第29课 求解兔子数列
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授课人： 授课人：杨鹏
高中信息技术必修2：算法与程序设计
2.走台阶问题。从楼下到楼上共有n个台阶，每一步有2种走法： 走1个台阶；走2个台阶。走上这n个台阶共有多少种走法？ （1）算法分析： 仅有1级台阶，走法有1种； 有2级台阶时，走法有2种； 有3级台阶时，走法有3种； 有4级台阶时，走法有5种； 有5级台阶时，走法有8种； 5 8 …… 有n级台阶时，走法有f(n-1)+f(n-2)种。其中f(n)为走上n个台 阶的走法数。 (2）编写程序代码,将划线处填写完整 Function f(n As Integer) As Integer If n = 1 Then n=1 Else f=f(n-1)+f(n-2) End If End Function
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依次类推可以列出下表：
月份 兔子对数
1 1
2 1
3 2
4 3
5 5
6 8
7 13
8 21
9 34
10 55
11 89
12 144
这样一个数列1，1，2，3，5，8，13，21…… 就是 兔子数列。该数列有很多奇妙的属性： ①这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和； ②随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近 黄金分割0.6180339887……； ③从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之 积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1；
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分析这个数列，因为从第2个月开始，每月的 兔子总数目等于前2个月的兔子总数之和， 因此“兔子问题”很容易用递推式解决。假 设第n个月的兔子数目是F(n)，有: f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥3) f(1)=f(2)=1 (n=1或n=2) 在解决有些问题时，从初始条件入手，需要 一步步地按递推关系式递推，直至求出最终 结果，这种方法叫做递推或迭代法求解。
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课堂练习
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1.小猴吃桃问题:有一天小猴子摘若干个桃子,当即吃了一半还 觉得不过瘾,又多吃了一个。第二天接着吃剩下桃子中的一 半，仍觉得不过瘾又多吃了一个，以后小猴子都是吃尚存桃 子一半多一个。到第10天早上小猴子再去吃桃子的时候， 看到只剩下一个桃子。问小猴子第一天共摘下了多少个桃子? (1)算法分析 假设第n天的桃子数是A(n) A(10)=1 A(9)=2*（A(10)+1） A(8)=2*（A(9)+1） …… A(n)=2*(A(n+1)+1) (2)写出递归表达式 A(n)=2*(A(n+1)+1) (n<10) A(10)=1 (n=10)
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（2）算法描述 function 有多少桃子（第几天） 如果是第10天，那么就有一个桃子。 否则，桃子数=2*(后一天的桃子数+1） end function （3）编写程序代码,将划线处填写完整 Function tao(days As Integer) As Integer If days = 10 Then tao = 1 Else tao=2*(tao(days+1)+1) End If End Function （4）运行调试程序 根据算法流程图,填空完善已经设计好的界面和部分代码的 求n阶乘算法，并进行调试。
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第29课 求解兔子数列 课
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1.兔子数列。如果兔子在出生两 个月后，就有繁殖能力，一 对兔子每个月能生出一对小 兔子来。并且如果所有兔都 不死，那么一年以后可以繁 殖多少对兔子？ 2.小猴吃桃。有一天小猴子摘若 干个桃子,当即吃了一半还觉 得不过瘾,又多吃了一个。第 二天接着吃剩下桃子中的一 半，仍觉得不过瘾又多吃了 一个，以后小猴子都是吃尚 存桃子一半多一个。到第10 天早上小猴子再去吃桃子的 时候，看到只剩下一个桃子。 问小猴子第一天共摘下了多 少个桃子?
