专题20 三视图的辨别与应用—三年高考(2015-2017)数学(理)真题(解析版)
高考三视图(含解析)理试题(卷)汇总
专题21三视图SUBA. 2 n B • 3 n C【答案】B【解析】综合三视圄可知』几何体是一个半轻炸1的半个球体.且表面积是底面积与半球面积的和丿其表面枳3=丄敦4“+疋2=31t-故选B.2点睛：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.2.已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧1 •某几何体的三视图如图所示，则其表面积为(【解析】由正视图和俯视图还原几何体如图所示，由正视图和俯视图对应线段可得AB BD AD 2，当BC 平面ABD时，BC=2，ABD的边AB上的高为、3，只有B选项符合，当BC不垂直平面ABD时，没有符合条件的选项，故选 B.点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图. 2•三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据3.某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）B【答案】BA. 4 B . 2.2 C . 20 D . 83【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形』正方形的边长为2. 口D=3,BF=1,将相同的两个几何体拼在V』构成一个高为斗的长方饥所臥该几何体的体积為煜x仁仪4.如图，正三棱柱ABC ABG的主视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的左视图的面积为（）【答案】D【解析】依题意知，此正三棱拄底面定边长为4的正三角形，接柱高为也其侧视囹为矩形，其一边长为2語,一启一边长訶4,故其面积2斗><2曲=8曲；故选D点睛：三视图问题的常见类型及解题策略⑴由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图•先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式•当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图.原几何体为组合体;上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示),A. 16 B 2 3 C . 4 3 D . 8,35.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )8 8 (C) 16 16 (D) 8 16将三视图还原为原来的几何体,再利用体积公式求解.其体积为V 4 2 2122 4 16 8 .故选A; 26•如图5，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为( )(A) 6,2 (B) 4、2 (C) 6 (D)4【答案】C原几何体为三機锥D-A^C, M 中Aff^BC=i r AC=^D^ = DC=2^ ?QN二旳*叭庁)+4 = 6,故最长的棱的长度为= 选C点睛：对于小方格中的三视图，可以放到长方体，或者正方体里面去找到原图，这样比较好找；7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()24 2【解析】如图所示A【解析】由已知三视图得到几何体是一个正方怀割去半轻为2的丄个球」所以表面积为S3 12试4&一亦於+ —><4亦囚・24巧故选：A4S&已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）iEttffl 博视图A. 12十2&+2后B . 12+ 也+2 后C . 12 + 2辽十曲D . |12 +V2 + .J【答案】A【解析】由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,1=-5< 2*2 = 221 =-X2M4=421S ABCD =~X（2+4）X2=69.一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体如图，P A丄平面ABCD , 朋=2 , AD = 4,医=2 ,经计算，PD = 2石，P匚=«亍，Dt = 2調，•••可••.,故选A.3D. 35 2.2【答案】A 【解析】试題分析；扌艮据三视图可知几何体是组合体；左边罡直三棱柱、右边是半个圆柱，直三棱柱的底面是等腰 亶角三角形，直角边是1,侧犧长是茶圆柱的底面半径是1,母线长是2,二该几何体的体积V =ixlxlx2十丄芝二臥十1・故选；乩2 2考点：由三视图求体积.10•如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积【答案】C 【解析】A.1 B2C. 2 1的体积是（为（3D. 41 2 体积为—2 2 2 1 4 —3 3试题分析：相当于一个圆锥和一个长方体，故考点：三视图.11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（【解析】试题分析：该几何休的直观團如园所示，连接妙,则该几何体由直三棱柱血D-和四棱锥一吨组合而成，其和易22 +扌心后专詈故应选扎12. 一个几何体的三视图如图所示 ，则该几何体的体积为A.14~316~3D. 6【答案】A考点：三视图.1【答案】-3【解析】本题考查三视图、四棱锥的体积计算等知识，难度中等•由三视图可知该几何体是底1 1面为长和高均为1的平行四边形，高为1的四棱锥，故其体积为V - 1 1 1 - •3 3。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题22立体几何中的角理20171102333
专题 22 立体几何中的角1.【2017课标 II ，理 10】已知直三棱柱C A C 中， C 120 ，2，1 1 1，则异面直线 与 C 所成角的余弦值为（）C CC 1111A ．3 2B ．15 5C ．105D ．33【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，补成四棱柱 ABCDA B CD ,1 1 1 1则所求角为 BC 1D , BC 1 2, B D 22 1 2 2 1 cos 600 3,C 1D A B 152 10cos BC D，故选C 。
