高级统计学1.多元正态分布
多元正态分布的重要公式总结
多元正态分布的重要公式总结多元正态分布是统计学中一种常见的概率分布，它在多个变量之间的关系建模中起到重要的作用。
在多元正态分布中，我们可以通过一些重要的公式来计算相关的统计量和概率。
本文将对多元正态分布的几个重要公式进行总结和说明。
一. 多元正态分布概率密度函数多元正态分布概率密度函数是描述多个随机变量之间关系的函数。
对于具有d个变量的多元正态分布，其概率密度函数可表示为：f(x) = (2π)-d/2 * |Σ|^-1/2 * exp[-1/2 * (x-μ)' * Σ^-1 * (x-μ)]其中，x是d维向量表示各个变量的取值，μ是d维向量表示各个变量的均值，Σ是d×d维矩阵表示各个变量之间的协方差矩阵。
二. 多元正态分布的均值与协方差矩阵多元正态分布的均值向量和协方差矩阵是描述该分布特征的关键统计量。
1. 均值向量：均值向量μ表示各个变量的期望值，可以通过样本计算得到。
样本均值向量的计算公式为：μ = (1/n) * Σxi其中，n表示样本数量，xi表示第i个变量的取值。
2. 协方差矩阵：协方差矩阵Σ用于描述各个变量之间的线性关系和变量的方差。
样本协方差矩阵的计算公式为：Σ= (1/n) * Σ(xi-μ) * (xi-μ)'其中，xi表示第i个样本向量，μ表示样本均值向量，'表示矩阵的转置。
三. 多元正态分布的条件概率与边缘分布对于多元正态分布的随机变量，我们可以通过条件概率和边缘分布来计算给定一些条件时的概率。
1. 条件概率：假设我们有一个d维的多元正态分布，其均值向量为μ，协方差矩阵为Σ。
给定一个条件a对应的向量值xa，那么给定条件下的多元正态分布的均值和协方差矩阵可以计算如下：μa|b = μa + Σab * Σb^-1 * (xb-μb)Σa|b = Σaa - Σab * Σb^-1 * Σba其中，a、b分别表示已知和未知的变量，μa|b和Σa|b分别为给定条件后a的均值向量和协方差矩阵，Σab表示a和b之间的协方差矩阵，Σb^-1表示b的协方差矩阵的逆矩阵。
多元正态分布公式学习多元正态分布的数学公式
多元正态分布公式学习多元正态分布的数学公式多元正态分布是统计学中常用的一种概率分布，它是一组随机变量的连续概率分布。
通过对多元正态分布的数学公式的学习，可以更好地理解和应用多元正态分布的相关知识。
本文将介绍多元正态分布的概念和性质，以及其数学公式的推导和应用。
1. 多元正态分布的概念和性质多元正态分布是指在多个随机变量同时服从正态分布的情况下，各个随机变量之间相互独立。
它有以下几个重要性质：（1）期望向量：多元正态分布的期望向量表示各个随机变量的均值，记作μ，即μ=(μ1, μ2, … , μn)。
（2）协方差矩阵：多元正态分布的协方差矩阵表示各个随机变量之间的相关性，记作Σ，即Σ=(σij)。
（3）概率密度函数：多元正态分布的概率密度函数是一个多元高斯函数，表示了各个随机变量在不同取值下的概率。
2. 多元正态分布的数学公式推导多元正态分布的数学公式可以通过高等数学的知识进行推导。
假设有一个n维向量X=(X1, X2, … , Xn)服从多元正态分布，其概率密度函数为：f(x)=1/[(2π)^(n/2) |Σ|^(1/2)] exp{-1/2 (x-μ)' Σ^(-1) (x-μ)}其中, x=(x1, x2, … , xn)为实际观测的取值向量。
3. 多元正态分布的应用多元正态分布的数学公式在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下是几个常见的应用场景：（1）金融风险管理：多元正态分布可以用来对股票、债券等金融资产的价格变动进行建模和研究，从而对风险进行评估和管理。
（2）经济数据分析：多元正态分布可以用来对经济数据中的变量之间的关系进行建模和分析，从而揭示经济规律。
（3）质量控制：多元正态分布可以用来对产品质量的多个指标进行建模和分析，从而帮助企业提高产品质量。
4. 总结通过对多元正态分布的学习，我们可以了解其概念和性质，推导出其数学公式，并了解多元正态分布在实际应用中的价值。
多元正态分布是统计学中重要的概率分布之一，深入理解其原理和应用对于我们进行数据分析和建模具有重要意义。
多元正态分布随机数
多元正态分布随机数
多元正态分布是统计学中一种常见的概率分布，通常用于描述多个变量之间的关系。
在多元正态分布中，每个变量都是服从正态分布的，而且不同变量之间还存在一定的相关性。
这种分布在各个领域都有广泛的应用，比如金融、医学、工程等。
在金融领域，多元正态分布常常被用来建立投资组合的模型。
通过对不同资产的收益率进行建模，可以更好地了解不同资产之间的关系，从而优化投资组合的配置。
通过多元正态分布，投资者可以进行风险控制，提高收益率，并根据不同的风险偏好选择适合自己的投资组合。
在医学领域，多元正态分布也被广泛应用。
例如，在流行病学研究中，可以利用多元正态分布来建立疾病传播的模型。
通过对不同因素的影响进行建模，可以更好地预测疾病的传播路径，从而采取有效的控制措施。
多元正态分布在医学研究中的应用，有助于提高疾病控制的效率，保护人们的健康。
工程领域也经常使用多元正态分布来分析复杂系统的性能。
比如在电子工程中，可以利用多元正态分布来建立电路元件的故障模型。
通过对不同元件故障的概率进行建模，可以更好地预测整个系统的可靠性，从而提高系统的稳定性。
多元正态分布在工程领域的应用，有助于提高系统的设计效率，降低故障率，保障设备的正常运行。
总的来说，多元正态分布作为一种重要的概率分布，在各个领域都有着广泛的应用。
