第一章 兔子数列和极端分析(讲义)

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递推法 斐波那契兔子数列

递推法 斐波那契兔子数列

递推法斐波那契兔子数列斐波那契兔子数列是一种非常有趣和神奇的数列,它是由一对兔子开始,每对兔子从第三个月开始生出一对小兔子,并且每个月之后,新生的小兔子也可以生小兔子。

这个数列的规律向我们展示了生物繁殖的奇妙之处。

在数列的初期阶段,兔子数量并不多。

第一个月只有一对兔子,第二个月仍然是一对。

但是从第三个月开始,兔子的数量就开始快速增加了。

第三个月有两对兔子,第四个月有三对,第五个月有五对……每个月都比前一个月多一对兔子。

这种增长方式被称为“递推”,即以前的结果作为下一个结果的基础。

斐波那契兔子数列的规律是由斐波那契数列推导而来的。

斐波那契数列是一个典型的递推数列,它的规律是每个数都是前两个数的和。

在斐波那契兔子数列中,每个月的兔子对数也是前两个月兔子对数的和。

这种递推规律让我们可以方便地计算出数列中任意位置的兔子对数目。

斐波那契兔子数列不仅在数学上有一定的意义,还可以帮助我们理解生物繁殖的规律。

兔子生育力强,快速增长的兔子数量也给我们提供了一个有趣的案例。

通过斐波那契兔子数列,我们可以更好地了解自然界中生物繁衍的方式和能力。

斐波那契兔子数列也给我们提供了一种思考问题的方法。

我们可以通过观察数列的规律,推导出数学公式来计算数列中任意位置上的兔子对数目。

这就是数学中的归纳法,在推理和解决问题时非常有用。

通过这种方法,我们可以将复杂的问题简化为递推的模式,更容易理解和解决。

除了数学和生物学上的指导意义,斐波那契兔子数列也可以引发我们对创新和发展的思考。

兔子数量的递增规律可以启发我们寻找外部环境条件下繁衍生物的模式和趋势。

这样的思考不仅在生物学研究中有用,也可以应用于其他领域,如经济学、社会学等等,去探索规律和解决问题。

总之,斐波那契兔子数列是一个生动、全面且有指导意义的数列。

通过它,我们可以学到很多关于生物繁殖规律的知识,同时也可以锻炼数学思维和问题解决能力。

这个数列不仅是数学家和生物学家研究的对象,也是我们生活中一个有趣的现象。

递归算法的理解和应用“兔子数列”.pptx

递归算法的理解和应用“兔子数列”.pptx
求解“兔子数列”
——递归算法的理解和应用
一个数学问题
假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子,再过一 个月就开始生下一对小兔子,并且以后每个月都生一对 小兔子。
设所生一对兔子均为一雄一雌,且均无死亡。 中世纪 意大利数学家 问:一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子?
斐波那契
从问题描述中获取有价值的信息
一对刚出生的兔子一个月就能长成 大兔子,再过一个月就开始生下一 对小兔子,并且以后每个月都生一 对小兔子。
第一个月 只有一对小兔子
第二个月 只有一对大兔子
第三个月开始,每个月既有大兔子 也有小兔子
一对刚出生的小兔一年内可以繁 殖成多少对兔子?
求解问题:
初始条件:只有1对小兔子 求解目标:第12个月时,有多少兔子
否则
,执行递归关系式
结构化程序设计方法中, 利用条件控制语句,实现“如果……否则……”的逻辑关系
结 论 2:
用双分支选择结构(if……else……) 控制着 递归关系式
if
else
if( 递递归归边出界口条条件件 )
已知条件中,确定值的内容
else 递归关系式
关于“兔子问题”的递归程序实现
C语言程序实现:计算兔子数列问题
F( 6 )=8
• F( 9 ) • F( 8 )
• F( 5 )=5
• F(1•0F) ( 2 )=1
• F( 3 )=2
• F( 4 )=3
F( 8 )
F( 7 )
F(2)=1 ,根F(据1)=公1式计算F(12)的值 F( 9F()7 )=13 • F(• F8( )6 )=8
F( 8 )=21
返回值
选择结构
主函数

兔子数列特征

兔子数列特征

兔子数列,也被称为斐波那契数列,是一个著名的数列,具有以下特征:
1. 兔子数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和。

