均匀设计法
均匀设计法的基本原理和应用范围
农业试验设计
总结词
在农业研究中，均匀设计法可用于优化种植密度、施肥量等农业措施，提高作物产量和 品质。
详细描述
在农业试验中，需要研究多种因素对作物生长的影响，如种植密度、施肥量、灌溉方式 等。通过均匀设计法，可以有效地安排试验条件，以最少的试验次数获得最佳的试验效
果。
产品制造工艺优化
总结词
在产品制造过程中，均匀设计法可用于优化工艺参数，提高产品质量和生产效率。
均匀设计法的基本原理和应用范围
目录
• 均匀设计法的基本概念 • 均匀设计法的基本原理 • 均匀设计法的应用范围 • 均匀设计法的优势与局限性 • 均匀设计法的实际应用案例
01 均匀设计法的基本概念
定义与特点
定义
均匀设计法是一种实验设计方法，旨在通 过合理地选择实验点和实验次数，最大限 度地获取所需的信息，并减少实验误差。
确定试验点数量
根据试验因素和水平，确定试 验点数量，以确保试验结果的 准确性和可靠性。
进行试验
按照生成的试验点进行试验， 收集数据。
确定试验因素和水平
根据研究目的和问题，确定试 验因素和水平，为后续的试验 设计提供基础。
生成试验点
根据均匀性准则和试验点分布 方法，生成试验点，确保每个 试验点具有代表性。
有限制条件
在满足一定限制条件下选择实验点。
均匀分散
在实验范围内，实验点均匀分散，避免集 中在某些区域。
高效性
通过合理设计，用较少的实验次数获取更 多信息。
与其他设计方法的比较
与正交设计法比较
均匀设计法的实验点分布更均匀，适 用于探索性实验和多因素多水平实验 。
与拉丁方设计法比较
拉丁方设计法适用于两因素实验，而 均匀设计法可应用于多因素实验。
第7章均匀设计
U——均匀表代号； n——均匀表横行数（需要做的试验次数）； r——因素水平数，与n相等； l——均匀表纵列数； *——均匀性更好的表，优先选用Un*表
（2）使用表 每个均匀设计表都附有一个使用表
D表示均匀度的偏差(discrepancy)，D↓，均匀分散性↑
Lower 95% Upper 95%下限 95.0%上限 95.0% 8.300534323 28.86916 8.300534 28.86916 1.292706552 1.996182 1.292707 1.996182 -20.46011399 -2.87322 -20.4601 -2.87322 -0.058870759 0.260891 -0.05887 0.260891 -9.195631546 2.528965 -9.19563 2.528965
吸盐水比率y
34 42 40 45 55 59 60 61 63
7.3 均匀设计的应用
4因素9水平 选U9（95） 直观分析看出第9号试验所得产品吸盐水能力最强，对 应的条件为较优的工艺条件
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
丙烯酸x1ml
1（12.0） 2（14.5） 3 （17.0） 4 （19.5） 5 （22.0） 6 （24.5） 7 （27.0） 8 （29.5） 9 （32.0）
42
3
17 0.8
59 0.95
40
4 19.5
1
813 53.5 0.65
55
6 24.5 0.5 75.5 0.5
59
7
27 0.7
48 0.35
60
8 29.5 0.9
药品生产技术《工艺条件优化的试验设计方法——均匀设计法》
?原料药合成过程控制技术?单元教材——工艺条件优化的试验设计方法——均匀设计法1均匀设计法的应用范围及特点在实际工作中，当遇到因素数和水平数较多，尤其是水平数大于5的试验时，正交设计法已不适用，而宜采用均匀设计法。
均匀设计法是指单纯从均匀性出发的试验设计方法，即不考虑“整齐可比〞性，而让试验点在试验范围内充分地“均匀分散〞，这样可以大大地减少试验点的数量。
在因素数和水平数相同的情况下，均匀设计法的试验次数等于水平数，较正交试验设计法大大地减少了。
利用电子计算机处理试验数据，方便、准确、快速地求得定量的回归方程式，便于分析各因素对试验结果的影响；定量地预报优化条件及优化结果的区间估计。
2均匀表均匀设计需要利用现成的均匀表，均匀设计表用U n〔t q〕表示，以U5〔54〕为例，见表1为均匀表，见表2为与之配套的使用表。
表1 U5〔54〕表表2 U5〔54〕的使用表表1U5〔54〕所示的均匀表由五行四列组成，是一个四因素五水平的均匀表。
其中U表示均匀表，下标的5表示试验次数即行数，括号内的5表示因素的水平数；指数“4〞代表因素数，也表示最多可供选择的列数。
配套的使用表见表2的含义是：如果一个试验按U5〔54〕表安排试验，考察2因素时，选取1，2列安排试验；考察3因素时，选取1，2，4列安排试验；考察4因素时，选取1，2，3，4列安排试验。
最多也只能考察4个因素。