通过对多元正态分布的研究和应用，可以更好地理解复杂系统的特性，提高决策的准确性，促进科学技术的发展。
希望未来能有更多的研究者和工程师利用多元正态分布的优势，为人类社会的进步和发展做出更大的贡献。
多元正态分布公式协方差矩阵条件分布
多元正态分布公式协方差矩阵条件分布在统计学中，多元正态分布是一种重要的概率分布，它描述了多个变量之间的关系。
协方差矩阵是用来表达多元正态分布中变量之间的相关性和方差的。
本文将探讨多元正态分布公式中的协方差矩阵条件分布。
1. 多元正态分布公式多元正态分布是指具有两个或两个以上连续型随机变量X1, X2, ..., Xk的联合概率分布服从正态分布的情况。
多元正态分布的概率密度函数如下：f(x) = (2π)^(-k/2)|Σ|^(-1/2)exp[-0.5(x-μ)'Σ^(-1)(x-μ)]其中，x是k维列向量，μ是k维列向量，Σ是k×k矩阵，Σ^(-1)表示Σ的逆矩阵。
2. 协方差矩阵条件分布在多元正态分布中，协方差矩阵Σ描述了随机变量之间的相关性和方差。
当我们对其中一些变量施加一些限制或条件时，我们可以通过计算条件分布来获得在这些条件下的概率分布。
对于多元正态分布X = (X1, X2, ..., Xk)'，设X = (X_1, X_2)'是其中的一组变量，X_2是X的互补。
给定条件X_2 = x_2时，X_1的条件分布可以表示为：X_1|X_2=x_2 ~ N(μ_1 + Σ_12Σ_22^(-1)(x_2 - μ_2), Σ_11 -Σ_12Σ_22^(-1)Σ_21)其中，μ_1是X_1的均值向量，μ_2是X_2的均值向量，Σ_11是X_1的协方差矩阵，Σ_22是X_2的协方差矩阵，Σ_12是X_1和X_2之间的协方差。
3. 实例分析为了更好地理解协方差矩阵条件分布的概念，我们以一个实际案例进行分析。
假设我们有一个样本包含身高和体重两个变量，并且我们认为这两个变量服从多元正态分布。
我们想要根据给定的体重条件，推断身高的条件概率分布。
首先，我们计算身高和体重的均值向量和协方差矩阵。
然后，根据协方差矩阵的公式，计算出给定体重条件下身高的条件分布。
假设体重的均值为μ_w，身高的均值为μ_h，体重的方差为σ_w^2，身高的方差为σ_h^2，体重和身高之间的协方差为σ_hw。
第1章多元正态分布
为什么在统计学分析中需要有足够大的样本？
例甲、乙两研究者分别 用某新药治疗10例和403 例老年性气管炎患者, 其疗效如下表。
甲 治疗结果 例 数
%
临床治愈
7
70
未治愈
3
30
合计
10
100
乙 治疗结果 例 数
%
临床治愈
83 20
未治愈
320 80
合计
403 100
临床上感兴趣的问题是新药治疗老 年性气管炎治愈率是多少, 而不是10 和403例的治愈频率,
那么应用20%，还是70%, 以估计 新药治疗老年性气管炎治愈率呢？
历史上许多著名科学家做过抛掷硬 币的试验, 抛掷硬币试验结果如表
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
试验者 抛掷次数(n) 正面次数(k) 频率(k/n)
─────────────────────
De Morgan 2048
三、期望达到的目的
学会分析多元观测数据，对给定多元数 据能恰当选用本书所介绍的方法，结合 统计软件进行计算、分析。对所研究问 题作出科学评价与合理的推断。
清楚理解每种方法所要解决的问题，前 提条件和局限性等。比较某些有联系方 法之间的相似处与差异。
四、多元统计分析的前提条件
1.多元统计分布对资料的分布有一定的要 求；
28349 14297 24564
4387
9325 4394 11520
993
作图步骤
Step one :作平面坐标系，横坐标取ｐ个点 表示ｐ个指标；
Step two:对给定的依次观测值，在ｐ个点上 的纵坐标和它对应的变量取值成正比；
Step three:连接ｐ个高度的顶点成一条折线， 则一次观测值的轮廓为一条多角折线形。 ｎ次观测值可画ｎ条折线，构成轮廓图。
多元正态分布与协方差矩阵
多元正态分布与协方差矩阵在统计学中，多元正态分布是一种常见的概率分布，它在多个变量之间描述了一种特定的关系。
与一元正态分布不同，多元正态分布涉及多个变量，其概率密度函数可以通过协方差矩阵来描述。
多元正态分布的定义如下：设X为n维随机向量，具有正态分布，即X~N(μ,Σ)，μ为均值向量，Σ为协方差矩阵。
协方差矩阵Σ是一个n×n的对称矩阵，它描述了变量之间的相互关系。
协方差矩阵的对角线上的元素是方差，非对角线上的元素是协方差。
多元正态分布的概率密度函数如下：f(x) = (1/(2π)^(n/2) *|Σ|^(1/2)) * exp(-1/2 * (x-μ)^T * Σ^(-1) * (x-μ))其中，|Σ|表示协方差矩阵Σ的行列式，(x-μ)表示向量差，Σ^(-1)表示协方差矩阵Σ的逆矩阵。
多元正态分布在多个领域中都有广泛的应用。
例如，在金融领域，投资组合的收益率往往涉及多个资产，而这些资产之间的关系可以用多元正态分布来描述。
此外，多元正态分布还可用于模式识别、数据挖掘、人工智能等领域。
对于多元正态分布，协方差矩阵起着重要的作用。
协方差矩阵描述了变量之间的相关性和方差的关系。
通过协方差矩阵，可以计算出两个变量之间的协方差和相关系数。
特别地，当协方差矩阵的对角线上的元素都为1时，协方差矩阵即为单位矩阵，此时多元正态分布退化为独立同分布。
在实际应用中，估计协方差矩阵是一项重要任务。
通过样本数据的观测值，可以对未知的协方差矩阵进行估计。
