用平面上的一条等高线和一条坡度线表示。
•（2）用平面上的一条任意直线和一条大致坡度线表示（虚线箭头指向大致下坡方向）。
•标高投影图中的倾斜平面常画出示坡线。
用长短相间直线段表示，画在高的一侧，与等高线垂直。
• 3 作平面上的等高线•例3 作0m等高线。
•例4 作0m等高线。
• 4 两平面的交线•标高投影中，两个面的交线即两个面上相同高程等高线交点的连线。
•坡面交线—相邻坡面的交线。
•坡脚线—填方坡面与地面的交线。
•开挖线—挖方坡面与地面的交线。
•例5 求开挖线和坡面交线。
•例6 求坡脚线和坡面交线。
•一正圆锥面•轴线为铅垂线时的标高投影用同心圆（等高线）表示。
画法几何与土木建筑制图 第13章 标高投影
（2）按比例尺量得L=36，经计算得 Ｈ=26.4-12=14.4
则 i I 14.4 2 L 36 5
或 l 2.5
（3）然后按比例量得ac间的距离
为15，则根据
I 2 15=6
5
（4）于是，点C的标高应为 26.4-6=20.4
[续例]试求下图所示直线上点C的高程。
方法二：作图求解
b13.0
本章内容
13-1 标高投影的概念 13-2 点和直线的标高投影 13-3 平面的标高投影 13-4 曲面的标高投影 13-5 平面、曲面与地形面的交线
13.1 标高投影的概念
标高投影法： 仅用水平投影 再加注高度数 值来表示空间 形体的方法。
标高投影图： 用标高投影法 表示的单面正 投影图称为标 高投影图。
图8-1 点的标高投影
二.直线的标高投影
1.直线的表示法 (1)直线由它的水平投影及线上任意两点的标高投影 来表示。
BC
E F
A
D e3
a2
b5 c5 d2
f3
H
-1 0 1 2
a2
e3
c5 d2
b5
f3
-1 0 1 2
a)立体图a)
b)b投) 影图
(2)用标注方向和坡度的直线及线上一点的标高投影来 表示，如下图示：
立体图分析
b6
b6
6
5
P
B6
H=4
4
R=8
3
a2
a2 -1 0 1 2
2 a2
b6
K
H
例：已知一平面△ABC，如下图所示，其标高投影为
△a0b3.3c6.6，试求平面上等高线，最大坡度线，平面对基准面的 倾角α。
则 i I 14.4 2 L 36 5
或 l 2.5
（3）然后按比例量得ac间的距离
为15，则根据
I 2 15=6
5
（4）于是，点C的标高应为 26.4-6=20.4
[续例]试求下图所示直线上点C的高程。
方法二：作图求解
b13.0
本章内容
13-1 标高投影的概念 13-2 点和直线的标高投影 13-3 平面的标高投影 13-4 曲面的标高投影 13-5 平面、曲面与地形面的交线
13.1 标高投影的概念
标高投影法： 仅用水平投影 再加注高度数 值来表示空间 形体的方法。
标高投影图： 用标高投影法 表示的单面正 投影图称为标 高投影图。
图8-1 点的标高投影
二.直线的标高投影
1.直线的表示法 (1)直线由它的水平投影及线上任意两点的标高投影 来表示。
BC
E F
A
D e3
a2
b5 c5 d2
f3
H
-1 0 1 2
a2
e3
c5 d2
b5
f3
-1 0 1 2
a)立体图a)
b)b投) 影图
(2)用标注方向和坡度的直线及线上一点的标高投影来 表示，如下图示：
立体图分析
b6
b6
6
5
P
B6
H=4
4
R=8
3
a2
a2 -1 0 1 2
