第3部分方差分析

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anova方差分析

anova方差分析方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种常用的多样本比较方法，它可以用来比较两个或更多个样本的均值是否存在显著差异。

ANOVA基于方差原理，通过测量不同组之间的平均方差和组内平均方差来推断总体均值是否相等。

1. 引言方差分析是统计学中非常重要的一种分析方法，它广泛应用于实验设计和数据分析中。

通过方差分析，我们可以了解各组之间的差异程度，并进行合理的结果推断与判断。

2. 方法与步骤ANOVA方差分析一般分为以下几个步骤：（1）设立假设：- 零假设（H0）：各组均值相等。

- 备择假设（H1）：至少有一组均值不相等。

（2）计算总变异量：- 计算组间变异量，表示组间的差异。

- 计算组内变异量，表示组内个体之间的差异。

（3）计算F值：- F值是组间均方与组内均方之比。

（4）确定显著性水平：- 根据显著性水平确定拒绝域。

（5）做出推断：- 比较计算得到的F值与查表得到的临界F值，判断是否拒绝零假设。

3. 适用条件ANOVA方差分析适用于以下场景：- 研究问题存在一个因变量和一个或多个自变量。

- 自变量是分类变量，且有两个或更多个不同水平。

4. 假设检验与结果解读在进行ANOVA方差分析时，我们需要进行假设检验来推断各组均值是否存在显著差异。

当F值大于临界值时，我们可以拒绝零假设，即认为各组均值存在显著差异。

反之，当F值小于临界值时，我们无法拒绝零假设，即认为各组均值相等。

5. 扩展应用ANOVA方差分析不仅适用于均值比较，还可以应用于其他方面的分析，例如对多个因素的交互影响进行分析，探究不同因素之间是否存在显著差异。

6. 小结ANOVA方差分析是一种重要的统计方法，可以用来比较多个样本的均值差异。

通过计算F值和显著性水平，我们可以推断各组之间的显著差异程度。

在实际应用中，需要根据具体情况选择相应的方差分析方法和适当的分析模型。

这篇文章简要介绍了ANOVA方差分析的基本概念、方法与步骤，以及其适用条件、假设检验与结果解读。

生物统计第三节单因素试验资料的方差分析

C T / N 460.5 / 25 8482.41
2
2
上一张下一张主页
退出
SST x C
2
ij
(21.5 2 19.5 2 17.0 2 16.0 2 ) 8482 . 41
8567 . 75 8482 . 41
Байду номын сангаас85.34
MSE
P
⑥ 列出方差分析表
df
3、确定P值、下结论
•从上表得F=14.32，查附表5（方差分析界值表，
单侧），自由度相同时，F界值越大，P值越小。
因F0.01，2，27= 5.49；故P<0.01，按α=0.05水准
拒绝H0，接受HA，可认为三个不同时期切痂对
ATP含量的影响有统计显著性差异。
方差分析的结果只能总的来说多组间是否
S，即
x
得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
上一张下一张主页
退出
表6-15 SSR值及LSR值
dfe
上一张下一张主页
退出
将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显
著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数
极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品
③ 计算总的变异及总的自由度
SST x C
2
ij
dfT kn 1 N 1
④ 计算组间变异及相应的自由度
SSB Ti 2 / ni C
df b k 1
⑤ 计算组内变异及相应的自由度
SSE SST SSB
df e dfT df b
N k

多元统计分析第三章假设检验与方差分析

多元统计分析第三章假设检验与⽅差分析第3章多元正态总体的假设检验与⽅差分析从本章开始，我们开始转⼊多元统计⽅法和统计模型的学习。

统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。

按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计⼀个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进⾏统计推断，是⾃然科学和⼯程技术领域常⽤的⼀种研究⽅法。

由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论⽅法研究的出发点。

所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要⽤概率来表明其可靠程度。

统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建⽴模型，作出推断”。

统计推断有参数估计和假设检验两⼤类问题，其统计推断⽬的不同。

参数估计问题回答诸如“未知参数θ的值有多⼤?”之类的问题,⽽假设检验回答诸如“未知参数θ的值是0θ吗?”之类的问题。

本章主要讨论多元正态总体的假设检验⽅法及其实际应⽤，我们将对⼀元正态总体情形作⼀简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断，两个总体均值的⽐较推断，多个总体均值的⽐较检验和协⽅差阵的推断等。

