一元二次函数与方程教学设计简案及学生学案
《一元二次方程》数学教案8篇
《一元二次方程》数学教案8篇作为一位兢兢业业的人民教师，通常需要准备好一份教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
那么什么样的教案才是好的呢？这里作者为大家分享了8篇《一元二次方程》数学教案，希望在一元二次方程教案的写作这方面对您有一定的启发与帮助。
元二次方程教案篇一一、教材分析：1、教材所处的地位：此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。
本节仍是进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展。
2、教学目标要求：（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；（3）经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述；（4）通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
3、教学重点和难点：重点：列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。
难点：发现问题中的等量关系。
二．教法、学法分析：1、本节课的设计中除了探究3教师参与多一些外，其余时间都坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。
教学过程中，教师只注重点、引、激、评，注重学生探究能力的培养。
还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。
同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。
2、本节内容学习的关键所在，是如何寻求、抓准问题中的数量关系，从而准确列出方程来解答。
因此课堂上从审题，找到等量关系，列方程等一系列活动都由生生交流，兵教兵从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。
三．教学流程分析：本节课是新授课，根据学生的知识结构，整个课堂教学流程大致可分为：活动1复习回顾解决课前参与活动2封面设计问题的探究活动3草坪规划问题的延伸活动4课堂回眸这有名程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
九年级数学下册《二次函数与一元二次方程的关系》教案、教学设计
-例如：“已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），求该二次函数的解析式。”
4.小组合作探究题：这部分作业要求学生在小组内共同完成，培养学生的合作精神和探究能力。
（三）学生小组讨论
在讲授新知之后，我会组织学生进行小组讨论。我将设计一些具有探究性的问题，如：“二次函数的开口方向和顶点坐标是如何影响一元二次方程的解的？”、“在实际问题中，如何运用二次函数的性质求解一元二次方程？”等。学生通过小组合作，共同探讨这些问题，培养他们的合作精神和探究能力。
（四）课堂练习
-教师设计具有现实背景的实际问题，引导学生运用二次函数知识进行分析和解决。
-学生在解决问题的过程中，掌握数学建模、问题求解等数学方法。
3.通过对二次函数图像的观察与分析，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生主动参与学习的积极性。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数与一元二次方程关系的理解，提高学生的应用能力和解决问题的策略，我设计了以下几类作业：
1.基础知识巩固题：这部分作业主要针对课堂所学的基本概念和性质进行设计，包括填空题、选择题和简答题，旨在帮助学生巩固二次函数与一元二次方程的基本知识。
-填空题：如“二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，当a<0时，图像开口______。”
2.掌握一元二次方程的求解方法，了解一元二次方程与二次函数之间的关系，并能运用二次函数解决实际问题。
-学生能够运用直接开平方法、配方法、求根公式等求解一元二次方程。
一元二次方程教学设计（精选10篇）
一元二次方程教学设计一元二次方程教学设计（精选10篇）作为一名教师，时常需要用到教学设计，教学设计是一个系统化规划教学系统的过程。
优秀的教学设计都具备一些什么特点呢？以下是小编整理的一元二次方程教学设计，仅供参考，欢迎大家阅读。
一元二次方程教学设计篇1教材分析本节课是以成本下降为问题探究，讨论平均变化率的问题，这类问题在现实世界中有很多的原型，例如经济增长率、人口增长率等等，联系生活实际很密切，这类问题也是一元二次方程在生活中最典型的应用。
本节课主要是讨论两轮（即两个时间段）的平均变化率，它可以用一元二次方程作为数学模型。
学情分析1、由于我们的学生对列方程解应用题有畏惧的心理，感觉很困难，根据探究1学生的掌握情况来看，决定把探究2作为一课时，来专门学习。
2、学生对列方程解应用题的步骤已经很熟悉，而且有了第一课时连续传播问题的做铺垫，适合用自主探究，合作交流的学习方法。
3、连续增长问题的中的数量关系、规律的发现是本节课的难点，所以我把问题分解了让学生逐个突破，由于九年级学生具有一定的解题归纳能力，所以采用从一般到特殊的探究方式。
教学目标知识与技能：1、能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
2、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
过程与方法：1、经历将实际问题抽象为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
2、通过成本降低、能源增长等实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，发展实践应用意识。
情感与态度：通过用一元一次方程解决身边的问题，体会数学知识的应用价值，提高学生学习数学的兴趣。
教学重点和难点重点：利用增长率问题中的数量关系，列出方程解决问题。
难点：理清增长率问题中的数量关系。
一元二次方程教学设计篇2【教学目标】1、会根据具体问题中的数量关系列一元二次方程并求解。
2、能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》教案、教学设计
（1）教师给出练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（3）教师挑选部分学生的作业进行展示、讲解，总结解题方法。
（五）总结归纳
1.教学内容：总结二次函数与一元二次方程的知识点，梳理知识结构。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学内容，总结二次函数与一元二次方程的知识点。
（2）学生分享自己的学习心得，交流学习过程中遇到的困难和解决方法。
（3）教师总结归纳，强调重点，指出易错点，为课后复习提供指导。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数与一元二次方程知识点的掌握，提高学生的实际应用能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合课堂所学，完成课后练习题第1、2、3题，加深对二次函数与一元二次方程概念的理解。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一次函数、一元一次方程等知识点有了深入的理解和掌握。在此基础上，学生对二次函数与一元二次方程的学习将更加顺利。然而，由于二次函数与一元二次方程的概念较为抽象，学生在理解上可能会遇到一定的困难。此外，学生在解决实际问题时，可能会对知识点的运用感到困惑。
2.从生活中的实际问题出发，选取一个案例，将其抽象为二次函数与一元二次方程模型，并求解。要求撰写解题过程，明确解题思路和方法。
3.小组合作，共同完成一道拓展题。题目如下：
拓展题：已知抛物线y = ax^2 + bx + c（a≠0）的图象，求该抛物线与x轴的交点坐标。
要求：各小组通过讨论、探究，给出至少两种解题方法，并在课堂上分享解题过程和心得。
4.培养学生面对困难、挑战的精神，鼓励学生勇于尝试、不断探索，树立克服困难的信心。
一元二次函数的教案
一元二次函数的教案【篇一：高一数学二次函数与一元二次方程教案】高一数学二次函数与一元二次方程教案知识目标:（1）会用判别式的符号解释二次函数图象与x轴交点及一元二次方程的根。
（2）理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。
能力目标：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。
情感目标：培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神教学过程: 一、引入等式ax2+bx+c=0(a≠0)是关于x的一元二次方程，关系式y=ax2+bx+c(a≠0)则是关于自变量x的二次函数。
今天我们将进一步研究它们之间的关系。
二、新授观察思考：1、几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如①方程x-2x-3=0与函数y=x2-2x-3；2②方程x-2x+1=0与函数y=x2-2x+1；2③方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3。
研讨探究问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x轴交点坐标有什么关系？探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。
⑴以①为例（幻灯片）结论：一元二次方程x-2x-3=0的判别式?＞0 ?一元二次方程x-2x-3=0有两个不相等的实数根?对应的二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴有两个交点为（3，0），（–1，0）。
（2）再研究②③，能得类似的结论吗？22结论：一元二次方程x-2x+1=0判别式?=0一元二次方程x-2x+1=0?有两22等根?对应的二次函数y=x-2x+1的图象与x轴有唯一的交点为（1，0）。
22一元二次方程判别式x-2x+3=0?﹤0 ?一元二次方程x-2x+3=02方程无实数根?对应的二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点。
联想发散22、一元二次方程ax+bx+c=0（a＞0）根的个数及其判别式与二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象与x轴的位置之间有什么联系？）思考：当二次函数y=ax2+bx+c（a﹤0）时，是否也有类似的结论呢？探究点二：函数的零点一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的的实数根就是二次函数y=ax2+bx+c的值为零时自变量的x的值，也就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标，因2此一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的的实数根也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点。
一元二次函数教案
【篇一：一元二次函数教学设计】
【篇二：二次函数与一元二次方程教案1】
二次函数与一元二次方程教案1
二次函数与一元二次方程
教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.
