(完整版)绝对值三角不等式
绝对值三角不等式 课件
证明:∵m 等于|a|,|b|和 1 中最大的一个,|x|>m,
|| > ≥ ||
|| > ||,
||
||
>
≥
||
∴
⇒
∴ + 2 ≤
+ 2 = +
2
||
|| > |b|.
|| > ≥ 1
||
2
|| ||
<
+ 2 =2.故原不等式成立.
2
||
||
∴-4≤y≤4.
∴yma x=4,y min =-4.
迁移与应用
如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为空集,求参数 a
的取值范围.
解:只要 a 不大于|x-3|+|x-4|的最小值,则|x-3|+|x-4|<a 的解集
为空集,而|x-3|+|x-4|=|x-3|+|4-x|≥|x-3+4-x|=1,
=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|
<|x+a-1|
=|Байду номын сангаас-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|
<1+|2a|+1
=2(|a|+1),
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
迁移与应用
已知 f(x)=x2 -2x+7,且|x-m|<3,求证:|f(x)-f(m)|<6|m|+15.
第一讲3绝对值三角不等式
探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下
|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？ 例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b| 与|a-b|等之间的关系。 |a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|,
|a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
小结
理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R, (a-b)(b-c)≥0时等号成立）
能应用定理解决一些证明和求最值问题。
练习：课本P19第1、2题
1 .求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a| (2)|a+b|-|a-b|≤2|b| 2.用几种方法证明
法二：把函数看成是分段函数，用图像法。 例2：求函数f(x)=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值；
法一：
|| x 3 | | x 1 ||| ( x 3) ( x 1) | 4 4 | x 3 | | x 1 | 4 ymax 4, ymin 4
工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? 分析:如果生活区建于公路路碑的第x km处,两个施工 队每天往返的路程之和为S(x) km. 那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 故实际问题转化为数学问题:
当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.
解:设生活区应该建于公路路碑的第x km处,两个施工 队每天往返的路程之和为S(x) km,则: S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 我们先来考察它的图像: 60-4x S(x)=2(|x-10|+|x-20|)= S 60
绝对值三角不等式
练习 1．若a、b∈R，则以下命题正确的是( A A．|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| B．|a|－|b|＜|a－b|＜|a|＋|b| C．当且仅当ab＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b| )
D．当且仅当ab≤0时，|a－b|＝|a|－|b|
2．设a，b是满足ab＜0的实数，则下列不等式中正确的 是( B )
7．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2， 5 1 则|a＋b|的最大值是________ ，最小值是________ 8．若1＜a＜8，－4＜b＜2，则a－|b|的取值 (－3,8) ． 范围是________
9. 求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.
解：∵||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4, ∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4. 即ymax=4, ymin=-4.
定理1的完善
||a|-|b|||a+b||a|+|b|，
左边取等的条件为ab 0： 右边取等的条件为ab ≥0
||a|-|b|||a-b||a|+|b|，
左边取等的条件为ab ≥0 ： 右边取等的条件为ab 0
典例示范，应用新知
例1:已知>0 |x-a|< |y-b|<, 求证: |2x+3y-2a-3b|<5 证明: |2x+3y-2a-3b| =|(2x-2a)+(3y-3b)| |2(x-a)|+|3(y- b)| =2|x-a|+3|y-b| <2+3=5 故 |2x+3y-2a-3b|<5
S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 方法1：去绝对值变成分段函数: 60-4x S(x)=2(|x-10|+|x-20|)= S 60 40 20 O 10 20 30 x 20 4x-60 0<x10 10<x20 x>20
绝对值三角不等式
由此得|g(x)|≤2； 当a<0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是减函数， ∴g(－1)≥g(x)≥g(1)． ∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1， ∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2， g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2， 由此得|g(x)|≤2； 当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c.
解析：选 A.∵0<a<1， ∴1<1＋a<2,0<1－a<1. ∴log(1＋a)(1－a)<0.① log(1－a)(1＋a)<0.② A 项左边＝－log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a) ＝－log(1＋a)(1－a)－log1＋a11－a. 令 log(1＋a)(1－a)＝t<0， ∴左边＝－t－1t ＝(－t)＋－1 t>2.