3.1⼀元正态总体情形的回顾⼀、假设检验在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）,⼀个作为原假设（或称零假设），另⼀个作为备择假设（或称对⽴假设），分别记为0H 和1H 。

1、显著性检验为便于表述，假定考虑假设检验问题：设1X ，2X ，…,n X 来⾃总体),(2σµN 的样本，我们要检验假设100:,:µµµµ≠=H H （3.1）原假设0H 与备择假设1H 应相互排斥，两者有且只有⼀个正确。

备择假设的意思是，⼀旦否定原假设0H ，我们就选择已准备的假设1H 。

当2σ已知时，⽤统计量nX z σµ-=在原假设0H 成⽴下，统计量z 服从正态分布z )1,0(~N ，通过查表，查得)1,0(N 的上分位点2αz 。

植物营养研究方法第六章-3 方差分析

Sx
Sx
对前面例题进行q检验：
四种肥料玉米产量LSR值（q检验） P q0.05 q0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 3.00 4.13 31.02 42.70 3 3.65 4.78 37.74 49.43 4 4.05 5.19 41.88 53.66
四种肥料玉米产量差异显著性（q法）
字母标记法：

就是对没有显著差异的平均数标以相同字母，对有显著差异的标以不同字母。具体方法：首先是将欲比较的平均数按大小次序排列。然后在最大的平均数上标上字母a(=0.05)或A(=0.01)；将该平均数与以下平均数逐个相比，凡差异不显著者都标以字母a 或A，直至相差显著的平均数则标以字母b或B；再以标有b或 B的平均数为标准，与其上方比它大的平均数逐个相比，凡相差不显著者一律标以字母b或B；再以标有b或B的最大平均数为标准，与其下方未标记字母的平均数相比，凡相差不显著者继续标以字母b或B，直至与之相差显著的平均数则标以字母c或C，再与上面的平均数比较。如此重复进行，直至最小的平均数有了标记字母并与上面的平均数比较后为止。
对上例题的各组平均值作新复极差检验：
四种肥料玉米产量LSR值（SSR检验） P 2 3 4
SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01
3.00 4.13 31.02 42.70
3.14 4.31 32. 47 44.57
3.24 4.42 33.50 45.70
四种肥料玉米产量差异显著性（SSR法）
差异显著性
肥料 A1 A4 A2 A3
平均数 311.8 279.8 262.8 247.4
=0.05 a b b b
=0.01 A AB B B

方差分析的原理

方差分析的原理方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或三个以上组的均值是否相等。

它是一种用于检验组间差异是否显著的方法，通常用于实验设计和数据分析中。

方差分析的原理基于对组间差异和组内差异的分解，通过比较组间变异和组内变异的大小来判断组间均值是否有显著差异。

方差分析的原理可以通过以下步骤来解释，首先，假设我们有多个组，每个组都有一定的样本量和均值。

我们想要知道这些组的均值是否有显著差异。

方差分析的原理就是通过计算组间变异和组内变异来判断这一点。

具体来说，方差分析的原理包括以下几个步骤：1. 计算组内变异，首先，我们计算每个组内观察值与该组均值的偏差平方和。

这个偏差平方和反映了每个组内观察值与该组均值之间的差异程度。

2. 计算组间变异，然后，我们计算每个组均值与总体均值的偏差平方和。

这个偏差平方和反映了每个组均值与总体均值之间的差异程度。

3. 比较组间变异和组内变异，接下来，我们比较组间变异和组内变异的大小。

如果组间变异显著大于组内变异，说明组间均值存在显著差异；反之，如果组间变异远小于组内变异，说明组间均值之间没有显著差异。

4. 判断显著性，最后，我们通过F检验或t检验来判断组间均值是否有显著差异。

如果F值或t值大于一定的临界值，我们就可以拒绝原假设，认为组间均值存在显著差异；反之，如果F值或t值小于临界值，我们就不能拒绝原假设，认为组间均值之间没有显著差异。

