步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破：专题七第3讲分类讨论思想

合集下载

【步步高江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七第2讲

说明：矩阵乘法 MN 的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先 TN 后 TM)的复合变换．
主干知识梳理
专题七第2讲
一般地，对于平面上的任意一个点 (向量)(x，y)，若按照对应法则 T，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x′， y′)，
本讲栏目开关
则称 T 为一个变换，简记为 T：(x，y)→(x′，y′)或 T： x x′ → . y y′ 2．几种常见的平面变换 (1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换； (5)投影变换；(6)切变变换．
主干知识梳理
专题七第2讲
1．矩阵乘法的定义
本讲栏目开关
b11 一般地，我们规定行矩阵[a11，a12]与列矩阵 b 的乘法规则 21 b11 a b 为[a11，a12] ＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵与列矩 c d b21 x a bx ax＋by 阵的乘法规则为＝ . c d y y cx＋dy
－－－
热点分类突破
(2013· 江苏)已知矩阵矩阵 A－1B.
解设矩阵 A
本讲栏目开关
－1 则 0 －a 即 2c
a 的逆矩阵为 c
－1 A＝ 0
专题七第2讲
1 0 ， B ＝ 0 2
2 ，求 6
本讲栏目开关
(1)取曲线f(x，y)＝0上的任意一点A(x，y)； (2)A(x，y)通过二阶矩阵变换得A′(x′，y′)； (3)用x表示x′，y表示y′代入f(x，y)＝0，得g(x′，y′)＝ 0； (4)g(x′，y′)＝0用x代替x′，y代替y′，得g(x，y)＝0，即为所求．

步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破课件：专题二第1讲三角函数的图象与性质

主干知识梳理
专题二第1讲
1．三角函数定义、同角关系与诱导公式
本讲栏目开关
(1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 y P(x，y)，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． sin α 2 2 (2)同角关系：sin α＋cos α＝1，＝tan α. cos α kπ (3)诱导公式：在＋α， k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变， 2 符号看象限”．
热点分in6－α＝a，则
2π －a cos 3 －α＝________.
本讲栏目开关
2π π cos 3 －α＝cosπ－3＋α
π ＝－cos3＋α
答案
π π (1)y＝sin－30t＋6
(2)(2－sin 2,1－cos 2)
热点分类突破
专题二第1讲
(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，
本讲栏目开关
注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如化切为弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
(1)求 f(x)的定义域及最小正周期； (2)求 f(x)的单调递增区间．
先化简函数解析式，再求函数的性质．
热点分类突破
专题二第1讲
解
(1)由 sin x≠0 得 x≠kπ(k∈Z)，
故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
本讲栏目开关

【步步高江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七第1讲

所以△ABD 为等腰三角形．
本讲栏目开关
又∵AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2， AE AC 又＝ ⇒AC2＝AE· AD＝4×6＝24，AC＝2 6. AC AD 在△ABC 中，BC＝ AB2－AC2＝ 36－24＝2 3.
热点分类突破
(2)如图，⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC，M 为 AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于 N，过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P. ①求证：PM2＝PA· PC；
热点分类突破
专题七第1讲
(2013· 课标全国Ⅰ)如图，直线 AB 为圆 O 的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E， DB 垂直 BE 交圆于点 D.
本讲栏目开关
(1)证明：DB＝DC； (2)设圆的半径为 1， BC＝ 3，延长 CE 交 AB 于点 F，求△BCF 外接圆的半径．
主干知识梳理
专题七第1讲
6．直线与圆位置关系的“四定理” (1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
本讲栏目开关
(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． (4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
DM DE ∴ BM ＝ BF .
本讲栏目开关
∵F 是 BC 的中点， ∴DE＝2BF.∴DM＝2BM， 1 ∴BM＝3DB＝3.
热点分类突破
专题七第1讲
判定三角形相似的常用方法：

步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破课件：专题六_第1讲_概率

本讲栏目开关
(a1，c1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2， c1)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，a3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)， (b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b2， a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，b1)，(b2，b2)，(b2，c1)，(c1，a1)， (c1，a2)，(c1，a3)，(c1，b1)，(c1，b2)，(c1，c1)，共计 36 种．
热点分类突破
方法二分面积．连结 AB，由 S
弓形 AC
专题六第1讲
＝S
弓形 BC
＝S
弓形 OC
可求出空白部
设分别以 OA，OB 为直径的两个半圆交于点 C，令 OA＝2.
本讲栏目开关
由题意知 C∈AB 且 S 弓形 AC＝S 弓形 BC＝S 弓形 OC， 1 所以 S 空白＝S△OAB＝ ×2×2＝2. 2 1 又因为 S 扇形 OAB＝ ×π×22＝π， 4 所以 S 阴影＝π－2. 所以 P＝ S阴影 S扇形OAB π－2 2 ＝ π ＝1－π.
所以这组志愿者的人数为 5＋3＋2源自10.(2)设通晓中文和英语的人为 A1，A2，A3，A4，A5，甲为 A1，通晓中文和韩语的人为 B1，B2，乙为 B1，则从这组志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各 1 名的所有情况为
热点分类突破
专题六第1讲
(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，
热点分类突破
专题六第1讲
π 1 在以 OA 为直径的半圆中，空白部分面积 S1＝＋ ×1×1－ 4 2 π 1 － ×1×1＝1， 4 2

