(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练14 新人教A版
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练
名校专题----圆锥曲线培优训练41、在ABC ∆中AC =B 是椭圆22154x y +=在x 轴上方的顶点，l 的方程是1y =-，当AC 在直线l上运动时．（1）求ABC ∆外接圆的圆心P 的轨迹E 的方程；（2）过定点3(0,)2F 作互相垂直的直线12,l l ，分别交轨迹E 于,M N 和,R Q ，求四边形MRNQ 面积的最小值．解：（1）由椭圆方程22154x y +=得点(0,2),B 直线l 方程是1y =-AC ∴=且AC 在直线l 上运动．可设(1),(1),A m C m --则AC 的垂直平分线方程为x m = ①AB的垂直平分线方程为12y x -= ②P Q 是ABC ∆的外接圆圆心，∴点P 的坐标(,)x y 满足方程①和②，由①和②联立消去m 得26x y =故圆心P 的轨迹E 的方程为26x y =（2）由图可知，直线1l 和2l 的斜率存在且不为零，设1l的方程为32y kx =+，12l l ⊥Q ，2l ∴的方程为132y x k =-+．由23216y kx y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得 2690x kx --=Q △=226360,k ∆=+>∴直线1l 与轨迹E 交于两点．设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,9x x k x x +==．2||6(1).MN k ∴===+同理可得：21||6(1).RQ k =+∴四边形MRNQ 的面积2211||||18(2)18(272.2S MN RQ k k =•=++≥+=当且仅当221k k =，即1k =±时，等号成立．故四边形MRNQ 的面积的最小值为72．2、已知圆O:222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F.若P 是圆O 上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.解：(Ⅰ)因为2a e ==,所以c=1 则b=1,即椭圆C 的标准方程为2212x y +=(Ⅱ)因为P (1,1),所以12PF k =,所以2OQ k =-,所以直线OQ 的方程为y=－2x 又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(－2,4) 所以1PQ k =-,又1OP k =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 与圆O 相切(Ⅲ)当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切证明:设00(,)P x y(0x ≠),则22002y x =-,所以001PF y k x =+,001OQ x k y +=-,所以直线OQ 的方程为001x y x y +=-所以点Q(－2,0022x y +)所以002200000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x xk x x y x y y +--+--====-+++,又00OP y k x =, 所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 始终与圆O 相切3、已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足0,2=⋅=NP GQ NQ NP .（I ）求点G 的轨迹C 的方程；（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,OB OA OS += 是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.1. 解：（1）⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋅=02PN GQ Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN ⇒GQ 为PN 的中垂线⇒|PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，其长半轴长3=a ，半焦距5=c ，∴半轴长b=2，∴点G 的轨迹方程是14922=+y x（2）因为+=，所以四边形OASB 为平行四边形 若存在l 使得||=|AB |，则四边形OASB 为矩形0=⋅∴ 若l 的斜率不存在，直线l 的方程为x=2，由⎪⎩⎪⎨⎧±==⎪⎩⎪⎨⎧=+=3522149222y x y x x 得 0,0916=⋅>=⋅∴OB OA OB OA 与矛盾，故l 的斜率存在.设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -=)1(3636)49(149)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 由49)1(36,493622212221+-=+=+∴k k x x k k x x ①)]2()][2([2121--=x k x k y y 4920]4)(2[2221212+-=++-=k k x x x x k ②把①、②代入2302121±==+k y y x x 得∴存在直线06230623:=-+=--y x y x l 或使得四边形OASB 的对角线相等.2.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y ax 的长轴长为4，离心率为21，21,F F 分别为其左右焦点．一动圆过点2F ，且与直线1-=x 相切。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版强基版)：圆锥曲线中的综合问题全文
所以B→D＝(x1－2，y1)，B→E＝(x2－2，y2)，
则(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
将x1＝ky1＋m，x2＝ky2＋m代入上式得
(k2＋1)y1y2＋k(m－2)(y1＋y2)＋(m－2)2＝0，
将
①
代
入
上
式
得
(k2＋
1)
m2－4 k2＋4
＋
k(m
－
2)
－k2＋2km4 ＋
(m
x1＋x2＝－8 267m，x1x2＝4m227－3， y1y2＝6x1x2＋ 6m(x1＋x2)＋m2＝24m2－3－2748m2＋27m2， ∵O→A·O→B＝0，∴x1x2＋y1y2＝0， 代入根与系数的关系得 m2＝12，m＝±2 3，满足 Δ>0， ∴直线 l 的方程为 y＝ 6x±2 3.
4k2＋1
又直线 OP 的斜率为－－12－－00＝12，且直线 OP 与 MQ 不重合，
所以MQ∥OP.
题型二 定点与定值
例 2 (2022·济南模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A，B，点 P(0,2)，连接 PA，PB 交椭圆 C 于点 M，N，△PAB 为直角三角 形，且|MN|＝35|AB|. (1)求椭圆的标准方程；
设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方 程联立得 y＝kx＋1， x32＋y42＝1， 消去 y 整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0， Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0恒成立， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则|MN|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2×4＋Δ3k2＝124＋1＋3kk22， x1＋x2＝－4＋6k3k2，
(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练16 新人教A版-新人教A版高三全册数
圆锥曲线（16）【某某省泰和中学2012届高三12月周考】已知抛物线22y px =上一点M （1，m ）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．x=8B ．x=-8C ．x=4D ．x=-4【答案】D 【解析】由题意得52p1=+，故8p =,所以准线方程为4x =- 【某某省微山一中2012届高三10月月考数学（文）】10．设M （0x ，0y ）为抛物线C ：28x y =上一点，F为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值X 围是（） A ．（0，2） B ．[0，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）【答案】C【解析】由题意只要4FM >即可，而002,2,FM y y =+∴>所以，简单考查抛物线的方程、直线与圆的位置关系、抛物线的定义及几何性质，是简单题。
【某某实验中学2012届高三第一次诊断性考试理】12. 点P 在双曲线上•，是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(A) .2 (B) .3(C) .4(D) .5【答案】D【解析】解：设|PF 2|,|PF 1|，|F 1F 2|成等差数列，且分别设为m-d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知：m-(m-d)=2a,m+d=2c, (m-d)2+m 2=(m+d)2,解得m=4d=8a,5252dce da ∴===故选项为D【某某省微山一中2012届高三10月月考理】8. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值X 围为（） A ．2,)+∞ B ．[2,)+∞C ．2]D ．2)答案:C解析:这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P 使得OP 斜率为1即可,所以只要渐进线的斜率大于1,也就是离心率求其在大于1的补集;该题通过否定形式考查反证法的思想,又考查数形结合、双曲线的方程及其几何性质,是中档题.【2012某某师大附中高三下学期开学考卷文】设12F F 、分别是椭圆222:1(01)y E x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线与E 相交于A B 、两点，且22,AF AB BF ，成等差数列，则AB 的长为（ ） A ．32B ．1 C ．34D ．35【答案】C【解析】本题主要考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系，等差中项的计算. 属于基础知识、基本运算的考查.椭圆222:1(01)y E x b b+=<<，1a =，∵112221,1AF BF a AF BF +==+=，相加得11222AF BF AF BF +++=221122||AF BF AF BF AB +=-+=-22,AF AB BF ，成等差数列，22221AB AF BF a =+==于是22AB AB =-，∴23AB =【2012年某某市高中毕业班教学质检1文】曲线y=x 3在点(1，1)处的切线方程是 A ．x+y-2=0 B ．3x+y-2=0C ．3x-y-2=0 D ．x-y+2=0 【答案 C【解析】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系、导数. 属于基础知识、基本运算的考查. 点(1，1)在曲线y=x 3上，切线的斜率就是曲线的导数，23y x '=，斜率k ＝3由点斜式方程得切线方程为13(1)y x -=-，即3x-y-2=0【2012某某市高三上学期期末统一考试文】已知双曲线的渐近线为y =，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）A ．221824x y -= B ．221124x y -= C ．221248x y -= D ．221412x y -= 【答案】 D【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.双曲线的渐近线为y =，焦点在x 轴上，双曲线方程设为22(0)3y x λλ-=> 即2213x y λλ-=，22,3a b λλ==，∵焦点坐标为（-4，0），（4，0）∴4c = 2224164c a b λλ=+==⇒=∴双曲线方程为221412x y -= 【2012年某某市高中毕业班教学质检1文】双曲线224y x -=1的离心率是 A ．21B ．23C ．25D ．3【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.双曲线224y x -=1中，222224,15a b c a b ==⇒=+=，双曲线224y x -=1的离心率是c e a ==【2012某某十校高三上学期期末联考文】过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若()12OE OF OP =+，则双曲线的离心率为 （ ）A B ．5C ．2D 【答案】 C【解析】本题主要考查双曲线的定义、直线与圆的位置关系、中点公式、双曲线的简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.圆的2224a x y +=半径为2a ，由()12OE OF OP =+知，E 是FP 的中点，如图，设(,0)F c '，由于O 是FF '的中点，所以，1,22OE PF OE PF PF OE a '''=⇒== 由双曲线定义，3FP a =，因为FP 是圆的切线，切点为E ，所以FP OE ⊥，从而90FPF ︒'∠=，由勾股定理222222942FP F P FF a a c e ''+=⇒+=⇒=【2012年某某市高中毕业班教学质检1文】已知抛物线y 2=2px ，直线l 经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A 、B 两点，若|AB|=10，P 为抛物线的准线上一点，则△ABP 的面积为 A ．20 B ．25 C ．30 D ．50 【答案】B【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、通径的概念、抛物线的简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.抛物线y 2=2px ，直线l 经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A 、B 两点，则|AB|＝2p ，|AB|=10，所以抛物线方程为y 2=10x ，P 为抛物线的准线上一点，P 到直线AB 的距离为p ＝5，则△ABP 的面积为1105252⨯⨯= 【2012某某市普通高中高三上学期联考文】若双曲线112422=-y x 上的一点P 到它的右焦点的距离为8,则点P 到它的左焦点的距离是 A ．4 B ．12 C ．4或12D ．6【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的标准方程，属于基础知识、基本方法的考查. 设双曲线的两个焦点分别A,B ，由定义，||||||4PA PB -=，|8|||4PB -=，||4PB =或者||12PB =【2012黄冈市高三上学期期末考试文】设F 为抛物线24y x =的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3【答案】B【解析】本题主要考查抛物线的定义和标准方程、向量共线的知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，抛物线焦点坐标F(1，0)，准线方程：x=-1 ∵0FA FB FC ++=∴点F 是△ABC 重心 则x 1+x 2+x 3=3， y 1+y 2+y 3=0而|FA|=x 1－(－1)=x 1＋1 |FB|=x 2－(－1)=x 2＋1 |FC|=x 3－(－1))=x 3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x 1+1+x 2+1+x 3+1=(x 1+x 2+x 3)+3=3+3=6【2012武昌区高三年级元月调研文】已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．5222+ B ．5212+ C ．5222- D ．5212- 【答案】D【解析】本题主要考查抛物线定义以及点到直线的距离公式以及最值问题以及转化的思想. 属于基础知识、基本运算、基本能力的考查.由抛物线的定义，PF ＝11d +，11d PF =-1221d d d PF +=+-，显然当PF 垂直于直线40x y -+=时，12d d +最小。