【错因】 本题错误在于不能保证1＋|a＋ b|≥1＋|a|,1＋|a＋b|≥1＋|b|成立．
【自我校正】 当|a＋b|＝0 时，显然成立． 当|a＋b|≠0 时， 1＋|a＋|a＋b|b|＝|a＋1 1b|＋1≤|a|＋1 1|b|＋1 ＝1＋|a||＋a|＋|b||b|＝1＋|a|a|＋| |b|＋1＋|a|b|＋| |b|
(2)因为|a|－|b|≤|a－b|，所以|a|a|－ －b|b||≤1， 即 m≤1，又因为|a＋b|≤|a|＋|b|， 所以|a|a|＋＋b|b||≥1，即 n≥1，所以 m≤1≤n. 【答案】 (1)C (2)m≤n
【名师点评】 绝对值不等式性质的重要作 用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子 不变，分母变小，则分数值变大；分子变大， 分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等 号是否还能成立．
绝对值三角不等式
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|<1.求证:|f(x)f(a)|<2(|a|+1).
证明:|f(x)-f(a)|=|(x-a)·(x+a-1)|<|x+a-1|≤|x|+|a|+1.
∵|x|-|a|≤|x-a|<1,
A.|a|<|b|+|c|
B.|c|<|a|+|b|
C.b>||c|-|a||
D.b<|a|-|c|
)
题型一
题型二
题型三
解析:由|a-c|<b,知b>0,∴b=|b|.
∵|a|-|c|≤|a-c|,
∴|a|-|c|<b,则|a|<b+|c|=|b|+|c|.
故A成立.
同理由|c|-|a|≤|a-c|,得|c|-|a|<b,
∴|x|≤|a|+1.
∴|x|+|a|+1<2(|a|+1).
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
谢谢！
1+||+||
||
||
||
||
+
≤
+
,
1+||+|| 1+||+|| 1+|| 1+||
| + |
||
||
∴
≤
+
.
1 + | + | 1 + || 1 + ||
绝对值三角不等式
定理2 定理 如果a,b,c是实数,那么
a −c ≤ a −b + b−c
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立
如何证明定理2? 你能给出定理2的几何解释吗?
推论:
| a1 + a2 + a3 | ≤| a1 | + | a2 | + | a3 |
例1 已知 x − a <
ε
2M
,0 < y − b <
6 , | z |<
ε
9
2ε 3ε =ε ∴ | x | +2 | y | +3 | z | < + + 3 6 9
ε
∴ | x + 2 y − 3z | < ε
a+b
例3 求证
1+ a + b
≤
a 1+ a
+
b 1+ b
.
证明：在 a + b = 0 时，显然成立. 当 a + b ≠ 0 时，左边 =
复习
（一）绝对值的定义： 绝对值的定义： 绝对值的定义 对任意实数a， 对任意实数 ，
a (当 a 〉 0 时 ) a = （当 a = 0 时） 0 − a （当 a 〈 0 时）
问题
我们已学过积商绝对值的性质， 我们已学过积商绝对值的性质， 哪位同学能回答？ 哪位同学能回答
分析：如果生活区建于公路路牌的第 分析：如果生活区建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往返的路程 处 之和为S(x)km,那么 S ( x ) = 2 x − 10 + x − 20 于是，上面的问题就化 那么 于是， 之和为 归为数学问题： 取何值时， 归为数学问题：当x取何值时，函数 S ( x ) = 2 x − 10 + x − 20 取得最小 取何值时 值。这个问题可以应用绝对值不等式的性质来解。 这个问题可以应用绝对值不等式的性质来解。
&1.4绝对值三角不等式
0 | h | | k | 即 | hk | h (2)已知 | h | c , | x | c (c 0, 0), 求证 x 1 1 解：由0 c | x | 可知 0 |x| c 且0 | h | c
1 1 | h | c |x| c
h 即 x
a, 3 a, b 同号时右边取“=”，b 异号时左边取“=”
推论： | a | | b || a b || a | | b |
证明：在定理中以b 代b, 得： | a | | b | | a (b) | | a | | b |
即： | a | | b || a b || a | | b |
又 a c c 2 a a c c a
24 a c 2 c a
③
a b c d 由①，②，③得， 2 c d a a b c
2 c 4 a
a 2 c
c a
Байду номын сангаас
课堂练习：
1.(1)已知|h|< ,| k | ( 0), 求证 | hk |
1 a b 1 a b
1 1 ab
1 1 1 a b ab
a 1 a
b 1 b
.
