冲量矩定理质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变化

m1m2 1 ) (v2 v2 )] T T1 T2 (1 k ) (v1 v2 )[(v1 v1 2 m1 m2
v2 k (v1 v2 ) v1
m1m2 T T1 T2 (1 k 2 )(v1 v2 )2 2(m1 m2 )
第二章 碰 撞
§ 2－1 碰撞的分类· 碰撞问题的简化

1.碰撞的分类
对心碰撞 偏心碰撞 正碰撞 斜碰撞

光滑碰撞
非光滑碰撞

完全弹性碰撞 弹性碰撞 塑性碰撞
碰撞时两物体间的相互作用力称为碰撞力
2.对碰撞问题的两个简化
碰撞现象的特点
碰撞时间极短（一般为103 ~ 104 s ） 速度变化为有限值 加速度变化相当巨大 碰撞力极大 碰撞问题的简化 普通力的冲量忽略不计 因此在碰撞过程中,物体的位移忽略不计.
m1v1 m2v2 v2 v1 m1 m2
即碰撞结束时两物体速度相同，一起运动
1 1 1 1 2 2 2 m2 v2 2 T1 m1v1 m2 v2 ，T2 m1v1 2 2 2 2
1 1 2 2 2 ) m2 (v2 2 ) T T1 T2 m1 (v1 v1 v2 2 2 1 1 )(v1 v1 ) m2 (v2 v2 )(v2 v2 ) m1 (v1 v1 2 2
（ c）
在理想情况下, k=1,有 2m2 2m1 v2 1 v1 (v1 v2 ) ，v2 (v1 v2 ) m1 m2 m1 m2 v2 ，v2 v1 如果 m1 m2 则 v1 即两物体在碰撞结束时交换了速度
当两物体做塑性碰撞时，即k=0，有
于是得
0 (mv) I1
(mv 0) I 2
v I 2 v I1
v k v
常数k 恒取正值 称为恢复因数
恢复因数的试验测定
v 2 gh1
v 2 gh2
于是得恢复因数 h v k 2 v h1 几种材料的恢复因数见表
碰撞物 体的材 料 恢复因 数 铁对铅 木对胶 木对 木 木 0.14 0.26 0.50 钢对 钢 0.56 象牙对象 牙 0.89 玻璃对 玻璃 0.94
(e) i 1 i 1
n t 0
n
n

LO 2
LO1
dLO ri dIi(e)
i 1
n t (e) i 1 0
LO 2 LO1 ri dI i
ri dI i(e)
t i 1 0
n
LO 2 LO1 ri I i
i 1
n
(e)
M O (I i(e) )
i 1
n
质点系在碰撞开始和结 束时对点O的动量矩的 变化，等于作用于质点 系的外碰撞冲量对同一 点的主矩。
－－用于碰撞过程的动量矩定理，冲量矩定理
3.刚体平面运动的碰撞方程
－－用于刚体平面运动碰撞过程中的基本定理 用于碰撞过程的质点系相对于质心的动量矩定理
LC 2 LC1 M C (I i(e) )
n
n
n
n
(e) I 因为 i 0 i 1
(e) m v m v I Biblioteka Baiduii ii i i 1 i 1 i 1 n n n
i
－－用于碰撞过程的质点系动量定理 冲量定理 质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作用 于质点系的外碰撞冲量的主矢。
mvC I i(e) mvC
0<k<1---弹性碰撞
k=1---完全弹性碰撞
k=0---非弹性碰撞或塑性碰撞
vn 斜碰撞： 此时定义恢复因数为 k vn
tan vn tan vn
vn tan k vn tan
在不考虑摩擦的一般情况下
vrn k n vr
§ 2－4 碰撞问题举例
例2－1 两物体的质量分别为 m1 和 m2 ，恢复因数为k，产生对心正 碰撞. 求：碰撞结束时各自质心的速度和碰撞过程中动能的损失.
§ 2－2 用于碰撞过程的基本定理 1.用于碰撞过程的动量定理——冲量定理
质点的动量定理为
mv mv Fdt I
0
t
质点系
(e) (i) mi vi mi vi Ii Ii
(e) (i) m v m v I I ii ii i i i 1 i 1 i 1 i 1
解： m2v2 m1v1 m2v2 m1v1
（a）
（b）
m2 (v1 v2 ) m1 m2 m1 v2 v2 (1 k ) (v1 v2 ) m1 m2 v1 (1 k ) v1
v1 v2 k v1 v2
i 1
n
对于平行于其对称面的平面运动刚体
LC J C
JC2 JC1 MC (Ii(e) )
n
mvC I i(e) mvC
i 1
－－刚体平面运动的碰撞方程
§ 2－3 质点对固定面的碰撞· 恢复因数
第一阶段碰撞冲量为 I 1 第二阶段碰撞冲量为 I 2
在理想情况下 k＝1
T T1 T2 0
（d）
在塑性碰撞时 k=0 动能损失为 m1m2 T T1 T2 (v1 v2 )2 2(m1 m2 )
若 v2 0 则动能损失为 T T1 T2
1 2 注意到 T1 m1v1 2
m1m2 v12 2(m1 m2 ) m2 1 T T1 T2 T1 T1 m1 m1 m2 1 m2
i 1
n
分别是碰撞开始和结束时质心的速度 式中 vC和 vC
2.用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理
质点系动量矩定理 n n d (e) LO M O ( Fi ) ri Fi (e) dt i 1 i 1 上式可写成
dLO ri Fi dt ri dIi(e)