3均匀试验设计的步骤均匀试验设计的步骤与正交设计类似，一般包括：①找出制表因子，确定水平数；②选取适宜的均匀表；③制定试验方案；④进行试验并记录结果；⑤试验结果分析。
下面举例说明均匀试验设计的应用。
实例用均匀设计法进行阿魏酸合成条件考察研究人员对常用中药川芎中的一种有效成分阿魏酸的合成工艺条件进行考察。
根据文献调研及初步预试验结果，确定考察的因素及其范围如下：A：香兰醛与丙二酸mol比~B：吡啶量10～28 mlC：反响时间～h具体试验设计方法如下：第一步：找出制表因子，确定水平数本例中，影响因素A、B、C在本例中，故不需再找。
均匀设计-均匀设计.ppt
3.3.3.2 非线性回归模型（续1）
法、后退法、逐步回归法或最优子集法等进行变量的 筛选。其回归系数求解可经过方程项的转换按多元线 性回归的方法完成。 (2) 多项式回归模型
一般地，包含多变量的任意多项式可表述为：
可通过类似x1=Z1,x2=Z2,x3=Z12,x4=Z1Z2,x5=z22 的变换， 将其按多元线性回归分析。多项式回归在回归分析中 占特殊地位，因为任何函数至少在一
S
列号
D
2 15
0.1632
3 145
0.2649
4 1345
0.3528
5 12345
0.4286
6 1 2 3 4 5 6 0.4942
说明：设计表中的列代表的是各因素的水平， 但具体代表的是哪个因素的水平，需按使用 表确定，使用表s一栏的数字是试验的因素数， 它后面的数字指定了各种因素数进行试验时 该如何选择设计表的列；使用表中D栏代表 不同因素数选择设计表的不同列时均匀设计 的偏差，偏差越小，均匀性越好，试验成功 的几率和结果的可靠性越大。
(4) 用分次试验的指标值和取得该指标值的各因 素水平值建立试验指标—各因素水平关系的回归 模型（这也是均匀设计中的最重要的环节之一)；
(5) 成功地建立了回归模型后在各试验因素的试 验范围内寻找最佳的各因素水平组合并进行该组 合的验证试验（也可和步骤６一起进行)；
(6) 验证试验成功则进一步缩小水平划分更为细致的新的一 轮的试验，进一步寻找最优试验条件组合。一般 情况下，此次最优条件即为整个试验的最优条件， 试验结束。
3 均匀设计的应用方法
试验设计的共性问题 均匀设计的应用方法 具体问题的解决方法
3.1 试验设计的共性问题
试验设计（如正交试验设计、裂区试验设 计、系统分组设计等）过程必然离不开试验基 础内容的构思（试验的评价指标；试验的因素、 水平的选择和试验次数的拟定）、试验结果数 据的分析等共性方面的问题。试验的因素和水 平的选择关系到一个试验能否成功的关键，下 列的注意事项和建议对使用试验设计（当然也 包括均匀设计）的人员应该是有益的：
均匀设计方法简介
均匀设计方法简介在工农业生产和科学研究中，常须做试验，以获得予期目的：改进生产工艺，提高产品收率或质量，合成出某化合物等等。
怎样做试验，是大有学问的。
本世纪30年代，费歇（R.A.Fisher）在试验设计和统计分析方面做了一系列先驱工作，使试验设计成为统计科学的一个分支。
今天，试验设计理论更完善，试验设计应用更广泛。
本节着重介绍均匀设计方法。
一、试验设计对于一项试验，例如用微波加热法通过离子交换制备Cu13X分子筛。
我们可以13X分子筛、CuCl2为原料来制备，为寻找最佳条件，应如何设计这个试验呢？若我们已确定了微波加热功率（A）、交换时间（B）、交换液摩尔浓度（C）为三个影响因素，每个因素取五个不同值（即水平：A1，…，A5，B1，…，B5，C1，…，C5）。
有两种方法最易想到：1．全面试验：将每个因素的不同水平组合做同样数目的试验。
对上述示例，不计重复试验，共需做5×5×5=125次试验。
2．多次单因素试验：依次考查各因素（考查某因素时，其它因素固定）取最佳值。
容易知道，对上示例（不计重复试验）共需做3×5=15次试验。
该法在工程和科学试验中常被人们采用，可当考查的因素间有交互作用时，该法所得结论一般不真。
3．正交设计法：利用正交表来安排试验。
本世纪60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，使正交试验设计得到更广泛的使用。
70年代以来，我国许多统计学家深入工厂、科研单位，与广大工程技术人员、工人一起，广泛开展正交设计的研究、应用，取得了大批成果。
该法是目前最流行，效果相当好的方法。
正交表记为：L n(q m)，这里“L”表示正交表，“n”表总共要做的试验次数，“q”表每个因素都有q个水平，“m”表该表有4列，最多可安排m个因素。
常用的二水平正交表为L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)；三水平正交表有L9(34)，L27(313)；四水平正交表L16(45)及五水平正交表L25(56)等。
均匀设计和正交设计的比较