(新课标)高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题曲线与方程新人教A版【含答案】.docx
（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题曲线与方程新人教A版【考纲解读】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1. 平面解析几何是历年来高考重点内容之一, 经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2. 高考将会继续保持稳定, 坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新, 命题形式会更加灵活.【要点梳理】1. 已知曲线形状, 求方程: 可以用待定系数法.2. 未知曲线的形状, 求方程:(1) 直接法: 直接由条件列式, 化简整理即可;(2) 代入法: 明确主动点与被动点;(3) 定义法: 利用圆或圆锥曲线的定义求轨迹方程.【例题精析】考点一求曲线方程例 1 设A 是单位圆x2+y2=1 上任意一点，l 是过点 A 与x 轴垂直的直线，D是直线l 与x 轴的交点，点M在直线l 上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）. 当点A 在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。
（2）过原点且斜率为K 的直线交曲线C于P，Q两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，请说明理由.1因为，两点在椭圆上，所以两式相减可得2.③【名师点睛】本小题主要考查直线与圆以及圆锥曲线等基础知识, 考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等数学思想方法，考查同学们分析问题和解决问题的能力.【变式训练】1. ( 本小题满分12 分)如图，动圆,1<t<3,与椭圆：相交于A，B，C，D四点，点分别为的左，右顶点。
(新课标)高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题函数的图像与性质新人教A版【含答案】.docx
（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题函数的图像与性质新人教A版x 0例11.. 若x, y 满足约束条件：x 2y 3；则x y 的取值范围为▲2x y 3【答案】[ 3,0] 。
【考点】简单线性规划。
【解析】求x y 的取值范围，则求出x y 的最大值和最小值即可。
作图，可知约束条件对应ABC边际及内的区域：3A(0,3), B(0, ), C (1,1)。
2当x 1, y 1时，x y 取得最大值0；当x 0, y 3 时，x y 取得最小值3。
∴x y的取值范围为[ 3,0] 。
例12. ）已知正数a，b，c满足：5c 3a≤b≤4c a，clnb≥a cln c，则ba的取值范围是▲．【答案】e，7 。
【考点】可行域。
【解析】条件5c 3a≤b ≤4c a，cln b≥a cln c 可化为：a b3 5c ca bc c4。
b cace设a =x y=b，，则题目转化为：c c3x y 5已知x，y 满足x yxy e4，求yx的取值范围。
x > 0，y > 0作出（x，y ）所在平面区域（如图）。
求出y= e x 的切线的斜率 e ，设过切点P x0，y0 的切线为y =ex m m 0 ，1y ex m m则0 0= =ex x x0 0 0，要使它最小，须m=0 。
∴yx的最小值在xP x ，y 处，为 e 。
此时，点P x0，y0 在=y e 上A,B 之间。
0 0当（x，y ）对应点 C 时，y=4 x 5 y=20 5x yy=7 x =7y=5 3x 4 y=20 12x x，∴yx的最大值在 C 处，为7。
∴yx的取值范围为e，7 ，即ba的取值范围是e，7 。
例13. 已知正三角形ABC的顶点A(1,1) ，B(1,3) ，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y 的取值范围是【】（A）(1 －3，2) （B）(0 ，2) （C）( 3－1，2) （D）(0 ，1+ 3)【答案】A。
【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题14 圆锥曲线的综合问题(学生版+解析版)
专题14 圆锥曲线的综合问题一、单选题1．（2020·全国高三月考（文））若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( )A ．2B ．4C ．8D ．162．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三二模（理））抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．3．（2019·甘肃省会宁县第四中学高二期末）椭圆与双曲线有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( ) A ．48B ．24C ．2D ．4．（2019·湖北省高二期中）若0mn ≠，则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2019·黑龙江省哈尔滨三中高二期中（文））以抛物线28x y =520x y m ++=相切，则m =（ ）A ．1或9-B ．1-或9C ．3或7-D ．-3或76．（2019·河南省包屯高中高二期末）已知方程22141x y t t +=--的曲线为C ，下面四个命题中正确的个数是①当14t <<时，曲线C 不一定是椭圆； ②当41t t ><或时，曲线C 一定是双曲线； ③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<； ④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4t >. A ．1B ．2C ．3D ．47．（2020·北京人大附中高二期中）已知抛物线22(0)x py p =>的准线被双曲线22132x y -=截得的弦长为6，则该抛物线的焦点坐标是( ) A ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,32)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,2)8．（2020·湖北省高三其他（文））已知抛物线243y x =的准线与双曲线22221x y a b-=的两条渐近线分别交于,A B 两点若双曲线的离心率是23，那么AB =（ ） A ．2B ．43C ．2D ．239．（2019·平遥县第二中学校高二月考）设椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为12,,F F P 是两曲线的一个公共点,则12cos F PF ∠的值等于A ．13 B ．14 C ．19D ．3510．（2019·福建省高三一模（理））如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．二、多选题11．（2019·常州市第一中学高二期中）若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中错误．．的是（ ）A ．若C 为椭圆，则13t <<B ．若C 是双曲线，则其离心率有12e <<C ．若C 为双曲线，则3t >或1t <D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<12．（2019·福建省南安第一中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的离心率31e =B ．双曲线的离心率2e =C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅< D ．双曲线上存在点B 使得120BF BF ⋅< 13．（2020·海南省高三二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的准线方程为1y =- B ．线段PQ 的长度最小为4 C ．M 的坐标可能为()3,2 D ．3OP OQ ⋅=-恒成立三、填空题14．（2019·湖北省高二期中）设双曲线221x y m n+=的离心率为2，且一个焦点与抛物线216x y =的焦点相同，则此双曲线的方程是___________．15．（2019·涟水县第一中学高二月考）若直线2y kx =+ 与抛物线2y x = 只有一个交点，则实数k 的值为______16．（2020·四川省成都外国语学校高二开学考试（理））过椭圆22132x y +=内一点()1,1P 引一条恰好被P 点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是_____________17．（2020·浙江省高三月考）已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF 周长是___________，ABF 的重心纵坐标的最大值是___________ 四、解答题18．（2020·天水市第一中学高二月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点且离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.19．（2019·涟水县第一中学高二月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)过点3(1,)2P ，离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为2l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究22OA OB +是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．20．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））已知抛物线2:4C y x =.（1）若P 是抛物线C 上任一点，(2,3)Q ，求点P 到Q 和y 轴距离之和的最小值；（2）若ABC 的三个顶点都在抛物线C 上，其重心恰好为C 的焦点F ，求ABC 三边所在直线的斜率的倒数之和.21.（2019·苏州新草桥中学高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭，⎛ ⎝⎭，点A 是椭圆的下项点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.22．（2020·河南省高二月考（文））已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C交于A ，B 两点，弦AB 的中点的横坐标为32，5AB =. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 的倾斜角为锐角，求与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程.23.（2019·安徽省蚌埠二中高三其他（文））已知点P 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，且点P 的纵坐标为1，点P 到抛物线焦点F 的距离为2 （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求||||AF BF -的值.专题14 圆锥曲线的综合问题一、单选题1．（2020·全国高三月考（文））若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( )A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】D 【解析】抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，， 双曲线2213-=x y p p的一个焦点是()20p ，， 由条件得22pp =，解得16p =. 故选：D .2．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三二模（理））抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为， 即有三角形的面积为，解得，故选A ．3．（2019·甘肃省会宁县第四中学高二期末）椭圆与双曲线有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( ) A ．48 B ．24C ．2D ．【答案】B 【解析】结合椭圆性质,可以得到建立方程,得到点P 的坐标为,故,故选B.4．（2019·湖北省高二期中）若0mn ≠，则方程0mx y n -+=与22nx my mn +=所表示的曲线可能是图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】0mx y n -+=即为直线y mx n =+，22nx my mn +=即为曲线221x y mn+=，0mn ≠.对于A 选项，由直线方程可知，0m >，0n >，则曲线221x y m n +=，0mn ≠表示圆或椭圆，A 选项错误；对于B 选项，由直线方程可知，0m <，0n <，则曲线221x y m n +=，0mn ≠不存在，B 选项错误；对于C 选项，由直线方程可知，0m >，0n <，则曲线221x y m n+=，0mn ≠表示焦点在x 轴上的双曲线，C 选项正确；对于D 选项，由直线方程可知，0m <，0n >，则曲线221x y m n+=，0mn ≠表示焦点在y 轴上的双曲线，D 选项错误. 故选：C.5．（2019·黑龙江省哈尔滨三中高二期中（文））以抛物线28x y =5为半径的圆，与直线20x y m ++=相切，则m =（ ）A ．1或9-B ．1-或9C ．3或7-D ．-3或7【答案】C 【解析】抛物线28x y =的焦点为()0,2,以抛物线28x y =的焦点为圆心,5:圆心为()0,2,半径5r =，由直线20x y m ++=与圆相切,可得:圆心到直线的距离d ==解得3m =或7-. 故选:C .6．（2019·河南省包屯高中高二期末）已知方程22141x y t t +=--的曲线为C ，下面四个命题中正确的个数是①当14t <<时，曲线C 不一定是椭圆； ②当41t t ><或时，曲线C 一定是双曲线； ③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<； ④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4t >. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 对于①，当52t =时，曲线表示为圆，所以不一定是椭圆，所以①正确 对于②，当4t >时表示焦点在y 轴上的双曲线，当1t <曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，所以一定是双曲线，所以②正确对于③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得512t <<，所以③正确 对于④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩，解得4t >，所以④正确综上，四个选项都正确 所以选D7．（2020·北京人大附中高二期中）已知抛物线22(0)x py p =>的准线被双曲线22132x y -=截得的弦长为6，则该抛物线的焦点坐标是( )A．1 0,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B．(0,32)C．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D．(0,2)【答案】D【解析】因为抛物线22(0)x py p=>的准线被双曲线22132x y-=截得的弦长为6所以该准线与双曲线的一个交点坐标表示为3,2p⎛⎫-⎪⎝⎭，代入双曲线中2232132p⎛⎫- ⎪⎝⎭-=得4p=，所以焦点坐标为()0,2故选：D8．（2020·湖北省高三其他（文））已知抛物线23y x=的准线与双曲线22221x ya b-=的两条渐近线分别交于,A B23，那么AB=（）A．2B．43C2D．233【答案】A【解析】抛物线243y x=的准线3x=-22223cc a ba==+，3ba∴=，因此双曲线的渐近线方程为：3y x=，双曲线的一条渐近线方程与抛物线准线方程联立得：3,33x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，得1,y =根据双曲线的对称性可知：2AB =故选：A9．（2019·平遥县第二中学校高二月考）设椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为12,,F F P 是两曲线的一个公共点,则12cos F PF ∠的值等于A ．13 B ．14 C ．19D ．35【答案】A 【解析】由题意知F 1（﹣2，0），F 2（2，0），解方程组222216213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得229212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．取P 点坐标为32222⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，，1322P 222F ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭，，2322P 222F ，⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， cos ∠F 1PF 2=123232122222321321222222⎛⎫⎛⎫---+⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13． 故选A ．10．（2019·福建省高三一模（理））如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则周长的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为y ＝﹣1， 圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1）， 与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2， ∴|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ， ∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3， ∵1＜y B ＜3，∴三角形ABF 的周长的取值范围是（4，6）．故选：B ． 二、多选题11．（2019·常州市第一中学高二期中）若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中错误．．的是（ ）A ．若C 为椭圆，则13t <<B ．若C 是双曲线，则其离心率有12e <<C ．若C 为双曲线，则3t >或1t <D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则12t <<【答案】AD 【解析】若2t =，方程22131x y t t +=--即为221x y +=，它表示圆，A 错；对于选项B ，若1t <，则方程可变形为22131x y t t -=--，它表示焦点在x 轴上的双曲线；e ==<，1e <<若3t >，则方程可变形为22113y x t t -=--，它表示焦点在y 轴上的双曲线；e ==<1e <<B 正确； 对于选项C ，若1t <，则方程可变形为22131x y t t -=--，它表示焦点在x 轴上的双曲线；若3t >，则方程可变形为22113y x t t -=--，它表示焦点在y 轴上的双曲线，故C 正确；对于选项D ，若23t <<，则031t t <-<-，故方程22131x y t t +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；若12t <<，则013t t <-<-，故22131x y t t +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则D 错；故选：AD12．（2019·福建省南安第一中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ）A ．椭圆的离心率1e =B ．双曲线的离心率2e =C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅<D ．双曲线上存在点B 使得120BF BF ⋅< 【答案】ABD 【解析】如图，设122F F c =，则由正六边形性质可得点3,2cc I ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 由点I 在椭圆上可得22223144c c a b+=，结合222a c b -=可得22233b a =-，∴椭圆离心率212142331b e a=-=-=-， ∴()()22222224310a c a ⎡⎤-=--<⎢⎥⎣⎦∴当点A 为椭圆上顶点时，12cos 0F AF ∠<，此时120AF AF ⋅<； 点3,22c c I ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在双曲线22221x y N m n -=：的渐近线上可得322n c c m ⋅=即3=n m , ∴双曲线的离心率为2221132n e m=+=+=, 当点B 为双曲线的顶点时，易知120BF BF ⋅<. 故选：ABD.13．（2020·海南省高三二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的准线方程为1y =- B ．线段PQ 的长度最小为4 C ．M 的坐标可能为()3,2 D ．3OP OQ ⋅=-恒成立【答案】BCD 【解析】焦点F 到准线的距离即为2p =，所以抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线方程为1x =-，A 项错误. 当PQ 垂直于x 轴时长度最小， 此时()1,2P ，()1,2Q -，所以4PQ =，B 项正确.设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线PQ 的方程为1x my =+.联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得()224210x m x -++=，消去x 可得2440y my --=，所以21242x x m +=+，124y y m +=，当1m =时，可得()3,2M ，所以C 正确，又121=x x ，124y y =-，所以12123OP OQ x x y y ⋅=+=-，所以D 正确. 故选：BCD 三、填空题14．（2019·湖北省高二期中）设双曲线221x y m n+=的离心率为2，且一个焦点与抛物线216x y =的焦点相同，则此双曲线的方程是___________．【答案】221412y x -=【解析】抛物线216x y =的焦点为()0,4在y 轴上,故双曲线4c =,又22ca a=⇒=, 故22212b c a =-=.故双曲线的方程为221412y x -=.故答案为：221412y x -=15．（2019·涟水县第一中学高二月考）若直线2y kx =+ 与抛物线2y x = 只有一个交点，则实数k 的值为______ 【答案】0或 18【解析】联立直线方程与抛物线方程可得：22(41)40k x k x +-+=， ①若0k =，则4x =，满足题意；②若0k ≠，则22(41)160k k ∆=--=，解得18k =. 综上所述，k =0或 18. 故答案为：0或1816．（2020·四川省成都外国语学校高二开学考试（理））过椭圆22132x y +=内一点()1,1P 引一条恰好被P 点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是_____________ 【答案】2350x y +-= 【解析】由题意知，该直线斜率存在，设直线与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y 两点，斜率为k ，则22112222132132x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得1212121223y y y y x x x x --++⋅-=，即221321k ⨯-=⋅⨯，所以23k =-， 所以所求直线方程为()2113y x -=--，即2350x y +-=. 故答案为：2350x y +-=.17．（2020·浙江省高三月考）已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF 周长是___________，ABF 的重心纵坐标的最大值是___________ 【答案】86【解析】由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F . 则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF ∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y B x y设ABF 的重心纵坐标为0y .则12120033y y y y y +++==.联立直线与椭圆方程得()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭. 则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k >时，34k k+≥= 当且仅当34k k =，即k =时，等号成立，此时06y ≤=； 当k 0<时，3344k k k k ⎛⎫+=---≤-=- ⎪⎝⎭，当且仅当34k k -=-， 即2k =-时，等号成立，此时06y ≥=-.综上所述：0y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF .故答案为: 8;6.四、解答题18．（2020·天水市第一中学高二月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点且离心率为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在这样的直线，直线方程为：1432y x =±+.【解析】（1）由已知点代入椭圆方程得22211a b +=由e =得c a =可转化为222a b = 由以上两式解得224,2a b ==所以椭圆C 的方程为：22142x y +=.（2）存在这样的直线.当l 的斜率不存在时，显然不满足2PB PA =,所以设所求直线方程:3l y kx =+代入椭圆方程化简得： ()221212140k xkx +++=1221212k x x k +=-+① 1221412x x k =+.② ()2227(12)414120,4k k k ∆=-⨯⨯+>>,设所求直线与椭圆相交两点()()1122,,,A x y B x y 由已知条件2PB PA =可得212x x =,③ 综合上述①②③式子可解得27724k =>符合题意,所以所求直线方程为：32y x =±+. 19．（2019·涟水县第一中学高二月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)过点3(1,)2P ，离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究22OA OB +是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）是定值，7【解析】（1）由离心率12c e a ==，得a ∶b ∶c ＝21， 则可设椭圆C 的方程为2222143x y c c+= ，由点3(1,)2P 在椭圆C 上，得2213144c c+=，即c 2＝1， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）设直线l 的方程为y＝2x ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以OA 2＋OB 2＝21x ＋3－3421x +22x ＋3－2234x ＝14(21x ＋22x )＋6.由2223412y x n x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去y 得3x 2＋＋2n 2－6＝0. 当Δ＞0时，x 1＋x 2，x 1x 2＝2263n -，从而22221221212 24412()33n x x x n x x x -+=+-－＝＝4， 所以OA 2＋OB 2＝7，为定值．20．（2019·重庆巴蜀中学高二期中（理））已知抛物线2:4C y x =.（1）若P 是抛物线C 上任一点，(2,3)Q ，求点P 到Q 和y 轴距离之和的最小值；（2）若ABC 的三个顶点都在抛物线C 上，其重心恰好为C 的焦点F ，求ABC 三边所在直线的斜率的倒数之和.【答案】（11（2）0 【解析】（1）由抛物线定义可知：P 到Q 和y轴距离之和||||1||11PQ PF QF =+-≥-=， 当,,Q P F 三点共线时，取最小值.（2）设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，233,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵(1,0)F ∴1230y y y ++=.又22121212144AB y y y y k y y -+==-，同理：2314BC y y k +=，1314AC y y k += ∴1110AB BC ACk k k ++= 21.（2019·苏州新草桥中学高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭，⎛ ⎝⎭，点A 是椭圆的下项点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.