具体来说,第n+2项(n为自然数)是第n项和第
n+1项的和。

2. 兔子数列的第n+2项同时也代表了集合1,2,3,…,n中所有不包含相邻正整数的子集个数。

3. 兔子数列的第n项的平方,其结果与前后两项的乘积存在特定的关系。

具体来说,从第2项开始,每项
数值都是前两项之和。

同时,偶数项的平方比前后两项的乘积少1,而奇数项的平方比前后两项的乘积多1。

4. 兔子数列中的第5n项和第12n项的值与本项序列号具有相似性,即可以整除。

具体来说,比如第5项
5÷5=1,第25项75025÷25=3001,第12项144÷12=12,余数均为零。

5. 兔子数列中还有一些其他的特性,比如隔项关系、两倍项关系等。

总的来说,兔子数列是一个非常有趣的数列,它具有许多独特的性质和特征。

斐波那契数列

斐波那契数列

斐波那契数列一、简介斐波那契数列(Fibonacci),又称黄金分割数列,由数学家斐波那契最早以“兔子繁殖问题”引入,推动了数学的发展。

故斐波那契数列又称“兔子数列”。

斐波那契数列指这样的数列:1,1,2,3,5,8,13,……,前两个数的和等于后面一个数字。

这样我们可以得到一个递推式,记斐波那契数列的第i项为F i,则F i=F i-1+F i-2.兔子繁殖问题指设有一对新生的兔子,从第三个月开始他们每个月都生一对兔子,新生的兔子从第三个月开始又每个月生一对兔子。

按此规律,并假定兔子没有死亡,10个月后共有多少个兔子?这道题目通过找规律发现答案就是斐波那契数列,第n个月兔子的数量是斐波那契数列的第n项。

二、性质如果要了解斐波那契数列的性质,必然要先知道它的通项公式才能更简单的推导出一些定理。

那么下面我们就通过初等代数的待定系数法计算出通项公式。

令常数p,q满足F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)。

则可得:F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)=q2(F n-2-pF n-3)=…=q n-2(F2-pF1)又∵F n-pF n-1=q(F n-1-pF n-2)∴F n-pF n-1=qF n-1-pqF n-2F n-1+F n-2-pF n-1-qF n-1+pqF n-2=0(1-p-q)F n-1+(1+pq)F n-2=0∴p+q=1,pq=-1是其中的一种方程组∴F n-pF n-1= q n-2(F2-pF1)=q n-2(1-p)=q n-1F n=q n-1+pF n-1=q n-1+p(q n-2+p(q n-3+…))=q n-1+pq n-2+p2q n-3+…+p n-1不难看出,上式是一个以p/q为公比的等比数列。

将它用求和公式求和可以得到:而上面出现了方程组p+q=1,pq=-1,可以得到p(1-p)=-1,p2-p-1=0,这样就得到了一个标准的一元二次方程,配方得p2-p+0.25=1.25,(p-0.5)2=1.25,p=±√1.25+0.5。

斐波那契数列(兔子的故事)

斐波那契数列(兔子的故事)

《兔子数列》
数学不仅是思维的体操,更是美的化身。

又到了我们数学讲故事的时间了,今天给大家分享的故事是《兔子数列》
说道“兔子数列”不得不提到意大利数学家列昂纳多·斐波那契,斐波那契(Leonardo Pisano ,Fibonacci,Leonardo Bigollo,1175年-1250年),中世纪意大利数学家,
斐波那契在《计算之书》中提出了一个有趣的兔子问题:
一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。

如果所有的兔子都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子?
第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对;
两个月后,生下一对小兔总数共有两对;
三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对;
……
这组数列就是兔子数列,是斐波那契最早提出,也称“斐波那契数列”。

这个数列有十分明显的特点,那是:前面相邻两数之和,等于第三个数。

斐波那契是西方第一个研究斐波那契数的人,并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲。

斐波那契数列在我们神秘的大自然中随处可见。

看美丽的植物、动物它们的排列和组成都遵循着斐波那契数列的规律。

看,数学是不是很美啊!
数学家普罗克洛斯说:"哪里有数,哪里就有美"
数学真的很美!。

求解兔子数列(课堂PPT)

求解兔子数列(课堂PPT)