均匀设计和正交设计的比较均匀设计（Uniform Design）和正交设计（Orthogonal Design）是两种常用的实验设计方法，用于确定影响因素和因变量之间的关系，以及确定最适合的因素水平。
下面将对这两种设计方法进行比较。
1.定义和原理：-均匀设计：均匀设计是一种实验设计方法，旨在通过选择一系列设计点，在全区间内均匀覆盖因素水平的组合，从而得到最优的判别能力和推断效果。
-正交设计：正交设计是一种实验设计方法，它通过将影响因素的各个水平进行组合，使得各个因素及其交互作用之间的关系得以均匀分布，从而有效地降低测量误差和背景干扰。
2.设计要素数量：-均匀设计：均匀设计要求设计点之间具有相似的分布规律，通常需要更多的设计点来达到均匀覆盖的目的。
-正交设计：正交设计要求因素水平之间的关系在各个方向上都是均匀分布的，因此设计所需的样本数量通常比均匀设计少。
3.因素水平组合：-均匀设计：均匀设计通过选择各个因素的水平组合来实现因素与因变量之间的关系研究，可以包含更多的因素和水平数，但样本点之间的因素水平组合可能会重复。
-正交设计：正交设计通过选择各个因素水平组合的方式来实现因素与因变量之间的关系研究，可以保证不同因素之间的水平组合均匀分布，从而减少重复度。
4.探索和解释能力：-均匀设计：均匀设计具有较高的探索性能，因为它能够覆盖全区间的因素水平组合，可用于快速筛选和发现影响因素。
-正交设计：正交设计具有较高的解释能力，因为它能够有效地区分主要因素和交互作用，从而更加精确地解释因果关系。
5.应用场景：-均匀设计：均匀设计适用于对影响因素的探索性研究、多因素筛选和较小样本量的试验设计。
-正交设计：正交设计适用于影响因素的优选、因素交互作用的分析、样本容量要求相对较高的试验设计。
总结来说，均匀设计和正交设计是两种不同的实验设计方法，各自具有不同的优势和适用场景。
均匀设计适用于探索性研究、多因素筛选等，而正交设计适用于因素优选和因素交互作用的分析。
均匀设计法名词解释
均匀设计法名词解释
均匀设计法是一种试验设计方法，它的设计点在试验范围内均匀散布。
该方法由方开泰教授和数学家王元在1978年共同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个应用。
在科学研究和技术开发中，常常需要进行试验设计来探究不同因素对试验结果的影响。
试验设计的目的在于最小化试验次数和最大化试验信息的收集。
均匀设计法是一种有效的试验设计方法，它可以在试验点均匀散布的条件下，最小化试验次数，同时收集到足够的试验信息。
均匀设计法的优点在于它可以减少试验次数，提高试验效率，同时还可以均匀散布试验点，使试验结果更具代表性。
此外，均匀设计法还可以筛选关键因素，帮助研究人员更好地理解试验结果。
在均匀设计法中，每个因素的水平都被均匀地分配到试验中的各个点。
这使得每个试验点的数据都能够提供关于该因素的信息，从而使得在较少的试验次数下获得足够的信息成为可能。
总的来说，均匀设计法是一种有效的试验设计方法，可以帮助研究人员在较少的试验次数下收集到足够的试验信息，同时还可以提高试验效率并筛选关键因素。
均匀设计
均匀设计（Uniform Design），又称均匀设计试验法（Uniform Design Experimentation）），或空间填充设计，是一种试验设计方法（Experimental Design Method。
它是只考虑试验点在试验范围内均匀散布的一种试验设计方法。
它由方开泰教授和数学家王元在1978年共同提出，是数论方法中的“伪蒙特卡罗方法”的一个应用。
1简介所有的试验设计方法本质上都是在试验的范围内给出挑选代表性点的方法，方开泰、王元完成的“均匀试验设计的理论、方法及其应用”，首次创立了均匀设计理论与方法，揭示了均匀设计与古典因子设计、近代最优设计、超饱和设计、组合设计深刻的内在联系，证明了均匀设计比上述传统试验设计具有更好的稳健性。
该项工作涉及数论、函数论、试验设计、随机优化、计算复杂性等领域，开创了一个新的研究方向，形成了中国人创立的学派，并获得国际认可，已在国内外诸如航天、化工、制药、材料、汽车等领域得到广泛应用。
2提出均匀设计是继60年代华罗庚教授倡导、普及的优选法和我国数理统计学者在国内普及推广的正交法之后，于70年代末应航天部第三研究院飞航导弹火控系统建立数学模型、并研究其诸多影响因素的需要，由中国科学院应用数学所方开泰教授和王元教授提出的一种试验设计方法。
均匀设计是统计试验设计的方法之一，它与其它的许多试验设计方法，如正交设计、最优设计、旋转设计、稳健设计和贝叶斯设计等相辅相成。
我们知道，试验设计就是如何在试验域内最有效地选择试验点，通过试验得到响应的观测值，然后进行数据分析求得达到最优响应值的试验条件。
因此，试验设计的目标，就是要用最少的试验取得关于系统的尽可能充分的信息。
均匀设计即可以较好地实现这一目标，尤其对多因素、多水平的试验。