常用的估计方法包括最大似然估计和广义最小二乘估计。
总结起来，多元正态分布与协方差矩阵密切相关。
多元正态分布可以通过协方差矩阵来描述多个变量之间的关系。
协方差矩阵描述了变量之间的相关性和方差的关系，对于多元正态分布的估计和应用起着重要的作用。
通过掌握多元正态分布和协方差矩阵的概念和应用，可以更好地理解和分析多维数据的特性和关系。
《多元正态分布》课件
度概率密度函数的乘积。
高维正态分布在机器学习中的应用
降维处理
高维正态分布可以用于降维处理，通过保留数据的主要特征，降低 数据的维度，提高数据的可解释性和处理效率。
特征选择
高维正态分布可以用于特征选择，通过分析特征之间的相关性，选 择与目标变量高度相关的特征，去除冗余和无关的特征。
概率模型
高维正态分布可以用于构建概率模型，通过估计数据的概率分布， 进行分类、回归和聚类等机器学习任务。
总结词
检验多元正态分布的协方差矩阵是否与预期 协方差矩阵一致。
详细描述
通过对比样本协方差矩阵与预期协方差矩阵 ，评估样本数据是否符合多元正态分布的假 设。常用的方法包括样本协方差矩阵与预期 协方差矩阵的差异检验、样本数据的散点图 和拟合曲线分析等。
多元正态分布的其他假设检验方法
总结词
其他用于检验多元正态分布的方法。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
二元正态分布
二元正态分布的定义
总结词
二元正态分布是多元正态分布在两个维度上的特例，其概率密度函数呈钟形， 且服从二维高斯分布。
详细描述
二元正态分布是一种连续概率分布，描述了两个随机变量之间的关系，当这两 个随机变量相互独立时，其联合概率分布是二元正态分布。它的概率密度函数 由均值向量和协方差矩阵决定，呈现出钟形曲线。
多元正态分布的均值向量和协方差矩阵决定了其 分布形态。
多元正态分布的应用场景
多元统计分析
多元正态分布在多元统计分析中 广泛应用，如主成分分析、因子 分析、聚类分析等。
机器学习
在机器学习中，多元正态分布用 于描述特征之间的相关性，以及 在隐含层节点中实现特征的映射 。
多元正态分布多个随机变量的联合正态分布
多元正态分布多个随机变量的联合正态分布多元正态分布是统计学中重要的概念，它描述了多个随机变量之间的联合分布。
在本文中，我们将探讨多元正态分布以及多个随机变量的联合正态分布。
一、多元正态分布的定义与性质多元正态分布是指一个由多个随机变量组成的向量，其中每个随机变量都服从正态分布。
设X=(X1,X2,...,Xn)为一个n维随机变量向量，其密度函数为：f(x)= (2π)^(-n/2) |Σ|^(-1/2) e^(-1/2(x-μ)^T Σ^(-1)(x-μ))其中|Σ| 表示协方差矩阵Σ的行列式，μ为均值向量，Σ为协方差矩阵。
多元正态分布具有以下重要性质：1. 线性组合：若X=(X1,X2,...,Xn)服从多元正态分布，A为常数矩阵，b为常数向量，则Y=A*X+b也服从多元正态分布。
2. 边缘分布：若X=(X1,X2,...,Xn)服从多元正态分布，则X的任意一个子集也服从多元正态分布。
3. 条件分布：在已知部分分量的条件下，多元正态分布的未知分量仍然是多元正态分布。
4. 协方差与相关系数：协方差矩阵Σ可以描述随机变量之间的相关关系，并且相关系数矩阵为标准化的协方差矩阵。
二、多个随机变量的联合正态分布在多元正态分布中，当有多个随机变量同时服从正态分布时，我们可以考虑它们之间的联合正态分布。
设X=(X1,X2,...,Xn)和Y=(Y1,Y2,...,Ym)是两组服从正态分布的随机变量，它们的联合正态分布可以用一个向量形式表示为Z=(X,Y)。
对于Z=(X,Y)，我们可以通过以下两种方式来描述它的联合正态分布：1. 直接法：通过计算协方差矩阵Σ和均值向量μ来得到联合正态分布的密度函数。
2. 边缘法：将X和Y的密度函数分别求出，然后将它们相乘得到联合正态分布的密度函数。
在实际应用中，我们常常使用直接法来描述多个随机变量的联合正态分布。
通过计算协方差矩阵和均值向量，我们可以得到一个完整的描述。
三、实例分析假设我们有两组随机变量X=(X1,X2)和Y=(Y1,Y2,Y3)，它们分别服从正态分布。
多元正态分布
多元正态分布正态分布，又称为高斯分布，是概率论与统计学中最为重要的概率分布之一。
正态分布的特点是其概率密度函数呈现出钟形曲线的形状，可以描述大多数自然现象中的分布情况。
本文的主要目的是介绍正态分布的定义、性质和应用，并对其多元形式进行讨论。
一、正态分布的定义和性质正态分布的定义如下：设X是一个连续型随机变量，如果它的概率密度函数为f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中μ为均值，σ^2为方差，exp为自然指数函数，那么称X服从参数为(μ,σ^2)的正态分布，记作X~N(μ,σ^2)。
正态分布的性质如下：1. 正态分布是一个对称分布，其均值、中位数和众数都重合，位于分布的中心。
2. 正态分布的曲线在均值两侧呈现对称性，标准差决定了曲线的宽度，标准差越小，曲线越陡峭，反之越平缓。
3. 正态分布的累积分布函数可用标准正态分布的累积分布函数来计算。
4. 正态分布的随机变量相加仍然服从正态分布。
二、正态分布的应用正态分布在各个领域中都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 自然科学：正态分布常被用来描述测量误差、物理实验结果和自然现象。
例如，在物理实验中测量的误差往往服从正态分布。