[师]还请大家先讨论后解答.
[生](1)二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.
(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.
(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;
【点评】画二次函数图象步骤：(1)配方；(2)列表；
(3)描点成图；也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函数性质
【例3】求函数y=x2+6x+9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。【解】y=x2+6x+2=x2+6x+9-7=(x+3)2-7
四、课后作业
备课资料
思考、探索、交流
把4根长度均为100m的铁丝分别围成正方形、长方形、正三角形和圆,哪个的面积最大?为什么?解:(1)设长方形的一边长为x m,另一边长为(50-x)m,则
九年级数学一元二次方程教案5篇最新
九年级数学一元二次方程教案5篇最新一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。
今天小编在这里整理了一些，我们一起来看看吧!九年级数学一元二次方程教案1教学目标1。
知识与技能了解一元二次方程及有关概念;掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法;应用熟练掌握以上知识解决问题。
2。
过程与方法(1)通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型。
•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念。
(2)结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等。
(3)通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程。
九年级数学一元二次方程教案2【主体知识归纳】1.整式方程方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.2.一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.3.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项.4.直接开平方法形如x2=a(a≥0)的方程，因为x是a的平方根，所以x=± ，即x1= ，x2=- .这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.5.配方法将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)化成(x+ )2= 的形式后，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1;(2)将常数项移到方程右边;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方;(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根.6.公式法用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x= (b2-4ac≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【基础知识讲解】1.一元二次方程的概念包涵三个条件：(1)整式方程;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2”.一元二次方程的概念中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”是对化成一般形式之后而言的.例如，判断方程2x2+2x-1=2x2是否是一元二次方程?应先整理方程，得2x-1=0，所以此方程不是一元二次方程.2.在求二次项、一次项和常数项时，要先整理方程，把方程化成一般形式，即ax2+bx+c=0，再确定所求.方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时，才是一元二次方程，例如a=0，b≠0时，它就是一元一次方程，因此，如果明确指出ax2+bx+c=0是一元二次方程，那么就一定包括a≠0这个条件.3.直接开平方法适用于解化为x2=a形式的方程，当a≥0时，方程有实数解;当a0时，方程没有实数解.4.配方法是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解;如果右边是负数时，方程无实数解.5.求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，代入公式求出方程的根;当b2-4ac0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了.【例题精讲】例1：指出下列方程中哪些是一元二次方程：(1)5x2+6=3x(2x+1);(2)8x2=x;(3)y3-y-1=0;(4)4x2-3y=0;(5)-x2=0;(6)x(5x-1)=x(x+3)+4x2.剖析：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，化成一般形式，然后再根据条件：①整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为2.只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程.解：(1)去括号，得5x2+6=6x2+3x，移项、合并同类项，得x2+3x-6=0，∴此方程是一元二次方程.(2)移项，得8x2-x=0，∴此方程是一元二次方程.(3)因为未知数的最高次数是3，∴此方程不是一元二次方程.(4)∵方程中含有两个未知数，∴它不是一元二次方程.(5)∵a=-1≠0，∴它是一元二次方程.(6)整理，得4x=0∴它不是一元二次方程.例2：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)2x2=3x+5;(2)(x+1)(x-1)=1;(3)(x+2)2-4=0.剖析：虽然该题没有要求把方程化成一般形式，但在做题时，也要先把方程化成一般形式.因为方程的.二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程.解：(1)整理，得2x2-3x-5=0.二次项系数是2，一次项系数是-3，常数项是-5.(2)整理，得x2-2=0.二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是-2.(3)整理，得x2+4x=0.二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0.例3:关于x的整式方程(m-1)x2+(2m-1)x+4=0是一元二次方程吗?剖析：要判别原方程是否是一元二次方程，易想到用定义，满足条件：(1)整式方程;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.原方程显然满足(1)、(2).由于不知m是怎样的实数，所以不一定满足(3).因此，需分类探讨.解：当m-1≠0，即m≠1时，原方程是一元二次方程.当m-1=0，即m=1时，原方程是x+4=0是一元一次方程.说明：在移项、合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心，要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项系数.特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号.例4:用直接开平方法解下列方程：(1)3x2-27=0;(2)(3x-5)2-7=0.解：(1)3x2-27=0，3x2=27，x2=9，∴x=± ，即x=3或x=-3.∴x1=3，x2=-3.(2)(3x-5)2-7=0，(3x-5)2=7，∴3x-5=± ，即3x-5= 或3x-5=- .∴x1= ，x2= .例5：用配方法解方程2x2+7x-4=0.剖析：此题考查对配方法的掌握情况.配方法最关键的步骤是：(1)将二次项系数化为1;(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x+a)2=k的形式，然后用开平方法求解.解：把方程的各项都除以2，得x2+ x-2=0.移项，得x2+ x=2.配方，得x2+ x+( )2=2+( )2= ，即(x+ )2= .解这个方程，得x+ =± ，x+ =± .即x1= ，x2=-4.说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x为何实数，代数式2x2-4x+3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x2-4x+3=2x2-4x+2+1=2(x-1)2+1.例6：用公式法解下列方程：(1)2x2+7x=4;(2)x2-1=2 x.解：(1)方程可变形为2x2+7x-4=0.∵a=2，b=7，c=-4，b2-4ac=72-4×2×(-4)=810，∴x= .∴x1= ，x2=-4.(2)方程可变形为x2-2 x-1=0.∵a=1，b=-2 ，c=-1，b2-4ac=(-2 )2-4×1×(-1)=160.