步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破专题五第3讲圆锥曲线中的热点问题

第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝1＋k2|x2－x1|或P1P2＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x 2－x 1|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， |y 2－y 1|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．考点一圆锥曲线的弦长及中点问题例1 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1.得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0. 解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以AB ＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12AB ·d ＝92.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝⎛⎭⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________．答案 2x ＋4y －3＝0解析设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1.(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－12，即直线AB 的斜率为－12.∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝⎛⎭⎫x －12，即2x ＋4y －3＝0.考点二圆锥曲线中的定值、定点问题例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连结AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF →把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l 的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE ，BD 的交点坐标，如果直线AE ，BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE ，BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因直线l 与y 轴相交，故斜率存在，设直线l 方程为 y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，又F 坐标为(1,0)，设l 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2，∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－2(4k 2－12)3＋4k 21－8k23＋4k 2＋4k 2－123＋4k2＝－83. 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.(3)当直线l 斜率不存在时，直线l ⊥x 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 的中点N ⎝⎛⎭⎫52，0，猜想，当直线l 的倾斜角变化时， AE 与BD 相交于定点N ⎝⎛⎭⎫52，0，证明：由(2)知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴D (4，y 1)，E (4，y 2)，当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线 AE 过定点⎝⎛⎭⎫52，0，∵l AE ：y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，当x ＝52时，y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1·⎝⎛⎭⎫－32＝2(4－x 1)·y 2－3(y 2－y 1)2(4－x 1)＝2(4－x 1)·k (x 2－1)－3k (x 2－x 1)2(4－x 1)＝－8k －2kx 1x 2＋5k (x 1＋x 2)2(4－x 1)＝－8k (3＋4k 2)－2k (4k 2－12)＋5k ·8k 22(4－x 1)·(3＋4k 2)＝0.∴点N ⎝⎛⎭⎫52，0在直线l AE 上．同理可证，点N ⎝⎛⎭⎫52，0也在直线l BD 上．∴当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点⎝⎛⎭⎫52，0.(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．(2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．(1)解如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得O 1A ＝O 1M ，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴O 1M ＝x 2＋42，又O 1A ＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．考点三圆锥曲线中的最值范围问题例3 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D . (1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋1，所以AB ＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1.又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k 2.所以PD ＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·AB ·PD＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：(1)求C 1，C 2(2)过点A (m,0)作倾斜角为π6的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围．解 (1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝9x .(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝33(x －m )，由⎩⎨⎧y ＝33(x －m )x 26＋y22＝1，消去y 整理得2x 2－2mx ＋m 2－6＝0，由Δ>0得Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0，即－23<m <23，①而x 1x 2＝m 2－62，x 1＋x 2＝m ，故y 1y 2＝33(x 1－m )·33(x 2－m ) ＝13[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2] ＝m 2－66.欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，则FC →·FD →>0，又F (－2,0)，即FC →·FD →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋4>0. 整理得m (m ＋3)>0，即m <－3或m >0.②由①②可得m 的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)．1．求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 2．定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3．圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.设直线l ：y ＝k (x ＋1)与椭圆x 2＋3y 2＝a 2(a >0)相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点． (1)证明：a 2>3k 21＋3k 2；(2)若AC →＝2CB →，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程．(1)证明依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故y ＝k (x ＋1)可化为x ＝1k y －1.将x ＝1k y －1代入x 2＋3y 2＝a 2，消去x ，得⎝⎛⎭⎫3＋1k 2y 2－2yk ＋1－a 2＝0， ①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 Δ＝4k 2－4⎝⎛⎭⎫1k 2＋3(1－a 2)>0，整理得⎝⎛⎭⎫1k 2＋3a 2>3，即a 2>3k 21＋3k 2.(2)解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由①，得y 1＋y 2＝2k1＋3k 2，因为AC →＝2CB →，得y 1＝－2y 2，代入上式，得y 2＝－2k 1＋3k 2.于是，△OAB 的面积S ＝12OC ·|y 1－y 2|＝32|y 2|＝3|k |1＋3k 2<3|k |23|k |＝32. 其中，上式取等号的条件是3k 2＝1，即k ＝±33.由y 2＝－2k 1＋3k 2，可得y 2＝±33. 将k ＝33，y 2＝－33及k ＝－33， y 2＝33这两组值分别代入①，均可解出a 2＝5.所以，△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程是x 2＋3y 2＝5.(推荐时间：70分钟)一、填空题1．已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．答案 1<k <3解析若椭圆焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>03－k >0k ＋1>3－k ，解得1<k <3.2．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析依题意得：F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线的准线相交，且FM ＝|y 0＋2|， ∴FM >4，即|y 0＋2|>4，又y 0≥0，∴y 0>2.3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________．答案 6解析设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204，又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2，又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，所以(OP →·FP →)max ＝6.4．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.5．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →2的值等于________．答案－2解析易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)，∴PF →1＝(－3，－1)，PF →2＝(3，－1)，∴PF →1·PF →2＝－2.6．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则AB CD的值为________．答案 116解析由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y 得x 2－3x －4＝0， ∴x A ＝－1，y A ＝14，x D ＝4，y D ＝4，直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，且该圆圆心为F (0,1)，∴AF ＝y A ＋1＝54，DF ＝y D ＋1＝5， ∴AB CD ＝AF －1DF －1＝116. 7．已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．答案 0或－8解析设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21－y 213＝1， ①x 22－y 223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2. ∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3， ∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0，又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝⎛⎭⎫－m 4，3m 4，代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝⎛⎭⎫－m 4，解得m ＝0或－8，经检验都符合．8．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若PF 1＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是________．答案 (13，＋∞) 解析设椭圆与双曲线的半焦距为c ，PF 1＝r 1，PF 2＝r 2.由题意知r 1＝10，r 2＝2c ，且r 1>r 2,2r 2>r 1，∴2c <10,2c ＋2c >10，∴52<c <5⇒1<25c 2<4，∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c 5－c； e 1＝2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c. ∴e 1·e 2＝c 225－c 2＝125c 2－1>13. 9．已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．答案 522－1 解析过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x 得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得d 1＋d 2＝P A －AB ＋d 2＝PF －1＋d 2，PF ＋d 2大于或等于焦点F 点P 到直线l ，即PF ＋d 2的最小值为|1－0＋4|2＝522，所以d 1＋d 2的最小值为522－1. 二、解答题10．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值．解 (1)如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为D (0,1)，即a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)直线AS 的斜率显然存在且不为0，设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，解得M (103，16k 3)，且将直线方程代入椭圆C 的方程，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k 2.由此得x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝4k 1＋4k 2，即S (2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2)．又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－14k(x －2)，联立直线BS 与l 的方程解得N (103，－13k)． ∴MN ＝⎪⎪⎪⎪16k 3＋13k ＝16k 3＋13k ≥216k 3·13k ＝83. 当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值为83. 11．在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线P A 与PB的斜率之积为－12. (1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过x 轴上一定点．(1)解由题意知：y x ＋2·y x －2＝－12. 化简得x 22＋y 2＝1(y ≠0)． (2)证明方法一设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：x ＝my ＋1，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得 (m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1(x 2－x 1)y 1＋y 2＝my 1＋1＋my 1(y 2－y 1)y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2＋1＝2. ∴直线MQ 过定点(2,0)．方法二设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1(x 2－x 1)y 1＋y 2＝x 1＋k (x 1－1)(x 2－x 1)k (x 1＋x 2－2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1＋x 2－2＝2. ∴直线MQ 过定点(2,0)．12．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；(3)在(2)的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值．(1)解由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2，所以b ＝12a ，即a ＝2b . 由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455，得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b 25b＝455，解得b ＝1. 所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214－y 21＝1，解得|x 1|＝|y 1|＝255.此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2. 因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB .所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0.所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0. 整理得5m 2＝4(k 2＋1)，所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255. 综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255. (3)解设直线OA 的斜率为k 0.当k 0≠0时，则OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝－1k 0x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 0x ，x 24＋y 2＝1，得⎩⎨⎧ x 21＝41＋4k 20，y 21＝4k 201＋4k 20. 同理可求得⎩⎨⎧ x 22＝4k 20k 20＋4，y 22＝4k 20＋4. 故△AOB 的面积为S ＝121＋k 20·|x 1|·1＋1k 20·|x 2|＝2(1＋k 20)2(1＋4k 20)(k 20＋4). 令1＋k 20＝t (t >1)，则S ＝2t 24t 2＋9t －9＝21－9t 2＋9t ＋4，令g (t )＝－9t 2＋9t ＋4＝－9(1t －12)2＋254(t >1)，所以4<g (t )≤254.所以45≤S <1. 当k 0＝0时，可求得S ＝1，故45≤S ≤1，故S 的最小值为45.。

【步步高江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题三第3讲

热点分类突破
专题三第3讲
考点一例1
本讲栏目开关
归纳推理
(2013· 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种
多边形数，如三角形数1,3,6,10，„，第n个三角形数为 nn＋1 1 2 1 ＝ n ＋ n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以 2 2 2 下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 1 2 1 三角形数 N(n,3)＝ n ＋ n， 2 2 正方形数五边形数 N(n,4)＝n2， 3 2 1 N(n,5)＝ n － n， 2 2
答案 a3 (1) 8
(2)内角平分线 a
热点分类突破
考点三直接证明与间接证明
专题三第3讲
1 31＋an＋1 21＋an 例 3 已知数列{an}满足：a1＝，＝， 2 1－an 1－an＋1
2 anan＋1<0 (n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a2 － a n＋1 n (n≥1)．
x ＝x1＋x2， 2 0 则有 y1＋y2 y0＝ . 2
热点分类突破
2 2 x2 y2 1－x2 1－y2 两式相减得 2 ＝ 2 ， a b
专题三第3讲
本讲栏目开关
x1－x2x1＋x2 y1－y2y1＋y2 即＝， a2 b2 y1－y2y1＋y2 b2 即＝a2， x1－x2x1＋x2
24－2 4－24 ∴N(10,24)＝ 2 ×100＋ 2 ×10 ＝1 100－100＝1 000.
热点分类突破
专题三第3讲
归纳推理的一般步骤是： (1)通过观察个别事物发
本讲栏目开关
现某些相同的性质； (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．

步步高2014届高考数学江苏专用文二轮专题突破课件专题一第3讲函数与方程及函数的应用

步步高2014届高考数学江苏专用文二轮专题突破课件专题一第3讲函数与方程及函数的应用
2020年4月22日星期三
主干知识梳理
本讲栏目开关
主干知识梳理
本讲栏目开关
主
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
押题精练
本讲栏目开关
押题精练
本讲栏目开关
押题精练
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关
热点分类突破
本讲栏目开关

