二次函数教案

二次函数的概念教学目的:1．使学生理解二次函数的概念．2．使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围．3．为分散后面教学的难点，可在本节解决较简单的用待定系数法确定二次函数解析式的问题．教学重点和难点:教学重点：对二次函数概念的理解．教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围．一、复习提问:1．什么叫函数？它有几种表示方法？2．什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？(复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．)二、引入新课:函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系．(出示小黑板)例1 正方形的边长是x(cm)，面积y(cm2)与边长x之间的函数关系如何表示？解：函数关系式是y=x2(x＞0)(写在黑板上)例2 农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x 之间的函数关系如何表示？解：函数关系式是y=50(1＋x)2，即y=50x2+100x+50(写在黑板上)由以上两例，启发学生归纳出(1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)．(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)．二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．巩固对二次函数概念的理解：1．强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．2．在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0．3．在y=50x2＋100x＋50中， a=50， b=100， c=50．4．为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了)5．b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零．若b=0，则y=ax2＋c；若c=0，则y=ax2＋bx；若b=c=0，则y=ax2．以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式．四、巩固练习1 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c．(1)y=1-3x2 (2)y=x(x-5) (3)y=3x(2-x)＋3x2；(4)y＝(x＋2)(2-x)； (5)y=x4＋2x2＋1．2 设圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积V(cm3)与底面周长c(cm)之间的函数关系式．请同学指出自变量是c，取值范围c＞0．3 篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．二次函数y=ax2的图象(一)一、教学目的2．使学生初步理解二次函数的概念．2．使学生会用描点法画二次函数y=x2的图象．3．使学生结合y=x2的图象初步理解抛物线及其有关的概念．二、教学重点、难点重点：对二次函数概念的初步理解．难点：会用描点法画二次函数y=x2的图象．复习提问2．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？2．什么是一元二次方程？3．怎样用描点法画函数的图象？导入新课:1．由具体问题引出二次函数的定义．(2)已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出这个圆的面积S与半径R之间的函数关系式．(2)已知一个矩形的周长是60m，一边长是lm，写出这个矩形的面积S(m2)与这个矩形的一边长l之间的函数关系式．(3)农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？解：(2)函数解析式是S=πR2；(2)函数解析式是S=30l-l2；(3)函数解析式是y=50(2+x)2，即y=50x2+200x+50．由以上三例启发学生归纳出：(2)函数解析式均为整式；(2)自变量的最高次数是2．我们说三个式子都表示的是二次函数．一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0．2．画二次函数y=x2的图象．按照描点法分三步画图：(2)列表∵x可取任意实数，∴以0为中心选取x值，以2为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；(2)描点按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；(3)连线用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x2的图象．注意两点：(2)由于我们只描出了7个点，但自变量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分．而图象在x＞3或x＜-3的区间是无限延伸的．(2)所画的图象是近似的．3．在原点附近较精确地研究二次函数y=x2的图象．在原点附近，y=x2的图象形状到底如何？为了说明函数y=x2图象的形状，我们把原点附近的部分再画细一些．在-2与2之间，每隔0.2取一个x的值，列出下表：描点、连线，就得到原点附近部分比较精确的图象：4．引入抛物线的概念．关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x2图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x2看，当x=0时，y=x2取得最小值0，故抛物线y=x2的顶点是(0，0)．小结2．二次函数的定义．(2)函数解析式关于自变量是整式；(2)函数自变量的最高次数是2．2．二次函数y=x2的图象．(2)其图象叫抛物线；(2)抛物线y=x2的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点．