导数及其应用(2)

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导数的应用(2)

点a叫做函数y=f(x)的极大值点. 叫做函数的极大值点. 叫做函数y=f(x)的极小值点. 点b叫做函数的极小值点.
回味反思
我行我能我要成功我能成功
观察下列图像，结合定义思考以下问题：观察下列图像，结合定义思考以下问题：（1）极值是某一点附近的小区间而言） 1、极值是局部性质还是整体而言？、极值是局部性质还是整体而言？是函数的局部性质,不是整体的最值的,是函数的局部性质不是整体的最值是函数的局部性质不是整体的最值; 2、极值唯一吗？、极值唯一吗？（2）函数的极值不一定唯一在整个定）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；义区间内可能有多个极大值和极小值； 3、极大值与极小值大小关系是否确定？、极大值与极小值大小关系是否确定？（3）极大值与极小值没有必然关系，）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. 极大值可能比极小值还小 y P(x1,f(x1)) a x1 Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b x y=f(x)
2 3
x
f ′( x)
f (x)
1 (−∞, ) 12
–
1 12 0
1 ( ,+∞) 12 +
单调递减
49 − 24
单调递增
1 49 1 所以, 所以当 x = 时, f (x)有极小值 f ( ) = − 有极小值 . 12 24 12
练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值
(1) f ( x) = 6x − x − 2; (2) f ( x) = x − 27 x; 3 3 (3) f ( x) = 6 +12x − x ; (4) f ( x) = 3x − x . 解: 列表: (2) 令f ′( x) = 3x2 − 27 = 0, 解得 x1 = 3, x2 = −3.列表

_高中数学第一章导数及其应用2

f(x)＝1x
f ′(x)＝－x12＝－x－2
f(x)＝ x
f ′(x)＝21 x＝12x－12
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝αxα－1.
1．y＝c表示平行于x轴的直线，或与x轴重合的直线，其斜率为0，故y＝c上任一点处的导数值为____0____，直线y＝x的斜率为1，故直线y＝x上任一点处的导数值为___1_____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝ x上，∴y0＝ x0.
在直线l2的方程中令y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
2．当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路程不变化，因此一直处于__静__止____状态，故瞬时速度为___0_____，因此y′＝____0____；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速度为___1_____，故y′＝____1____.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．

_高中数学第一章导数及其应用2

[提示] ΔΔyx＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx
＝2x－x22.
Байду номын сангаас
[问题3] F(x)的导数与f(x)、g(x)的导数有何关系？ [提示] F(x)的导数等于f(x)、g(x)导数和．
[问题 4] 试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． [提示] 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
(3)y′＝(2x2＋3)′·(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′
＝4x·(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
(4)y′＝xl＋n x1′－(2x)′
＝1xx＋x＋1－ 12ln
x －2xln
2
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2.
二. 复合函数的导数
例题 2 求下列函数的导数：
(1)y＝1－12x3；
(2)y＝cos x2；
(3)y＝sin3x－π4； (4)y＝lg(2x2＋3x＋1)．
• [思路点拨] 解答本题可先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解．
解析： (1)设 y＝u13，u＝1－2x，则 y′x＝y′u·u′x ＝u13′·(1－2x)′ ＝－3u－4·(－2) ＝1－62x4. (2)设 y＝cos u，u＝x2，则 y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(x2)′ ＝－sin u·2x ＝－2x·sin x2.
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟练后中间步骤可省略．
特别提醒：只要求会求形如f(ax＋b)的复合函数的导数．

导数的应用(二)

导数应用（二）教学目标：了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值，2010年考试说明要求为B 级。

知识点回顾：1.利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值2.利用导数最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值课前训练：1. 求下列函数的极值（1）x x y 1+=；（2）31431)(3+-=x x x f ；（3）32+=x x y ；（4）x x y cos 2-=，)2,23(ππ∈x （5）ex e y x -=2．求下列函数在所给区间上的值域（1）]3,31[,1)(∈+=x x x x f ；（2）]3,2[,5323-∈+-=x x x y ；（3）]2,0[,sin π∈+=x x x y（4）]2,0[,21∈+-=x x x y ；（5）]2,2[,cos 21ππ-∈-=x x x y ；（6）x x x f sin 21)(+=在 ]2,0[π3.已知函数f(x)= sinx+cosx ，x ∈(0,π2)（1）求0x ，使得0)(0'=x f ；（2）解释（1）中的0x 及)(0x f 的意义。

典型例题：已知0>a ，)ln()(a x x x f +-=，),0(+∞∈x ．若)(x f 在),0(+∞上存在极值，求实数a 取值范围．设函数)1ln (2)1()(2x x x f +-+=．若当]1,11[--∈e ex （其中⋅⋅⋅=71828.2e ）时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围。

课堂检测：1．已知函数qx px x x f --=23)(的图象与x 轴切于点)0,1(，则)(x f 的极大值和极小值分别为和2. 函数()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b 的值为__ __4. 0≠=，且关于x 的函数f(x)=x x ⋅++2331在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为______18．已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-．（Ⅰ）若'(1)3f =，求a 值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．12.已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．(1)求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2)对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。

高三数学总复习优质课件函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值

(A)(0,1)
(B)(1,+∞)
(C)(-∞,1)
(D)(0,+∞)
解析:因为f(x)是R上的减函数且f(2a-1)<f(a),所以2a-1>a,所以a>1,故
选B.
4.若函数f(x)=(m-2)x+b在R上是减函数,则f(m)与f(2)的大小关系是
( A )
(A)f(m)>f(2)
(B)f(m)<f(2)
在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
条件
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(3)对于任意的 x∈I,
(1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M ; 都有 f(x)≥M
;
(2)存在x ∈I,使得 f(x0)=M _
(4)存在x ∈I,使得
所以(2a+2b)x+c=0,所以 c=0,a=-b,

所以二次函数图象的对称轴方程为 x= .

因为 f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,所以 2m< <m+1,所以- <m< .

答案:(- , )

[对点训练3] 若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范
是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=f(g(x))是减函数.在
应用这一结论时,必须注意:函数u=g(x)的值域必须是y=f(u)的单调区间的
子集;
(3)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函

2021届高考数学压轴题专题训练——导数及其应用(2)