2 a2
b6
K
H
例：已知一平面△ABC，如下图所示，其标高投影为
△a0b3.3c6.6，试求平面上等高线，最大坡度线，平面对基准面的 倾角α。
画法几何工程制图道路与桥梁制图课件第三章标高投影
•B •高度差H •实长
•注：i＝
•高度差H •水平投影长L
•＝tgα
•A •α
•a4
•水平投影长
•b6.5• L
•0•1 •2 •3
•当两点间的高度差为1个单位（m)时两点间的水平距离称为平距， •用l表示。
•l =
•1 •i
•（平距与坡度互为倒数）
•
•道路桥梁制图部分
•例题3－1：求直线的坡度与平距，并求直线上C点的标高。
•2
•1 •0
•垂直坡度比例尺按刻度画 平行线同第一种
•0 •1 •2 •3
•
•道路桥梁制图部分
•平面的表示法
•（3）用一条等高线（或平面迹线）和平面的坡度表示平面 •平面迹线：平面与地面的交线。 •平面的坡度:坡度方向与等高线垂直。
•求出平距：
•5
•l=1/i=3 (平距为坡度的倒数）
•5
•i=1:3
•11 •10
•Pi
•9
•8 •7
•12 •11
•Qi
•Pi
•6
•10
•5
•9
•4
•8
•3
•7
•2
•6
•0
•5
•P •Q •H10
•H6
•(2）两平面相交 • 其交线是两平面高度相同的等高线交点的连线。
•
•道路桥梁制图部分
•[例题3-3]已知坑底的标高为－3，以及坑底的大小和各侧面斜坡的坡度。
•假设地面是一个标高为0的平面，试作出此坑的剖面图。
•0
•5
•5 •4
•3
•
•平面的表示法
•道路桥梁制图部分
•（4）用一条非等高线和平面的坡度表示平面
•注：i＝
•高度差H •水平投影长L
•＝tgα
•A •α
•a4
•水平投影长
•b6.5• L
•0•1 •2 •3
•当两点间的高度差为1个单位（m)时两点间的水平距离称为平距， •用l表示。
•l =
•1 •i
•（平距与坡度互为倒数）
•
•道路桥梁制图部分
•例题3－1：求直线的坡度与平距，并求直线上C点的标高。
•2
•1 •0
•垂直坡度比例尺按刻度画 平行线同第一种
•0 •1 •2 •3
•
•道路桥梁制图部分
•平面的表示法
•（3）用一条等高线（或平面迹线）和平面的坡度表示平面 •平面迹线：平面与地面的交线。 •平面的坡度:坡度方向与等高线垂直。
•求出平距：
•5
•l=1/i=3 (平距为坡度的倒数）
•5
•i=1:3
•11 •10
•Pi
•9
•8 •7
•12 •11
•Qi
•Pi
•6
•10
•5
•9
•4
•8
•3
•7
•2
•6
•0
•5
•P •Q •H10
•H6
•(2）两平面相交 • 其交线是两平面高度相同的等高线交点的连线。
•
•道路桥梁制图部分
•[例题3-3]已知坑底的标高为－3，以及坑底的大小和各侧面斜坡的坡度。
•假设地面是一个标高为0的平面，试作出此坑的剖面图。
•0
•5
•5 •4
•3
•
•平面的表示法
•道路桥梁制图部分
•（4）用一条非等高线和平面的坡度表示平面
标高投影详解
们在高程为零的水平基准
面H上的正投影a、b、c，
并在它们的投影符号字母 的右下角加注各点距离水
平基准面H的高程数字4、0、
-2，这些标注的高程数字称
为点A、B、C的标高，于
是就得到了这三个点的标 高投影。这三个点的标高 投影，也称为它们的标高 投影图，如图2.226b所示。
标高投影详解