(2)编写程序代码,将划线处填写完整 Function f(n As Integer) As Integer If n = 1 Then n=1 Else f=f(n-1)+f(n-2) End If End Function
12
授课人:杨鹏
高中信息技技术必修2:算法与程序设计
3
授课人:杨鹏
问题提出
高中信息技术必修2:算法与程序设计
兔子数列,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契 (Leonardo Fibonacci)提出的,他以兔子繁殖为 例子而引入,故斐波那契数列又称为“兔子数列”。
一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能
力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。并且如 果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔 子?
第29课 求解兔子数列
授课人:1 杨鹏
高中信息技术必修2:算法与程序设计
1.兔子数列。如果兔子在出生两 个月后,就有繁殖能力,一 对兔子每个月能生出一对小 兔子来。并且如果所有兔都 不死,那么一年以后可以繁 殖多少对兔子?
2.小猴吃桃。有一天小猴子摘若 干个桃子,当即吃了一半还觉 得不过瘾,又多吃了一个。第 二天接着吃剩下桃子中的一 半,仍觉得不过瘾又多吃了 一个,以后小猴子都是吃尚 存桃子一半多一个。到第10 天早上小猴子再去吃桃子的 时候,看到只剩下一个桃子。 问小猴子第一天共摘下了多 少个桃子?
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授课人:杨鹏
高中信息技术必修2:算法与程序设计
(2)算法分析 Function 有多少对兔子(第几月) 如果是第一月或第二月,那么就有一对兔子。 否则,(本月)兔子数=(本月-1)月的兔子 数+(本月-2)月的兔子数 End Function
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第一章 兔子数列和极端分析(习题)

第一章 兔子数列和极端分析(习题)

第一章兔子数列和极端分析(习题)1.按规律填空:1、1、2、3、5、8、13、21、、、。

2.一个各个数位互不相同的四位数能被1、2、3、4、5、6、7整除,那么这个数最大是。

3.一个各个数位互不相同的六位数能被9整除,这个数最大是多少?最小是多少?4.一个六位数能被7整除,这个数最大是多少?最小是多少?5.一个五位数是3、4、5、6的倍数,这个数最大是多少?*6.一楼梯共8级,小嘉每步只能跨上一级、两级、三级或四级,要登上第8级,共有多少种不同走法?*7.小青蛙有十块糖,妈妈要求小青蛙每天最多吃三块糖,那么小青蛙把糖吃完有多少种办法?*8.如下图,小方和小张在玩跳格子游戏,小方从A跳到B,每次可跳一步或者两步,小张从C跳到D,每次可跳一步、两步或三步,试比较谁跳到目标处的不同跳法多?多多少?*9.有一种树,它的每个新枝在一年后会长成老枝,而每个老枝一年后会长出一个新枝,小嘉在家门口种了一个老枝,他知道一年后会长出一个新枝,那么八年后会有多少个树枝?*10.N是一个各位数字互不相等的三位数,它能被它的每个数字整除,N的最大值是多少?【参考答案】1.34、55、892.92403.987651、1023484.999999、1000025.99960*6. 108*7. 89*8. 小张多,多5*9. 34*10.9361.在628后面补上3个数字,组成一个六位数,使它能分别被2,4,9整除,且使这个数尽可能大。

则这个六位数是多少?2.一个各位数字互不相同的三位数能被2、3、5整除,这个数最大是多少?3.一楼梯共10级,小嘉每步只能跨上一级或两级,要登上第10级,共有多少种不同走法?4.一楼梯共10级,小时每步只能跨上一级、两级或三级,要登上第10级,共有多少种不同走法?5.一个五位数能被2、5、7整除,这个数最大是多少?*6.N是一个各位数字互不相等的两位数,它能被它的每个数字整除。

N的最大值多少?*7.有一个楼梯共有十级,第三级和第七级不能踩,小时每次只能跨一级或者两级,那么小时走完有多少种走法?【参考答案】1.6289922.9603.894.2745.99960*6. 48*7. 8➢知识点睛1.斐波那契数列指的是这样一个数列:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368 ……2.特别指出:第0项是0,第1项是第一个1。