2021届高考数学压轴题专题训练——导数及其应用（2）1.已知函数f （x ）=a x +x 2﹣x ln a （a ＞0，a ≠1）．（1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数f （x ）单调增区间；（3）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．2.已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+．（1）若函数()()()h x f x g x =-在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图像的切线，求a b +的最小值；（3）当0b =时，若()f x 与()g x 的图像有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：2122x x e >3.某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m ，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD （AB ＞AD ）为长方形的材料，沿AC 折叠后AB '交DC 于点P ，设△ADP 的面积为2S ，折叠后重合部分△ACP 的面积为1S ．（△）设AB x =m ，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围；（△）求面积2S 最大时，应怎样设计材料的长和宽？（△）求面积()122S S +最大时，应怎样设计材料的长和宽？4.已知()()2ln xf x ex a =++.（1）当1a =时，求()f x 在()0,1处的切线方程；（2）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x <++成立，求实数a 的取值范围.5.已知函数()()()2ln 1f x ax x x a R =--∈恰有两个极值点12,x x ，且12x x <. （1）求实数a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.6.已知函数f （x ）=（ln x ﹣k ﹣1）x （k △R ）（1）当x ＞1时，求f （x ）的单调区间和极值．（2）若对于任意x △[e ，e 2]，都有f （x ）＜4ln x 成立，求k 的取值范围．（3）若x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2），证明：x 1x 2＜e 2k ．7.已知函数()21e 2xf x a x x =--（a ∈R ）. （△）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直，求a 的值；（△）若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；（△）证明：当1x >时，1e ln xx x x>-.8.已知函数321233f xx x x b b R . (1)当0b 时，求f x 在1,4上的值域；(2)若函数f x 有三个不同的零点，求b 的取值范围.9.已知函数2ln 21)(2--=x ax x f . （1）当1=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）讨论函数)(x f 的单调性.10.已知函数1()ln sin f x x x θ=+在[1,]+∞上为增函数，且(0,)θπ∈.（△）求函数()f x 在其定义域内的极值；（△）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得0002()ekx f x x ->成立，求实数k 的取值范围.参考答案1.解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a 的取值范围为a ∈（0，]∪[e ，+∞）．（16分）2.（1）解：h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=，则， △h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（0，+∞）上单调递增， △对△x ＞0，都有，即对△x ＞0，都有，.…………2分 △，△，故实数a 的取值范围是；.…………3分（2）解：设切点为，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，，令，则，.…………6分当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，△，故的最小值为﹣1；.…………7分（3）证明：由题意知，，两式相加得 1ln x ax b x ---211()h x a x x'=+-211()0h x a x x '=+-≥211a x x≤+2110x x+>0a ≤(],0-∞0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00220000011111ln y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭02000112ln 1y x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭010t x =>220011a t t x x =+=+002ln 1ln 21b x t t x =--=---2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--()()2111()21t t t t ttϕ+-'=-+-=()0,1t ∈()()0,t t ϕϕ'<()0,1()1,t ∈+∞()()0,t t ϕϕ'>()1,+∞()()11a b t ϕϕ+=≥=-a b +1111ln x ax x -=2221ln x ax x -=()12121212ln x x x x a x x x x +-=+两式相减得即 △，即，. 9分不妨令，记，令，则，△在上单调递增，则， △，则，△，又△，即，.…………10分令，则时，，△在上单调递增．又，△，即．.…………12分3.（△）由题意，,，.…………1分设，则，由△ADP△△CB'P ，故PA=PC=x ﹣y ，()21221112ln x x x a x x x x x --=-212112ln 1x x ax x x x +=-()21211212122112ln1ln x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪+ ⎪-=++- ⎪⎪⎝⎭1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-= ⎪-⎝⎭120x x <<211x t x =>()21()ln (1)1t F t t t t -=->+()221()0(1)t F t t t -'=>+()21()ln 1t F t t t -=-+()1,+∞()21()ln (1)01t F t t F t -=->=+()21ln 1t t t ->+2211122()ln x x x x x x ->+1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-=> ⎪-⎝⎭1212121212122()ln ln ln 2ln x x x x x x x x x x +-<==2ln 2>1>2()ln G x x x =-0x >212()0G x x x'=+>()G x ()0,+∞1ln 210.8512e =+-≈<ln 1G =>>>2122x x e >AB x =2-BC x =2,12x x x >-∴<<=DP y PC x y =-由PA 2=AD 2+DP 2，得即：..…………3分（△）记△ADP 的面积为，则分当且仅当时，取得最大值．，宽为时，最大．….…………7分（△）于是令分关于的函数在上递增，在上递减，当时，取得最大值．，宽为时，最大．.…………12分4.（1）时，，，，所以在处的切线方程为（2）存在，，即：在时有解；设，令，所以在上单调递增，所以 1°当时，，△在单调增，所以，所以()()2222x y x y -=-+121,12y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭2S ()212=1-233S x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1,2x =2S (2m 2S ()()2121114+2=2123,1222S S x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()31222142+220,2x S S x x x x-+⎛⎫'=--==∴= ⎪⎝⎭∴x 12+2S S ()2∴x =12+2S S (m 12+2S S 1a =()()2ln 1xf x ex =++()2121x f x e x '=++()01f =()10231f '=+=()f x ()0,131y x =+[)00,x ∈+∞()()20002ln f x x a x <++()02200ln 0x ex a x -+-<[)00,x ∈+∞()()22ln xu x e x a x =-+-()2122x u x e x x a'=--+()2122xm x ex x a =--+()()21420x m x e x a '=+->+()u x '[)0,+∞()()102u x u a''≥=-12a ≥()1020u a'=-≥()u x [)0,+∞()()max 01ln 0u x u a ==-<a e >2°当时，设，令，所以在单调递减，在单调递增所以，所以所以设，，令，所以在上单调递增，所以所以在单调递增，△，所以，所以所以，当时，恒成立，不合题意综上，实数的取值范围为.5.（1）因为，依题意得为方程的两不等正实数根，12a <()1ln ln 2x a x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭()11ln 22h x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()11211122x h x x x -'=-=++()102h x x '>⇒>()1002h x x '<⇒<<()h x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()1102h x h ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭11ln 22x x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭()()222ln ln xx u x e x a x e =-+->-2221122x x x e x x ⎛⎫⎛⎫+->-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22102xg x ex x x ⎛⎫=--+≥ ⎪⎝⎭()2221x g x e x '=--()2221xx ex ϕ=--()242420x x e ϕ'=-≥->()2221xx e x ϕ=--[)0,+∞()()010g x g ''≥=>()g x ()0,+∞()()00g x g >>()()00g x g >>()()()22ln 0xu x e x a x g x =-+->>12a <()()22ln f x x a x >++a 12a ≥()ln 2f x a x x '=-12,x x ln 20a x x -=△，，令，，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，当时，，所以 △ 解得，故实数的取值范围是.（2）由（1）得，，，两式相加得，故两式相减可得，故所以等价于，所以所以，即，所以， 0a ≠2ln x a x =()ln x g x x =()21ln x g x x -'=()0,x e ∈()0g x '>(),x e ∈+∞()0g x '<()g x ()0,e (),e +∞()10g =x e >()0g x >()20g e a <<()210g e a e<<=2a e >a ()2,e +∞11ln 2a x x =22ln 2a x x =()()1212ln ln 2a x x x x λ+=+()12122ln ln x x x x aλλ++=()()1212ln ln 2a x x x x -=-12122ln ln x x a x x -=⋅-12ln ln 1x x λλ+>+()1221x x a λλ+>+()()1221x x a λλ+>+()()121212221ln ln x x x x x x λλ-+>+-()()121212ln ln 1x x x x x x λλ+->+-112212ln 11x x x x x x λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>+-因为，令，所以即，令，则在上恒成立，，令， △当时，所以在上单调递减，所以在上单调递增，所以符合题意△当时，所以在上单调递增故在上单调递减，所以不符合题意；△当时，所以在上单调递增，所以所以在上单调递减，故不符合题意综上所述，实数的取值范围是.6.解：（1）△f （x ）=（lnx ﹣k ﹣1）x （k△R ），△x ＞0， =lnx ﹣k ，△当k≤0时，△x ＞1，△f′（x ）=lnx ﹣k ＞0，函数f （x ）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值；△当k ＞0时，令lnx ﹣k=0，解得x=e k ，当1＜x ＜e k 时，f′（x ）＜0；当x ＞e k ，f′（x ）＞0，△函数f （x ）的单调减区间是（1，e k ），单调减区间是（e k ，+∞），在区间（1，+∞）上的极小值为f （e k ）=（k ﹣k ﹣1）e k =﹣e k ，无极大值．（2）△对于任意x△[e ，e 2]，都有f （x ）＜4lnx 成立，120x x <<()120,1x t x =∈()ln 11t t t λλ+>+-()()()ln 110t t t λλ+-+-<()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-()0h t <()0,1()ln h t t t λλ'=+-()ln I t t t λλ=+-()()()2210,1t I t t t t tλλ-'=-=∈1λ≥()0I t '<()h t '()0,1()()10h t h ''>=()h t ()0,1()()10h t h <=0λ≤()0I t '>()h t '()0,1()()10h t h ''<=()h t ()0,1()()10h t h >=01λ<<()01I t t λ'>⇔<<()h t '(),1λ()()10h t h ''<=()h t (),1λ()()10h t h >=λ[)1,+∞△f（x）﹣4lnx＜0，即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0对于x△[e，e2]恒成立，即k+1＞对于x△[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x△[e，e2]，则，△t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，△g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2﹣，要使k+1＞对于x△[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，△k+1＞2﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，+∞）．证明：（3）△f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，e k）上单调递减，在区间（e k，+∞）上单调递增，且f（e k+1）=0，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜e k＜x2＜e k+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，△f（x）在区间（e k，+∞）上单调递增，△f（x2）＜f（），又f（x1）=f（x2），即证f（x1）＜，构造函数h（x）=f（x）﹣f（）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln﹣k﹣1），即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x△（0，e k）h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（+）=（lnx﹣k），△x△（0，e k），△lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，△函数h（x）在区间（0，e k）上单调递增，故h′（x）＜h（e k），△，故h（x）＜0，△f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（），△x1x2＜e2k成立．7（△）由()21e 2x f x a x x =--得()e 1x f x a x '=--. 因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直，所以()010f a '=-=，解得1a =.（△）由（△）知()e 1x f x a x '=--，若函数()f x 有两个极值点，则()e 10x f x a x '=--=，即1e x x a +=有两个不同的根，且1e xx a +-的值在根的左、右两侧符号相反. 令()1e x x h x +=，则()()()2e 1e e e x x x x x x h x -+'==-，所以当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减；当0x <时，()0h x '>，()h x 单调递增. 又当x →-∞时，()h x →-∞；0x =时，()01h =；0x >时，()0h x >；x →+∞时，()0h x →，所以01a <<.即所求实数a 的取值范围是01a <<.（△）证明：令()1e ln x g x x x x=-+（1x >），则()10g =，()2e 1e ln 1x xg x x x x '=+--. 令()()h x g x '=，则()e e ln x xh x x x '=+23e e 2x x x x x -++，因为1x >，所以e ln 0xx >，e 0x x >，()2e 10x x x ->，320x >，所以()0h x '>，即()()h x g x '=在1x >时单调递增，又()1e 20g '=->，所以1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在1x >时单调递增. 所以1x >时，()0g x >，即1x >时，1e ln x x x x>-.20.(1)当0b 时，321233f x x x x ，2'4313f x x x x x .当1,3x时，'0f x ，故函数f x 在1,3上单调递减；当3,4x时，'0f x ，故函数f x 在3,4上单调递增. 由30f ，4143f f . △f x 在1,4上的值域为40,3； (2)由(1)可知，2'4313f xx x x x ，由'0f x 得13x ，由'0f x 得1x 或3x .所以f x 在1,3上单调递减，在,1，3,上单调递增；所以max 413f xf b ，min 3f x f b ，所以当403b且0b ，即403b 时，10,1x ，21,3x ，33,4x ，使得1230f x f x f x ，由f x 的单调性知，当且仅当4,03b时，f x 有三个不同零点.8.（1）当时，函数，， △，， △曲线在点处的切线方程为. （2）. 当时，，的单调递减区间为；当时，在递减，在递增.10.（△）在上恒成立，即. △，△.故在上恒成立1=a 2ln 21)(2--=x x x f x x x f 1)('-=0)1('=f 23)1(-=f )(x f ))1(,1(f 23-=y )0(1)('2>-=x xax x f 0≤a 0)('<x f )(x f ),0(+∞0>a )(x f ),0(a a ),(+∞a a 211()0sin f x x x θ'=-+≥•[1,)-+∞2sin 10sin x x θθ•-≥•(0,)θπ∈sin 0θ>sin 10x θ•-≥[1,)-+∞只须，即，又只有，得. 由，解得. △当时，；当时，.故在处取得极小值1，无极大值.（△）构造，则转化为；若在上存在，使得，求实数的取值范围.当时，，在恒成立，所以在上不存在，使得成立. △当时，. 因为，所以，所以在恒成立.故在上单调递增，，只要，解得. △综上，的取值范围是.sin 110θ•-≥sin 1θ≥0sin 1θ<≤sin 1θ=2πθ=22111()0x f x x x x-'=-+==1x =01x <<()0f x '<1x >()0f x '>()f x 1x =1212()ln ln e e F x kx x kx x x x x+=---=--[1,]e 0x 0()0F x >k 0k ≤[1,]x e ∈()0F x <[1,]e [1,]e 0x 0002()e kx f x x ->0k >2121()e F x k x x +'=+-2222121()kx e x kx e e e x x x++-+++-==[1,]x e ∈0e x ->()0F x '>[1,]x e ∈()F x [1,]e max 1()()3F x F e ke e ==--130ke e -->231e k e +>k 231(,)e e ++∞。

高考二轮复习导数及其应用(2)