因此155【考点】异面直线所成的角；余弦定理；补形的应用2.【2017浙江，9】如图，已知正四面体 D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别1BQ CR为 AB ， BC ， CA 上 的 点 ， AP=PB ，2 ， 分 别 记 二 面 角 D –PR –Q ， D –PQ –R ，QC RA D –QR –P 的平面角为 α，β，γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B 【解析】试题分析：设 O 为三角形 ABC 中心，则 O 到 PQ 距离最小，O 到 PR 距离最大，O 到 RQ 距离居中，而高相等，因此，所以选 B ．【考点】空间角（二面角）3.【2014新课标，理 11】直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是 A 1B 1，A 1C 1的中 点，BC=CA=CC 1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（）A. 110B . 25C . 3010 D . 22【答案】C【解析】以 C 为原点，直线 CA 为 x 轴，直线 CB 为 y 轴，直线CC 为轴，则设 CA=CB=1，则11 1B (0,1, 0) ， M ( , ,1) ， A （ 1， 0， 0） ， 2 2 u u u r1AN ( , 0,1)，所以21 N ( ,0,1)， 故2u u u r 1 1 BM ( , ,1) 2 2，2u u u r u u u rcos BM,ANBM ANu u u r u u u r|BM||AN|3465223010，故选C.【考点定位】异面直线所成的角.【名师点睛】本题考查了空间几何体棱柱的性质，异面直线所成角，空间直角坐标，空间向量的数量积，本题属于中档题，要求学生根据根据已知建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的知识求异面直线所成角的余弦值，注意由已知准确写出所需点的坐标.4.【2014四川，理8】如图，在正方体ABCD A B C D中，点O为线段BD的中点.设点P1111在线段CC上，直线OP与平面1A BD所成的角为，则sin的取值范围是（）13[,1]3A．6[,1]3B．622[,]33C．22[,1]3D．【答案】B【解析】试题分析：设正方体的棱长为，则131AC 2,AC 3,AO OC1,OC，11111222所以33212222cos AOC ,s in A OC113311322，3133622cos A OC ,s in A OC1133322.，选B.又直线与平面所成的角小于等于90，而AOC为钝角，所以sin的范围为[6,1]1335.【2016高考新课标 1卷】平面 过正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点 A , //平面 CB 1D 1, I 平面ABCD =m , I 平面 AB B1A 1=n ,则 m 、n 所成角的正弦值为(A)3 2(B)2 2(C)3 3(D)1 3【答案】A 【解析】考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、 连线成形,解形求角、得钝求补. 6.【2015高考浙江，理 8】如图，已知ABC ， D 是 AB 的中点，沿直线CD 将 ACD 折成A CD ，所成二面角 ACD B 的平面角为 ，则（ ）A.A DB B.A DBC. A CBD.A CB4【答案】B.【解析】试题分析：设ADC，设AB 2，则由题意AD BD 1，在空间图形中，设A B t，2221212222A D DB AB t t在A CB中，cos A DB2A D DB2112，在空间图形中，过A作AN DC，过B作BM DC，垂足分别为N，M，过N作NP//MB，连结A P，∴NP DC，则A NP就是二面角A CD B的平面角，∴A NP，在Rt A ND中，DN A D cos A DC cos，A N A D sin A DC sin，同理，BM PN sin，DM cos，故BP MN 2cos，显然BP 面A NP，故BP A P，在Rt A BP中，A P2A B2BP2t2(2cos)2t24cos2，在A NP中，cos cos A NP222A N NP A P2A N NPs in sin (t 4cos )22222s in sin22cos t2t cos1cos22222cos A DB，2s in2s insinsin sin22222∵1sin20，cos2sin20，∴cos cos A DB （当时取等号），2∵， A DB [0, ]，而 y cos x 在[0,]上为递减函数，∴ A DB ，故选 B.【考点定位】立体几何中的动态问题57.【2015高考四川，理 14】如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂 直，动点 M 在线段 PQ 上，E 、F 分别为 AB 、BC 的中点。
2015年全国高考-三视图专练及详细答案
2015年全国高考 三视图专练 教师版
1.（全国卷II 理科 6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 （ D ）
（A ）81 （B ）71 （C ）61 （D ）51
【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=
⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51．
2.（安徽 理科7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ B ）
（A ）13+ （B ）23+
（C ）122+ （D ）22
3.（北京 理科5）．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥
C B
A D D 1C 1
B 1A 1正(主)视图11俯视图
侧(左)视图
2
1
的表面积是（C ）
A ．25+
B ．45+
C ．225+
D ．5
【解析】由三视图得其几何体为右图，
4.（陕西理科5） 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A ．3π
B ．4π
C ．24π+
D ．34π+
5.（重庆理科5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A 、
13π+ B 、23
π+ C 、123π+ D 、223π+。
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分项专题21 三视图的辨别与应用(Word版)