2. 金融领域：正态分布被广泛应用于金融领域的风险管理和股票价格预测中。
基于正态分布的投资组合理论和资产定价模型是金融领域中的重要工具之一。
3. 质量控制：正态分布被应用于质量控制中，用于确定产品的标准差、设定合适的控制上限和下限，从而判断产品是否合格。
4. 社会科学：正态分布在社会科学领域的人口统计、心理学实验和经济学研究中得到广泛应用。
例如，身高、体重等指标的分布往往服从正态分布。
三、多元正态分布多元正态分布是正态分布的一种拓展形式，用于描述多个随机变量之间的相关性。
多元正态分布的定义如下：设X = (X1,X2,...,Xn)是一个n维随机向量，如果它的概率密度函数为f(x) = (1/√((2π)^n|Σ|)) * exp(-1/2(x-μ)Σ^(-1)(x-μ)^T)其中x = (x1,x2,...,xn)，μ = (μ1,μ2,...,μn)为均值向量，Σ为协方差矩阵，|Σ|为协方差矩阵的行列式，exp为自然指数函数，Σ^(-1)表示Σ的逆矩阵，那么称X服从参数为(μ,Σ)的多元正态分布，记作X~N(μ,Σ)。
§1-5 多元正态分布
， xm ) ， ym ) y1 g1 ( x1， x1 h1 ( y1， y g ( x ， x h ( y ， ， x ) ym ) m 1 m m 1 ， m m
f Y1 ,,Ym ( y1， ， ym ) ( x1， ， xm ) f X 1 ,, X m ( h1 ( y1， ， y m )， ， hm ( y1， ， y m )) ( y1， ， ym )
二．多元正态分布的基本定理
回顾与拓展：随机向量变换的概率密度函数
， Xm) ， Ym ) Y1 g1 ( X 1， X 1 h1 ( Y1， Y g ( X ， X h ( Y ， Xm) Ym ) m 1 ， m 1 ， m m
Y1 Y p1 Y 2
1 2
V11 V V 21
V12 V22
则Y1与Y2 独立的充分必要条件是 V12 0
三．多元正态分布的性质
思考题
设 ( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X ～ N( ， ² )的 样本，试问 X = ( X1, X2, …, Xn ) ´服从什么分布？
正态分布 或 Gauss分布。记为 X∼ N(， ² )
( x )2 2 2
一．多元正态分布的定义 标准正态分布
设 X∼ N(， ² )，当 = 0， = 1 时， 称 X 服从标准正态分布，记为 X ∼ N(0，1 ) 标准正态分布的概率密度为
x2 2
( x)
§1-5
多元正态分布
一．多元正态分布的定义
二．多元正态分布的基本定理 三．多元正态分布的性质
一．多元正态分布的定义
多元正态分布公式多元正态分布的密度函数条件分布的计算公式
多元正态分布公式多元正态分布的密度函数条件分布的计算公式多元正态分布是统计学中常用的概率分布之一，主要用于描述具有多个相互关联的随机变量的分布特征。
在实际应用中，了解多元正态分布的密度函数和条件分布的计算公式对于进行概率统计分析具有重要意义。
本文将介绍多元正态分布的密度函数以及条件分布的计算公式。
1. 多元正态分布的密度函数多元正态分布的密度函数可以用以下形式表示：f(x) = (2π)^(-k/2) * |Σ|^(-1/2) * exp(-1/2 * (x-μ)^T * Σ^(-1) * (x-μ))其中，f(x)表示多元正态分布的密度函数，x表示一个k维向量，μ表示k维均值向量，Σ表示协方差矩阵，|Σ|表示协方差矩阵的行列式。
2. 条件分布的计算公式条件分布指在给定一些变量的取值时，其他变量的分布情况。
对于多元正态分布，条件分布的计算可以通过条件均值和条件协方差矩阵来实现。
假设我们有一个k维的多元正态分布随机变量X，其中部分变量已知为x，另一部分变量未知。
那么给定已知条件的情况下，未知变量的条件分布可以通过以下计算公式得到：μ_yx = μ_y + Σ_yx * Σ_x^(-1) * (x-μ_x)Σ_yx = Σ_y - Σ_yx * Σ_x^(-1) * Σ_xy其中，μ_yx表示未知变量的条件均值向量，Σ_yx表示未知变量的条件协方差矩阵，μ_y和Σ_y分别表示未知变量和已知变量的均值向量和协方差矩阵，Σ_x表示已知变量的协方差矩阵，Σ_xy表示已知变量与未知变量的协方差矩阵。
通过以上计算公式，我们可以得到未知变量在给定已知条件下的条件分布，从而实现对多元正态分布的更精确建模和分析。
总结：本文介绍了多元正态分布的密度函数以及条件分布的计算公式。
多元正态分布是一种常用的概率分布，用于描述具有多个相互关联的随机变量的分布特征。
通过理解多元正态分布的密度函数和条件分布的计算公式，我们可以在实际应用中更准确地进行概率统计分析，并得到更精确的结果。
多元统计分析多元正态分布
因子分析可以用于数据的降维、分类和解释变量之间的复杂关系。
03
04
多元正态分布的聚类分析
K-means聚类
一种无监督的机器学习算法，通过迭代过程将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。
总结词
K-means聚类是一种常见的聚类分析方法，其基本思想是：通过迭代过程将数据划分为K个集群，使得每个数据点与其所在集群的中心点之间的平方距离之和最小。具体步骤包括：随机选择K个中心点，将每个数据点分配给最近的中心点所在的集群，然后重新计算每个集群的中心点，并重复此过程直到中心点不再发生变化或达到预设的迭代次数。
定义与性质
性质
定义
均值向量