一、选择题【山东省莱州一中2012届高三第一次质检理】12.已知函数()(R)f x x ∈导函数f ′()x 满足f ′()x <()f x ，则当0a >时，()f a 与(0)a e f 之间的大小关系为（） A.()(0)a f a e f < B.()(0)a f a e f >C.()(0)a f a e f =D.不能确定，与()f x 或a 有关【答案】A【山东滨州2012届高三期中联考理12.函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m 的取值范围为（）A ．（-24,8）B ．（-24,1]C ．[1,8]D ．[1,8）【答案】D【山东济宁梁山二中2012届高三12月月考理】11. 已知函数在区间上是减函数，则的最小值是 A.B.C.2D. 3【答案】C二、解答题【山东省聊城一中2012届高三上学期期中理】21．（本小题满分12分）函数（I ）当时，求函数的极值；（II ）设，若，求证：对任意，且，都有. 【答案】21.（本小题满分12分）解：（1）当时，函数定义域为（）且)(131)(23R b a bx ax x x f ∈+-+=、[-1,3]b a +3223R ,2)1ln()(2∈-++=b x x b x x f 23=b )(x f x x f x g 2)()(+=2≥b ),1(,21+∞-∈x x 21x x ≥)(2)()(2121x x x g x g -≥-23=b ,2)1ln(23)(2x x x x f -++=+∞-,1令，解得或…………………2分当变化时，的变化情况如下表：+_ 0 +增函数极大值减函数极小值增函数所以当时，，当时，；……………………6分（2）因为，所以，因为，所以（当且仅当时等号成立），所以在区间上是增函数，……………………10分从而对任意，当时，，即,所以. …………12分【山东省临清三中2012届高三12月模拟理】20．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】20．解：（I ）的定义域是．．．．．．．．．．．1分 02)1(232=-++x x 211-=x 212=x x )(),('x f x f x )21,1(--21-)21,21(-21),21(+∞)('x f )(x f 21-=x 2ln 2345)21()(-=-=f x f 极大值21=x 23ln 2343)21()(+-==f x f 极小值x x b x x f 2)1ln()(2-++=)1(122212)('2->+-+=-++=x x b x x b x x f 2≥b 0)('≥x f 0,2==x b )(x f ),1(+∞-),1(,21+∞-∈x x 21x x ≥)()(21x f x f ≥22112)(2)(x x g x x g -≥-)(2)()(2121x x x g x g -≥-14341ln )(-+-=xx x x f )(x f 42)(2-+-=bx x x g )2,0(1∈x []2,12∈x )()(21x g x f ≥b 14341ln )(-+-=xx x x f (0,)+∞．．．．．．．．．．．．．．． 2分由及得；由及得，故函数的单调递增区间是；单调递减区间是．．．．．4分（II ）若对任意，，不等式恒成立，问题等价于，．．．．．．．．．5分由（I ）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以；．．．．．．．6分当时，；当时，；当时，；．．．．．．．．．．．．8分问题等价于或或．．．．．．．．11分解得或或即，所以实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【山东省聊城市五校2012届高三上学期期末联考】20. （本小题满分12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：880312800013+-=x x y )1200(≤<x .已知甲、乙两地相距100千米.（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？22243443411)(x x x x x x f --=--='0>x 0)(>'x f 31<<x 0>x 0)(<'x f 310><<x x 或)(x f )3,1(),3(,)1,0(∞+)2,0(1∈x []2,12∈x )()(21x g x f ≥max min )()(x g x f ≥(0,2)1x =min 1()(1)2f x f ==-[]2()24,1,2g x x bx x =-+-∈1b <max ()(1)25g x g b ==-12b ≤≤2max ()()4g x g b b ==-2b >max ()(2)48g x g b ==-11252b b <⎧⎪⎨-≥-⎪⎩212142b b ≤≤⎧⎪⎨-≥-⎪⎩21482b b >⎧⎪⎨-≥-⎪⎩1b <12b ≤≤b ∈∅b ≤b ,⎛-∞ ⎝⎦【答案】20. （I ）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040=2.5小时，[来源:Z§xx§]要耗油(1128000×403－380×40+8)×2.5=17.5（升）.所以，当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5.（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=(1128000x 3－380x+8)·100x =11280x 2+800x －154(0＜x ≤120)，h '(x)=232640640800800640xx x x ⋅-=-(0＜x ≤120)，令h '(x)=0得x=80当x ∈(0,80)时，h '(x)＜0,h(x)是减函数；当x ∈(80,120)时，h '(x)＞0,h(x)是增函数,∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【山东省莱州一中2012届高三第一次质检理】19.（本小题满分12分）32()f x x ax bx c =+++在1x =、2x =-处取得极值（1）求a 、b 的值. （2）若[]113,2,()2x f x c ∈->-恒成立，求c 的取值范围. 【答案】19.（1）f ′()x 2320x ax b =++=的两根为1,2-23132623aa b b ⎧-=-⎧⎪=⎪⎪∴∴⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎩11722c c ∴-<-即2311c c c-->0c <<或c >. 【山东省莱州一中2012届高三第一次质检理】22.（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)().f x x ax a x a R =---∈ （1）当1a =时，求函数()f x 的最值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）试说明是否存在实数(1)a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点. 【答案】22.解：（1）函数2()ln(1)()f x x ax a x a R =---∈的定义域是(1,)+∞.当1a =时，f ′()x 32()122111x x x x x -=--=--，所以()f x 在3(1,)2为减函数，在3(,)2+∞为增函数，所以函数()f x 的最小值为33()ln 224f =+.(2) f ′()x 22()22,11a x x a x a x x +-=--=-- 若0a ≤时，则22()221,()021a x x a f x x +-+≤=>-在(1,)+∞恒成立，所以()f x 的增区间为(1,)+∞. 若0a >，则212a +>，故当21,2a x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，f ′()x 22()201a x x x +-=≤-，[来源:学#科#网] 当2,2a x +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，22()2()0,1a x x f x x +-=≥- 所以0a >时()f x 的减区间为21,2a +⎛⎤ ⎥⎝⎦，()f x 的增区间为2,2a +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）1a ≥时，由（2）知()f x 在(1,)+∞上的最小值为22()1ln 242a a af a +=-+-，令22()()1ln 242a a ag a f a +==-+-在[)1,+∞上单调递减，所以max 3()(1)ln 24g a g ==+，则max 51()(ln 2)088g a -+=>，因此存在实数(1)a a ≥使()f x 的最小值大于5ln 28+，故存在实数(1)a a ≥使()y f x =的图象与5ln 28y =+无公共点.【山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中理】22.（本小题满分12分）建造一条防洪堤，其断面为如图等腰梯形ABCD ，腰与底边所成角为60︒，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为63平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小. (1) 求外周长的最小值，此时防洪堤高h 为多少？(2) 如防洪堤的高限制在[3,32]范围内，外周长最小为多少米？【答案】22解：（1）由题意，所以12(2BC+233h)h= 63, BC=63h -33h …………………4分设外围周长为，则当，即时等号成立.……………………6分所以外围的周长的最小值为米，此时堤高米. --------------8分（2）由（1），由导数或定义可证明在单调递增，…10分所以的最小值为米（当） -------------------1236)(21=+h BC AD h BC h BC AD 33260cot 20+=+=l 26363333660sin 220≥+=-+=+=h h h h h BC AB l hh 363=6=h 266=h )6(3hh l +=]24,3[∈h l 3533633=+⨯3=h分【山东省济宁市鱼台一中2012届高三第三次月考理】21．（12分）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．（1）求面积S 以x 为自变量的函数式,并写出其定义域; （2）求面积S 的最大值．【答案】21．解: 以AB 所在的直线为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．椭圆方程为222214y x r r+=设(,)C x y 则y =（1）1(22)2(2S x r r x =+⋅=+定义域为{}0x x r <<．（2）由（1）知2(S r x =+=设222g(x)=(r+x)(r -x )则22()(2)g (x)x r x r '=-+- 由0g (x)'=得2r x =当02r x <<0g (x)'>当2rx r <<0g (x)'< ∴当2r x =时g(x)取最大值,S 取最大值, 【山东济宁金乡一中2012届高三12月月考理】22、（本小题满分15分）设函数（Ⅰ）求函数的极值点；（Ⅱ）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有，求p 的取值范围；（Ⅲ）证明：()ln 1f x x px =-+()f x 0)(≤x f ).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n【答案】22、解：（1）， …………2分当上无极值点…………3分当p>0时，令的变化情况如下表：…………4分从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点…………5分（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，…………7分要使恒成立，只需，…………8分∴∴p 的取值范围为[1，+∞…………10分（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，∴，…………11分∴…………12分 ∴ …………13分),0()(,1ln )(+∞∴+-=的定义域为x f px x x f x pxp x x f -=-='11)(),0()(,0)(0+∞>'≤在时，x f x f p x x f x f p x x f 随、，)()(),,0(10)('+∞∈=∴='()f x p x 1=1x=p 11()lnf pp =()0f x £11()ln 0f p p = 1p ³)2,1ln ,01ln ≥∈-≤∴≤+-n N n x x x x ，1ln 22-≤n n 22222111ln n n n nn -=-≤)11()311()211(ln 33ln 22ln 222222222n n n -++-+-≤+++ )13121()1(222n n +++--=…………14分…………15分∴结论成立【山东济宁梁山二中2012届高三12月月考理】21．（本小题满分12分）已知函数，．（1）设（其中是的导函数），求的最大值；（2）证明: 当时，求证：；（3）设,当时,不等式恒成立,求的最大值．【答案】21．解:（1）,所以．当时，；当时，．因此，在上单调递增，在上单调递减．因此，当时，取得最大值；（2）当时，．由（1）知：当时，，即．因此，有．（3）不等式化为所以对任意恒成立．令，则， ))1(1431321()1(+++⨯+⨯--<n n n )11141313121()1(+-++-+---=n n n )1(212)1121()1(2+--=+---=n n n n n ()ln f x x =21()22g x x x =-/()(1)()h x f x g x =+-/()g x ()g x ()h x 0b a <<()(2)2b af a b f a a-+-<k Z ∈1x >/(1)()3()4k x xf x g x -<++k /()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+1x >-1()111xh x x x -'=-=++10x -<<()0h x '>0x >()0h x '<()h x (1,0)-(0,)+∞0x =()h x (0)2h =0b a <<102b aa--<<10x -<<()2h x <ln(1)x x +<()(2)lnln 1222a b b a b af a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭/(1)()3()4k x xf x g x -<++ln 21x x xk x +<+-ln 21x x xk x +<+-1x >()ln 21x x x g x x +=+-()()2ln 21x x g x x --'=-令，则，所以函数在上单调递增．因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．当，即，当，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以．所以．故整数的最大值是．【莱州一中2012高三第三次质量检测理】22.（本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数(),n n f x x n =∈ N *，其导函数记为()n f x '，且满足222121221()()[(1)]f x f x f ax a x x x -'+-=-，其中a 、1x 、2x 为常数，12x x ≠.设函数()g x = 123()()ln (),(f x mf x f x m +-∈R 且0)m ≠.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()g x 无极值点，其导函数()g x '有零点，求m 的值；（Ⅲ）求函数()g x 在[0,]x a ∈的图象上任一点处的切线斜率k 的最大值. 【答案】22.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为222(),()2f x x f x x '==，所以222112212[(1)]x x ax a x x x -+-=-，整理得：12()(21)0,x x a --=又12x x ≠，所以12a =.…………………………………………3分（Ⅱ）因为23123(),(),()f x x f x x f x x ===，所以2()3ln (0)g x mx x x x =+->.…………………………4分()ln 2h x x x =--()1x >()1110x h x x x-'=-=>()h x ()1,+∞()()31ln30,422ln 20h h =-<=->()0h x =()1,+∞0x ()03,4x ∈01()0x x h x <<<时，()0g x '<0()0x x h x >>时，()0g x '>()ln 21x x xg x x +=+-()01,x ()0,x +∞()()()()()000000min001ln 122225,611x x x x g x g x x x x ++-==+=+=+∈⎡⎤⎣⎦--()()0min 25,6k g x x <=+∈⎡⎤⎣⎦k 5导数2 由条件23230,()21mx x x g x mx x x+-'>=-+=.……………………5分因为()g x '有零点而()g x 无极值点,表明该零点左右()g x '同号，又0m ≠，所以二次方程2230mx x +-=有相同实根，即1240,m ∆=+= 解得124m =-.…………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，2133,()21,22a k g x mx k m x x ''===-+=+，因为1(0,]2x ∈，所以23x ∈[12，+∞]，所以①当60m -≤<或0m >时，0k '≥恒成立，所以()k g x '=在（0，12]上递增，故当12x =时，k 取得最大值，且最大值为5m -，…………10分 ②当6m <-时，由0k '=得x =，而102<.若x ∈，则0k '>，k 单调递增；若1]2x ∈，则0k '<，k 单调递减.故当x =时，k 取得最大值，且最大值等于2311=-…………………13分综上，max5,(600)16)m m m k m --≤<>⎧⎪=⎨-<-⎪⎩或…………………………14分。