兔子数列规律

兔子数列规律

兔子数列是一个古老而有趣的数学问题,最初由公元前200年的意大
利数学家帕斯托里发现。

数学家们发现,兔子数列有一个明显的规律,即每一步的数字都是上一步的两倍。

这意味着,如果一只兔子每月能
生一只兔子,那么第二个月就会生2只,第三个月就会生4只,以此
类推,第十二个月的兔子数势必会达到4096只。

兔子数列的规律在17世纪的英国数学家斯宾诺莎发现后得到了更多的
研究。

斯宾诺莎发现,根据兔子繁殖的规律,一只兔子到一定时间内
所能繁衍出的兔子数目满足一定的数学公式:F(n)=F(n-1)+F(n-2)。

公式表明,当前的兔子数量取决于前两个月的兔子数量,这一原
理又叫斐波那契原理。

斐波那契原理不仅应用于兔子数列,而且应用于许多其他数学问题。

它给人们提供了另一种保存和估计信息的方法。

随着世界数据量的增加,对斐波那契原理的研究非常重要,并带来了前所未有的技术革新。

兔子数列印证了斐波那契原理,这个原理给了我们一份喜悦和惊奇,
也启发了我们如何利用数学规律解决难题。

推广到实际生活中,当我
们处理许多让人头痛的复杂问题时,懂得思考规律有助于你搞清楚某
一问题的根源,并最终提出解决之道。

兔子数列 用途

兔子数列 用途

兔子数列用途兔子数列是一个经典的数学问题,也被称为斐波那契数列。

它是由一个兔子对的繁殖问题引发的,每一对兔子从出生后第三个月开始,每个月都会生一对小兔子,而小兔子出生后,又需要三个月才能开始繁殖。

兔子数列的数列表现形式为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,……,从第3项开始,每个项都是前两个项的和。

这个数列以它的规律性和美丽之处而受到广泛关注,它的特性被广泛应用于科学、数学、生物学等领域。

首先,兔子数列的应用之一是在自然科学领域。

比如在生物学中,兔子数列可以用来描述兔子的繁殖情况,从而对种群的生态演变进行研究和预测。

这对于保护和管理野生动物种群以及观赏动物园等具有重要的意义。

其次,在金融和投资领域,兔子数列也有着重要的应用。

金融领域有一个著名的黄金分割理论,它是基于兔子数列的分割性质推导出来的。

根据黄金分割理论,金融市场和股票价格等趋势具有一定的规律性,可以通过兔子数列的运算关系来预测市场趋势,从而指导投资决策。

此外,在计算机科学和信息技术领域,兔子数列也有着广泛的应用。

比如在编程中,计算兔子数列的算法可以用来解决一些计数和排列组合的问题,以及一些图像和音频处理中的数据压缩和解压缩等技术。

兔子数列在美学和艺术领域也有一定的应用。

兔子数列中的数字分布规律被认为是一种数学上的美感,因此在建筑设计、绘画、音乐创作等艺术作品中,人们常常运用兔子数列和黄金分割的原理,以达到一种视觉、听觉或感知上的和谐和美感。