(a)立体图
(b)标高投影 图2.226点的标高投影
2021/1/31
Wang cheng第ga2n章g 画法几何
2.10 标高投影
1
2.10 标 高 投 影
2.10.1 点和直线 2.10.2 2.10.3 曲线、曲面和地面 2.10.4
标高投影详解
2021/1/31
Wang cheng第ga2n章g 画法几何
2.10 标高投影
2
《技术制图 投影法》GB/T 14692—1993规定：标高投影中
面，并作出这个平面上的坡度线的准确的下降方向，以及平面
上的高程为3m至7m的诸等高线。
［解］
L=0.5x6 =3m
(a)已知条件
(b)作图原理
（c）作图过程和作图结果
图2.236 作通过a8b2、坡度为1∶0.5和已知大致下降方向的平面， 准确的下降方向，以及平面上的高程为3m至7m的等高线
标高投影详解
24
(2)同坡曲面
(a)已知条件
(b)作图原理和作图方法
（c）作图过程 图2.245
标高投影详解
（d）作图结果
2021/1/31
Wang cheng第ga2n章g 画法几何
2.10 标高投影
25
[例题2.78］如图2.246a所示，设地面是标高为16的水平面，有 一条弯曲的斜引道与顶面标高为20的平台相连，所有填筑坡面 的坡度都是1∶1，求作坡面与地面以及坡面与坡面的交线。
面H上的正投影a、b、c，
并在它们的投影符号字母 的右下角加注各点距离水
平基准面H的高程数字4、0、
-2，这些标注的高程数字称
为点A、B、C的标高，于
是就得到了这三个点的标 高投影。这三个点的标高 投影，也称为它们的标高 投影图，如图2.226b所示。
标高投影详解
(a)立体图
(b)标高投影 图2.226点的标高投影
2021/1/31
Wang cheng第ga2n章g 画法几何
2.10 标高投影
1
2.10 标 高 投 影
2.10.1 点和直线 2.10.2 2.10.3 曲线、曲面和地面 2.10.4
标高投影详解
2021/1/31
Wang cheng第ga2n章g 画法几何
2.10 标高投影
2
《技术制图 投影法》GB/T 14692—1993规定：标高投影中
面，并作出这个平面上的坡度线的准确的下降方向，以及平面
上的高程为3m至7m的诸等高线。
［解］
L=0.5x6 =3m
(a)已知条件
(b)作图原理
（c）作图过程和作图结果
图2.236 作通过a8b2、坡度为1∶0.5和已知大致下降方向的平面， 准确的下降方向，以及平面上的高程为3m至7m的等高线
标高投影详解
24
(2)同坡曲面
(a)已知条件
(b)作图原理和作图方法
（c）作图过程 图2.245
标高投影详解
（d）作图结果
2021/1/31
Wang cheng第ga2n章g 画法几何
2.10 标高投影
25
[例题2.78］如图2.246a所示，设地面是标高为16的水平面，有 一条弯曲的斜引道与顶面标高为20的平台相连，所有填筑坡面 的坡度都是1∶1，求作坡面与地面以及坡面与坡面的交线。
第10章农水画法几何标高投影
第二节 曲面的标高投影
一. 正圆锥面的标高投影 如果正圆锥面的轴线垂直于水平面，锥面上所有素面的
坡度都相同。 具有以下性质： ①等高线都是同心圆。②等高线间水平距离相等.
第十章 标高投影
例 在土坝与河岸连接处，用锥面加大坝头，如图所示， 河底标高为118m，求坡脚线及各坡面间的交线.