∴x= .∴x1= +2，x2= -2.说明：在用公式法解方程时，一定要先把方程化成一般形式.例7：一元二次方程(m-1)x2+3m2x+(m2+3m-4)=0有一根为零，求m的值及另一根.解：因为方程有一根为零，所以它的常数项m2+3m-4=0，解得m1=1，m2=-4，又因为此方程是一元二次方程，所以m-1≠0，即m≠1，所以m=-4.把m=-4代入方程，得-5x2+48x=0，解得：x1=0，x2=9.6，所以方程的另一根为9.6.说明：方程有一根为零时，常数项必须为零;求解字母系数的一元二次方程的问题中，二次项系数的字母必须保证二次项系数不等于零，这是解此类问题的先决条件.【同步达纲练习】1.选择题(1)下列方程中是一元二次方程的是( )A. =0B. =0C.x2+2xy+1=0D.5x=3x-1(2)下列方程不是一元二次方程的是( )A. x2=1B.0.01x2+0.2x-0.1=0C. x2-3x=0D. x2-x= (x2+1)(3)方程3x2-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A.3，-4，-2B.3，2，-4C.3，-2，-4D.2，-2，0(4)一元二次方程2x2-(a+1)x=x(x-1)-1的二次项系数为1，一次项系数为-1，则a的值为( )A.-1B.1C.-2D.2(5)若方程(m2-1)x2+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )A.m≠0B.m≠1C.m≠1且m≠-1D.m≠1或m≠-1(6)方程x(x+1)=0的根为( )A.0B.-1C.0，-1D.0，1(7)方程3x2-75=0的解是( )A.x=5B.x=-5C.x=±5D.无实数根(8)方程(x-5)2=6的两个根是( )A.x1=x2=5+B.x1=x2=-5+C.x1=-5+ ，x2=-5-D.x1=5+ ，x2=5-(9)若代数式x2-6x+5的值等于12，那么x的值为( )A.1或5B.7或-1C.-1或-5D.-7或1(10)关于x的方程3x2-2(3m-1)x+2m=15有一个根为-2，则m 的值等于( )A.2B.-C.-2D.2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)4x+1=9x2; (2)(x+1)(x-3)=2x-3;(3)(x+3)(x-3)=2(x-3)2; (4) y2- y= y2- y+ .3.当m满足什么条件时，方程(m+1)x2-4mx+4m-2=0是一元二次方程?当x=0时，求m的值.4.用直接开平方法解下列方程：(1)x2= ;(2)x2=1.96;(3)3x2-48=0;(4)4x2-1=0;(5)(x-1)2=144;(6)(6x-7)2-9=0.5.用配方法解下列方程：(1)x2+12x=0; (2)x2+12x+15=0 (3)x2-7x+2=0;(4)9x2+6x-1=0; (5)5x2-2=-x; (6)3x2-4x=2.6.用公式法解下列方程：(1)x2-2x+1=0; (2)x(x+8)=16; (3)x2- x=2; (4)0.8x2+x=0.3;(5)4x2-1=0; (6)x2=7x; (7)3x2+1=2 x; (8)12x2+7x+1=0.7.(1)当x为何值时，代数式2x2+7x-1与4x+1的值相等?(2)当x为何值时，代数式2x2+7x-1与x2-19的值互为相反数?8.已知a，b，c均为实数，且+|b+1|+(c+3)2=0，解方程ax2+bx+c=0.9.已知a+b+c=0.求证：1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根.10.用配方法证明：(1)3y2-6y+11的值恒大于零;(2)-10x2-7x-4的值恒小于零.11.证明：关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+1=0，不论a为何实数，该方程都是一元二次方程.九年级数学一元二次方程教案3教学目标1. 了解整式方程和一元二次方程的概念;2. 知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。
一元二次函数教案
一元二次函数教案教案标题：一元二次函数教案教案目标：1. 学生能够理解一元二次函数的定义和特点。
2. 学生能够掌握一元二次函数的图像、顶点、轴对称以及相关的数学运算。
3. 学生能够应用一元二次函数解决实际问题。
教案步骤：引入（5分钟）：1. 引入一元二次函数的概念，解释一元二次函数的定义和表达式形式。
2. 通过一个简单的例子，让学生理解一元二次函数的图像特点。
探究（15分钟）：1. 分组讨论：将学生分成小组，让他们自主探究一元二次函数的顶点和轴对称的概念。
2. 每个小组展示他们的发现，并进行讨论和总结。
概念讲解（15分钟）：1. 讲解一元二次函数的顶点和轴对称的概念，并给出相关的公式和计算方法。
2. 通过示例演示如何求解一元二次函数的顶点和轴对称。
练习（20分钟）：1. 给学生一些练习题，让他们应用所学知识计算一元二次函数的顶点和轴对称。
2. 引导学生在解题过程中注意问题的实际意义和解释。
应用（15分钟）：1. 提供一些实际问题，让学生应用一元二次函数解决实际问题。
2. 引导学生分析问题，建立函数模型，并求解问题。
总结（5分钟）：1. 回顾一元二次函数的定义、特点以及相关概念。
2. 强调一元二次函数在实际问题中的应用。
拓展练习（10分钟）：1. 给学生一些拓展练习题，让他们进一步巩固和应用所学知识。
2. 鼓励学生思考更复杂的问题，并尝试解决。
教案评估：1. 教师观察学生在探究和练习环节的表现，检查他们对一元二次函数的理解和应用能力。
2. 评估学生在应用环节中解决实际问题的能力。
教案延伸：1. 可以引导学生进一步研究一元二次函数的性质和变化规律。
2. 可以设计更复杂的应用问题，让学生挑战更高难度的解题。
教案资源：1. 一元二次函数的图像和性质的PPT或教材。
2. 练习题和拓展题的手册或工作纸。
3. 实际问题的案例和提示。
教案反思：1. 教师可以根据学生的学习情况和反馈，调整教学步骤和内容，以提高教学效果。
一元二次教案
一元二次教案教案标题：一元二次教案教案目标：1. 学生能够理解一元二次方程的概念和特征。
2. 学生能够解一元二次方程并应用解法解决实际问题。
3. 学生能够通过图像和表格表示一元二次方程的解。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回顾线性方程的概念和解法，并提出一元二次方程的特点和应用。
知识讲解：2. 介绍一元二次方程的定义和一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
3. 解释一元二次方程的解的概念和解的个数。
4. 讲解一元二次方程的解法：因式分解法、配方法、公式法。
5. 指导学生如何判断一元二次方程是否有实数解。
示例演练：6. 提供一些简单的一元二次方程示例，引导学生运用不同的解法解方程。
7. 鼓励学生在解答过程中提出问题和讨论解法的优劣。
应用拓展：8. 提供一些实际问题，要求学生建立相应的一元二次方程并解决问题。
9. 引导学生将一元二次方程的解用图像和表格表示，以增强对方程解的理解。
巩固练习：10. 提供一些练习题，包括不同难度的一元二次方程，以检验学生对知识的掌握程度。
11. 鼓励学生相互交流解题思路和方法。
总结反思：12. 总结一元二次方程的概念和解法，并强调解题时的注意事项。
13. 鼓励学生提出对本节课的疑问和反馈意见。
教学资源：- 教科书或教材提供的一元二次方程相关知识和练习题- 白板、黑板或投影仪等教学工具- 计算器或电脑软件用于解方程和绘制图像评估方法：- 观察学生在课堂上的参与和表现。
- 检查学生完成的练习题和解题过程。
- 分析学生在实际问题中的应用能力。
教学延伸：- 鼓励学生进一步研究一元二次方程的性质和图像特征。
- 引导学生探索其他解一元二次方程的方法，如图像法和牛顿法等。
教案撰写的目的是为了提供一个基本的教学框架，具体的教学内容和方法可以根据学生的实际情况和教学资源的可用性进行调整和补充。
第二章 一元二次函数、方程和不等式教学设计(全章)
第二章 一元二次函数、方程和不等式2．1等式性质与不等式性质一、内容和内容解析1．内容本单元主要学习用不等式表示现实问题、数学问题，为了解不等式，要探究不等式性质，而不等式性质的探究要先学习证明不等关系的“根本大法”，即“两个实数大小关系的基本事实”还要梳理等式基本性质及蕴含的思想方法，然后通过类比的方法猜想并证明不等式的性质，最后要会运用不等式的性质证明其它的一些不等关系．2．内容解析现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．实际问题中所蕴含的不等关系可抽象出不等式的关键是确定问题中涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式．两个实数大小关系的基本事实既是实数的基本性质，又是研究式的大小关系的基础，为不等式的研究奠定了逻辑基础．这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而把实数的大小关系转化为使实数的运算问题，使实数大小关系的比较有了抓手．重要不等式222a b ab ≥是基本不等式基础，该不等式从赵爽弦图中获得猜想，运用由一般性与特殊性获得“=”成立的条件．证明中，运用了完全平方差公式和两个实数大小关系的基本事实证明了上述不等式，这既体现了数学知识之间的联系，又再一次说明了两个实数大小关系的基本事实在解決不等式问题中的应用价值．等式性质可从自身特性看，包括“对称性”和“传递性”．“对称性”即两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式；“传递性”是实数相等的内在关系，两者均是实数序的特征．