导数的应用(二)
考研数学-专题5 导数的概念及应用
f (x), x 0;
F
(
x)
0, x 0;
f (x), x 0;
若 f (0) 1, 则
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x
x0
x
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0)
x0
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x0
则
lim ln[ f (x) ex ] ln 2
x0
x
从而 lim ln[ f (x) ex ] 0, lim f (x) f (0) 0,
x0
x0
当 x 0 时， ln[ f (x) ex ] ln[1 f (x) ex 1] ~ f (x) ex 1
则 lim ln[ f (x) ex ] lim f (x) ex 1 f (0) 1 ln 2
1
【例 2】已知 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim[ f (x) ex ]x 2, 则 f (0) （ ） x0
(A)不存在
(B)等于 e2 ,
(C)等于 2,
(D)等于 1 ln 2
1
ln[ f ( x)e x ]
【解】 由于 lim[ f (x) ex ]x lim e x 2
3
f (x0 n ) f (x0 ) f (x0 )n n
（其中 lim 0 ） n
f
( x0
n ) f (x0 n n
n)
f
(
x0
)
n n
n n
n n n n
n n n n n n
0
则 lim n
_高中数学第一章导数及其应用2
f(x)＝1x
f ′(x)＝－x12＝－x－2
f(x)＝ x
f ′(x)＝21 x＝12x－12
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝αxα－1.
1．y＝c表示平行于x轴的直线，或与x轴重合的直线， 其斜率为0，故y＝c上任一点处的导数值为____0____， 直线y＝x的斜率为1，故直线y＝x上任一点处的导数值 为___1_____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝ x上，∴y0＝ x0.
在直线l2的方程中令y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
2．当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路 程不变化，因此一直处于__静__止____状态，故瞬时速度 为___0_____，因此y′＝____0____；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等 于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速 度为___1_____，故y′＝____1____.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
_高中数学第一章导数及其应用2
[提示] ΔΔyx＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx
＝2x－x22.
Байду номын сангаас
[问题3] F(x)的导数与f(x)、g(x)的导数有何关系？ [提示] F(x)的导数等于f(x)、g(x)导数和．
[问题 4] 试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． [提示] 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
(3)y′＝(2x2＋3)′·(3x－2)＋(2x2＋3)·(3x－2)′
＝4x·(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9.
(4)y′＝xl＋n x1′－(2x)′
＝1xx＋x＋1－ 12ln
x －2xln
2
＝1＋x1x＋－1ln2
x －2xln
2.
二. 复合函数的导数
例题 2 求下列函数的导数：
(1)y＝1－12x3；
(2)y＝cos x2；
(3)y＝sin3x－π4； (4)y＝lg(2x2＋3x＋1)．
• [思路点拨] 解答本题可先分析复合函数的复合过 程，然后运用复合函数的求导法则求解．
解析： (1)设 y＝u13，u＝1－2x， 则 y′x＝y′u·u′x ＝u13′·(1－2x)′ ＝－3u－4·(－2) ＝1－62x4. (2)设 y＝cos u，u＝x2， 则 y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(x2)′ ＝－sin u·2x ＝－2x·sin x2.
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟 练后中间步骤可省略．
特别提醒：只要求会求形如f(ax＋b)的复合函数的导 数．
导数在函数中应用(2)说课稿
第2课时《导数在函数中的应用》说课稿杭集中学杭圣平导数这一块内容的教学分为五个课时，第一课时导数的概念与几何意义；第二课时导数的基本运算；第三课时导数在研究函数中的运用（1）；第四课时导数在研究函数中的运用（2）；第五课时导数在实际问题中的应用。
一、说教材导数是高中数学新增内容，它在解决数学问题中起到工具的作用，其地位十分重要。
在近年来年的高考题都涉及这个知识点，主要用来解决与函数相关的一类问题，难度较大，涉及面广，如在研究函数单调性，讨论函数图象的变化趋势、求极值和最值、不等式恒成立等。
运用导数解决这类问题能化繁为简，起事半功倍的作用。
二、说教学目标通过本节课的学习让学生进一步建立利用导数解决与函数有关问题的意识。
并要掌握以下三个方面：第一：导数与函数单调性的关系，会求函数单调区间及参数取值范围。
第二：导数与函数的极值、极值与最值的关系，会求函数的极值，最值及参数范围。
第三：综合考查，将导数内容和传统内容，函数的单调性、不等式的恒成立，解析几何中距离相结合，提高学生分析问题解决问题的能力。
三、说教学方法多媒体教学与诱导法，在教学过程中与学生进行互动式教学四、说重点与难点在分析例题时，引导学生抓住重点，突破难点，提高分析问题和解决问题的能力，并要形成一定的经验，理解并掌握针对此类题目的常规解题思路。
本节课设计了三道例题，重点都放在导数在解决函数有关问题的应用上。
例1主要是从导数与函数单调性关系出发，找出不等式恒成立，通过分离变量或数形结合，解决有关的参数的范围。
例2则是导数在解析几何中的应用，在求距离的最小值时，从数的角度出发重点应放在函数构造及求函数值域上；若从形的角度出发重点应放在距离的转化上与切线方程求法上。
例3则是应用导数求含参数函数的极值与参数范围，重点在于熟练求极值方法。
解决这三个重点就要对导数的基础知识透彻理解。
例1和例2的难点都是问题的转化上。
如例1中将f(x)在区间I上单调递减转化为不等式恒成立；例2中求距离最小值时构造函数或转化为两平行线之间的距离这一步是最关键的，例3对题意的把握，对参数范围讨论及极大极小值的判断是关键，需要学生具备对导数与函数单调性、极值、最值关系的理解能力和分析问题简化问题的能力。
选修2-2——基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．问题导航(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？ (2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？ 2．例题导读通过P 15例2学会利用导数的运算法则及导数公式求函数的导数，P 15例3为导数的实际应用问题，P 17例4为复合函数的求导问题，注意复合函数的求导法则．1．导数的四则运算法则(1)条件：f (x )，g (x )是可导的． (2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． ②[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0)． 2．复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义：①一般形式是y ＝f (g (x ))．②可分解为y ＝f (u )与u ＝g (x )，其中u 称为中间变量．(2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为：y ′x＝y ′u ·u ′x ．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)√ (2)×2．函数y ＝x ln x 的导数为( ) A ．y ′＝ln x ＋1 B ．y ′＝ln x －1 C ．y ′＝ln x D ．y ′＝1 解析：选A.y ′＝x ′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1. 3．y ＝sin 2x 的导数是( ) A ．y ′＝2sin x B ．y ′＝2cos x C ．y ′＝sin 2x D ．y ′＝cos 2x解析：选C.y ′＝(sin 2x )′ ＝2sin x cos x ＝sin 2x . 4．求下列函数的导数：(1)若f (x )＝2x ＋3，则f ′(x )＝________；(2)函数f (x )＝2sin x －cos x ，则f ′(x )＝________；(3)函数f (x )＝－2x ＋1，则f ′(x )＝________．答案：(1)2 (2)2cos x ＋sin x (3)2（x ＋1）21．应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数求导的一般方法(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量． (3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．(4)复合函数求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．应用导数的运算法则求导求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.[解] (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5(x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝（x sin x ）′cos x －x sin x （cos x ）′cos 2x＝（sin x ＋x cos x ）cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x.(3)法一：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)·(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)·(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2 ＝3x 2＋12x ＋11；法二：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3) ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′ ＝3x 2＋12x ＋11.(4)法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝（x －1）′（x ＋1）－（x －1）（x ＋1）′（x ＋1）2＝x ＋1－（x －1）（x ＋1）2＝2（x ＋1）2. 法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′（x ＋1）－2（x ＋1）′（x ＋1）2＝2（x ＋1）2.求函数的导数的策略：(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．1．(1)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，512π，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]解析：选D.∵f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，512π，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈⎣⎡⎦⎤22，1， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3∈[2，2]，故选D.(2)已知f (x )＝e xx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：∵f ′(x )＝（e x ）′x －e x ·x ′x 2＝e x （x －1）x 2(x ≠0)．∴由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得 e x 0（x 0－1）x 20＋e x 0x 0＝0.解得x 0＝12.答案：12复合函数的导数运算(1)若函数f (x )＝1（1－3x ）4的导数为f ′(x )，则f ′(1)＝________．[解析] 设y ＝u －4，u ＝1－3x ，∴f ′(x )＝y ′u ·u ′x ＝(－4)(1－3x )－5(1－3x )′＝12（1－3x ）5， ∴f ′(1)＝－38.[答案] －38(2)求下列函数的导数：①y ＝1－2x cos x ；②y ＝3log 2(x 2－2x ＋3)．[解] ①由于y ＝1－2x cos x 是两个函数y ＝1－2x 与y ＝cos x 的乘积， y ′＝(1－2x )′cos x －1－2x sin x ＝（－2）21－2x cos x －1－2x sin x ＝－cos x 1－2x－1－2x sin x .②令y ＝3u ，u ＝log 2v ，v ＝x 2－2x ＋3，则y ′u ＝3u ln 3，u ′v ＝1v ln 2，v ′x ＝2x －2，所以y ′x ＝（2x －2）·3log 2（x 2－2x ＋3）·ln 3（x 2－2x ＋3）ln 2＝2log 23·（x －1）3log 2（x 2－2x ＋3）x 2－2x ＋3.(1)求复合函数的导数的步骤：分层—选择中间变量，写出构成它的内、外层函数 ↓分别求导—分别求各层函数对相应变量的导数 ↓相乘—把上述求导的结果相乘 ↓变量回代—把中间变量回代(2)求复合函数的导数的注意点：①内、外层函数通常为基本初等函数．②求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．2．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( )A ．－2sin 2x ＋cos x2xB ．2sin 2x ＋cos x2xC ．－2sin 2x ＋sin x2xD ．2sin 2x －cos x2x解析：选A.y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′＝－2sin 2x ＋12·1x cos x＝－2sin 2x ＋cos x2x .导数运算的综合应用求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [解] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f (0)＝3，得d ＝3，由f ′(0)＝0，得c ＝0， 由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3， ∴f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b . 把f (x )、f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 都成立，则需a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1. 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.利用导数的运算法则及复合函数的求导法则求得函数的导数，再结合导数的几何意义、三角函数、不等式等知识点综合考查求函数的解析式，参数的取值范围，不等式的求解与证明等是考查导数运算应用的常规考法，同时也体现了导数的优越性．3．已知两边取对数可以使“积”的形式化为“和”的形式，函数f (x )＝ln y 就变成了复合函数，它是由f ＝ln u 和u ＝y 复合而成的．根据上面的信息，求y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －10)(x >10)的导数．解：两边同时取自然对数，得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －10)． 两边对x 求导，得 1y ·y ′＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －10. ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －10·(x －1)·(x －2)·…·(x －10)．已知抛物线y ＝ax ＋bx －5在点(2，1)处的切线为y ＝－3x ＋7，求b 的值． [解] ∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝－3. 又点(2，1)在曲线上，∴4a ＋2b －5＝1，联立组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b －5＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9. [错因与防范](1)在求解切线问题时，注意切点既在曲线上，又在切线上，因容易找不全条件导致求解困难．(2)已知曲线上某点的切线，有两层意思：一是在该点的导数值等于切线的斜率；二是该点的坐标满足已知曲线的方程．4．若f (x )＝x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1)，解不等式f ′(x )>g ′(x )．解：f ′(x )＝1＋1x －5，g ′(x )＝1x －1.由f ′(x )>g ′(x )，得1＋1x －5>1x －1，即（x －3）2（x －5）（x －1）>0， ∴x >5或x <1.又两函数定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧x －5>0，x －1>0，∴x >5.∴不等式f ′(x )>g ′(x )的解集为(5，＋∞)．1．f (x )＝ln xx的导数是( )A ．f ′(x )＝1＋ln x x 2B ．f ′(x )＝1＋ln xx C ．f ′(x )＝1－ln x x 2D ．f ′(x )＝1＋ln xx 2解析：选C.f ′(x )＝（ln x ）′x －（ln x ）x ′x 2＝1－ln xx 2.2．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：33．函数y ＝sin n x cos nx 的导数为________． 解析：y ′＝(sin n x )′cos nx ＋sin n x (cos nx )′＝n sin n －1x (sin x )′cos nx ＋sin n x (－sin nx )·(nx )′＝n sin n －1x cos x ·cos nx －sin nx sin nx ·n＝n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )＝n sin n －1x cos[(n ＋1)x ]．答案：n sin n －1x cos[(n ＋1)x ][A.基础达标]1．已知f (x )＝x －5＋3sin x ，则f ′(x )等于( )A ．－5x －6－3cos xB ．x －6＋3cos xC ．－5x －6＋3cos xD ．x －6－3cos x解析：选C.利用求导公式和求导法则求解．f ′(x )＝－5x －6＋3cos x ．故选C. 2．函数y ＝x 3cos x 的导数是( ) A ．3x 2cos x ＋x 3sin x B ．3x 2cos x －x 3sin x C ．3x 2cos x D ．－x 3sin x解析：选B.y ′＝(x 3cos x )′＝3x 2cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x .3．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋x B ．－11＋xC.1（1＋x ）2 D ．－1（1＋x ）2解析：选D.令1x ＝t ，则f (t )＝1t1＋1t＝11＋t，∴f (x )＝11＋x ，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫11＋x ′＝－1（1＋x ）2.4．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( )A.12(e x －e －x )B.12(e x ＋e －x ) C ．e x－e －x D ．e x ＋e －x解析：选A.y ′＝⎣⎡⎦⎤12（e x ＋e －x ）′＝12(e x －e －x )． 5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解析：选B.