福建省永安市2019-2020学年高二下学期第一次段考数学(理科)试卷Word版含解析

福建省永安市2019-2020学年下学期第一次段考
高二数学（理科）试卷
一、选择题（共60分，每小题5分）
1．若复数z
1，z
2
在复平面内的对应点关于实轴对称，z
1
=2﹣i，则z
1
•z
2
=（）
A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i
2．用反证法证明：a，b至少有一个为0，应假设（）
A．a，b没有一个为0 B．a，b只有一个为0
C．a，b至多有一个为0 D．a，b两个都为0
3．用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数z=2+3i的实部是2，所以复数z的虚部是3i”．对于这段推理，下列说法正确的是（）
A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误 D．推理没有问题，结论正确
4．已知A=7A，则n的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．一个包内装有4本不同的科技书，另一个包内装有5本不同的科技书，从两个包内任取一本的取法有（）种．
A．15 B．4 C．9 D．20
6．已知集合M∈{1，﹣2，3}，N∈{﹣4，5，6，﹣7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）
A．18 B．10 C．16 D．14
7．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S（x）=，C（x）=，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是（）
①S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）；
②S（x﹣y）=S（x）C（y）﹣C（x）S（y）；
③C（x+y）=C（x）C（y）﹣S（x）S（y）；
④C（x﹣y）=C（x）C（y）+S（x）S（y）．
A．①②B．②④C．①④D．①②③④
8．某校在半期考试中要考察六个学科，已知语文必须安排在首场，且数学与英语不能相邻，
则这六个学科总共有（）种不同的考试顺序．A．36 B．48 C．72 D．112
9．已知数列{a
n }的通项公式，记f（n）=（1﹣a
1
）（1﹣a
2
）（1﹣a
3
）…（1﹣a
n
），
通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的值为（）
A．B． C．D．
10．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（）种．
A．240 B．360 C．480 D．720
11．已知整数按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第70个数对是（）
A．（2，11）B．（3，10）C．（4，9）D．（5，8）
12．式子σ（a，b，c）满足σ（a，b，c）=σ（b，c，a）=σ（c，a，b），则称σ（a，b，c）为轮换对称式．给出如下三个式子：①σ（a，b，c）=abc；②σ（a，b，c）=a2﹣b2+c2；
③σ（A，B，C）=cosC•cos（A﹣B）﹣cos2C（A，B，C是△ABC的内角）．其中，为轮换对称式的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（共16分，每小题4分）
13．满足线性约束条件的可行域中共有个整数点．
14．将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使所有字母既不同行也不同列，则不同的填法共有种（用数字作答）
15．在△ABC中，D为BC的中点，则=（+）将命题类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则．
16 已知，则|a
0|+|a
1
|+|a
2
|+…+|a
7
|= ．
三、解答题（共74，其中前5题每题12分，最后1题14分）17．（12分）（1）计算
（2）计算：C+C+2C．
18．（12分）已知复数Z
1，Z
2
在复平面内对应的点分别为A（﹣2，1），B（a，3）．
（1）若|Z
1﹣Z
2
|=，求a的值．
（2）复数z=Z
1•Z
2
对应的点在二、四象限的角平分线上，求a的值．
19．（12分）数列{a
n }满足a
n
＞0（n∈N*），S
n
为数列{a
n
}前n项和，并且满足S
n
=（a
n
+）．求
（1）S
1，S
2
，S
3
的值；
（2）猜想S
n
的表达式，并用数学归纳法证明．
20．（12分）已知一元二次方程根与系数的关系如下：设x
1，x
2
是关于x方程x2+bx+c=0的根，
则x
1+x
2
=﹣b，x
1
•x
2
=c．
（Ⅰ）若x
1，x
2
，x
3
是一元三次方程（x﹣1）（x2﹣3x﹣4）=0的根，求x
1
+x
2
+x
3
和x
1
•x
2
•x
3
的
值；
（Ⅱ）若x
1，x
2
，x
3
是一元三次方程x3+bx2+cx+d=0的根，类比一元二次方程根与系数的关系，
猜想x
1+x
2
+x
3
和x
1
•x
2
•x
3
与系数的关系，并加以证明．
21．（12分）已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