例2已知 | x | .
3
, | y |
6
, | z |
9
求证：x 2 y 3z | |
证明：x 2 y 3z | | x | | 2 y | | 3z | |
ab 例.3.已知 | a | 1, | b | 1, 求证 1 1 ab
绝对值三角不等式
绝对值三角不等式
1、绝对值三角不等式定理：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。
2、三角不等式等号成立的条件。
（1）|a|-
|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的不等式当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,||a|-|b||=|a±b|成立。
（2）绝对值三角不等式|a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|当a、b同号时，|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异号时，绝对值三角不等式||a|-|b||=|a±b|成立。
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|相反。
（3）||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|的不等式,当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,|a-b|=|a|+|b|成立.当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）时,||a|-|b||=|a-b|成立。
（4）绝对值三角不等式公式||a|-
|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。
绝对值三角不等式
a ,a>0 1.绝对值的定义： |a|= 0 ,a=0
－a ,a<0 2.绝对值的几何意义：
|a|
A
0
a
实数a绝对值|a|表示 数轴上坐标为A的点 到原点的距离.
|a－b|
A
B
a
b
实数a,b之差的绝对值 |a-b|,表示它们在数轴上 对应的A,B之间的距离.
3.绝对值的运算性质：
a |a|
a2 a , ab a b ， | b | | b |
探究
设a, b为实数， 你能比较 a b 与之a 间 的b 大
小关系吗？
当ab>0时，a b a b 当ab<0时，a b a b 当ab=0时，a b a b
ab a b
定理1 如果a,b是实数，则 a b a b
当且仅当 ab 时0，等号成立。
你能解释它的几何意义吗？
绝对值不等式
1、绝对值三角不等式 2、绝对值不等式的解法
1、绝对值三角不等式
在数轴上，
a 的几何意义 表示点A到原点的距离 a b 的几何意义 表示数轴上A,B两点之间的距离
a b 的几何意义 表示数轴上A,B’( B与B’关
于原点对称)两点之间的距离
a A
0
a
x
ab
ab
B’
A
B
-b
a
O
bx
当向量 a, 不b 共线时，
ab a b
探究：当向量 a, b共线
时，又怎样的结论？
同向： a b a b 反向： a b a b
ห้องสมุดไป่ตู้
y
ab b
Oa
x
ab a b
绝对值三角不等式
(2)因为|a|－|b|≤|a－b|，所以|a|a|－ －b|b||≤1， 即 m≤1，又因为|a＋b|≤|a|＋|b|， 所以|a|a|＋＋b|b||≥1，即 n≥1，所以 m≤1≤n. 【答案】 (1)C (2)m≤n
【名师点评】 绝对值不等式性质的重要作 用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子 不变，分母变小，则分数值变大；分子变大， 分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等 号是否还能成立．
绝对值三角不等式
探究新知
1.绝对值的几何意义：
如：|-3|或|3|表示数-3，3所对应的 点A或点B到坐标原点的距离.
探究新知
绝对值的几何意义：
x 3
即实数x对应的点到坐标原点的距离 小于3.
探究新知
同理，与原点距离大于3的点对应的 实数可表示为：
x 3
探究新知
设a,b是任意两个实数，那么|a-b| 的几何意义是什么？
解析：选 A.∵0<a<1， ∴1<1＋a<2,0<1－a<1. ∴log(1＋a)(1－a)<0.① log(1－a)(1＋a)<0.② A 项左边＝－log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a) ＝－log(1＋a)(1－a)－log1＋a11－a. 令 log(1＋a)(1－a)＝t<0， ∴左边＝－t－1t ＝(－t)＋－1 t>2.
(2) 当 a, b 共线且同向时有
ab a b
探究新知
|a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b|
ab b
a
ab
ab
这个不等式俗称“三角不等式”——
三角形中两边绝之对值和三大于第三边，两边 之差小于第三角边不等式
绝对值三角不等式
综合法 : ab a b , 且当且仅当ab 0取等 a2 b2 2ab a2 b2 2 a b (a b)2 a 2 b 2 2 a b (a b)2 ( a b )2 当且仅当ab 0等号成立
绝对值三角不等式：
若 a,b 是实数，则 a b a b a b
oa b ba o
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b
b
oa
ao
b
综上 ab 0时，a b a b ab 0时，a b a b
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b 当a b 0时，a b a b
应用一： 证明不等式成立源自定理2 如果a、b、c是实数,
-
-------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|
-------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
证明：由绝对值三角不等式
a b b c (a b) (b c) a c
ab bc ac
当且仅当(a b)(b c) 0时等号成立
的点 B 之间的距离.如图:
即，
a b AB a b的几何意义?