设切点为P (x 0，y 0)， 则y 0＝x 0＋1，y 0＝ln(x 0＋a )，又∵切线的斜率为1，∴1x 0＋a＝1，∴x 0＋a ＝1，∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2，故选B. 6．f (x )＝ln(x 2＋1)的导数是________．解析：f ′(x )＝1x 2＋1·2x 2x 2＋1＝xx 2＋1. 答案：xx 2＋17．f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________． 解析：∵f ′(x )＝8x ＋4a ， f ′(2)＝20，即16＋4a ＝20. ∴a ＝1. 答案：18．函数y ＝x －cos xx ＋sin x在x ＝2处的导数是________．解析：∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －cos x x ＋sin x ′＝（1＋sin x ）（x ＋sin x ）－（1＋cos x ）（x －cos x ）（x ＋sin x ）2＝（x ＋1）sin x ＋（1－x ）cos x ＋1（x ＋sin x ）2，∴y ′|x ＝2＝3sin 2－cos 2＋1（2＋sin 2）2.答案：3sin 2－cos 2＋1（2＋sin 2）29．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①∵y ′＝2ax ＋b ，∴4a ＋b ＝1.②又∵曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9. 10．求下列函数的导数．(1)y ＝a ax cos(ax )＋b bx sin(bx )； (2)y ＝log a (log a x )．解：(1)y ′＝(a ax )′cos(ax )＋a ax [cos(ax )]′＋(b bx )′·sin(bx )＋b bx [sin(bx )]′＝a ax ln a ·(ax )′cos(ax )＋a ax [－sin(ax )](ax )′＋b bx ln b ·(bx )′·sin(bx )＋b bx cos(bx )(bx )′＝a ax ＋1[cos(ax )ln a －sin(ax )]＋b bx ＋1[sin(bx )ln b ＋cos(bx )]．(2)y ′＝1log a x log a e ·(log a x )′＝log a e log a x ·1x ·log a e ＝log 2a e x log a x. [B.能力提升]1．已知A ，B ，C 是直线l 上的三点，向量OA →，OB →，OC →满足OA →＝[f (x )＋2f ′(1)]OB →－ln(x ＋1)OC →，则f ′(1)的值为( )A ．0B ．ln 2 C.12D ．2 解析：选C.由于A ，B ，C 三点共线，于是有f (x )＋2f ′(1)－ln(x ＋1)＝1，即f (x )＝ln(x ＋1)－2f ′(1)＋1，则f ′(x )＝1x ＋1，于是f ′(1)＝12.2.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过原点，它的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则( )A ．－b2a >0，4ac －b 24a>0B ．－b2a <0，4ac －b 24a>0C ．－b2a >0，4ac －b 24a<0D ．－b2a <0，4ac －b 24a<0解析：选A.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过原点，则c ＝0，于是f (x )＝ax 2＋bx ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，结合f ′(x )的图象可知，a <0，b >0.所以－b 2a >0，4ac －b 24a ＝－b 24a>0，故选A.3．(2015·高考陕西卷)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x(x >0)的导数为y ′＝－1x 2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1 k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．答案：(1，1)4．若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知该函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋1x，∵存在垂直于y 轴的切线，∴此时斜率为0，问题转化为x >0范围内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点．法一：(图象法)再将之转化为g (x )＝－2ax 与h (x )＝1x存在交点．当a ＝0时不符合题意；当a >0时，如图①所示，数形结合可得显然没有交点；当a <0时，如图②所示，此时正好有一个交点，故有a <0，应填(－∞，0)．图① 图②法二：(分离变量法)上述也可等价于方程2ax ＋1x ＝0在(0，＋∞)内有解，显然可得a ＝－12x 2∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)5．(2015·郑州高二检测)已知函数f (x )＝axx 2＋b，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象相切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)对函数f (x )求导，得f ′(x )＝a （x 2＋b ）－ax （2x ）（x 2＋b ）2＝ab －ax 2（x 2＋b ）2.因为f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f （1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －a ＝0，1＋b ≠0，a1＋b＝2，所以a ＝4，b ＝1，所以f (x )＝4xx 2＋1.(2)因为f ′(x )＝4－4x 2（x 2＋1）2，所以直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4x 20（x 20＋1）2＝4⎣⎡⎦⎤2（x 20＋1）2－1x 20＋1，令t ＝1x 20＋1，t ∈(0，1]，则k ＝4(2t 2－t )＝8⎝⎛⎭⎫t －142－12，所以k ∈⎣⎡⎦⎤－12，4. 6．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝4，若函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a n )．求f ′(0)． 解：f ′(x )＝x ′[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]＋x ·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]′ ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a n )]′∴f ′(0)＝(－a 1)(－a 2)·…·(－a n )＝(－1)na 1a 2·…·a n 由题意知a 1＝2，a 2＝4，∴a n ＝2n .∴f ′(0)＝(－1)n ·21＋2＋3＋…＋n＝(－1)n·2n （1＋n ）2.。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(答案解析)(2)
一、选择题1．函数()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,]e -∞-B ．(,1] -∞-C ．[1,) -+∞D ．[,)e3．已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．[)3,+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞4．已知函数322()f x =x ax bx a +++在1x =处的极值为10，则a b -=（ ）． A ．6-B ．15-C ．15D ．6-或155．若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞ D ．()8,+∞6．若函数()()sin xf x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．)+∞ B ．[)1,+∞C ．()1,+∞D ．()+∞7．已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(1)(1,)-∞-⋃+∞，B ．(1,+)∞C ．1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞8．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足()'()f x f x >，且(0)1f =，则不等式()x e f x >（e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞9．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x ∈R ，有()()2f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()f x x '>.若()()222f k f k k --≥-，则k 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为（ ）A ．3R B ．3R C ．2R D ．2R 11．设函数()'f x 是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，3()()0f x f x x'+<，则函数31()()g x f x x =-的零点个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．012．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ） A ．2eB ．eC ．1D ．12二、填空题13．函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，26f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其导函数是()f x '，且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立，则不等式()22sinx f x >的解集为_____________.14．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是圆O 的直径，上底C 、D 的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为_______________.15．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln g x x =，()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦，()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦，给出以下四个命题：（1）()y F x =是偶函数；（2）()y G x =是偶函数；（3）()y F x =的最小值为0；（4）()y G x =有两个零点；其中真命题的是______.16．已知函数()2xe f x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为________. 17．已知函数()321213f x x x ax =+-+，若函数()f x 在()2,2-上有极值，则实数a 的取值范围为______. 18．函数()ln xf x x=在(),1a a +上单调递增，则实数a 的取值范围为______. 19．已知在正四棱锥P ABCD -中，4PA =，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高h 等于______.20．已知()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>的解集为______.三、解答题21．已知函数()cos x f x e x x =-，()(sin 1)g x x x =-. （1）讨论()f x 在区间(,0)2π-上的单调性；（2）判断()()f x g x -在区间[,]22ππ-上零点的个数，并给出证明. 22．已知函数()()3exf x xx a =-+，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值； （2）若()f x 在()1,+∞上单调，求a 的取值范围.23．已知函数432()f x ax x bx =++(),a b ∈R ，()()()g x f x f x '=+是偶函数． （1）求函数()g x 的极值以及对应的极值点． （2）若函数43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++，且()h x 在[]2,5上单调递增，求实数c 的取值范围． 24．设函数()()21xf x ea x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.25．已知函数21(),()ln 2f x xg x a x ==. （1）若曲线()()y f x g x =-在2x =处的切线与直线370x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若[]1,e 上存在一点x ，使得()()()()00001f xg x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围.26．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解； 【详解】 解：因为()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--，定义域关于原点对称，又()()()sin sin x x f x f x x x x x --===----，所以()[)(](),00,sin x f x x x xππ=∈--为偶函数，函数图象关于y 轴对称，所以排除A 、D ； ()()()()()22sin sin cos sin sin sin x x x x x xx x xf x x x x x ''----'==--令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，所以当(]0,x π∈时()0g x '≤，所以()cos sin g x x x x =-在(]0,x π∈上单调递减，又()00g =，所以()0g x <在(]0,x π∈上恒成立，所以()0f x '<在(]0,x π∈上恒成立，即函数()sin xf x x x=-在(]0,π上单调递减，故排除C ，故选：B 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．B解析：B 【分析】根据题中条件，得到方程1ln xa e ex x x ⎛⎫=--++⎪⎝⎭有解，令1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域，对函数()h x 求导，判定其单调性，研究其值域，即可得出结果. 【详解】函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点， 即方程1ln 0xe ex a x x -+++=有解，即方程1ln x a e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭有解，令1()ln xh x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域， 因为()22111()xx x h x e e e e x x x -⎛⎫⎡⎤'=--+-=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以当1x =时，()0h x '=； 当01x <<时，0x e e -<，210x x -<，所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+>⎢⎥⎣⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递增；当1x >时，0x e e ->，210x x ->，所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+<⎢⎥⎣⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递减；所以max ()(1)1h x h ==-， 画出函数()h x 的大致图像如下，由图像可得，()(],1h x ∈-∞-， 所以a 的取值范围(],1-∞-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程根的问题，考查函数与方程的应用，将问题转化为两函数交点的问题是解题的关键，属于常考题型.3．B解析：B 【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解． 【详解】∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥． 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．4．C解析：C 【分析】由题，可得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，通过求方程组的解，即可得到本题答案，记得要检验.【详解】因为322()f x =x ax bx a +++，所以2()32f x x ax b '=++，由题，得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，因为当3,3a b =-=时，2()3(1)0f x x '=-≥恒成立，()f x 在R 上递增，无极值，故舍去，所以4(11)15a b -=--=.故选：C 【点睛】本题主要考查含参函数的极值问题，得到两组解后检验，是解决此题的关键.5．B解析：B 【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以28b x x>--， 设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max 182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以8b >-，故选B. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.6．B解析：B 【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭，则只需10a -+≥即可，解不等式求得结果. 【详解】由题意得：()()sin cos 4xx x f x ex a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0x e >04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立 当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭xsin 4x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.7．D解析：D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，由此列不等式组，解不等式组求得x 的取值范围. 【详解】由210x ->解得1x <-或1x >，故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当1x >时，令22x x y -=+，'1412ln 2ln 2022x x x x y -⎛⎫=-=⨯> ⎪⎝⎭，所以22x x y -=+在1x >时递增，根据复合函数单调性可知()2ln 1y x =-在1x >时递增，所以函数()f x 在1x >时递增，故在1x <-时递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞.故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数不等式的解法，属于中档题.8．B解析：B 【解析】令()()()()()0,(0)1x xf x f x f xg x g x g e e-=∴=<'=' 所以()xe f x >()1(0)0g x g x ⇒=⇒ ,选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等9．B解析：B 【分析】构造函数()()212g x f x x =-，可得()g x 在[)0,+∞上单调递增，利用奇偶性的定义知()g x 是奇函数，进而求解不等式即可.