从运算角度看，“加法”、“乘法”运算中的不变性，即等式两边同加或同乘同一个实数，等式保持不変；也有其派生出来的在“乘方”、“开方”等运算中的不变性．不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法，也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类．不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种．“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式，是实数序特性的体现．“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系，也是实数序特性的体现．运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”、“乘法”等运算，得出新的不等关系．由于“正数乘正数大于0”，“负数乘正数小于0”，所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式的性质的差异．实际上，在代数问题中，运算中的不变性、规律性就是性质，它是发现代数性质的“引路人”，在代数领域中具有基础地位．利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质，即以基本性质为理论依据，以运算中的不变性和规律性为研究方向，通过“猜想—证明—修正—再证明—得出性质”的方法探究出其他的性质．结合以上分析，确定本节课的教学重点：两个实数大小关系的基本事实及其简单应用；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式基本性质，探究不等式的基本性质．二、目标和目标解析1．目标（1）会从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式．（2）理解两个实数大小关系的基本事实，能运用这个基本事实比较式的大小关系．（3）运用等式基本性质中蕴含的思想方法，类比等式的基本性质研究不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质．（4）运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质；运用不等式的性质证明一些简单的命题．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能够在生活问题、数学问题等情境中，发现其中所蕴含的不等关系，并将其符号化，从而用不等式表达．（2）学生能够在比较大小的问题情境中，发现并运用两个实数大小关系的基本事实比较式的大小关系，体会这个基本事实能够使实数的运算参与到实数的大小比较中．（3）学生能够运用类比的方法，猜想并证明不等式的基本性质，并能够对比不等式与等式的基本性质说出其共性与差异．（4）学生能够分析简单不等式的证明思路，利用不等式的性质证明简单的不等关系．三、教学问题诊断分析学生在用不等式表示实际问题时，对没有符号化的问题不知从何入手，学生能够抽象不等关系，但不能用符号语言表达．教学中教师应引导学生将问题符号化，体会符号语言在数学中的作用．两个实数大小关系的基本事实及其应用对学生来说较为容易，但理解这个基本事实使运算参与比较之中存在困难．教学中要让学生动起来，在比较大小的过程中体会运算的作用．不等式性质的探究是以两个实数大小关系的基本事实为依据，以梳理等式性质中所蕴含的思想方法为前提，以类比等式的基本性质为方法展开的．学生虽然在初中阶段接触过一些内容，然而是运用由特殊到一般的归纳方法得到的，没能从根源上探索其成立的道理．高中阶段的等式与不等式的学习强调逻辑推理，因此学生会有一定的的困难．对于等式的基本性质学生是熟知的，但对性质中所蕴含的思想方法缺乏思考，尤其是体会相等关系自身的特性较为困难．教学中采用让学生对性质的特点进行归类的方法，总结每类性质的特点，引导学生从实数序关系的特性角度体会相等关系自身的特性．学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质存在困难，由于初中时学生学习过不等式的基本性质3和性质4，而性质1和性质2学生认为是显然成立的，学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质．因此，教学中在强调逻辑推理的重要性的同时，还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据．学生缺少从代数角度证明不等式的经验，运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明一些简单命题存在一定的困难．教学中，要帮助学生进行分析，适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路．本节课的教学难点是从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式；梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法；类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，猜想证明不等式的基本性质．四、教学过程设计2.1等式性质与不等式性质（一）从不等关系中抽象不等式问题1：在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等．你能举例说明生活中的相等关系和不等关系？师生活动：教师根据学生列举的例子，从严谨性的角度帮助学生梳理语言的表述．追问：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40km h；（2）某品牌酸奶的质量检査规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．教师引导学生梳理讨论交流的结果，用不等式表示不等关系的关键是确定问题在涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式．有时用自然语言表达的不等关系不够明确，例如“不少于”、“不低于”、“至多”、“至少”等，需要先把它们翻译成大于或小于的关系，再用不等式表示．设计意图：创设运用不等式表示问题的情景，使学生意识到不等式在生活及数学中的应用，为后面的学习奠定基础，引导学生将抽象出不等关系用符号语言表达．（二）探究两个实数大小关系的基本事实问题2：你能用不等式表示并解決下面的问题吗？某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万？师生活动：学生分析数量关系，并用不等式表达．设提价后每本杂志的定价为x 元，则销售总收入为 2.580.20.1x x --⨯()万元．于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 2.580.2200.1x x --⨯()≥，但不会解不等式．与解方程要用等式性质一样，解不等式要用到不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．实际上，在初中阶段学生已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．追问：那么，这些性质为什么是正确的?还有其他不等式的性质吗？师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．教师指出回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．若要研究不等式的性质，即由已知不等式得出新的不等式，这样必然需要比较两个式子或两个实数的大小关系．追问：大家来思考如何比较两个式子或实数的大小关系呢？师生活动：学生独立思考追问中的问题、讨论交流．思路一：利用实数的几何意义，由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，如图2.1-2，思路二：利用两个式子或实数作差，比较差值与0的大小关系，从而得出结论．这个基本事实可以表示为：0a b a b ⇔-＞＞；==0a b a b ⇔-；0a b a b ⇔-＜＜．设计意图：两个实数大小关系的基本事实对学生来说并不陌生，只不过以往没有提炼出来，此环节以问题为载体，由学生自主探究基本事实，这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，为不等式的论证提供了运算工具，也为研究不等式的性质奠定了基础．（三）两个实数大小关系的基本事实的简单应用例1：比较23x x ++()()和14x x ++()()的大小．师生活动：学生能够比较顺利利用两个实数大小关系的基本事实比较出两数大小．因为2314x x x x ++-++()()()()22=5654x x x x ++-++()()=20＞，所以2314x x x x ++++＞)()()()(．设计意图：此题是两个实数大小关系的基本事实的简单应用，借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．这是解决不等式问题的常用方法，让学生再次体会此方法在比较大小中的应用．问题3：阅读教科书第39页“探究”，你能在图中找出一些相等关系和不等关系吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流．