描述多元正态分布的期望值，表示分布的中心位置。
协方差矩阵
描述多元正态分布的各变量之间的方差和协方差，表示分布的散布程度和变量间的相关性。
维数
描述多元正态分布中随机变量的个数，不同维数的多元正态分布具有不同的形态和性质。
多元正态分布的参数
统计分析
多元正态分布在统计分析中广泛应用，如回归分析、因子分析、聚类分析等。
KNN分类
06
多元正态分布的可视化技术
总结词
主成分分析（PCA）是一种常用的多元统计分析方法，用于降维和数据可视化。
总结词
PCA可视化能够揭示数据中的模式和趋势，帮助我们理解数据的内在结构和关系。
详细描述
通过将数据投影到主成分上，我们可以将高维数据可视化为一组二维或三维图形，从而更直观地观察数据的分布、中心、离群值和聚类等特征。
逻辑回归分类
VS
支持向量机（SVM）是一种有监督学习算法，用于解决分类问题。在多元正态分布的背景下，支持向量机通过找到能够将不同类别的数据点最大化分隔的决策边界来实现分类。
多元正态分布的四种定义
多元正态分布的四种定义多元正态分布是统计学中的一种重要的概率分布模型，它在多个变量之间具有强大的建模能力。
多元正态分布可以通过四种不同的定义进行描述，每种定义揭示了不同的角度和特性。
下面将以生动、全面、有指导意义的方式来介绍这四种定义。
第一种定义是最常见的定义方式，也是最直观的一种。
多元正态分布可以被定义为多个服从正态分布的随机变量的联合分布。
简而言之，如果一个向量X具有k个分量，且每个分量都服从正态分布，那么X就服从多元正态分布。
第二种定义是通过协方差矩阵来描述多元正态分布的。
在这种定义中，多元正态分布被定义为一个具有均值向量μ和协方差矩阵Σ的向量。
协方差矩阵Σ可以用来衡量不同分量之间的相关性和方差的大小。
通过对协方差矩阵的分析，我们可以了解到多元正态分布中各个分量之间的联系以及变量的相互影响。
第三种定义是通过特征值和特征向量来定义多元正态分布的。
在这种定义中，矩阵Σ的特征向量可以理解为多元正态分布的主要方向，而特征值则代表了在特定方向上的方差。
通过分析特征值和特征向量的组合，我们可以获得多元正态分布的各个方向上的方差程度以及变量之间的相关性。
第四种定义是通过条件分布来描述多元正态分布的。
在这种定义中，如果一个多维向量服从多元正态分布，那么它的任意一个分量在已知其他分量的条件下也会服从正态分布。
这种条件分布的特性使得多元正态分布在建模条件依赖性问题时非常有用，例如在金融风险管理和预测问题中。
通过以上四种定义，我们可以全面了解多元正态分布的特性和应用。
多元正态分布的灵活性和强大的建模能力使得它成为了许多统计学和机器学习方法的基石。
无论是在实际应用中还是在理论研究中，深入理解多元正态分布的各种定义都是非常有指导意义的。
第一章 多元正态分布资料
★对于多元正态分布，已有一整套统计推断 方法，并且得到了许多完整的结果。
2020/11/11
3
第一章 多元正态分布
多元正态分布是最常用的一种多元
概率分布。除此之外，还有多元对数正 态分布，多项式分布，多元超几何分布， 多元 分χ布2 、多元 分布、多元指数
μ
.(1.6)
当 A 、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：
(1) E(AX ) AE(X )
1.7
2020/11/11 (2) E( AXB) AE( X )B
(1.8) 12
§1.1.4 随机向量的数字特征
2、随机向量X 自协方差阵
Σ COV (X, X) E(X EX)(X EX)/ D(X)
分布等。本章从多维变量及多元分布的 基本概念开始，着重介绍多元正态分布 的定义及一些重要性质。
2020/11/11
4
§1.1多元分布的基本概念
§1.1.1 随机向量 §1.1.2 分布函数与密度函数 §1.1.3 多元变量的独立性 §1.1.4 随机向量的数字特征
2020/11/11
5
§1.1.1 随机向量
10
§1.1.3 多元变量的独立性
定义1.4：两个随机向量 X 和 Y 称为是相互独立的，若
P(X x, Y y) P(X x)P(Y y) (1.3)
对一切 (X , Y )成立。若 F(x, y) 为(X , Y ) 的联合分布函数
，GG((xx)) H ( y) 分别为X和Y的分布函数，则X与Y 独立X 当且仅
假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数
据是同时观测 p个指标（即变量），又进行了 n 次
多元正态分布的重要公式详解
多元正态分布的重要公式详解多元正态分布是概率统计学中一个重要的概念，它在各个领域的应用非常广泛。
本文将对多元正态分布中的一些重要公式进行详解，以帮助读者更好地理解和应用多元正态分布。
1. 多元正态分布的概率密度函数多元正态分布的概率密度函数（probability density function，简称PDF）是多元正态分布的核心公式。
对于一个p维的多元正态分布，其概率密度函数可表示为：f(x) = (2π)^(-p/2) * det(Σ)^(-1/2) * exp(-0.5 * (x-μ)' *Σ^(-1) * (x-μ))其中，f(x)表示多元正态分布的概率密度；x是一个p维向量；μ表示多元正态分布的均值向量，也是一个p维向量；Σ是多元正态分布的协方差矩阵，是一个p×p的对称正定矩阵；det(Σ)表示协方差矩阵Σ的行列式。
2. 多元正态分布的期望与协方差矩阵对于一个p维的多元正态分布，其期望向量（mean vector）为μ，由p个均值组成。