方差分析的原理是基于对组间差异和组内差异的分解，通过比较组间变异和组内变异的大小来判断组间均值是否有显著差异。

它是一种常用的统计方法，可以帮助研究者判断不同组之间的差异是否显著，对于实验设计和数据分析具有重要意义。

通过深入理解方差分析的原理，我们可以更好地应用这一方法，从而更准确地进行数据分析和实验设计。

统计学习题及答案(完整) 2

第一部分计量资料的统计描述一、最佳选择题1、描述一组偏态分布资料的变异度，以（）指标较好。

A、全距B、标准差C、变异系数D、四分位数间距E、方差2．用均数和标准差可以全面描述（）资料的特征。

A．正偏态分布B．负偏态分布C．正态分布D．对称分布E．对数正态分布3．各观察值均加（或减）同一数后（）。

A．均数不变，标准差改变B．均数改变，标准差不变C．两者均不变D．两者均改变E．以上都不对4．比较身高和体重两组数据变异度大小宜采用（）。

A．变异系数B．方差C．极差D．标准差E．四分位数间距5．偏态分布宜用（）描述其分布的集中趋势。

A．算术均数B．标准差C．中位数D．四分位数间距E．方差6．各观察值同乘以一个不等于0的常数后，（）不变。

A．算术均数B．标准差C．几何均数D．中位数E．变异系数7．（）分布的资料，均数等于中位数。

A．对数正态B．正偏态C．负偏态D．偏态E．正态8．对数正态分布是一种（）分布。

（说明：设X变量经Y=lgX变换后服从正态分布，问X变量属何种分布？）A．正态B．近似正态C．左偏态D．右偏态E．对称9．最小组段无下限或最大组段无上限的频数分布资料，可用（）描述其集中趋势。

A．均数B．标准差C．中位数D．四分位数间距E．几何均数10．血清学滴度资料最常用来表示其平均水平的指标是（）。

A．算术平均数B．中位数C．几何均数D．变异系数E．标准差二、简答题1、对于一组近似正态分布的资料，除样本含量n 外，还可计算，S 和，问各说明什么？2、试述正态分布、标准正态分布及对数正态分布的某单位1999年正常成年女子血清联系和区别。

甘油三酯(mmol/L)测量结果3、说明频数分布表的用途。

4、变异系数的用途是什么？组段频数5、试述正态分布的面积分布规律。

0.6~ 10.7~ 3三、计算分析题0.8~ 91、根据1999年某地某单位的体检资料，116名正常0.9~ 13成年女子的血清甘油三酯（mmol/L）测量结果如右表， 1.0~ 19请据此资料： 1.1~ 25（1）描述集中趋势应选择何指标？并计算之。

数据分析教学大纲

《数据分析》课程教学大纲课程代码：090141122课程英文名称：Data analysis课程总学时：32 讲课：32 实验：0 上机：0适用专业：信息与计算科学大纲编写（修订）时间：2017.11一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标本课程是信息与计算科学专业的一门专业必修课，通过本课程的学习，可以使学生获得分析和处理数据的理论与方法，能够从大量数据中揭示其隐含的内在规律、发掘有用的信息、进行科学的推断与决策。

本课程为学生学习新知识和后续开设的《大数据算法》、《数据挖掘》等课程打下良好的基础。

（二）知识、能力及技能方面的基本要求1 知识方面的基本要求通过本科程的学习，使学生掌握：1）要求学生了解数据分析的基本内容及应用领域，学会如何对已获取的数据进行加工处理，如何对实际问题进行定量分析，以及如何解释分析的结果;2）掌握几种常用数据分析方法的统计思想及基本步骤，且能够利用统计软件，较熟练地解决实际问题中的数据分析问题。

2 能力方面的基本要求通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和自学能力，培养学生综合运用所学知识去分析解决实际问题的意识和能力。

3 技能方面的基本要求通过本课程的学习，使学生1）对于已获得的数据，能够通过相应的统计软件描述数据的分布及其数字特征；2）能够建立线性回归模型分析和预测；3）能比较不同数据之间的差异，并且能够进行分类、判别；4）能利用主成分方法处理高维数据；5）能够建立模型对数据进行分析和预测。