【详解】由题意当0x ≥时，()f x x '>，构造函数()()212g x f x x =-， 则()()'0g x f x x '=->，得()g x 在[)0,+∞上单调递增， 又由条件()()2f x f x x +-=得()()0g x g x +-=.所以()g x 是奇函数，又()g x 在[)0,+∞上单调递增且()00g =，所以()g x 在R 上单调递增，由()()222f k f k k --≥-，得()()20k g k g --≥，即()()2g k g k -≥， 根据函数()g x 在R 上单调递增，可得2k k -≥，解得1k ≤. 故选：B 【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，考查函数的奇偶性，属于中档题．10．A解析：A 【分析】根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】根据题意，设圆柱底面半径为r ，圆柱的高为h ，作出示意图如下所示：显然满足2224h r R =-， 故圆柱的体积()23214h r h h R h πππ=⨯=-+， 故可得()223,(02)4V h h R h R ππ<'=-+<， 令()0V h '>，解得230h <<，故此时()V h 单调递增， 令()0V h '<232h R <<，故此时()V h 单调递减. 故()23max V h V ⎫=⎪⎪⎝⎭. 即当23h =时，圆柱的体积最大. 故选：A .【点睛】 本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值，属综合中档题.11．D解析：D【分析】构造函数3()()1F x x f x =-，可得出3()()F x g x x=，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数3()()F x g x x =的零点个数. 【详解】设3()()1F x x f x =-，则3233()()()3()()f x F x x f x x f x x f x x '''⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时，3()()0f x f x x'+<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在(0,)+∞上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(,0)-∞上单调递增. 所以max ()(0)10F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点， 故331()()()F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选：D .【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 12．C解析：C【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性，即可求得结果.【详解】解：由已知可得，211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ， 则121221ln ln 11x x x x x x -<-，化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<， 而120x x <<，构造函数()ln 1x f x x+=，()2ln x f x x -'=， 令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则1x > ，所以函数()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立， 即()f x 在()0,a 为增函数，则01a <≤，故a 的最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查分析问题能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】构造函数再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：构造函数则当时在单调递增不等式即即故不等式的解集为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点构造一个适当的函数利用它的单调 解析：,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()sin f x g x x =，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】解：()()cos sin f x x f x x '<()()sin cos 0f x x x f x '∴->，构造函数()()sin f x g x x =， 则()()()2sin cos f x x f x x g x sin x '-'=， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， ()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， ∴不等式()f x x >，即()61sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>== 即()6xg g π⎛>⎫ ⎪⎝⎭， 26x ππ∴<< 故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题.14．【分析】连过作垂足为设则则等腰梯形的面积令利用导数求其最值【详解】连过作垂足为如图：设则所以等腰梯形的面积令单调递增单调递减所以时取得极大值也是最大值即的最大值故答案为：【点睛】本题考查了函数的实际 解析：33 【分析】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，设(02),OE x x CE y =<<=，则224x y +=，则等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+3(2)(2)x x =+-，令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<，利用导数求其最值.【详解】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，如图：设,OE x CE y ==，则224x y +=，所以等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+2(2)4x x =+-3(2)(2),02x x x =+-<<令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<232()3(2)(2)(2)4(1)(2)h x x x x x x '=+--+=-+，(0,1),()0,()x h x h x ∈'>单调递增，(1,2),()0,()x h x h x ∈'<单调递减，所以1x =时，()h x 取得极大值，也是最大值，max ()(1)27h x h ==，即S 的最大值33故答案为：33【点睛】本题考查了函数的实际应用，运用导数求最值时解题的关键，属于中档题.15．（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断（4）的正误综合可得出结论 解析：（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题（1），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，即1x >，解得1x <-或1x >，所以，函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，定义域关于原点对称，()()ln ln g x x x g x -=-==，则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦， 所以，函数()y F x =为偶函数，命题（1）正确；对于命题（2），对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 10f x x x =--≠，()111x f x x x'-=-=，令()0f x '=，得1x =，且函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()min 10f x f ==，则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞，定义域不关于原点对称，所以，函数()y G x =是非奇非偶函数，命题（2）错误；对于命题（3），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，由（2）知，函数()y f x =的最小值为0，则函数()y F x =的最小值为0，命题（3）正确；对于命题（4），令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦，可得()1f x =，则()1f x =或()1f x =-， 由（2）知，()()10f x f ≥=，所以方程()1f x =-无解；令()()1ln 2h x f x x x =-=--，由（2）可知，函数()y h x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110h =-<，()42ln422ln20h =-=->， 由零点存在定理可知，函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点， 所以，方程()1f x =有两个实根，即函数()y G x =有两个零点，命题（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4）.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，复合函数最值以及零点个数的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．【分析】由当时不等式恒成立变形得到当时不等式恒成立即在上是增函数然后由在上是恒成立求解【详解】因为当时不等式恒成立即当时不等式恒成立所以在上是增函数所以在上是恒成立即在上是恒成立令所以当时当时所以当 解析：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】由当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，变形得到当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，即()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，然后由()0g x '≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立求解.【详解】因为当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，即当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，所以()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，所以()230x g x e ax '=-≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立， 即23xe a x≤，在()0,x ∈+∞上是恒成立， 令2()3xe h x x=， 所以()32()3x e x h x x-'=， 当02x <<时，()0h x '<，当2x >时，()0h x '>，所以当2x =时，()h x 取得最小值，最小值为212e ， 所以实数a 的取值范围为2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】求出函数的导数利用函数的极值点转化列出不等式求解即可【详解】解：可得导函数的对称轴为x ＝﹣1f （x ）在（﹣22）上有极值可得或可得或解得故答案为：【点睛】本题考查函数的导数的应用函数的极值的 解析：1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出函数的导数，利用函数的极值点，转化列出不等式求解即可.【详解】解：()321213f x x x ax =+-+， 可得()'222f x x x a =+-，导函数的对称轴为x ＝﹣1，f （x ）在（﹣2，2）上有极值，可得(2)0(1)0f f >⎧⎨-<''⎩或(2)0(1)0f f ->⎧⎨-<''⎩， 可得44201220a a +->⎧⎨--<⎩或44201220a a -->⎧⎨--<⎩， 解得1,42a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故答案为：1,42⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力. 18．【分析】先求出得到在上单调递增要使得在上单调递增则从而得到答案【详解】由函数有由得得所以在上单调递增在上单调递减又函数在上单调递增则则解得：故答案为：【点睛】本题考查函数在某区间上的单调性求参数的范 解析：[]0,1e -【分析】先求出()21ln x f x x-'=，得到()f x 在()0e ，上单调递增，要使得在(),1a a +上单调递增，则()(),10a a e +⊆，，从而得到答案.【详解】由函数()ln x f x x =有()()2ln 1ln 0x x f x x x x -'==> 由()0f x '>得0x e <<，()0f x '<得x e >.所以()f x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减，又函数()ln x f x x =在(),1a a +上单调递增，则()(),10a a e +⊆， 则01a a e≥⎧⎨+≤⎩ ，解得：01a e ≤≤-.故答案为：[]0,1e -【点睛】本题考查函数在某区间上的单调性，求参数的范围，属于基础题.19．【分析】设正四棱锥的底面边长为即可由表示出和的等量关系进而表示出正四棱锥的体积利用导函数判断单调性由单调性即可求得最值并求得取最值时的高的值【详解】设正四棱锥的底面边长为因为所以即所以正四棱锥的体积【分析】设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，即可由4PA =表示出a 和h 的等量关系，进而表示出正四棱锥P ABCD -的体积.利用导函数，判断单调性，由单调性即可求得最值，并求得取最值时的高h 的值.【详解】设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，因为4PA =，所以22162a h +=， 即22322a h =-，所以正四棱锥P ABCD -的体积()2313220333V a h h h h ==->， 可得232'23V h =-，令'0V =，解得h =当03h <<，可得'0V >，可知V 在03h <<内单调递增，当h >'0V <，可知V 在h >所以当h =P ABCD -的体积取得最大值，即16322313V ⎛⎫-⨯ =⎪⎝⎭=【点睛】本题考查了正四棱锥的性质与应用，四棱锥的体积公式，利用导数求函数的最值及取最值时的自变量，属于中档题.20．【分析】先判断函数为偶函数再利用导数判断函数在递增从而将不等式转化为进一步可得不等式解对数不等式即可得答案【详解】的定义域为且即有即为偶函数；又时则在递增不等式即为即有可得即有即或解得或则解集为故答 解析：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】先判断函数为偶函数，再利用导数判断函数在0x >递增，从而将不等式转化为()()lg 2f x f >，进一步可得不等式lg 2x >，解对数不等式即可得答案.【详解】()2sin cos f x x x x x =++的定义域为R ，且()()()()()22sin cos sin cos f x x x x x x x x x -=--+-+-=++， 即有()()f x f x -=，即()f x 为偶函数；又0x >时，()()sin cos sin 22cos 0f x x x x x x x x '=+-+=+>，则()f x 在0x >递增，不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>， 即为()()()lg lg 22f x f x f +->， 即有()()lg 2f x f >， 可得()()lg 2f x f >， 即有lg 2x >，即lg 2x >或lg 2x <-，解得100x >或10100x <<， 则解集为()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意偶函数(||)()f x f x =这一性质的应用.三、解答题21．（1）()f x 在(,0)2π-上单调递减；（2）有且仅有2个零点. 证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的单调性判断即可；（2）令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-，求出函数的导数，通过讨论x 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可证明结论成立.【详解】（1）()cos sin 1cos()14x x x f x e x e x x π⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭'，()cos sin 44x x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝'⎝⎭ 2cos()2sin 2x x e x e x π=+=-.(,0)2x π∈-，sin 0x ∴<，()0f x ''∴>，所以()'f x 在(,0)2π-上单调递增，()(0)0f x f ''<=， ()f x ∴在(,0)2π-上单调递减.（2）()()f x g x -在区间[,]22ππ-上有且仅有2个零点. 证明：令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-，所以()()()cos sin cos sin x F x ex x x x x '=--+， ①当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时， 因为()()cos sin 0,cos sin 0x x x x x ->-+>，()()0,F x F x '∴>在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增， 又()010,022F F ππ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭. ()F x ∴在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上有一个零点； ②当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos sin 0,0x x x e x ≥>>>，()cos sin sin sin sin ()0x x x F x e x x x e x x x x e x ∴=-≥-=->恒成立.()F x ∴在04π⎛⎤ ⎥⎝⎦，上无零点；③当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时， 0cos sin x x <<， ()()()cos sin cos sin 0x F x e x x x x x '∴=--+<，()F x ∴在42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减；又40,022424F F e πππππ⎫⎛⎫⎛⎫=-<=->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()F x ∴在42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上必存在一个零点； 综上，()()f x g x -在区间[,]22ππ-上有且仅有2个零点. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.22．（1）最大值为24e ，最小值为2e -；（2）[)2,-+∞.【分析】（1）2a =-代入()f x ，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；（2）先利用极限思想进行估值x →+∞时()0f x '>，来确定()f x 在()1,+∞上单增，()0f x '≥，再对32310x x a x -++-≥分离参数，研究值得分布即得结果.