【答案】（1）2214x y +=（2）1【解析】（1）由题意得222231141314a bab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）由题意知()0,1A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线11:1l y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x =-⎧⎨=⎩，得1111,11E k k ⎛⎫⎪--⎝⎭. 设直线211:1l x k y =--，同理1111,1111F k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭， 因为OE OF =，所以1111111k k =---，①1111111,0111k k k k =+=---无实数解； ②2111111111,2,210111k k k k k k =--=--=---，解得11k = 综上可得，直线1l的斜率为1±22．（2020·河南省高二月考（文））已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C交于A ，B 两点，弦AB 的中点的横坐标为32，5AB =. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线l 的倾斜角为锐角，求与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程.【答案】（Ⅰ）24y x =（Ⅱ）122y x =+【解析】（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 因为AB 的中点的横坐标为32，所以12322x x +=. 根据抛物线定义知125AB AF BF p x x =+=++=. 所以35p +=，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.（Ⅱ）设直线l 的方程为(1)y k x =-，0k >.则由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得()2222240k x k x k -++=.所以212224k x x k ++=，即22243k k+=，解得2k =. 设与直线l 平行的直线的方程为2y x b =+，由242y x y x b⎧=⎨=+⎩得224(44)0x b x b +-+=. 依题知22(44)160b b ∆=--=，解得12b =.故所求的切线方程为122y x =+. 23.（2019·安徽省蚌埠二中高三其他（文））已知点P 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，且点P 的纵坐标为1，点P 到抛物线焦点F 的距离为2（1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求||||AF BF -的值.【答案】（1）24x y =（2）4【解析】（1）设0(,1)P x ，由抛物线定义，点P 到抛物线焦点F 的距离为2 故1222p p +=∴= 故抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为(0,1)F ，准线方程为1y =-，(0,1)H -； 设()11,A x y ()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=， ∴124x x k +=，124x x =-，…①由AB HB ⊥，可得1AB HB k k =-⋅， 又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=， 即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…②把①代入②得，221216x x -=， 则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=.。
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1、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0），P （1）若α=∠21F PF ，β=∠21F PF （2）若θ221=∠PF F ，求证：21PF F ∆证明：（1）在21F PF ∆βαβαsin sin ||||)sin(221++=+PF PF c ∴βαβαsin sin )sin(2+=+c∴2cos 2cos2cos 2sin 22cos 2sin 2sin sin )sin(22βαβαβαβαβαβαβαβα-+=-++⋅+=++==a c e （2）在21F PF ∆中由余弦定理可知--+=⋅⋅-+=||||2|)||(|2cos ||||2||||)2(212212122212PF PF PF PF PF PF PF PF c θ)2cos 1(||||2)2(2cos ||||221221θθ+⋅⋅-=⋅⋅PF PF a PF PF∴θθ2cos 122cos 14421||||22221+=+-⋅=⋅b c a PF PF∴θθθθtan 2cos 12sin 2sin ||||21222121⋅=+⋅=⋅⋅=∆b b PF PF S F PF 。
1. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足1||2.FQ a =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足220,||0PT TF TF ⋅=≠。
（1）设x 为点P 的横坐标，证明1||cF P a x a=+； （2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使 △F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不 存在，请说明理由． 解：（1）设点P 的坐标为（x,y ）,由P （x,y ）在椭圆上，得 1||(F P x ==又由,x a ≥-知0c a x c a a +≥-+>，所以1||.cF P a x a=+ （2） 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上． 当||0PT ≠且2||0TF ≠时，由2||||0PT TF ⋅=，得2PT TF ⊥．又2||||PQ PF =，所以T 为线段F 2Q 的中点． 在△QF 1F 2中，11||||2OT FQ a ==，所以有222.x y a += 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是222.x y a +=（3） C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是2220020,12||.2x y a c y b ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩③④由③得a y ≤||0，由④得.||20cb y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M ．当cb a 2≥时，100200(,),(,)MF c x y MF c x y =---=--，由2222221200MF MF x c y a c b ⋅=-+=-=， 121212||||cos MF MF MF MF F MF ⋅=⋅∠， 212121||||sin 2S MF MF F MF b =⋅∠=，得.2tan 21=∠MF F 2.的球投影在水平地面上，形成一个椭圆．若以该椭圆的中心为原点，较长的对称轴为x 轴，建立平面直角坐标系． （1）求椭圆的标准方程；（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A 、B 两点上，且已知C （－4，0），求CA → ·CB →的取值范围．解答：（1）设椭圆方程是x 2a 2 + y 2b 2 = 1 ，由题知b2aa =2所求椭圆的标准方程是x 24 + y 23= 1 ． （2）设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），A 、B 关于坐标原点O 对称， CA → =（x 1＋4,y 1），CB →=（x 2＋4,y 2）， CA →·CB →=（x 1＋4,y 1）·（x 2＋4,y 2）=x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2= x 1x 2＋16＋y 1y 2 AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程是y=kx ，代入椭圆方程x 24+ y 23= 1 得21212221212,3434k x x y y k k --==++ ，CA → ·CB → =231334k -+ 由于k 可以取任意实数，故CA → ·CB →∈[12，13），AB 与x 轴垂直时，|CA → |=|CB →ACB 21319CA →·CB →=13，∴CA →·CB →∈[12，13]．3. 已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为36，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练4 新人教A版
名校专题----圆锥曲线培优训练41、在ABC ∆中AC =B 是椭圆22154x y +=在x 轴上方的顶点，l 的方程是1y =-，当AC 在直线l上运动时．（1）求ABC ∆外接圆的圆心P 的轨迹E 的方程；（2）过定点3(0,)2F 作互相垂直的直线12,l l ，分别交轨迹E 于,M N 和,R Q ，求四边形MRNQ 面积的最小值．解：（1）由椭圆方程22154x y +=得点(0,2),B 直线l 方程是1y =-AC ∴=且AC 在直线l 上运动．可设(1),(1),A m C m ---则AC 的垂直平分线方程为x m = ①AB 的垂直平分线方程为12y x -= ②P Q 是ABC ∆的外接圆圆心，∴点P 的坐标(,)x y 满足方程①和②，由①和②联立消去m 得26x y =故圆心P 的轨迹E 的方程为26x y =（2）由图可知，直线1l 和2l 的斜率存在且不为零，设1l的方程为32y kx =+，12l l ⊥Q ，2l ∴的方程为132y x k =-+．由23216y kx y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得 2690x kx --=Q △=226360,k ∆=+>∴直线1l 与轨迹E 交于两点．设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,9x x k x x +==．2||6(1).MN k ∴===+同理可得：21||6(1).RQ k =+∴四边形MRNQ 的面积2211||||18(2)18(272.2S MN RQ k k =•=++≥+=当且仅当221k k =，即1k =±时，等号成立．故四边形MRNQ 的面积的最小值为72．2、已知圆O:222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F.若P 是圆O 上一点,连结PF,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.解：(Ⅰ)因为2a e ==,所以c=1 则b=1,即椭圆C 的标准方程为2212x y +=(Ⅱ)因为P (1,1),所以12PF k =,所以2OQ k =-,所以直线OQ 的方程为y=－2x 又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(－2,4) 所以1PQ k =-,又1OP k =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 与圆O 相切(Ⅲ)当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切证明:设00(,)P x y(0x ≠),则22002y x =-,所以001PF y k x =+,001OQ x k y +=-,所以直线OQ 的方程为001x y x y +=-所以点Q(－2,0022x y +)所以002200000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x xk x x y x y y +--+--====-+++,又00OP y k x =, 所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 始终与圆O 相切3、已知圆M P N y x M 为圆点定点),0,5(,36)5(:22=++上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足0,2=⋅=.（I ）求点G 的轨迹C 的方程；（II ）过点（2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设,OB OA OS += 是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.1. 解：（1）⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋅=02PN GQ Q 为PN 的中点且GQ ⊥PN ⇒GQ 为PN 的中垂线⇒|PG|=|GN| ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G 点的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，其长半轴长3=a ，半焦距5=c ，∴半轴长b=2，∴点G 的轨迹方程是14922=+y x（2）因为+=，所以四边形OASB 为平行四边形 若存在l 使得||=|AB |，则四边形OASB 为矩形0=⋅∴ 若l 的斜率不存在，直线l 的方程为x=2，由⎪⎩⎪⎨⎧±==⎪⎩⎪⎨⎧=+=3522149222y x y x x 得 0,0916=⋅>=⋅∴OB OA OB OA 与矛盾，故l 的斜率存在.设l 的方程为),(),,(),2(2211y x B y x A x k y -=)1(3636)49(149)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 由49)1(36,493622212221+-=+=+∴k k x x k k x x ①)]2()][2([2121--=x k x k y y 4920]4)(2[2221212+-=++-=k k x x x x k ②把①、②代入2302121±==+k y y x x 得∴存在直线06230623:=-+=--y x y x l 或使得四边形OASB 的对角线相等.2.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y ax 的长轴长为4，离心率为21，21,F F 分别为其左右焦点．一动圆过点2F ，且与直线1-=x 相切。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习单元训练圆锥曲线