【步步高江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题六第1讲

本讲栏目开关
专题六第1讲
第1讲
【高考考情解读】
排列与组合、二项式定理
本组合往往通过实际问题进行综讲高考中对两个计数原理、排列、栏经常与概率问题相结合，出现在解答题中，难度中等；目合考查，开关对于二项式定理的考查，难度较小．
主干知识梳理
专题六第1讲
1．分类计数原理和分步计数原理
本讲栏目开关
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步计数原理将各步的方法种数相乘．
主干知识梳理
2．排列与组合
专题六第1讲
(1)排列：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数
本讲栏目开关
专题六第1讲
1 2 (1)无重复的三位数有：A3 ＋ A 9 2A9＝648 个．
当中间数为 4 时，有 3×4＝12 种；当中间数为 5 时，有 4×5＝20 种；当中间数为 6 时，有 5×6＝30 种；当中间数为 7 时，有 6×7＝42 种；当中间数为 8 时，有 7×8＝56 种；当中间数为9时，有8×9＝72种．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240种．
本讲栏目开关
C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________ 种． (2)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的重复数字的四位数中，“好数”共有________个．
热点分类突破
专题六第1讲

【步步高江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题八第3讲

思想方法概述
专题八第3讲
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
本讲栏目开关
(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法． (6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．
热点分类突破
专题八第3讲
已知圆的方程 x2＋y2＝1，则过点 P(1,2)的圆的切线
x＝1 或 3x－4y＋5＝0 ．方程为_______________________
解析当 k 不存在时，直线为 x＝1，也是切线，
本讲栏目开关
当 k 存在时，设直线方程为 y－2＝k(x－1)，即 kx－y－k＋2＝0. |2－k| ∴圆心(0,0)到直线的距离 d＝ 2 ＝1， k ＋1 3 解得 k＝4. ∴直线方程为 3x－4y＋5＝0. ∴切线方程为 x＝1 或 3x－4y＋5＝0.
热点分类突破
专题八第3讲
1 2 综上，当0<a<1时，f(x)的极大值是－ a ＋aln a，极小值 2 1 是－； 2
本讲栏目开关
当 a＝1 时，f(x)无极值； 1 1 2 当 a>1 时，f(x)的极大值是－2，极小值是－2a ＋aln a.
热点分类突破
专题八第3讲
分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨
在 [0,1] 上的最大值只能在区间端点取得 ( 由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．

【步步高】(江苏专用)2014届高考数学二轮专题突破专题七第1讲函数与方程思想文

第1讲函数与方程思想【高考考情解读】数学家华罗庚先生说过：数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处可用．数学思想是中学数学的灵魂，在二轮复习过程中，我们要在把握知识主干这条复习主线的同时，活用数学思想，加强数学应用意识，方能跳出题海，轻松应对高考．1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.类型一函数与方程思想在数列中的应用例1已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列．(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{a n}的通项公式a n；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，某某数k 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)，又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n2n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3，令f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144.(1)求数列{a n }的通项a n ； (2)设数列{b n }的通项b n ＝1a n a n ＋1，记S n 是数列{b n }的前n 项和，若n ≥3时，有S n ≥m 恒成立，求m 的最大值．解 (1)∵{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144， ∴S 10＝145，∴S 10＝10a 1＋a 102，∴a 10＝28，∴公差d ＝3. ∴a n ＝3n －2(n ∈N *)． (2)由(1)知b n ＝1a n a n ＋1＝13n －23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2－13n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＋1，∴S n ＝n 3n ＋1. ∵S n ＋1－S n ＝n ＋13n ＋4－n3n ＋1＝13n ＋43n ＋1>0，∴数列{S n }是递增数列．当n ≥3时，(S n )min ＝S 3＝310，依题意，得m ≤310，∴m 的最大值为310.类型二函数与方程思想在方程问题中的应用例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值X 围．解方法一设f (x )＝－cos 2x ＋sin x (x ∈(0，π2])．显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解． ∵f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝(sin x ＋12)2－54，且由x ∈(0，π2]知sin x ∈(0,1]．易求得f (x )的值域为(－1,1]．故a 的取值X 围是(－1,1]．方法二令t ＝sin x ，由x ∈(0，π2]，可得t ∈(0,1]．将方程变为t 2＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解．设f (t )＝t 2＋t －1－a .其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－12，如图所示．因此f (t )＝0在(0,1]上有解等价于⎩⎪⎨⎪⎧f0<0f 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1－a <01－a ≥0，∴－1<a ≤1.故a 的取值X 围是(－1,1]．研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．当a 为何值时，方程lg(3－x )＋lg(x －1)＝lg(a －x )有两解？一解？无解？解当⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，即1<x <3时，方程化为(x －1)(3－x )＝a －x ，即－x 2＋5x －3＝a .(*)作出函数y ＝－x 2＋5x －3 (1<x <3)的图象(如图)，该图象与直线y ＝a 的交点横坐标是方程(*)的解，也是原方程的解．由图形易看出：当3<a <134时，原方程有两解；当1<a ≤3或a ＝134时，原方程有一解；当a >134或a ≤1时，原方程无解．类型三函数与方程思想在不等式中的应用例3 设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(1)当x >1时，f (x )<32(x －1)；(2)当1<x <3时，f (x )<9x －1x ＋5.证明 (1)方法一记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1)，则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0.又g (1)＝0，所以有g (x )<0，即f (x )<32(x －1)．方法二当x >1时，2x <x ＋1，故x <x 2＋12.①令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1x－1<0，故k (x )<0，即ln x <x －1.②由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1)．(2)方法一记h (x )＝f (x )－9x －1x ＋5，由(1)得h ′(x )＝1x ＋12x －54x ＋52＝2＋x 2x －54x ＋52<x ＋54x －54x ＋52＝x ＋53－216x4x x ＋52. 令G (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x <3时，G ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0，因此G (x )在(1,3)内是减函数．又由G (1)＝0，得G (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(1,3)内是减函数．又h (1)＝0，所以h (x )<0. 于是当1<x <3时，f (x )<9x －1x ＋5.方法二记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)，则当1<x <3时，由(1)得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9 <32(x －1)＋(x ＋5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋12x －9 ＝12x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ] <12x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x x －1＋x ＋5⎝⎛⎭⎪⎫2＋x 2＋12－18x＝14x(7x 2－32x ＋25)<0. 因此h (x )在(1,3)内单调递减．又h (1)＝0，所以h (x )<0，即f (x )<9x －1x ＋5.根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想．(1)函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2(a >0)，满足f (x )<g (x )的整数x 恰有4个，则实数a 的取值X 围是__________．(2)f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________. 答案 (1)⎝⎛⎦⎥⎤4916，8125 (2)4解析 (1)在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2的图象，则由两个函数的图象可知，y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象在区间(0,1)内总有一个交点，令：h (x )＝f (x )－g (x )＝(4－a )x 2－4x ＋1，要使满足不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数解恰有4个，则需⎩⎪⎨⎪⎧h 4<0，h5≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧49－16a <0，81－25a ≥0⇒4916<a ≤8125. (2)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3. 设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝31－2xx 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x3在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. 类型四函数与方程思想在解析几何中的应用例4 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为22，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直线的距离为22. (1)求椭圆的方程；(2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值X 围，若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，椭圆方程可设为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设F (c,0)，直线l ：x －y －c ＝0，由坐标原点O 到l 的距离为22，得|0－0－c |2＝22，解得c ＝1. 又e ＝ca ＝22，故a ＝2，b ＝1， ∴所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m,0)(0≤m ≤1)满足条件，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，y ＝k x －1，可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.显然Δ>0恒成立，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.设线段PQ 的中点为N (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k1＋2k2. ∵以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形， ∴MN ⊥PQ ，∴k MN ·k PQ ＝－1.即－k 1＋2k 22k 21＋2k 2－m ·k ＝－1，∴m ＝k 21＋2k 2＝12＋1k 2， ∵k 2>0，∴0<m <12.本题主要考查直线方程、直线的斜率与倾斜角的关系、椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系、函数与方程思想等知识，多知识点、多章节知识的交汇是综合题的出题方向．要熟练数学思想方法的应用．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值X 围；(3)若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．(1)解由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2，又b ＝61＋1＝3，∴a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)解由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4x 24＋y23＝1得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0，由Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0得k 2<14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，①∴y 1y 2＝k (x 1－4)k (x 2－4)＝k 2x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)·64k 2－124k 2＋3－4k 2·32k 24k 2＋3＋16k 2＝25－874k 2＋3，∵0≤k 2<14，∴－873≤－874k 2＋3<－874，∴OA →·OB →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134，∴OA →·OB →的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，134. (3)证明 ∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E (x 2，－y 2)，直线AE 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0得x ＝x 1－y 1x 1－x 2y 1＋y 2，又y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)， ∴x ＝2x 1x 2－4x 1＋x 2x 1＋x 2－8，将①代入上式得x ＝1，∴直线AE 与x 轴交于定点(1,0)．1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值X 围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．4．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.1．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x，则下列关系正确的是________．(填序号)①x ＋y ≥0 ②x ＋y ≤0 ③x －y ≤0 ④x －y ≥0 答案 ②解析把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y ，构造函数y ＝2x －5－x，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y .2．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是__________．答案 (－∞，－3)∪(0,3)解析设F (x )＝f (x )g (x )，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，得F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，即F (x )为奇函数．又当x <0时，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，所以x <0时，F (x )为增函数．因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x >0时，F (x )也是增函数．因为F (－3)＝f (－3)g (－3)＝0＝－F (3)．所以F (x )<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)(如图)．3．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________．答案212解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝33＋n 2－n ，∴a n n＝33n＋n －1. 设f (x )＝33x ＋x －1，令f ′(x )＝－33x2＋1>0，则f (x )在(33，＋∞)上单调递增，在(0，33)上单调递减． ∵n ∈N *，f (5)＝535，f (6)＝212，∴a n n 的最小值为a 66＝212. 4．长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．答案233解析建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cosα，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA →＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3≤233. 5．已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.若对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值X 围为________．答案 a ≤4解析由题意，得当x ∈(0，＋∞)时，有2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x. 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝x ＋3x －1x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.6．若a 、b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值X 围为________．答案 [9，＋∞)解析方法一 (看成函数的值域)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ≠1，∴b ＝a ＋3a －1，而b >0，∴a ＋3a －1>0，即a >1或a <－3，又a >0，∴a >1，故a －1>0.∴ab ＝a ·a ＋3a －1＝a －12＋5a －1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5≥9. 当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时取等号． ∴ab 的取值X 围是[9，＋∞)．方法二 (看成不等式的解集)∵a ，b 为正数，∴a ＋b ≥2ab ，又ab ＝a ＋b ＋3，∴ab ≥2ab ＋3.即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍去)，∴ab ≥9.∴ab 的取值X 围是[9，＋∞)．方法三若设ab ＝t ，则a ＋b ＝t －3，∴a ，b 可看成方程x 2－(t －3)x ＋t ＝0的两个正根．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝[－t －3]2－4t ≥0a ＋b ＝t －3>0ab ＝t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ t ≤1或t ≥9t >3t >0，解得t ≥9，即ab ≥9.∴ab 的取值X 围是[9，＋∞)． 7．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，⊙M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，P 为椭圆 G 上一点，过P 作⊙M 的两条切线PE 、PF ，E 、F 分别为切点．(1)求t ＝|PM →|的取值X 围；(2)把PE →·PF →表示成t 的函数f (t )，并求出f (t )的最大值、最小值．解 (1)设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 20a 2－1＝1(a >1)， ∴y 20＝(a 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2， ∴t 2＝|PM →|2＝(x 0＋1)2＋y 20＝(x 0＋1)2＋(a 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 0＋a 2， ∴t ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a x 0＋a . ∵－a ≤x 0≤a ，∴a －1≤t ≤a ＋1(a >1)．(2)∵PE →·PF →＝|PE →||PF →|cos∠EPF＝|PE →|2(2cos 2∠EPM －1)＝(|PM →|2－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2|PM →|2－1|PM |2－1 ＝(t 2－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t 2－1t 2－1 ＝t 2＋2t2－3，∴f(t)＝t2＋2t2－3(a－1≤t≤a＋1)．对于函数f(t)＝t2＋2t2－3(t>0)，显然在t∈(0，42]时，f(t)单调递减，在t∈[42，＋∞)时，f(t)单调递增．因此，对于函数f(t)＝t2＋2t2－3(a－1≤t≤a＋1)，当a>42＋1，即a－1>42时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋2a＋12，[f(t)]min＝f(a－1)＝a2－2a－2＋2a－12；当1＋2≤a≤42＋1时，[f(t)]max＝f(a＋1)＝a2＋2a－2＋2a＋12，[f(t)]min＝f(42)＝22－3；当1<a<1＋2时，[f(t)]max＝f(a－1)＝a2－2a－2＋2a－12，[f(t)]min＝f(42)＝22－3.。