教师指出这个会标实际上就是“赵爽弦图”——由4个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是个小正方形．由于大正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，即222a b ab +＞（设直角三角形的两条直角边的长为a ，b a b (≠)）．而当直角三角形変为等腰直角三角形，即=a b 时，中空部分缩为一个点，这时有相等关系22=2a b ab +．这样，就引出了基本不等式的一种变形形式222a b ab +≥．追问：你能总结一下22a b +与2ab 的大小关系吗？此不等关系中a b ，的取值范围如何？如果a b ∈R ，，此结论是否仍成立？师生活动：学生总结出222a b ab +≥，其中a b ，是边长，所以+a b ∈R ，．当a b ∈R ，时，上述结论是否成立的可題，只需比较22a b +与2ab 的大小关系，即2222=0a b ab a b +--()≥，由两个实数大小关系的基本事实，得222a b ab +≥，当且仅当=a b时等号成立．教师强调此结论是由两个实数大小关系的基本事实得到一类重要的不等式．设计意图：此探究问题的设计，作为相等关系和不等关系的总结，也为引出基本不等式做了铺垫．在推导过程中通过教师引导，学生从独立想象，并能够由“形”到“数”的逐步提炼出不等关系，通过再次追问，让学生经历猜想并证明不等式的一般过程，为不等式性质和基本不等式的学习奠定基础．（四）复习等式性质，梳理思想方法关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础．那么不等式到底有哪些性质呢?要研究不等式的性质，我们可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发．问题4：请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一些发现等式基本性质的方法吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流并给出答案．教师进行总结、归纳、补充并板书出等式的性质．这其中性质3，4，5是学生比较熟悉的，但对于性质1，2只有很少学生能回答出来，教师指出性质1，2反映了相等关系自身的特性，由于它们太明显了，是相等关系本身蕴含的性质，反而容易被忽略．学生在教师引导下可以归纳出性质3，4，5是从运算角度提出的，即等式两边加、减，乘，除同一个数，等式仍然成立．教师指出，这三条性质反映了相等关系在运算中保持不変性的特点．设计意图：通过以上问题，让学生在梳理并观察等式的基本性质的基础上认识到，这些性质包括在数学推理和运算中经常用到的“对称性”和“传递性”，还包括解方程所需要的等式对四则运算的不变性，而这两个方面反映了“式的大小关系”的本质属性，这些基本属性为探究不等式的基本性质指明了方向．（五）通过类比，探究不等式的性质问题5：类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流后得出：不等式的基本性质可从不等式的自身特性和运算两个角度来研究，教师进行总结、归纳、补充并板书出不等式的基本性质1，2，3，4．学生在猜想不等式的基本性质的过程中会发现，不等式的基本性质与等式的基本性质存在差异：就不等式自身的特性而言，不等式不具有“对称性”，而是具有“相反性”，即a b b a＞＜，⇒＜＞；就不等式与四则运算的关系而言，当乘一个负数时，不等号要调换方向，即⇒b a a b，．不等式的这种特殊性是由实数的基本性质决定的．在对不等式进行论证＞＜＜a b c ac bc⇒时，除了要用到实数大小关系的基本事实，还需要用到关于实数的其他一些基本事实，例如：（1）正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数．（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数．（3）两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数．（4）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数．利用这些基本事实，可以对猜想出的不等式的基本性质进行证明．例如，性质2的证明可由0a b a b ⇒-＞＞，0b c b c ⇒-＞＞，继而得到+0a b b c --())＞(． 性质3的证明中学生能够分析出要证明a c b c ++＞，只需证明a c b c +-+()()与0的大小关系，也就是a b -与0的大小关系，得出如下证明：由a b ＞，得0a b -＞，所以0a c b c +-+())＞(，即a c b c ++＞．追问：用文字语言怎样表达此性质？两个实数大小关系还可以形象地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？师生活动：学生用文字语言表达，即不等式的两边都加同一个实数，所得不等式与原不等式同向．通过教师课件展示a c +，b c +的变化，学生体会此性质的几何意义，并注意到可用运动方向表达实数c 的正负．教师强调，几何语言的表达具有“直观”的特点，建议学生经常从几何视角发现或解释一些代数问题，能实现更直观地认识问题，更深刻地理解问题．设计意图：对同一个概念从不同的角度来表述，有利于揭示概念的本质．不等式是用不等号连接起来的式子，有的不等式的内涵是比较抽象的，为了帮助学生理解和掌握不等式的本质，用文字语言、图形语言等多种形式来表达重点的不等式的性质，有助于对问题的深入理解．追问：利用以上不等式的基本性质，我们还可以推导出不等式的其它一些性质吗？师生活动：由性质3学生得到猜想“大数加大数大于小数加小数”，即“如果a b ＞，c d ＞，那么a c b d ++＞”．学生分析证明方法，若要证a c b d ++＞只需证0a c b d +-+())＞(，由已知0a b -＞，0c d -＞，由“正数加正数是正数”这一基本事实，猜想得证． 教师评价，此证明是基于两个实数大小关系的基本事实和实数的一些基本事实证明的，这是证明不等式的根本大法，在证明不等关系时起到重要作用．追问：在基本性质4中，不等式的两边同乘同实数．如果同乘不同的实数，你有何结论？ 师生活动：学生独立思考、讨论交流得出：两边同乘负数不等号要変方向，所以此问题中，乘法不一定具备“保号性”．同时，学生与性质4进行对比，发现对于正数乘法是具有“保号性”的．教师指出此性质为不等式性质6，即“如果0a b ＞＞，0c d ＞＞，那么ac bd ＞”．追问：如果性质6中=a c ，=b d ，你有何新的结论？师生活动：学生独立思考、讨论交流得出“如果0a b ＞＞，那么22a b ＞”，并能推广到“如果0a b ＞＞，那么n n a b ＞2n n N (，≥)”．教师指出这是不等式的性质7，它是性质6的特例．设计意图：证明以上性质的过程可以看作不等式的性质在代数证明中的初步应用，通过不等式性质的推导，让学生经历“猜想—证明—修正再证明—得出性质—理解”的研究数学问题的过程．（六）不等式性质的简单应用例2 已知00a b c ＞＞，＜，求证c c a b＞． 师生活动：学生独立思考得出分析：要证明c c a b ＞，因为0c ＜，所以可以先证明11a b＜．利用已知0a b ＞＞和性质3，即可证明c c a b＞． 设计意图：通过本题向学生示范了应用不等式的性质证明命题的一般思路．对于有些不等式的证明，要在“分析”中给出了证明的一般思路：从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，而这个充分条件是容易由已知条件证明的，这实际上是综合运用“综合法”和“分析法”．此外，通过本例引导学生领会这种“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路．（七）单元小结教师引导学生回顾本单元所学知识，并引导学生回答下面的问题：（1）本单元我们研究了两个实数大小关系的基本事实，这个基本事实在研究不等式时有什么作用？（2）本单元我们还重点学习了不等式的性质，我们采取什么样的方法进行研究？能否梳理并总结出探究的过程？师生活动：问题（1）学生总结并回答，研究两个实数大小关系的基本事实是为了研究不等式的性质，从而解决解不等式的问题．这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而把实数的大小关系转化为使实数的运算问题，使实数大小关系的比较有了抓手．问题（2）学生总结并回答，通过梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，猜想并证明不等式的基本性质，再由不等式的基本性质推理得到不等式另外一些常用性质．教师帮助整理：经历“前备经验—归纳特点—类比猜想—推理证明—理解表达—应用反思”的过程．设计意图：梳理、总结、归纳提炼本单元的核心内容和方法．（八） 布置作业教科书习题2.1第1，2，3，4，5，6题．五、目标检测设计1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系：（1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度h （单位：m ）从地面起不超过4 m ；（2）a 与b 的和是非负实数；（3）如图，在一个面积小于2350m 的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建 成绿地，仓库的长L (单位：m )大于宽W (单位：m )的4倍．设计意图：考查从实际问题中抽象出不等式的能力．2．比较37x x ++()()和46x x ++()()的大小． 设计意图：利用两个实数大小关系的基本事实比较大小．3．