关于绝对值还有什么性质呢?
① a a2
a 2 a2
② ab a b , a a ,…… bb
猜想：
① a b 与 a b 之间有什么关系？ ② a b 与 a b 之间有什么关系？
在数轴上表示 a 、b 、a b 时需要注意些什么？
rr r r 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
rr
ab
r
rb
a
rr ab
rr ab
推论 1 a1 a2 L an ≤ a1 a2 L an
绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式
绝对值不等式的解法与绝对值的三角不等式规律方法指导1、解绝对值不等式的基本思路解绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，因此如何去掉绝对值符号是解决这类问题的关键。
常利用绝对值的代数意义和几何意义。
2、解绝对值不等式常用的同解变形①|f(x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x)②|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)③|f(x)|<g(x)-g(x)<f(x)<g(x)④含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解；也可以用函数图像法来解决。
3、绝对值三角不等式等号成立的条件：①取等号②取等号③取等号④取等号经典例题透析类型一：含有一个绝对值符号的绝对值不等式的解法1、解下列不等式（1）；（2）；（3）解析：（1）由原不等式可得,得,∴原不等式的解集是；（2）原不等式可化为,得或整理得,或∴原不等式的解集是；（3）由原不等式可得或整理得或∴原不等式的解集是总结升华：不等式的解集为；不等式的解集为.举一反三：【变式】（2011山东，4）不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A）[-5,7] (B)[-4,6](C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D）(-∞，-4]∪[6,+∞)【答案】D2、解不等式|x2+4x-1|<4解析：原不等式-4<x2+4x-1<4-5<x<-3或-1<x<1.即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）.举一反三：【变式】解不等式|x2+4x-1|>4.【答案】原不等式的解集是（-∞,-5）∪(-3,-1)∪(1, +∞）3、解不等式1|2x-1|<5.解析：法一：原不等式等价于①或②解①得：1x<3 ；解②得：-2< x 0.∴原不等式的解集为{x | -2< x 0或1x<3}法二：原不等式等价于12x-1<5或–5<2x-1-1即22x<6或–4<2x0.解得1x<3或–2<x0.∴原不等式的解集为{x|-2<x0或1x<3}总结升华：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是a|x|b a x b或-b x-a(a0).举一反三：【变式1】解不等式:【答案】原不等式的解集是【变式2】解不等式4＜|x2-5x|≤6.【答案】原不等式等价于不等式组不等式(1)等价于x2-5x＜-4或x2-5x＞4不等式(2)等价于-6≤x2-5x≤6利用数轴取不等式(1)，(2)的解的交集：∴原不等式的解集为：4、解不等式：|4x-3|>2x+1.思路点拨：关键是去掉绝对值符号。
绝对值三角不等式课件
与其他数学知识的结合
绝对值三角不等式与函数
绝对值三角不等式可以应用于函数的性质和图像分析，例如判断函数的单调性、求函数 的极值等。
绝对值三角不等式与数列
在数列的项间关系和求和问题中，绝对值三角不等式可以用来处理带有绝对值的项，简 化计算过程。
在实际生活中的应用
交通规划
在交通路线的规划中，绝对值三 角不等式可以用于计算最短路径 ，优化交通网络。
答案与解析
答案
$(1,0)$ 或 $(0,1)$ 或 $( - 1, - 1)$ 或 $(1, - 1)$
VS
解析
根据绝对值的性质，将不等式转化为 $2a = 2(a + 1)$，解得 $a = -1$，再代入原 式得到 $(b, a) = (0, -1)$ 或 $(1, -1)$。
THANKS
在数列求和中的应用
总结词
绝对值三角不等式可以用于简化数列求和的过程，特别是对于一 些项之间存在一定关系的数列。
详细描述
通过利用绝对值三角不等式，可以将数列中的绝对值项进行放缩， 从而将数列求和问题转化为更容易处理的形式。
举例
例如，对于数列 { a_n }，其中 a_n = |a_(n-1) - a_(n-2)|，可以利 用绝对值三角不等式得出其求和结果。
03
绝对值三角不等式的应用
在不等式证明中的应用
总结词
绝对值三角不等式是证明不等式 的重要工具之一，它可以用于简
化不等式的证明过程。
详细描述
绝对值三角不等式可以用来证明 一些复杂的不等式，通过将不等 式中的绝对值项进行放缩，将其 转化为更容易处理的形式，从而
简化证明过程。
举例
例如，要证明 |a+b| ≤ |a| + |b| ，可以利用绝对值三角不等式直
绝对值三角不等式 课件
2．绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ___a_b_≥__0___时，等号成立． 推论 1：如果 a，b 是实数，那么|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. 推论 2：如果 a，b 是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当 且仅当___(a_－__b_)_(_b_－__c_)≥__0____时，等号成立．
利用绝对值三角不等式证明不等式 已知 f(x)＝x2－2x＋7，且|x－m|＜3，求证：|f(x)－f(m)| ＜6|m|＋15.