四、巩固练习下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？(2)y=2-3x2；(2)y=x(x-4)；(5)y=7x(2-x)+4x2；(6)y=(x-6)(6+x)．作业：P122中A组2，2，3．四、教学注意问题2．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点．2．注意培养学生观察分析问题的能力．比如，结合所画二次函数y=x2的图象，要求学生思考：(2)y=x2的图象有什么特点．(答：具有对称性．)(2)如何判断y=x2的图象有上面所说的特点？(答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x2看出来．)相关资源二次函数y=ax2的图象(二)一、教学目的1．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象．2．使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识．3．进行由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育．二、教学重点、难点重点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象，掌握它的性质．难点：渗透数形结合思想．三、复习提问1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是二次函数？(1)y=12x+7；(3)y=(x-2)2-x2；(4)y=4(x+3)2+2x．2．抛物线y=x2的对称轴是什么？顶点是什么？3．在y=ax2+bx+c(a≠0)中，若b=0，或c=0，或b，c同时为0，解析式是什么？4．请同学们回忆，前面我们在学习了正比例函数、一次函数后，是如何进一步研究这些函数的？(答：先用描点法画出函数图象，再结合图象研究性质．)导入新课观察所列的表，对于y=2x2中所得对应值(-4，32)很大，故还可以把y=2x2另取点列表来处理．观察由描点所画出的图象，我们可得到结论：在y=ax2(a＞0)中，x2的系数越大，抛物线开口越小．结合图象，师生一道归纳得到结论．(1)它们的开口方向都向上；(2)它们的对称轴是y轴；(3)它们的顶点是原点．2．运用对比的方法讲解例2．画出函数y=-x2的图象．仍把y=-x2与y=x2的图象对比．引导同学得到结论：(1)从函数的解析式上看：两个函数式仅相差一个符号．(2)从列表中的y值看：y=x2的表中，y≥0，y=-x2的表中y≤0．(3)从图象上看：在同一坐标系中抛物线y=-x2与y=x2关于x轴对称．(联想：在(4)抛物线y=-x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点．小结1．抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点．2．a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上．3．a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．巩固练习：选用课本练习作业：选用课本习题补充例题1．在同一平面直角坐标系内画出下列函数的图象：y=6x2，y=-6x2．2．已知点M(k，2)在抛物线y=x2上，(1)求k的值．(2)点N(k，4)在抛物线y=x2上吗？(3)点H(-k，2)在抛物线y=x2上吗？3．已知点A(3，a)在抛物线y=x2上，(1)求a的值．(2)点B(3，-a)在抛物线y=x2上吗？四、教学注意问题1．注意渗透分类讨论思想．比如在y=ax2中a＞0时，y=ax2的图象开口向上；当a＜0时，y=ax2的图象开口向下，等等．2．注意训练学生对比联想的思维方法．二次函数y=ax2+bx+c的图象(一)一、教学目的1．使学生会用描点法画出二次函数y=ax2+k型与y=a(x-h)2型的图象．2．使学生了解并会求抛物线y=ax2+k与y=a(x-h)2的对称轴与顶点．二、教学重点、难点重点：1．用描点法画出二次函数y=ax2+k型与y=a(x-h)2型的图象．2．二次函数y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的联系及如何平移．难点：1．二次函数y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的联系及如何平移．2．对于抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2的对称轴方程的理解．复习提问1．用描点法画出函数y=x2的图象，并根据图象回答下列问题：(1)抛物线y=x2的开口方向、对称轴与顶点坐标；(2)当x=-2时，y的值；(3)当y=9时，x的值．(2)当x=-3时，y的值(精确到0.1)；(3)当y=-9时，x的值(精确到0.1)．导入新课1．用和抛物线y=x2对比的方法讲解例1．画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象．(1)列表：(2)在同一平面直角坐标系中画出图象；(3)引导同学结合图象分析研究以下问题：1°．抛物线y=x2+1，y=x2-1与y=x2的相同点与不同点是什么？(答：形状相同；位置不同．)2°．抛物线y=x2+1的开口方向是____，对称轴是____，顶点坐标是____；(答：向上；y轴；(0，1)．)3°．抛物线y=x2-1的开口方向是____，对称轴是____，顶点坐标是____．(答：向上；y轴；(0，-1)．)(1)列表：(2)在同一平面直角坐标系中画出图象；(3)引导同学结合图象分析研究以下问题：什么？(答：形状相同；位置不同．)(答：向下；x=-1；(-1，0)．)____．(答：向下；x=1；(1，0)．)小结用填空或列表的方法总结抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x+h)2的开口方向、对称轴、顶点坐标．练习：选用课本练习作业：选用课本习题二次函数y=ax2+bx+c的图象(二)一、教学目的1．使学生会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k型的图象．2．使学生了解并会求抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴与顶点．二、教学重点、难点重点：1．