22．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R，（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点P
1（x
1
，y
1
），P
2
（x
2
，y
2
），如果存在曲线上的点Q（x
，y
），
且x
1＜x
＜x
2
，使得曲线在点Q处的切线ℓ∥P
1
P，则称ℓ为弦P
1
P
2
的伴随切线．特别地，当x
=λ
x 1+（1﹣λ）x
2
（0＜λ＜1）时，又称ℓ为P
1
P
2
的λ﹣伴随切线．
求证：曲线y=f（x）的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的．
福建省永安市2019-2020学年下学期第一次段考
高二数学（理科）试卷参考答案
一、选择题（共60分，每小题5分）
1．若复数z
1，z
2
在复平面内的对应点关于实轴对称，z
1
=2﹣i，则z
1
•z
2
=（）
A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】复数z
1，z
2
在复平面内的对应点关于实轴对称，z
1
=2﹣i，可得z
2
=2+i．再利用复数
的运算法则即可得出．
【解答】解：∵复数z
1，z
2
在复平面内的对应点关于实轴对称，z
1
=2﹣i，∴z
2
=2+i．
则z
1•z
2
=（2﹣i）（2+i）=22+12=5．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．用反证法证明：a，b至少有一个为0，应假设（）
A．a，b没有一个为0 B．a，b只有一个为0
C．a，b至多有一个为0 D．a，b两个都为0
【考点】R9：反证法与放缩法．
【分析】根据命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”，可得假设内容．
【解答】解：由于命题：“a、b至少有一个为0”的反面是：“a、b没有一个为0”，
故用反证法证明：“a、b至少有一个为0”，应假设“a、b没有一个为0”，
故选A．
【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
3．用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数z=2+3i的实部是2，所以复数z的虚部是3i”．对于这段推理，下列说法正确的是（）
A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误
C．推理形式错误导致结论错误 D．推理没有问题，结论正确
【考点】F6：演绎推理的基本方法．
【分析】复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，这个说法是错误的，即大前提是错误的．【解答】解：复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，这个说法是错误的，大前提是错误的，∴得到的结论是错误的，
∴在以上三段论推理中，大前提错误．
故选：A．
【点评】本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的．
4．已知A=7A，则n的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】D4：排列及排列数公式．
【分析】根据排列数的公式，列出方程，求出n的值即可．
【解答】解：根据排列数的公式，得；
，
解得n=7，或n=（不合题意，应舍去）；
∴n的值是7．
故选：A．
【点评】本题考查了排列数公式的应用问题，也考查了解方程的问题，是基础题目．
5．一个包内装有4本不同的科技书，另一个包内装有5本不同的科技书，从两个包内任取一本的取法有（）种．
A．15 B．4 C．9 D．20
【考点】D3：计数原理的应用．
【分析】由分步计数原理和组合数公式可得．
【解答】解：从装有4本不同的科技书的书包内任取一本有4种方法，
从装有5本不同的科技书的书包内任取一本有5种方法，
由分步计数原理可得从两个书包中各取一本书的取法共有4+5=9种，
故选：C．
【点评】本题考查组合数公式和分步计数原理，属基础题．
6．已知集合M∈{1，﹣2，3}，N∈{﹣4，5，6，﹣7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（）
A．18 B．10 C．16 D．14
【考点】D3：计数原理的应用．
【分析】本题首先分类在每一类中又分步，M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，分别可以得到在第一和第二象限中点的个数，根据分类加法原理得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分类和分步的综合问题，
M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，
在第二象限的点共有1×2个．
N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，
在第二象限的点共有2×2个．
∴所求不同的点的个数是2×2+1×2+2×2+2×2=14（个）．
故选D
【点评】本题考查分步计数原理和分类计数原理，是一个综合题目，首先分类，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．