总之,兔子数列虽然是一个简单的数学问题,但它在各个领域的应用却具有广泛的影响。

它的规律性和美妙之处,使得人们可以通过它来研究和解决一些实际问题,同时也开启了人们对数学的探索和思考。

兔子数列的应用范围随着科学技术的发展而不断扩大,它将继续在各个领域中发挥着重要的作用。

从兔子数列讲起数与数阵的规律

从兔子数列讲起数与数阵的规律

1+n n a 1-n2. 等差数列: 通项a n =a 1+(n-1)d.从第二项起,后项-前项=常数d(公差).3. 等比数列: 通项a n =a 1q n-1.从第二项起,后项:前项=常数q(公比).练习1. 填空, 然后写出下列数列的第n 项(用n 表示a n ,n =1,2,3,…):(1) 2,7,12,17,22, , ,…,通项a n = .(2) 68,61,54,47,40, , ,…,通项a n = .(3) 1,3,9,27,81, , ,…,通项a n = .(4) 1,21,41,81,161, , ,…,通项a n = . (5) 0,3,8,15,24, , ,…,通项a n = .(6) 1,3,6,10,15, , ,…,通项a n = .2. 填空,然后写出下列数列的后项与前面项的关系:(1) 2,3,5,8,12, , ,…,规律: .(2) 0,1,3,8,21, , ,…,规律: .3. 观察数列,写出指定的项:(1) 2,3,5,7,11,13,…,第10项是 .(2) 1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,3,2,1,…,第1000项是 .4. 瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据59,1216,2125,3236,…中,得到巴尔末公式,从而打开了光谱奥妙的大门.请你按这种规律写出第七个数据是 .5.数字解密: 小说《达·芬奇密码》中从卢浮宫博物馆馆长被杀场面开始,凶杀在现场留下了如下的神秘数字:“13-3-2-21-1-1-8-5”,请你判断这是 数列.6*. 阳阳和明明玩上楼梯游戏,规定一步只能上一级或二级台阶,他们发现:当楼梯的台阶数为一级时只有1种上楼梯的方法,台阶数为二级时有2种上法,台阶数为三级时可以从一级或二级台阶跨上去,共有3种上法,…,那么上十级台阶共有 种上法.二. 贾宪三角与数阵1.下表是某月的月历:(1) 阴影方框中的9个数与该方框中间的数有什么等量关系(2) 这个关系对其他方框成立吗 说明理由.(3) 这关系对任何一个月的月历都成立吗为什么 你还能找到哪些规律2. 根据右面的数表所列反映的规律,猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为 .第n 行与第n 列交叉点上的数应为 .3. 右下角是一个有规律排列的数表,第20行第21列的数是 .第n 行第n 列的数是 .4. 由偶数构造的表如右,那么2000在第 行,第 列.5. 正整数1,2,3,Λ按右图排成一个数阵,那么,第一行中自左到右第8个数是 .第4行第5列的数是 .101这个数位于第 行,第 列.6. 观察表一. 表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分,其中a 、b 、c 的值分别为 .7. 右下图是由正整数组成的“金字塔”式的排列,若有序数对(n,m)表示第n 排,从左到右第m 个数,则表示17的有序实数对是 .第10行的和是 ;中间一列的数是1,5,13,…,则中间列第10个数是 .8. 世界上著名的莱布尼茨三角形由分数构成,如右图,则排在第10行从左边数第3个位置上的数是 .9. 右面是一个由数字组成的三角形,试研究它的组成规律,的值是 .10. 如图数表是由从1 开始的连续自然数组成,表中第9行的最后一个数是 ,第9行共有 个数;第n 行的最后一个数是 ,第n 行共有 个数.三. 数的运算规律1. 根据图中数字的规律,在最后一个图中填空.2. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的运算规律,根据此规律,m 的值是 .3.数字解密:第一个数是3=2+1,第二个数是5=3+2,第三个数是9=5+4,第四个数是17=9+8,…观察并猜想第六个数是 .4. 如下表,从左到右在每个小格子中都填入一个整数..,.使得其中任意三个相邻..格子中所填整数之和都相等,则第2011个格子中的数为 .5. 先找规律,再填数: 已知:21112111=-+, 121214131=-+, 301316151=-+, 561418171=-+,…, 则有2012120111+- =201220111⨯. 6. 计算:1212222++⨯= ,12321333333++++⨯= .然后猜想类似的两个等式: 123432144444444++++++⨯= , 1234543215555555555++++++++⨯= . 7. 已知:3223222⨯=+, 8338332⨯=+, 154415442⨯=+, 245524552⨯=+,…, (1) 若ab a b ⨯21010=+(a 、b 为正整数),符合前面式子的规律,则a+b 的值不可能是( ) A .109 B .218 C .326 D .436(2) 写出第n 个等式: 1)1(1)1(1)1(1)1(222---⨯-----n n n n n n =+. 8. 右边是由和组成的等式,请你写出下一个等式:再猜一猜,第n 个等式是:。

兔子数原理

兔子数原理

兔子数原理一、兔子数原理的概念兔子数原理也叫斐波那契数列相关原理呢。

斐波那契数列指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、34……从第三项开始,每一项都等于前两项之和。

这个数列最初是和兔子繁殖问题联系在一起的。

想象一下,最开始有一对小兔子,一个月后它们长大还没有繁殖能力,再过一个月它们就可以生出一对小兔子了,然后每个月每对成熟的兔子都会生出一对小兔子,按照这样的规律繁殖下去,每个月兔子的对数就会形成这个数列。

二、兔子数原理的数学表达我们可以用数学公式来表示斐波那契数列。

设斐波那契数列为F(n),那么当n = 0时,F(0)=0;当n = 1时,F(1)=1;当n > 1时,F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)。