专题21 三视图的辨别与应用考纲解读明方向考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.空间几何体的结构认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构了解2016课标全国Ⅲ,10;2015课标Ⅱ,6选择题填空题★★☆2.三视图和直观图①能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图;②会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式;③会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求)理解2017课标全国Ⅰ,7;2017北京,7;2016课标全国Ⅰ,6;2015重庆,5;2014湖南,7;2013四川,3选择题填空题★★★等几何体的形成过程,正确把握轴截面、中截面的含义及掌握将圆柱、圆锥、圆台的空间问题转化为平面问题的方法.3.理解三视图的形成过程及掌握三视图及直观图的画法.4.注重空间想象能力的培养.5.高考对本节的考查以三视图的识别和应用为主,分值约为5分,属中档题.2018年高考全景展示1．【2018年理新课标I卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D. 22017年高考全景展示1.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．162.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．12+π B ．32+π C ．123+πD ．323+π 3.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）22016年高考全景展示1.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A）18365+（B）54185+（C）90 （D）812.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A）1233+π（B）123+π（C）123+π（D）21+π3.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是.正视图3314.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.5.【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.。
三视图与几何体体积、表面积-2017年高考数学(理)母题题源系列(新课标1专版)含解析
母题五三视图与几何体体积、表面积【母题原题1】【2017新课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形。
该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【考点】简单几何体的三视图【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图。
【母题原题2】【2016新课标1,理6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π，则它的表面积是3（A）17π （B）18π (C）20π （D）28π【答案】A【考点】三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力，所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键。
【母题原题3】【2015新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
若该几何体的表面积为16 + 20 ，则r=（）（A）1 (B)2 (C）4 （D)8【答案】B【考点】简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提,对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正,宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量。
【命题意图】本类题主要以三视图为载体，通过还原几何体考查空间想象能力，通过体积和表面积的运算考查运算求解能力．【命题规律】高考对三视图的考查注意以以下几个方面为主：1、已知部分三视图，考查还原为原来立体图形的直观图；2、已知三视图,考查还原为立体图形的直观图并能计算表面积或体积；3、已知三视图,需要还原立体图形后求空间角或空间距离以及相关元素的位置关系4、以三视图为载体,考查还原后几何体的外接球或内切球问题。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题32选修部分理20171102323
【名师点睛】化参数方程为普通方程时，未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错.
10.【2017 课标 1，理 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
x 3cos
,
（θ 为参
y sin ,
数），直线 l 的参数方程为 x a 4t,
（t 为参数）. y 1 t, （1）若 a=− 1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a.
（t 为参数），以坐标原点
y 1t
为 极 点 ， x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 坐 标 系 ， 曲 线 C的 极 坐 标 方 程 为
2
3
5
cos 2
4(
0,
4
4
) ，则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为_______.
【答案】 (2, )
7. 【 2015 高 考 重 庆 ， 理 16】 若 函 数 f (x) x 1 2 x a 的 最 小 值 为 5， 则 实 数
【答案】1 【解析】
试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为 x2 y2 2x 4y 4 0 ，整理为
x
2
y
2
，圆心 C 1,2 ，点 P 是圆外一点，所以 AP 的最小值就是
1
21
AC r 2 1 1 .
【考点】1.极坐标与直角坐标方程的互化；2.点与圆的位置关系.
【名师点睛】1.运用互化公式： 2 x2 y2, y
.