圆锥曲线(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )． A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 解析 依题意知：2m ＝12，得m ＝4.由n 2＝m 2－22＝12，所以所求椭圆方程是x 216＋y 212＝1. 答案 B2．已知中心在原点的双曲线的顶点与焦点分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点与顶点，若双曲线的离心率为2，则椭圆离心率为( )． A.13B.12C.33D.22解析 依题意知双曲线的顶点(c,0)，(－c,0)，焦点为(a,0)，(－a,0)，则ac ＝2，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12. 答案 B3．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )．A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析 由条件知|PM |＝|PF |.∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案 A4．P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→＝( )． A ．3B. 3C ．2 3D ．2解析 ∵S △PF 1F 2＝b 2tan 60°2＝3×tan 30°＝3＝12|PF 1→|·|PF 2→|·sin 60°， ∴|PF 1→|·|PF 2→|＝4，∴PF 1→·PF 2→＝4×12＝2. 答案 D5．已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率为62，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为( )． A.x 24－y 22＝1 B.x 22－y 23＝1 C.x 22－y 2＝1D ．x 2－y 2＝1解析 根据题目条件中双曲线的离心率为62，可以排除选项B 和D ，选项A 中，一个焦点为(6，0)，其渐近线方程为x ±2y ＝0，那么焦点到渐近线的距离为d ＝|6±2×0|12＋(2)2＝2≠1，也可以排除，故选择正确答案C.答案 C6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )． A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2D ．x ＝－2解析 令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B. 答案 B7．△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )． A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3)D.x 216－y 29＝1(x >4) 解析 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)． 答案 C8．在焦点分别为F 1，F 2的双曲线上有一点P ，若∠F 1PF 2＝π3，|PF 2|＝2|PF 1|，则该双曲线的离心率等于( )． A ．2B. 2C ．3D. 3解析 在△F 1PF 2中，由余弦定理可得cos π3＝|PF 2|2＋|PF 1|2－|F 1F 2|22|PF 2|·|PF 1|＝12，解得|PF 1|＝233c ，则|PF 2|＝433c ，由双曲线的定义可得|PF 2|－|PF 1|＝433c －233c ＝2a ， 即ca ＝3，故选D.9．已知抛物线y 2＝8x 的准线与双曲线x 2m －y 2＝1(m >0)交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( )． A.21B.212C ．2D ．2 5解析 抛物线的准线方程为x ＝－2，设准线与x 轴的交点为D (－2,0)，由题意得∠AFB ＝90°，故|AB |＝2|DF |＝8，故点A 的坐标为(－2,4)．由点A 在双曲线x 2m －y 2＝1上可得(－2)2m －42＝1，解得m ＝417.故c 2＝m ＋1＝2117，故双曲线的离心率e ＝ca ＝ 214＝212.答案 B10．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为( )． A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)，由PM →＝λMQ →，得⎩⎨⎧x －x 0＝λ(x 0－x )，y －y 0＝－λy (λ＞0)，∴⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝(λ＋1)y .由于x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1，∴M 的轨迹为椭圆．答案 B二、填空题(每小题5分，共25分)11．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析 抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆中，a ＝6，b ＝2，所以c ＝2，即右焦点为(2,0)．所以p2＝2，即p ＝4.12．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是______________________________________________． 解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4，即x ＋2y ＝4. 答案 x ＋2y －4＝013．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2. 要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53. 答案 5314．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．解析 根据椭圆C 的焦点在x 轴上，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16，得4a ＝16，∴a ＝4，b ＝22，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. 答案 x 216＋y 28＝115．(2013·枣庄一模)已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．解析 法一 (直接法)设A (x ，y )，y ≠0，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y24＝3， 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点构成三角形，所以A 不能落在x 轴上，即y ≠0.法二 (定义法)如图所示，设A (x ，y )，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E .∵|CD |＝3，∴|AE |＝6，则E (10,0)．∴A 的轨迹为以E 为圆心，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36，又A ，B ，C 三点构成三角形，∴A 点纵坐标y ≠0，故A 点轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)。
高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题圆锥曲线训练15新人教A版
圆锥曲线（15）圆锥曲线中的最值问题（1）利用基本不等式求最值，例1、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为22，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且121PF PF ，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点，求△PAB 面积的最大值。
解、设椭圆方程为22221y x ab，由题意可得2,2,22a b c ，故椭圆方程为22142yx设AB 的直线方程：m xy2.由142222y x m xy，得0422422mmx x，由0)4(16)22(22mm ，得2222m P 到AB 的距离为3||m d，则3||3)214(21||212m m d AB SPAB2)28(81)8(8122222m m m m 。
当且仅当22,222m取等号，∴三角形PAB 面积的最大值为2。
（2）利用函数求最值，例2.如图，椭圆222:12x yC a的焦点在x 轴上，左右顶点分别为1,A A ，上顶点为B ，抛物线12,C C 分别以A,B 为焦点，其顶点均为坐标原点O ，1C 与2C 相交于直线2yx 上一点P.（1）求椭圆C 及抛物线12,C C 的方程；（2）若动直线l 与直线OP 垂直，且与椭圆C 交于不同的两点M,N ，已知点(2,0)Q ，求QM QN 的最小值.解：（1）由题意(,0),(0,2)A a B ，故抛物线C 1 的方程可设为ax y 42，C 2的方程为yx 242由xyy x ax y224422得)28,8(,4P a 所以椭圆C:121622yx，抛物线C 1：,162x y抛物线C 2：yx 242（2）由（1）知，直线OP 的斜率为2，所以直线l 的斜率为22设直线l 方程为bx y22由bxyyx22121622，整理得0)168(28522bbx x因为动直线l 与椭圆C 交于不同两点，所以)168(2012822b b 解得1010b 设M （11,y x ）、N （22,y x ），则2121282816,55bx x b x x 58)(2221)22)(22(2221212121bbx x b x x b x b x y y 因为),2(),,2(2211y x QN y x QM所以2)(2),2)(,2(2121212211y y x x x x y x y x QNQM 5141692b b因为1010b ，所以当98b 时，QN QM 取得最小值其最小值等于938514)98(516)98(592例3、已知抛物线)0(2:2p py xC 的焦点为F ，抛物线上一点A 的横坐标为。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 §8.14 圆锥曲线中的探索性与综合性问题
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章§8.14 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 (2023·广州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－2,0)，B(2,0)，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程；(2)已知点F(1,0)，直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.即∠MFD＝2∠NFD，所以存在λ＝2，使得∠MFD＝2∠NFD.思维升华存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.跟踪训练1 (2023·阜阳模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4).(1)求C的方程；点A的坐标为(6,4)，得c＝4，设焦点F2(0,4)，F1(0，－4)，则D(0,2m)，故M(0，m)，当直线PQ斜率存在时，如图，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，与双曲线方程联立得(3k2－1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，由已知得3k2≠1，Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，①②题型二 圆锥曲线的综合问题如图，F(4,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN：x＝ty＋4，代入3x2－y2＝12，整理得(3t2－1)y2＋24ty＋36＝0，由于y1y2<0，不妨设y1>0，y2<0，(2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.令y＝0，有x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y1y2＝0，综上，以MN为直径的圆过定点(－2,0).思维升华圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质.如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有＝0.(1)求抛物线E的方程；当直线AB斜率存在时，Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2＝4p2(k2＋1)>0，显然当直线AB斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴抛物线E：y2＝4x.△ABH面积S的最小值.)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，设A(x若G(t,0)(t为定值)，H(m,0)，∴H也为定点.故△ABH面积S的最小值为22.知识过关(1)求双曲线C的方程；1234由题意得，c＝2，(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在异于F的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.假设存在P(n,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线AB的斜率不为0，当直线AB的斜率存在时，设直线AB：x＝my＋2(m≠0)，则3m2－1≠0，Δ＝(12m)2－4×9(3m2－1)＝36(m2＋1)>0，因为点F到直线P A，PB的距离相等，所以PF是∠APB的平分线，则y1(my2＋2－n)＋y2(my1＋2－n)＝0，整理得2my1y2＋(2－n)(y1＋y2)＝0，即3m－2m(2－n)＝0，因为m≠0，(1)求椭圆C的方程；求直线l的方程，若不存在，请说明理由.因为点F为△EAB的垂心，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，能力拓展3.(2024·唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于M，N两点，|MN|＝8.(1)求抛物线E的方程；所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，则p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x.(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由.设A(x0，y0)，则过A作抛物线E的切线为y－y0＝k(x－x0)，令y＝0得x＝－x0，即B(－x0,0)，所以|BF|＝|AF|＝|AC|，又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，所以四边形ACBF为菱形.(1)若椭圆上存在两点B1，B2关于直线y＝x＋m对称，求实数m的取值范围；由题意得，c＝2，A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)，P (x ，y )，12·PA PA k k ①∴a 2＝2b 2，∵a 2＝b 2＋4，∴a 2＝8，b 2＝4，设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)， ⊥l ，设 ：y ＝－x ＋t ，12B B l 12B B l。
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练
