数学高考基础知识、常见结论详解

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数学高考基础知识、常见结论详解

数学高考基础知识、常见结论详解一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。

集合元素的互异性：如：)}lg(,,{xy xy x A =，}|,|,0{y x B ，求A ；（2）集合与元素的关系用符号∈，∉表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有理数集、实数集。

（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。

注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ；}12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；}12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2xyz x x y z G =++==（5）空集是指不含任何元素的集合。

（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

二、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

（2）_}__________{_________=B A ；____}__________{_________=B A ；_}__________{_________=A C U （3）对于任意集合B A ,，则：①A B B A ___；A B B A ___；B A B A ___； ②⇔=A B A ；⇔=A B A ；⇔=U B A C U ；⇔=φB A C U ；③=B C A C U U ； )(B A C U =；（4）①若n 为偶数，则=n；若n 为奇数，则=n ；②若n 被3除余0，则=n ；若n 被3除余1，则=n ；若n 被3除余2，则=n ；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是。

高考数学基础知识点大全总结归纳

高考数学基础知识点大全总结归纳数学是高考中最重要的科目之一，也是考生们备战高考的重点之一。

要在高考数学中取得好成绩，掌握基础知识点是至关重要的。

本文将对高考数学中的基础知识点进行全面总结归纳，帮助考生们更好地复习备考。

一、代数与函数代数与函数是数学中最基础也是最核心的内容之一。

在高考数学中，代数与函数的知识点占据了相当大的比重。

以下是高考数学代数与函数部分的基础知识点：1.1 整式与分式1.2 多项式与多项式的运算1.3 幂的运算与整式的整除性1.4 分式的化简与运算1.5 分式方程的解法二、数与数量关系数与数量关系是高考数学中的重要知识点之一，它不仅包括了基础的数与数的关系，还包括了数量之间的比较和计算。

以下是高考数学数与数量关系部分的基础知识点：2.1 数与数的性质2.2 数与式的计算2.3 数与面积、体积的关系2.4 一次函数与一次函数的应用三、几何与变换几何与变换是高考数学中相对较为复杂的知识点，但也是不可或缺的一部分。

几何与变换包括了图形的性质、图形的变换与运动等内容。

以下是高考数学几何与变换部分的基础知识点：3.1 线与角3.2 三角形与三角形的性质3.3 圆与圆的性质3.4 二次曲线与二次曲线的性质3.5 向量与向量的运算四、概率与统计概率与统计是高考数学中较为实际且应用广泛的知识点，它涉及到事件的发生概率和数据的统计分析等内容。

以下是高考数学概率与统计部分的基础知识点：4.1 随机事件与随机事件的运算4.2 概率的计算与性质4.3 统计数据的收集与整理4.4 统计指标与统计图的应用综上所述，高考数学基础知识点的掌握对于考生在高考中取得好成绩至关重要。