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复习引入
高中信息技术必修2：算法与程序设计
递归算法的基本思想是把规模较大的、较难解 决的问题变成规模较小的、容易解决的同一 问题，规模较小的问题又变成规模更小的问 题 ，当问题小到一定程度时，可以直接得出 它的解，从而得到原来问题的解。即采用 “大事化小、小事化了”的基本思想。 采用递归算法的条件： （1）每一步骤解决问题的方法要一致； ）每一步骤解决问题的方法要一致； （2）必须有一个明确的递归结束条件，称 ）必须有一个明确的递归结束条件， 为递归出口。 为递归出口。
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问题提出
高中信息技术必修2：算法与程序设计
兔子数列,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契 （Leonardo Fibonacci）提出的，他以兔子繁殖为 例子而引入，故斐波那契数列又称为“兔子数列”。 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能 力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。并且如 果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔 子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对; 两个月后，生下一对小兔民数共有两对; 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子 还没有繁殖能力，所以一共是三对; ……
（3）编写程序代码。 Function f(n As Integer) As Long If n = 1 OR n=2 Then f = 1 '当n=1或n=2时，函数f的返回值为1 Else f = f(n-1)+f(n-2) '递归地调用函数f来计算f(n)的值 End If End Function （4）运行调试程序 根据算法流程图,填空完善已经设计好的界面和 部分代码的求n阶乘算法，并进行调试。
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（2）算法分析 Function 有多少对兔子（第几月） 如果是第一月或第二月，那么就有一对兔子。 否则，（本月）兔子数=（本月-1）月的兔子 数+（本月-2）月的兔子数 End Function
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2.走台阶问题。从楼下到楼上共有n个台阶，每一步有2种走法： 走1个台阶；走2个台阶。走上这n个台阶共有多少种走法？ （1）算法分析： 仅有1级台阶，走法有1种； 有2级台阶时，走法有2种； 有3级台阶时，走法有3种； 有4级台阶时，走法有5种； 有5级台阶时，走法有8种； 5 8 …… 有n级台阶时，走法有f(n-1)+f(n-2)种。其中f(n)为走上n个台 阶的走法数。 (2）编写程序代码,将划线处填写完整 Function f(n As Integer) As Integer If n = 1 Then n=1 Else f=f(n-1)+f(n-2) End If End Function
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依次类推可以列出下表：
月份 兔子对数
1 1
2 1
3 2
4 3
5 5
6 8
7 13
8 21
9 34
10 55
11 89
12 144
这样一个数列1，1，2，3，5，8，13，21…… 就是 兔子数列。该数列有很多奇妙的属性： ①这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和； ②随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近 黄金分割0.6180339887……； ③从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之 积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1；
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分析这个数列，因为从第2个月开始，每月的 兔子总数目等于前2个月的兔子总数之和， 因此“兔子问题”很容易用递推式解决。假 设第n个月的兔子数目是F(n)，有: f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥3) f(1)=f(2)=1 (n=1或n=2) 在解决有些问题时，从初始条件入手，需要 一步步地按递推关系式递推，直至求出最终 结果，这种方法叫做递推或迭代法求解。
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1.小猴吃桃问题:有一天小猴子摘若干个桃子,当即吃了一半还 觉得不过瘾,又多吃了一个。第二天接着吃剩下桃子中的一 半，仍觉得不过瘾又多吃了一个，以后小猴子都是吃尚存桃 子一半多一个。到第10天早上小猴子再去吃桃子的时候， 看到只剩下一个桃子。问小猴子第一天共摘下了多少个桃子? (1)算法分析 假设第n天的桃子数是A(n) A(10)=1 A(9)=2*（A(10)+1） A(8)=2*（A(9)+1） …… A(n)=2*(A(n+1)+1) (2)写出递归表达式 A(n)=2*(A(n+1)+1) (n<10) A(10)=1 (n=10)
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（2）算法描述 function 有多少桃子（第几天） 如果是第10天，那么就有一个桃子。 否则，桃子数=2*(后一天的桃子数+1） end function （3）编写程序代码,将划线处填写完整 Function tao(days As Integer) As Integer If days = 10 Then tao = 1 Else tao=2*(tao(days+1)+1) End If End Function （4）运行调试程序 根据算法流程图,填空完善已经设计好的界面和部分代码的 求n阶乘算法，并进行调试。
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1.兔子数列。如果兔子在出生两 个月后，就有繁殖能力，一 对兔子每个月能生出一对小 兔子来。并且如果所有兔都 不死，那么一年以后可以繁 殖多少对兔子？ 2.小猴吃桃。有一天小猴子摘若 干个桃子,当即吃了一半还觉 得不过瘾,又多吃了一个。第 二天接着吃剩下桃子中的一 半，仍觉得不过瘾又多吃了 一个，以后小猴子都是吃尚 存桃子一半多一个。到第10 天早上小猴子再去吃桃子的 时候，看到只剩下一个桃子。 问小猴子第一天共摘下了多 少个桃子?
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递归算法的基本思想是把规模较大的、较难解 决的问题变成规模较小的、容易解决的同一 问题，规模较小的问题又变成规模更小的问 题 ，当问题小到一定程度时，可以直接得出 它的解，从而得到原来问题的解。即采用 “大事化小、小事化了”的基本思想。 采用递归算法的条件： （1）每一步骤解决问题的方法要一致； ）每一步骤解决问题的方法要一致； （2）必须有一个明确的递归结束条件，称 ）必须有一个明确的递归结束条件， 为递归出口。 为递归出口。
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问题提出
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兔子数列,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契 （Leonardo Fibonacci）提出的，他以兔子繁殖为 例子而引入，故斐波那契数列又称为“兔子数列”。 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能 力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。并且如 果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔 子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对; 两个月后，生下一对小兔民数共有两对; 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子 还没有繁殖能力，所以一共是三对; ……
（3）编写程序代码。 Function f(n As Integer) As Long If n = 1 OR n=2 Then f = 1 '当n=1或n=2时，函数f的返回值为1 Else f = f(n-1)+f(n-2) '递归地调用函数f来计算f(n)的值 End If End Function （4）运行调试程序 根据算法流程图,填空完善已经设计好的界面和 部分代码的求n阶乘算法，并进行调试。
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（2）算法分析 Function 有多少对兔子（第几月） 如果是第一月或第二月，那么就有一对兔子。 否则，（本月）兔子数=（本月-1）月的兔子 数+（本月-2）月的兔子数 End Function
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