202新数学复习第二章函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值学案含解析

第二节函数的单调性与最值课标要求考情分析1。

理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。

1。

主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题．2．题型以选择题、填空题为主，若与导数交汇命题则以解答题的形式出现,属中高档题.知识点一函数的单调性1．增函数、减函数的定义定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2:(1)增函数：当x1〈x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f（x)在区间D上是增函数；（2）减函数：当x1〈x2时，都有f（x1）〉f(x2)，那么就说函数f(x）在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y ＝f（x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．注意以下结论1．对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，错误!>0⇔f(x)在D上是增函数，错误!<0⇔f（x)在D上是减函数．2．对勾函数y＝x＋错误!(a〉0）的增区间为(－∞,－错误!]和［错误!，＋∞）,减区间为[－错误!，0）和(0，错误!]．3．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．4．函数f(g（x))的单调性与函数y＝f（u）和u＝g(x）的单调性的关系是“同增异减”．知识点二函数的最值1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）(1）对于函数f（x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有（x1－x2）[f（x1）－f(x2)］〉0,则函数f（x)在区间D上是增函数．(√)（2）函数y＝1x的单调递减区间是（－∞,0）∪(0,＋∞)．（×）（3）对于函数y＝f(x）,若f(1）<f（3)，则f（x)为增函数．(×)（4）函数y＝f（x）在［1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1,＋∞）．（×）解析:（2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1,则f（－1)〈f(1），故应说成单调递减区间为(－∞,0）和（0,＋∞）．(3）应对任意的x1<x2，f（x1)〈f(x2）成立才可以．（4)若f（x)＝x,f（x)在[1，＋∞）上为增函数，但y＝f(x）的单调递增区间是R.2．小题热身（1)下列函数中,在区间（0，＋∞)内单调递减的是（A）A．y＝错误!－x B．y＝x2－xC．y＝ln x－x D．y＝e x(2）函数f（x)＝－x＋错误!在区间错误!上的最大值是(A)A．错误!B．－错误!C．－2 D．2（3)设定义在[－1，7］上的函数y＝f(x)的图象如图所示,则函数y＝f（x)的增区间为［－1,1]和[5,7］．(4）函数f（x）＝错误!的值域为（－∞，2）．（5）函数f(x）＝错误!在[2,6]上的最大值和最小值分别是4,错误!.解析：（1）对于A,y1＝错误!在(0，＋∞）内是减函数，y2＝x在（0，＋∞)内是增函数，则y＝1x－x在（0，＋∞)内是减函数；B,C选项中的函数在（0，＋∞）上均不单调；选项D中，y＝e x 在(0,＋∞）上是增函数．（2）∵函数y＝－x与y＝错误!在x∈错误!上都是减函数，∴函数f（x)＝－x＋错误!在错误!上是减函数，故f(x）的最大值为f（－2）＝2－错误!＝错误!.(3）由图可知函数的增区间为[－1，1］和［5,7]．（4）当x≥1时，f(x）＝log错误!x是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；x<1时，f（x）＝2x是单调递增的,此时,函数的值域为（0,2)．综上，f（x)的值域是(－∞,2)．(5）函数f（x）＝错误!＝错误!＝2＋错误!在［2，6]上单调递减，所以f（x）min＝f（6)＝错误!＝错误!。

§3.3-导数的应用(二)

第5页
●利用导数解决实际问题中的最值问题的注意事项 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去. (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)＝0的情形，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值. (3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围.
A.－2
B.0
C.2
D.4
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2(舍去).
比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2. 答案：C
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3.已知函数f(x)= 1 x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数 2
m的取值范围是()
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创新预测3某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分),形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边),已知 AB=2km,BC=6km,AE=BF=4km,其中AF是以A为顶点､AD为对称轴的抛物线段.试求该高科技工业园区的最大面积. 解析:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD 所在直线为y轴建立直角坐标系,如图,则 A(0,0),F(2,4),
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规律方法:不等式f(x)≥m(或≤m)恒成立的问题可以转化为求函数f(x)的最小(大)值问题,f(x)≥m恒成立,即m≤f(x)min,f(x)≤m恒成立即f(x)max≤m.
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创新预测2设函数f(x)= 1 x2+ex-xex. 2
(1)求f(x)的单调区间; (2)若当x∈【 -2，2】时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m. 解析:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), 因为f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex), 由f′(x)=x(1-ex)>0得x<0,由f′(x)<0得x>0, 则f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).

《2.13导数的应用(Ⅱ)》教案

导数的应用（Ⅱ）
适用学科适用区域知识点数学新课标用导数处理恒成立问题利用导数解决生活中的优化问题 1.能利用导数研究函数的单调性、极值或最值，并会解决与之有关的不等式问题． 2.会利用导数解决某些简单的实际问题. 用导数处理恒成立问题用导数处理恒成立问题适用年级课时时长（分钟）高三 60
)
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x＋ 3 3 解析：选 B 2xln x≥－x2＋ax－3，则 a≤2ln x＋x＋x ，设 h(x)＝2ln x＋x＋x (x>0)，则 h′(x)＝
x－ x
2
.当 x∈
(0,1)时，h′(x)<0，函数 h(x)单调递减；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)min＝h(1)＝4.所以 a≤h(x)min ＝4.
7 / 34
【解析】 (1)依题意，知 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1 1 1 当 a＝b＝2时，f(x)＝ln x－4x2－2x， 1 1 1 －x＋2x－1 f′(x)＝x－2x－2＝， 2x 令 f′(x)＝0，解得 x＝1(x＝－2 舍去)．当 0<x<1 时，f′(x)>0，此时 f(x)单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，此时 f(x)单调递减． 3 所以 f(x)的极大值为 f(1)＝－4. 3 又因为 f′(x)＝0 在(0，＋∞)上有唯一解，所以 f(x)的最大值为－4. a (2)由题意得 F(x)＝ln x＋ x，x∈(0,3]，则 x0 － a 1 k＝F′(x0)＝ x2 ≤2在 x0∈(0,3]上恒成立， 0 1 所以 a≥－2x2 0＋x0max，x0∈(0,3]． 1 1 1 当 x0＝1 时，－2x2 0＋x0 取得最大值，所以 a≥ . 2 2

导数的应用(二)

－hx，且 f(x)∈Ω1，f(x)∉Ω2，则实数 h 的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) 答案 C
D．(－∞，0]
解析因为 f(x)∈Ω1 且 f(x)∉Ω2，即 g(x)＝fxx＝x2－2hx－h 在(0，＋∞) 上是增函数，所以 h≤0，而 h(x)＝fxx2＝x－hx－2h 在(0，＋∞)上不是增函数，因为 h′(x)＝1＋xh2，所以当 h(x)在(0，＋∞)上是增函数时，有 h≥0，当 h(x)在(0，＋∞)上不是增函数时，有 h<0.综上所述，实数 h 的取值范围是(－∞，0)，故选 C．
A．f(0)>f(log32)>f(－log23) B．f(log32)>f(0)>f(－log23) C．f(－log23)>f(log32)>f(0) D．f(－log23)>f(0)>f(log32) 答案 C
解析因为 f′(x)是奇函数，所以 f(x)是偶函数．所以 f(－log23)＝ f(log23)，而 log23>log22＝1,0<log32<1，所以 0<log32<log23.又当 x>0 时， f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以 f(0)<f(log32)<f(log23)，所以 f(0)<f(log32)<f(－log23)．
∴当 a≥1 时，f(x)min＝f(1)＝1>0 恒成立，当 a<1 时，f(x)min＝f(a)＝2a－a2≥0，∴0≤a<1. 综上，a≥0. 当 x>1 时，f(x)＝x－aln x≥0 恒成立，即 a≤lnxx恒成立．

202新数学复习第二章函数导数及其应用2.2.2利用导数证明不等式学案含解析

第2课时利用导数证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有:(1）直接构造法:证明不等式f(x）〉g(x)（f（x)<g(x))转化为证明f(x)－g（x）>0（f（x）－g(x）〈0），进而构造辅助函数h（x）＝f(x）－g(x)；(2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，e x≥x＋1，ln x〈x<e x（x〉0),错误!≤ln（x＋1)≤x（x>－1）；(3)特征分析构造法：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构"构造辅助函数；(4）构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f（x)和g(x)，利用其最值求解．方法1直接构造差函数法【例1】已知函数f(x)＝1－错误!,g(x)＝错误!＋错误!－bx(e为自然对数的底数），若曲线y＝f(x)与曲线y＝g（x）的一个公共点是A（1,1）,且在点A处的切线互相垂直．(1）求a，b的值；(2)求证：当x≥1时,f（x）＋g(x)≥错误!.【解】（1）因为f（x)＝1－ln x x，所以f′（x)＝错误!，f′（1)＝－1。

因为g(x)＝错误!＋错误!－bx，所以g′(x）＝－错误!－错误!－b。

因为曲线y＝f(x）与曲线y＝g(x）的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g（1）＝1，且f′（1)·g′(1)＝－1，即g(1）＝1＋a－b＝1，g′（1）＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1。

（2)证明：由(1)知,g（x）＝－错误!＋错误!＋x,则f(x)＋g（x)≥2x⇔1－错误!－错误!－错误!＋x≥0.令h(x)＝1－错误!－错误!－错误!＋x(x≥1),则h′(x)＝－错误!＋错误!＋错误!＋1＝错误!＋错误!＋1.因为x≥1，所以h′(x)＝ln xx2＋错误!＋1>0，所以h(x）在[1，＋∞)上单调递增，所以h（x)≥h（1)＝0,即1－错误!－错误!－错误!＋x≥0,所以当x≥1时,f(x)＋g(x）≥错误!。

导数的应用2----函数极值

令 f ( x ) 0 ,得-ax2-2bx+a=0,Δ =4b2+4a2>0, 故 f ( x ) 0 有不相等的两实根α、β,设α<β. 又设g(x)=-ax2-2bx+a, 由于-a<0,g(x)的图象开口向下,g(x)的值在α的右正左负,在β的左正右负. 注意到 f ( x ) 与g(x)的符号相同,可知α为极小值点, β为极大值点.
论
1、可导函数的极值点