用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k型的图象．2．二次函数y=a(x-h)2+k与y=a(x-h)2的联系及如何平移．难点：1．二次函数y=a(x-h)2+k与y=a(x-h)2的联系及如何平移．2．对于抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴方程的理解．复习提问1．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：(1)y=8x2-2；(2)y=7(x-5)2；(3)y=-0.2x2+3.1；2．求下列抛物线与y轴交点的坐标：导入新课在同一直角坐标系内，画出函数的图象1．列表注意两点：1°．运用函数的对称性，以顶点横坐标为中心选值；2°．尽量选取整数，以便于计算．2．描点先确定顶点，再利用对称性，描出各点．3．连线把抛物线画得平滑、对称．在画出三条抛物线后，用对比法进行分析、对比、归纳：(1)这两条抛物线的形状有什么关系？位置有什么关系？(2)这两条抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标各是什么？最后结合表格，从而得到一般性结论，二次函数的基本型是y=a(x-h)2+k．小结一般的二次函数，都可以变形为y=a(x-h)2+k的形式，具有特点：(1)a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下．(2)对称轴是直线x=h．(3)顶点坐标是(h，k)．巩固练习：选用课本练习作业：选用课本习题二次函数y=ax2+bx+c的图象(三)一、教学目的1．使学生会用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象．2．使学生会用公式法和配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴．3．使学生会用待定系数法，当已知函数图象上三点的坐标时，求二次函数的解析式．4．使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念，培养学生由具体到抽象的能力．二、教学重点、难点重点：1．画出二次函数y=ax2+bx+c的图象．2．用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的解析式．难点：求二次函数y=ax2+bx+c的解析式．复习提问1．填空题：(1)x2+4x+____=(x+____)2；(3)x2+6x+12=(x+3)2+____；2．说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标：(2)y=11(x+9)2+16；(4)y=-0.6(x+2.3)2-3.2．3．请说出抛物线y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴与顶点坐标．导入新课1．运用“由特殊到一般”的思考方法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象．1°用配方法把函数写成y=a(x-h)2+k的形式；2°所画图象开口向上，对称轴x=6，顶点坐标是(6，3)；3°利用函数对称性列表．以对称轴x=6为中心选值即可；4°描点画图．先找顶点；画出对称轴；对称描点；用平滑曲线顺次连结各点．(2)画函数y=ax2+bx+c的图象．当给出a，b，c的具体数值后，则其画图的方法步骤和(1)中的相同．2．讲解例4；通过配方求抛物线y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标．例5．已知一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个函数的解析式．小结1．用配方法可把y=ax2+bx+c变形成的形式．故有2．已知二次函数图象上三个点的坐标，用待定系数法可求出这个二次函数的解析式．练习：选用课本练习作业：选用课本习题二次函数习题课教学目的1．二次函数的解析式的三种形式．2．能根据不同条件选择不同方法求出二次函数的解析式，是学习本节后应达到的基本技能．3．复习巩固二次函数的图象和性质．4．通过对例题的分析，使学生了解一题多解的思想方法．教学重点和难点根据不同条件灵活使用三种方法求二次函数的解析式是本节重点；如何根据题目的已知条件采用相应的解析式的形式，以达到用最简捷的方法求出解析式，是本节的难点．教学过程一、二次函数解析式1．前面我们只学习了二次函数解析式的两种形式，即一般式y=ax2＋bx＋c(a≠0)，和顶点式y=a(x＋h)2＋k(a≠0)．但在实际应用中，还有一种形式也有重要的作用．这种称为双根式，即y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．其中x1和x2分别为抛物线与x轴的两个交点的横坐标．当然只有抛物线与x轴有两个交点时，才能使用这种形式．因此小结我们学过的三种解析式的形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)(3)双根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1，x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标．二、求二次函数解析式上面我们学习了二次函数的三种解析式．这三种不同形式的解析式对于处理不同的问题，有不同的作用．要求一个二次函数的解析式，就是要根据条件确定式子中的未知系数a、b、c或a、h、k及x1、x2的值．例1 求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．分析：因为抛物线的对称轴与y轴平行，所以抛物线解析式的形式可设为y=ax2+bx+c 要确定这个解析式必须求出三个系数a、b、c的值．已知A、B、C三点在抛物线上，因此它们的坐标必须适合上面的函数式，即有这是关于a、b、c的三元一次方程组，可以求出a、b、c的值来．解：设所求抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，因为抛物线经过A、B、C三点，所以有所以，所求抛物线的解析式为y=x2-2x-1．例2 已知二次函数为x＝4时有最小值-3且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．此题由教师启发学生分析出下面四种解法，最后要指出哪种方法最简便．