《工程力学》第10章-弯曲内力

q0l q0 2 F = − x S 6 2l
M= q0l q x − 0 x3 6 6l
单辉祖:工程力学
q0l x q0 x x M= x − 6 2 l 3
35
3. 画剪力与弯矩图
F = S q0l q0 2 − x 6 2l
－ 2 次抛物线
q0l q0 3 M= x− x 6 6l
d2F dq S = 2 dx dx
q －渐减，q’< 0 渐减， FS 图－凸曲线
d2M =q<0 2 dx
M 图－凸曲线
FS = 0 处, M 图存在极值；q = 0 处, FS 图存在极值 图存在极值；
dF S =q dx dM =F S dx
d2 M =q 2 dx
2次凸曲线 2次凸曲线
直线
2次凹曲线 2次凹曲线
单辉祖:工程力学
26
应用
利用微分关系画梁的剪力与弯矩图
1. 问题分析
q=0，FS 图－水平直线，M 图－直线 ， 水平直线， 求 FSA+ ⇒ 画 FS 图 求 MA+ 与 MB- ⇒ 画 M 图
单辉祖:工程力学 31
§6 非均布载荷梁的剪力与弯矩
非均布载荷的合力 线性分布载荷梁的内力 例题
单辉祖:工程力学
32
非均布载荷的合力
合力大小： 合力大小：
FR =
∫x
xB
A
q( x)dx
载荷集度 图的面积
合力作用线位置: 合力作用线位置
xR
单辉祖:工程力学
∫x =
xB
A
xq( x)dx FR
载荷集度图 形心横坐标
28
例 题
例 5-1 画剪力与弯矩图
解：1. 形状判断 ： 斜线 2. FS 与 M 计算 ql/8
单辉祖:工程力学
ql/8 -3ql/8 0 ql2/16 ql2/16 0
29
3. 画FS与M图 图
xD l − xD 2 = 3 1
xD =
3l 8
2
9ql2/128
3ql 3l q 3l MD = − 8 8 2 8
34
d2M =q 2 dx 单辉祖:工程力学
例 题
例 6-1 建立剪力弯矩方程 画剪力弯矩图 用微分关系校核 建立剪力弯矩方程, 画剪力弯矩图,
解: 1. 外力分析
FR = q0l 2
FAy = q0l 6
q0l FBy = 3
q( x) =
q0 x l
2. 建立剪力与弯矩方程
F = S q0l x q0 x − 6 2 l
∑MC = 0, M + dM − qdx ⋅
dF S =q dx
(a)
(b)
dx − F dx − M = 0 S 2
dM =F S dx
d2 M =q 2 dx
梁微段平衡方程 注意： 注意： q 向上为正
单辉祖:工程力学
x 向右为正
25
利用微分关系画 利用微分关系画 FS 与M 图
均布载荷下 FS 与 M 图特点
9ql 2 MD = 128
单辉祖:工程力学
30
微分关系法要点
利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩图的形状 利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩图的形状 剪力 图的 计算各梁段起点 、 终点与 极值点等 截面的剪力 计算各梁段 起点、 终点 与 极值点 等 截面的 剪力 起点 与弯矩 将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩图 将上述二者结合，绘制梁的剪力与弯矩图 剪力与弯矩 在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直 在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直 图一定由 线所构成 均布载荷作用梁段，剪力图为斜线， 均布载荷作用梁段，剪力图为斜线，弯矩图为二 次抛物线， 次抛物线，其凹凸性由载荷集度的正负而定
2. 计算支反力、剪力与弯矩 计算支反力、
Me F A+ = −FAy = − S l 单辉祖:工程力学
FAy = FBy =
Me l
MA+ = Me
MB− = 0
27
3. 画剪力图 FS 图－水平直线
Me F A+ = − S l
单辉祖:工程力学
4. 画弯矩图 M 图－斜直线
MA+ = Me MB− = 0
η=
23
§5 载荷集度、剪力与弯矩间 的微分关系
FS , M 与 q 间的微分关系 间的微分关系 利用微分关系画 利用微分关系画 FS 与 M 图 例题 微分关系法要点
单辉祖:工程力学
24
FS, M 与 q 间的微分关系 间的微分关系
∑Fy = 0, FS + qdx − (FS + dFS ) = 0
F = −qa (0 < x2 ≤ a) S2
qa2 M2 = qax2 − (0 < x2 < a) 2
20
单辉祖:工程力学
例 4-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图 建立剪力与弯矩方程，