3
导数为0
不可导点也可能是极值点，主要按定义判断 2**、（即左右导数异号）拓展例.求函数f ( x )
(2 x x 2 ) 2的极值
（答案见下页）
知识拓展
例.求函数f ( x) 3 (2 x x 2 ) 2的极值
4(1 x) f ( x) 3 3 x(2 x)
'
解 : f ( x)的定义域为(, )
令f ' ( x) 0, 解得x 1 当x 0及x 2时, f ' ( x)不存在.
由x 0, x 1, x 2, 将定义域分成四个区间, f ' ( x), f ( x)的变化情况如表 :
x f’(x) f(x) (-∞, 0) ↘ 0 不存在极小值0 (0,1) + ↗ 1 0 极大值1 (1,2) ↘ 2 不存在极小值0 (2,+∞) + ↗
x (b, …) f ’(x) -
(…,b) b 0 + f ’(x)
x
(…,a) a 0 f(a)
(a, …) +
f (x)
f(b)
f (x)
（4）结论
表格法
注意：表格要体现定义域

第一讲导数偏导数及其应用(2)

第一讲导数、偏导数及其应用(第二次作业)二、求多元函数的偏导数1．具体函数的偏导数 30．（1）设z =，则 z zxyx y∂∂+∂∂= ．（2）设1(,)sin ln 1xy xf x y e x y -+=++，则(1,0)x f '= ．（3）设(,)arctan1x xyf x y xy+=-，则(1,2)x f '= ．（4）设u =，则222222u u ux y z ∂∂∂++∂∂∂= ．（5）设223d x y t xz e t --=⎰，则2zx y∂∂∂= ． 31．设222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩则(0,0)y f '= ( ).(A)4 (B) 2 (C)1 (D) 0 【答】B2．抽象函数的偏导数 32．设 x z xy f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()f u 为可导函数，求 z zx y x y ∂∂+∂∂． 33．设 22(23,)z f x y x y =-+，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求 2zx y∂∂∂．34．设 (,)y z f x xy x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶导数，求 2z x y ∂∂∂．35．设函数()f u 具有二阶连续导数，(sin )xz f e y =满足方程 22222x z ze z x y∂∂+=∂∂，求()f u ． 36．设变换2u x y v x ay=-⎧⎨=+⎩可将方程2222260z z zx x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20z u v ∂=∂∂,求常数a . 3．一个方程确定的隐函数的（偏）导数 37．设x y z z ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()u ϕ为可导函数，求 z z xy x y ∂∂+∂∂． 38．设(),0f cx az cy bz --=，求 z zab x y∂∂+∂∂． 39．设()y y x =由方程1yy xe -=确定，求202d d x yx =的值．[92-3]【答】22e ．40．证明由方程,0z z F x y y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定的函数(,)z z x y =满足z z x y z xy x y ∂∂+=-∂∂．41．设(,)z z x y =是由zz e xy +=确定的二元函数，求2(1,1)zx y∂∂∂.4．由方程组确定的隐函数的（偏）导数42．设(,),(,)z f x y x y z ϕ==，其中,f ϕ都是可微函数，求d d y x． 43．设(,),(,)u u x y v v x y ==是由方程组sin ,cos uux e u v y e u v⎧=+⎪⎨=-⎪⎩确定的函数，求,u v x x ∂∂∂∂. 【答】sin cos ,(sin cos )1[(sin cos )1]uu uu v v v e x e v v x u e v v ∂∂-==∂-+∂-+. 5．函数的全微分44．当2,1x y ==时，函数22ln(1)z x y =++的全微分d z = ．【答】21d d 33x y + 45．由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z = ．【答】d x y46．设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（）．（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续（B ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微（C ）一元函数0(,)f x y 在点0x 处可导（D ）以上答案都不对【答】C47．函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在是函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续的（）. （A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要的条件【答】D48．函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在是函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微的（）. （A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要的条件【答】B49．设函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩，则(,)f x y 在点(0,0)处（）.(A)偏导数不存在 (B)偏导数存在但不可微 (C)可微但偏导数不连续 (D)偏导数连续【答】B50．设函数222222()0,(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩，则(,)f x y 在点(0,0)处（）.（A ）,f f x y ∂∂∂∂不存在（B ）,f fx y∂∂∂∂连续（C ）可微（D ）不连续【答】C6、方向导数与梯度51．已知u 是曲线2226,0x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩在点(1,2,1)处的切线向量，且它与与oz 轴正向夹角为锐角，求函数(,,)f x y z =在点(1,1,0)-处沿方向向量u 的方向导数fu∂∂. 【答】01(1,1,0)(1,1,0)2D f f -=∇-=-u u． 52．设u 为抛物线24y x =在点(1,2)处与x 轴正方向夹角为锐角的单位切向量，则函数ln()z x y =+在点(1,2)处沿u 方向的方向导数为．【答】353．已知u 是空间曲线Γ：22,,4x t y t z t t ===- 在点(1,1,3)P -处的切线向量，且它与Oz 轴正向夹角为锐角，求函数2(,,)f x y z x y z =+在点P 处沿方向向量u 的方向导数f u∂∂. 【答】{}012,3,1,233322f f u ∂⎧⎫==---=⎨⎬∂⎩⎭grad u ，． 54．求函数22(,)f x y x y =-在点P 处沿曲线22221x y a b +=在该点的外法线方向的方向导数. 【答】00fgrad f n∂==∂n ． 55．函数()222ln u x y z =++在点(1,1,1)处的最大方向导数是 .三、一元函数导数的应用 1．求曲线的切线与法线56．（1）求曲线3y x =在点(1,1)处的切线与法线的方程．（2）过点(2,0)作曲线3y x =的切线，求此切线方程．57．已知曲线2y ax =（a 为常数）与ln y x =在点x b =处有公共切线，求,a b 的值．58．求极坐标方程(1cos )a ρθ=+的图形对应3πθ=处的切线方程．59．若曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切，其中,a b 是常数，则（）. （A ） 0,2a b ==- （B ）1,3a b ==- （C ） 3,1a b =-= （D ）1,1a b =-=- 60．设)(x f 为可导函数，它在0=x 的某邻域内满足)(3)1(2)1(x o x x f x f +=--+，其中)(x o 是当0→x 时比x 高阶的无穷小量，则曲线)(x f y =在点())1(,1f 处的切线方程为（）.(A)2+=x y (B)1+=x y (C)1-=x y (D)2-=x y61．设函数n x x f )(ln )(=的图形在点)1,(e 处的切线与x 轴的交点坐标为)0,(n a ，试求)(lim n n a f ∞→.2．一元函数的单调性与极值62．讨论函数1233()(1)(2)f x x x =--的单调区间与极值．63．设2()()lim1()x a f x f a x a →-=--，则在点x a =处（）. （A ） ()f x 的导数存在，且()0f a '≠ （B ）()f x 取得极大值（C ） ()f x 取得极小值（D ）()f x 的导数不存在64．已知常数0a >，问方程xe ax =有几个实数根？3．一元函数图形的凹凸性65．求曲线x y xe -=的凹凸区间与拐点． 66．用导数知识画出函数1(6)xy x e =+的图形．67．如果()()f x f x -=，且在(0,)+∞内，()0,()0f x f x '''>>，则在(,0)-∞内，（）．（A ）()0,()0f x f x '''>> （B ） ()0,()0f x f x '''>< （C ）()0,()0f x f x '''<> （D ）()0,()0f x f x '''<<68．设函数()f x 在(,)a b 内连续，其导函数的图形如右，记p 为函数()f x 的极值点个数，q 为()f x 图形的拐点个数，则（）．（A ）4,1p q == （B ）4,2p q == （C ） 3,2p q == （D ）2,3p q == 69．设()t ϕ是正值连续函数，()||()d a af x x t t t ϕ-=-⎰，(0)a x a a -≤≤>，证明函数()f x 在区间[,]a a -上的图形是向上凹的．70．先将函数)1ln()(2x x x f +=展开成带佩亚诺余项的7阶麦克劳林公式，再求)0()7(f ，并问点(0,0)是否为该函数图形的拐点？4．函数的最大值与最小值71．用输油管把离岸12公里的一座油井和沿岸往下20公里处的炼油厂连接起来（如图5.1.8），如果水下输油管的铺设成本为每公里50万元，陆地输油管的铺设成本为每公里30万元.问应如何铺设水下和陆地输油管，使总的连接费用最小？【答】最小的连接成本为1080万元，最优的连接方案为：从炼油厂沿岸在陆地上铺设11公里到D 点，然后在水下铺设15公里的管道AD . 72．某种疾病的传播模型为()1tPf t ce -=+，其中P 是总人口数，c 是固定常数，)(t f 是到t 时刻感染该病的总人数，求（1）该种疾病的传播速率；（2）当传播速率最大时，感染该病的总人数．第68题图73．三角形由0,230,3=-==y x y x y 围成，在三角形内作矩形ABCD ，其一边AD 与x 轴重合，另两顶点B 、C 分别在x y x y 230,3-==上，求此长方形面积的最大值．5．用洛必达法则及泰勒公式求不定型极限74．设()f x 在0x 处二阶可导，求极限00020()2()()lim h f x h f x f x h h →+-+-．75．计算下列极限（1）30sin limx x x x →- （2）0x → （3）2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭（4）()21lim 1tan 2x xx π→- （5）0lim xx x+→ （6）()12lim 2xxx x →∞+（7）2112lim sin cos x x x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （8）sin lim sin x x x x x →∞-+ （9）x x dt e x xt x sin lim 002-⎰--→76．计算极限 2230cos limln(1)x x x ex x -→-+．77．设()f x 在点0x =的某邻域内可导，且320sin 3()lim 0x x f x xx →⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求（1）(0),(0),(0)f f f '''；（2）2203()lim 0x f x x x →⎛⎫+=⎪⎝⎭．78．设 20ln(1)()lim 2x x ax b x →+-+=，则（）．（A ） 51,2a b ==- （B ）0,2a b ==-（C ） 50,2a b ==- （D ）0,2a b ==-【答】（A ）6．变化率与相关变化率79．一容器的侧面和底面分别由曲线段)21(12≤≤-=x x y 和直线段)10(0≤≤=x y 绕y 轴旋转而成（坐标单位长度为1米），若以每分钟1立方米的速度向容器内注水，求当水面高度达到容器深度一半时，水平面上升的速度．【答】π52(米/分) ８０．现有甲乙两条正在航行的船只，甲船向正南航行，乙船向正东直线航行．开始时甲船恰在乙船正北 40 km 处，后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20 km ，此时速度为 15 km/h ；乙船向东航行了15 km ，此时速度为 25 km/h ．问这时两船是在分离还是在接近，速度是多少？【答】它们正以3 km/h 的速度彼此远离．四、多元函数偏导数的应用1. 空间曲线的切线和法平面81．空间曲线23,2,1x t y t t z t ==-=-在对应于1t =的点处的切线方程是．【答】11103x y z-+== 82．设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则下列结论正确的是（）.（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微（B ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续（C ）曲线0(,),z f x y x x =⎧⎨=⎩在点0000(,,(,))x y f x y 的切线方向向量为00{0,1,(,)}x f x y '（D ）曲线0(,),z f x y y y =⎧⎨=⎩在点0000(,,(,))x y f x y 的切线方向向量为00{1,0,(,)}x f x y '【答】D83．证明：圆柱螺旋线Γ：cos ,sin ,x a t y a t z bt ===在任意一点处的切线都与某定直线交成相等的夹角.【证明】曲线Γ上任意一点的切向量为：{(),(),()}{sin ,cos ,}x t y t z t a t a t b '''==-T .因为cos γ=为常数，所以T 与k 交成相等的夹角，即圆柱螺旋线上任意一点处的切线都与z 轴交成相等的夹角.84．曲线23,,x t y t z t ===的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线（）. (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条 (D)不存在【答】B2. 曲面的切平面和法线85．求曲面22823z x y =--在点(1,1,3)-处的切平面方程与法线方程. 【答】46130x y z -+-=．113461x y z -+-==--． 86．已知曲面222z x y z =++上点P 处的切平面与平面220x y z -+=平行，求点P 的坐标以及曲面在该点的切平面方程. 【答】 12202x y z -++= 以及 52202x y z -+-=． 87．曲面 222x y z +=在点(1,1,1)-处的法线方程为．【答】111111x y z -+-==-- 88．曲面2221z x y =++在点(1,1,4)M -处的切平面方程为 . 【答】4220x y z ---= 3. 多元函数的极值与条件极值89．求函数3322(,)33f x y x y x y =+--的极值.【答】(0,0)0f =为函数的极大值；(2,2)8f =-为函数的极小值．90．设4422(,)2,(1,1)f x y x y x xy y A =+---和(1,1)B --是函数的驻点，则（）. (A)A 是极大点，B 是极小点 (B)A 及B 都是极大点 (C)A 是极小点，B 是极大点 (D)A 及B 都是极小点【答】D91．某工厂生产甲、乙两种产品，其销售价格分别为每台12万元与每台18万元，总成本C 是两种产品产量x 和y （单位：台）的函数22(,)224C x y x xy y =+++（单位：万元），问：当两种产品的产量各为多少台时，可获最大利润？最大利润是多少？【答】生产甲产品2台，乙产品4台时，利润最大，对应的最大利润为44万元．92．在已给的椭球面2222221x y z a b c++=内的所有内接长方体（各边平行于坐标轴）中，求其体积之最大者.【答】(,,)x y z =时，V . 93．平面0x y z ++=交圆柱面221x y +=成一个椭圆，求这个椭圆上离原点最近和最远的点．【答】1。