这个公式就是兔子数原理在数学上的精确表达。

这看起来很简单,但是它在很多数学问题以及其他领域有着非常神奇的应用。

三、兔子数原理的应用1. 在数学领域•黄金分割。

斐波那契数列与黄金分割有着紧密的联系。

当n趋向于无穷大时,斐波那契数列中相邻两项的比值F(n)/F(n - 1)会趋近于黄金分割比,约为 1.618。

这个比例在美学、建筑设计等方面有着广泛的应用。

比如古希腊的帕特农神庙,它的很多建筑比例就接近黄金分割比。

•组合数学。

在一些组合计数问题中,斐波那契数列也会出现。

例如,用1×1和1×2的小方块铺满2×n的长方形,不同的铺法数量就符合斐波那契数列。

2. 在自然科学领域•植物生长。

很多植物的生长模式都与斐波那契数列有关。

比如向日葵的种子排列,它的种子按照两组螺旋线排列,一组顺时针方向,一组逆时针方向,这两组螺旋线的数目往往是相邻的斐波那契数。

还有松果、菠萝等植物的结构也有类似的规律。

这是因为这种排列方式可以让植物在有限的空间内最大限度地利用阳光、空气和水分等资源。

•动物繁殖研究。

除了最初的兔子繁殖问题,在研究其他动物种群的繁殖规律时,斐波那契数列也可以作为一种基础模型。

兔子数列通项公式

兔子数列通项公式

兔子数列通项公式好的,以下是为您生成的关于“兔子数列通项公式”的文章:在数学的奇妙世界里,有一个特别有趣的数列,叫做兔子数列。

这个名字听起来是不是有点萌萌哒?其实它还有个正儿八经的学名,叫斐波那契数列。

兔子数列的特点是:从第三项开始,每一项都等于前两项的和。

就像这样:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……那咱们来聊聊它的通项公式。

通项公式就像是数列的“密码”,能让我们一下子算出数列中任意一项的值。

兔子数列的通项公式是:$F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]$ 。

别被这一堆复杂的符号和式子吓到啦!咱们来慢慢理解。

我记得有一次给学生们讲这个兔子数列的时候,有个小家伙瞪着大眼睛问我:“老师,这兔子数列到底有啥用啊?”我笑了笑,给他讲了个小故事。

从前有个农夫,他养了一对小兔子。

小兔子长大后,每个月都会生下一对小兔子。

新出生的小兔子长大之后,也会按照同样的规律繁殖。

假设兔子都不会死亡,那么每个月兔子的数量就会构成兔子数列。

这小家伙听完,若有所思地点点头。

回到通项公式,咱们来具体分析分析。

这里面的 $\sqrt{5}$ 看起来有点吓人,但它其实是为了让公式更精确。

而那两个分式,就是兔子数列的神奇之处所在。

咱们用这个通项公式来算一算第 10 项的值。

把 n=10 代入公式,经过一番计算,就能得出准确的结果。

在实际应用中,兔子数列和它的通项公式用处可多啦。

比如在计算机编程里,我们可以用这个公式来生成一系列有规律的数字;在自然科学中,一些植物的生长规律、花瓣的数量,都可能和兔子数列有关系。

学习兔子数列的通项公式,就像是打开了一扇通往数学神秘花园的门。

虽然一开始可能会觉得有点难,但只要我们多琢磨、多练习,就能掌握其中的奥秘。

希望大家都能在数学的世界里,像探索兔子数列一样,发现更多的乐趣和惊喜!。

深入理解递归算法之斐波那契数列(兔子数列)

深入理解递归算法之斐波那契数列(兔子数列)

深⼊理解递归算法之斐波那契数列(兔⼦数列)问题描述:斐波那契数列(Fibonacci sequence),⼜称黄⾦分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔⼦繁殖为例⼦⽽引⼊,故⼜称为“兔⼦数列”,指的是这样⼀个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递推的⽅法定义:F(1)=1,F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3,n∈N*)找到递归的递推公式后,使⽤代码是实现就⽐较好理解了import java.util.*;public class Rabbit {public static void main(String[] args){System.out.println("请输⼊⼀个整数来表⽰你希望计算的⽉份:");Scanner scan= new Scanner(System.in);int i=scan.nextInt();int s=calc(i);System.out.printf("%d个⽉份后兔⼦的数量为:%d",i,s);}public static int calc(int n){if(n==1||n==2){return 1;}else{return calc(n-1)+calc(n-2);}}}⼆:使⽤递归的思想实现计算⼀个数字的阶乘import java.util.*;public class RecursiveFactorial {public static void main(String[] args){System.out.println("请输⼊您想计算的阶乘的整数n:");Scanner scan = new Scanner(System.in);if(scan.hasNextInt()){int n=scan.nextInt();System.out.printf("您输⼊的数字是:%d\n",n);int result=calc_Factorial(n);System.out.printf("%d的阶乘为:%d",n,result);}else{System.out.println("输⼊不合法,请重新输⼊");}}public static int calc_Factorial(int n){if(n==1){return 1;}else{return n*calc_Factorial(n-1);}}}。

证明兔子数列

证明兔子数列

证明兔子数列兔子数列是一个经典问题,在很多书籍和课程中都有涉及。

兔子数列中,每对兔子在出生后两个月就会生出一对新的兔子,假设一对兔子在第一个月出生,则第n个月有多少对兔子呢?为了证明兔子数列,我们可以使用两种方法:递归和迭代。