用不等号“＞”或“＜”填空：（1）如果a b c d ＞，＜，那么_____a c b d --；（2）如果00a b c d ＞＞＜＜，，那么_____ac bd ；（3）如果0a b ＞＞，那么2211_____a b ； （4）如果0a b c ＞＞＞，那么_____c c a b ． 设计意图：考查学生对不等式性质的简单应用能力．4．已知a b ＞，0ab ＞，求证11a b＜． 设计意图：考查学生对不等式证明方法的探究水平，以及综合运用不等式性质的能力．六、教学反思2．2基本不等式一、内容和内容解析1．内容本单元主要学习基本不等式的定义、几何解释、证明方法与应用．2．内容解析相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础．基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容． 基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关．从数与运算的角度，2a b 是两个正数a ，b 的“算术平均数”a ，b 的“几何平均数”．因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算．从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”，“等圆中，弦长不大于直径”等，都是基本不等式的直观理解．基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源．利用分析法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从平面几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式；等等．这些方法也是代数证明和推导的典型方法．基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n 个正数的几何平均值不大于算术平均值．基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值．同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法．因此，基本不等式的内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养．基于以上分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题．二、目标和目标解析1．目标（1）理解基本不等式，发展逻辑推理素养．（2）结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展数学运算和数学建模素养．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义．（2）能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”；能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值；在解决具体问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养．三、教学问题诊断分析由于学生缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点．基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点．在进行基本不等式的集合解释的教学时，为了帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化为代数表示，可以利用信息技术制作一个动态图形，以帮助学生直观理解．此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求“最值”等问题，这也是学生思维不够严谨的表现，因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点．四、培养数学学科素养（1）数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程．（2）逻辑推理：基本不等式的证明．（3）数学运算：利用基本不等式求最值．（4）数据分析：利用基本不等式解決实际问题．（5）数学建模：利用函数的思想和基本不等式解決实际问题，提升学生的逻辑推理能力．五、教学过程设计2.2基本不等式（一）基本不等式的定义导入语：我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢？下面就来研究这个问题．问题1：在上一节我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式，请同学回忆是什么不等式？师生活动：学生回忆、表述，对于任意实数a b ，，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立．。
一元二次方程教案 一元二次方程数学教学教案8篇
一元二次方程教案一元二次方程数学教学教案8篇元二次方程教案篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．（二）能力训练点：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．2．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．三、教学步骤（一）明确目标1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫做一元一次方程？九年级数学《一元二次方程》教案篇二教学目标知识与技能目标1、构建本章的部分知识框图。
初中四年级数学教案：函数与方程——解一元二次方程
初中四年级数学教案：函数与方程——解一元二次方程一、引言数学作为一门重要的学科，是培养学生逻辑思维和问题解决能力的关键。
在初中阶段，数学教育的目标是使学生树立正确的数学观念，建立扎实的数学基础。
函数与方程作为数学中的重要概念，对于培养学生形象思维和应用能力具有重要意义。
本教案针对初中四年级数学课程中的“函数与方程——解一元二次方程”内容进行设计。
二、知识导入1. 引导孩子们回顾一元一次方程的求解方法。
2. 提出一个简单的问题：“某人买了7本书，每本书12元。
他花了多少钱？”借此引出线性关系。
3. 进而提问：“如果书的价格不同，我们该如何计算？”通过这个问题引出二次函数的概念。
三、教学核心1. 介绍一元二次方程及其定义。
详细解释二次项、一次项和常数项，并给予例子加以说明。
2. 分析并展示如何求解一元二次方程：化简、配方法、因式分解和求根公式等方法。
四、教学过程1. 带领学生复习一下因式分解的方法，并总结规律。
2. 给出一个一元二次方程的例子：x^2 + 5x + 6 = 0，引导学生使用因式分解法解答。
详细步骤如下：a. 将二次项系数和常数项相乘，得到6。
b. 找出两个数相加为5，且乘积为6的约数。
答案是2和3。
c. 将x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)这样的形式。
d. 分别令(x + 2)和(x + 3)等于零，求出根来。
五、拓展思考1. 引导学生思考更复杂的二次方程，例如：x^2 - 8x +16 =0 和 x^2 -3x -10 =0，并让他们尝试不同的解法进行求解。
2. 引导学生思考抛物线与一元二次方程之间的关系，以及如何通过图象来表示一元二次函数。
六、示例讲解我将以一个具体的题目作为示例进行讲解：问题：某班级共有35名学生参加数学竞赛，男生比女生多5人。
假设每个班级都是由男生和女生组成，请问男女各有多少人？解题步骤：1. 设男生人数为x，女生人数为y。
2. 根据题目可得到一个一元二次方程：x + y = 35 并且 x - y = 5。
一元二次函数讲解教案
一元二次函数讲解教案一、教学目标1.理解一元二次函数的定义、图像和性质。
2.掌握一元二次方程的求解方法。
3.能够运用一元二次函数解决实际问题。
二、教学重点与难点1.教学重点：一元二次函数的定义、图像和性质，一元二次方程的求解方法。
2.教学难点：一元二次函数图像的变换，一元二次方程的求解技巧。
三、教学过程一、导入1.回顾一元一次函数的定义、图像和性质。
2.提问：一元二次函数与一元一次函数有什么区别？二、新课讲解1.定义介绍一元二次函数的定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数称为一元二次函数。
2.图像开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
对称性：一元二次函数的图像关于其对称轴对称。
顶点：一元二次函数的图像有唯一的顶点，顶点坐标为（-b/2a，4ac-b²/4a）。
3.性质介绍一元二次函数的性质：当a>0时，函数在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增。
当a<0时，函数在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
函数的最大值或最小值出现在顶点处。
4.一元二次方程介绍一元二次方程的求解方法：公式法：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a因式分解法：将一元二次方程分解为两个一次因式的乘积，然后求解。
配方法：将一元二次方程转化为完全平方形式，然后求解。
三、案例分析1.分析几个典型的一元二次函数图像，让学生找出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标等。