【步步高】(江苏专用)2014届高考数学二轮专题突破专题一第2讲函数、基本初等函数的图象与性质

第2讲函数、基本初等函数的图象与性质【高考考情解读】 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式考查，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规X 步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.3．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．(2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况． 4．熟记对数式的五个运算公式log a (MN )＝log a M ＋log a N ；log a M N ＝log a M －log a N ；log a M n＝n log a M ；a log a N ＝N ；log a N ＝log b N log b a(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0)．提醒：log a M －log a N ≠log a (M －N )， log a M ＋log a N ≠log a (M ＋N )． 5．与周期函数有关的结论(1)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝|a －b |.(2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a . (3)若f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T＝2a .提醒：若f (x ＋a )＝f (－x ＋b )(a ≠b )，则函数f (x )关于直线x ＝a ＋b2对称.考点一函数及其表示例1 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f 2xln x的定义域是________．答案 (0,1)解析由函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]得，函数g (x )有意义的条件为0≤2x ≤2且x >0，x ≠1，故x ∈(0,1)．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x，x ≤0，则f (f (19))＝________.答案 14解析因为19>0，所以f (19)＝log 319＝－2，故f (－2)＝2－2＝14.(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值X 围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f (g (x ))的定义域应由不等式a ≤g (x )≤b 解出． ②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． (2)求函数值时应注意形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．(1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f x ＋3，x <4，则f (log 23)＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值X 围是________．答案 (1)24 (2)(－1，2－1) 解析 (1)f (log 23)＝f (log 23＋3) ＝f (log 224)＝2log 224＝24.(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1是增函数；当x <0时f (x )＝1，因此由题设f (1－x 2)>f (2x )得，⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>02x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0.解之得－1<x <0或0≤x <2－1.故所某某数x 的取值X 围是(－1，2－1)．考点二函数的性质例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x的取值X 围为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 解析 f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g－2＝－x －2<0g2＝3x －2<0，∴－2<x <23.(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值等于________．答案－14解析根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－14.函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·某某改编)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值X 围是________．(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________．答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 (2)－1 解析 (1)由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )．∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又因f (x )在[0，＋∞)上递增． ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. (2)依题意得f (0)＝0.当x >0时，f (x )>e 0＋a ＝a ＋1. 若函数f (x )在R 上是单调函数，则有a ＋1≥0，a ≥－1，因此实数a 的最小值是－1. 考点三函数的图象例3 形如y ＝b|x |－a(a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |图象的交点个数为n ，则n ＝________.答案 4解析由题意知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1x ≥0且x ≠1，－1x ＋1x <0且x ≠－1，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布X 围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值X 围是________．答案 [－2,0]解析函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度．显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立．即a ≥x －2成立，∴a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0. 考点四基本初等函数的图象及性质例4 (1)若函数f (x )＝212log ,0,log (),0,x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值X 围是________．(2)已知a ＝ 3.42log5，b ＝ 3.64log5，c ＝0.33log15（），则a 、b 、c 大小关系为________．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)a >c >b解析 (1)方法一由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )．方法二对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0，故－1<a <0或a >1. (2)∵a ＝ 3.42log5，b ＝ 3.64log5，c ＝0.33log15（）＝5log 3313，根据y ＝a x且a ＝5，知y 是增函数．又∵log 23.4>log 3313>1,0<log 43.6<1，∴5log 23.4>(15)log 30.3>5log 43.6，即a >c >b .(1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较．(1)(2012·某某)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为________．(2)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值X 围是________．答案 (1)c <b <a (2)(－1,0) 解析 (1)利用中间值判断大小．b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .(2)作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )及y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称，观察图象(如图所示)知，－1<x <0，即x ∈(－1,0)．也可把原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，－x <2x ＋1后作图．1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a .(2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称． 4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的X 围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较．6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．1．关于x 的方程e xln x ＝1的实根个数是________．答案 1解析由原方程可得ln x ＝e －x. 设y 1＝ln x ，y 2＝e －x，两函数的图象如图所示：两曲线有且只有一个交点，所以方程有唯一解．2．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________________．答案 (－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析由已知条件可知，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－log 2(－x )．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )<－1，即为log 2x <－1，解得0<x <12；当x ∈(－∞，0)时，f (x )<－1，即为－log 2(－x )<－1，解得x <－2.所以f (x )<－1的解集为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 3．定义域为R 的偶函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )与函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)上至少有三个交点，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 解析 ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，∴令x ＝－3得f (1)＝0， ∴f (x ＋2)＝f (x )，周期T ＝2.x ∈[0,1]时，f (x )＝f (x ＋2)＝－2(x －1)2.根据函数f (x )的奇偶性与周期性画出图象．要使y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)上至少有三个交点，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1log a 3>－2，解得0<a <33.(推荐时间：40分钟)1．已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100的值等于________．答案－lg 2解析当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )．又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )．所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的________条件．答案充分不必要解析当c ＝－1时，易知f (x )在R 上递增；反之，若f (x )在R 上递增，则需有1＋c ≤0，即c ≤－1. 所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．3．(2013·课标全国Ⅱ改编)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a 、b 、c 的大小关系为_______．答案 a >b >c解析设a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c .4．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，则实数m的取值X 围是________．答案 [－1，12)解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)， ∴不等式f (1－m )<f (m )⇔f (|1－m |)<f (|m |)，又∵当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |>|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m <12.5．设函数f (x )＝x (e x＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．答案－1解析因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x＋a e x )＝x (e x ＋a e －x)，化简得x (e －x＋e x)(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1. 6．设函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f x 1－f x 2x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值X 围是________．答案 a ≤2解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，如图，作出函数图象，当a 变化时，易得a 的取值X 围为a ≤2.7．已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋5，且f (1)＝3，则f (－1)＝________.答案 7解析因为f (1)＝3，所以f (1)＝a sin 1＋b ＋5＝3，即a sin 1＋b ＝－2.所以f (－1)＝－a sin 1－b ＋5＝－(－2)＋5＝7.8．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.9．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值X 围是________．答案 1<a <54解析 y ＝x 2－|x |＋a 是偶函数，图象如图所示．由图象可知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点需满足a －14<1<a ， ∴1<a <54. 10．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________．(填序号)答案 ③④解析函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 得， a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．11．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x x ≥0，ax 2＋bx x <0，给出下列结论：①f (f (1))＝1；②函数y ＝f (x )有三个零点；③f (x )的递增区间是[1，＋∞)；④直线x ＝1是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；⑤函数y ＝f (x ＋1)＋2图象的对称中心是点(1,2)．其中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)．答案 ①②解析因为f (x )是奇函数，所以x <0时，f (－x )＝x 2＋2x ，即f (x )＝－x 2－2x .可求得a ＝－1，b ＝－2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ， x ≥0，－x 2－2x ， x <0.①f (f (1))＝f (－1)＝－f (1)＝1，①正确；②易知f (x )的三个零点是－2,0,2，②正确；③当x ∈(－∞，－1]时，f (x )也单调递增，③错误；④由奇函数图象的特点知，题中的函数f (x )无对称轴，④错误；⑤奇函数f (x )图象关于原点对称，故函数y ＝f (x ＋1)＋2图象的对称中心应是点(－1,2)，⑤错误．故填①②.12．给出下列四个函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x .当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22恒成立的函数的序号是________．答案 ②④解析由题意知满足条件的图象形状为：故符合图象形状的函数为y ＝log 2x ，y ＝x .13．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.则所有正确命题的序号为________．答案 ①②④解析令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④. 14．已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值X 围是________．答案 (2，＋∞)解析作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须使直线y ＝mx与函数y ＝12x 2＋1 (x >0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1在x >0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0，解得m > 2.故所某某数m 的取值X 围是(2，＋∞)．。

【步步高】江苏专用高考数学二轮复习专题七第1讲几何证明选讲课件理苏教版

2．平行截割定理(平行线分线段成比例定理)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
3．相似三角形的判定定理判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
判定定理 2：如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 4．相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； (2)相似三角形周长的比等于相似比； (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(1)证明 ∵BE 切⊙O 于 B， ∴∠ABE＝∠ACB. 又 AD∥BC， ∴∠EAB＝∠ABC， ∴△EAB∽△ABC， ∴AAEB＝BACB， ∴AB2＝AE·BC. (2)解由(1)△EAB∽△ABC，∴ABCE＝BACB. 又 AE∥BC， ∴EAFF＝ABCE，∴BACB＝EAFF. 又 AD∥BC， ∴AB＝CD ， ∴AB＝CD，∴CBDC＝EAFF，∴58＝E6F， ∴EF＝380＝145.
线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
热点分类突破
题型一相似三角形的判定及性质的应用例1 如图，BD、CE 是△ABC 的高．
求证：ADE∽△ABC. 思维启迪在△ADE 与△ABC 中，∠A 是公共角，所以可以考虑其夹角的两边对应成比例．证明 ∵BD、CE 是△ABC 的高， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°. 又∵∠A＝∠A， ∴△AEC∽△ADB， ∴AADE＝AACB. 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC.
3.如图所示，圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D，CD＝4，BD＝8，则圆 O 的半径等于_____5___．