（三）实施说明1 本大纲主要依据信息与计算科学专业2017-2020版教学计划、信息与计算科学专业建设和特色发展规划和沈阳理工大学编写本科教学大纲的有关规定并根据我校实际情况进行编写的。

2 课时分配仅供参考。

3 建议本课程采用课堂讲授、讨论相结合的方法和采用多媒体等现代化手段开展教学，通过习题课和讨论等方式强化重点，通过分散难点，使学生循序渐进的掌握难点。

（四）对先修课的要求本课的先修课程：概率论与数理统计。

北京大学医学部医学统计学基础第3讲方差分析

作业1. 某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳入标准选择60名高血脂患者，
采用完全随机设计方法将患者等分为三组
（对照组，降血脂药2.4g, 4.8g）。
6周后测得低密度脂蛋白作为试验结果，
问三个处理组患者的低密度脂蛋白含量总体均数有无不同?
注意：把作业1的SPSS数据补充完整，输出结果按要求写出
MS组间反映了不同观察人群和随机误差.
3.组内变异：每组观察人群内部的
血糖值之间的变异
SS组内 ( X ij X i )
i j 2
组内 N k
MS组内 SS组内 / 组内
MS组内反映了随机误差（个体差异和随机测量误差）。
SS总=SS组间+SS组内总=组间+组内 F = MS组间/MS组内
染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5个区组（对子数），每个区组内3只小白鼠随机接受三种抗癌药物，观察肉瘤的重量，问三种不同药物的抑瘤效果有无差别？
变量定义：处理组 = 药物(A药，B药，C药）区组 = 区组（5对小鼠）测量值 = 肉瘤重量（g）
SPSS操作：
1. Analyze General Linear Model Univariate
Multiple Comparis ons De pendent Variabl e: 血糖值 LSD Mean Di fference (I-J) Std. Erro r -.451 82* .1846 4 -1.09 818* .1846 4 .4518 2* .1846 4 -.646 36* .1846 4 1.098 18* .1846 4 .6463 6* .1846 4
n
k
( X ij ) 2

第三章CAPM模型ppt课件

精品课件
资产定价理论介绍——证券组合理论
现代证券组合理论最先由美国经济学者 Markowitz教授创立，他于1954年在美国的《金融》杂志上发表了一篇文章《投资组合选择》，提出了分散投资的思想，并用数学方法进行了论证，从而决定了现代投资理论的基础
Markowitz证券组合选择理论研究的是这样一个问题：一个投资者同时在许多种证券上投资，如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。
精品课件
有效集最初是由Markowitz提出、作为资产组合选择的方法而发展起来的，它以期望代表收益，以对应的方差（或标准差）表示风险程度。
对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益的。对于同样的风险水平，他们将会选择能提供最大期望收益率的组合；对于同样的期望收益率，他们将会选择风险最小的组合。
本节假定市场存在 n 种风险资产 X 1 , X 2 ,....., X n ，及无风险资产 X 0 ，无风险资产的收益率是一常数，设为 R f ,以 w 表示风险资产组合的权系数，w0 1 1T w
是投资于无风险资产的权系数，表示投资于 n 1种资产的投资组合的期望收
益，则
E(R)T w (11T w)Rf
精品课件
资产定价理论介绍——CAPM模型
资本资产定价理论（Capital Assets Pricing Model，CAPM模型）是由美国学者Sharpe 1964 年提出的。
这个模型仍然以证券组合理论为基础，在分析风险和收益的关系时，提出资产定价的方法和理论。目前已经为投资者广泛应用。
精品课件
wA
400 1000
0.4, wB
600 1000
0.6
，满足