1、已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0），P （1）若α=∠21F PF ，β=∠21F PF （2）若θ221=∠PF F ，求证：21PF F ∆证明：（1）在21F PF ∆βαβαsin sin ||||)sin(221++=+PF PF c ∴βαβαsin sin )sin(2+=+c∴2cos 2cos2cos 2sin 22cos 2sin 2sin sin )sin(22βαβαβαβαβαβαβαβα-+=-++⋅+=++==a c e （2）在21F PF ∆中由余弦定理可知--+=⋅⋅-+=||||2|)||(|2cos ||||2||||)2(212212122212PF PF PF PF PF PF PF PF c θ)2cos 1(||||2)2(2cos ||||221221θθ+⋅⋅-=⋅⋅PF PF a PF PF∴θθ2cos 122cos 14421||||22221+=+-⋅=⋅b c a PF PF∴θθθθtan 2cos 12sin 2sin ||||21222121⋅=+⋅=⋅⋅=∆b b PF PF S F PF 。
1. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足1||2.FQ a =u u u r 点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足220,||0PT TF TF ⋅=≠u u u r u u u r u u u r 。
（1）设x 为点P 的横坐标，证明1||c F P a x a=+u u u r； （2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使 △F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不 存在，请说明理由． 解：（1）设点P 的坐标为（x,y ）,由P （x,y ）在椭圆上，得22222212||()()b F P x c y x c b x a=++++-u u u r 2().c a x a =+又由,x a ≥-知0c a x c a a +≥-+>，所以1||.cF P a x a=+ （2） 当0||=PT 时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上． 当||0PT ≠u u u r且2||0TF ≠u u u r 时，由2||||0PT TF ⋅=u u u r u u u r ，得2PT TF ⊥u u u r u u u r ．又2||||PQ PF =u u u r u u u u r，所以T 为线段F 2Q 的中点．在△QF 1F 2中，11||||2OT FQ a ==u u u r u u u r，所以有222.x y a += 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是222.x y a +=（3） C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是2220020,12||.2x y a c y b ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩③④由③得a y ≤||0，由④得.||20cb y ≤ 所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M ．当cb a 2≥时，100200(,),(,)MFc x y MF c x y =---=--u u u u r u u u u r，由2222221200MF MF x c y a c b ⋅=-+=-=u u u u r u u u u r ， 121212||||cos MF MF MF MF F MF ⋅=⋅∠u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，212121||||sin 2S MF MF F MF b =⋅∠=u u u ur u u u u r ，得.2tan 21=∠MF F 2.的球投影在水平地面上，形成一个椭圆．若以该椭圆的中心为原点，较长的对称轴为x 轴，建立平面直角坐标系． （1）求椭圆的标准方程；（2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A 、B 两点上，且已知C （－4，0），求CA → ·CB →的取值范围．解答：（1）设椭圆方程是x 2a 2 + y 2b 2 = 1 ，由题知b2aa =2所求椭圆的标准方程是x 24 + y 23= 1 ． （2）设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），A 、B 关于坐标原点O 对称， CA → =（x 1＋4,y 1），CB →=（x 2＋4,y 2）， CA →·CB →=（x 1＋4,y 1）·（x 2＋4,y 2）=x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋16＋y 1y 2= x 1x 2＋16＋y 1y 2 AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程是y=kx ，代入椭圆方程x 24+ y 23= 1 得21212221212,3434k x x y y k k --==++ ，CA → ·CB → =231334k -+ 由于k 可以取任意实数，故CA → ·CB →∈[12，13），AB 与x 轴垂直时，|CA → |=|CB →ACB 21319CA →·CB →=13，∴CA →·CB →∈[12，13]．3. 已知椭圆C ：22ax ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为36，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。
高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题圆锥曲线训练5新人教A版
26 3,
因为直线 y kx m 为圆心在原点的圆的一条切线
,
小学 +初中 +高中 +努力 = 大学
小学 +初中 +高中 +努力 = 大学
r
所以圆的半径为
2
mr
2
1k,
2
m
2
1k
2
m
2
3m 8 1
8
8
3 r
,
26 3,
2
28
26
xy
m
m
所求的圆为
3 , 此时圆的切线 y kx m 都满足
3或
26 3,
小学 +初中 +高中 +努力 = 大学
名校专题 ---- 圆锥曲线培优训练 5
2
2
xy
2
1 、设椭圆 E: a
2
b
1 （ a,b>0 ）过 M（ 2， 2 ） ， N( 6 ,1) 两点， O 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆
E 恒有两个交点 A,B,
(1 k ) (1 2k 2 )2
32 4k 4 5k 2 1 32
k2
4
2
[1
4
2]
3 4k 4k 1 3 4k 4k 1 ,
8
分
| AB |
①当 k 0 时
32
1
1
1
[1 3
2
4k
1
2
k
]
4
2
4k
，因为
1
2
k
4
0
8
高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选14-人教版高三全册数学试题
圆锥曲线1419. 已知方向向量为)3,1(=v 的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足634=⋅ON OM cot ∠MON≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.（I ）解法一：直线333:-=x y l ， ①过原点垂直l 的直线方程为x y 33-=， ② 解①②得.23=x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32322=⨯=∴c a∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③（II ）解法一：设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k,13612,131222212221+-=⋅+-=+∴k k x x k k x x,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=k k k k k k kx x x x kMN点O 到直线MN 的距离21|2|kk d +=,cot 634MON ON OM ∠=⋅ 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠⋅MONMONMON ON OM,634||.632,634sin ||||=⋅∴=∴=∠⋅∴∆d MN S MON ON OM OMN即).13(6341||6422+=+k k k整理得.33,312±=∴=k k当直线m 垂直x 轴时，也满足632=∆OMN S .故直线m 的方程为,33233+=x y或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM . 所以所求直线方程为,33233+=x y或,33233--=x y 或.2-=x 解法二：设M （11,y x ），N （22,y x ）. 当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k ,13122221+-=+∴k k x x∵E（－2，0）是椭圆C 的左焦点，∴|MN|=|ME|+|NE|=.13)1(6262)1312(622)()()(2222212212++=++-⋅=++=+++k k k k a x x a c x c a e x c a e以下与解法一相同.∴222)3(2424++t t =632，整理得.324t t =解得,3±=t 或.0=t故直线m 的方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线均满足.0≠⋅ON OM 所以所求直线方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x20.如图，直线 l 1：y ＝kx （k >0）与直线l 2：y ＝－kx 之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W 1，右半部分记为W 2．（I ）分别用不等式组表示W 1和W 2；（II ）若区域W 中的动点P (x ，y )到l 1，l 2的距离之积等于d 2，求点P 的轨迹C 的方程； （III ）设不过原点O 的直线l 与（II ）中的曲线C 相交于M 1，M 2两点，且与l 1，l 2分别交于M 3，M 4两点．求证△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心重合．（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为（32a ，0），即它们的重心重合， 当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =mx +n （n ≠0）．由22222(1)0k x y k d y mx n ⎧--+=⎨=+⎩，得2222222()20k m x mnx n k d d -----=由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2－m 2≠0且 △=2222222(2)4()()mn k m n k d d +-⨯++>0 设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)， 则12222mnx x k m +=-, 1212()2y y m x x n +=++,设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3)，(x 4, y 4)，由及y kx y kx y mx n y mx n ⎧==-⎧⎨⎨=+=+⎩⎩得34,n nx x k m k m -==-+ 从而3412222mnx x x x k m+==+-， 所以y 3+y 4=m (x 3+x 4)+2n ＝m (x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2, 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合．21.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如图４所示）． （Ⅰ）求AOB ∆得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y （II）22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB 当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立。
(新课标)高考数学一轮复习试题名校尖子生培优大专题圆锥曲线训练5新人教A版
名校专题----圆锥曲线培优训练51、设椭圆E: 22221x y a b +=（a,b>0）过M （2，两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: 22221x y a b +=（a,b>0）过M （2，两点, 所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += 4分（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=, 即222(12)4280k x kmx m +++-=, 则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+> 12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++ 22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即m ≥或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k ===-++,3r =, 所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足m ≥或m ≤,而当切线的斜率不存在时切线为3x =±与椭圆22184x y +=的两个交点为()33±或(满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥．因为12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, 所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++,||AB ====分①当0k ≠时||AB =221448k k ++≥所以221101844k k <≤++,所以2232321[1]1213344k k <+≤++,||AB<≤当且仅当2k =±时取“=”．②0k =时,||AB =．③当AB 的斜率不存在时,两个交点为或(,所以此时||AB =, 12分综上, |AB |||AB ≤≤: ||AB ∈ 14分2、如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为(0)m m ≠，l 交椭圆于A 、B 两个不同点． （1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．