π
π
2 sin(
）2
4
【答案】
5
2 2
．
A 4
2
【 解 析 】 依 题 直 线 ： 2 sin
三年高考(2016-2018)高考数学试题分项版解析 专题21 三视图的辨别与应用 理(含解析)
专题21 三视图的辨别与应用考纲解读明方向等几何体的形成过程,正确把握轴截面、中截面的含义及掌握将圆柱、圆锥、圆台的空间问题转化为平面问题的方法.3.理解三视图的形成过程及掌握三视图及直观图的画法.4.注重空间想象能力的培养.5.高考对本节的考查以三视图的识别和应用为主,分值约为5分,属中档题.2018年高考全景展示1．【2018年理新课标I卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B.C. D. 2【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N 在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.2017年高考全景展示1.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【考点】简单几何体的三视图【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.2.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．12+πB ．32+πC ．123+πD ．323+π【答案】A 【解析】试题分析：12)122121(3312+=⨯⨯+⨯⨯⨯=ππV ，选A ． 【考点】 三视图【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．3.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）（B）（C）（D）2【答案】B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图l=，故选B.红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A ）18+（B ）54+（C ）90 （D ）81 【答案】B考点：空间几何体的三视图及表面积．【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．基本性质及推论，线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题． 2.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）133+π （C ）136+π （D ）16+π 【答案】C考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.3.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是.正视图33【解析】试题分析：由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为1，底面边长为2,2，则底面等腰三角形的顶角为120︒，所以三棱锥的体积为1122sin120132V=⨯⨯⨯⨯︒⨯=.考点：三视图，几何体的体积.【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．4.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.【答案】7232考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积．【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．5.【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.【答案】2【解析】试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的底为2，高为1，因此体积为1(21)323V=⨯⨯⨯=．故答案为2．【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．。
高考经典三视图习题(含答案)
源-于-网-络-收-集几何体的三视图练习题1、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ b ）（A ）2 （B ）1 （C ）23（D ）135、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( b ) A ．3 B ．2 C ．23 D ．6 10、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为( c ). A.223π+ B. 423π+C. 2323π+D. 2343π+11、上图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ d ） A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π16、一个几何体的三视图如上图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为( )b A.33π B ．2π C ．3π D ．4π第1题第5题2 2侧(左)视图2 22正(主)视俯视图第10题俯视图 正(主)视图 侧(左)视图2 32 2第11题第2题2020正视图 20侧视图 1010 20俯视图第15题第16题源-于-网-络-收-集18、下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是d A.9π B.10π C.11π D ．12π19、右图是一个多面体的三视图，则其全面积为( c )A ．3 B ．362+C ．36+D ．34+20、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为( b ) A ．2π B ．52πC ．4πD ．5π21、一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为_80______cm 2.22、如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm),则此几何体的表面积是( a )A. 2(2042)cm +B.212cmC. 2(2442)cm +D. 242cm24、已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则2俯视图主视图左视图2 12 第18题第19题 第20题 俯视图85 5 8 8 5 5 第21题源-于-网-络-收-集球心O 到平面ABC 的距离为 （ b ） A. 31 B.33 C. 32 D.36。
三视图高考类型题-老师专用汇总
三视图类型题题型一三视图识图例1将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧(左)视图为()破题切入点根据三视图先确定原几何体的直观图和形状，然后再解题．答案 B解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．题型二空间几何体的表面积和体积例2如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为()A．363(π＋2) B．363(π＋2)C．1083π D．108(3π＋2)破题切入点先根据三视图的结构特征确定几何体的构成——半圆锥与棱锥的组合体，然后把三视图中的数据转化为该组合体的数字特征，分别求出对应几何体的体积，则两者体积之和即该组合体的体积．答案 B解析由俯视图，可知该几何体的底面由三角形和半圆两部分构成，结合正视图和侧视图可知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的，并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面重合，两个锥体的高相等．由三视图中的数据，可得该圆锥的底面半径r ＝6，三棱锥的底面是一个底边长为12，高为6的等腰三角形，两个锥体的高h ＝122－62＝63， 故半圆锥的体积V 1＝12×13π×62×63＝363π.三棱锥的底面积S ＝12×12×6＝36，三棱锥的体积V 2＝13Sh ＝13×36×63＝72 3.故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝363π＋72 3 ＝363(π＋2)．故选B.题型三 立体几何中的计算综合问题例3 (2014·陕西)四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四面体EFGH 是矩形．破题切入点 由三视图和几何体得知原几何体中各元素的量和性质来求解． (1)解 由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1， ∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明 ∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ， ∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵AD ⊥平面BDC ，∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形．