方差分析原理

方差分析原理方差分析（ANOVA）是一种统计学方法，用于比较三个或三个以上组的平均值是否存在显著差异。

它是通过比较组内变异和组间变异的大小来判断组间差异是否显著。

方差分析可以用于不同实验设计和数据类型，是许多统计分析的基础。

首先，我们来了解一下方差分析的基本原理。

方差分析的核心思想是将总体的方差分解为组内变异和组间变异两部分。

组内变异是指同一组内个体之间的差异，而组间变异是指不同组之间的差异。

通过比较组内变异和组间变异的大小，我们可以判断组间差异是否显著。

在进行方差分析时，我们需要计算F值来判断组间差异是否显著。

F值是组间均方与组内均方的比值，它反映了组间变异与组内变异的相对大小。

当F值大于1时，表示组间差异较大，我们可以拒绝原假设，认为组间差异显著。

方差分析有不同的类型，包括单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。

在单因素方差分析中，我们只考虑一个自变量对因变量的影响；在双因素方差分析中，我们考虑两个自变量对因变量的影响；而在多因素方差分析中，我们考虑多个自变量对因变量的影响。

除了了解方差分析的基本原理，我们还需要注意方差分析的假设条件。

方差分析的假设包括正态性假设、方差齐性假设和独立性假设。

正态性假设是指因变量在各组内呈正态分布；方差齐性假设是指各组的方差相等；独立性假设是指各组之间相互独立。

在进行方差分析前，我们需要对这些假设进行检验，以确保分析结果的可靠性。

在实际应用中，方差分析常常与其他统计方法结合使用，如回归分析、协方差分析等。

通过综合运用不同的统计方法，我们可以更全面地分析数据，得出更可靠的结论。

总之，方差分析是一种重要的统计方法，它可以用于比较多个组的平均值是否存在显著差异。

通过了解方差分析的基本原理、假设条件和应用范围，我们可以更好地应用这一方法，从而更准确地分析数据，得出科学的结论。

方差分析理解ANOVA的原理

方差分析理解ANOVA的原理方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或两个以上样本均值之间的差异是否显著。

通过对不同组之间的方差进行比较，判断样本均值是否存在显著差异。

ANOVA的原理主要基于总体方差的分解和均值之间的比较，下面将详细介绍方差分析的原理及其应用。

一、总体方差的分解在进行方差分析之前，首先需要了解总体方差的分解。

总体方差可以分解为组内变异和组间变异两部分。

组内变异是指同一组内个体之间的差异，反映了个体之间的随机误差；组间变异是指不同组之间的差异，反映了不同组之间的均值差异。

总体方差的分解可以用以下公式表示：总体方差 = 组间变异 + 组内变异通过对总体方差进行分解，可以帮助我们理解不同来源的变异对总体方差的影响，从而进行均值比较。

二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组间变异与组内变异的大小，判断样本均值之间是否存在显著差异。