3原理分布理论均匀设计的数学原理是数论中的一致分布理论，此方法借鉴了“近似分析中的数论方法”这一领域的研究成果，将数论和多元统计相结合，是属于伪蒙特卡罗方法的范畴。
均匀设计法
2
1.4(2) 19(4) 3.0(6) 0.336
3பைடு நூலகம்
1.8(3) 25(6) 1.0(2) 0.294
4
2.2(4) 10(1) 2.5(5) 0.476
5
2.6(5) 16(3) 0.5(1) 0.209
6
3.0(6) 22(5) 2.0(4) 0.451
7
3.4(7) 28(7) 3.5(7) 0.482
xik
_
xi
xik
_
xj
Liy
N K 1
xik
_
xi
yk
_
y
Lyy
N i1
yk
_
y
2
_
N
xi xi
i1
i 1, 2, m
i, j 1, 2, , m i 1, 2, , m
(8 2) (8 3) (8 4) (8 5)
_ 1 N
y N i1 yk 回归方程组系数由下列正规方程组决定：
^
2mT
方程(8 9)化为 y b0 bl xl (T Cm2 ) (8 11)
l 1
在这种情况下，为了求得二次项和交互作用项，就不能
选用试验次数等于因素数的均匀设计表，二必须选用试
验次数大于或等于回归方程系数总数的U表了
§9－2 应用举例
▪ 利用均匀设计表来安排试验的步骤：
• （1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。 • （2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使
§6－1 基本原理
• 一、引言
• 正交试验设计利用：
▪ 均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐
▪ 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀
均匀设计的基本步骤
均匀设计的基本步骤
均匀设计是一种实验设计方法，用于在有限次试验中寻找最佳的试验条件。
以下是均匀设计的基本步骤：
1.确定实验目的和响应变量：首先需要明确实验的目的，确定要研究的响应变量，以便于确定实验的主要内容和目标。
2.确定实验因素和水平：根据专业知识和实际经验，选择对响应变量影响较大的因素作为实验因素。
根据实际情况和历史数据，为每个实验因素选择适当的水平。
3.制定均匀设计表：根据实验因素和水平的数量，选择合适的均匀设计表进行实验。
均匀设计表是一种特殊的矩阵，用于安排实验并确保各因素水平在实验中均匀分布。
4.安排实验：根据均匀设计表，安排实验的具体实施方案。
确保每个实验条件只被试验一次或多次，以确保结果的准确性。
5.收集数据：按照实验方案进行实验，并记录各实验条件下的响应变量值。
6.分析数据：对收集到的数据进行分析，探索各因素与响应变量之间的关系。
可以采用回归分析、方差分析等方法进行数据分析。
7.优化条件：根据数据分析结果，选择最优的实验条件进行进一步优化。
这可能涉及对实验方案进行调整或重复试验。
8.验证和确认：对优化后的条件进行验证和确认，以证明其在实践中具有可行性和有效性。
9.总结和报告：整理实验过程和结果，编写详细的实验报告，总
结实验的经验和教训，并提出改进意见和建议。
以上步骤是一个典型的均匀设计过程的基本流程。
具体的实施过程中，可以根据实际需求和条件进行调整和优化。
《均匀设计法》课件
均匀设计法的应用领域
化学与制药
用于寻找最佳反应条件 和优化化学合成路径。
生物与医学
用于研究生物体内各种 因素之间的相互作用和
最佳条件。
工程与制造
用于优化产品设计、工 艺参数和制造流程。
经济与社会
用于研究市场、消费者 行为和社会现象等复杂 系统的最佳策略和条件
。
均匀设计法的优势与局限性
高效性
通过减少实验次数提高效率，降 低实验成本。
代表性
选择的实验点应具有代表 性，能够反映实验范围内 的各种情况和变化趋势。
可行性
实验设计方案应具有实际 可行性，考虑到实验条件 、资源、时间等因素的限 制。
均匀设计法的实施步骤
确定因素和水平
选择影响实验结果的主要因素 ，并确定每个因素的取值范围 和水平。
实施实验
按照实验设计表进行实验，记 录实验数据和结果。
需要保证实验条件的一致性和稳定性 ，以确保实验结果的准确性和可靠性 。
需要建立准确的数学模型来描述实验 结果，并对模型精度有较高要求。
02
均匀设计法的基本原理
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
均匀设计法的数学基础
线性代数
均匀设计法涉及到线性代数中的 矩阵和向量运算，用于描述实验 设计中的各种关系和约束条件。
均匀设计法与拉丁方设计的比较
拉丁方设计是一种用于排列试验的方阵，而均匀设计法更注重试验点在参数空间中的均匀分布。