第十章 标高投影
第十章 标高投影
第一节 直线、平面的标高 第二节 曲面的标高投影 第三节 土石方工程的交线
主讲人：
第十章 标高投影
概
述
工程建筑物总是和地面联系在一起的。 在建筑物设计和施工中，常常要绘出地形图，以便解
决有关的工程问题。 水利工程上枢纽布置图同样布置在地形图上。 根据地形的特点决定采用相应的建筑物（明渠、涵洞、
第十章 标高投影
10
B--B
C
K
5
0
i=1：2.5
A
10.0
5.0
B
B
1：500
第十章 标高投影
1:1.5
1
1:1. 5
30 1:1.5 3
2
第十章 标高投影
例 在下图所示的地面上修建一条直坡道，已知路面及路面 上等高线的位置，填、挖方边坡均取为1：2，求各坡面与地面 的交线。
第十章 标高投影
i=1：2
第四节 地形剖面图
一 定义
用一铅垂面剖切地形面，单独画出剖切平面与地形表面 交线的实形图，称为地形剖面图。
4 两平面的交线 坡面交线：在标高投影中两平面（或曲面）的交线，就
是两平面（或曲面）上相同高程等高线交点的连线。
坡面与地面的交线称为坡脚线（填方坡面）或开挖线 （挖方坡面）。
第十章 标高投影
2.10画法几何_标高投影
A
D BC
60.0
A
B
64 62 60 58 56
B－B
C－C
D
C
0
5 10m
D－D
2
4
例：在高程为0m的地面上修建弯道，路面自0m逐渐上升到3m， 两侧坡面及端面坡度均为1∶0.5，求坡脚线及坡面交线。
d2 c1
a0
2
b3
1 2
1
e4
0 0
1∶100
地形面
地形等高线
地形断面图
用铅垂面剖切地形面所得到的断面形状称为地形断面图。
20
19
18
17
16
15
14
13
1
1－1
19 j
例：在高程为0m的地面上修建一顶面高程为4m的平台，有一斜坡道从 地面通到平台顶面，各边坡坡度均为1∶1，求坡脚线和坡面交线。
1 ∶1
1 ∶1
f0
d4
4.00
a4
1 ∶1
1 ∶1
e0
0
c0
b0
0
0.00 1∶400
例：已知主堤和支堤相交，堤顶高程分别为 3m 和 2m，地面标高为 0m，各坡面坡度如图所示，试求坡脚线和坡面交线。
18
17 i
16
h g
15 f
e
14
d
13
19 18
17 16 15
c
b
a
1∶300
1
2.10.5 标高投影在工程中的应用
例1 河道上筑土坝，求坡脚线和坡面交线。
18 19
24.00
20 21 22 23
1∶2 1∶3
25
19 18 17
D BC
60.0
A
B
64 62 60 58 56
B－B
C－C
D
C
0
5 10m
D－D
2
4
例：在高程为0m的地面上修建弯道，路面自0m逐渐上升到3m， 两侧坡面及端面坡度均为1∶0.5，求坡脚线及坡面交线。
d2 c1
a0
2
b3
1 2
1
e4
0 0
1∶100
地形面
地形等高线
地形断面图
用铅垂面剖切地形面所得到的断面形状称为地形断面图。
20
19
18
17
16
15
14
13
1
1－1
19 j
例：在高程为0m的地面上修建一顶面高程为4m的平台，有一斜坡道从 地面通到平台顶面，各边坡坡度均为1∶1，求坡脚线和坡面交线。
1 ∶1
1 ∶1
f0
d4
4.00
a4
1 ∶1
1 ∶1
e0
0
c0
b0
0
0.00 1∶400
例：已知主堤和支堤相交，堤顶高程分别为 3m 和 2m，地面标高为 0m，各坡面坡度如图所示，试求坡脚线和坡面交线。
18
17 i
16
h g
15 f
e
14
d
13
19 18
17 16 15
c
b
a
1∶300
1
2.10.5 标高投影在工程中的应用
例1 河道上筑土坝，求坡脚线和坡面交线。
18 19
24.00
20 21 22 23
1∶2 1∶3
25
19 18 17
大学画法几何10标高投影
地形图
3、直线上的整数标高点