2.分析几个一元二次方程，让学生运用所学方法求解。
四、巩固练习1.让学生独立完成几个一元二次函数的图像绘制和性质分析。
2.让学生独立求解几个一元二次方程。
五、课堂小结3.强调一元二次函数在实际问题中的应用。
六、课后作业1.绘制几个一元二次函数的图像，并分析它们的性质。
2.求解几个一元二次方程。
3.选取一个实际问题，运用一元二次函数解决。
通过本节课的学习，希望同学们能够掌握一元二次函数的基本知识，为后续学习打下坚实基础。
教学1元2次方程教案设计
教学1元2次方程教案设计教学1元2次方程教案设计教学目标：1. 学生能够理解一元二次方程的概念和特点。
2. 学生能够解决一元二次方程的实际问题。
3. 学生能够运用一元二次方程解决简单的实际问题。
教学重点：1. 一元二次方程的定义和特点。
2. 解决一元二次方程的方法和步骤。
3. 运用一元二次方程解决实际问题的能力。
教学准备：1. 教师准备一些简单的一元二次方程实例和相关实际问题。
2. 学生准备纸和铅笔。
教学过程：引入：1. 教师通过提问和引导，让学生回顾线性方程的概念和解法。
2. 教师引入一元二次方程，解释其定义和特点。
探究：1. 教师通过一个简单的例子，引导学生发现一元二次方程的形式和解法。
2. 学生在教师的指导下，尝试解决一些简单的一元二次方程。
讲解：1. 教师对一元二次方程的解法进行详细的讲解和说明。
2. 教师解释如何将实际问题转化为一元二次方程，并解决相关问题。
练习：1. 学生在教师的指导下，完成一些练习题，巩固一元二次方程的解法。
2. 学生尝试解决一些实际问题，运用一元二次方程解决。
拓展：1. 学生在教师的指导下，探究一元二次方程的图像和性质。
2. 学生通过绘制图像和分析，发现一元二次方程的图像特点。
总结：1. 教师对本课内容进行总结和归纳，强调一元二次方程的重要性和应用。
2. 学生回答教师提出的问题，巩固所学知识。
作业：1. 学生完成课堂上未完成的练习题。
2. 学生自主选择一个实际问题，将其转化为一元二次方程，并解决。
教学反思：1. 教师对本节课的教学效果进行评估和反思。
2. 教师根据学生的反馈和表现，调整教学策略和方法。
注：以上教案仅供参考，具体教学内容和步骤可根据实际情况进行调整和修改。
最新人教版高中数学《一元二次函数、方程和不等式》单元教学设计
教学建议
二、从不同角度阐释不等式，揭示不等式的本质
回顾从一次函数的观点看一元一次方程和一元一次不等式的含义，体会三者的联系中蕴 含的一般规律：函数图像与x轴的交点的横坐标即是相关方程的根，在x轴上方或下方的 点横坐标的取值范围就是相应不等式的解集。 借助这个规律，探究二次函数与一元二次方程、不等式的关系，学生将不难从二次函数 图像的关键点上去寻找解决问题的“突破口”。
思想方法
数形结合 分类讨论 函数、模型
在探索发现重要不等式，在用几何方法解释实数的基 本事实、不等式的性质和基本不等式，在研究二次函数 与一元二次方程、不等式的解的情况时，都充分应用了 数与形结合的方法．
在探索或证明不等式的部分性质，在研究一元二次不 等式的解的情况时，都充分应用了分类讨论的思想方 法．
教学建议
三、重视不等式实际应用的教学，充分发挥不等式的工具价值
和等式一样，不等式也是重要的数学工具，它在解决包含不等关系的问题中发挥着重要 作用。而现实中存在大量的不等关系，因此应该重视不等式实际应用的教学，以使学生 更好地应用不等式解决实际问题。 引导学生对实际问题进行简化，用基本不等式的数学模型去理解和识别问题中的数量关 系，看它们是否符合模型中的条件，再示范如何使用基本不等式解决问题：还可以比较 基本不等式模型与方程模型在解决实际问题中的异同，使学生加深对前者的理解。
第二章 一元二次函数、方程和不
等式
《单元教学》教学设计
一 单元内容分析 二 学科素养解读 三 单元教学建议
一 单元内容分析
本章知识结构
单元内容
1.重点： （1）不等式的基本性质的发现过程及性质本身； （2）用函数观点理解方程、不等式是数学的基本思想方法。 2.难点： （1）类比等式的基本性质，发现不等式的基本性质： （2）用不等式的基本性质证明一些简单命题（包括用分析法证明基本不等式）； （3）用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题； （4）从二次函数观点看一元二次方程、不等式。
2023最新-二次函数与一元二次方程教案设计优秀6篇
二次函数与一元二次方程教案设计优秀6篇1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根。
读书破万卷下笔如有神，下面为您精心整理了6篇《二次函数与一元二次方程教案设计》，如果对您有一些参考与帮助，请分享给最好的朋友。
数学《一元二次方程》教案设计篇一一、出示学习目标：1、继续感受用一元二次方程解决实际问题的过程；2、通过自学探究掌握裁边分割问题。
二、自学指导：（阅读课本P47页，思考下列问题）1、阅读探究3并进行填空；2、完成P48的思考并掌握裁边分割问题的特点；3、在理解的基础上完成P48-49第8、9题（不精确，只留根号即可）。
探究3：要设计一本书的封面，封面长27cm,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？分析：封面的长宽之比为27﹕21=9﹕7，中央矩形的长宽之比也应是9﹕7，则上下边衬与左右边衬的宽度之比是。
9﹕7设上、下边衬的宽均为9xcm,左、右边衬的宽均为7xcm,则：由中下层学生口答书中填空，老师再给予补充。
思考:如果换一种设法，是否可以更简单？设正中央的长方形长为9acm，宽为7acm，依题意得9a·7a=（可让上层学生在自学时，先上来板演）2.P48-49第8、9题中下层学生在自学完之后先板演效果检测时，由同座的同学给予点评与纠正9、如图，要设计一幅宽20m，长30m的图案，两横两竖宽度之比为3∶2，若使彩条面积是图案面积的四分之一，应怎样设计彩条的宽带？（讨论用多种方法列方程比较）注意点：要善于利用图形的平移把问题简单化！三、当堂训练：1、如图，在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂画。
如果要求风景画的面积是整个挂画面积的72%，那么金边的宽应是多少？（只要求设元、列方程）2、要设计一个等腰梯形的花坛，上底长100m，下底长180m。
2023最新-二次函数与一元二次方程教案设计(优秀6篇)
二次函数与一元二次方程教案设计（优秀6篇）在近几年中考中，经常出现利用一元二次方程解决的应用题，这类问题主要考查同学们利用一元二次方程的相关知识分析问题和解决实际问题的能力，这对大部分同学而言仍具有一定的挑战性。
这次帅气的小编为您整理了6篇二次函数与一元二次方程教案设计，希望能够给您提供一些帮助。
元二次方程的应用篇一一、素质教育目标（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题。
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识。
二、教学重点、难点1.教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题。
2.教学难点：找等量关系。
列一元二次方程解应用题时，应注意是方程的解，但不一定符合题意，因此求解后一定要检验，以确定适合题意的解。
例如线段的长度不为负值，人的个数不能为分数等。
三、教学步骤（一）明确目标。
（二）整体感知（三）重点、难点的学习和目标完成过程1.复习提问（1）列方程解应用题的步骤？（2）长方形的周长、面积？长方体的体积？2.例1 现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则盒底面长方形的长为（19-2x）cm，宽为（15-2x）cm，据题意：（19-2x）（15-2x）=77.整理后，得x2-17x+52=0，解得x1=4，x2=13.∴ 当x=13时，15-2x=-11（不合题意，舍去。
）答：截取的小正方形边长应为4cm，可制成符合要求的无盖盒子。
练习1.章节前引例。
学生笔答、板书、评价。
练习2.教材P.42中4.学生笔答、板书、评价。
注意：全面积=各部分面积之和。
剩余面积=原面积-截取面积。
例2 要做一个容积为750cm3，高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长及宽应该各是多少（精确到0.1cm）？分析：底面的长和宽均可用含未知数的代数式表示，则长×宽×高=体积，这样便可得到含有未知数的等式——方程。
九年级上册-一元二次函数教案
一对一个性化辅导教案一、错题回顾1、抛物线的顶点是C （2，3），它与x 轴交于A ，B 两点，它们的横坐标是方程0342=+-x x 的两根，则ABCS ∆=。
