线代第一章 (2)

1
定义1： 定义 ： 在 n 阶行列式中，把元素 阶行列式中，
aij 所在的第 i 行和
列划去后， 第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素 － 余子式。 aij 的 余子式。 记为 M ij 称
Aij = (− 1) M ij
i+ j
代数余子式。 为元素 aij 的代数余子式。
a11
例如： 例如： D =
证明： 先特殊，再一般） 证明： （先特殊，再一般）
(i = 1,2,⋯, n )
分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。 (1) 假定行列式D的第一行除 假定行列式 的第一行除 a11 外都是 0 。
a11 D= a21 ⋮ an1
0 ⋮
⋯
0 ⋮
4
a22 ⋯ a2 n an 2 ⋯ ann
a11 ⋮ ai 1 a12 ⋮ ai 2 ⋮ ⋮ ⋯ a1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
10
⋯ a in
在 D= ⋮ ak 1 ⋮ a n1
a k 2 ⋯ a kn a n 2 ⋯ a nn
中，如果令第 i 行的元素等于 另外一行， 另外一行，譬如第 k 行的元素
则，
a11 ⋮ ⋮
a12 ⋮ ⋮
⋯ a1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
x−a ⋯
⋮ ⋮ ⋯ x−a
20
r2 − r1 r3 − r1 ⋮ rn − r1
1 [ x + ( n − 2)a ]0 0 ⋮ 0
a x − 2a 0 ⋮ 0
a 0 ⋮ 0
⋯ ⋯
a 0 0
x − 2a ⋯
⋮ ⋮ ⋯ x − 2a
= [ x − ( n − 2)a ]( x − 2a )n−1
21
1 2 4 3
4 −1 4 1 4 3 2 3 11 0 9 2
r1 − 4r2
− 7 0 − 17 − 8 2 1 4 3 0 0 3 0 −5 9 5 2
r3 − 2r2
− 7 − 25 − 8 − 7 − 17 − 8 c2 + c3 2+ 2 0 0 5 按第二列展开 1 × ( −1) 0 −5 5 3 11 2 3 9 2
a12 a22 a32 a42
2+ 3
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a21 a31 a41
a11 M 23 = a31 a41
a12 a32 a42
a14 a34 a44
A23 = (− 1)
M 23 = − M 23 .
2
a11 D= a21 a31 a41
a12 a22 a32 a42
n
其中 (−1)τ (1, j2 , j3 ,⋯, jn ) a2 j a3 j ⋯anj 恰是 M 11 的一般项。 的一般项。 2 3 n 所以， 所以，
D = a11 M 11 = a11 ( −1)1+1 M 11 = a11 A11
5
(2)
设 D 的第 i 行除了 aij 外都是 0 。
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ D= 0 ⋮ ⋮ ⋯ aij ⋮ ⋯ ⋮ 0 ⋮
转化为(1)的情形 把D转化为 的情形 转化为
an1 ⋯ anj ⋯ ann
， 把 D 的第 i 行依次与第 i − 1 行，第 i − 2 行，······， 第2行，第1行交换；再将第 j 列依次与第 j − 1 列， 行 行交换； 行交换 第 j − 2 列，······，第2列，第1列交换，这样共经过 ， 列 列交换， 列交换
1 x3 − x1 x3 ( x3 − x1 ) ⋮
⋯ ⋯ ⋯
1 xn − x1 xn ( xn − x1 ) ⋮
n n x3 − 2 ( x3 − x1 ) ⋯ xn − 2 ( xn − x1 )
按第1列展开，并把每列的公 因子 ( xi − x1 ) 提出, 列展开，
1 x2 = ( x2 − x1 )( x3 − x1 )⋯( xn − x1 ) ⋮
8
a11 a12 ⋯ a1n a11 a12 ⋯ a1n a11 a12 ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ = ai1 0 ⋯ 0 + 0 ai 2 ⋯ 0 + ⋯+ 0 0 ⋯ ain ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann an1 an2 ⋯ ann an1 an2 ⋯ ann
D , （当 k = i ） ak 1 Ai 1 + ak 2 Ai 2 + ⋯ + akn Ain = ，（当 0，（当 k ≠ i） D , （当 l = j） a1l A1 j + a2 l A2 j + ⋯ + anl Anj = ，（当 0，（当 l ≠ j）