9
B
8
Ⅷ
7
Ⅶ
6
Ⅵ
5
Ⅴ
4
Ⅳ A
(V)
3
(H)
a b 3.3 4 5 6 7 8
8.6
0 1 2 3 4 5m
同时反映AB实长与倾角！ 如A、B的标高均为整数呢？
§10-3 平面的标高投影
一、 平面的坡度和平距
1. 平面的等高线和最大坡 度线
(1)平面内的水平线距H面的 高度为一定值，称为等高 线。且同一平面内的等高 线互相平行。
山脊
山谷
10 5
基本地形的等高线特征图
鞍地
山峰
30 25 20
15
10 5
§10-5 标高投影的应用举例
例：已知直管线两端点A和B的标高分别为21.4和23.5， 求管线AB与地面的交点。
25
A K1
K3 K2
K4
B 24
23
22
21
20
1
a 21.4 K1
K2
23 22 21
K3
24 K4
23
4.5
作业
作业
• 10-6、7、8
§10-4 曲面和地面的表示法
一、曲面的表示法(一系列等高线)
s'
5 4 3 2 1 0
s 543210
二、地面的表示法(一系列等高线)
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
A-A
A
A
B
8
6 4
2
0
B-B
86
4
2
0
3、直线上的整数标高点
9
B
8
Ⅷ
7
Ⅶ
6
Ⅵ
5
Ⅴ
4
Ⅳ A
(V)
3
(H)
a b 3.3 4 5 6 7 8
8.6
0 1 2 3 4 5m
同时反映AB实长与倾角！ 如A、B的标高均为整数呢？
§10-3 平面的标高投影
一、 平面的坡度和平距
1. 平面的等高线和最大坡 度线
(1)平面内的水平线距H面的 高度为一定值，称为等高 线。且同一平面内的等高 线互相平行。
山脊
山谷
10 5
基本地形的等高线特征图
鞍地
山峰
30 25 20
15
10 5
§10-5 标高投影的应用举例
例：已知直管线两端点A和B的标高分别为21.4和23.5， 求管线AB与地面的交点。
25
A K1
K3 K2
K4
B 24
23
22
21
20
1
a 21.4 K1
K2
23 22 21
K3
24 K4
23
4.5
作业
作业
• 10-6、7、8
§10-4 曲面和地面的表示法
一、曲面的表示法(一系列等高线)
s'
5 4 3 2 1 0
s 543210
二、地面的表示法(一系列等高线)
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
A-A
A
A
B
8
6 4
2
0
B-B
86
4
2
0
第10章标高投影
r =(HB-HA)×l=3.5 m
点击1次
17
§10.2 平面及平面立体的标高投影
以b10为圆心，以3.5m 为半径画圆，过a3 作该圆的切线，共
有两条，取其中符合箭头所指方向的一条，此即为平面上高程为
3m 的等高线。过a3b10上具有整数高程的点作此线的平行线，可 得相应高程的等高线。过b10 作等高线的垂线，并加上箭头，此
38
39
10.3 曲面、曲面立体及地形面的标高投影
地形断面图：用一
铅垂面剖切地形面， 画出剖切平面与地形 面的交线及材料图例， 称地形断面图。
§11-4 地形面的标高投影
例 已知地形图和铅垂剖切面A-A的位置，试作A-A 断面图。
41
§11-4 地形面的标高投影
解：A-A 剖切面与地面的交线为一不规则曲线，用坐标定点的方法 求出这条曲线：将AA直线与等高线的交点a、b、c 等按位置截量在水
边坡部分： 求挖方坡边线（开挖线） 将坡面等高线与地形面等高线高程相等 的点依次连成曲线，可得挖方坡面与地 形面的交线，即挖方部分的开挖线。
求填方坡边线（坡脚线） 将坡面等高线与地形面等高线高程相等 的点依次连成曲线，可得填方坡面与地 形面的交线，即填方部分的坡脚线。
10.4 标高投影的应用举例