【详解】（1）()()3231x f x e x x a x '=-++-当2a =-时，()()()()()3233311x x f x e x x x e x x x '=+--=+-+∴()f x '在()3,1--和()1,+∞上为正，在(),3-∞-和()1,1-上为负，∴()f x 在()3,1--和()1,+∞上单增，在(),3-∞-和()1,1-上单减，有()21f e-=-，()224f e =，()12f e =-，故()f x 在[]1,2-上的最大值为24e ，最小值为2e -；（2）由()()3231x f x e x x x a '=+-+-知，当x →+∞时，()0f x '>，若()f x 在()1,+∞上单调则只能是单增，∴()0f x '≥在()1,+∞恒成立，即32310x x a x -++-≥∴3231a x x x ≥--++，令()3231g x x x x =--++，1x >，则()23610g x x x '=--+<，∴()g x 在()1,+∞递减，()()12g x g <=-，∴[)2,a ∈-+∞.【点睛】（1）利用导数研究函数()f x 的最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.（2）函数()f x 在区间I 上递增，则()0f x '≥恒成立；函数()f x 在区间I 上递减，则()0f x '≤恒成立.（3）解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.23．（1）函数()g x的一个极大值点为，对应的极大值为9，另一个极大值点为9；函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为0；（2）4,13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【分析】(1)求出()g x 的表达式，结合函数的奇偶性即可求出140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，从而可确定()g x 的解析式，求出导数即可求出函数的极值点和极值.(2)结合第一问可得()h x 的解析式，从而可求出2()32h x cx x c '=-+，由()h x 的单调性可得213c x x ≥+在[]2,5上恒成立，设()13m x x x =+，利用导数求出()m x 在[]2,5上的最小值，从而可求出实数c 的取值范围.【详解】解：（1）∵432()f x ax x bx =++，∴32()432f x ax x bx '=++，∴432()()()(41)(3)2g x f x f x ax a x b x bx '=+=+++++，因为()g x 为偶函数，∴41020a b +=⎧⎨=⎩，解得140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴431()4f x x x =-+，则421()34g x x x =-+，∴3()6(g x x x x x x '=-+=-，由()0g x '>，解得x <或0x <<()0g x '<，解得>x0x <<； ∴()g x在(,-∞，(单调递增；在()，)+∞单调递减．∴函数()g x的一个极大值点为(9g =，9g =； 函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为()00g =.（2）由（1）知431()4f x x x =-+，∴43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++322cx x cx c =-++，∴2()32h x cx x c '=-+，因为函数()h x 在[]2,5上单调递增，∴2320cx x c -+≥在[]2,5上恒成立，即 2221313x c x x x≥=++在[]2,5上恒成立，设()13m x x x =+，令()22213130x m x x x -'=-==，解得[]2,5x =， 当[]2,5x ∈时，()0m x '>，所以()13m x x x=+在[]2,5上单调递增， 则()()1322m x m ≥=，所以24=13132c ≥. 【点睛】方法点睛：已知奇偶性求函数解析式时，常用方法有：一、结合奇偶性的定义，若已知偶函数，则()()f x f x -=，若已知奇函数，则()()f x f x -=-，从而可求出函数解析式；二、由奇偶性的性质，即偶函数加偶函数结果也是偶函数，奇函数加奇函数结果也是奇函数. 24．（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）分别在0a ≤和0a >两种情况下，根据()f x '的正负可确定()f x 的单调性；（2）根据（1）的结论可确定0a <不合题意；当0a =时，根据指数函数值域可知满足题意；当0a >时，令()min 0f x >，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）由题意得：()22xf x e a '=-， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在R 上单调递增；当0a >时，令()0f x '=得：1ln 22a x =. 当1ln 22a x <时，()0f x '<，()f x ∴在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1ln 22a x >时，()0f x '>，()f x ∴在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）可知：当0a <时，()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，20x e →，()1a x +→+∞，此时()0f x <，不合题意；当0a =时，2()0x f x e =>恒成立，满足题意.当0a >时，()f x 在1ln 22a x =处取最小值，且1ln ln 22222a a a a f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 令ln 0222a a a -->，解得：20a e <<，此时()0f x >恒成立. 综上所述：a 的取值范围为20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果.25．（1）2a =-（2）21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭【分析】（1）将(),()f x g x 的解析式代入曲线()()y f x g x =-，根据导数几何意义及垂直直线的斜率关系即可求得a 的值；（2）将0x 代入导函数(),()f x g x ''，并代入不等式中化简变形，构造函数1()ln a m x x a x x+=-+，求得()m x '并令()0m x '=，对a 分类讨论即可确定满足题意的a 的取值范围.【详解】（1）由21()()ln 2y f x g x x a x =-=-， 得()a y x x x'=-.在2x =处的切线斜率为22a -， 直线370x y +-=的斜率为13-， 由垂直直线的斜率关系可知232a -=， 解得2a =-.（2）21(),()ln 2f x xg x a x ==， 则(),()a f x x g x x '='=， 不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln a x a x x x +<-. 整理得0001ln 0a x a x x +-+<. 构造函数1()ln a m x x a x x +=-+， 由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <.22221(1)(1)(1)()1a a x ax a x a x m x x x x x+--+--+'=--==. 因为0x >，所以10x +>，令0mx '=（），得1x a =+. ①当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增.只需()120m a =+<，解得2a <-.②当11a e <+≤即01a e <≤-时，()m x 在1x a =+处取最小值.令(1)1ln(1)10m a a a a +=+-++<即11ln(1)a a a ++<+， 可得11ln(1)(*)a a a++<+. 令1t a =+，即1t e <≤，不等式（*）可化为1ln 1t t t +<-： 因为1t e <≤，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立. ③当1a e +>，即1a e >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减， 只需1()0a m e e a e +=-+<，解得211e a >e +-.综上所述，实数的取值范围是21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及由垂直关系求参数，导函数在解不等式中的应用，构造函数法分析函数的单调性、最值的综合应用，属于中档题.26．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）6π． 【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ），△CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ）=8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则()()()()222'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+． 令()'=0f θ，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.。
202新数学复习第二章函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值学案含解析
第二节函数的单调性与最值课标要求考情分析1。
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。
1。
主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题．2．题型以选择题、填空题为主，若与导数交汇命题则以解答题的形式出现,属中高档题.知识点一函数的单调性1．增函数、减函数的定义定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2:(1)增函数：当x1〈x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f（x)在区间D上是增函数；（2）减函数：当x1〈x2时，都有f（x1）〉f(x2)，那么就说函数f(x）在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y ＝f（x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．注意以下结论1．对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，错误!>0⇔f(x)在D上是增函数，错误!<0⇔f（x)在D上是减函数．2．对勾函数y＝x＋错误!(a〉0）的增区间为(－∞,－错误!]和［错误!，＋∞）,减区间为[－错误!，0）和(0，错误!]．3．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．4．函数f(g（x))的单调性与函数y＝f（u）和u＝g(x）的单调性的关系是“同增异减”．知识点二函数的最值1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）(1）对于函数f（x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有（x1－x2）[f（x1）－f(x2)］〉0,则函数f（x)在区间D上是增函数．(√)（2）函数y＝1x的单调递减区间是（－∞,0）∪(0,＋∞)．（×）（3）对于函数y＝f(x）,若f(1）<f（3)，则f（x)为增函数．(×)（4）函数y＝f（x）在［1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1,＋∞）．（×）解析:（2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1,则f（－1)〈f(1），故应说成单调递减区间为(－∞,0）和（0,＋∞）．(3）应对任意的x1<x2，f（x1)〈f(x2）成立才可以．（4)若f（x)＝x,f（x)在[1，＋∞）上为增函数，但y＝f(x）的单调递增区间是R.2．小题热身（1)下列函数中,在区间（0，＋∞)内单调递减的是（A）A．y＝错误!－x B．y＝x2－xC．y＝ln x－x D．y＝e x(2）函数f（x)＝－x＋错误!在区间错误!上的最大值是(A)A．错误!B．－错误!C．－2 D．2（3)设定义在[－1，7］上的函数y＝f(x)的图象如图所示,则函数y＝f（x)的增区间为［－1,1]和[5,7］．(4）函数f（x）＝错误!的值域为（－∞，2）．（5）函数f(x）＝错误!在[2,6]上的最大值和最小值分别是4,错误!.解析：（1）对于A,y1＝错误!在(0，＋∞）内是减函数，y2＝x在（0，＋∞)内是增函数，则y＝1x－x在（0，＋∞)内是减函数；B,C选项中的函数在（0，＋∞）上均不单调；选项D中，y＝e x 在(0,＋∞）上是增函数．（2）∵函数y＝－x与y＝错误!在x∈错误!上都是减函数，∴函数f（x)＝－x＋错误!在错误!上是减函数，故f(x）的最大值为f（－2）＝2－错误!＝错误!.(3）由图可知函数的增区间为[－1，1］和［5,7]．（4）当x≥1时，f(x）＝log错误!x是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；x<1时，f（x）＝2x是单调递增的,此时,函数的值域为（0,2)．综上，f（x)的值域是(－∞,2)．(5）函数f（x）＝错误!＝错误!＝2＋错误!在［2，6]上单调递减，所以f（x）min＝f（6)＝错误!＝错误!。
§3.3-导数的应用(二)
●利用导数解决实际问题中的最值问题的注意事项 (1)在求 实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义， 不符合实际问题的值应舍去. (2)在实际问题中，有时会遇 到函数在区间内只有一个点使 f′(x)＝0的情形，那么不 与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值. (3)在解决实 际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关 系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围.
A.－2
B.0
C.2
D.4
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2(舍去).
比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2. 答案：C
第9页
3.已知函数f(x)= 1 x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数 2
m的取值范围是()
第30页
创新预测3某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部 分),形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边),已知 AB=2km,BC=6km,AE=BF=4km,其中AF是以A为顶点､AD为 对称轴的抛物线段.试求该高科技工业园区的最大面积. 解析:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD 所在直线为y轴建立直角坐标系,如图,则 A(0,0),F(2,4),
第24页
规律方法:不等式f(x)≥m(或≤m)恒成立的问题可以转化为求函 数f(x)的最小(大)值问题,f(x)≥m恒成立,即m≤f(x)min,f(x)≤m恒 成立即f(x)max≤m.
第25页
创新预测2设函数f(x)= 1 x2+ex-xex. 2
(1)求f(x)的单调区间; (2)若当x∈【 -2，2】时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m. 解析:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), 因为f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex), 由f′(x)=x(1-ex)>0得x<0,由f′(x)<0得x>0, 则f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).
导数的应用(二)
－hx，且 f(x)∈Ω1，f(x)∉Ω2，则实数 h 的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) 答案 C
D．(－∞，0]
解析 因为 f(x)∈Ω1 且 f(x)∉Ω2，即 g(x)＝fxx＝x2－2hx－h 在(0，＋∞) 上是增函数，所以 h≤0，而 h(x)＝fxx2＝x－hx－2h 在(0，＋∞)上不是增函 数，因为 h′(x)＝1＋xh2，所以当 h(x)在(0，＋∞)上是增函数时，有 h≥0， 当 h(x)在(0，＋∞)上不是增函数时，有 h<0.综上所述，实数 h 的取值范围 是(－∞，0)，故选 C．
A．f(0)>f(log32)>f(－log23) B．f(log32)>f(0)>f(－log23) C．f(－log23)>f(log32)>f(0) D．f(－log23)>f(0)>f(log32) 答案 C
解析 因为 f′(x)是奇函数，所以 f(x)是偶函数．所以 f(－log23)＝ f(log23)，而 log23>log22＝1,0<log32<1，所以 0<log32<log23.又当 x>0 时， f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以 f(0)<f(log32)<f(log23)，所 以 f(0)<f(log32)<f(－log23)．
∴当 a≥1 时，f(x)min＝f(1)＝1>0 恒成立， 当 a<1 时，f(x)min＝f(a)＝2a－a2≥0，∴0≤a<1. 综上，a≥0. 当 x>1 时，f(x)＝x－aln x≥0 恒成立， 即 a≤lnxx恒成立．
202新数学复习第二章函数导数及其应用2.2.2利用导数证明不等式学案含解析
第2课时利用导数证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有:(1）直接构造法:证明不等式f(x）〉g(x)（f（x)<g(x))转化为证明f(x)－g（x）>0（f（x）－g(x）〈0），进而构造辅助函数h（x）＝f(x）－g(x)；(2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，e x≥x＋1，ln x〈x<e x（x〉0),错误!≤ln（x＋1)≤x（x>－1）；(3)特征分析构造法：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构"构造辅助函数；(4）构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f（x)和g(x)，利用其最值求解．方法1直接构造差函数法【例1】已知函数f(x)＝1－错误!,g(x)＝错误!＋错误!－bx(e为自然对数的底数），若曲线y＝f(x)与曲线y＝g（x）的一个公共点是A（1,1）,且在点A处的切线互相垂直．(1）求a，b的值；(2)求证：当x≥1时,f（x）＋g(x)≥错误!.【解】（1）因为f（x)＝1－ln x x，所以f′（x)＝错误!，f′（1)＝－1。
因为g(x)＝错误!＋错误!－bx，所以g′(x）＝－错误!－错误!－b。
因为曲线y＝f(x）与曲线y＝g(x）的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g（1）＝1，且f′（1)·g′(1)＝－1，即g(1）＝1＋a－b＝1，g′（1）＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1。
（2)证明：由(1)知,g（x）＝－错误!＋错误!＋x,则f(x)＋g（x)≥2x⇔1－错误!－错误!－错误!＋x≥0.令h(x)＝1－错误!－错误!－错误!＋x(x≥1),则h′(x)＝－错误!＋错误!＋错误!＋1＝错误!＋错误!＋1.因为x≥1，所以h′(x)＝ln xx2＋错误!＋1>0，所以h(x）在[1，＋∞)上单调递增，所以h（x)≥h（1)＝0,即1－错误!－错误!－错误!＋x≥0,所以当x≥1时,f(x)＋g(x）≥错误!。
122 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)PPT课件
第一章 导数及其应用
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
4
4
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【解】 (1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的 导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__∴
y′＝
(x2)′＋
s (
in
应用高等数学-2.2 导数的运算(2)
练习册第二章 练习三
1
3
(1 x2 )2
.