而协方差矩阵（covariance matrix）Σ则描述了各个维度之间的相关性。
协方差矩阵的对角线元素表示各个维度的方差，非对角线元素表示各个维度之间的协方差。
对于多元正态分布，协方差矩阵必须是对称正定的。
3. 多元正态分布的边缘分布对于多元正态分布，我们还可以通过边缘化（marginalization）的方式得到各个维度的边缘分布。
边缘分布是指将多元分布中的某些变量剔除，得到的一维分布。
多元正态分布的边缘分布仍然是正态分布，只是均值和方差发生了变化。
边缘分布的均值由原始多元分布的均值向量与剔除的变量相关的协方差矩阵乘积得到，方差则由协方差矩阵的逆矩阵得到。
4. 多元正态分布的条件分布条件分布是指在给定其他变量的条件下，对某个变量的分布进行建模。
对于多元正态分布，条件分布仍然是正态分布。
给定某些变量的取值，我们可以通过计算协方差矩阵的逆矩阵，并利用条件概率的公式求解条件分布。
第一章 多元正态分布
❖ /z04-2/143.htm
（2） Λ统计量和Λ分布
设k个总体G1,,Gk ，它们服从 Np (i ,) 。分别抽出
如下的样本：
x11, x12, , x1n1
x21, x22, , x2n2
xk1, xk2, , xknk
x j x j1, x j2 , , x jnj
(i=1,2,…,p)
E(x) (E(x1), E(x2), , E(xp )) (1, 2 p )'
是一个p维向量，称为均值向量
性质 1） 设为常数，则 E(aX) aE(X)； 2）设 A, B,C 分别为常数矩阵，则
E(AXB C) AE(X)B C
3）设 X1, X2,, Xn为 n 个同阶矩阵，则
E{[(Ax AE(x)][(Bx BE(x)]}
AE[(x )(x )]B 5、若(k1,k2,…，kp)是n个不全为零的常数， (x1,x2,…，xp) 是相互独立的p维随机向量，则
V (k1x1 k2x2 knxn ) k12V (x1) k22V (x2 ) kn2V (xn )
若(x, y) 0，两随机向量相互独立。
其中，ij
cov(xi , y j ) D(xi ) D( y j )
❖ 多元正态分布的定义及其性质
多元正态分布是一元正态分布的直接推广。许多 实际问题的分布常是多元正态分布或近似正态分布， 或本身不是正态分布，但他的样本均值近似于多元正 态分布。因此，多元分析的主要理论都是建立在多元 正态总体基础上的。
i 1
1.3 维希特(Wishart)分布
定义 设n个随机向量 xi (xi1, xi2, , xip )(i 1, 2,3, ,n)
高级统计学1.多元正态分布
f ( x , y ) g( x )h( y )
注意:在上述定义中， X 和 Y 的维数一般是不同的。
(1.5)
11
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§1.1.4
随机向量的数字特征
1、随机向量 X 的均值 设 X ( X 1 , X 2 ,, X p )'有 p 个分量。若 E ( X i ) i存在， i 1,2, p , 定义随机向量 X 的均值为
15
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§1.1.4
随机向量的数字特征
4、随机向量X 的相关阵 若随机向量 X ( X 1 , X 2 ,, X p )' 的协差阵存在,且每个 分量的方差大于零，则X的相关阵定义为:
R (corr ( X i , X j )) (rij ) p p
其中，rij COV ( X i , X j ) D( X i ) D( X j ) , i, j 1, 2, ,p
cov( X , Y ) (cov( X i , Y j )), i 1,, n ; j 1,, p
若 cov( X , Y ) 0，称X和Y是不相关的。
(1.10)
当A、B为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：
(1) D( AX ) AD( X ) A' AA' (2) cov( AX , BY ) A cov( X , Y ) B '
5
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§1.1.1
随机向量
假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数 据是同时观测 p 个指标（即变量），又进行了 n 次 观测得到的，把这 p 个指标表示为 X 1 , X 2 ,, X p 常 用向量
多元正态分布
1
n1
n
)
X
二、多元正态总体的最大似然估计及其性质
利用最大似然法求出 μ和 的最大似然估计为：
μˆ X
ˆ 1S n
求解过程
似然函数为：
L (, ) f(x ( 1 ))f(x (2 )) f(x (n ))
n (2) p2 1 2ex 1 (x p [) 1 (x)]
2
22 n
（引理：设A为p阶正定矩阵，则 tr(A)lnAp 当A=I
等号成立。
A1/2S n1/2Ip时等号成 立 n S ，即
最大似然估计的性质
1. E(X)μ ，即 X 是 μ的无偏估计 。
E(1nS)nn1，即
1S n
不是 的无偏估计。
E( 1 S) n1
样本均值向量可以用样本矩阵表示出来，即
X
p 1
1 n
X
1 n
1n (1,1, ,1)
因为：
X 11
1 n
X 1n
1 n
X
12
X
1n
X 21 X 22
X 2n
X p1 X p2
X pn
1 1
n