例10.9 如图所示，在山坡上修一个水平场地，场地高程为 40m，其中填方边坡坡度为2:3，挖方边坡坡度为1:1，试完 成该场地的标高投影图。
10.4 标高投影的应用举例
解： ① 地面高于40m的部分需 挖方，低于40m的部分需 填方。高程为40m的等高 线是填、挖方分界线。
平面，辅助平面与两个相交平面的截交线是两条高程相同的等高 线，这两条等高线的交点就是两平面的共有点。
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17
§10.2 平面及平面立体的标高投影
以b10为圆心，以3.5m 为半径画圆，过a3 作该圆的切线，共
有两条，取其中符合箭头所指方向的一条，此即为平面上高程为
3m 的等高线。过a3b10上具有整数高程的点作此线的平行线，可 得相应高程的等高线。过b10 作等高线的垂线，并加上箭头，此
38
39
10.3 曲面、曲面立体及地形面的标高投影
地形断面图：用一
铅垂面剖切地形面， 画出剖切平面与地形 面的交线及材料图例， 称地形断面图。
§11-4 地形面的标高投影
例 已知地形图和铅垂剖切面A-A的位置，试作A-A 断面图。
41
§11-4 地形面的标高投影
解：A-A 剖切面与地面的交线为一不规则曲线，用坐标定点的方法 求出这条曲线：将AA直线与等高线的交点a、b、c 等按位置截量在水
边坡部分： 求挖方坡边线（开挖线） 将坡面等高线与地形面等高线高程相等 的点依次连成曲线，可得挖方坡面与地 形面的交线，即挖方部分的开挖线。
求填方坡边线（坡脚线） 将坡面等高线与地形面等高线高程相等 的点依次连成曲线，可得填方坡面与地 形面的交线，即填方部分的坡脚线。
10.4 标高投影的应用举例
例10.9 如图所示，在山坡上修一个水平场地，场地高程为 40m，其中填方边坡坡度为2:3，挖方边坡坡度为1:1，试完 成该场地的标高投影图。
10.4 标高投影的应用举例
解： ① 地面高于40m的部分需 挖方，低于40m的部分需 填方。高程为40m的等高 线是填、挖方分界线。
平面，辅助平面与两个相交平面的截交线是两条高程相同的等高 线，这两条等高线的交点就是两平面的共有点。
画法几何制图—投影法及点的投影
a
●
az
●
a
1.作a’a”⊥OZ； 2.通过作辅助线(45°线) 使aaz=aax.
ax
a
●
三峡大学
四、点的投影和坐标的关系
若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标 轴，则点的空间位置可用（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影 就反映了点的坐标值。
点A到W面的距离= x = oax 点A到V面的距离= y = aax 点A到H面的距离= z = a’ax
V
不能确定点的空间位置。
B3
●
B2
●
B1
●
●
b
采用多面投影。
三峡大学
二、点在两投影面体系中的投影
1、两投影面体系的建立
设互相垂直的正立投影面(V 面)和水平投影面(H面)，组成两投 影面体系。 V面与H面相交于投影轴OX， 将空间划分为四个分角。着重 讲第一分角的投影。
2、点在两投影面体系中的投影
4.判断重影点的可见性时，需要看重影点
在另一投影面上的投影，坐标值大的点投 影可见，反之不可见.即:上遮下，左遮右，
前遮后。
作业P3，提示4：3.5倍 三峡大学
小结：点的投影
后 a 上 Z 下 后 前 a
●
前 a
V
Z a z
Z a ● ax Y
●
●
●
az
●
Z
A X
O
X
ax
Y
●
a
W
ay
X
Y
三峡大学
例：已知点的坐标(15,12,16)，作三面投影图。
Z
a
●
az
●
a
Z= 16
●
az
●
a
1.作a’a”⊥OZ； 2.通过作辅助线(45°线) 使aaz=aax.