6. 设 y = sin(xln x)， 求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
§2-2 导数的运算(二）
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
3、 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
4、 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
2
3
y
1 2
1 x2
1
2xΒιβλιοθήκη 3(1 x2)
x x2 1
1 3( x
2)
5.
设 y x ,求 y .
1 x2
解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
ex 2y y' y x y'， 解方程得
y' e x y . x 2y
例2 设 y y(x)由 sin y xe y 0 确定 ，求 y' . 解 对方程 sin y xe y 0两边同时关于x求导，得
(sin y) (xey ) 0
即 cos y y ey xey y 0
第一讲 导数偏导数及其应用(2)
第一讲 导数、偏导数及其应用(第二次作业)二、求多元函数的偏导数1．具体函数的偏导数 30．（1）设z =，则 z zxyx y∂∂+∂∂= ． （2）设1(,)sin ln 1xy xf x y e x y -+=++，则(1,0)x f '= ． （3）设(,)arctan1x xyf x y xy+=-，则(1,2)x f '= ． （4）设u =，则222222u u ux y z ∂∂∂++∂∂∂= ． （5）设223d x y t xz e t --=⎰，则2zx y∂∂∂= ． 31．设222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩则(0,0)y f '= ( ).(A)4 (B) 2 (C)1 (D) 0 【答】B2．抽象函数的偏导数 32．设 x z xy f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()f u 为可导函数，求 z zx y x y ∂∂+∂∂． 33．设 22(23,)z f x y x y =-+，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求 2zx y∂∂∂．34．设 (,)y z f x xy x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶导数，求 2z x y ∂∂∂．35．设函数()f u 具有二阶连续导数，(sin )xz f e y =满足方程 22222x z ze z x y∂∂+=∂∂，求()f u ． 36．设变换2u x y v x ay=-⎧⎨=+⎩可将方程2222260z z zx x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20z u v ∂=∂∂,求常数a . 3．一个方程确定的隐函数的（偏）导数 37．设x y z z ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()u ϕ为可导函数，求 z z xy x y ∂∂+∂∂． 38．设(),0f cx az cy bz --=，求 z zab x y∂∂+∂∂． 39．设()y y x =由方程1yy xe -=确定，求202d d x yx =的值．[92-3]【答】22e ．40．证明由方程,0z z F x y y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定的函数(,)z z x y =满足z z x y z xy x y ∂∂+=-∂∂．41．设(,)z z x y =是由zz e xy +=确定的二元函数，求2(1,1)zx y∂∂∂.4．由方程组确定的隐函数的（偏）导数42．设(,),(,)z f x y x y z ϕ==，其中,f ϕ都是可微函数，求d d y x． 43．设(,),(,)u u x y v v x y ==是由方程组sin ,cos uux e u v y e u v⎧=+⎪⎨=-⎪⎩确定的函数，求,u v x x ∂∂∂∂. 【答】sin cos ,(sin cos )1[(sin cos )1]uu uu v v v e x e v v x u e v v ∂∂-==∂-+∂-+. 5．函数的全微分44．当2,1x y ==时，函数22ln(1)z x y =++的全微分d z = ． 【答】21d d 33x y + 45．由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z = ．【答】d x y46．设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ ）．（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （B ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微 （C ）一元函数0(,)f x y 在点0x 处可导 （D ）以上答案都不对 【答】C47．函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在是函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续的（ ）. （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要的条件 【答】D48．函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在是函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微的（ ）. （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要的条件 【答】B49．设函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩，则(,)f x y 在点(0,0)处（ ）.(A)偏导数不存在 (B)偏导数存在但不可微 (C)可微但偏导数不连续 (D)偏导数连续 【答】B50．设函数222222()0,(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩，则(,)f x y 在点(0,0)处（ ）.（A ）,f f x y ∂∂∂∂不存在 （B ）,f fx y∂∂∂∂连续 （C ）可微 （D ）不连续 【答】C6、方向导数与梯度51．已知u 是曲线2226,0x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩在点(1,2,1)处的切线向量，且它与与oz 轴正向夹角为锐角，求函数(,,)f x y z =在点(1,1,0)-处沿方向向量u 的方向导数fu∂∂. 【答】01(1,1,0)(1,1,0)2D f f -=∇-=-u u． 52．设u 为抛物线24y x =在点(1,2)处与x 轴正方向夹角为锐角的单位切向量，则函数ln()z x y =+在点(1,2)处沿u 方向的方向导数为 ．【答】353．已知u 是空间曲线Γ：22,,4x t y t z t t ===- 在点(1,1,3)P -处的切线向量，且它与Oz 轴正向夹角为锐角，求函数2(,,)f x y z x y z =+在点P 处沿方向向量u 的方向导数f u∂∂. 【答】{}012,3,1,233322f f u ∂⎧⎫==---=⎨⎬∂⎩⎭grad u ，． 54．求函数22(,)f x y x y =-在点P 处沿曲线22221x y a b +=在该点的外法线方向的方向导数. 【答】00fgrad f n∂==∂n ． 55．函数()222ln u x y z =++在点(1,1,1)处的最大方向导数是 .三、一元函数导数的应用 1． 求曲线的切线与法线56．（1）求曲线3y x =在点(1,1)处的切线与法线的方程．（2）过点(2,0)作曲线3y x =的切线，求此切线方程．57．已知曲线2y ax =（a 为常数）与ln y x =在点x b =处有公共切线，求,a b 的值．58．求极坐标方程(1cos )a ρθ=+的图形对应3πθ=处的切线方程．59．若曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切，其中,a b 是常数，则（ ）. （A ） 0,2a b ==- （B ）1,3a b ==- （C ） 3,1a b =-= （D ）1,1a b =-=- 60．设)(x f 为可导函数，它在0=x 的某邻域内满足)(3)1(2)1(x o x x f x f +=--+，其中)(x o 是当0→x 时比x 高阶的无穷小量，则曲线)(x f y =在点())1(,1f 处的切线方程为（ ）.(A)2+=x y (B)1+=x y (C)1-=x y (D)2-=x y61．设函数n x x f )(ln )(=的图形在点)1,(e 处的切线与x 轴的交点坐标为)0,(n a ，试求)(lim n n a f ∞→.2． 一元函数的单调性与极值62．讨论函数1233()(1)(2)f x x x =--的单调区间与极值．63．设2()()lim1()x a f x f a x a →-=--，则在点x a =处（ ）. （A ） ()f x 的导数存在，且()0f a '≠ （B ）()f x 取得极大值（C ） ()f x 取得极小值 （D ）()f x 的导数不存在64．已知常数0a >，问方程xe ax =有几个实数根？3． 一元函数图形的凹凸性65．求曲线x y xe -=的凹凸区间与拐点． 66．用导数知识画出函数1(6)xy x e =+的图形．67．如果()()f x f x -=，且在(0,)+∞内，()0,()0f x f x '''>>，则在(,0)-∞内，（ ）． （A ）()0,()0f x f x '''>> （B ） ()0,()0f x f x '''>< （C ）()0,()0f x f x '''<> （D ）()0,()0f x f x '''<<68．设函数()f x 在(,)a b 内连续，其导函数的图形如右，记p 为函数()f x 的极值点个数，q 为()f x 图形的拐点个数，则（ ）．（A ）4,1p q == （B ）4,2p q == （C ） 3,2p q == （D ）2,3p q == 69．设()t ϕ是正值连续函数，()||()d a af x x t t t ϕ-=-⎰，(0)a x a a -≤≤>，证明函数()f x 在区间[,]a a -上的图形是向上凹的．70．先将函数)1ln()(2x x x f +=展开成带佩亚诺余项的7阶麦克劳林公式，再求)0()7(f ，并问点(0,0)是否为该函数图形的拐点？4． 函数的最大值与最小值71．用输油管把离岸12公里的一座油井和沿岸往下20公里处的炼油厂连接起来（如图5.1.8），如果水下输油管的铺设成本为每公里50万元，陆地输油管的铺设成本为每公里30万元.问应如何铺设水下和陆地输油管，使总的连接费用最小？【答】最小的连接成本为1080万元，最优的连接方案为：从炼油厂沿岸在陆地上铺设11公里到D 点，然后在水下铺设15公里的管道AD . 72．某种疾病的传播模型为()1tPf t ce -=+，其中P 是总人口数，c 是固定常数，)(t f 是到t 时刻感染该病的总人数，求（1）该种疾病的传播速率；（2）当传播速率最大时，感染该病的总人数．第68题图73．三角形由0,230,3=-==y x y x y 围成，在三角形内作矩形ABCD ，其一边AD 与x 轴重合，另两顶点B 、C 分别在x y x y 230,3-==上，求此长方形面积的最大值．5． 用洛必达法则及泰勒公式求不定型极限74．设()f x 在0x 处二阶可导，求极限00020()2()()lim h f x h f x f x h h →+-+-．75．计算下列极限 （1）30sin limx x x x →- （2）0x → （3）2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭（4）()21lim 1tan 2x xx π→- （5）0lim xx x+→ （6）()12lim 2xxx x →∞+（7）2112lim sin cos x x x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （8）sin lim sin x x x x x →∞-+ （9）x x dt e x xt x sin lim 002-⎰--→76．计算极限 2230cos limln(1)x x x ex x -→-+．77．设()f x 在点0x =的某邻域内可导，且320sin 3()lim 0x x f x xx →⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求（1）(0),(0),(0)f f f '''；（2）2203()lim 0x f x x x →⎛⎫+=⎪⎝⎭．78．设 20ln(1)()lim 2x x ax b x →+-+=，则（ ）．（A ） 51,2a b ==- （B ）0,2a b ==-（C ） 50,2a b ==- （D ）0,2a b ==-【答】（A ）6． 变化率与相关变化率79．一容器的侧面和底面分别由曲线段)21(12≤≤-=x x y 和直线段)10(0≤≤=x y 绕y 轴旋转而成（坐标单位长度为1米），若以每分钟1立方米的速度向容器内注水，求当水面高度达到容器深度一半时，水平面上升的速度． 【答】π52(米/分) ８０．现有甲乙两条正在航行的船只，甲船向正南航行，乙船向正东直线航行．开始时甲船恰在乙船正北 40 km 处，后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20 km ，此时速度为 15 km/h ；乙船向东航行了15 km ，此时速度为 25 km/h ．问这时两船是在分离还是在接近 ，速度是多少 ？ 【答】 它们正以3 km/h 的速度彼此远离 ．四、多元函数偏导数的应用1. 空间曲线的切线和法平面81．空间曲线23,2,1x t y t t z t ==-=-在对应于1t =的点处的切线方程是 ．【答】11103x y z-+== 82．设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则下列结论正确的是（ ）.（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微 （B ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （C ）曲线0(,),z f x y x x =⎧⎨=⎩在点0000(,,(,))x y f x y 的切线方向向量为00{0,1,(,)}x f x y '（D ）曲线0(,),z f x y y y =⎧⎨=⎩在点0000(,,(,))x y f x y 的切线方向向量为00{1,0,(,)}x f x y '【答】D83．证明：圆柱螺旋线Γ：cos ,sin ,x a t y a t z bt ===在任意一点处的切线都与某定直线交成相等的夹角.【证明】曲线Γ上任意一点的切向量为：{(),(),()}{sin ,cos ,}x t y t z t a t a t b '''==-T .因为cos γ=为常数，所以T 与k 交成相等的夹角，即圆柱螺旋线上任意一点处的切线都与z 轴交成相等的夹角.84．曲线23,,x t y t z t ===的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线（ ）. (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条 (D)不存在 【答】B2. 曲面的切平面和法线85．求曲面22823z x y =--在点(1,1,3)-处的切平面方程与法线方程. 【答】46130x y z -+-=．113461x y z -+-==--． 86．已知曲面222z x y z =++上点P 处的切平面与平面220x y z -+=平行，求点P 的坐标以及曲面在该点的切平面方程. 【答】 12202x y z -++= 以及 52202x y z -+-=． 87．曲面 222x y z +=在点(1,1,1)-处的法线方程为 ． 【答】111111x y z -+-==-- 88．曲面2221z x y =++在点(1,1,4)M -处的切平面方程为 . 【答】4220x y z ---= 3. 多元函数的极值与条件极值89．求函数3322(,)33f x y x y x y =+--的极值.【答】(0,0)0f =为函数的极大值；(2,2)8f =-为函数的极小值．90．设4422(,)2,(1,1)f x y x y x xy y A =+---和(1,1)B --是函数的驻点，则（ ）. (A)A 是极大点，B 是极小点 (B)A 及B 都是极大点 (C)A 是极小点，B 是极大点 (D)A 及B 都是极小点 【答】D91．某工厂生产甲、乙两种产品，其销售价格分别为每台12万元与每台18万元，总成本C 是两种产品产量x 和y （单位：台）的函数22(,)224C x y x xy y =+++（单位：万元），问：当两种产品的产量各为多少台时，可获最大利润？最大利润是多少？【答】生产甲产品2台，乙产品4台时，利润最大，对应的最大利润为44万元．92．在已给的椭球面2222221x y z a b c++=内的所有内接长方体（各边平行于坐标轴）中，求其体积之最大者.【答】(,,)x y z =时，V . 93．平面0x y z ++=交圆柱面221x y +=成一个椭圆，求这个椭圆上离原点最近和最远的点．【答】1。
2019教育第一章12123基本初等函数的导数及导数的运算法则(二)数学
类型 1 导数运算法则的应用(自主研析)
[典例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝15x5＋23x3； (2)y＝lg x－ex； (3)y＝ 1x·cos x； (4)y＝x－sinx2·cosx2.