解：1. 支反力计算 ： 2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
qa2 F = qa, MC = Cy 2
BC 段
FSD− =F
MD− =F⋅0=0 =
14
§4 剪力、弯矩方程与图
剪力与弯矩方程 剪力与弯矩图 例题
单辉祖:工程力学
15
剪力与弯矩方程
FAy = FBy =
ql 2
F = −FAy + qx S
M = −FAy ⋅ x + qx ⋅ x 2
ql (0 < x < l ) F = − + qx S 2 ql q 2 M = − x + x (0 ≤ x ≤ l) 2 2
单辉祖:工程力学
F 右 −F 左 = F S S
19
例 4-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图 建立剪力与弯矩方程，
解：1. 支反力计算 ： 2. 建 F = qa, MC = Cy 2
BC 段
F = −qx1 (0 ≤ x1 ≤ a) S1
2 qx1 M1 = − (0 ≤ x1 < a) 2
画弯矩图
M =− ql q x + x2 2 2
－二次抛物线
土建等类技术部门画法
单辉祖:工程力学 17
例 题
例 4-1 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图 建立剪力与弯矩方程，
FAy = bF l FBy = aF l
解：1. 支反力计算 ： 2. 建立剪力与弯矩方程
AC 段 bF F = FAy = , (0 < x1 < a) S1 l bF M1 = FAy x1 = x1 , (0 ≤ x1 ≤ a) l 单辉祖:工程力学 CB 段 aF F = −FBy = − , (0 < x2 < b) S2 l aF x2 , (0 ≤ x2 ≤ b) M2 = FBy x2 = l 18
3. 画剪力与弯矩图 剪力图:
F = S1 bF l F =− S2 aF l
弯矩图: 弯矩图
M1 =
bF x1 l
M2 =
aF x2 l Fab Mmax = l
最大值: 最大值
bF F max = （b > a时） S, l
4. 讨论
作用处, 在 F 作用处 左右横截面上 弯矩相同, 的弯矩相同 剪力值突变
单辉祖:工程力学 5
§2 梁的计算简图
约束形式与反力 梁的类型
单辉祖:工程力学
6
约束形式与反力
主要约束形式与反力
可动铰支座， 可动铰支座，垂直于支承平面的支反力 FR 铰支座 固定铰支座， 固定铰支座，支反力 FRx 与 FRy 铰支座 固定端，支反力 FRx , FRy与矩为 M 的支反力偶 固定端
弯曲实例 弯曲及其特征
单辉祖:工程力学
3
弯曲实例
单辉祖:工程力学
4
弯曲及其特征
外力特征： 外力或外力偶的矢量垂直于杆轴 变形特征：杆轴由直线变为曲线 弯曲与梁： 以轴线变弯为主要特征的变形形式－弯曲 以轴线变弯为主要特征的变形形式－ 以弯曲为主要变形的杆件－ 以弯曲为主要变形的杆件－梁 计算简图：画计算简图时，通常以轴线代表梁 画计算简图时，
单辉祖:工程力学 7
梁的类型
常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、 简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁 悬臂梁：一端固定、 悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁 外伸梁： 外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁 静不定梁 约束反力数超过有效平衡方程数的梁
单辉祖:工程力学 8
§3 剪力与弯矩
剪力与弯矩 正负符号规定 剪力与弯矩计算 例题
－ 3 次曲线
F = S q0l q0 2 − x =0 6 2l
q0l2/(9√ √ 3)
xC = l / 3
单辉祖:工程力学
q0l q0 3 q0l 2 MC = xC − xC = 6 6l 9 3
36
4. 利用微分关系检查 FS 与 M 图
q = ax + b
FS 图－二次抛物线 M 图－三次曲线
12
计算方法与步骤 假想地将梁切开， 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象
画所选梁段的受力图， 画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正 由 ΣFy =0 计算 FS 由 ΣMC =0 计算 M，C 为截面形心 ，
单辉祖:工程力学 13
例 题
例 3-1 计算横截面 、横截面 +与 D-的剪力与弯矩。 计算横截面E 横截面A 的剪力与弯矩。
FS－剪力 M－弯矩
∑Fy = 0, FAy − F1 − FS = 0
故 FS =FAy−F 1 故 M=FAyb−F (b−a) 1