ax
a
●
三峡大学
四、点的投影和坐标的关系
若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标 轴，则点的空间位置可用（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影 就反映了点的坐标值。
点A到W面的距离= x = oax 点A到V面的距离= y = aax 点A到H面的距离= z = a’ax
V
不能确定点的空间位置。
B3
●
B2
●
B1
●
●
b
采用多面投影。
三峡大学
二、点在两投影面体系中的投影
1、两投影面体系的建立
设互相垂直的正立投影面(V 面)和水平投影面(H面)，组成两投 影面体系。 V面与H面相交于投影轴OX， 将空间划分为四个分角。着重 讲第一分角的投影。
2、点在两投影面体系中的投影
4.判断重影点的可见性时，需要看重影点
在另一投影面上的投影，坐标值大的点投 影可见，反之不可见.即:上遮下，左遮右，
前遮后。
作业P3，提示4：3.5倍 三峡大学
小结：点的投影
后 a 上 Z 下 后 前 a
●
前 a
V
Z a z
Z a ● ax Y
●
●
●
az
●
Z
A X
O
X
ax
Y
●
a
W
ay
X
Y
三峡大学
例：已知点的坐标(15,12,16)，作三面投影图。
Z
a
●
az
●
a
Z= 16
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23 22
21 20
1
a 21.4
1 K1 23 22 21 20 0 1 2 3 4 5m
K2
K3
24 23 22 21
20
K4
b 23.5
例：已知直管线两端点A和B的标高分别为21.4和23.5， 求管线AB与地面的交点。
25
K4
K2 K3
B
24 23 22 21 20
A
K1
1
a 21.4
1
K1 23 22 21 K2 K3 24 23 22 21 20 0 1 2 3 4 5m K4
P61
P62
第十章
• • • • • §10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5
标高投影
基本概念 点和直线的标高投影 平面的标高投影 曲面和地面的表示法 标高投影的应用举例
§10-1
基本概念
• 土木工程一般都要和地面发生关系，地面的形状非
常复杂，用三面投影图很难表示清楚，这就需要用
4.5
9 3 2
0 2 4
4.5
6 8 10m
作业
作业
• 10-6、7、8
§10-4 曲面和地面的表示法
一、曲面的表示法(一系列等高线)
s'
5 4 3 2 1 0
s
54 321 0
二、地面的表示法(一系列等高线)
8 6 4 2 0 A-A 8 6 4 2 0 B-B
8 6 4 2 0
A
8 6 4 2 0
246
例：已知广场的填方边坡坡度为1/2，挖方边坡坡度为1/1， 求广场一角的边坡与地面的交线。
60 59 58 57 56 55
广场高程58 填方 61 挖方 55
59 60 61 62
59
56
0 1 2
61
60
58
57
作业
• 10—11、12
谢谢
p75
水平面
例1、求直线AB的坡度和平距,并求C点的标高。
A
B
D C c3 d3
a3
0 1 2 3 4
5m
b4
二、直线的标高投影
1、直线的表示法
(1)两点的标高投影连线
a3
0 1 2 3 4
c3
b4
5m
d3
(2)直线上一点及直线的坡度和方向
A
a5
0 1 2 3 4 5m
(2)直线上一点及直线的坡度和方向
a5
0 1 2 3 4 5m
2、直线的坡度和平距
直线的坡度是指直线上两点的高差与它们水平 距离之比。用i表示。即： i=I/L. 也即水平距离为一个单位时两点的高差。
B
A
直线的坡度
I
直线的平距是指直线上两点的水平距离与它们 的高差之比。用l表示。即： l=L/I。 也即两点的高差为一个单位时的水平距离！
B
A
a
1单位
I
直线的平距
6 5 4 3 2 1 0
0 2 2/3
1/3
3
3/2
2/3 4 6 8 10m
例：已知平台顶面标高为3，底面标高为0，各坡面的坡度 如图，求平台的标高投影。 1. 求各坡面上标高为0的等高 线与等高线3之间的水平距离。 L右=3 1/(3/2)=2 L左=3 1/(1/3)=9 L前后=3 1/(2/3)=4.5 2. 作各坡面与地面的交线 3. 作各坡面间的交线
• 将平面的最大坡度线的标高投影， 按整数标高点进行刻度和标注， 即为平面的坡度比例尺。 平面的坡度比例尺以一粗一细的 双线并标以“Pi”表示。