解：(1)y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′＝x4＋2x2. (2)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
温馨提示 求导过程中，分步计算的每一步必须明 确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量 的导数．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)已知 f(x)＝xcos x，则 f′(x)＝cos x＋xsin x．( ) (2)已知 f(x)＝exx，则 f′(x)＝e1x.( ) (3)若函数 y＝f(x)的导数 f′(x)＝2x，则 f(x)＝x2.( ) (4)y＝e2x 的导数是 y′＝2·e2x.( )
(3)法一
y′＝
1x·cos
x′＝
1x′cos
x＋
1 x(cos
x)′＝(x
－12)′cos x－ 1xsin x＝－12x－32cos x－ 1xsin x＝－c2osxx3－
1 xsin
x＝－2coxs
xx－
1 xsin
x.
法二
y′
＝
1x·cos
x
(2)由题意可得 f′(x)＝3ax2＋1， 所以 f′(1)＝3a＋1， 又 f(1)＝a＋2，所以 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1， f(1))处的切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线 过点(2，7)， 所以 7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得 a＝1. 答案：(1)4x－y－3＝0 (2)1
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化率的数学工具。
在数学上，导数可以理解为函数在某一点处的斜率，也就是函数在该点附近的局部近似线性变化率。
导数的计算可以帮助我们研究函数的几何性质和特征，如最大值、最小值、凹凸性等。
导数的概念最初由牛顿和莱布尼兹在17世纪同时独立发现，是微积分学科的基础之一。
导数在实际生活中扮演着至关重要的角色。
通过导数，我们可以了解事物的变化速率和趋势，从而为我们的决策和行为提供依据。
比如在经济领域，导数可以帮助我们预测股票价格的波动趋势，优化投资组合，分析市场需求和供给关系。
在工程领域，导数可以帮助我们设计建筑的结构稳定性，优化材料的使用效率，提高工程项目的效率和安全性。
在医学领域，导数可以帮助我们分析生物体的生长发育规律，制定治疗方案和药物剂量，提高医疗技术水平和治疗效果。
导数不仅是一种抽象的数学概念，更是一种强大的工具和思维方式，对我们的生活、工作和社会发展有着深远而广泛的影响。
1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性体现在我们日常生活的方方面面。
导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们理解函数的变化规律以及预测未来的趋势。
在金融领域中，导数被广泛应用于投资和风险管理中，帮助分析股票价格的波动性和趋势，提高投资决策的准确性和效益。
在医学领域中，导数可以用来描述人体各种生理指标的变化趋势，帮助医生准确地诊断疾病和制定治疗方案。
在工程领域中，导数可以帮助工程师分析和优化设计方案，提高产品的质量和效率。
在生态学领域中，导数可以帮助科学家研究生态系统的稳定性和变化规律，提高环境保护和生态恢复的效果。
在物理学领域中，导数可以帮助研究人员描述物体的运动和相互作用，推动科学技术的发展和应用。
导数在实际生活中的重要性不言而喻，它不仅拓宽了我们对世界的认识，还促进了人类社会的进步和发展。
2. 正文2.1 金融领域中的应用金融领域中，导数的应用是非常广泛和重要的。
专题02 利用导数研究函数单调性问题(含参数讨论) (解析版)
导数及其应用专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论）一、知识储备往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。
常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。
二、例题讲解1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导可得()af x x x'-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可； 【详解】 （1）()af x x x'-=，(0,)x ∈+∞， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增， 当0a >时，令()0f x '=，得x a =，()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增；综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞；2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈） （1）求函数()y f x =的单调区间； 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间， 【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，(1)(2)()2(2)a x x a f x x a x x'+-=---= 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x >，由()0f x '<，得02ax <<， 所以，函数在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪.3．（2022·广西高三开学考试（理））函数()322f x x x ax =++，（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调性.【详解】（1）()'234f x x x a =++，1612a ∆=-①若43a ≥，则0∆≤，()'0f x ≥；()f x 单调递增； ②若43a <则0∆>，当x <x >()'0f x >，()f x 单调递增；x <<，()'0f x <，()f x 单调递减； 【点睛】若函数的导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.三、实战练习1．（2022·全国高三月考）设函数()()()21ln 11f x x x ax x a =++--+-，a R ∈．(1)求()f x '的单调区间 【答案】(1)答案见解析； 【分析】(1)先对函数()f x 进行求导，构造函数再分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，利用导数研究函数的单调性即可求解； 【详解】(1)由题意可得()f x 的定义域为{}1x x >-，()()ln 12f x x ax +'=-． 令()()()ln 121g x x ax x =+->-， 则()1122211a axg x a x x --=-='++． 当0a ≤时，当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当0a >时，当11,12x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以当0a ≤时，()f x '的单调递增区间为()1,-+∞； 当0a >时，()f x '的单调递增区间为11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．2．（2022·浙江舟山中学高三月考）已知函数()22ln (R)f x x x a x a =-+∈（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）当12a ≥时，函数在()0+∞，递增；当102a <<时，函数在()10,x 递增，()12,x x 递减，()2,x +∞递增其中12x x =； 【分析】（1）求()f x '，令()0f x '=可得2220x x a -+=，分别讨论0∆≤和0∆>时，求不等式()0f x '>，()0f x '<的解集，即可求解；【详解】（1）()22ln (R)f x x x a x a =-+∈定义域为()0,∞+， ()22222a x x af x x x x-+'=-+=()0x >， 令()0f x '=可得2220x x a -+=， 当480a ∆=-≤即12a ≥时，()0f x '≥对于()0,x ∈+∞恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当480a ∆=->即102a <<时，由2220x x a -+=可得：x =，由()0f x '>可得：0x <<或x >由()0f x '<x <<所以()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减， 综上所述：当12a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭. 3．（2022·山东济宁一中）已知函数()ln f x x a x =-，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的范围，最后得到函数的单调区间； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x a f x x x'-=-=0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；0a >时，令()0f x '=，得x a =．当0x a <<时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； 当0a >时，函数()x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞． 4．（2022·仪征市精诚高级中学高三月考）已知函数()()1n f x x ax a =-∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性； 【详解】 （1）11()(0)axf x a x xx-'=-=> 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=， 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．5．（2022·嘉峪关市第一中学高三模拟预测（理））已知函数()21xf x e ax =--，()()2ln 1g x a x =+，a R ∈.（1）求()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的导函数()f x '，按a 分类解不等式()0f x '<、()0f x '>即得；【详解】(1)对函数()21x f x e ax =--求导得，()2xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数，当0a >时，由()20xf x e a '=-=，解得：()ln 2x a =，而()f x '在R 上单调递增，于是得当(,ln(2))∈-∞x a 时，()0f x '<，()f x 在(,ln(2))a -∞上为减函数， 当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()()ln 2,a +∞上为增函数， 所以，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是()()ln 2,a +∞；6．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x -'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-． 所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 7．（2022·嘉峪关市第一中学高三三模（理））设函数()2ln f x ax a x =--，其中a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导，当0a ≤时，可得()0f x '<，()f x 为单调递减函数；当0a >时，令()0f x '=，可得极值点，分别讨论在⎛ ⎝和+⎫∞⎪⎭上，()'f x 的正负，可得()f x 的单调区间，即可得答案.【详解】（1）()()212120.ax f x ax x x x-'=-=>当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减. 当0a >时，由()0f x '=，有x =此时，当x ∈⎛⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ∈+⎫∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增. 综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减，当0a >时，()f x 在⎛ ⎝内单调递减，在+⎫∞⎪⎭单调递增. 8．（2022·贵州省思南中学高三月考（文））设函数()22ln 1f x x mx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】(1)函数()f x 的单调性见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的定义域及导数，再分类讨论导数值为正、为负的x 取值区间即得； 【详解】(1)依题意，函数()f x 定义域为(0,)+∞，()222(1)2mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，由()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '>，当x >时，()0f x '<，于是得()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；9．（2022·河南（理））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）．（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求导得到221()mx mx f x x --'=-，转化为二次函数2()21g x mx mx =--的正负进行讨论，分0∆≤，0∆>两种情况讨论，即得解； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>， 令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减； 当80m -≤<时，()f x 在()0,∞+单调递增．10．（2022·河南高三月考（文））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）.（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导2121()(21)mx mx f x m x x x --'=--=-，令2()21g x mx mx =--，然后由0∆≤，0∆>讨论求解；【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>，令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减.综上，当80m -≤<时， ()f x 在()0,∞+单调递增；当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. 11．（2022·湖南高三模拟预测）设函数1()ln ,()3a f x x g x ax x-=+=-． （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间； 【答案】（1）答案见解析；（2）存在符合题意的整数λ，其最小值为0．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；【详解】解：（1）函数()ϕx 的定义域为()0,∞+，函数()ϕx 的导数2(1)(1)()x ax a x x ϕ'++-=， 当0a <时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 当01a 时，()ϕx 在R +上单调递增．当1a >时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上可知，当0a <时，()ϕx 的单调递增区间是10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a 时，()ϕx 的单调递增区间是(0,)+∞；当1a >时，()ϕx 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 12．（2022·安徽高三月考（文））已知函数21()ln 2f x x a x =-． （1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）12a =． 【分析】 （1）求导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；【详解】解：（1）由题意，可得0x >且2 ()a x a f x x x x-'=-= ①若0a ≤，()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上是增函数②0a >，则2()a x a f x x x x -==='-所以当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>则()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数综上所述，若0a ≤，()y f x =在(0,)+∞上是增函数若0a >，()y f x =在上是减函数，在)+∞上是增函数13．（2022·湖北武汉·高三月考）已知函数2()ln (1),2a f x x x a x a R =+-+∈ （1）讨论函数()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求得(1)(1)()x ax f x x '--=，分0a ≤，01a <<，1a =和1a >四种情况讨论，结合导数的符号，即可求解； 【详解】（1）由题意，函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+的定义域为(0,)+∞， 且21(1)1(1)(1)()(1)ax a x x ax f x ax a x x x-++--=+-+=='， ①当0a ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当01a <<时，令()0f x '>，解得01x <<或1x a>， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ③当1a =时，则()0f x '≥，所以在(0,)+∞上()f x 单调递增，④当1a >时，令()0f x '>，解得10x a<<或1x >， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 14．（2022·双峰县第一中学高三开学考试）已知函数()2()1e x f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，讨论0a =，0a >和0a <情况下，导数的正负，即可得到()f x 的单调性；【详解】（1）函数()2()1e x f x x ax =-+，求导()()()()21e 11e 2x x f x x a x a x a x '⎡⎤+=⎣+-⎦=-+-+由()0f x '=，得11x a =-，21x =-①当0a =时，()()21e 0x f x x '+≥=，()f x ∴在R 上单调递增；②当0a <时， 在(),1x a ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,1x a ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；③当0a >时， 在(),1x ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,a 1x ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x a ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；。
导数的应用最大值与最小值