总结提高 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高． (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．(3)立体几何中有关表面积、体积的计算首先要熟悉几何体的特征，其次运用好公式，作好辅助线等．1．(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )答案 D解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.2．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727 B.59C.1027D.13答案 C解析 由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4 cm ，底面半径为2 cm ，右面圆柱的高为2 cm ，底面半径为3 cm ，则组合体的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm 3)，原毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)，则所求比值为54π－34π54π＝1027.3．(2014·浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2答案 D解析 该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm ，3 cm ，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm,5 cm ，所以表面积S ＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋⎝⎛⎭⎫5×3＋4×3＋2×12×4×3＝99＋39＝138(cm 2)．4．(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．72答案 B解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，直角梯形ABP A 1的面积为12×(2＋5)×4＝14，计算可得A 1P ＝5.直角梯形BCC 1P 的面积为12×(2＋5)×5＝352.因为A 1C 1⊥平面A 1ABP ，A 1P ⊂平面A 1ABP ，所以A 1C 1⊥A 1P ，故Rt △A 1PC 1的面积为12×5×3＝152.又Rt △ABC 的面积为12×4×3＝6，矩形ACC 1A 1的面积为5×3＝15，故几何体ABC －A 1PC 1的表面积为14＋352＋152＋6＋15＝60.5．两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内部，且互相外切，若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切，球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切，则球O 1和球O 2的表面积之和的最小值为( ) A ．(6－33)π B ．(8－43)π C ．(6＋33)πD ．(8＋43)π答案 A解析 设球O 1，O 2的半径分别为r 1，r 2， 由题意知O 1A ＋O 1O 2＋O 2C 1＝3，而O 1A ＝3r 1，O 1O 2＝r 1＋r 2，O 2C 1＝3r 2， ∵3r 1＋r 1＋r 2＋3r 2＝ 3.∴r 1＋r 2＝3－32， 从而S 1＋S 2＝4πr 21＋4πr 22＝4π(r 21＋r 22)≥4π·(r 1＋r 2)22＝(6－33)π.6．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S —ABC 的体积为( ) A ．3 3B ．2 3C. 3D ．1答案 C解析 如图，过A 作AD 垂直SC 于D ，连接BD .由于SC 是球的直径，所以∠SAC ＝∠SBC ＝90°，又∠ASC ＝∠BSC ＝30°，又SC 为公共边， 所以△SAC ≌△SBC . 由于AD ⊥SC ，所以BD ⊥SC . 由此得SC ⊥平面ABD .所以V S —ABC ＝V S —ABD ＋V C —ABD ＝13S △ABD ·SC .由于在Rt △SAC 中，∠ASC ＝30°，SC ＝4， 所以AC ＝2，SA ＝23，由于AD ＝SA ·CA SC ＝ 3.同理在Rt △BSC 中也有BD ＝SB ·CBSC ＝ 3.又AB ＝3，所以△ABD 为正三角形，所以V S —ABC ＝13S △ABD ·SC ＝13×12×(3)2·sin 60°×4＝3，所以选C.7．(2014·辽宁)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4答案 B解析 这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2， V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π.8．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为( )A.2π3＋12 B.4π3＋16 C.2π6＋16D.2π3＋12答案 C解析 由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体，如图，其中AP ，AB ，AC 两两垂直，且AP ＝AB ＝AC ＝1，故AP ⊥平面ABC ，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12，所以三棱锥P －ABC 的体积V 1＝13×S △ABC ×AP ＝13×12×1＝16，又Rt △ABC 是半球底面的内接三角形，所以球的直径2R ＝BC ＝2，解得R ＝22，所以半球的体积V 2＝12×4π3×(22)3＝2π6，故所求几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝16＋2π6.9．(2014·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．答案 2 2解析 根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P －ABC .由三视图的形状特征及数据，可推知P A ⊥平面ABC ，且P A ＝2. 底面为等腰三角形，AB ＝BC ， 设D 为AC 的中点，AC ＝2， 则AD ＝DC ＝1，且BD ＝1，易得AB ＝BC ＝2，所以最长的棱为PC ， PC ＝P A 2＋AC 2＝2 2.10．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________． 答案33解析 如图，作PM ⊥平面ABC ，设P A ＝a ，则AB ＝2a ，CM ＝63a ， PM ＝33a . 设球的半径为R ， 所以⎝⎛⎭⎫33a －R 2＋⎝⎛⎭⎫63a 2＝R 2， 将R ＝3代入上式，解得a ＝2，所以d ＝3－233＝33.11．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示．因为r R ＝H －x H ，所以r ＝R －R H x ，所以S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR H x 2(0<x <H )．(2)因为－2πRH<0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H2时，S 圆柱侧最大．故当x ＝H2，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．12．(2014·北京)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点． (1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积．(1)证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ， 所以AB ⊥平面B 1BCC 1， 又因为AB ⊂平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明 取AB 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG . 又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.。
2015-2019 三视图高考真题(含解析)