•
Pi
坡度比例尺
二、平面的表示法
除几何元素的标高投影外，另有：
6 5 4 3 2 1 0 一组平行线（等高线）
b5
i=1
b
i=1/2
b
平面内一条等高线及坡度线
0 2 4 6 8 10m
L1=51/(1/5)=25 L2=51/(2/3)=7.5 L3=51/(1)=5
例：已知道路路基与路堑的边坡坡度均为1/2，求其边坡 与地面的交线。
252 254
256
挖方 256 252
254
252 250 248 0 2 4 填方 246 248 m250 n250 路面高程 250 250 248
解：直线的坡度： i=IAB/LAB=(24-12)/36=1/3 直线的平距： l=1/i=3 因为： i=IAB/LAB =IAC/LAC =1/3 所以： IAC =1/3 /LAC=1 /3 15=5 C 点的标高为24-5=19 即c19
a24
c b12
0 5 10 15 20 25m
a2 0 5 10m
例：求所示平面的等高线。
b5
4 3
5 4 3 2
a2 0 5 10m
练习10—3
四、求平面的交线！
例：求所示平面P和Q的交线。
a5
5
P
5
L=2×3=6 2
i=1/2
b2
2
0 1 2 3 4 5m
例：已知平台顶面标高为3，底面标高为0，各坡面的坡度 如图，求平台的标高投影。 1. 求各坡面上标高为0的等高 线与等高线3之间的水平距离 L右=3 1/(3/2)=2 L左=3 1/(1/3)=9 L前后=3 1/(2/3)=4.5 2. 作各坡面与地面的交线
A
B
B
山丘
洼地
地形图：用标高投影表示地面形状的图形。
山脊线
鞍地
山峰
25 20 15
30 25 20 15 10 5
山脊
山谷
10 5
基本地形的等高线特征图
§10-5 标高投影的应用举例
例：已知直管线两端点A和B的标高分别为21.4和23.5， 求管线AB与地面的交点。
25 K4 K2 A K1 K3 B 24
22 23 24 25 26 b 0
27.00
a
26 25 24 23 22 0 1 2 3 4 5m
§10-3 平面的标高投影
一、 平面的坡度和平距
1. 平面的等高线和最大坡 度线
(1)平面内的水平线距H面的 高度为一定值，称为等高 线。且同一平面内的等高 线互相平行。 (2)平面内垂直于等高线的直 线为最大坡度线。 (3)最大坡度线的坡度及平距 即为平面的坡度及平距。
2. 平面的坡度比例尺
标高ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ影来表示。
• 标高投影就是用物体的水平投影+标注高度来表示
物体形状的一种投影图。
等高线！
(水平线)
地形图
§10-2 点和直线的标高投影
一、 点的标高投影
A
a5
0 1 2 3 4 5m
C c0 b-3
0 1 2 3 4
a5
5m
c0 b -3
B
二、直线的标高投影
1、直线的表示法
(1)两点的标高投影连线
1. 求各坡面坡顶到坡脚 的水平距离 • L1=5 1/(1/5)=25 • L2=5 1/(2/3)=7.5 • L3=5 1/(1)=5 2. 根据坡顶到坡脚的水 平距离求出各坡面与 地面的交线。
i=1 i=1
0 2 4 6 8 10m
例：斜坡道与主干道相连，地面标高为0，求填筑范围 及各坡面交线。
由此可见，坡度与平距互为倒数，即 l= 1/ i 平距大时，坡度小（缓）; 平距小时，坡度大（陡）。
地形图
3、直线上的整数标高点
9 8 7 6 5 4 3
Ⅷ
B
Ⅶ Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
A
(V) (H) 4 5 6 7 8
a 3.3
b8.6
0 1
同时反映AB实长与倾角！ 如A、B的标高均为整数呢？
2
3 4 5m
a2
平面内一般位置直线及坡度线
Pi
坡度比例尺
三、求作平面的等高线！
在解决标高投影中的交线问题时， 需在平面内作出一系列等高线。
例：已知ABC三点的标高投影，求由这3点所决定的平面 的平距和倾角。
B b6
1
B
C c2
练习10—4
A
l
a1
0 1 2 3 4 5m
例：求所示平面的等高线。
b5
i=1/2
b 23.5
20
例：求地面与坡度为1/3的坡面的交线。
36 m d 35 34 34 b 35 34 B 33 K1 32 32 31 31 31 30 33 33 32 a c e 35 n 34 D
35
35 36 A E C
33
0 1 2 3 4 5m
K2
例：斜坡道与主干道相连，地面标高为0，求填筑范围 及各坡面交线。