均匀设计法在交叉学科领域的应用探索
均匀设计法在生物医学领域的应用
在生物医学研究中，通过均匀设计法可以更有效地设计和实施实验，以探究不同因素对 生物系统的影响。
均匀设计法在环境科学领域的应用
均匀设计方法
均匀设计方法1均匀设计的特点化学化工实验多为多因素多水平的实验，对此，以往的设计方法通常有全面实验法和正交实验法。
全面实验法是让每个因素的每个水平都有配合的机会，并且配合的次数一样多。
一般地全面实验的次数至少是各因素水平数的乘积。
该法的优点是可以分析出事物变化的内在规律，结论较精确，但由于试验次数较多，在多因素多水平的情况下常常是不可想象的。
如5因素4水平的试验次数为45=1024次，而6因素5水平的试验次数为56=15625次，这在实际中很难做到。
正交实验法是在试验中使用一套规格化的正交表，排出最有代表性的试验，比较合理地节省试验次数，并能从仅做的少数试验中充分得到所需信息。
该法的优点是从方案设计到结果分析都完全表格化，试验具有均匀分散、整齐可比性，是安排多因素试验的有效方法，因此被广泛应用。
但是有些试验，由于影响因素很多，每个因素变化范围大，水平也多，即使采用正交设计法，试验次数仍嫌太多。
对于要求时间紧和昂贵的科学试验，亦不允许安排太多的试验。
对于这种情况，继60年代华罗庚教授倡导、普及的优选法和我国数理统计学者在国内普及推广的正交法之后，于70年代末应航天部第三研究院飞航导弹火控系统建立数学模型、并研究其诸多影响因素的需要，由中国科学院应用数学所方开泰教授和王元教授提出了一种试验设计方法——均匀设计。
均匀设计是统计试验设计的方法之一，它与其它的许多试验设计方法，如正交设计、最优设计、旋转设计、稳健设计等相辅相成。
均匀设计是通过一套精心设计的表来进行试验设计的，对于每一个均匀设计表都有一个使用表，可指导如何从均匀设计表中选用适当的列来安排试验。
每个表有一个代号U n（q s）或U*n（q s），其中U代表均匀设计；n表示试验次数；q 表示水平数；s表示该表最多可安排的因素数。
U的右上角加“*”和不加“*”代表两种不同类型的均匀设计表。
通常加“*”的均匀设计表有更好的均匀性，应优先应用。
例如U6*（64）表示要做6次试验，每个因素有6个水平，该表有4列，见表2-6。
第07章 均匀设计
b2、b4小于0，表明试验指标随x2、x4的增加而减 小，确定优方案时，因素x2、x4的取值应取下限， 即引发剂用量取0.3％、甲醛用量取0.20ml；
优方案为：
丙烯酸用量取32ml、中和度取92％；引发剂用
量取0.3％、甲醛用量取0.20ml。
将上述优化值代入回归方程可得：
y＝76.3
该结果好于第9号试验结果，但需要进行验证。
第3列 水平 x3/% 64.5 86.5 59.0 81.0 53.5 75.5 48.0 70.0 92.0 8 7 6 5 4 3 2 1 9
第5列 1.25 1.10 0.95 0.80 0.65 0.50 0.35 0.20 1.40
指标 34 42 40 45 55 59 60 61 63
(2)1
(4)2
(3)1
(6)2
3
4 5 6
(3)2
(4)2 (5)3 (6)3
(6)3
(1)1 (3)2 (5)3
(2)1
(5)2 (1)1 (4)2
改造要求：混合均匀表有较好的均
衡性，即两列表的任一列上，不同
水平出现次数是相同的，但出现次
数≥1
7.2
均匀设计基本步骤
第 7 章
均匀设计
均匀设计是指利用均匀设计表进行试验设计的
一种试验设计方法，它的设计原理是数论中的一致
分布理论，即只考虑试验点在试验范围内的均匀散 布；挑选试验代表点的出发点是“均匀分散”，而 不考虑“整齐可比”，它可保证试验点具有均匀分 布的统计特性，可使每个因素的每个水平做一次且 仅做一次试验，任两个因素的试验点在平面的格子 点上，每行每列有且仅有一个试验点。
试验点在积分范围内散布得十分均匀，并使分布点离被积函
均匀设计方法
U7(76)
列号
试验号
1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7
2 2 4 6 1 3 5 7
3 3 6 2 5 1 4 7
4 6 5 4 3 2 1 7
5 5 3 1 6 4 2 7
6 6 5 4 3 2 1 7
2
3
1.4(2)
1.8(3)
19(4)
25(6)
3.0(6)
1.0(2)
0.336
0.294
4
5
2.2(4)
2.6(5)
10(1)
16(3)
2.5(5)
0.5(1)
0.476
0.209
6
7
3.0(6)
3.4(7)
22(5)
28(7)
2.0(4)
3.5(7)
0.451
0.482
根据试验方案进行试验，其收率(Y)列于表的 最后一列，其中以第7号试验为最好，其工艺 条件为配比3.4，吡啶量28ml，反应时间3.5h。 我们可用线性回归模型来拟合上表的试验数据
^