一.教学内容导数的应用(二) 最大值与最小值一般地，在闭区间［a，b］上连续的函数f (x)在［a , b］上必有最大值与最小值；在开区间f (x)=丄(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如X在(O,-：：)内的图象连续，但无最大值和最小值。
设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a , b)内的极值；(2)将f (x)的各极值与f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
【典型例题】4 2［例1］求函数y - X - 2x 5在区间［_2,2］上的最大值与最小值。
3解：y” = 4x -4x，令y”=O，有4x3 -4^0 x「1,0,1当x变化时，y, y的变化情况如下表：从上表可知，函数y = X -2X在区间［-2 , 2］上最大值为13,最小值为4,利用此表可画出函数的图象如下:1410--2 -1 03 2［例2］已知f (x)二ax -6ax b, x ・［-1,2］的最大值为3,最小值-29，求a 、b 的值。
解：依题意a=0，否则f(x)二b 与已知矛盾。
2f (x) = 3ax -12ax = 3ax(x - 4)令「(x) =0解得x =0或x =4「(x) > 0(1 )当a >0时，由.一1兰x兰2解得一 1兰x v 0 令f(x) ：：： 0，解得0 ：：： x _2，列表如下：由f(x)连续，则当x = 0时，f(x)有最大值，即f(0) = b= 3 ，又由f(T) =「7a b f(2) =「16a b，则 f(2)为最小值，故-16a 3 一29二 a =2y_x 4-2x 2+5r- x所以，当a 0时，a =2，b =3 (2 )当a ::: 0时，列表如下:故f(x)最小值为f (0) =b = -29 , f (x)最大值为f ⑵二J6a -29 =3二a = -2所以，当a ：：：0 时，a - -2, b - -292 3 2［例3］已知两个函数f(x) =8x ^x-k ,g(x)=2x 5x *x,其中「R(1 )对任意的［-3,3］，都有f(x)'g(x)成立，求k的取值范围。
2023年高考数学总复习第三章 导数及其应用第2节：导数与函数的单调性(教师版)
2023年高考数学总复习第三章导数及其应用第2节导数与函数的单调性考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.利用导数研究函数的单调性，并会解决与之有关的方程(不等式)问题.1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.3.单调性的应用若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则y＝f′(x)在该区间上不变号.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数在(a，b)内单调递减与函数的单调递减区间为(a，b)是不同的.()(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.2.(易错题)函数f(x)＝x＋ln(2－x)的单调递增区间为()A.(－∞，1)B.(－∞，2)C.(1，＋∞)D.(2，＋∞)答案A解析由f(x)＝x＋ln(2－x)，得f′(x)＝1－12－x＝1－x2－x(x<2).令f′(x)>0，即1－x2－x>0，解得x<1.∴函数f(x)＝x＋ln(2－x)的单调递增区间为(－∞，1).3.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是()答案D解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图像易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.4.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.R答案B解析由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1，故选B.5.(易错题)若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________.答案－4解析f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1，4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]，∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.6.(2021·青岛检测)已知函数f(x)＝sin2x＋4cos x－ax在R上单调递减，则实数a 的取值范围是________.答案[3，＋∞)解析f′(x)＝2cos2x－4sin x－a＝2(1－2sin2x)－4sin x－a＝－4sin2x－4sin x＋2－a＝－(2sin x＋1)2＋3－a.由题设，f′(x)≤0在R上恒成立.因此a≥3－(2sin x＋1)2恒成立，则a≥3.考点一不含参函数的单调性1.函数f(x)＝x＋3x＋2ln x的单调递减区间是()A.(－3，1)B.(0，1)C.(－1，3)D.(0，3)答案B 解析法一函数的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1－3x 2＋2x ，令f ′(x )＝1－3x 2＋2x<0，得0<x <1，故所求函数的单调递减区间为(0，1)，故选B.法二由题意知x >0，故排除A 、C 选项；又f (1)＝4<f (2)＝72＋2ln 2，故排除D选项.故选B.2.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间为________.答案(2，＋∞)解析f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，得x >2，∴f (x )的单调递增区间为(2，＋∞).3.已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.答案0，π6，5π6，π解析f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈(0，π)，令f ′(x )＝0，得x ＝π6或x ＝5π6，当0<x <π或5π<x <π时，f ′(x )>0，∴f (x )0，π6，5π6，π.感悟提升确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.考点二讨论含参函数的单调性例1已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性.解函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－（a＋1）x＋1x＝（ax－1）（x－1）x.(1)当0<a<1时，1a>1，∴x∈(0，1)f′(x)>0；x f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，1)(2)当a＝1时，1a＝1，∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(3)当a>1时，0<1a<1，∴x(1，＋∞)时，f′(x)>0；x f′(x)<0，∴函数f(x)(1，＋∞).综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)减；当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>1时，函数f(x)(1，＋∞).感悟提升 1.含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论.2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.训练1已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a >0，讨论f (x )的单调性.解f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3＝a （x －1）x 3x －2a x ＋2a (1)当0<a <2时，2a>1，当x (0，1)∪2a，＋∞时，f ′(x )>0，当x 1，2a 时，f ′(x )<0.(2)当a ＝2时，2a ＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )递增.(3)当a >2时，0<2a <1，当x 0，2a ∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，当x 2a，1时，f ′(x )<0.综上所述，当0<a <2时，f (x )在(0，1)2a ，＋∞内递增，在1，2a 内递减.当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内递增；当a >2时，f (x )0，2a (1，＋∞)2a，1.考点三根据函数单调性求参数值(范围)例2(经典母题)已知x ＝1是f (x )＝2x ＋bx ＋ln x 的一个极值点.(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)设函数g (x )＝f (x )－3＋ax，若函数g (x )在区间[1，2]内单调递增，求实数a 的取值范围.解(1)f (x )＝2x ＋bx＋ln x ，定义域为(0，＋∞).∴f ′(x )＝2－b x 2＋1x ＝2x 2＋x －bx2.因为x＝1是f(x)＝2x＋bx＋ln x的一个极值点，所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.所以f′(x)＝2x2＋x－3x2，令f′(x)<0，得0<x<1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1).(2)g(x)＝f(x)－3＋ax＝2x＋ln x－ax(x>0)，g′(x)＝2＋1x＋ax2(x>0).因为函数g(x)在[1，2]上单调递增，所以g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，即2＋1x＋ax2≥0在[1，2]上恒成立，所以a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，所以a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2].因为在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3.所以实数a的取值范围是[－3，＋∞).迁移在本例(2)中，若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围.解∵函数g(x)在区间[1，2]上不单调，∴g′(x)＝0在区间(1，2)内有解，则a＝－2x2－x＝－＋18在(1，2)内有解，易知该函数在(1，2)上是减函数，∴a＝－2x2－x的值域为(－10，－3)，因此实数a的取值范围为(－10，－3).感悟提升 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.2.如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.3.若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解.训练2(1)若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是()A.13，＋∞ B.－∞，13C.13，＋∞ D.－∞，13(2)(2022·郑州调研)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________.答案(1)C(2)(1，2]解析(1)由y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，所以y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，或y ′＝3x 2＋2x ＋m ≤0恒成立，显然y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，则Δ＝4－12m ≤0，所以m ≥13.(2)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －9x.又x >0，令f ′(x )＝x －9x ≤0，得0<x ≤3.因为函数f (x )在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.考点四与导数有关的函数单调性的应用角度1比较大小例3(1)已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则π5f (1)，f －π3的大小关系为()A.－π3f (1)>π5B.f (1)>－π3π5C.π5f (1)>－π3D.－π3π5>f (1)(2)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.c >a >b答案(1)A(2)D解析(1)因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以又当x f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )f (1)<f (1)> A.(2)设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，又当x <0时，f (x )＋xf ′(x )<0，∴x <0时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减.由y ＝f (x )在R 上为奇函数，知g (x )在R 上为偶函数，∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴c ＝g (－2)＝g (2)，又0<log π3<1<30.3<3<2，∴g (log π3)<g (30.3)<g (2)，即b <a <c .角度2解不等式例4已知f (x )在R 上是奇函数，且f ′(x )为f (x )的导函数，对任意x ∈R ，均有f (x )>f ′（x ）ln 2成立，若f (－2)＝2，则不等式f (x )>－2x －1的解集为()A.(－2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，2)答案D解析f (x )>f ′（x ）ln 2⇔f ′(x )－ln 2·f (x )<0.令g(x)＝f（x）2x，则g′(x)＝f′（x）－f（x）·ln22x，∴g′(x)<0，则g(x)在(－∞，＋∞)上是减函数.由f(－2)＝2，且f(x)在R上是奇函数，得f(2)＝－2，则g(2)＝f（2）22＝－12，又f(x)>－2x－1⇔f（x）2x>－12＝g(2)，即g(x)>g(2)，所以x<2.感悟提升 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.训练3(1)已知函数f(x)＝3x＋2cos x.若a＝f(32)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a(2)(2021·西安模拟)函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>－f(x)成立，若f(ln2)＝12，则满足不等式f(x)>1e x的x的取值范围是()A.(1，＋∞)B.(0，1)C.(ln2，＋∞)D.(0，ln2)答案(1)D(2)C解析(1)由题意，得f′(x)＝3－2sin x.因为－1≤sin x≤1，所以f′(x)>0恒成立，所以函数f(x)是增函数.因为2>1，所以32>3.又log 24<log 27<log 28，即2<log 27<3，所以2<log 27<32，所以f (2)<f (log 27)<f (32)，即b <c <a .(2)对任意x ∈R ，都有f ′(x )>－f (x )成立，即f ′(x )＋f (x )>0.令g (x )＝e x f (x )，则g ′(x )＝e x [f ′(x )＋f (x )]>0，所以函数g (x )在R 上单调递增.不等式f (x )>1e x 即e xf (x )>1，即g (x )>1.因为f (ln 2)＝12，所以g (ln 2)＝e ln 2f (ln 2)＝2×12＝1.故当x >ln 2时，g (x )>g (ln 2)＝1，所以不等式g (x )>1的解集为(ln 2，＋∞).1.如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下列判断正确的是()A.在区间(－2，1)上f (x )单调递增B.在区间(1，3)上f (x )单调递减C.在区间(4，5)上f (x )单调递增D.在区间(3，5)上f (x )单调递增答案C解析在区间(4，5)上f ′(x )>0恒成立，∴f (x )在区间(4，5)上单调递增.2.函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为()D.(－∞，a)答案A解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a，令f′(x)＝1x－a>0，得0<x<1a，所以f(x)3.函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f′(x)的图像可能是()答案D解析由函数f(x)的图像可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f′(x)>0；在(0，＋∞)上，f′(x)<0，选项D满足. 4.(2021·德阳诊断)若函数f(x)＝e x(sin x＋a)在R上单调递增，则实数a的取值范围为()A.[2，＋∞)B.(1，＋∞)C.[－1，＋∞)D.(2，＋∞)答案A解析因为f(x)＝e x(sin x＋a)，所以f′(x)＝e x(sin x＋a＋cos x).要使函数f(x)在R上单调递增，需使f′(x)≥0恒成立，即sin x＋a＋cos x≥0恒成立，所以a≥－sin x－cos x.因为－sin x－cos x＝－2sin所以－2≤－sin x－cos x≤2，所以a≥ 2.5.(2021·江南十校联考)已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件可以是()A.a>－12B.0<a<116C.a>116或－12<a<0 D.a>116答案D解析f′(x)＝2ax－4a－1x＝2ax2－4ax－1x，令g(x)＝2ax2－4ax－1，则函数g(x)＝2ax2－4ax－1的对称轴方程为x＝1，若f(x)在(1，4)上不单调，则g(x)在区间(1，4)上有零点.当a＝0时，显然不成立；当a≠0>0，（1）＝－2a－1<0，（4）＝16a－1>0，<0，（1）＝－2a－1>0，（4）＝16a－1<0，解得a>116或a<－12.∴a>116是f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件.6.已知函数y＝f(x＋1)是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sin x－x，设a＝b＝f(3)，c＝f(0)，则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c答案A解析由函数y＝f(x＋1)是偶函数，可得函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，则a＝b＝f(3)，c＝f(0)＝f(2)，又当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＝cos x－1≤0，所以f(x)＝sin x－x在(1，＋∞)上为减函数，所以b<a<c，故选A.7.若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围为________.答案(－3，0)∪(0，＋∞)解析依题意知，f ′(x )＝3ax 2＋6x －1有两个不相等的零点，≠0，＝36＋12a >0，解得a >－3且a ≠0.8.(2022·哈尔滨调研)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________.答案1解析f ′(x )＝4x －1x ＝（2x －1）（2x ＋1）x(x >0)，令f ′(x )>0，得x >12；令f ′(x )<0，得0<x <12.－1≥0，－1<12<k ＋1，解之得1≤k <32.9.设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′（x ）－f （x ）x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是__________________.