理论力学(机械工业出版社)第十一章动量矩定理习题解答
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习 题
11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。
t a x
v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-=
)cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω⨯+⨯= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω⨯+⨯= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω⨯+⨯= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2=
11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。
图11-25
(1)
θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =⨯= θω22sin 2l m L z = (2)
θθ220
2sin 3
2d )sin (2ml x x l
m J l z ==⎰杆 θ22sin 3
8
ml J z = θ
ω22sin 3
8
l m L z =
11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。
图11-26
(a) ω23
1ml L O =
(b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29
1ml L O -=
(c) 2222452312121ml l m l m J O =⨯⨯+⨯⨯=
ω224
5ml L O = (d) 2222321mR mR mR J O =+= ω22
3mR L O =
11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m ，高为h ，试求对底边的转动惯量J x 。
图11-27
面密度为 bh
m A 2=ρ
在y 处 b h
y b y = y y h
m y b h
y bh
m y b bh
m A m y A d 2d 2d 2d d 2
=⨯⨯=⨯⨯==ρ 微小区域对于z 轴的转动惯量
y y h y h
m
m y h J z d )(2d )(d 222-=
-= ⎰
⎰+-=+-=-=h
h z mh y y hy y h h m y y h y h m J 0
02322222)4
13221(2d )2(2d )(2 26
1mh =
11-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。试求其对与ABC 所在平面垂直的质心轴的转动惯量。
图11-28
3)31(12122⨯⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=h m ml J z l h 23= 222221
3)121121(3)2331(121ml ml l m ml J z =⨯+=⨯⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯+=
11-6 如图11-29所示，物体以角速度w 绕O 轴转动，试求物体对于O 轴的动量矩。(1) 半径为R ，质量为m 的均质圆盘，在中央挖去一边长为R 的正方形，如图11-32a 所示。(2) 边长为4a ，质量为m 的正方形钢板，在中央挖去一半径为a 的圆，如图11-32b 所示。
图11-29
(1)
2
126
121R m mR J C -= ππ221m m R R m ==
222π61π3π6121mR R m mR J C -=⨯-=
π
)1(ππm
m m m -=
-=' 2222π67
π9π)1(ππ61π3mR R m mR R m J J C O -=-+-='+=
ωω2π
6π
97mR J L O O -=-=
(2)
2
122
1)4(61a m a m J C -= m m a a m 16π16π2
21== 2
2296
π325616π2138ma ma ma J C -=⨯-=
m m m m 16
π
1616π-=-='
222296
π
48896π3256816π1696π3256)22(mR a m ma a m J J C O -⨯+-=⨯-+-=⨯'+=
296
π511024mR -=
ωω296
1024
π51mR J L O O -=-=
11-7 如图11-30所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ，质心为C ，AC ＝e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一直线上。试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B 点的动量矩：(1)当轮子只滚不滑时，已知v A ；(2)当轮子又滚又滑时，已知v A 、w 。
图11-30
ωω)()()(2me J e R mv J e R mv L A c C C B +-+-=-+-=
(1)
R
v A =
ω ω)(e R v C
+=
R
v e R m me J R v me J R v e R m L A A A A A B ])([)()(2222
++--=--+-=
(2)