如果组间变异显著大于组内变异，说明不同组之间的均值存在显著差异；反之，如果组间变异与组内变异的差异不显著，则说明不同组之间的均值差异不显著。

在进行方差分析时，需要计算各组的平方和、自由度、均方和F 值等统计量，然后通过F检验来判断均值之间的差异是否显著。

F值越大，说明组间差异相对于组内差异越显著，从而可以拒绝原假设，认为样本均值存在显著差异。

三、方差分析的应用方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中，特别适用于多组数据的比较。

例如，在医学研究中，可以利用方差分析比较不同药物治疗组的疗效是否存在显著差异；在工程实验中，可以利用方差分析比较不同工艺参数对产品质量的影响等。

此外，方差分析还可以用于控制实验误差、优化实验设计、验证假设等方面。

通过对不同组之间的均值差异进行比较，可以帮助研究人员更好地理解数据背后的规律，从而做出科学合理的结论。

总之，方差分析作为一种重要的统计方法，通过对总体方差的分解和均值之间的比较，帮助我们理解不同组之间的差异是否显著。

第3讲回归分析-方差分析

代方法或分段平均值法求出
SPSS功能
• 本质线性关系 Analyze->Regression->Curve Estimation
• 本质非线性关系 Analyze->Regression->NonLinear
变量关系的基本研究方法
• 做散点图，初步判断两变量的关系，曲线的形状
• 从专业的知识分析，或长期积累的经验找出变量间的函数类型
• ⑤ “Export model information to XML file” 导出统计过程中的回归模型信息到指定XML文件。
• ⑥“Residuals” 保存残差选项： “Unstandardized”非标准化残差。 “Standardized” 标准化残差。 “Studentized”学生氏化残差。 “Deleted”删除残差。 “Studentized deleted”学生氏化删除残差。
SPSS中提供了五种选择：
– 强制进入ENTER: 进入 “Enter”所选择的自变量将全部进入建立的回归方程中，该项为默认方式。
– 强制退出REMOVE: 后进入 “Remove”将进入方程中的自变量同时剔除。
– 向前选择FORWARD: 条件进入“Forward”根据“Options”对话框中的设置，在方程中每次加入一个变量，直至加入所有符合条件的变量为止。
Unstandardized 非标准化预测值。在当前数据文件中新添加一个以字符“PRE_”开头命名的变量，存放根据回归模型拟合的预测值。 Standardized 标准化预测值。 Adjusted 调整后预测值。S.E. of mean predictions 预测值的标准误。
• ②“Distances”距离栏选项： • Mahalanobis: 距离。 Cook’s”: Cook距离。

第三章方差分析

N 报纸广播宣传品体验 Total 36 36 36 36 144
Mean 73.2222 70.8889 56.5556 66.6111 66.8194
Std. Error 1.62232 2.16127 1.93647 2.24961 1.12732
Minimum 54.00 33.00 33.00 37.00 33.00
df1 3
df2 140
Sig. .515
分析：统计量值为0.765， P=0.515>0.5, 不拒绝原假设，即可以认为方差齐的。
(因为已证明了各水平既服从正态分布又是方差齐的，所以可以进行方差分析）
方差分析表
A N OV A 销售额 Sum of Squares 5866.083 20303.222 26169.306 df 3 140 143 Mean Square 1955.361 145.023 F 13.483 Sig. .000
√
勾选“Descriptive”、 “Homogeneity-of-variance”、 “Means plot”三项。点击“Continue”钮返回
点击“OK”钮输出结果
结果输出和讨论：
D e sc r i p ti v e s 销售额 Std. Deviation 9.73392 12.96760 11.61881 13.49768 13.52783 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound Upper Bound 69.9287 76.5157 66.5013 75.2765 52.6243 60.4868 62.0442 71.1781 64.5911 69.0478
将“销售额[sale]”加入“Depedent”框；“广告形式[ad 加入“Factor List”框。选择“Normality ….”(正态性检验）

第3章试验的方差分析1

（4）计算均方
SS A 303.6 MS A 75.9 df A 4 SSe 50.0 MSe 5 .0 dfe 10
（5）F检验
MS A 75.9 FA 15.2 MSe 5 .0
从分布表中查得F0.05(dfA , dfe)= F0.05(4 , 10)=3.48,
试验组内和 Ti 次数 3 270 3 282 3 285 3 255 3 252
组内平均 90 94 95 85 84
总平均
89.6
（2）计算离差平方和
SST
SS A

i 1
5
3
( xij x) 2 (90 89.6) 2 (92 89.6) 2 (82 89.6) 2 353.6

2. 方差分析的假设检验

2 ( x x ) i i 1
n
n
假设有K个样本，如果原假设样本均数都相同，K个样本有共同的方差σ ，则K个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。如果经过计算，组间均方远远大于组内均方，则推翻原假设，说明样本来自不同的正态总体，说明处理造成均值的差异有统计意义。否则承认原假设，样本来自相同总体，处理间无差异。
0.144 0.156 0.163
0.182
0.154 0.161 0.186
解：依题意，需考察的单因素为酸度，有5种水平，而且在不同水平上试验次数不同，利用 Excel“分析工具库”中的“方差分析：单因素方差分析”工具，取 =0.01，数据区域不含标志，得到如下分析结果。
SUMMARY 组观测数求和平均方差
② 组间离差平方和 SSA （sum of square for factor A）