解：（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x 则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得 2分∴椭圆方程12822=+y x 4分（2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m ，又21=OM K∴l 的方程为：m x y +=21由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m m x x y x m x y 6分∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，,0)42(4)2(22>--=∆∴m m∴m 的取值范围是}022|{≠<<-m m m 且（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可设21,21),,(),,(2221112211--=--=x y k x y k y x B y x A 则042222=-++m mx x 由可得42,222121-=-=+m x x m x x 8分而)2)(2()2)(1()2)(1(21,21211221221121----+--=--+--=+x x x y x y x y x y k k)2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x)2)(2(4442422122=--+-+--=x x m m m m 10分∴k1＋k2=0故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形． 12分3已知椭圆E ：22221x y a b +=(0a b >>)过点(3, 1)P ，其左、右焦点分别为12, F F ，且126F P F P ⋅=-．（1）求椭圆E 的方程；（2）若,M N 是直线5x =上的两个动点，且12F M F N ⊥，则以MN 为直径的圆C 是否过定点？请说明理由． 解：（1）设点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)(0)c c c ->， 则12(3,1),(3,1),F P c F P c =+=-故212(3)(3)1106F P F P c c c ⋅=+-+=-=-，可得4c =， …………………2分所以122||||a PF PF =+，…………………4分故22218162a b a c ==-=-=，所以椭圆E 的方程为221182x y +=． ……………………………6分（2）设,M N 的坐标分别为(5,),(5,)m n ，则12(9,),(1,)F M m F N n ==，又12F M F N ⊥，可得1290F M F N mn ⋅=+=，即9mn =-， …………………8分又圆C 的圆心为(5,),2m n +半径为||2m n -，故圆C 的方程为222||(5)()()22m n m n x y +--+-=，即22(5)()0x y m n y mn -+-++=，也就是22(5)()90x y m n y -+-+-=， ……………………11分 令0y =，可得8x =或2，故圆C 必过定点(8,0)和(2,0)． ……………………13分（另法：（1）中也可以直接将点P 坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C 直径的两端点直接写出圆C 的方程）4、已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且21d d =． (1)求动点P 所在曲线C 的方程；(2)直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B(点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记1FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN S S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，问是否存在实数λ，使2213S SS =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线21:a l x c =-、点(0)F c -，、曲线C：22221(0x y a b c a b +=>>=，，则使等式2213S S S =λ成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．解 (1) 设动点为()P x y ，，依据题意，有2=，化简得2212x y +=． 3分因此，动点P 所在曲线C 的方程是：2212x y +=．……………4分(2) 点F 在以MN 为直径的圆的外部．理由：由题意可知，当过点F 的直线l 的斜率为0时，不合题意，故可设直线l ：1x my =-，如图所示． 5分联立方程组22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可化为22(2)210m y my +--=， 则点1122()()A x y B x y ，、，的坐标满足1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩． 7分 又1AM l ⊥、1BN l ⊥，可得点1(2)M y -，、2(2)N y -，．因1(1)FM y =-，，2(1)FN y =-，，则1212(1)(1)1FM FN y y y y ⋅=-⋅-=+，，=22102m m +>+．……9分于是，MFN ∠为锐角，即点F 在以MN 为直径的圆的外部． 10分(3)依据(2)可算出121224()22x x m y y m +=+-=-+，21212222(1)(1)2m x x my my m -=--=+， 则 13112211(2)||(2)||22S S x y x y =+⋅+1212211[2()4]42x x x x m=⋅++++222112(2)m m +=+， 222121(||1)2S y y =-⋅212121[()4]4y y y y =+-22212(2)m m +=+．…… 14分 所以，22134S S S =，即存在实数4λ=使得结论成立． ……15分 对进一步思考问题的判断：正确． ……18分5、已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12p x =--(p 是正常数)的距离为1d ，到点(0)2pF ，的距离为2d ，且12d d -=1．(1)求动点P 所在曲线C 的方程；(2)直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B ，分别过A 、B 点作直线1:2pl x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，求证FM FN ⋅=0； (3)记1FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN S S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，2213S S S λ=，求λ的值．解 (1) 设动点为()P x y ，，依据题意，有|1|12p x ++=，化简得22y px =．……4分 因此，动点P 所在曲线C 的方程是：22y px =． ……………6分 由题意可知，当过点F 的直线l 的斜率为0时，不合题意， 故可设直线l ：1x my =-，如图所示． …… 8分联立方程组222y pxp x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，可化为2220y mpy p --=， 则点1122()()A x y B x y ，、，的坐标满足122122y y mpy y p +=⎧⎨=-⎩． 10分又1AM l ⊥、1BNl ⊥，可得点1()2p M y -，、2()2p N y -，．于是，1()FM p y =-，，2()FN p y =-，，因此21212()()0FM FN p y p y p y y ⋅=-⋅-=+=，，． 12分 (3)依据(2)可算出21212()2x x m y y p m p p +=++=+，2221212224y y p x x p p =⋅=， 则 13112211()||()||2222p p S S x y x y =+⋅+ 221212[()]424p p p x x x x =⋅+++421(1)4p m =+， 222121(||)2S y y p =-⋅221212[()4]4p y y y y =+-42(1)p m =+． 16分 所以，22134S S S λ==即为所求． 18分6、已知：椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23．（1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若2=，求直线EF 的方程；（3）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由33=a b ，22232121b a b a +⋅⋅=⋅ ，得3=a ，1=b ， 所以椭圆方程是：1322=+y x ……………………4分（2）设EF ：1-=my x （0>m ）代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ， 设),(11y x E ，),(22y x F ，由2=，得212y y -=．由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y ……………………8分得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m （舍去），（没舍去扣1分）直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x ……………………10分（3）将2+=kx y 代入1322=+y x ，得0912)13(22=+++kx x k （*） 记),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 为直径的圆过)0,1(-D ，则QD PD ⊥，即0)1)(1(),1(),1(21212211=+++=+⋅+y y x x y x y x ，又211+=kx y ，222+=kx y ，得01314125))(12()1(221212=++-=+++++k k x x k x x k ．………………14分解得67=k ，此时（*）方程0>∆，∴存在67=k ，满足题设条件．…………16分7、已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件PM PN -=P 的轨迹为W 。
2016届高考数学一轮复习名校尖子生培优专题训练圆锥曲线训练14新人教A版
圆锥曲线（14）圆锥曲线中的取值范围问题例1、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B ，且3AP PB =，求m 的取值范围．解：（1）当直线斜率不存在时：12m =±（2）当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为 1122(,),(,)A x y B x y∴2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得 222(2)210k x kmx m +++-= 22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴∆=-+-=-+>（*）212122221,22km m x x x x k k --+==++ ∵3AP PB =，∴123x x -=，∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩. 消去2x ，得212123()40x x x x ++=， 2222213()4022km m k k --∴+=++ 整理得22224220k m m k +--=214m =时，上式不成立； 214m ≠时，2222241m k m -=-，∴22222041m k m -=≥-，∴211-<≤-m 或121≤<m 把2222241m k m -=-代入（*）得211-<<-m 或121<<m ∴211-<<-m 或121<<m 综上m 的取值范围为211-<≤-m 或121≤<m 。
例2、已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275NA NB -⋅-≤≤，求直线l 的斜率的取值范围.解：（Ⅰ）设动点(, )P x y ，则(4, )MP x y =-，(3, 0)MN =-，(1, )PN x y =--.由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--， 化简得223412x y +=，得22143x y +=.所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为13422=+y x .（Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A ，B 两点的坐标分别为11(, )A x y ，22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=.因为N 在椭圆内，所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)N AN B x x y y x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k 222222243)1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=， 所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤. 例3、已知点Q 为椭圆E ：221182x y +=上的一动点，点A 的坐标为(3,1)，求AP AQ ⋅ 的取值范围．解： (1,3)AP =，设Q （x ，y ），(3,1)AQ x y =--，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-． ∵221182x y +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18． 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]． 3x y +的取值范围是[－6，6]． ∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[－12，0]． 二、针对性练习1.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上.若右焦点到直线0x y -+=的距 离为3.（1）求椭圆的方程.（2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时，求m 的 取值范围.解：（1）依题意可设椭圆方程为2221x y a +=，则右焦点)F3=，解得23a =， 故所求椭圆的方程为22 1.3x y +=（2）设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y ，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=直线与椭圆相交，22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴∆=-+⨯->⇒<+ ①23231M N P x x mk x k +∴==-+，从而231P P my kx m k =+=+， 21313P APP y m k k x mk+++∴==-，又||||,,AM AN AP MN =∴⊥ 则：23113m k mk k ++-=-，即2231m k =+，② 把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >. 