递归方法首先,我们需要了解递归的概念。

递归是指在解决一个问题时,解决该问题的方法包含了对该问题的解决。

下面是递归方法的代码:```def fibonacci_recursive(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fibonacci_recursive(n-1) + fibonacci_recursive(n-2)```将该代码运行,可以得到第n个月的兔子数。

以上代码中,如果n=0,则返回0,如果n=1,则返回1。

如果n大于1,则返回递归的结果,即第n-1个月和第n-2个月兔子数之和。

迭代方法下面是迭代方法的代码:```def fibonacci_iterative(n):a, b = 0, 1for i in range(n):a, b = b, a + breturn a```该代码使用一个循环来计算第n个月的兔子数。

在循环中,使用两个变量a和b来存储前两个兔子数。

然后,使用for循环来计算第n个月的兔子数。

在循环中,我们将a值设置为b值,将b值设置为a+b的值。

最后,返回a值即可。

数学证明除了程序方法之外,还可以通过数学方法来证明兔子数列。

我们假设第n个月有f(n)对兔子。

假设第k个月产生的兔子对数为f(k)。

因为兔子只在第二个月后开始生育,所以第1个月和第2个月的兔子对数分别为1和1。

在第3个月,仅有第1和第2个月的兔子才能生殖,所以产生的兔子对数为f(3)=f(2)+f(1)。

在第4个月,第3个月的兔子和第2个月的兔子都可以生殖,第1个月的兔子还不能生殖,所以产生兔子对数为f(4)=f(3)+f(2)。

思维训练01 兔子数列和极端分析一(通用版)(含答案)

思维训练01 兔子数列和极端分析一(通用版)(含答案)

思维训练01 兔子数列和极端分析一(通用版)
一、解答题(共5道,每道20分)
1.一个橘子一共有8瓣,小嘉一次可吃一瓣或者两瓣,那么要吃完这个橘子,有多少种吃法?
答案:34
试题难度:三颗星知识点:斐波那契数列
2.某个七位数能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除,那么它的最后三位数字依次是多少?
答案:320
试题难度:三颗星知识点:极端分析
3.六位数自然数能被12整除,则末两位数字的选取有多少种情况?
答案:8
试题难度:三颗星知识点:极端分析
4.恰好能被6、7、8、9整除的五位数有多少个?
答案:179
试题难度:三颗星知识点:极端分析
5.一楼梯共11级,小时每步只能跨上一级或两级,要登上第11级,共有多少种不同走法?
答案:144
试题难度:三颗星知识点:斐波那契数列
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第一章 兔子数列和极端分析(随堂测试)

第一章 兔子数列和极端分析(随堂测试)

第一章兔子数列和极端分析(随堂测试)1.在628后面补上3个数字,组成一个六位数,使它能分别被2,4,9整除,且使这个数尽可能大。

则这个六位数是多少?2.一个各位数字互不相同的三位数能被2、3、5整除,这个数最大是多少?3.一楼梯共10级,小嘉每步只能跨上一级或两级,要登上第10级,共有多少种不同走法?4.一楼梯共10级,小时每步只能跨上一级、两级或三级,要登上第10级,共有多少种不同走法?5.一个五位数能被2、5、7整除,这个数最大是多少?*6.N是一个各位数字互不相等的两位数,它能被它的每个数字整除。

N的最大值多少?*7.有一个楼梯共有十级,第三级和第七级不能踩,小时每次只能跨一级或者两级,那么小时走完有多少种走法?【参考答案】1.6289922.9603.894.2745.99960*6. 48*7. 8➢知识点睛1.斐波那契数列指的是这样一个数列:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368 ……2.特别指出:第0项是0,第1项是第一个1。

3.这个数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和。

➢精讲精练【板块一】斐波那契初级经典例题1(1)一楼梯共8级,小嘉每步只能跨上一级或两级,要登上第8级,共有多少种不同走法?(2)蜜蜂通过蜂巢房间,规定只能由小号房间进入大号房间。

问小蜜蜂由1号房间到达8号房间有多少种方法?练一练小嘉要打十拳,每次可选择双手打或者单手打(双手打算两拳,不区分左右手),那么小嘉有多少种打法?经典例题2每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子,而每对大兔子每个月能生出一对小兔子。