7．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S（x）=，C（x）=，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是（）
①S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）；
②S（x﹣y）=S（x）C（y）﹣C（x）S（y）；
③C（x+y）=C（x）C（y）﹣S（x）S（y）；
④C（x﹣y）=C（x）C（y）+S（x）S（y）．
A．①②B．②④C．①④D．①②③④
【考点】F3：类比推理．
【分析】写出“两角和与差的正余弦公式”的形式，写出类比结论．
【解答】解：∵“两角和与差的正余弦公式”的形式是
sin（x+y）=sinxcosy+cosxsiny
sin（x﹣y）=sinxcosy﹣cosxsiny
cos（x+y）=cosxcosy﹣sinxsiny
cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny
对于
有类比结论S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）；S（x﹣y）=S（x）C（y）﹣C（x）S（y）；C（x+y）≠C（x）C（y）﹣S（x）S（y）；C（x﹣y）≠C（x）C（y）+S（x）S（y）；
故选A
【点评】本题考查利用类比推理从形式上写出类比结论．写类比结论时：先找类比对象，再找类比元素．
8．某校在半期考试中要考察六个学科，已知语文必须安排在首场，且数学与英语不能相邻，则这六个学科总共有（）种不同的考试顺序．
A．36 B．48 C．72 D．112
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，首先分析语文，由于语文必须安排在首场，则语文有1种安排方法，进而用插空法分析剩余五科，首先将除语文、英语、数学外的三科全排列，安排在语文之后，分析可得排好后，有4个空位可用，再在4个空位中，任选2个，安排数学、英语，分别求出每一步的安排情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分3步进行分析：
①、语文必须安排在首场，则语文有1种安排方法，
3=6种安排方法，
②、将除语文、英语、数学外的三科全排列，安排在语文之后，有A
3
排好后，有4个空位可用，
2=12种安排方法，
③、在4个空位中，任选2个，安排数学、英语，有A
4
则这六个学科总共有1×6×12=72种不同的考试顺序，
故选：C．
【点评】本题考查排列、组合的实际应用，对于不能相邻问题，需要用插空法分析．
9．已知数列{a
n }的通项公式，记f（n）=（1﹣a
1
）（1﹣a
2
）（1﹣a
3
）…（1﹣a
n
），
通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的值为（）A．B． C．D．
【考点】F1：归纳推理．
【分析】先根据数列的f（n）=（1﹣a
1）（1﹣a
2
）（1﹣a
3
）…（1﹣a
n
），求得f（1），f（2），
f（3），f（4），可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出f（n）的值．
【解答】解：a
1=，f（1）=1﹣a
1
=；
a
2
=，f（2）=×=；
a
3
=，f（3）==．
…
由于f（1）=1﹣a
1
==；
f（2）=×==；
f（3）===．
…
猜想f（n）的值为：f（n）=．
故选D．
【点评】本题主要考查了归纳推理，考查了数列的通项公式．数列的通项公式是高考中常考的题型，涉及数列的求和问题，数列与不等式的综合等问题．
10．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（）种．
A．240 B．360 C．480 D．720
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】本题是一个分步问题，采用插空法，先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分步问题，采用插空法，
先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，则不同的排法有
A 44A
5
2=480种，
故选：C．
【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，正确运用插空法是关键．
11．已知整数按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第70个数对是（）
A．（2，11）B．（3，10）C．（4，9）D．（5，8）
【考点】F1：归纳推理．
【分析】由已知可知：其点列的排列规律是（m，n）（m，n∈N*）m+n的和从2开始，依次是3，4…增大，其中m也是依次增大．据此即可得出．
【解答】解：由已知可知：其点列的排列规律是（m，n）（m，n∈N*）m+n的和从2开始，依次是3，4…增大，其中m也是依次增大．
而m+n=2只有一个（1，1）；
m+n=3有两个（1，2），（2，1）；
m+n=4有3个（1，3），（2，2），（3，1）；
…
m+n=11有10个（1，10），（2，9），…，（10，1）；
m+n=12有11个（1，11），（2，10），…，（11，1）；
其上面共有1+2+…+11=66个；
m+n=13的有（1，12），（2，11），（3，10），（4，9），（5，8），（6，7），（7，6）…故第70个数对是（4，9）．
故选：C