(8 1)
令xik 代表因素xi 在第k次试验时取的值，yk 表示响应值 (8 2) (8 3) (8 4) (8 5)
i 1, 2, , m
Lyy yk y i 1
N _
2
xi xi
i 1
_
N
i 1, 2, m
1 N y yk N i 1 回归方程组系数由下列正规方程组决定：
_
y 0.3683 L1 y 0.2404 L2 y 0.5640 L3 y 0.5245
均匀设计
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版社(1994).” 之附表 1
也可以浏览如下网页
网络地址:.hk/UniformDesing 9
第1步: 将试验因素的水平列成下表：
U7 (74 )
234 236 465 624 153 312 541 777
表 1.1.4:
No. 1 2 3 1 123 2 246 3 362 4 415 5 531 6 654 7 777
第3步: 应用选择的 UD-表, 做出试验安排。
13
表 1.1.5: 1.5
No. 1 2 3 4 5 6 7
3. 对第二列，第三列做同样 的替代. 4. 完成该设计对应的试验， 得到７个结果，将其放入最 后一列.
14
第 4步: 用回归模型匹配数据 首先，考虑线性回归模型:
y 0 1x1 2 x2 3x3
(1.1.1)
使用回归分析中变量筛选的方法，比如‘向后法’，得到 推荐的模型为：
yˆ 0.2142 0.0792 x3
对某农作物产量的影响,
前两个为定量因素，后两个为定性因素。
如何安排试验，引出了下面的内容。
28
混合型因素混合型水平的均匀设计
一般情况下试验中既有定量型连续变化因素，又有定性型状态变化 因素。
假设有k个定量因素X1,…,Xk；
这k个因素可化为k个连续变量， q1，…，qk。
其水平数分别为
又有t个定性因素G1,…,Gt，
第四列安排种子品种 A，分3个A1，A2，
A3。
31
表 2.1.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
均匀设计
组成员：
主要内容
均匀设计的概念、特点、原理
均匀设计的具体应用方法
1 什么是均匀设计
1.1 均匀设计的概念
均匀设计(Uniform Design)是一种试验设计
方法(Experimental Design Method),称为均 匀设计(Uniform Design)或均匀设计试验法 (Uniform Design Experimentation)。它可 以用较少的试验次数，安排多因素、多水平 的析因试 验，是在均匀性的度量下最好的析 因试验设计方法。
3.3.2 设计表的选择 选择均匀设计表需要注意以下几点： (1) 要满足试验次数的要求：即确定Un表n的 问题；
(2) 表的列数要满足试验因素数的要求；即确
定Un表s的问题；
3.3.3 回归模型建立
回归模型可分为线性回归模型和非线性模型 等。 3.3.3.1 线性回归模型 分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。 (1) 一元线性回归模型 模型为 y=a+bx,线性相关的程度常用相关系 数来衡量，在某一显著性水平α下，当相关系数 的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为x和y 有线性相关关系。
3.3 具体问题的解决方法
试验次型优化
试验参数优化 使用均匀设计时需要注意的其它问题
例1 某猪场研究30-
50kg育肥猪的饲料配方 时，研究蛋白质、消化 能和粗纤维三个因素的 不同水平对该阶段猪增 重的影响，具体因素与 水平如表：
3.1 试验设计的共性问题（续1）
（1） 因素的含义：在一个试验过程中，影响试验指 标的因素通常是很多的，通常固定的试验因素在试验 方案中并不称为因素，只有变化的因素才称为因素； （2） 关于因素数量：在一项试验中，因素不宜选得 太多(如超过10个)，那样可能会造成主次不分；相反 地，因素也不宜选得太少（如只选定一、二个因素）， 这样可能会遗漏重要的因素，或遗漏因素间的交互作 用，使试验的结果达不到预期的目的；
u-type均匀设计
u-type均匀设计摘要：1.U 型均匀设计的概念2.U 型均匀设计的应用领域3.U 型均匀设计的优点4.U 型均匀设计的实施步骤5.U 型均匀设计的案例分析正文：一、U 型均匀设计的概念U 型均匀设计，又称为正交试验设计，是一种实验设计方法，主要通过最少的试验次数，得到较为精确的结果。
该设计方法源于日本，并在上世纪80 年代引入我国，逐渐在各行各业中得到广泛应用。
二、U 型均匀设计的应用领域U 型均匀设计主要应用于以下几个领域：1.工程领域：如机械制造、建筑结构等；2.化学领域：如催化剂选择、聚合物制备等；3.医药领域：如药物筛选、药效评价等；4.环境领域：如水处理、大气污染治理等。