如果一个人在一月份买了一对小兔子,那么十二月份的时候他共有多少对兔子?*经典例题3一楼梯共8级,小嘉每步只能跨上一级、两级或三级,要登上第8级,共有多少种不同走法?*练一练小时要打十下,每次可选择双手双脚任意出击(不区分手脚,不考虑站姿,最多可双手双脚同时出击算四下),那么小时有多少种打法?【板块二】极端分析经典例题4一个各位数字互不相同的六位数能被41整除,这个数最大是多少?最小是多少?练一练一个六位数能被17整除,这个数最大是多少?最小是多少?经典例题5一个各位数字互不相同的六位数能被5、6整除,这个数最大是多少?练一练一个各位数字互不相同的五位数能被2、5、7整除,这个数最大是多少?*【板块三】斐波那契综合应用经典例题6(1)用3个形如“”的方格覆盖23⨯的方格(“”);有多少种不同的摆法?(2)用4个形如“”的方格覆盖⨯的方格(“”);有多少24种不同的摆法?(3)用10个形如“”的方格覆盖2×10的方格(“”);有多少种不同的摆法?经典例题7对一个自然数作如下操作:如果是偶数则除以2,如果是奇数则加1,如此进行直到为1操作停止。

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第一章兔子数列和极端分析(讲义)
➢知识点睛
1.斐波那契数列指的是这样一个数列:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,
89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368 ……
2.特别指出:第0项是0,第1项是第一个1。

3.这个数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和。

➢精讲精练
【板块一】斐波那契初级
经典例题1
(1)一楼梯共8级,小嘉每步只能跨上一级或两级,要登上第8级,共有多
少种不同走法?
(2)蜜蜂通过蜂巢房间,规定只能由小号房间进入大号房间。

问小蜜蜂由1号房间到达8号房间有多少种方法?
练一练
小嘉要打十拳,每次可选择双手打或者单手打(双手打算两拳,不区分左右手),那么小嘉有多少种打法?
经典例题2
每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子,而每对大兔子每个月能生出一对小兔子。

如果一个人在一月份买了一对小兔子,那么十二月份的时候他共有多少对兔子?
*经典例题3
一楼梯共8级,小嘉每步只能跨上一级、两级或三级,要登上第8级,共有多少种不同走法?
*练一练
小时要打十下,每次可选择双手双脚任意出击(不区分手脚,不考虑站姿,最多
可双手双脚同时出击算四下),那么小时有多少种打法?
【板块二】极端分析
经典例题4
一个各位数字互不相同的六位数能被41整除,这个数最大是多少?最小是多少?
练一练
一个六位数能被17整除,这个数最大是多少?最小是多少?
经典例题5
一个各位数字互不相同的六位数能被5、6整除,这个数最大是多少?
练一练
一个各位数字互不相同的五位数能被2、5、7整除,这个数最大是多少?
*【板块三】斐波那契综合应用
经典例题6
(1)用3个形如“”的方格覆盖23
⨯的方格(“”);有多少种
不同的摆法?
(2)用4个形如“”的方格覆盖
24
⨯的方格(“”);有多少种不同的摆法?
(3)用10个形如“”的方格覆盖2×10的方格(“”);
有多少种不同的摆法?
经典例题7
对一个自然数作如下操作:如果是偶数则除以2,如果是奇数则加1,如此进行直到为1操作停止。

求经过9次操作变为1的数有多少个?
经典例题8
有一个楼梯共有十级,第三级和第八级不能踩,小时每次只能跨一级或者两级,那么小时走完有多少种走法?
【参考答案】
【板块一】斐波那契初级
经典例题1:(1)34 (2)21
练一练:89
经典例题2:81
*经典例题3:144
*练一练:401
【板块二】极端分析
经典例题4:最大987526 最小123574练一练:最大999991 最小100011
经典例题5:987630
练一练:98630
*【板块三】斐波那契综合应用
经典例题6:(1)3 (2)5 (3)89
经典例题7:55
经典例题8:6
第一章兔子数列和极端分析(随堂测试)
1.在628后面补上3个数字,组成一个六位数,使它能分别被2,4,9整除,且使这个数尽可能大。

则这个六位数是多少?
2.一个各位数字互不相同的三位数能被2、3、5整除,这个数最大是多少?
3.一楼梯共10级,小嘉每步只能跨上一级或两级,要登上第10级,共有多少种不同走法?
4.一楼梯共10级,小时每步只能跨上一级、两级或三级,要登上第10级,共有多少种不同走法?
5.一个五位数能被2、5、7整除,这个数最大是多少?
*6.N是一个各位数字互不相等的两位数,它能被它的每个数字整除。

N的最大值多少?
*7.有一个楼梯共有十级,第三级和第七级不能踩,小时每次只能跨一级或者两级,那么小时走完有多少种走法?
【参考答案】
1.628992
2.960
3.89
4.274
5.99960
*6. 48
*7. 8。

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