第三章试验的方差分析讲解

设因素A有n个水平，每个水平重复试验m0次，水平Ai的第j次试验
值为yij（i=1,2,…n；j=1,2,…m0），则可将数据以下表形式表达：
yij
i 1
j 1 jm0
m0
Ti yi j j 1
m0
Ri yi2j
j 1
1 m0
yij
m0
yij
j 1
y11 y1 j y1m0
0.003688
SS因

n i 1
(
mi j 1
yij
)2

T
2

mi
N
0.451393
2.7592 17
0.003624

SSe SST SSA 0.000064
18
3.3 双因素试验的方差分析
fT N 1 16 fA n 1 51 4

303.6 4
75.9
Ve

SSe fe

50.0 10
5.0
13
3.2 单因素试验的方差分析
FA

VA Ve

75.9 5.0
15.2
从F分布表中查取临界值
F0.05 (4,10) 3.48, F0.01(4,10) 5.99
因为 FA F0.01(4,10) 5.99
60℃ 65 ℃ 70℃ 75℃ 80 ℃
1
90
97
96
84
84
2
92
93
96
83
86
3
88
92
93
88
82

第三章正交试验设计(2)-正交试验数据方差分析和贡献率分析

误差平方和SSE：
方法一：将空出列按一因素计算，得出值为SSE；
方法二：用公式 SSE＝SST－SSA－SSB－SSC
ST = S A + S B + ... + S E
fT = f A + f B + ... + f E
正交设计方差分析表
项目
平方和SS
自由度DF
均方MS
F值
因素A 因素B 因素C 误差（空白列）总和
ˆ ˆ μ = y = 50 ， a3 = T13 − y = 61 − 50 = 11 ，
ˆ c 2 = T32 − y = 57 − 50 = 7 ，
•A3C2 水平组合下指标均值的无偏估计可以取为： ˆ ˆ ˆ ˆ μ 3⋅2 = μ + a3 + c 2 = 50+11+7=68。
区间估计
F0.90(2,2)=9.0, F0.95(2, Nhomakorabea)=19.0
因 FC>F0.90(2,2)=9.0，FA>F0.95(2,2)=19.0，故因子 A 与 C 分别在显著性水平 0.05 与 0.10 上是显著的，因子 B 不显著。
对显著因子应该选择其最好的水平，因为其水平变化会造成指标的显著不同，而对不显著因子可以任意选择水平，实际中常可根据降低成本、操作方便等来考虑其水平的选择。在例 3.3 中因子 A 与 C 是显著的，所以要选择其最好的水平，按前所述，应取 A3C2，对因子 B 可以选任意水平，譬如为了节约时间可选 B1。综上，我们在直观分析中从 9 个结果看到的最好水平组合是 A3B2C2，而通过方差分析可以得到各因子最佳水平组合是 A3 B C2，因子 B 可以选任意水平，它是从 27 个可能结果中选出的，两者并不完全相同。

第三讲方差分析

i1 j1
i1
i1 j1
kn
k
kn
SST (yij y..)2 n (yi. y..)2 (yij yi.)2 SSt SSe
i1 j1
i1i1 ຫໍສະໝຸດ 1k SSt n (yi. y..)2 称为处理间平方和； i1
kn
SSe (yij yi.)2 称为处理内平方和或误差平方和。 i1 j1
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在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项目是各因素的某一水平组合。例如进行3种饲料和3个品种对猪日增重影响的两因素试验，整个试验共有3×3=9 个水平组合，实施在试验单位(试验猪)上的具体项目就是某品种与某种饲料的结合。所以，在多因素试验时，试验因素的一个水平组合就是一个处理。
显然, DFT = DFt + DFe
计算均方
各部分平方和除以相应的自由度便得到总均方、处
理间均方和处理内均方，分别记为MST (或ST2)、MSt (或St2)和MSe(或Se2)。即
MST

SST DFT
MSt

SSt DFt
MSe

SSe DFe
(2)F检验
在单因素试验结果的方差分析中，记i为第i处理(总
字母A、B、C、…等表示。
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3、因素水平(level of factor) 试验因素所处的某种特定状态或数量等级称为因素
水平，简称水平。如比较3个品种奶牛产奶量的高低，这3个品种就
是奶牛品种这个试验因素的3个水平；研究某种饲料中4种不同能量水平对肥育猪瘦肉率
的影响，这4种特定的能量水平就是饲料能量这一试验因素的4个水平。