【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
12．式子σ（a，b，c）满足σ（a，b，c）=σ（b，c，a）=σ（c，a，b），则称σ（a，b，c）为轮换对称式．给出如下三个式子：①σ（a，b，c）=abc；②σ（a，b，c）=a2﹣b2+c2；
③σ（A，B，C）=cosC•cos（A﹣B）﹣cos2C（A，B，C是△ABC的内角）．其中，为轮换对称式的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】F4：进行简单的合情推理．
【分析】根据轮换对称式的定义，考查所给的式子是否满足σ（a，b，c）=σ（b，c，a）=σ（c，a，b），从而
得出结论．
【解答】解：根据①σ（a，b，c）=abc，可得σ（b，c，a）=bca，σ（c，a，b）=cab，
∴σ（a，b，c）=σ（b，c，a）=σ（c，a，b），故①是轮换对称式．
②根据函数σ（a，b，c）=a2﹣b2+c2，
则σ（b，c，a）=b2﹣c2+a2，σ（a，b，c）≠σ（b，c，a）故不是轮换对称式．
③由σ（A，B，C）=cosC•cos（A﹣B）﹣cos2C=cosC×[cos（A﹣B）﹣cosC]
=cosC×[cos（A﹣B）+cos（A+B）]=cosC×2cosAcosB=2cosAcosBcosC
同理可得σ（B，C，A）=2cosA•cosBcosC，σ（C，A，B）=2cosA•cosBcosC，
∴σ（A，B，C）=σ（B，C，A）=σ（C，A，B），故③是轮换对称式，
故选：C．
【点评】本题考查对新概念的阅读理解能力，以及三角函数化简与运算能力，分析问题的能力，属于创新题，属于中档题．
二、填空题（共16分，每小题4分）
13．满足线性约束条件的可行域中共有15 个整数点．
【考点】D3：计数原理的应用．
【分析】满足线性约束条件的可行域如图所示，结合图象，根据分类计数原理可得．
【解答】解：满足线性约束条件的可行域如图所示：
当x=0时，y=0，1，2，3，4共5个，
当x=1时，y=0，1，2，3，共4个，
当x=2时，y=0，1，2共3个，
当x=3时，y=0，1共2个，
当x=4时，y=0，共1个，
根据分类计数原理，共有5+4+3+2+1=15个，
故答案为：15．
【点评】本题借助线性规划考查了分类计数原理，关键是画图，属于基础题．
14．将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使所有字母既不同行也不同列，则不同的填法共有144 种（用数字作答）
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】根据题意，将第一个字母填入有16种方法，进而计算第二个、第三个、第四个字母的填法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：假设先填第一个a，有种，
此时有一行一列不能填任何字母了，那么填第二个A有种，
两个a填好后有重复情况，故要除以2；
同理，经过以上步骤后有两行两列不能填任何字母了，
那么填第一个b则有，填第二个B时只有一行一列可以填了，有，
由于两个B有重复情况，故除以2；
．
故答案为：144．
【点评】本题考查分步计数原理的运用，是简单题；解题时注意“使所有字母既不同行也不同列”的条件限制即可．
15．在△ABC中，D为BC的中点，则=（+）将命题类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则=（++）．
【考点】F3：类比推理．
【分析】由条件根据类比推理，由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”，从而得到一个类比的命题．
【解答】解：由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”有，
由类比可得在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有=（++），
故答案为：在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有=（++）．
【点评】本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．利用类比推理可以得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论，属于基础题．
16．已知，则|a
0|+|a
1
|+|a
2
|+…+|a
7
|= 2187 ．
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，判断出展开式各项系数的符号，
将绝对值去掉，给二项式中的x赋值﹣1求出|a
0|+|a
1
|+|a
2
|+…+|a
7
|的值
【解答】解：二项展开式的通项为T
r+1=C
7
r（﹣x）r=（﹣2）r C
7
r x r
∴|a
0|+|a
1
|+|a
2
|+…+|a
7
|=a
﹣a
1
+a
2
﹣…﹣a
7
令二项式的x=﹣1得
37=a
0﹣a
1
+a
2
﹣…﹣a
7
∴|a
0|+|a
1
|+|a
2
|+…+|a
7
|=2187
故答案为：2187
【点评】解决二项展开式的特定项问题一般利用的工具是二项展开式的通项公式；解决二项展开式的系数和问题一般利用赋值的方法．
三、解答题（共74，其中前5题每题12分，最后1题14分）
17．（12分）（2017春•清流县校级月考）（1）计算
（2）计算：C+C+2C．