独立同分布于 Np(μ,)， 则随机矩阵 W (i)(i) 服从自由度
为n的非中心维斯特分布，记为
i1
W~Wp(n,,μ)
随机矩阵的分布：
X11 X12 X1p
X
X21
X22
X2p
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X j ( x1 j , x2 j ,, xnj )' ,
j 1,2, p
表示对第j个变量Xj的n次观测数值。
7
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§1.1.1
随机向量
• 因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:
x11 x21 X x n1 x12 x22 xn 2
E ( X 1 ) 1 E ( X 2 ) 2 μ E ( X) E ( X P ) P
1 . 6
是一个 p维向量，称为均值向量.
当A、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质： 1.7 (1) E ( AX ) AE ( X ) (2) E ( AXB) AE ( X ) B (1.8)
第一章 多元正态分布
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 多元分布的基本概念 统计距离 多元正态分布 均值向量和协方差阵的估计
§1.5
常用分布及抽样分布
1
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第一章
多元正态分布
• 一元正态分布在统计学的理论和实际应用 中都有着重要的地位。同样，在多变量统 计学中，多元正态分布也占有相当重要的 位置。原因是： • 许多随机向量确实遵从正态分布，或近似 遵从正态分布； • 对于多元正态分布，已有一整套统计推断 方法，并且得到了许多完整的结果。
(1.9)
称它为p维随机向量X的协方差阵，简称为 X的协方差阵。 称|cov(X, X)|为X的广义方差，它是协差 阵的行列式之值。
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§1.1.4
随机向量的数字特征
3、随机向量X 和Y 的协差阵
设 X ( X 1 , X 2 ,, X n )' 和Y (Y1 , Y2 ,, Y p )' 分别为 n 维和 p 维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个 n p 矩 阵，其元素是 cov( X i , Y j )，即
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§1.1.4
随机向量的数字特征
2、随机向量X的协方差阵
cov( X , X ) E ( X EX )( X EX )/ D( X )
COV ( X 1 , X 2 ) COV ( X 1 , X P ) D( X 1 ) COV ( X 2 , X 1 ) D( X 2 ) COV ( X 2 , X P ) COV ( X P , X 1 ) COV ( X P , X 2 ) D( X P ) ( ij )
rij也称为分量Xi与Xj之间的（线性）相关系数。
16
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§1.1.4
随机向量的数字特征
在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同 对统计分析结果带来的影响，往往在使用某种统计 分析方法之前，常需将每个指标“标准化”，即做 如下变换
X
j
X j E( X j ) (var X j )
1/ 2
j 1, , p
从而X ( X1 , X 2 ,, X )有： p
E ( X ) 0 及 D( X ) corr ( X ) R
1 即标准化数据的协差阵正好是原指标的相关阵R X / X n1
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§1.2 统计距离和马氏距离
cov( X , Y ) (cov( X i , Y j )), i 1,, n ; j 1,, p
若 cov( X , Y ) 0，称X和Y是不相关的。
(1.10)
当A、B为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：
(1) D( AX ) AD( X ) A' AA' (2) cov( AX , BY ) A cov( X , Y ) B '
结果CD反而比AB长！这显然是不够合理的。
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§1.2 统计距离和马氏距离
因此，有必要建立一种距离，这种距离要能 够体现各个变量在变差大小上的不同，以及有时 存在着的相关性，还要求距离与各变量所用的单 位无关。看来我们选择的距离要依赖于样本方差 和协方差。
因此，采用“统计距离” 这个术语，以区别 通常习惯用的欧氏距离。最常用的一种统计距离 是印度统计学家马哈拉诺比斯（Mahalanobis）于 1936年引入的距离，称为“马氏距离”。
f ( x , y ) g( x )h( y )
注意:在上述定义中， 和 Y 的维数一般是不同的。 X
(1.5)