3.3导数的应用2

1 3 1－ a 2 【例 8】 (2012· 天津)已知函数 f(x)＝ x ＋ x 3 2 －ax－a，x∈R，其中 a＞0. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围． (3)当 a＝1 时，设函数 f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为 M(t)，最小值为 m(t)，记 g(t)＝M(t)－m(t)，求函数 g(t)在区间[－3，－1]上的最小值．
1 2 【例 9】（2012· 宁波）设函数 f(x)＝clnx＋ x ＋ 2 bx(b，c∈R，c≠0)，且 x＝1 为 f(x)的极值点． (1)若 x＝1 为 f(x)的极大值点，求 f(x)的单调区间(用 c 表示)； (2)若 f(x)＝0 恰有两解，求实数 c 的取值范围．
【例 10】 [2013· 杭州萧山区五校联考] 已知 2 x 2 函数 f(x)＝(x ＋ax＋1)e ，g(x)＝(b＋2)x . (1)当 a＝1 时，曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线恰与曲线 y＝g(x)相切，求实数 b 的值； (2)当 a＝b<0，对任意的 x1，x2∈[－1,1]，都有 f(x1)≥g(x2)，求实数 b 的取值范围．
§3.3 导数的应用（二）
绍兴市稽山中学高三备课组
要点梳理
1．利用导数解决实际生活中的优化问题 2．利用导数解决函数与方程问题
研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路，因此使用的知识还是函数的单调性和极值的知识．
[4，＋∞) ．值范围是____________
3
题型四导数的综合问题

邓正华高数基础02第二讲导数及其应用

简单.
例
1.设，则 .
【100!】
2.设恒成立，则 .
【】
3.设在有定义，，且，有，求.
【】
解，
，
，又，故. 问题8 如何求函数的阶导数？答求阶导数的方法有 ⑴归纳法依次求出，等，观察其规律，写出； ⑵分解法将函数分解为某些简单函数之和； ⑶用莱布尼茨公式求乘积的阶导数； ⑷用泰勒公式求. 例 1.设，求.【】 2.设，求.【】问题9 如何判别函数的单调性？
11.讨论曲线与的交点个数. 解【零点个数问题，讨论方程根的个数】令，令，，当时，，递减，只有惟一零点，故只有惟一驻点，在，上单调，又，，，当，即时，方程无实根，当，即时，方程有惟一实根，当，即时，方程有两个实根. 故当时，两条曲线无交点，当时，两条曲线有一个交点，当时，两条曲线有两个交点. 12.在区间内，方程有几个实根？证【零点个数问题】令，此函数为偶函数且时，故只要讨论在内有几个实根. 时，，
答根据函数单调性判别法知，函数单调区间的分界点是其导函数
的零点（称为函数的驻点）或者导数不存在的点.
判别函数单调性的步骤是：
⑴求出函数的驻点和不可导点；
⑵用这些点将函数的定义域分成若干小区间；
⑶确定各小区间上导数的符号（列表）；
⑷判别函数在各小区间上的单调性. 例 1.证明在上单调增加. 2.设在上二次可导且，,证明在上单调减少. 问题10 如何求函数的极值？
⑴若在上连续，则求出函数在驻点，不可导点、端点处的函数值，
其中最大（小）的为最大（小）值.
⑵若在区间内可导且只有惟一极值，则极小值就是最小值，极大值
就是最大值.
注实际问题根据题意判别. 例 1.在抛物线上的第一象限部分求一点，过点作切线，使该切线与坐

导数及其应用(2)