【考点】D5：组合及组合数公式．
【分析】（1）利用排列数的计算公式即可得出．
（2）利用组合数的计算公式即可得出．
【解答】解：（1）===．（2）C+C+2C=+==．
【点评】本题考查了排列数的计算公式、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2013春•福州校级期中）已知复数Z
1，Z
2
在复平面内对应的点分别为A（﹣2，
1），B（a，3）．
（1）若|Z
1﹣Z
2
|=，求a的值．
（2）复数z=Z
1•Z
2
对应的点在二、四象限的角平分线上，求a的值．
【考点】A7：复数代数形式的混合运算．
【分析】（1）利用复数的几何意义和模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则和几何意义即可得出．
【解答】解：（1）由复数的几何意义可知：Z
1=﹣2+i，Z
2
=a+3i．
∵|Z
1﹣Z
2
|=，∴|﹣a﹣2﹣2i|==．
解得a=﹣3或﹣1．
（2）复数z=Z
1•Z
2
=（﹣2+i）（a+3i）=（﹣2a﹣3）+（a﹣6）i对应的点在二、四象限的角平
分线上，
依题意可知点（﹣2a﹣3，a﹣6）在直线y=﹣x上
∴a﹣6=﹣（﹣2a﹣3），解得a=﹣9．
【点评】本题考查了复数的几何意义和模的计算公式、复数的运算法则，属于中档题．
19．（12分）（2017春•清流县校级月考）数列{a
n }满足a
n
＞0（n∈N*），S
n
为数列{a
n
}前n
项和，并且满足S
n =（a
n
+）．求
（1）S
1，S
2
，S
3
的值；
（2）猜想S
n
的表达式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法．
【分析】（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a
1，a
2
，a
3
．即可求得S
1
，S
2
，S
3
的
值．
（2）由（1）猜想数列{a
n
}的通项公式：Sn=，（n∈N*），检验n=1时等式成立，假设n=k 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
【解答】解：（1）易求得a
1=1，a
2
=﹣1，a
3
=﹣，
S 1=1，S
2
=，S
3
=（3分）；
（2）猜想
证明：S
n =（a
n
+）．S
n﹣1
=（a
n﹣1
+）．可得，
①当n=1时，a
1
==1，猜想成立
②假设n=k时，成立，（8分）
则n=k+1时，S
k+1=S
k
+a
k+1
===．
即n=k+1时，猜想也成立．
由①②知，n∈N*时，．（12分）
【点评】本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式．
20．（12分）（2015春•福建期末）已知一元二次方程根与系数的关系如下：设x
1，x
2
是关于
x方程x2+bx+c=0的根，则x
1+x
2
=﹣b，x
1
•x
2
=c．
（Ⅰ）若x
1，x
2
，x
3
是一元三次方程（x﹣1）（x2﹣3x﹣4）=0的根，求x
1
+x
2
+x
3
和x
1
•x
2
•x
3
的
值；
（Ⅱ）若x
1，x
2
，x
3
是一元三次方程x3+bx2+cx+d=0的根，类比一元二次方程根与系数的关系，
猜想x
1+x
2
+x
3
和x
1
•x
2
•x
3
与系数的关系，并加以证明．
【考点】F3：类比推理．
【分析】（Ⅰ）求出方程（x﹣1）（x2﹣3x﹣4）=0的根分别为﹣1，1和4，即可求x
1+x
2
+x
3
和x
1•x
2
•x
3
的值；
（Ⅱ）利用x3+bx2+cx+d=（x﹣x
1）（x﹣x
2
）（x﹣x
3
），（x﹣x
1
）（x﹣x
2
）（x﹣x
3
）展开式
中二次项为﹣（x
1+x
2
+x
3
）x2，常数项为﹣x
1
•x
2
•x
3
，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵方程x2﹣3x﹣4=0的两个根分别为﹣1和4，…（2分）∴方程（x﹣1）（x2﹣3x﹣4）=0的根分别为﹣1，1和4，…（3分）
∴x
1+x
2
+x
3
=4，x
1
•x
2
•x
3
=﹣4．…
（Ⅱ）x
1+x
2
+x
3
=﹣b，x
1
•x
2
•x
3
=﹣d．…（7分）
证明：∵x
1，x
2
，x
3
是一元三次方程x3+bx2+cx+d=0的根，
∴x3+bx2+cx+d=（x﹣x
1）（x﹣x
2
）（x﹣x
3
），…（9分）
又∵（x﹣x
1）（x﹣x
2
）（x﹣x
3
）展开式中二次项为﹣（x
1
+x
2
+x
3
）x2，…（10分）
常数项为﹣x
1•x
2
•x
3
，…（11分）
∴x
1+x
2
+x
3
=﹣b，x
1
•x
2
•x
3
=﹣d．…（12分）
【点评】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，确定x﹣x
1）（x﹣x
2
）（x﹣x
3
）
展开式中二次项为﹣（x
1+x
2
+x
3
）x2，常数项为﹣x
1
•x
2
•x
3
，是关键．
21．（12分）（2017春•清流县校级月考）已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】（1）本题是一个分别计数问题，先排前4次测试，只能取正品，有A
6
4种不同测试方
法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C
42•A
2
2种测法，