三、U 型均匀设计的优点U 型均匀设计具有以下几个优点：1.试验次数少：相较于其他实验设计方法，U 型均匀设计能够用较少的试验次数得到较为精确的结果；2.节省资源：试验次数的减少意味着资源和成本的节省；3.容易实施：U 型均匀设计操作简单，容易实施，适用于各类工程技术人员；4.结果可靠：U 型均匀设计可以有效地评估各因素对试验结果的影响，提高结果的可靠性。
四、U 型均匀设计的实施步骤U 型均匀设计的实施步骤如下：1.确定试验目的：明确试验的研究目的和需要解决的问题；2.选择试验因素：确定影响试验结果的关键因素，并确定各因素的取值范围；3.设计试验方案：根据试验因素的取值范围，制定试验方案；4.实施试验：按照试验方案进行试验，并记录试验结果；5.分析试验结果：对试验结果进行统计分析，得出结论。
五、U 型均匀设计的案例分析以某化工厂催化剂筛选为例，该厂需要选择一种适合其生产工艺的催化剂，以提高生产效率。
采用U 型均匀设计进行试验，具体步骤如下：1.确定试验目的：提高生产效率；2.选择试验因素：催化剂种类、温度、压力；3.设计试验方案：选择4 种催化剂，分别在3 种温度和2 种压力下进行试验；4.实施试验：按照试验方案进行试验，记录各条件下的生产效率；5.分析试验结果：通过统计分析，得出最优的生产条件，并选用相应的催化剂。
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第六章 均匀设计法
▪例如用U11(1110)的1，7 和1，2列分别画图，得到下面的图 (a)和图 (b)。我们看到，(a)的点散布比较均匀，而(b)的点散 布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同， 因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。
11 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
第六章 均匀设计法
▪1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个 五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10， 而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都 不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提 出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将 这一方法用于导弹设计，取得了成效。
▪均匀设计法与正交设计法的不同：
两种设计的均匀性比较
很难找到正交设计和均匀设计具有相同的试验数和相同的水平数。我们从 如下三个角度来比较：
v 1.试验数相同时的偏差的比较
v 当因素s=2时，若用L8(27)安排试验，其偏差为0.4375；
若用均匀设计表
U
* 8
(88
)
，则偏差最好时要达0.1445。
显然试验数相同时均匀设计的均匀性要好得多。值得
U6(64)的使用表
s列
号
213
312 3
412 3 4
偏差值越小，表示均匀度越好
D
0.1875 0.2656 0.2990
第六章 均匀设计法
均匀设计和正交设计的比较
将目前最常用正交设计和均匀设计作一下比较，讨论两种试验设计方法的特 点。
➢1.试验次数的比较 ➢正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为 水平数的平方。例如一项试验，有五个因素，每个因素取31 水平，若用正交设计，至少需要做961次试验，而用均匀设 计只需31次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验。
布点是均衡分散的。
第六章 均匀设计法
➢均匀设计有其独特的布（试验）点方式
▪ 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验 ▪ 任两个因素的试验点在平面的格子点上，每行每列有且
仅有一个试验点
▪以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性”，即 对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。 ▪均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价
“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版社(1994).”