导数及其应用（2）一、基础训练：1．设曲线ax y e =有点()0,1处的切线与直线210x y ++=垂直，则实数a ＝ 2 . 2．函数2sin y x x =-在()0,2π内的单调增区间为 5(,)33ππ.3．若函数f (x )＝3x＋ln x 在区间(m ，m ＋2)上单调递减，则实数m 的范围是 []0,1 .4．将长为72m 铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱模型，以此为骨架做成一个容积最大的容器，则最大容积为 216 .5．函数()f x （x ∈R ）满足(2)3f =，且()f x 在R 上的导数满足01)(<-'x f ，则不等式22()1f x x <+的解集为 (,)-∞+∞ .6．已知2(),()(1)xf x xeg x x a ==-++，若12,,x x R ∃∈使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是 1a e≥- .二、例题分析：例1．设ax x x x f 22131)(23++-=. （1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.解：（1）2211()2()224f x x x a x a '=-++=--++．当2[,)3x ∈+∞时，()f x '的最大值为22()239f a '=+．令2209a +>，得19a >-．所以当91->a 时，)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间. 即)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间时，a 的取值范围是1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．（2）令()0f x '=，得两根28111a x +-=，28112ax ++=，所以)(x f 在),(1x -∞，),(2+∞x 上单调递减，在),(21x x 上单调递增．当20<<a 时，有4121<<<x x ，所以)(x f 在]4,1[上的最大值为)(2x f ．又06227)1()4(<+-=-a f f ，即)1()4(f f <．所以)(x f 在]4,1[上的最小值为3163408)4(-=-=a f ，得1=a ，22=x ，从而)(x f 在]4,1[上的最大值为310)2(=f .例2．已知函数211()22f x x =-与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线，设()()()F x f x mg x =-(0)m ≠.（I ）求a 的值（Ⅱ）求()F x 在区间[1,e]上的最小值.解：（I ）因为(1)(1)0,f g ==所以(1,0)在函数(),()f x g x 的图象上又'(),'()af x xg x x==，所以'(1)1,'(1)f g a == 所以1a =（Ⅱ）因为211()ln 22F x x m x =--，其定义域为{|0}x x >,2'()m x m F x x x x -=-=⑴当0m <时，2'()0m x mF x x x x-=-=>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增,所以()F x 在[1,e]上最小值为(1)0F =⑵当0m >时，令2'()0m x mF x x x x-=-==，得到120,0x x =>=< (舍)1≤时，即01m <≤时，'()0F x >对(1,e)恒成立，所以()F x 在[1,e]上单调递增,其最小值为(1)0F = ；e ≥时，即2e m ≥时, '()0F x <对(1,e)成立，所以()F x 在[1,e]上单调递减，其最小值为211(e)e 22F m =-- ；③当1e <<,即21e m <<时, '()0F x <对成立, '()0F x >对成立所以()F x 在单调递减,在上单调递增，其最小值为1111ln 22222mF m m m m =--=-- ；综上，当1m ≤时， ()F x 在[1,e]上的最小值为(1)0F =当21e m <<时，()F x 在[1,e]上的最小值为11ln 222mF m m =--当2e m ≥时, ()F x 在[1,e]上的最小值为211(e)e 22F m =--. 例3．如图，在边长为2 （单位：m ）的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形，再把它的四个角沿着虚线折起，做成一个正四棱锥的模型．设切去的等腰三角形的高为x m ．（1）求正四棱锥的体积V (x )；（2）当x 为何值时，正四棱锥的体积V (x )取得最大值？解：（1）正四棱柱的底面对角线长为22x -，()0,1x ∈)1x -，底面积为()221x -，则高h =正四棱住的体积()()21213V x x =⨯-（2）()()21213V x x =⨯-令()()41h x x x =-，()()()3'115h x x x =--，令()'0h x =得121,15x x ==（舍）列表：故当5x =时()h x 取得极大值，该极大值也是最大值，此时()V x 取得最大值， ()max V x =3m ．备用题：已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x (a ，b ∈R )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＋2＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2都有|f (x 1)－f (x 2)|≤c ，求实数c 的最小值；(3)若过点M (2，m )(m ≠2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝－2，f ′1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝－2，3a ＋2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.所以f (x )＝x 3－3x .(2)令f ′(x )＝0，即3x 2－3＝0，得x ＝±1.因为f (－1)＝2，f (1)＝－2，所以当x ∈[－2,2]时，f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.则对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x )max －f (x )min |＝4，所以c ≥4，即c 的最小值为4.(3)因为点M (2，m )(m ≠2)不在曲线y ＝f (x )上，所以可设切点为(x 0，y 0)．因为f ′(x 0)＝3x 20－3，所以切线的斜率为3x 20－3.则3x 20－3＝x 30－3x 0－m x 0－2，即2x 30－6x 20＋6＋m ＝0.因为过点M (2，m )(m ≠2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，所以方程2x 30－6x 20＋6＋m ＝0有三个不同的实数解．所以函数g (x )＝2x 3－6x 2＋6＋m 有三个不同的零点．则g ′(x )＝6x 2－12x .令g ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝2.则⎩⎪⎨⎪⎧g 0>0，g 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋m >0，－2＋m <0，解得－6<m <2.所以m 的取值范围为(－6,2)．三、巩固练习： 1．函数()x x f x e =在[]0,2上的最大值是____1e____． 2．已知函数()()32210f x x mx m x m =+-+>有极大值9，则实数m 的值为________． 3．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)·x ＋1在区间(1,4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是____[5,7]____．4．已知函数f (x )=12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数,则实数m 的取值范围为__1m ≥__．5．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不是单调函数，则实数t 的取值范围是________． (0,1)∪(2,3)6．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是__④______．(把你认为正确的序号都填上)①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1； ④f (x )＝x e x.7．设()321f x x ax bx =+++的导数()f x '满足(),()f a f b ''1=22=-，其中常数,a b ∈R ．（1）求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程；（2）设()()x g x f x e -'=，求函数()g x 的极值．解：（1） 2()32f x x ax b '=++，则(1)322f a b a '=++=，∴3b =-．又(2)124f a b b '=++=-，解得32a =-． ∴323()312f x x x x =--+，从而5(1),(1)32f f '=-=-．故曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程为()5312y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即6210x y +-=．（2）由（1）知2()(333)x g x x x e -=--，∴2()(39)xg x x x e -'=-+．令()0g x '=，得120,3x x ==．当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,3x ∈时，()0g x '>；当()3,x ∈+∞时，()0g x '<．∴函数()g x 在0x =处取得极小值(0)3g =-，在3x =处取得极大值3(3)15g e -=．8．已知函数ax x x a x f ++-=2221ln 2)()(R a ∈. (Ⅰ)当1=a 时,求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 的切线方程;(Ⅱ)讨论函数)(x f 的单调性.解:函数)(x f 的定义域为),0(+∞,a x xa x f ++-='22)((Ⅰ) 当1=a 时,23)1(=f ,0112)1(=++-='f , 所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f 的切线方程为23=y(Ⅱ)xa x a x x a ax x x f ))(2(2)(22-+=-+=', (1)当0=a 时,0)(>='x x f ,)(x f 在定义域为),0(+∞上单调递增, (2)当0>a 时,令0)(='x f ,得a x 21-=(舍去),a x =2, 当x 变化时,)(x f ',)(x f 的变化情况如下:此时,)(x f 在区间),0(a 单调递减,在区间),(+∞a 上单调递增; (3)当0<a 时,令0)(='x f ,得a x 21-=,a x =2(舍去), 当x 变化时,)(x f ',)(x f 的变化情况如下:此时,)(x f 在区间)2,0(a -单调递减,在区间),2(+∞-a 上单调递增9．已知函数3211()()32f x x a x a a =-+∈R . （Ⅰ）若1,a =求函数()[0,2]f x 在上的最大值；（Ⅱ）若对任意(0,+)x ∈∞，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围.解：（I ）当1a =时，311()32f x x x =-+，2'()1f x x =- .............1分令12'()01, 1.f x x x ==-=，得∴当[0,2]x ∈时，()f x 最大值为()26f =（Ⅱ）22'()()(),f x x a x a x a =-=-+令12'()0,,.f x x a x a ==-=得 ① 若0,)()0,()a a f x f x '<<∴在（0，-上，单调递减.)()0,()a f x f x '∞>∴在（-，+上，单调递增.所以，()f x 在x a =-时取得最小值()332121()3232a f a a a a a -=-++=+，因为()2221210,0,()03232a a f a a a <+>-=+<所以.0,0,+()0.a x f x <∈∞>所以当时对任意（）,不成立② 若20,()0,()0+a f x x f x '==≥∞所以在（，）上是增函数，所以当=0()(0)0.a f x f >=时，有③若0,)()0,()a a f x f x '><在（0，上，所以单调递减.)()0,()a f x f x '∞>在（，+上，所以单调递增.所以，()f x 在x a =取得最小值()332121()3232a f a a a a a =-+=--，令()222121()0,0,0,032322f a a a a a a =-->>-<<<由得,0,()0.a x f x <<>>所以当0对任意都成立综上，a 的取值范围是[010．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为()3c c >．设该容器的建造费用为y 千元．（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r ．解：（1）由题意可知()23480233r l r l r πππ+=≥，即2804233l r r r =-≥，则02r <≤．容器的建造费用为2228042346433y rl r c r r r c rππππ⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪⎝⎭，即2216084y r r c rπππ=-+，定义域为{}02x r <≤．（2）2160168y r rc r πππ'=--+，令0y '=，得r =令2r ==，得92c =，①当932c <≤2≥，当02r <≤时，0y '<，函数单调递减，∴当2r =时y 有最小值；②当92c >2，当0r <<0y '<；当r >0y '>，∴当r =y 有最小值．综上所述，当932c <≤时，建造费用最小时2r =；当92c >时，建造费用最小时r =。

2023年高考数学总复习第三章导数及其应用第2节：导数与函数的单调性(教师版)