【证明】 |f(x)－f(m)|＝|(x－m)(x＋m－2)| ＝|x－m|·|x＋m－2|＜3|x＋m－2| ≤3(|x|＋|m|＋2)． 又|x－m|＜3， 所以－3＋m＜x＜3＋m. 所以 3(|x|＋|m|＋2)＜3(3＋|m|＋|m|＋2) ＝6|m|＋15. 所以|f(x)－f(m)|＜6|m|＋15.
利用绝对值三角不等式求函数的最值 (1)求函数 f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值； (2)求函数 f(x)＝|x－1|－|x＋1|的值域． 【解】 (1)因为|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1| ＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0， 即－1≤x≤1 时取等号， 所以当－1≤x≤1 时，函数 f(x)＝|x－1|＋|x＋1|取得最小值 2.
(2)当 a＝0 时，f(x)＝x； 当－1≤x≤1 时，f(x)的最大值为 f(1)＝1， 不满足题设条件，所以 a≠0. 又 f(1)＝a＋1－a＝1，f(－1)＝a－1－a＝－1， 故 f(±1)均不是最大值． 所以 f(x)的最大值187应在其对称轴上顶点位置取得， 所以 a＜0.
绝对值三角不等式
不小于它们的几何平均。 不小于它们的几何平均。
推广： 推广：
1．如果 a1 , a2 ,⋯ , an ∈ R , n > 1且n ∈ N
+ *
则：
a1 + a 2 + ⋯ + a n 叫做这n个正数的算术平均数。 个正数的算术平均数 叫做这 个正数的算术平均数。 n
n
a1 a 2 ⋯ a n 叫做这 个正数的几何平均数 叫做这n个正数的几何平均数。 个正数的几何平均数
例1、已知x，y，z ∈ R ，求证：
+
（x+y+z） ≥ 27 xyz。
3
变式一、求证： 1 1 1 （ x + y + z )( + + ) ≥ 9 x y z
变式二、求证： 1 1 1 9 （ x + y + z )( + + )≥ x+ y y+z z+x 2
推论: 推论
a+b+c 3 + ≥ abc (a, b, c ∈ R ) 3
2 2
1 = ⋅ 2 x 2 (1 − x 2 )(1 − x 2 ) 2
构造三 个数相 加等于 定值. 定值
将一块边长为a的正方形铁皮 例4.将一块边长为 的正方形铁皮，剪去四个角 将一块边长为 的正方形铁皮， 四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒， ），作成一个无盖的铁盒 （四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒， 要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？ 要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？ x 最大容积是多少？ 最大容积是多少？ 解:设剪去的小正方形的边长为 x a − 2x a 2 则其容积为 : V = x(a − 2 x) , (0 < x < ) a 2
三角不等式绝对值公式
三角不等式绝对值公式在数学中，三角不等式绝对值公式是一条非常重要的定理，它在几何、代数和实际问题中都有广泛的应用。
这个公式告诉我们，对于任意的实数 a 和b，绝对值的和不大于绝对值的和。
具体地说，对于任意的 a 和 b，有：|a + b| ≤ |a| + |b|这个公式的证明比较简单，我们可以通过几何直观地来理解它。
假设 a 和 b 是实数轴上的两个点，那么|a| 表示点 a 到原点的距离，|b| 表示点 b 到原点的距离。
而 |a + b| 则表示点 a + b 到原点的距离。
根据三角不等式的直观解释，我们可以得出结论：无论a 和b 是正数、负数还是零，点 a + b 到原点的距离都不会大于点 a 到原点的距离与点 b 到原点的距离之和。
三角不等式绝对值公式在几何中有着广泛的应用。
例如，在平面几何中，我们经常需要计算两个点之间的距离。
根据三角不等式绝对值公式，我们可以通过计算两个点在横坐标和纵坐标上的距离之和来得到这个距离。
这个应用在计算几何、图形学等领域中非常常见。
在代数中，三角不等式绝对值公式也有着重要的应用。
例如，在求解方程时，我们经常需要对方程两边取绝对值。
根据三角不等式绝对值公式，我们可以将绝对值运算转化为不等式运算，从而简化方程的求解过程。
三角不等式绝对值公式还在实际问题中发挥着重要的作用。
例如，在经济学中，我们经常需要计算两个变量的差的绝对值。
根据三角不等式绝对值公式，我们可以将差的绝对值表示为两个变量的绝对值之和，从而简化计算过程。
三角不等式绝对值公式是数学中一条非常重要的定理，它在几何、代数和实际问题中都有广泛的应用。
通过这个公式，我们可以更加直观地理解绝对值的性质，并简化各种计算和推导过程。
在学习和应用数学时，我们应该充分理解并灵活运用三角不等式绝对值公式，以便更好地解决各种数学问题。
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1.4 绝对值三角不等式 教案1 （新人教选修4-5）
教学目标：
1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简 单的应用。