专题19 三视图以及表面积体积2019年1.（2019全国II 文16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）2.（2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．3.(2019全国III 文16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.4.（2019江苏9）如图，长方体1111ABCD A B C D 的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 .5.（2019天津文12）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.6.（2019北京文12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．7.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A ．158B ．162C ．182D ．322015-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π2．(2018全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为BAA ．217B ．25C ．3D ．23．(2018全国卷Ⅰ)在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．8B ．2C ．82D ．834．(2018全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是5．(2018全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为3，则三棱锥D ABC 体积的最大值为 A ．123B ．183C ．3D ．36．(2018浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是俯视图正视图2211A ．2B ．4C ．6D ．87．(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为俯视图侧(左)视图正(主)视图1221A ．1B ．2C ．3D ．48．（2017新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．34πC．2πD．4π9．（2017北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A．60 B．30 C．20 D．1010．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是俯视图11311A．12π+B．32π+C．312π+D．332π+11．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π12．（2016年山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为A ．1233π+ B ．123π+ C ．123π+ D ．21π+ 13．（2016年全国I ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 14．（2016年全国II ）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π15．（2016年全国III ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．18+ B．54+ C ．90 D ．81 二、填空题16．(2018天津)如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为__．D 1C 1B 1A 1D CBA17．(2018江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．18．（2017新课标Ⅰ）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为________．19．（2017新课标Ⅱ）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 ．20．（2017天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 21．（2017山东）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．俯视图侧视图（左视图）正视图（主视图）22．（2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
高考数学三视图汇编.doc
高考立体几何三视图1（ 2017 全国卷二理数）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90B．63C．42D．36【答案】 B【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半．2（ 2017 北京文数）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A 60B 30C 20D 10【答案】 D【解析】该几何体是如图所示的三棱锥P-ABC ，由图中数据可得该几何体的体积为V 115 3 4 10 3 23（ 2017 北京理数）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A 3 2B 2 3C 2 2D 2【答案】 B【解析】如下图所示，在四棱锥P ABCD 中，最长的棱为PA，所以 PA= PC2AC 222(2 2) 2 2 3 ，故选B．4（ 2017 山东理数）由一个长方体和两个何体的三视图如图，则该几何体的体积为1圆柱构成的几4。
【答案】2+ 【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、2高分别是2、 1、 1，圆柱的高为1，底面半径为1，所以V 2 1 1 2 121=2+4 25（ 2017 全国卷一理数）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C．14 D ．16【答案】 B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为2(2 4) 2 112 ，故选 B. 26（ 2017 浙江文数）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A. π+1 πB. +32 2C. 3 3π+1 D. +3 2 2【答案】 A 【解析】由三视图可知该几何体由一个三棱锥和半个圆锥组合而成，圆锥的体积为 V1 1 1 12 3 π，三棱锥的体积为 V2 112 13 1 ，2 3 2 3 2 2所以它的体积为V V1 V2π 1 2 27．（ 2016 全国卷 1 文数）如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π，则它的表面积3是（）．A ．17πB．18πC．20π D ．28π【答案】 B 【解析】由三视图可知该几何体是7个球（如图所示），设球的半径为 R ，则8V 7 4π 3 28πS表7 2 3 28R 得 R=2 ，所以它的表面积是84π 2 +42 173 38．（ 2016 全国卷 2 文数）右图是圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为().A.20πB.24C.28D.32【答案】 C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为S12π 2 4 16圆锥的侧面积为S212π 2 48 2圆柱的底面积为S3π 22 4该几何体的表面积为S S1+S2 +S3289．（ 2016 全国卷 3 文数）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（） .A. 18 36 5B. 54 18 5C. 90D. 81【答案】 B 【解析】(1)由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3,3，45，几何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋ 3× 45×2＝ 54＋ 18 5. 10．（ 2016 北京文数）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.【答案】3【解析】由已知中的三视图可知，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，2棱柱的底面积为 S 1（1+2） 1 3 棱柱的高为1，故体积为3 2 2 211．（2016 山东文数）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（） .A ． 1 2 πB ． 1 2 π3 3 3 3C． 1 2 πD．1 2 π3 6 6 11 1正（主）视图侧（左）视图俯视图【答案】 C【解析】由题意可知，该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥底面棱长为1，可得2R 22，故 R2半球的体积为，2 23 2（g ）=326棱锥的面积为1，高为 1，故体积为1故几何体的体积为1 +23 3 612．（ 2016 天津文数3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（） .【答案】 B【解析】由正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图所示，故该几何体的侧视图为选项 B.13（ 2016 四川文数）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于. 【答案】 C【解析】由题意可知，该几何体为三棱锥，底面为俯视图所示的三角形，底面积 S 13 1 3 ，高为 h1 1 32 1 棱锥的体积为VSh g 3g1=3 2 3 314．（ 2016 浙江文数）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表2 3面积是 ______cm ,体积是 ______cm .【答案】 C 【解析】由题意可知，该几何体为长方体上面放置一个小的正方体，其表面积为 S 6 22 2 42 4 2 4 2 22 80其体积为 V 23 4 4 2 40。