第六章 均匀设计法
正交试验可以进行部分试验而得到基本上反映 全面情况的试验结果，但是，当试验中因素数或水 平数比较大时，正交试验的次数很多。如5因素5水 平，用正交表需要安排52＝25次试验。这时，可以 选用均匀设计法，仅用5次试验就可能得到能满足 需要的结果。
第六章 均匀设计法
➢2 .试验结果的比较 ➢正交设计可以计算出因素的主效应，有时也能估算出它们 的交互效应，但都只停留在事先设计好的水平数中。而均匀 设计不仅可以计算出回归模型中因素的主效应和交互效应， 还可预测试验最佳效果时的各因素水平数值，并比事先设计 好的水平数值更加细化。
第六章 均匀设计法
▪均匀设计法不再考虑数据“整齐可比”性，只考虑 试验点在试验范围内充分“均衡分散”
第六章 均匀设计法
均匀设计的特点
➢ 均匀设计是一种适用于多水平的多因素试验设计 方法，具有如下特点：
1 试验点分布均匀分散 2 在处理设计中各个因素每个水平只出现一次 3 适用于多水平多因素模型拟合及优化试验 4 试验结果采用回归分析方法
第六章 均匀设计法
二、均匀设计表
▪ 均匀设计表符号表示的意义
均匀表的代号
U7(76)
因素数
因素的水平数 试验次数
第六章 均匀设计法
➢一般的均匀设计表水平数为奇数 ➢当水平数为偶数时，用比它大1的奇数表划去最后 一行即可得到水平数为偶数的均匀设计表 ➢利用均匀设计表安排试验时，试验点是均匀的
从两因素11水平的均匀设 计布点图可以直观地看到
注意的是，这种比较方法对正交设计是不公平的，因
为当试验数给定时，水平数减少，则偏差会增大。所
以这种比较方法正交设计明显地吃亏。
第六章 均匀设计法
v 2.水平数相同时偏差的比较
v 两种设计水平数相同，但试验数不同的比较。其中当
均匀设计的试验数为6时，相应正交设计的试验数为62，
▪每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表中选用适 当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。下表是U6(64)的使 用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用1，3两列来安排试验；若有 三个因素，应选用1，2，3三列，…，最后1列D表示刻划均匀度的偏差 (discrepancy) 。
6
2
4
4
4
1
5
3
5
5
3
1
2
6
6
5
4
1
第六章 均匀设计法
➢正交设计安排试验时采用的随机化过程包括：
因素顺序随机化 因素水平随机化 实验顺序随机化
➢而均匀设计表中的各列是不平等的，因素所 应安排的列的位置是不能随意变动的 ➢当试验中因素的个数不同时，须根据因素的 多少按照均匀表的使用表确定因素所占列
第六章 均匀设计法
第六章 均匀设计法
➢均匀设计法诞生於1978年。由中国著名数学家方 开泰教授和王元院士合作共同发明。 ➢中国科学家巧妙的将“数论方法”和“统计试验 设计”相结合，发明了一种全新的试验设计方法， 这就是均匀设计法。 ➢中国数学会均匀设计分会
华罗庚
王元
第六章 均匀设计法
➢ 均匀设计是一种试验设计方法。 ➢它可以用较少的试验次数，安排多因素、多水平 的析因试验，是在均匀性的度量下最好的析因试验 设计方法。均匀设计也是仿真试验设计和稳健设计 的重要方法。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
11 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
第六章 均匀设计法
第六章 均匀设计法
▪如U6ห้องสมุดไป่ตู้64)表示要做次6试验，每个因素有6个水平， 该表有4列。
U6(64)
列号 试验号
1
2
3
4
1
1
2
3
6
2
2
4
6
5
3
3
第六章 均匀设计法
§6-1 基本原理
一、引言 正交试验设计利用： 均衡分散：试验点散布均匀 整齐可比：试验点排列规律整齐可分析
第六章 均匀设计法
➢均匀设计法： ➢利用试验点在试验范围内充分分散的均匀设计表 来进行试验设计的科学方法 ➢均匀设计表： ➢利用数论在多维数值积分中的应用原理构造出的 具有均衡分散特征的代表性试验表格