在计算数字行列式时， 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成 阶行列式换成n个 简化计算，因为把一个 阶行列式换成 个（n－1）阶行列 － ） 式的计算并不减少计算量， 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的。 在理论上是重要的。
1 x1 Dn = x ⋮
2 1
1 x2 x
2 2
⋯ ⋯ ⋯
1 xn x
2 n
rn − x1rn−1
⋮
⋮
x1n−1
n n x 2 −1 ⋯ x n − 1
rn−1 − x1rn− 2 ⋮ r2 − x1r1
16
1 0 =0 ⋮ 0
1 x2 − x1 x2 ( x2 − x1 ) ⋮
n x2 − 2 ( x2 − x1 )
i j
证毕。 证毕。
练习： 练习：用降阶法 （按行按列展开） 按行按列展开） 计算行列式的值。 计算行列式的值。
1 −1 2 −1 −1 −4 1 1 2 1 4 −6 1 2 4 2
=57
18
利用性质及展开定理计算行列式的例题 例题： 五（加）. 利用性质及展开定理计算行列式的例题： 例1： ：
12
利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质， 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时， 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开, 一行（ 化为仅含 个非零元素，再按此行（ 展开 个非零元素 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 变为低一阶的行列式，如此继续下去， 二阶行列式。 二阶行列式。
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a21 M 12 = a31 a41
a23 a33 a43
1+ 2
a24 a34 a44
A12 = (− 1) M 12= − M 12
a11 M 44 = a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
(− 1)4+ 4 M 44 = M 44 A44 =
n x2 − 2
1 x3 ⋮
⋯ ⋯
1 xn ⋮
n n x3 − 2 ⋯ xn − 2
n-1阶范德蒙德行列式 阶范德蒙德行列式
17
= ( x2 − x1 )( x3 − x1 )⋯( xn − x1 ) =
n≥ i > j ≥ 2
∏(x − x )
i j
n≥ i > j ≥1
∏ ( x − x ).
( i − 1) + ( j − 1) = i + j − 2 次交换行与交换列的步骤。 次交换行与交换列的步骤。
6
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号， 由性质 ，行列式互换两行（ 行列式变号， 得，
aij ⋮
i+ j−2
⋯
0 ⋮ ⋮
⋯
0 ⋮ ⋮
D = ( −1)
a i −1 , j ⋯ a i −1 , j −1 ⋯ a i −1 , n ⋮ anj ⋯ a n , j −1
13
例1:
计算行列式
−1 2 3 −4 −5 1 D= 2 0 1 −1 1 −5 3 −3 3 1 1
c1 + (− 2 )c3
c4 + c 3
−1 1 − 11 1 3 −1 0 0 1 0 −5 −5 3 0 5
5 1 1 = ( −1) 3+ 3 − 11 1 − 1 −5 −5 0
14
r2 + r1
= ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + ⋯ + ain Ain
−3 −5 3 例如， 例如，行列式 D = 0 − 1 0 7 7 2
(i = 1,2,⋯, n )
按第一行展开， 按第一行展开，得
证毕。 证毕。
− 1 0 50 0 + 30 − 1 + D = −3 7 7 7 2 7 2 9
例3： 1
定理2： 行列式任一行（ 定理 ： 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 的元素与另一行（ 元素的代数余子式乘积之和等于零， 元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ak 1 Ai 1 + ak 2 Ai 2 + ⋯ + akn Ain = 0, k ≠ i .
证明： 由定理1， 证明： 由定理 ，行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和。 代数余子式的乘积之和。
按第二行展开
5 × ( −1)
2+ 3
− 7 − 25 = 5( 77 − 75) = 10 3 11