答案(－∞，－2)∪(0，2)解析令φ(x )＝f （x ）x，∵当x >0时，f （x ）x ′＝x ·f ′（x ）－f （x ）x 2<0，∴φ(x )＝f （x ）x 在(0，＋∞)上为减函数，又f (2)＝0，即φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数，由数形结合知x∈(－∞，－2)时，f(x)>0.故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2).10.已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)f′(x)＝1x－ln x－ke x(x>0).又由题意知f′(1)＝1－ke＝0，所以k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x－ln x－1e x(x>0).设h(x)＝1x－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－1x2－1x<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，所以f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.综上f(x)的单调增区间是(0，1)，减区间为(1，＋∞).11.讨论函数g(x)＝(x－a－1)e x－(x－a)2的单调性.解g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)e x－2(x－a)＝(x－a)(e x－2)，令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln2，①当a>ln2时，x∈(－∞，ln2)∪(a，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(ln2，a)时，f′(x)<0；②当a＝ln2时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在R上单调递增；③当a<ln2时，x∈(－∞，a)∪(ln2，＋∞)时，f′(x)>0，x∈(a，ln2)时，f′(x)<0，综上，当a>ln2时，f(x)在(－∞，ln2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln2，a)上单调递减；当a＝ln2时，f(x)在R上单调递增；当a<ln2时，f(x)在(－∞，a)，(ln2，＋∞)上单调递增，在(a，ln2)上单调递减.12.已知a＝ln33，b＝e－1，c＝3ln28，则a，b，c的大小关系为()A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c答案D解析依题意，得a＝ln33＝ln33，b＝e－1＝ln ee，c＝3ln28＝ln88.令f(x)＝ln xx(x>0)，则f′(x)＝1－ln xx2，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.所以f(x)max＝f(e)＝1e＝b，且f(3)>f(8)，即a>c，所以b>a>c.13.(2021·成都诊断)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x).若x>0时，f′(x)<2x，则不等式f(2x)－f(x－1)>3x2＋2x－1的解集是________.答案1解析令g(x)＝f(x)－x2，则g(x)是R上的偶函数.当x>0时，g′(x)＝f′(x)－2x<0，则g(x)在(0，＋∞)上递减，于是在(－∞，0)上递增.由f(2x)－f(x－1)>3x2＋2x－1得f(2x)－(2x)2>f(x－1)－(x－1)2，即g (2x )>g (x －1)，于是g (|2x |)>g (|x －1|)，则|2x |<|x －1|，解得－1<x <13.14.(2021·全国乙卷)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标.解(1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a ).①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2.所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )∞(1＋1－3a 3，＋∞)上单调递增，在.(2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1).因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0).由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x .＝（1＋a ）x ，＝x 3－x 2＋ax ＋1，＝1，＝1＋a＝－1，＝－1－a .所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a).。
《213导数的应用(ⅱ)》 学案
学习过程一、课堂导入我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？②“汽油的使用率最高”的含义是什么？通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课二、复习预习1.函数的单调性与导数的关系2.函数的极值与导数的关系3.函数的最值与导数的关系4.函数的极值和函数的最值的联系和区别三、知识讲解考点1 生活中的优化问题生活中常遇到求利润最大，用料最省、效率最高等一些实际问题，这些问题通常称为优化问题．考点2 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤考点3 求实际问题中的最值问题有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大(小)值点．四、例题精析【例题1】【题干】设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx .(1)当a ＝b ＝12时，求f (x )的最大值；(2)令F (x )＝f (x )＋12ax 2＋bx ＋a x (0<x ≤3)，其图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当a ＝0，b ＝－1时，方程2mf (x )＝x 2有唯一实数解，求正数m 的值．【解析】 (1)依题意，知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝b ＝12时，f (x )＝ln x －14x 2－12x ，f ′(x )＝1x －12x －12＝－(x ＋2)(x －1)2x， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1(x ＝－2舍去)．当0<x <1时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．所以f (x )的极大值为f (1)＝－34.又因为f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有唯一解，所以f (x )的最大值为－34.(2)由题意得F (x )＝ln x ＋a x ，x ∈(0,3]，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在x 0∈(0,3]上恒成立， 所以a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 20＋x 0max ，x 0∈(0,3]． 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，所以a ≥12.(3)因为方程2mf (x )＝x 2有唯一实数解，所以x 2－2m ln x －2mx ＝0有唯一实数解．设g (x )＝x 2－2m ln x －2mx ，则g ′(x )＝2x 2－2mx －2m x. 令g ′(x )＝0，即x 2－mx －m ＝0.因为m >0，x >0，所以x 1＝m －m 2＋4m 2<0(舍去)，x 2＝m ＋m 2＋4m 2. 当x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，x 2)上单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(x 2，＋∞)上单调递增；当x ＝x 2时，g ′(x 2)＝0，g (x )取最小值g (x 2)．因为2mf (x )＝x 2有唯一实数解，则⎩⎨⎧ g (x 2)＝0，g ′(x 2)＝0，即⎩⎨⎧x 22－2m ln x 2－2mx 2＝0，x 22－mx 2－m ＝0，所以2m ln x 2＋mx 2－m ＝0.又因为m >0，所以2ln x 2＋x 2－1＝0.(*)设函数h (x )＝2ln x ＋x －1，当x >0时，h (x )是增函数，所以h (x )＝0至多有一解．因为h (1)＝0，所以方程(*)的解为x 2＝1，即m ＋m 2＋4m 2＝1，解得m ＝12.【例题2】【题干】已知f (x )＝(x 2－a )e x ，a ∈R .(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间和极值；(2)已知x 1，x 2是f (x )的两个不同的极值点，且|x 1＋x 2|≥|x 1x 2|，求实数a 的取值集合M ；(3)在(2)的条件下，若不等式3f (a )<a 3＋32a 2－3a ＋b 对于a ∈M 都成立，求实数b 的取值范围．【解析】(1)∵a＝3，∴f(x)＝(x2－3)e x.令f′(x)＝(x2＋2x－3)e x＝0⇒x＝－3或x＝1.当x∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；x∈(－3,1)时，f′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－3,1)．∴f(x)的极大值为f(－3)＝6e－3；极小值为f(1)＝－2e.(2)令f′(x)＝(x2＋2x－a)e x＝0，即x2＋2x－a＝0，由题意其两根为x1，x2，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝－a，故－2≤a≤2.又Δ＝4＋4a>0，∴－1<a≤2.∴M＝{a|－1<a≤2}．(3)原不等式等价于b>3f(a)－a3－32a2＋3a对a∈M都成立，记g(a)＝3f(a)－a3－32a2＋3a(－1<a≤2)，则g′(a)＝3(a2＋a－1)(e a－1)，令g′(a)＝0，则a＝5－12或a＝0⎝⎛⎭⎪⎫a＝－1－52舍去.故当a变化时，g′(a)，g(a)的变化情况如下表：又∵g(0)＝0∴g(a)max＝6e2－8，∴b>6e2－8.故实数b的取值范围为(6e2－8，＋∞).【例题3】 【题干】某商场预计2013年1月份起前x 个月，顾客对某商品的需求总量p (x )(单位：件)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．该商品第x 月的进货单价q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧150＋2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，185－160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2013年第x 月的需求量f (x )(单位：件)与x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2013年第几月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？【解析】(1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37， 当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)·x (41－2x )＝－3x 2＋40x . 经验证x ＝1符合f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)． (2)该商场预计第x 月销售该商品的月利润为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)， 即g (x )＝⎩⎨⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12)，当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5，x ＝1409(舍去)． 当1≤x ≤5时，g ′(x )>0，当5<x ≤6时，g ′(x )<0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125(元)． ∴当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040(元)， 综上，商场2013年第5个月的月利润最大，最大利润为3 125元．【例题4】【题干】(2012·山东高考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.【解析】(1)由f (x )＝ln x ＋ke x ， 得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x >0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)证明：因为g (x )＝(x 2＋x )f ′(x )，所以g (x )＝x ＋1e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)． 因此对任意x >0，g (x )<1＋e －2等价于 1－x －x ln x <e xx ＋1(1＋e －2)．由(2)h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)，因此当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2，故1－x－x ln x≤1＋e－2.设φ(x)＝e x－(x＋1)．因为φ′(x)＝e x－1＝e x－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0，故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)>0，即e xx＋1>1.所以1－x－x ln x≤1＋e－2<e xx＋1(1＋e－2)．因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2.五、课堂运用【基础】1．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是() A．0B．1C．2 D．32．若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是() A．(－∞，0) B．(－∞，4]C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)3．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是() A．0 B．10C．18 D．20【巩固】4．设f(x)＝x3＋x，x∈R，若当0≤θ≤π2时，f(m sin θ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取值范围是________．1 3x 3－a2x满足：对于任意的x1，x2∈[0,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤1恒成立，则a的取值范围是________．5．若函数f(x)＝【拔高】6．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．7．设函数f (x )＝x －1x －a ln x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，求a 的值；(2)若函数f (x )在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；(3)当a ≤2时，设函数g (x )＝x －ln x －1e ，若在[1，e]上存在x 1，x 2使f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．课程小结1. 解决恒成立问题，要充分分析已知与求证的特点，灵活应用分离参数发或构造函数法来解决问题。
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导数应用（二）
教学目标：了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值，2010年考试说明要求为B 级。
知识点回顾：
1.利用导数求极值：ⅰ）求导数)(x f '；ⅱ）求方程0)(='x f 的根；ⅲ）列表得极值
2.利用导数最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ——求区间端点值（如果有）；ⅲ）得最值 课前训练：
1. 求下列函数的极值
（1）x x y 1+
=； （2）31431)(3+-=x x x f ； （3）3
2+=x x y ；
（4）x x y cos 2-=，)2,23(
ππ∈x （5）ex e y x -=
2．求下列函数在所给区间上的值域
（1）]3,31[,1)(∈+=x x x x f ；（2）]3,2[,5323-∈+-=x x x y ；（3）]2,0[,sin π∈+=x x x y
（4）]2,0[,21∈+-=
x x x y ； （5）]2,2[,cos 21ππ-∈-=x x x y ；（6）x x x f sin 2
1)(+=在 ]2,0[π
3.已知函数f(x)= sinx+cosx ，x ∈(0,π2)（1）求0x ，使得0)(0'=x f ；（2）解释（1）中的0x 及)(0x f 的意义。
典型例题：
已知0>a ，)ln()(a x x x f +-=，),0(+∞∈x ．若)(x f 在),0(+∞上存在极值，求实数a 取值范围．
设函数)1ln (2)1()(2x x x f +-+=．若当]1,11[--∈e e
x （其中⋅⋅⋅=71828.2e ）时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围。
课堂检测：
1．已知函数qx px x x f --=23)(的图象与x 轴切于点)0,1(，则)(x f 的极大值和极小值分别为 和
2. 函数()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b 的值为__ __
4. 0≠=，且关于x 的函数f(x)=x x ⋅++2331在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为______
18．已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-．（Ⅰ）若'(1)3f =，求a 值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．
12.已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．(1)求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(2)对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。
20．已知函数15)(23+++-=x kx x x f ，其中k ∈R ．（Ⅰ）当k ＝1时，求函数)(x f 的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程)(x f ＝0在区间（1，2）上有解，求实数k 的取值范围。
11．函数x x y cos 2+=在]2
,0[π上取最大值时，x 的值是___ ___．
6.（2009淮安3月调研）函数]3
2,32[sin 2ππ-
-=在区间x x y 上的最大值为____________ 18、（本题满分16分）如图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB 的圆心角为32π，半径OA 为1Km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧AC 、线段CD 及线段BD 组成。
其中D 在线段OB 上，且CD//AO ，设∠AOC=θ，
（1）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围。
（2）当θ为何值时，观光道路最长？。