三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：空间几何体的三视图、表面积和体积
空间几何体的三视图、表面积和体积2019年1.（2019全国Ⅲ理16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.解析 该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==，14cm AA =， 所以该模型体积为：1111311664(46432)314412132(cm )32ABCD A B C D O EFGH V V ---=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=， 3D 打印所用原料密度因为为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)⨯=．2.（2019江苏9）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 .解析 因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，所以11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，所以三棱锥E BCD -的体积：111332E BCD BCD V S CE BC DC CE -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=V 111012AB BC DD ⨯⨯⨯=.3.（2019天津理11）若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .解析 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2.因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形所以该圆柱的体积为2112V Sh ⎛⎫==π⨯= ⎪⎝⎭4.（2019全国Ⅰ理12）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ． D解析：由PA PB PC ==及ABC △是边长为2的正三角形可知，三棱锥P ABC -为正三棱锥，则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心.连接BO 并延长，交AC 于G ，则AC BG ⊥，又,PO AC PO BG O ⊥=I ，可得AC ⊥平面PBG ，则PB ⊥AC. 因为E ，F 分别是P A ，AB 的中点，所以EF PB P .又90CEF ∠=︒，即EF ⊥CE ，所以PB ⊥CE ，得PB ⊥平面P AC .所以PB ⊥P A ，PB ⊥PC.又因为PA PB PC ==，ABC △是正三角形，所以PAC PBC PAB △≌△≌△，故PA PC ⊥所以正三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直.把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为正方体的体对角线的长度，即d =3π⨯=⎝⎭．故选D ． 5.（2019浙江4）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A ．158B ．162C ．182D ．32解析：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即11(46)3(26)32722ABCDE S =+⨯++⨯=五边形，高为6， 则该柱体的体积是276162V =⨯=．故选B ．6.（2019北京11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。
专题20 三视图的辨别与应用-三年高考(2021-2021)数学(理)试题分项版解析(原卷版)
1.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．162.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．12+πB ．32+πC ．123+πD ．323+π 3.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ）2（B ）3C ）2（D ）24.【2014高考北京理第7题】在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π6.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.1 7.【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）8.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A ）18365+（B ）54185+（C ）90 （D ）819.【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )10.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A ）1233+π（B ）1233+π（C ）1236+π（D ）216+π 11.【2014课标Ⅰ，理12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）（A ）62（B ）6（C ）62（D ）4A.38cmB. 312cmC. 3323cmD. 3403cm13.【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A、13π+B、23π+C、123π+D、223π+14.【2014，安徽理7】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+3B．18+3C．21 D．18A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②16.【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）正(主)视图1 1俯视图侧(左)视图21A．25+B．45+C．225+D．517.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是.正视图33118.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.19.【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.20.【2015高考天津，理10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m . 1侧视图俯视图11112111111。
专题01 集合—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
（D） (0, )
【答案】C 【解析】
试题分析： A {y | y 0}， B {x | 1 x 1}，则 A B （-1，+），选 C.
考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算. 【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年题目看，集合的基 本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结 合，增大了考查的覆盖面.
6. 【 2017 天 津 ， 理 1 】 设 集 合 A {1, 2, 6}, B {2, 4}, C {x R | 1 x 5} ， 则
(A B) C （ ）
（A）{2} （B）{1, 2, 4} （C）{1, 2, 4, 6} （D）{x R | 1 x 5} 【答案】 B 【解析】 ( A B) C {1，2，4，6} [1，5] {1，2，4} ,选 B.