【步步高】(江苏专用)2014届高考数学二轮专题突破专题四第2讲空间中的平行与垂直文

第2讲空间中的平行与垂直【高考考情解读】高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1.以填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ⊂αa ⊄α⇒a ∥α线面平行的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b线面垂直的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a ，l ⊥b ⇒l ⊥α线面垂直的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b2．面面平行与垂直的判定定理、性质定理面面垂直的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊂β⇒α⊥β面面垂直的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝c a ⊂αa ⊥c⇒a ⊥β面面平行的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂βb ⊂βa ∩b ＝Oa ∥α，b ∥α⇒α∥β面面平行的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b提醒使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可． 3．平行关系及垂直关系的转化示意图考点一空间线面位置关系的判断例1 (1)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________．(填序号)①l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3 ②l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3 ③l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面 ④l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面(2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α ②若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α ③若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m ④若l ∥α，m ∥α，则l ∥m答案(1)②(2)②解析(1)对于①，直线l1与l3可能异面、相交；对于③，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于④，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱．对于②，由异面直线所成角的定义知②正确．(2)①中直线l可能在平面α内；③与④中直线l，m可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得②正确．解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中．(1)(2013·某某改编)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是________．(填序号)①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n③若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β④若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β(2)平面α∥平面β的一个充分条件是________．(填序号)①存在一条直线a，a∥α，a∥β②存在一条直线a，a⊂α，a∥β③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案(1)④(2)④考点二线线、线面的位置关系例2如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB.(1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；(2)求证：EC∥平面PAB.证明(1)由题意得PA＝CA，∵F为PC的中点，∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC.∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF.(2)方法一如图，取AD的中点M，连结EM，CM.则EM∥PA.∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EM∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，MC＝AM，∴∠ACM＝60°.而∠BAC＝60°，∴MC∥AB.∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB.∵EC⊂平面EMC，∴EC∥平面PAB.方法二如图，延长DC、AB，设它们交于点N，连结PN.∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．∵E为PD的中点，∴EC∥PN.∵EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，∴EC∥平面PAB.(1)立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线．要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得．(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，D为AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；(3)在(2)的条件下，设AB＝1，求三棱锥B－A1C1D的体积．(1)证明如图所示，连结AB1交A1B于E，连结ED.∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，且AB＝BB1，∴侧面ABB1A1是正方形，∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点，∴在△AB1C中，ED是中位线，∴B1C∥ED，∴B1C∥平面A1BD.(2)证明∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B.∵侧面ABB 1A 1是正方形，∴A 1B ⊥AB 1. 又AC 1∩AB 1＝A ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，∴A 1B ⊥B 1C 1. 又∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴BB 1⊥B 1C 1， ∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1.(3)解 ∵AB ＝BC ，D 为AC 的中点， ∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面DC 1A 1. ∴BD 是三棱锥B －A 1C 1D 的高．由(2)知B 1C 1⊥平面ABB 1A 1， ∴BC ⊥平面ABB 1A 1.∴BC ⊥AB ，∴△ABC 是等腰直角三角形．又∵AB ＝BC ＝1，∴BD ＝22， ∴AC ＝A 1C 1＝ 2.∴三棱锥B －A 1C 1D 的体积V ＝13·BD ·S △A 1C 1D ＝13×22×12A 1C 1·AA 1＝212×2×1＝16.考点三面面的位置关系例3 如图，在几何体ABCDE 中，AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD ，AE ⊥平面ABD .M 为线段BD 的中点，MC ∥AE ，AE ＝MC ＝ 2. (1)求证：平面BCD ⊥平面CDE ；(2)若N 为线段DE 的中点，求证：平面AMN ∥平面BEC . 证明 (1)∵AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD ，M 为线段BD 的中点， ∴AM ＝12BD ＝2，AM ⊥BD .∵AE ＝MC ＝2，∴AE ＝MC ＝12BD ＝2，∴BC ⊥CD .∵AE ⊥平面ABD ，MC ∥AE ， ∴MC ⊥平面ABD . ∴平面ABD ⊥平面CBD ， ∴AM ⊥平面CBD . 又MC 綊AE ，∴四边形AMCE 为平行四边形， ∴EC ∥AM ，∴EC ⊥平面CBD ，∴BC ⊥EC ， ∵EC ∩CD ＝C ，∴BC ⊥平面CDE ， ∴平面BCD ⊥平面CDE .(2)∵M 为BD 中点，N 为ED 中点， ∴MN ∥BE 且BE ∩EC ＝E ，由(1)知EC ∥AM 且AM ∩MN ＝M ， ∴平面AMN ∥平面BEC .(1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行． (2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决．如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：(1)AF ∥平面BCE ； (2)平面BCE ⊥平面CDE .证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连结FG ，BG . ∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB . 又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .∴四边形GFAB 为平行四边形，则AF ∥BG . ∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，故AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . 考点四立体几何中的探索性问题例4 (2012·)如图(1)，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第(1)问证明线面平行，可以证明DE∥BC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ.(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，所以A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A 1C ⊥平面DEQ .故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ .解决探索性问题的一般步骤为：首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾结论就否定假设．另外也可以通过观察分析直接得到结论，然后证明其结论正确．直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC＝4，P 为平面ABCD 外一点，且PA ＝PB ，PD ＝PC ，N 为CD 的中点．(1)求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；(2)在线段PC 上是否存在一点E 使得NE ∥平面ABP ，若存在，说明理由并确定E 点的位置，若不存在请说明理由．解 (1)取AB 中点M ，连结PM ，PN ，MN 则PM ⊥AB ，PN ⊥CD ，又ABCD 为直角梯形，AB ⊥BC ， ∴MN ⊥AB . ∵PM ∩MN ＝M ， ∴AB ⊥平面PMN . 又PN ⊂平面PMN ， ∴AB ⊥PN . ∵AB 与CD 相交， ∴PN ⊥平面ABCD . 又PN ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面ABCD .(2)假设存在．在PC 、PB 上分别取点E 、F ，使BF ＝14BP ，CE ＝14CP ，连结EF 、MF 、NE ，则EF ∥BC 且可求得EF ＝34BC ＝3.