分析：因为二次函数当x=4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x=4，抛物线开口向上．图象与x轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点．又根据对称性，图象与x轴另一个交点的坐标为(7，0)有下面的草图：此题可用以下四种方法求出解析式．方法一：同例1，抛物线y=ax2＋bx＋c通过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a、b、c的三元一次方程组，可解出a、b、c来．方法二：由于二次函数当x=4时有最小值-3，又抛物线通过(1，0)点，所以由上面的方程组解出a、b、c．方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为y=a(x+h)2+k，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)2-3，式中只有一个待定系数a，再利用抛物线通过(1，0)方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=1，x2=7．可以采用双根式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系数a，再把顶上面四种方法的第三种最简便．例3 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x轴相切．(1)求二次函数的解析式；(2)当x在什么范围时，y随x的增大而增大；(3)当x在什么范围时，y随x的增大而减小．分析：因为抛物线与x轴相切即与x轴只有一个交点，所以判别式b2-4ac=0．又由于抛物线过(-1，1)和(2，1)点，所以可设解析式的形式为y=ax2＋bx＋c，列出方程组小结：1．二次函数的解析式有三种表达形式：一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0)双根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1、x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标．2．求解析式的方法是待定系数法．3．根据已知条件列出关于a、b、c或h、k及x1、x2的方程．(注意有几个未知数就列出几个方程．)4．解方程组求出待定的系数．5．写出解析式，要化为一般式．布置作业二次函数的综合练习课教学目标(一)培养学生灵活掌握和运用二次函数知识的能力；(二)提高分析问题和解决问题的能力．教学重点和难点重点：使学生初步会把二次函数概念和性质综合在一起灵活运用；熟悉数与形的相互联系，相辅相成．难点：善于选择恰当的解法；善于把问题与函数的有关性质联系起来．教学过程设计(一)复习1．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标是____．2．函数y＝2x2-12x＋1的最小值是多少？这时的x值是多少？(y＝2(x-3)2-17≥-17．所以x＝3时，y有最小值-17)(二)新课上几节课，我们已学习了二次函数的性质和五个主要问题，那就是：1．y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标公式．2．y＝ax2＋bx＋c图象的画法．3．用待定系数法求二次函数的解析式．4．图象法解ax2＋bx＋c＞0的几何意义．5．有关二次函数的最大值、最小值问题．本节课是要解决这些主要问题综合在一起的题目，要求同学们善于把二次函数的知识灵活运用．(1)把它配方成y＝a(x＋h)2＋k形式；(2)写出它的开口方向、顶点M的坐标、对称轴方程和最值；(3)求出图象与y轴、x轴的交点坐标；(4)作出函数图象；(5)x取什么值时y＞0，y＜0；(6)设图象交x轴于A，B两点，求△AMB面积．(2)开口向下．顶点坐标是M(2，3)．对称轴是x＝2．x＝2时，y最大值＝3；(4)图象见图17；例2 k取什么值时，对于任意实数x，二次不等式(4-k)x2-3x＋k＋4＞0都成立．分析：当k≠4时(4-k)x2-3x＋k＋4是x的二次函数．设y＝(4-k)x2-3x＋k＋4，题目的意思是问：k取什么值时，当x取任意实数时，y＞0，转化为图象关系，是问k取什么值时，图象上点的横坐标取任何实数时，点的纵坐标都是正值，也就是说，图象都在x轴上方．我们从上面这四个图可见，图18和图21，都不符合要求，因为图象上点的纵坐标不全是正值，而图20的图象上各点纵坐标全是负值也不符合要求，只有图19符合要求．怎样把这个图象的几何条件转化为数量关系(式子)，然后计算出k值呢？因为这个图是开口向上，并且顶点的纵坐标是正值．例3利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象回答以下各问：(1)二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的几何意义是什么？(2)在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？(3)在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？(4)在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？例3 已知图22是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．(1)a；(2)b；(3)c；(4)b2-4ac；(5)2a＋b；(6)a＋b＋c；(7)a-b＋c．分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．解：(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在x轴上方，即c＞0；(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；(7)因为图象上的点的横坐标为(-1)时，点的纵坐标为负值，即a(-1)2＋b(-1)＋c＜0，故a—b＋c＜0．例4 利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象回答以下各问：(1)二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的几何意义是什么？