2018 年暑假系统班，全国钜惠，99 元 16 课时
是（ ） （A）3
【答案】C
（B）4
（C）5
（D）6
【解析】由题意， A Z {2, 1, 0,1, 2}，故其中的元素个数为 5，选 C.
考点：集合中交集的运算. 【名师点睛】集合的概念及运算一直是的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是 结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.
2【. 2017 课标 II，理】设集合 1, 2, 4 ， x x2 4x m 0 .若 1 ，则
（）
A.1, 3
B.1, 0
C. 1, 3
D. 1, 5
【答案】C
【 解 析 】 由 1 得 1 B ， 即 x 1 是 方 程 x2 4x m 0 的 根 ， 所 以
三年高考(2016-2018)高考数学试题分项版解析 专题21 三视图的辨别与应用 理(含解析)
专题21 三视图的辨别与应用考纲解读明方向等几何体的形成过程,正确把握轴截面、中截面的含义及掌握将圆柱、圆锥、圆台的空间问题转化为平面问题的方法.3.理解三视图的形成过程及掌握三视图及直观图的画法.4.注重空间想象能力的培养.5.高考对本节的考查以三视图的识别和应用为主,分值约为5分,属中档题.2018年高考全景展示1．【2018年理新课标I卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B.C. D. 2【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N 在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.2017年高考全景展示1.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【考点】简单几何体的三视图【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.2.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．12+πB ．32+πC ．123+πD ．323+π【答案】A 【解析】试题分析：12)122121(3312+=⨯⨯+⨯⨯⨯=ππV ，选A ． 【考点】 三视图【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．3.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）（B）（C）（D）2【答案】B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图l==，故选B.红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A ）18+（B ）54+（C ）90 （D ）81 【答案】B考点：空间几何体的三视图及表面积．【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．基本性质及推论，线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题． 2.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+【答案】C考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.3.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是.正视图33【答案】3【解析】试题分析：由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为1，底面边长为2,2，则底面等腰三角形的顶角为120︒，所以三棱锥的体积为1122sin120132V=⨯⨯⨯⨯︒⨯=考点：三视图，几何体的体积.【名师点睛】本题考查三视图，考查几何体体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．4.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.【答案】7232考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积与体积．【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．5.【2016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.【答案】2【解析】试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的底为2，高为1，因此体积为1(21)323V=⨯⨯⨯=．故答案为2．【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．。
013全国历年高考数学题-----三视图(理).docx
013全国历年高考数学题••…三视图（理）2015 年（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为厂）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
若该儿何体的表面积为16 + 20龙，则厂二（）(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 82014 年5. （2014・江西）一儿何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）2013 年8. (2013课标全国I,理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为().A.16+8 兀B.8+8 JiC.16+16 JID.8+16 兀“2 * 2L2012 年(7)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某儿何体的三视图，则此儿何体的体积为( )(A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 182011 年(6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示, 则相应的俯视图可以为()(A)(B)(C)(D)参考答案2015【答案】B【解析】由止视图和俯视图知，该儿何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为丄x4/ur2 4-^rx2r + ^r2 + 2rx2r = 5^/-2 +4r2=16 + 20% 2得r=2,故选B.2014考点：简单空间图形的三视图.专题：空间位置关系与距离.分析：通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可.解答：解：几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确；儿何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确，故选：B.点评：本题考查三视图的画法，几何体的结构特征是解题的关键.2013 年答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图屮数据可知圆柱底面半径于= 2,长为4,在长方体中，长为4,宽为2,高为2,所以儿何体的体积为n rX4X丄+4X2X22=8 n +16.故选A.2012 年【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3此几何体的体积为V=-x-x6x3x3 = 93 22011 年(6) D。
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1.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体平面内只有两个相同的梯形的面，则含梯形的面积之和为，故选B.
2.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A．B．C．D．【答案】A
【解析】
试题分析：，选A．
【考点】三视图
3.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（A）3（B）2（C）2（D）2
【答案】B
【解析】
试题分析：几何体是四棱锥，如图
红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，，故选B.
【考点】三视图
【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:
或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题. 4.【2014高考北京理第7题】在空间直角坐标系中,已知
.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（）
A． B．且
C．且 D．且
【答案】D
【解析】
考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.
【名师点睛】本题考查空间直角坐标系下几何体的位置和相应点的坐标以及正投影的概念，正投影的位置、形状和面积，本题属于基础题，要准确写出点的坐标，利用坐标求出三角形的面积.
5.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【解析】
【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:。