2、抛物线m x x y +--=22，若其顶点在x 轴上，则=m ． 3、函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．3<kB ．03≠<k k 且C ．3≤kD ．03≠≤k k 且 4判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ）A ．3＜x ＜3.23B ．3.23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25 ＜x ＜3.26一元二次函数二、考点分析1、一元二次函数的性质一般式c bx ax y ++=2（0a ≠）中系数a 、b 、c 的意义：a ：决定函数图像的开口方向、大小a>0时，函数图像开口向上 a<0时，函数图像开口向下a 越大，函数图像的开口越小b ：与对称轴有关：对称轴为x=ab 2-c ：函数图像与y 轴交点的纵坐标与坐标轴的交点，x 轴（a 2ac 4b b 2---，0）和（a2ac4b b 2-+-，0），y 轴（0，c ）例题1、（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y =a （x ﹣h ）2（a ≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．例题2、（2015•甘孜州）二次函数y =x 2+4x ﹣5的图象的对称轴为（ ）A ． x =4B ． x =﹣4C ．x =2D ． x =﹣2例题3、（2015•黔南州）二次函数y =x 2﹣2x ﹣3的图象如图所示，下列说法中正确的是（ ）A ． 函数图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣3）B ． 顶点坐标是（1，3）C ． 函数图象与x 轴的交点坐标是（3，0）D ． 当x>0时，y 随x 的增大而减小例题4、（2015•咸宁）如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2+bx +c 的最大值为4； ②4a +2b +c ＜0；③一元二次方程ax 2+bx +c =1的两根之和为﹣1； ④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0． 其中正确的个数有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个强化训练1、（2015•深圳）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列说法正确的个数是（ ） ①a ＞0；②b ＞0；③c ＜0；④b 2﹣4ac ＞0．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 42、（2015•安顺）如图为二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，则下列说法： ①a ＞0 ②2a +b =0 ③a +b +c ＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0 其中正确的个数为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43、（2015•南昌）已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ） A ． 只能是x =﹣1 B ． 可能是y 轴C ． 在y 轴右侧且在直线x =2的左侧D ． 在y 轴左侧且在直线x =﹣2的右侧填空1、（2015•常州）二次函数y =﹣x 2+2x ﹣3图象的顶点坐标是 ．2、（2015•漳州）已知二次函数y =（x ﹣2）2+3，当x 时，y 随x 的增大而减小．3、（2015•杭州）函数y =x 2+2x +1，当y =0时，x = ；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而 （填写“增大”或“减小”）．4、（2015•莆田）用一根长为32cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是 cm 2．一元二次函数解析式的3种求法（1）已知抛物线上三点坐标，可根据一般式c bx ax y ++=2（0a ≠）用待定系数法求出a 、b 、c 的值（2）已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，可采用顶点式求解析式()0a k )(y 2≠+-=h x a（3）已知抛物线与x 轴 的交点的横坐标，可采用交点式()0a -x x x -x 21≠=））（（a y例题1、已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2）， 求抛物线的解析式。
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〖教学设计简案〗二次函数和一元二次方程的关系
一．教学目标
1.通过复习二次函数图象，总结出与一元二次方程的关系，让学生体会化归思想，分类讨论思想，数形结合思想；
2.通过一元二次方程的题型用二次函数图象的方法来解决和一元二次函数的题型用一元二次方程的来解决的应用，使学生能较好的掌握一元二次方程和一元二次函数之间的关系。
二．教学重点难点
重点:会利用数形结合思想来解决二次函数和一元二次方程的题型. 难点:能理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
三．教学工具 电子白板 四：教学过程
（一）复习引入，知识归结
请问二次函数
)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴交点的坐标与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根有什么关系？
【知识】一元二次方程与二次函数的关系
实质上是一元二次方程解就是二次函数图象与x 轴交点的横坐标
即： )0(2≠++=a c bx ax y )0(02≠=++a c bx ax
函数与x 轴有2个交点 方程有两个不相等的实数根 0>∆ 函数与x 轴有1个交点 方程有两个相等的实数根 0=∆ 函数与x 轴有0个交点 方程有没有实数根 0=∆
（二）课前小练，加强巩固
例1.（1）若抛物线132-+=x ax y 与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是______________ （2）已知函数2)1(3)1(22++--=x a x a y 与x 轴只有一个交点，求交点坐标。
令y=0
与x 轴的交点
（2014直升题）若关于x 的函数a x a x a y +---=)12()2(2（a 为常数）的图象与坐标轴只有两个不同交点，则a 值为____________。
例2.(1)已知关于x 的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，那么讨论关于x 的方
程02
=-++k c bx ax （k 为常数）的根的情况。
（2013年直升）关于x 的方程)(2))((n m x n m x <-=--的两根为21,x x （21x x <），则比较21,x x ，m,n 的大小关系为（ ）
A.n m x x <<<21
B.n x x m <<<21
C.21x n m x <<<
D.21x x n m <<<
(2).二次函数322
--=x x y 和一次函数1+=x y 有交点 吗？有求出坐标，
没有请说
明理由。
例 3.
关于x 的方程09)2(2
=+++a x a ax
（0<a ），有两个不相等的实数根21,x x ，且
211x x <<， 则求实数a 的取值范围.
（2015直升）方程02)13(722=--++-k k x k x 有两个实数根β,a ，且0<a <1,1<β<2，求实数k 的取值范围。
（四）：课堂小结
教学流程图
〖学案〗一元二次方程和二次函数的关系
一、
教学目标
1. 通过复习二次函数图象，总结出与一元二次方程的关系，让学生体会化归思想，分类讨
论思想，数形结合思想；
2. 通过一元二次方程的题型用二次函数图象的方法来解决和一元二次函数的题型用一元
二次方程的来解决的应用，使学生能较好的掌握一元二次方程和一元二次函数之间的关系。
二、
教学重点难点
重点:会利用数形结合思想来解决二次函数和一元二次方程的题型. 难点:能理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
三、
教学工具
电子白板 四：教学过程
（二）复习引入，知识归结
请问二次函数
)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴交点的坐标与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根有什么关系？
【知识】一元二次方程与二次函数的关系
（二）例题精析，加强巩固
例1.（1）若抛物线132-+=x ax y 与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是______________ （2）已知函数2)1(3)1(22++--=x a x a y 与x 轴只有一个交点，求交点坐标。
（2014直升题）若关于x 的函数a x a x a y +---=)12()2(2（a 为常数）的图象与坐标轴只有两个不同交点，则a 值为____________。
例2.已知关于x 的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，那么讨论关于x 的方程
02=-++k c bx ax （k 为常数）的根的情况。
（2013年直升）关于x 的方程)(2))((n m x n m x <-=--的两根为21,x x （21x x <），则比较21,x x ，m,n 的大小关系为（ ）
B.n m x x <<<21 B.n x x m <<<21
C.21x n m x <<<
D.21x x n m <<<
(2)二次函数322
--=x x y 和一次函数1+=x y 有交点吗？有求出坐标，
没有请说明
理由。
例4关于x 的方程09)2(2
=+++a x a ax （0<a ）
，有两个不相等的实数根21,x x ，且211x x <<，则求实数a 的取值范围.
（2015直升）方程02)13(722=--++-k k x k x 有两个实数根β,a ，且0<a <1,1<β<2，求实数k 的取值范围。
（三）：课堂小结。