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§1.1.4
随机向量的数字特征
1、随机向量 X 的均值 设 X ( X 1 , X 2 ,, X p )'有 p 个分量。若 E ( X i ) i存在， i 1,2, p , 定义随机向量 X 的均值为
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§1.1.4
随机向量的数字特征
（3）设X为n维随机向量，期望和协方差存在，记
E( X ), D( X ) , A为n n常数阵，
则
E ( X' AX) tr( AΣ) μ ' Aμ
对于任何随机向量 X ( X 1 , X 2 ,, X p )' 来说， 其协差阵∑都是对称阵，同时总是非负定（也称半 正定）的。大多数情形下是正定的。
P ( X x, Y y) P( X x) P(Y y)
对一切( X , Y )成立。
(1.3)
（1）若F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数，G(x)和H(y) 分别为
X和Y的分布函数，则X与Y独立当且仅当
F ( x , y ) G( x ) H ( y ) (1.4) （2）若(X,Y)有密度f(x, y)，用g(x)和h(y)分别表示X和Y 的分布密度，则X和Y独立当且仅当
d (O,P) ( x x )
2 1
2 1/2 2
(1.14)
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§1.2 统计距离和马氏距离
但就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令 人满意的。 这里因为，每个坐标对欧氏距离的贡献是同等 的。当坐标轴表示测量值时，它们往往带有大小不 等的随机波动，在这种情况下，合理的办法是对坐 标加权，使得变化较大的坐标比变化小的坐标有较 小的权系数，这就产生了各种距离。
/ X (1) x1 p / x2 p X (2) ( X 1 , X 2 , , X p ) X/ xnp ( n)
若无特别说明，本书所称向量均指列向量
定义1.1 设 X 1 , X 2 ,, X p 为 p 个随机变量，由它们组成 的向量 X ( X 1 , X 2 ,, X p )' 称为随机向量。
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§1.2 统计距离和马氏距离
下面先用一个一维的例子说明欧氏距离与马氏距离在 概率上的差异。
2 设有两个一维正态总体 G1 : (1 , 12 )和G2 : ( 2 , 2 ) 。若 有一个样品，其值在A处，A点距离哪个总体近些呢？
AB 52 10 2 125 CD 10 2 12 101
显然AB比CD要长。
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§1.2 统计距离和马氏距离
现在，如果x2用mm作单位， x1单位保持不变， 此时A坐标为（0，50），C坐标为（0，100），则
AB 50 2 10 2 2600 CD 100 2 12 10001
式中，
1.1
x ( x1 , x2 ,, x p ) R p
,并记成 X ~ F 。
9
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§1.1.2 分布函数与密度函数
定义1.3：设 X ~ F ( X ) = F ( x1 , x 2 ,, x p ) ,若存在一个 非负的函数 f ,使得
对一切 x R 成立，则称 X （或 F X ）有分布 密度 f 并称 X 为连续型随机向量。 一个 p 维变量的函数 f 能作为 R p 中某个随机向量 的分布密度，当且仅当
欧氏距离还有一个缺点，这就是当各个分量为 不同性质的量时，“距离”的大小竟然与指标的单 位有关。
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§1.2 统计距离和马氏距离
例如，横轴x1代表重量（以kg为单位），纵轴x2 代 表长度（以cm为单位）。有四个点A、B、C、D见 图1.1，它们的坐标如图1.1所示
这时
1. 欧氏距离 2. 马氏距离
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§1.2 统计距离和马氏距离
1. 欧氏距离
在多指标统计分析中,距离的概念十分重要,样品间的 不少特征都可用距离去描述。 大部分多元方法是建立在简单的距离概念基础上的。 即平时人们熟悉的欧氏距离,或称直线距离.如几何平面上 的点P=(x1,x2)到原点O=(0,0)的欧氏距离,依勾股定理有
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§1.1.4
随机向量的数字特征
4、随机向量X 的相关阵 若随机向量 X ( X 1 , X 2 ,, X p )' 的协差阵存在,且每个 分量的方差大于零，则X的相关阵定义为:
R (corr ( X i , X j )) (rij ) p p
其中，rij COV ( X i , X j ) D ( X i ) D( X j ) , i, j 1, 2, , p
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第一章 多元正态分布