∵MN ＝3且MN ∥BC ， ∴EF ∥MN 且EF ＝MN . ∴MNEF 为平行四边形， ∴EN ∥FM . 又FM ⊂平面PAB ，∴在线段PC 上存在一点E 使得NE ∥平面ABP ，此时CE ＝14PC .1．证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行； (2)利用平行四边形进行转换； (3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明． 2．证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行； (2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行． 3．证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行． 4．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可． 5．证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直； (2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．6．证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决.1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中正确的是________．(填序号)①AC ⊥BE ②EF ∥平面ABCD③三棱锥A －BEF 的体积为定值 ④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等答案 ①②③解析 ∵AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BE ⊂平面BB 1D 1D ， ∴AC ⊥BE ，故①正确．∵B 1D 1∥平面ABCD ，又E 、F 在线段B 1D 1上运动，故EF ∥平面ABCD .故②正确．③中由于点B 到直线EF 的距离是定值，故△BEF 的面积为定值，又点A 到平面BEF 的距离为定值，故V A －BEF 不变．故③正确．由于点A 到B 1D 1的距离与点B 到B 1D 1的距离不相等，因此△AEF 与△BEF 的面积不相等，故④错误．2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)证明：平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE ；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论． (1)证明如图，因为ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，所以B 1C 1⊥面ABB 1A 1. 因为A 1B ⊂面ABB 1A 1，所以B 1C 1⊥A 1B .又因为A 1B ⊥AB 1，B 1C 1∩AB 1＝B 1，所以A 1B ⊥面ADC 1B 1.因为A 1B ⊂面A 1BE ，所以平面ADC 1B 1⊥平面A 1BE . (2)解当点F 为C 1D 1中点时，可使B 1F ∥平面A 1BE . 证明如下：易知：EF ∥C 1D ，且EF ＝12C 1D .设AB 1∩A 1B ＝O ，则B 1O ∥C 1D 且B 1O ＝12C 1D ，所以EF ∥B 1O 且EF ＝B 1O ，所以四边形B1OEF为平行四边形．所以B1F∥OE.又因为B1F⊄面A1BE，OE⊂面A1BE.所以B1F∥面A1BE.(推荐时间：60分钟)一、填空题1．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确的是________．(填序号)①若α⊥β，l⊥β，则l∥α②若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α③若l⊥α，l∥β，则α⊥β④若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β答案③解析当α⊥β，l⊥β时，l可以在α内，∴①不正确；如果α过l上两点A，B的中点，则A，B到α的距离相等，∴②不正确；当α⊥β，α⊥γ时，可以有β∥γ，∴④不正确，∴正确的只有③.2．α、β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m∥β”的______________________条件．答案既不充分也不必要解析α∥β，当m∥α时，有可能m⊂β，不能推出m∥β，反之亦然．3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是________．(填序号)①平面ABD⊥平面ABC②平面ADC⊥平面BDC③平面ABC⊥平面BDC④平面ADC⊥平面ABC答案④解析∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ，又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC ，故填④.4．下列命题中，m 、n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ.正确命题是的序号为________．答案 ①④解析 ②平面α与β可能相交，③中m 与n 可以是相交直线或异面直线．故②③错．5．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，若木块的棱长为a ，则截面面积为________．答案 a 24解析如图，在面VAC 内过点P 作AC 的平行线PD 交VC 于点D ，在面VAB 内作VB 的平行线交AB 于点F ，过点D 作VB 的平行线交BC 于点E .连结EF ，易知PF ∥DE ，故P ，D ，E ，F 共面，且面PDEF 与VB和AC 都平行，易知四边形PDEF 是边长为a 2的正方形，故其面积为a 24. 6．在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝23，则正三棱锥S －ABC 外接球的表面积是________．答案 36π解析由MN ⊥AM 且MN 是△BSC 的中位线得BS ⊥AM ，又由正三棱锥的性质得BS ⊥AC ，所以BS ⊥面ASC .即正三棱锥S －ABC 的三侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，外接球直径为3SA ＝6.∴球的表面积S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.7．设x ，y ，z 是空间中的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是________(填出所有正确条件的代号)．①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y 为平面，z 为直线；⑤x ，y ，z 为直线．答案 ③④解析因为垂直于同一个平面的两条直线平行，所以③正确；因为垂直于同一条直线的两个平面平行，所以④正确；若直线x ⊥平面z ，平面y ⊥平面z ，则可能有直线x 在平面y 内的情况，所以①不正确；若平面x ⊥平面z ，平面y ⊥平面z ，则平面x 与平面y可能相交，所以②不正确；若直线x⊥直线z，直线y⊥直线z，则直线x与直线y可能相交、异面、平行，所以⑤不正确．8．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.答案a或2a解析由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x.易知Rt△CAF∽Rt△FA1D，得ACAF＝A1FA1D，即2ax＝3a－xa，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．答案②④解析①错误，PA⊂平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC.二、解答题10．(2013·某某)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝23，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．(1)证明因为BC＝CD，所以△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD ⊥平面PAC . (2)解三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积 S △BCD ＝12BC ·CD ·sin∠BCD ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.由PA ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝13×3×23＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18PA ＝13×3×18×23＝14，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.11．(2012·某某)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积；(3)证明：EF ⊥平面PAB .(1)证明因为AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥AB .因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .因为PH ⊄平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD .(2)解如图，连结BH ，取BH 的中点G ，连结EG .因为E 是PB 的中点，所以EG ∥PH ，且EG ＝12PH ＝12.因为PH ⊥平面ABCD ，所以EG ⊥平面ABCD .因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥AD ，所以底面ABCD 为直角梯形，所以V E －BCF ＝13S △BCF ·EG＝13·12·FC ·AD ·EG ＝212.(3)证明取PA 中点M ，连结MD ，ME .因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB .又因为DF 綊12AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD .因为PD ＝AD ，所以MD ⊥PA .因为AB ⊥平面PAD ，所以MD ⊥AB .因为PA ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB .12．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ＝4，∠ABC ＝120°，E ，M 分别为AB ，DE 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ， F 为A ′C 的中点，A ′C ＝4.(1)求证：平面A ′DE ⊥平面BCD ；(2)求证：FB ∥平面A ′DE .证明 (1)由题意，得△A ′DE 是△ADE 沿DE 翻折而成的， ∴△A ′DE ≌△ADE .∵∠ABC ＝120°，四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝60°.又∵AD ＝AE ＝2，∴△A ′DE 和△ADE 都是等边三角形．如图，连结A ′M ，MC ，∵M 是DE 的中点，∴A ′M ⊥DE ，A ′M ＝ 3.在△DMC 中，MC 2＝DC 2＋DM 2－2DC ·DM cos 60°＝42＋12－2×4×1×cos 60°，∴MC ＝13.在△A ′MC 中，A ′M 2＋MC 2＝(3)2＋(13)2＝42＝A ′C 2.∴△A ′MC 是直角三角形，∴A ′M ⊥MC .又∵A ′M ⊥DE ，MC ∩DE ＝M ，∴A ′M ⊥平面BCD .又∵A ′M ⊂平面A ′DE ，∴平面A′DE⊥平面BCD.(2)取DC的中点N，连结FN，NB.∵A′C＝DC＝4，F，N分别是A′C，DC的中点，∴FN∥A′D.又∵N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点，∴BN∥DE.又∵A′D∩DE＝D，FN∩NB＝N，∴平面A′DE∥平面FNB.∵FB⊂平面FNB，∴FB∥平面A′DE.。