2023年高考数学总复习第三章导数及其应用第2节导数与函数的单调性考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.利用导数研究函数的单调性，并会解决与之有关的方程(不等式)问题.1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.3.单调性的应用若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则y＝f′(x)在该区间上不变号.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数在(a，b)内单调递减与函数的单调递减区间为(a，b)是不同的.()(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.2.(易错题)函数f(x)＝x＋ln(2－x)的单调递增区间为()A.(－∞，1)B.(－∞，2)C.(1，＋∞)D.(2，＋∞)答案A解析由f(x)＝x＋ln(2－x)，得f′(x)＝1－12－x＝1－x2－x(x<2).令f′(x)>0，即1－x2－x>0，解得x<1.∴函数f(x)＝x＋ln(2－x)的单调递增区间为(－∞，1).3.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是()答案D解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图像易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.4.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.R答案B解析由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1，故选B.5.(易错题)若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________.答案－4解析f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1，4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]，∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.6.(2021·青岛检测)已知函数f(x)＝sin2x＋4cos x－ax在R上单调递减，则实数a 的取值范围是________.答案[3，＋∞)解析f′(x)＝2cos2x－4sin x－a＝2(1－2sin2x)－4sin x－a＝－4sin2x－4sin x＋2－a＝－(2sin x＋1)2＋3－a.由题设，f′(x)≤0在R上恒成立.因此a≥3－(2sin x＋1)2恒成立，则a≥3.考点一不含参函数的单调性1.函数f(x)＝x＋3x＋2ln x的单调递减区间是()A.(－3，1)B.(0，1)C.(－1，3)D.(0，3)答案B 解析法一函数的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－3x 2＋2x ，令f ′(x )＝1－3x 2＋2x<0，得0<x <1，故所求函数的单调递减区间为(0，1)，故选B.法二由题意知x >0，故排除A 、C 选项；又f (1)＝4<f (2)＝72＋2ln 2，故排除D选项.故选B.2.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间为________.答案(2，＋∞)解析f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，得x >2，∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞).3.已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.答案0，π6，5π6，π解析f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈(0，π)，令f ′(x )＝0，得x ＝π6或x ＝5π6，当0<x <π或5π<x <π时，f ′(x )>0，∴f (x )0，π6，5π6，π.感悟提升确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.考点二讨论含参函数的单调性例1已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性.解函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－（a＋1）x＋1x＝（ax－1）（x－1）x.(1)当0<a<1时，1a>1，∴x∈(0，1)f′(x)>0；x f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，1)(2)当a＝1时，1a＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(3)当a>1时，0<1a<1，∴x(1，＋∞)时，f′(x)>0；x f′(x)<0，∴函数f(x)(1，＋∞).综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f(x)(1，＋∞).感悟提升 1.含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论.2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.训练1已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a >0，讨论f (x )的单调性.解f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3＝a （x －1）x 3x －2a x ＋2a (1)当0<a <2时，2a>1，当x (0，1)∪2a，＋∞时，f ′(x )>0，当x 1，2a 时，f ′(x )<0.(2)当a ＝2时，2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )递增.(3)当a >2时，0<2a <1，当x 0，2a ∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，当x 2a，1时，f ′(x )<0.综上所述，当0<a <2时，f (x )在(0，1)2a ，＋∞内递增，在1，2a 内递减.当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内递增；当a >2时，f (x )0，2a (1，＋∞)2a，1.考点三根据函数单调性求参数值(范围)例2(经典母题)已知x ＝1是f (x )＝2x ＋bx ＋ln x 的一个极值点.(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)设函数g (x )＝f (x )－3＋ax，若函数g (x )在区间[1，2]内单调递增，求实数a 的取值范围.解(1)f (x )＝2x ＋bx＋ln x ，定义域为(0，＋∞).∴f ′(x )＝2－b x 2＋1x ＝2x 2＋x －bx2.因为x＝1是f(x)＝2x＋bx＋ln x的一个极值点，所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.所以f′(x)＝2x2＋x－3x2，令f′(x)<0，得0<x<1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1).(2)g(x)＝f(x)－3＋ax＝2x＋ln x－ax(x>0)，g′(x)＝2＋1x＋ax2(x>0).因为函数g(x)在[1，2]上单调递增，所以g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，即2＋1x＋ax2≥0在[1，2]上恒成立，所以a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，所以a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2].因为在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3.所以实数a的取值范围是[－3，＋∞).迁移在本例(2)中，若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围.解∵函数g(x)在区间[1，2]上不单调，∴g′(x)＝0在区间(1，2)内有解，则a＝－2x2－x＝－＋18在(1，2)内有解，易知该函数在(1，2)上是减函数，∴a＝－2x2－x的值域为(－10，－3)，因此实数a的取值范围为(－10，－3).感悟提升 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.2.如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.3.若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解.训练2(1)若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是()A.13，＋∞ B.－∞，13C.13，＋∞ D.－∞，13(2)(2022·郑州调研)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________.答案(1)C(2)(1，2]解析(1)由y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，所以y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，或y ′＝3x 2＋2x ＋m ≤0恒成立，显然y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，则Δ＝4－12m ≤0，所以m ≥13.(2)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －9x.又x >0，令f ′(x )＝x －9x ≤0，得0<x ≤3.因为函数f (x )在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.考点四与导数有关的函数单调性的应用角度1比较大小例3(1)已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则π5f (1)，f －π3的大小关系为()A.－π3f (1)>π5B.f (1)>－π3π5C.π5f (1)>－π3D.－π3π5>f (1)(2)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.c >a >b答案(1)A(2)D解析(1)因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以又当x f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )f (1)<f (1)> A.(2)设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，∴x <0时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减.由y ＝f (x )在R 上为奇函数，知g (x )在R 上为偶函数，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴c ＝g (－2)＝g (2)，又0<log π3<1<30.3<3<2，∴g (log π3)<g (30.3)<g (2)，即b <a <c .角度2解不等式例4已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有f (x )>f ′（x ）ln 2成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x －1的解集为()A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，2)答案D解析f (x )>f ′（x ）ln 2⇔f ′(x )－ln 2·f (x )<0.令g(x)＝f（x）2x，则g′(x)＝f′（x）－f（x）·ln22x，∴g′(x)<0，则g(x)在(－∞，＋∞)上是减函数.由f(－2)＝2，且f(x)在R上是奇函数，得f(2)＝－2，则g(2)＝f（2）22＝－12，又f(x)>－2x－1⇔f（x）2x>－12＝g(2)，即g(x)>g(2)，所以x<2.感悟提升 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.训练3(1)已知函数f(x)＝3x＋2cos x.若a＝f(32)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a(2)(2021·西安模拟)函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>－f(x)成立，若f(ln2)＝12，则满足不等式f(x)>1e x的x的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(0，1)C.(ln2，＋∞)D.(0，ln2)答案(1)D(2)C解析(1)由题意，得f′(x)＝3－2sin x.因为－1≤sin x≤1，所以f′(x)>0恒成立，所以函数f(x)是增函数.因为2>1，所以32>3.又log 24<log 27<log 28，即2<log 27<3，所以2<log 27<32，所以f (2)<f (log 27)<f (32)，即b <c <a .(2)对任意x ∈R ，都有f ′(x )>－f (x )成立，即f ′(x )＋f (x )>0.令g (x )＝e x f (x )，则g ′(x )＝e x [f ′(x )＋f (x )]>0，所以函数g (x )在R 上单调递增.不等式f (x )>1e x 即e xf (x )>1，即g (x )>1.因为f (ln 2)＝12，所以g (ln 2)＝e ln 2f (ln 2)＝2×12＝1.故当x >ln 2时，g (x )>g (ln 2)＝1，所以不等式g (x )>1的解集为(ln 2，＋∞).1.如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下列判断正确的是()A.在区间(－2，1)上f (x )单调递增B.在区间(1，3)上f (x )单调递减C.在区间(4，5)上f (x )单调递增D.在区间(3，5)上f (x )单调递增答案C解析在区间(4，5)上f ′(x )>0恒成立，∴f (x )在区间(4，5)上单调递增.2.函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为()D.(－∞，a)答案A解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a，令f′(x)＝1x－a>0，得0<x<1a，所以f(x)3.函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f′(x)的图像可能是()答案D解析由函数f(x)的图像可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f′(x)>0；在(0，＋∞)上，f′(x)<0，选项D满足. 4.(2021·德阳诊断)若函数f(x)＝e x(sin x＋a)在R上单调递增，则实数a的取值范围为()A.[2，＋∞)B.(1，＋∞)C.[－1，＋∞)D.(2，＋∞)答案A解析因为f(x)＝e x(sin x＋a)，所以f′(x)＝e x(sin x＋a＋cos x).要使函数f(x)在R上单调递增，需使f′(x)≥0恒成立，即sin x＋a＋cos x≥0恒成立，所以a≥－sin x－cos x.因为－sin x－cos x＝－2sin所以－2≤－sin x－cos x≤2，所以a≥ 2.5.(2021·江南十校联考)已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件可以是()A.a>－12B.0<a<116C.a>116或－12<a<0 D.a>116答案D解析f′(x)＝2ax－4a－1x＝2ax2－4ax－1x，令g(x)＝2ax2－4ax－1，则函数g(x)＝2ax2－4ax－1的对称轴方程为x＝1，若f(x)在(1，4)上不单调，则g(x)在区间(1，4)上有零点.当a＝0时，显然不成立；当a≠0>0，（1）＝－2a－1<0，（4）＝16a－1>0，<0，（1）＝－2a－1>0，（4）＝16a－1<0，解得a>116或a<－12.∴a>116是f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件.6.已知函数y＝f(x＋1)是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sin x－x，设a＝b＝f(3)，c＝f(0)，则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c答案A解析由函数y＝f(x＋1)是偶函数，可得函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，则a＝b＝f(3)，c＝f(0)＝f(2)，又当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝cos x－1≤0，所以f(x)＝sin x－x在(1，＋∞)上为减函数，所以b<a<c，故选A.7.若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为________.答案(－3，0)∪(0，＋∞)解析依题意知，f ′(x )＝3ax 2＋6x －1有两个不相等的零点，≠0，＝36＋12a >0，解得a >－3且a ≠0.8.(2022·哈尔滨调研)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________.答案1解析f ′(x )＝4x －1x ＝（2x －1）（2x ＋1）x(x >0)，令f ′(x )>0，得x >12；令f ′(x )<0，得0<x <12.－1≥0，－1<12<k ＋1，解之得1≤k <32.9.设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′（x ）－f （x ）x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是__________________.答案(－∞，－2)∪(0，2)解析令φ(x )＝f （x ）x，∵当x >0时，f （x ）x ′＝x ·f ′（x ）－f （x ）x 2<0，∴φ(x )＝f （x ）x 在(0，＋∞)上为减函数，又f (2)＝0，即φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数，由数形结合知x∈(－∞，－2)时，f(x)>0.故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2).10.已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)f′(x)＝1x－ln x－ke x(x>0).又由题意知f′(1)＝1－ke＝0，所以k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x－ln x－1e x(x>0).设h(x)＝1x－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－1x2－1x<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，所以f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.综上f(x)的单调增区间是(0，1)，减区间为(1，＋∞).11.讨论函数g(x)＝(x－a－1)e x－(x－a)2的单调性.解g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)e x－2(x－a)＝(x－a)(e x－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2，①当a>ln2时，x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(ln2，a)时，f′(x)<0；②当a＝ln2时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在R上单调递增；③当a<ln2时，x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(a，ln2)时，f′(x)<0，综上，当a>ln2时，f(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减；当a＝ln2时，f(x)在R上单调递增；当a<ln2时，f(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减.12.已知a＝ln33，b＝e－1，c＝3ln28，则a，b，c的大小关系为()A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c答案D解析依题意，得a＝ln33＝ln33，b＝e－1＝ln ee，c＝3ln28＝ln88.令f(x)＝ln xx(x>0)，则f′(x)＝1－ln xx2，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.所以f(x)max＝f(e)＝1e＝b，且f(3)>f(8)，即a>c，所以b>a>c.13.(2021·成都诊断)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x).若x>0时，f′(x)<2x，则不等式f(2x)－f(x－1)>3x2＋2x－1的解集是________.答案1解析令g(x)＝f(x)－x2，则g(x)是R上的偶函数.当x>0时，g′(x)＝f′(x)－2x<0，则g(x)在(0，＋∞)上递减，于是在(－∞，0)上递增.由f(2x)－f(x－1)>3x2＋2x－1得f(2x)－(2x)2>f(x－1)－(x－1)2，即g (2x )>g (x －1)，于是g (|2x |)>g (|x －1|)，则|2x |<|x －1|，解得－1<x <13.14.(2021·全国乙卷)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标.解(1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a ).①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2.所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )∞(1＋1－3a 3，＋∞)上单调递增，在.(2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1).因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0).由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x .＝（1＋a ）x ，＝x 3－x 2＋ax ＋1，＝1，＝1＋a＝－1，＝－1－a .所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a).。

2025版高考数学总复习第3章导数及其应用第2讲第1课时导数与函数的单调性二泰勒展开式

二、泰勒展开式1．泰勒公式若函数f (x )在含有x 0的开区间(a ，b )内有n ＋1阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x －x 0的多项式和一个余项的和：f (x )＝f (x 0)＋f ′(x 0)·(x －x 0)＋f ″x 02！·(x －x 0)2＋f x 03！·(x －x 0)3＋…＋fnx 0n ！·(x －x 0)n＋R n (x )．2．常见的泰勒展开式在泰勒公式中，令x 0＝0，即可得到如下泰勒展开式：(1)e x＝1＋x ＋x 22！＋x 33！＋…＋x nn ！＋…；(2)ln(x ＋1)＝x －x 22＋x 33＋…＋(－1)n ＋1x nn＋…；(3)sin x ＝x －x 33！＋x 55！＋…＋(－1)n －1·x 2n －12n －1！＋…；(4)cos x ＝1－x 22！＋x 44！＋…＋(－1)n －1·x 2n －22n －2！＋….3．泰勒公式的价值泰勒公式将各种类型的函数(指数函数、对数函数、正弦与余弦函数)与多项式函数联系了起来，这样在局部可以用多项式函数近似替代其他函数，我们主要用其证明不等式及比较大小，下面我们主要介绍如何比较大小．(2022·全国甲卷)已知a ＝3132，b ＝cos 14，c ＝4sin 14，则( A ) A ．c >b >a B ．b >a >c C ．a >b >cD ．a >c >b[解析] 解法一：根据题意，构造函数f (x )＝1－x 22，g (x )＝cos x ，h (x )＝sin xx，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，b ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14.由泰勒展开式，f (x )＝1－x 22，g (x )＝1－x 22！＋x 44！＋o (x 4)，h (x )＝1－x 23！＋x 45！＋o (x 4)，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－12×116＋124×1256＋o (x 4)＝3132＋124×1256＋o (x 4)，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－16×116＋1120×1256＋o (x 4)＝9596＋1120×1256＋o (x 4)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，即a <b <c . 解法二：因为b ＝cos 14＝1－2sin 218，所以b －a ＝1－2sin 218－3132＝132－2sin 218＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫164－sin 218.令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以当x >0时，f (x )>f (0)＝0，即有x >sin x (x >0)成立，所以18>sin 18，得164>sin 218，所以b >a .因为c b ＝4sin14cos14＝4tan 14，所以令g (x )＝tan x －x ，则g ′(x )＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x －1＝1－cos 2xcos 2x ≥0，所以函数g (x )在定义域内单调递增，所以当x >0时，g (x )>g (0)＝0，即有tan x >x (x >0)成立，所以tan 14>14，即4tan 14>1，所以cb >1，又b >0，所以c >b .综上，c >b >a .【变式训练】若a ＝ln 1－0.010.02，b ＝0.02sin 0.01，c ＝0.01sin 0.02，则( B )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．c <a <b[解析] 易知a ＝ln 1－0.010.02<ln 1＝0，而b >0，c >0.当x →0时，由泰勒公式展开，得b ＝0.02sin 0.01＝0.02⎝ ⎛⎭⎪⎫0.01－0.0133＋ox 3＝2×10－4－23×10－8＋o (x 3)，c ＝0.01sin 0.02＝0.01⎝⎛⎭⎪⎫0.02－0.0233＋ox 3＝2×10－4－83×10－8＋o (x 3)．可知23×10－8<83×10－8，所以b >c .故b >c >a .。

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