函数及其性质复习学案

1 x2
二、函数的性质
学点 1 函数的单调性、单调区间 例 1 根据函数 f(x)=|x+1|的图象求函数的最值
例 2 .求证 f ( x) x
1 的(0,1)上是减函数，在 [1, ) 是增函数， 求[0.5,2]的最大值和最小值. x
变式练习：1、 判断函数 y x 6 x 7, x - 1,6 的单调性并给出证明，并求出此时函数的值域
（3）当 a＞0 且 a≠1 时，求 f(a)，f(a－3)的值． （选做）
16、设函数 f ( x)
1 x2 ． 1 x2
（1）求它的定义域；2）判断它的奇偶性； 4）求证： f ( x) 在 [1, ) 上递增.
（3） 求证： f ( ) f ( x)
1 x
4
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5
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6
2
B. 5
C. 6
D. 8 ）
3、 果函数 f ( x) x 2(a 1) x 2 在区间 ，4 ］ （ 上是减函数， 那么实数 a 的取值范围是 （ A. a 3 B. a 3 C. a 5 D. a 3
4、函数 f ( x) 的定义域为 (a, b) ，且对其内任意实数 x1 , x2 均有： ( x1 x2 )[ f ( x1 ) f ( x2 )] 0 ，则
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函数及其性质
【学习要点】 ：
一、函数及其表示： 1．函数的概念 （1）函数的定义： 设 A、B 是两个非空的______，如果按照某种确定的对应关系 f，对于集合 A 中的______一 个数 x，在集合 B 中都有_________的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A． （2）函数的定义域、值域： 在函数 y＝f(x)，x∈A 中， x 叫做________，x 的取值范围 A 叫做函数的________；与 x 的 值对应的 y 的值叫做________，记作：_____，函数值的集合{ f(x)|x∈A}叫做函数的_____． （3）函数的三要素：_______、_______和_______． （4）相等函数：若两个函数的_______和_______完全一致，则称这两个函数________． 2．函数的表示法：_________、_________和_________． 3．映射的概念 设 A、B 是两个非空的集合，如果按照某种对应关系 f，使得对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有____________的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射． 4．分段函数 有些函数在其定义域中，对应自变量 x 不同取值范围的对应关系不同，这样的函数通常称 为____________，它由几个部分构成，但它代表的是一个函数． 5.区间的概念 开区间，闭区间，半开半闭区间，无穷区间 二、函数的性质 1、 、单调性定义：对于函数 y f (x) ，对于定义域内的自变量的任意两个值 x1 , x 2 ，当 都有 ，那么就说函数 y f (x) 在这个区间上是
y f (u) u g (x)
增 ↗
减 ↘ 减 ↘
y f ( g ( x))
增 ↗
减 ↘
减 ↘
奇偶性 1．定义： 如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有
，那么函数 f(x)就叫偶函数；
1
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如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 ，那么函数 f(x)就叫奇函数。 2．奇偶函数图象的性质 奇函数的图象关于 对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数 为 。 偶函数的图象关于对称。反过来,如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函 数 。 奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。 若函 数 f (x) 为奇函数，且在 x=0 处有定义，则 f (0) 0 ；
2
2
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2、函数
y ( x 1)2 2, x [0,1] 的最小值为
，最大值为
.
1 ； x
学点 3 判别下列函数的奇偶性： 例 3（1）f(x)＝|x＋1|+|x－1|； 3）f(x)＝ x 1 + （2）f(x)＝x＋
1 x
（4）f(x)＝x 2 , x∈[-2,3].
1 10、 已知 f(x )＝x2＋5x，则 f(2)＝___________，f(x)＝_______________ 11、y= x 2 x 3 的单调减区间是
2
；
12、函数 y=f(x)的定义域为[-2，4]则函数 g(x)=f(x)+f(-x)的定义域为 13、如果函数 y
【例题解析】 ：
一、函数及其表示： 学点 1 函数的定义： 例 1、设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函数关系是有（ ） y y y y 2 O 2 2 2 O
1 4 D○○
O O 1 2 x 1 2 x 1 x 3 1 2 ○ ○ ○ 1 ○○○ 2 3 4 1 ○○ 2 3 2 ○ A．○ B．○ C．○ 3 学点 2：同一个函数的判断 例 2、判断下列函数 f ( x) 与 g ( x) 是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x) = ( x 1)0 ； g ( x) = 1. ② f ( x) = x； g ( x) =
5 3
）
（D）f( )<f(-2)<f(-3) ）
6、函数 f ( x) ax bx cx 8 ，且 f (2) 10 ，则函数 f (2) 的值是（ A、 2 ； B、 6 ； C、 6 ； D、 8
【提升练习】 ：
7 、 . 若 f x x bx c, 且f (1) 0, f (3) 0, 则a
2 x 3( x 0) 是奇函数，则 f ( x ) ______ f ( x )( x 0)
2
1 14、 已知函数 f x x 2 x, x ,2,3，则 f x 的值域是________
1 15、 已知函数 f(x)＝ x＋3＋ ． x＋2 （1）求函数的定义域； 2 （2）求 f(－3)、f(3)的值；
2
，b
， f x 的 解 析 式
为 8、数 f ( x)
．
x2
1 的定义域为 x 3
( x 0)
，.函数 f ( x)
x 2 2 x 3 的定义域
9、. 已知函数 f ( x )
x 2 1 ( x 0) 2x
，则 f [ f (2)] =______；若 f ( x) 10 ,则 x
学点 4 利用奇偶性解决单调性 例 4：奇函数 f (x) 在定义域 (1,1) 上为减函数，且满足 f (1 a) f (3a 2) 0 ，求实数 a 的取 值范围。
学点 5 函数的应用 例 5、 某商场购进一批单价为 6 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高 销售价格. 经试验发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能卖 360 件，若按 25 元的价格销售时， 每月能卖 210 件，假定每月销售件数 y（件）是价格 x（元/件）的一次函数. （1）试求 y 与 x 之间的关系式；
2
时，
函数。
2．二次函数的单调性：对函数 f ( x) ax bx c (a 0) ，
b 的左侧 2a b 当 a 0 时函数 f (x) 在对称轴 x 的左侧 2a
当 a 0 时函数 f (x) 在对称轴 x
，右侧 ，右侧； ； Nhomakorabea3．复合函数的单调性：复合函数 y f ( g ( x)) 在区间 (a, b) 具有单调性的规律见下表：
f ( x) 在 (a, b) 上是（
） （A）增函数
（B）减函数
（C）奇函数
（D）偶函
3
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5、偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x [0,] 时 f(x)是增函数，则 f(-2),f( ),f(-3)的大小关系是（ （A）f( )>f(-3)>f(-2) （B）f( )>f(-2)>f(-3) （C）f( )<f(-3)<f(-2)
（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利 润？每月的最大利润是多少？
【基础练习】 ： 1、列四个函数中,与 y=x 表示同一函数的是（
A.y=( x )2 B.y= x
3 3
） C.y= x
2
D.y=
x2 x
）
2、已知集合 A 到 B 的映射 f : x y 2 x 1 ，那么集合 A 中元素 2 在 B 中的象（ A. 2
x2 .
1 2 4 ○
x
③ f ( x) = x 2； g ( x) = ( x 1)2 .
④ f ( x) = | x | ； g ( x) =
x2 .
学点 3 函数的定义域 （1） f x x 3
例 3 求下列函数的定义域 （用区间表示）.


0
+
1 x2
（2） y log0.2 ( x 6) （3） f ( x) x 1