2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数
学
思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。
教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。
教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。
教学过程： 一、复习引入：
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。
本节课探讨不等式证明这类问题。
1．请同学们回忆一下绝对值的意义。
⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。
几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。
（2）2
a a =， （3）
b a b a ⋅=⋅， （4）
)0(≠=
b b
a
b
a 那么?
b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课：
结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）
已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 方法一：证明:10 .当ab ≥0时, 20. 当ab <0时,
探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系?
b a -
综合10, 20知定理成立.
方法二：分析法，两边平方（略）
定理1 如果,a b 是实数，则a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） b a ,换为向量b a
,情形又怎样呢？
（1）若把
根据定理1，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。
所以，b a b a -≥+。
定理（绝对值三角形不等式）
如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤ 注：当b a ,为复数或向量时结论也成立. 推论1：1212n n a a a a a a ++
++++≤
推论2：如果a b c 、、是实数,那么a c a b b c --+-≤,当且仅当()()0a b b c --≥时,等号成立.
思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？
（设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。
这就是上面的例3。
特别的，取c ＝0（即C 为原点），就得到例2的后半部分。
） 三、典型例题：
例1、已知 2
,2c
b y
c a x <-<
-，求证 .)()(c b a y x <+-+ ||,||||||
=+=====+ab ab a b a b ||,||||||
=-+===<==+ab ab a b a b a
a b
+a b +a b
证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤ （1）
2
,2c b y c a x <-<
- ， ∴c c
c b y a x =+<-+-2
2 （2）
由（1），（2）得：c b a y x <+-+)()(
例2、已知.6,4a
y a x <<
求证：a y x <-32。
证明 6,4a y a x << ，∴2
3,22a
y a x <<，
由例1及上式，a a
a y x y x =+<+≤-2
23232。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。
但这种写法，只能用
于不等号方向相同的不等式。
例 3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km 处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
四、课堂练习：
1.(课本20P 习题1.2第1题)求证:
⑴2a b a b a ++-≥;⑵2a b a b b +--≤ 2. (课本P 19习题1.2第3题)求证:
⑴x a x b a b -+--≥;⑵x a x b a b ----≤ 3．（1）、已知.2,2c
b B
c a A <-<
-求证：c b a B A <---)()(。
（2）、已知.6
,4c
b y
c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。
五、课堂小结：
·10
x
··20
1．实数a 的绝对值的意义:
⑴(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
;（定义）
⑵a 的几何意义:
2．定理（绝对值三角形不等式）
如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤注意取等的条件。