再排除余下4件的测试位置有A
4
4种，根据分步计数原理得到结果．
（2）恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，表示第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，利用组合数写出结果．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个分别计数问题，
先排前4次测试，只能取正品，有A
6
4种不同测试方法，
再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，
有C
42•A
2
2=A
4
2种测法，再排余下4件的测试位置有A
4
4种测法．
∴共有不同排法A
64•A
4
2•A
4
4=103680种．
（2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．
∴共有不同测试方法A
41•（C
6
1•C
3
3）A
4
4=576种．
【点评】本题考查分步计数问题，考查排列组合的实际应用，考查用排列组合数表示方法数，本题是一个易错题，易错点在第二问的对于第5次测试恰为最后一件次品的理解．
22．（14分）（2017春•清流县校级月考）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R，
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点P
1（x
1
，y
1
），P
2
（x
2
，y
2
），如果存在曲线上的点Q（x
，y
），
且x
1＜x
＜x
2
，使得曲线在点Q处的切线ℓ∥P
1
P，则称ℓ为弦P
1
P
2
的伴随切线．特别地，当x
=λ
x 1+（1﹣λ）x
2
（0＜λ＜1）时，又称ℓ为P
1
P
2
的λ﹣伴随切线．
求证：曲线y=f（x）的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得函数f（x）的极值；
（Ⅱ）要证明P
1，P
2
有伴随切线，只需证明存在点Q（x
，f（x
）），x
1
＜x
＜x
2
，要证明P
1
，
P 2有伴随切线，只需证明存在点Q（x
，f（x
）），x
1
＜x
＜x
2
，即xlnx
2
﹣xlnx
1
+x
1
﹣x
2
=0在（x
1
，
x
2
）内有解．构造辅助函数，求导，根据函数的单调性及零点的判断，即可求得曲线y=f（x）的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的．
【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=ax+lnx，求导f′（x）=a+，（x＞0），
当a ≥0（0，+∞），f'（x ）＞0，函数f （x ）在内是增函数， ∴函数f （x ）没有极值．
当a ＜0时，令f'（x ）=0，得x=﹣．
当x 变化时，f'（x ）与f （x ）变化情况如下表：
x （0，﹣）
﹣ （﹣，+∞）
f ′（x ） + 0 ﹣ f （x ）
↑
极大值
↓
∴当x=﹣时，f （x ）取得极大值f （﹣）=﹣1+ln （﹣）． 综上，当a ≥0时，f （x ）没有极值；
当a ＜0时，f （x ）的极大值为﹣1+ln （﹣），没有极小值．
（Ⅱ）证明：设P 1（x 1，f （x 1）），P 2（x 2，f （x 2））是曲线y=f （x ）上的任意两点， 要证明P 1，P 2有伴随切线，只需证明存在点Q （x 0，f （x 0）），x 1＜x 0＜x 2，
要证明P 1，P 2有伴随切线，只需证明存在点Q （x 0，f （x 0）），x 1＜x 0＜x 2，．（7分） ∵f ′（x ）=a+，（x ＞0），即证存在x 0∈（x 1，x 2），使得a+=
，
即x 0lnx 2﹣x 0lnx 1+x 1﹣x 2=0成立，且点Q 不在P 1P 2上．（8分） 以下证明方程xlnx 2﹣xlnx 1+x 1﹣x 2=0在（x 1，x 2）内有解． 设F （x ）=xlnx 2﹣xlnx 1+x 1﹣x 2，0＜x ＜x 2． 则F （x 1）=x 1lnx 2﹣x 1lnx 1+x 1﹣x 2． 记g （x ）=xlnx 2﹣xlnx+x ﹣x 2，0＜x ＜x 2， ∴g'（x ）=lnx 2﹣lnx ＞0， ∴g （x ）在（0，x 2）内是增函数， ∴F （x 1）=g （x 1）＜g （x 2）=0．（9分） 同理F （x 2）＞0．∴F （x 1）F （x 2）＜0．
∴方程xlnx 2﹣xlnx 1+x 1﹣x 2=0在（x 1，x 2）内有解x=x 0．（10分） 又对于函数g （x ）=xlnx 2﹣xlnx+x ﹣x 2，
∵0＜x 1＜x 0＜x 2，∴g （x 0）=x 0lnx 2﹣x 0lnx 0+x 0﹣x 2＜g （x 2）=0，
可知f′（x
0）≠，即点Q不在P
1
P
2
上．
又F（x）=（lnx
2﹣lnx
1
）x+x
1
﹣x
2
在（x
1
，x
2
）内是增函数，
∴方程xlnx
2﹣xlnx
1
+x
1
﹣x
2
=0在（x
1
，x
2
）内有唯一解．
综上，曲线y=f（x）上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的…14‘
【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性及极值，主要考查利用导数研究判断函数的单调性及求函数的单调区间最值等知识，考查解决存在性问题的转化策略，属难题．。