步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破专题六第2讲统计

第2讲统计【高考考情解读】 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表，有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题．1．随机抽样(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少．(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2．常用的统计图表(1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1组距.(2)茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3．用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数、平均数(2)方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].考点一抽样方法例1 (2012·山东改编)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为________．答案 10解析由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人．在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为Nn (N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值．(1)(2013·江西改编)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.(2)抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．答案 (1)01 (2)37 20解析 (1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.(2)由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，即第n 组抽取的号码为5n －3，所以第8组抽出的号码为37；40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为40200×100＝20人．考点二用样本估计总体例2 (2012·广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.解 (2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5，0．04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10(人)．(1)在频率分布直方图中估计中位数和平均数的方法①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． ②平均数：在频率分布直方图中，平均数等于图中每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．(1)(2012·陕西改编)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲、 x 乙，中位数分别为m 甲、m 乙，则下列结论正确的是 ________．(填序号) ①x 甲<x 乙，m 甲>m 乙 ②x 甲<x 乙，m 甲<m 乙 ③x 甲>x 乙，m 甲>m 乙 ④x 甲>x 乙，m 甲<m 乙(2)(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：答案 (1)② (2)2解析 (1)直接利用公式求解．x 甲＝116(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝34516，x 乙＝116(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝45716.∴x 甲<x乙．又∵m 甲＝20，m 乙＝29，∴m 甲<m 乙．(2)x 甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，x 乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2. 考点三概率与统计的综合问题例3 在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图，据此回答以下问题：(1)求参赛总人数和频率分布直方图中[80,90)之间的矩形的高，并完成直方图；(2)若要从分数在[80,100]之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．解 (1)由茎叶图知，分数在[50,60)之间的频数为2. 由频率分布直方图知，分数在[50,60)之间的频率为 0．008×10＝0.08.所以参赛总人数为20.08＝25(人)．分数在[80,90)之间的人数为25－2－7－10－2＝4(人)，分数在[80,90)之间的频率为425＝0.16，得频率分布直方图中[80,90)间矩形的高为0.1610＝0.016.完成直方图，如图．(2)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4；[90,100]之间的2个分数编号为5和6.则在[80,100]之间任取两份的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，其中至少有一个在[90,100]之间的基本事件为(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共9个．故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝35.本题以概率和统计知识为结合点，以生活中的热点问题为背景，较全面的考查了学生用概率统计知识解决实际问题的能力．在求解(1)时，充分利用了茎叶图和频率分布直方图提供数据的互补性，即切实理解两统计方式提供数据的特征是求解本题的关键．右面茎叶图记录了甲组四名同学、乙组六名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示． (1)如果x ＝7，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果x ＝8，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数大于17的概率．解 (1)平均数为7＋7＋8＋10＋11＋116＝9，方差为(7－9)2×2＋(8－9)2＋(10－9)2＋(11－9)2×26＝3.(2)由题知所有基本事件为(6,7)，(6,8)，(6,8)，(6,10)，(6,11)，(6,11)，(7,7)，(7,8)，(7,8)，(7,10)，(7,11)，(7,11)，(8,7)，(8,8)，(8,8)，(8,10)，(8,11)，(8,11)，(10,7)，(10,8)，(10,8)，(10,10)，(10,11)，(10,11)，共24个．这两名同学的植树总棵数大于17的基本事件为(7,11)，(7,11)，(8,10)，(8,11)，(8,11)，(10,8)，(10,8)，(10,10)，(10,11)，(10,11)，共10个．所以这两名同学的植树总棵数大于17的概率为1024＝512.1．三种抽样方法的异同点2．用样本估计总体(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.(2)众数、中位数及平均数的异同众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量． (3)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布． ①总体期望的估计，计算样本平均值x ＝1n ∑ni ＝1x i .②总体方差(标准差)的估计： s 2＝1n ∑n i ＝1(x i －x )2，标准差s ＝s 2，方差(标准差)较小者较稳定.1．经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的学生比持“不喜欢”的学生多12人，按分层抽样的方法(抽样过程中不需要剔除个体)从全班选出部分学生进行关于摄影的座谈．若抽样得出的9位同学中有5位持“喜欢”态度的同学，1位持“不喜欢”态度的同学和3位持“一般”态度的同学，则全班持“喜欢”态度的同学人数为________．答案 30解析由题意设全班学生为x 人，持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”态度的学生分别占全班人数的59、19、13，所以x (13－19)＝12，解得x ＝54，所以全班持“喜欢”态度的人数为54×59＝30.2．某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为________．答案 71解析由频率分布直方图得每一组的频率依次为0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05，又由频率分布直方图，得每一组数据的中点值依次为45,55,65,75,85,95.所以本次考试数学成绩的平均分为x ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. 故填71.3．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图． (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．解 (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm ～179 cm 之间，而乙班身高集中于170 cm ～180 cm 之间，因此乙班平均身高高于甲班，其中x 甲＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170，x 乙＝159＋162＋165＋168＋170＋173＋176＋178＋179＋18110＝171.1.(2)甲班的样本方差为110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2. (3)设身高为176 cm 的同学被抽中的事件为A .从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)、(181,176)、(181,178)、(181,179)、(179,173)、(179,176)、(179,178)、(178,173)、(178,176)、(176,173)，共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件， ∴P (A )＝410＝25.(推荐时间：45分钟)一、填空题1．要完成下列两项调查：①从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取1 000根火腿肠进行“瘦肉精”检测；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况．适合采用的抽样方法依次为________，________. 答案系统抽样简单随机抽样解析 ①中总体容量较大，且火腿肠之间没有明显差异，故适合采用系统抽样；②中总体容量偏小，故适合采用简单随机抽样．2． (2012·四川改编)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为________．答案 808解析由题意知抽样比为1296，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有1296＝101N，解得N ＝808.3．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是________．答案 13,13解析设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4－d )(2＋d )＝8,2d －d 2＝0，又d ≠0，故d ＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为(4＋22)×510＝13，中位数为12＋142＝13.4．将某班的60名学生编号为：01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是____________．答案 16,28,40,52解析依据系统抽样方法的定义知，将这60名学生依次按编号每12人作为一组，即01～12、13～24、…、49～60，当第一组抽得的号码是04时，剩下的四个号码依次是16,28,40,52(即其余每一小组所抽出来的号码都是相应的组中的第四个号码)． 5．某校高三考生参加某高校自主招生面试时，五位评委给分如下：9．0 9.1 8.9 9.2 8.8则五位评委给分的方差为________．答案 0.02解析评委给分的平均数为 15×(9.0＋9.1＋8.9＋9.2＋8.8)＝9.0，方差为15×[(9.0－9.0)2＋(9.1－9.0)2＋(8.9－9.0)2＋(9.2－9.0)2＋(8.8－9.0)2]＝0.15＝0.02.6． (2012·广东)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列) 答案 1,1,3,3解析假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.又s ＝14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2] ＝12(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(4－x 2－2)2＋(4－x 1－2)2 ＝122[(x 1－2)2＋(x 2－2)2]＝1， ∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.7．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是__________．答案 1解析当x ≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x <4，∴89＋89＋92＋93＋92＋91＋x ＋907＝91，∴x ＝1. 二、解答题8． (2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表.(2)在(1)中，若评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：(2)记从A 12312B 组抽到的6位评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29.9．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ (3)已知y ≥245，z ≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．解 (1)∵x2 000＝0.19，∴x ＝380. (2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482 000×500＝12(名)．(3)设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生、男生数记为(y ，z )，由(2)知y ＋z ＝500，且y ，z ∈N *，基本事件空间包含的基本事件有：(245,255)、(246,254)、(247,253)、…、(255,245)共11个，事件A包含的基本事件有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共5个．∴P(A)＝511.。