综上求得m 的取值范围是122m <<. 2. 如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上， 点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E . （I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两 点,G H （点G 在点,F H 之间），且满足FH FG λ=， 求λ的取值范围.解：（Ⅰ）.0,2=⋅=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a ∴曲线E 的方程为.1222=+y x（Ⅱ）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由 设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴kk k k 整理得.331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又又当直线GH斜率不存在，方程为.31,0===λFG x )1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴ 3.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，一个顶点为)0,2(H . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥，求t 的取值范围.解：（1）由题意可得，1c =，2a =，∴b = ∴所求的椭圆的标准方程为：22143x y +=．（2）设),(00y x M )20±≠x （，则 2200143x y +=． ① 且),(00y x t MP --=，),2(00y x MH --=， 由MH MP ⊥可得0=⋅MH MP ，即 ∴0)2)((2000=+--y x x t ． ② 由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ． ∵20≠x ∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x ， ∴ 12-<<-t ． ∴t 的取值范围为)1,2(--.4.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OP t OB OA =+（O 为坐标原点）-时，求实数t 取值范围． 解：（Ⅰ）由题意知c e a == 所以22222212c a b e a a -===．即222a b =．又因为1b ==，所以22a =，21b =．故椭圆C 的方程为1222=+y x ． （Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，212k <. 2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+. ∵OP t OB OA =+，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，21228(12)x x k x t t k +==+， 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，∴22216(12)k t k =+.2x -<，∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-< ∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++，∴22(41)(1413)0k k -+>，∴214k >. ∴21142k <<，∵22216(12)k t k =+，∴222216881212k t kk ==-++， ∴2t -<<2t <<，∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --.。
高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选15-人教版高三全册数学试题
圆锥曲线151.直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x k k x x ……②2.如图，过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P （0,m ）(m>0)作直线与抛物线交于A ，B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.（I ）设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:)(QB QA QP λ-⊥；（II ）设直线AB 的方程是x -2y+12=0，过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB 的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42=得 .0442=--m kx x ①设A 、B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、122),,(x y x 则、x 2是方程①的两根.所以 .421m x x -=由点P （0，m ）分有向线段AB 所成的比为λ，得.,012121x x x x -==++λλλ即 又点Q 是点P 关于原点的对称点，故点Q 的坐标是（0，－m ），从而)2,0(m QP =.).)1(,(),(),(21212211m y y x x m y x m y x QB QA λλλλλ-+--=+-+=- ])1([2)(21m y y m QB QA QP λλλ-+-=-⋅221212122212144)(2])1(44[2x m x x x x m n x x x x x x m +⋅+=++⋅+= .0444)(2221=+-⋅+=x m m x x m 所以 ).(QB QA QP λ-⊥。
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圆锥曲线（14）圆锥曲线中的取值范围问题例1、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ，与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B ，且3AP PB =，求m的取值范围．解：（1）当直线斜率不存在时：12m =±（2）当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为 1122(,),(,)A x y B x y∴2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得 222(2)210k x kmx m +++-= 22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴∆=-+-=-+> （*） 212122221,22km m x x x x k k --+==++ ∵3AP PB = ，∴123x x -=，∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩. 消去2x ，得212123()40x x x x ++=， 2222213()4022km m k k --∴+=++ 整理得22224220k m m k +--=214m =时，上式不成立； 214m ≠时，2222241m k m -=-，∴22222041m k m -=≥-，∴211-<≤-m 或121≤<m 把2222241m k m -=-代入（*）得211-<<-m 或121<<m∴211-<<-m 或121<<m 综上m 的取值范围为211-<≤-m 或121≤<m 。
例2、已知点(4, 0)M ，(1, 0)N ，若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，若181275NA NB -⋅- ≤≤，求直线l 的斜率的取值范围.解：（Ⅰ）设动点(, )P x y ，则(4, )MP x y =- ，(3, 0)MN =- ，(1, )PN x y =--.由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--， 化简得223412x y +=，得22143x y+=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆，C 的方程为13422=+y x .（Ⅱ）由题意知，直线l 的斜率必存在，不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-， 设A ，B 两点的坐标分别为11(, )A x y ，22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=.因为N 在椭圆内，所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+-- ]1)()[1(21212++-+=x x x x k 222222243)1(943438124)1(kk k k k k k ++-=+++--+=， 所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤. 例3、已知点Q 为椭圆E ：221182x y +=上的一动点，点A 的坐标为(3,1)，求AP AQ ⋅ 的取值范围．解： (1,3)AP = ，设Q （x ，y ），(3,1)A Q x y =-- ，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-． ∵221182x y +=，即22(3)18x y +=，而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴－18≤6xy ≤18． 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[0，36]． 3x y +的取值范围是[－6，6]． ∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[－12，0]．二、针对性练习1.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上.若右焦点到直线0x y -+的距 离为3.（1）求椭圆的方程.（2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时，求m 的 取值范围.解：（1）依题意可设椭圆方程为2221x y a+=，则右焦点)F3=，解得23a =， 故所求椭圆的方程为22 1.3x y +=（2）设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y ，P 为弦MN 的中点，由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-= 直线与椭圆相交，22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴∆=-+⨯->⇒<+ ①23231M N P x x mkx k +∴==-+，从而231P P m y kx m k =+=+， 21313P APP y m k k x mk+++∴==-，又||||,,AM AN AP MN =∴⊥则：23113m k mk k ++-=-，即2231m k =+，②把②代入①得22m m <，解02m <<， 由②得22103m k -=>，解得12m >.综上求得m 的取值范围是122m <<. 2. 如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上， 点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E .（I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两 点,G H （点G 在点,F H 之间），且满足λ=， 求λ的取值范围.解：（Ⅰ）.0,2=⋅= ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a ∴曲线E 的方程为.1222=+y x （Ⅱ）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则)2,()2,(,2211-=-∴=y x y x λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴kk k k 整理得 .331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λFH FG x )1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴ 3.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ，一个顶点为)0,2(H . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）对于x 轴上的点)0,(t P ，椭圆E 上存在点M ，使得MH MP ⊥，求t 的取值范围. 解：（1）由题意可得，1c =，2a =，∴b = ∴所求的椭圆的标准方程为：22143x y +=． （2）设),(00y x M )20±≠x （，则 2200143x y +=． ① 且),(00y x t --=，),2(00y x --=， 由MH MP ⊥可得0=⋅，即 ∴0)2)((2000=+--y x x t ． ② 由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ． ∵20≠x ∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x ， ∴ 12-<<-t ． ∴t 的取值范围为)1,2(--.4.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足t =+（O 为坐标原点）-时，求实数t 取值范围．解：（Ⅰ）由题意知2c e a ==， 所以22222212c a b e a a -===． 即222a b =．又因为1b ==，所以22a =，21b =．故椭圆C 的方程为1222=+y x ． （Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，212k <. 2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+ . ∵t =+，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，21228(12)x x k x t t k +==+， 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，∴22216(12)k t k =+.-12x -<22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++ ，∴22(41)(1413)0k k -+>，∴214k >. ∴21142k <<，∵22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-++，∴2t -<<2t <<，∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --.。