(2)在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？(3)在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？(4)在什么样的几何条件下，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，把这个几何条件转化成的数量关系是什么？分析：本题是二次方程图象解法、二次方程根的判别式性质与二次函数图象紧密联系、数与形相互呼应的典型之一．解：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0，函数式就变成二次方程ax2＋bx＋c＝0．解这个一元二次方程，也就是要找出使二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y＝0的x值．从图形上看，方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标；(2)方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根的几何意义是：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的公共点，如图23或图24．①，②的结论与二次方程根的判别式性质完全一致；(3)方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等实数根的几何意义是：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴只有一个公共点．如图25，图26．＝0．③③式的结论与二次方程根的判别式性质完全一致；(4)方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根的几何意义是：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点．如图27，图28．即b2-4ac＜0．⑤④，⑤的结论与二次方程根的判别式性质完全一致．例 5 方程2x2-4mx＋(5m2-9m-12)＝0的两个实数根为x1，x2．问：当m取什分析：x1，x2是实数，必须满足根的判别式△≥0，即(-4m)2-8(5m2-9m-12)≥0．化简，得m2-3m-4≤0．我们可用图象法来求这个不等式的解．设y＝m2-3m-4．令y＝0，得m1＝-1，m2＝4，又因为二次项系数1＞0，所以开口向上，草图是图29．所以不等式m2-3m-4≤0的解是-1≤m≤4．①由根与系数关系，有请同学们注意，能不能由②式就下结论：这是因为还要结合①式的条件-1≤m≤4．于是本题转化为“自变量在规定范围内求函数的最大值、最小值”，而此前的求函数最大值、最小值是自变量在整个实数范围内．③这个图是示意图，没有按比例尺寸画)图30中的一段实线，是抛物线的自变量m在-1到4时这一段的弧．这段弧的最高点为(4，32)，最低点为(-1，2)．例6 已知抛物线y＝x2-2(k＋2)x＋2(k-1)．(1)试证：k取任意实数时，此抛物线与x 轴有两个交点；(2)k取何值时，这两个交点在y轴的同侧，并且判定它们同在y轴的左侧，还是同在y轴的右侧；(3)如果此二次函数的对称轴是直线x＝3，求此抛物线与x轴的两个交点及顶点所成的三角形的面积．分析：(1)抛物线与x轴有两个交点，相当于二次方程有两个不相等的实根．(2)两个交点在y轴的同侧，相当于方程的两根的正、负号相同．解：(1)因为△＝[-2(k＋2)]2-4×2(k-1)＝4(k＋1)2＋20＞0，所以方程x2-2(k＋2)x＋2(k-1)＝0有两个不相等的实数根，即有两个实数使函数y＝x2-2(k＋2)x＋2(k-1)的函数值为零．转化为图形来看，即图象上有两点的横坐标可使纵坐标为零，即图象上有两点在x轴上；(2)两交点在y轴同侧，相当于方程x2-2(k＋2)x＋2(k-1)＝0的两根的正、负号相同，由根与系数关系，得x1x2＝2(k-1)＞0，即k＞1．这时两根之和x1＋x2＝2(k＋2)＞6＞0，两根都是正值，所以这两个交点同在y轴的右侧；(三)课堂练习才能使售出的总金额最大？解：设这种服装涨价前每件售价为a，售出服装b件，则涨价后，每件售价为(四)小结1．在解综合题时，问题受各种条件的约束，因此解题时不要疏漏应有的条件，像例5中，m受△≥0的约束，不能忽略．2．某些深层次的数与形的转化，只有在解题实践中才会接触到、得到训练．像例6中的“两个交点在y轴同侧”相当于x1x2＞0这类转化．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c，二次方程ax2＋bx＋c＝0，二次不等式ax2＋bx＋c＞0，二次三项式ax2＋bx＋c．这四个“二次”是中学数学里的重要学习内容和解题的工具，它们之间有密切的联系，应熟悉这四者之间的相互转换．还应把它们与图象的数形结合灵活运用，这对于寻找解题途径和检验运算的中间过程和运算结果都很有促进作用．(注二次不等式ax2＋bx＋c＞0用二次函数图象法来解)(五)作业1．某男生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是：(1)画出函数的图象；(2)观察图象，说出铅球推出的水平距离．2．如图31，一边靠校园院墙，另外三边用50m长的篱笆，围起一个长方形场地，设垂直院墙的边长为xm．(1)写出长方形场地面积y(m2)与x(m)的函数关系式；(2)画出函数的图象；(3)观察图象，说出垂直院墙的边长多少时，长方形面积最大．3．如图32有一个半径为R的圆的内接等腰梯形，其下底是圆的直径．(1)写出周长y与腰长x的函数关系及自变量x的范围；(2)腰长为何值时周长最大，最大值是多少？4．如果二次函数y＝mx2＋(m-3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围．5．已知二次函数y＝(m＋1)x2-2(m-1)x＋3(m-1)．问：m取何值时，图象在x轴上截得的线段长为4？并求出图象与y轴的交点坐标．作业的答案或提示1．(1)找出几个特殊点：顶点，与x轴交点，与y轴交点及它们的轴对称点．得x1=10，x2=-2．所以与x轴交点(10，0)，(-2，0)．把这些点用平滑的曲线连结，得到的图形是图33．由于水平距离实际上不能取负值，所以图象只能画出图中的实(2)铅球的水平距离是10m．2．(1)矩形的另一边长为50-2x，y＝x(50-2x)＝-2x2＋50x，(0＜x＜25)；(2)草图是图34；(没有按比例尺寸画)。