(整理)步步高江苏专用(理)届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七第3讲坐标系与参数方程

第3讲坐标系与参数方程【高考考情解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．高考中以解答题形式出现，中档难度，分值为10分．1．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 3．常见曲线的参数方程(1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(2)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．(5)过定点P (x 0，y 0)的倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．4．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).考点一极坐标与直角坐标的互化例1 在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长．解 ∵ρcos(θ＋π4)＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ ＝32，∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ.∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18y ＝12，所以A (2，－4)，B (18,12)，所以AB ＝(18－2)2＋[12－(－4)]2＝16 2.即线段AB 的长为16 2.(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．(1)(2012·陕西改编)求直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长．解直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32.故弦长为2×32＝ 3. (2)(2012·湖南)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值．解 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 考点二参数方程与普通方程的互化例2 (1)(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1. (2)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0. 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R .因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π45.所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.(1)参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形． (2)参数方程思想的应用，不仅有利于曲线方程的表达，也成为研究曲线性质的有力工具，如在求轨迹方程、求最值的问题中有广泛的应用．(1)(2013·广东改编)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．解由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝2sin t(t 为参数)，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2.则在点(1,1)处的切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，故l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． ①求M 的轨迹的参数方程；②将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解 ①依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)． ②M 点到坐标原点的距离 d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．考点三极坐标与参数方程的综合应用例3 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的参数方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(1)曲线参数方程有很多优点：①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个．特别对于圆、椭圆、双曲线有很大用处．②很多参数都有实际意义，解决问题更方便．比如：直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(α为倾斜角，t 为参数)，其中|t |＝PM ，P (x ，y )为动点，M (x 0，y 0)为定点．(2)求两点间距离时，用极坐标也比较方便，这两点与原点共线时，距离为|ρ1－ρ2|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解．无论哪种情形，用数形结合的方法易得解题思路．(1)(2013·湖北改编)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m (m为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，求椭圆C 的离心率．解椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线l 的标准方程为x ＋y ＝m ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，由题意知⎩⎨⎧|m |2＝b a 2－b 2＝|m |，∴a 2－b 2＝2b 2，a 2＝3b 2，∴e ＝c 2a 2＝3b 2－b 23b 2＝23＝63. (2)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1tan φ，y ＝1tan 2φ(φ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，若曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点． ①求线段AB 的长；②求点M (－1,2)到A 、B 两点的距离之积．解 ①由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为y ＝x 2(x ≠0)，由曲线C 2的极坐标方程可得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，则曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，将其代入曲线C 1的普通方程得t 2＋2t －2＝0，设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－2，所以AB ＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10.②由①可得MA ·MB ＝|t 1t 2|＝2.1．解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度． 2．极坐标方程与普通方程互化核心公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 3．过点A (ρ0，θ0) ，倾斜角为α的直线方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .4．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．5．重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.1．在极坐标系中，求过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程．解把ρ＝6cos θ两边同乘以ρ，得ρ2＝6ρcos θ，所以圆的普通方程为x 2＋y 2－6x ＝0，即(x －3)2＋y 2＝9，圆心为(3,0)，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.2．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，点P (1＋cos α，sin α)，参数α∈[0,2π)．(1)求点P 轨迹的直角坐标方程； (2)求点P 到直线l 距离的最大值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，得点P 的轨迹方程(x －1)2＋y 2＝1. (2)由ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝9sin θ＋cos θ， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝9.∴曲线C 的直角坐标方程为x ＋y ＝9.圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心(1,0)到直线x ＋y ＝9的距离为42，所以(PQ )min ＝42－1.(推荐时间：60分钟)1． (2013·湖南改编)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，求常数a 的值．解由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s 消去参数s ，得x ＝2y ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ∵l 1∥l 2，∴2a ＝12≠1a，∴a ＝4.2． (2012·江苏)如图，在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，所以圆C 的半径 PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．解由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0. 故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.4． (2013·重庆改编)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，求AB 的长．解将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t3得t ＝±2，从而y ＝±8.所以A (4,8)，B (4，－8)．所以AB ＝|8－(－8)|＝16.5．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0. 由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.6．求直线ρ＝53cos θ－2sin θ关于θ＝π4(ρ∈R )对称的直线方程．解直线ρ＝53cos θ－2sin θ化为直角坐标方程为3x －2y ＝5，θ＝π4化为直角坐标方程为y ＝x ，则3x －2y ＝5关于y ＝x 对称的直线方程为3y －2x ＝5，化为极坐标方程为3ρsin θ－2ρcos θ＝5，即ρ＝53sin θ－2cos θ.7．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.圆心坐标为(0,6)，半径为6.又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，圆心坐标为(33，3)，半径为6.∴(PQ )max ＝6＋6＋(33)2＋(6－3)2＝18.8．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于点M ，N .(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求线段MN 的长．解 (1)由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，由θ＝π6(ρ∈R )得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝33x . (2)把y ＝33x 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得x 2＋13x 2－433x ＝0，即43x 2－433x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，∴y 1＝0，y 2＝1.∴MN ＝(3)2＋1＝2.即线段MN 的长为2.9． (2013·辽宁)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4，注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1，所以⎩⎨⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2. 10．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)方法一由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t －3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y －3≤y ≤3 方法二将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫－π3 ≤θ≤π3.。

步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破：专题七 第3讲 分类讨论思想

【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第2讲

步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破课件：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质

【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第1讲

步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破课件：专题六_第1讲_概率

步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破专题五第3讲圆锥曲线中的热点问题

【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题三 第3讲

步步高2014届高考数学江苏专用文二轮专题突破课件专题一 第3讲 函数与方程及函数的应用

【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题六 第1讲

【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题八 第3讲

【步步高】(江苏专用)2014届高考数学二轮专题突破 专题七 第1讲 函数与方程思想 文

【步步高】(江苏专用)2014届高考数学二轮专题突破 专题一 第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质

【步步高】江苏专用高考数学二轮复习 专题七第1讲几何证明选讲课件 理 苏教版

【步步高】(江苏专用)2014届高考数学二轮专题突破 专题四 第2讲 空间中的平行与垂直 文