通过对代数与函数、数与数量关系、几何与变换以及概率与统计等知识点的全面总结归纳，相信考生们能够更好地复习备考并在高考中取得优异成绩。

希望本文能为广大考生提供帮助，祝愿各位考生都能顺利通过高考，实现自己的人生目标。

高考数学复习考点知识与结论专题讲解1 集合技巧全攻略

高考数学复习考点知识与结论专题讲解第1讲集合技巧全攻略结论一、集合的互异性对于一个给定的集合,它的任意两个元素是不能相同的.凡是出现含参数的集合,必须首先考虑集合的互异性,即集合中元苏不相等,例如集合{},A a b =,则有a b ≠[例1]设集合{}{1,2,3},4,5,{|,,}A B M x x a b a A b B ====+∈∈,则M 中元素的个数为（）.A.3B.4C.5D.6[答案]B[解析]因为集合{1,2,3},{4,5},{|,A B M x x a b a A b B ====+∈∈,所以a b +的值可能为:145,156,246,257,347,358+=+=+=+=+=+=.所以M 中元素只有:5，6，7故选B .[变式]已知集合()2{|()10}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3,则实数a =（）[答案] 2或32[解析] 根据集合中元素的互异性,当方程()2()10x a x ax a --+-=重根时,重根只能算一个元素.{()(1)[(1)]0}M x x a x x a =----=∣.当1a =时,{0,1}M =,不合题意;当11a -=,即2a =时,1,2}M =∣,符合题意;当1a ≠,且2a ≠时,1a a ++-13=,则313,,1,222a M ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭,符合题意.综上,2a =或32.结论二、集合相等对于两个集合A 与B ,如果A B ⊆,且B A ⊆,那么集合A 与B 相等,记作A B =.[例2]设,R a b ∈,集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭,则b a -=（）.A.1B.1-C.2D.2-[答案] C[解析] 由题意知,{}01,,a b a ∈+又0a ≠,故0a b +=,得1ba=-,则集合}{1,0,a {0,1,}b =-,可得1,1a b =-=,则2b a -=.故选C .【变式】设,,{1,},{1,}a b P a Q b ∈==--R ,若P Q =,则a b +=（）[解析]因为P Q =,所以11ba =-⎧⎨=-⎩,所以1,1a b =-=-,所以2a b +=-.结论三、集合子集个数真子集有()21n-个,非空真子集有()22n-个.[例3]已知集合{}**(,)|43120,,B x y x y x N y N =+-<∈∈,则B 的子集个数为（）.A.3B.4C.7D.8[答案] D[解析] 因为集合{}**(,)43120,,B x y x y x y =+-<∈∈N N ∣,所以{(1,1)B =,(1,2),(2,1)},所以B 中含有3个元素,集合B 的子集个数有328=.故选D .【变式】设集合{1,2,3,4A ⊆∣,若A 至少有3个元索,则这样的A 一共有（）.A.2个B.4个C.5个D.7个[答案] C[解析] 因为集合{1,2,3,4},A A ⊆至少有3个元素,所以满足条件的集合A 有:{1，2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},所以这样的A 一共有5个.故选C .结论四、子集与交集若A B ⊆,则A B A ⋂=;若A B A ⋂=,则A B ⊆.[例4]已知集合{0,1,2},{1,}A B m ==.若A B B ⋂=,则实数m 的值是（）.A.0B.2C.0或2D.0或1或2[答案] C[解析] 因为A B B ⋂=,所以B A ⊆,所以0m =或 2.m =故选C .【变式】已知集合2{|320},{|}M x x x N x x a =+->=>,若M N M ⋂=,则实数a 的取值范围是（）.A.[3,)+∞B. (3,)+∞ C. (,1]-∞ D.(,1)-∞-[答案] C[解析] 由2320x x +->,即2230x x --<,可得13x -<<,故{|13}M x x =-<<.由M N M ⋂=可得M N ⊆,故(,1]a ∈-∞-.故选C .结论五、子集与并集若A B ⊆,则A B B ⋃=;若A B B ⋃=,则A B ⊆.[例5]已知集合{}2|1P x x =≤，{}M a =.若P M P ⋃=,则a 的取值范围是（）.A.(,1]-∞-B.[1,)+∞C.[1,1]-D.(,1][1,)-∞-⋃+∞ [答案] C[解析] 因为P M P ⋃=,所以M P ⊆,即a P ∈,得21a …,解得11a -剟,所以a 的取值范围是[1,1]-.故选C.【变式】设全集U =R ,若11|,,|,3663k k A x x k B x x k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ,则下列正确的是( ).A.U U C B C A ⊇B.A B A ⋂=C.A B A ⋃=D.U C A B ⊆[答案] B[解析] 由212|,,|,66k k A x x k B x x k ++⎧⎫⎧⎫==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z 可得A B ⊆,所以A B A ⋂=.故选B.结论六、子集与空集题目中若有条件B A ⊆,则应分B =∅和B ≠∅两种情况进行讨论.[例6]若集合{}2|60M x x x =+-=,{}|10N x ax =-=,且N M ⊆,则实数a =[答案] 0或12或13- [解析] 由260x x +-=可得2x =或3x =-,因此{2,3}.M =- (1)若0a =,得N =∅,此时,N M ⊆; (2)若0a ≠,得1N a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若N M ⊆,满足12a =或13a =-,解得12a =或13a =-. 故所求实的值为0或12或13-. 【变式】已知{|25},{|121},A x x B x m x m B A =-=+-⊆剟剟,则m 的取值范围是___________ [答案] 3m …[解析] 应分B =∅和B ≠∅两种情况讨论.当121m m +>-, 即2m <时, B =∅,满足B A ⊆, 即2m <; 当121m m +=-, 即2m =时,{3}B =,满足B A ⊆, 即2m =; 当121m m +<-, 即2m >时,由B A ⊆,得12215m m +-⎧⎨-⎩……即23m <…;综上, 3m …. 故m 的取值范围是3m ….结论七、交集与空集由于A ⋂∅=∅,因此,A B A ⋂=中的A 可以为∅.[例7]已知集合{}2120,{211}A x x x B x m x m =--=-<<+∣∣…,且A B B ⋂=,则实数m 的取值范围为（）.[).1,2A -[].1,3B -[).2,C +∞[).1,D -+∞[答案] D[解析]由2120x x --…, 得(3)(4)0x x +-…, 得34x -剟, 所以||3A x x =-剟4}.又A B B ⋂=,所以2m …. (1)当B =∅时,有121m m +-…,解得2m …. (2)当B ≠∅时,有321,1 4 ,12211,m m m m m -≤-⎧⎪+≤⇒-≤<⎨⎪-<+⎩综上, [1,)m ∈-+∞. 故选D .【变式】设{}}2|8150,{|10A x x x B x ax =-+==-=, 若A B B ⋂=, 实数a 组成的集合的子集有（）个. [答案] 8[解析] 集合A 化简得{3,5}A =,由A B B ⋂=知B A ⊆,故(I )当B =∅时,即方程10ax -=无解,此时0a =符合已知条件.()II 当B ≠∅时, 即方程10ax -=的解为3或5,代人得13a =或1.5综上,满足条件的a 组成的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭,故其子集共有328=个.结论八、并集与空集由于A A ⋃∅=,因此,A B B ⋃=中的A 可以为∅.[例8]已知集合}2||230,{10},A x x x B x mx A B A =--==+=⋃=∣,则m 的取值是().A.11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B.10,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C.11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D.10,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭[答案] D[解析]{}2|230{|13}{1,3}A x x x x x x =--===-==-或，{|10}B x mx =+=，当A B A ⋃=时,B A ⊆.若B =∅,则方程10mx +=无实数解,此时0m =;{1}B =-,则方程10mx +=的实数解为1-,此时1m =;若{3}B =,则方程10mx +=的实数解为3,此时13m =-;若{1,3}B =-,则方程10mx +=的实数解为1-和3,此时m 不存在.综上,m 的取值是10,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选 D.【变式】已知集合{}{}2|121,|310P x a x a Q x x x =+≤≤+=-≤,若P Q Q ⋃=,实数a 的取值范围为_______ [答案] (,2]-∞[解析] 2{|310}{|25}Q x x x x x =-≤=-≤≤, 因为P Q Q ⋃=,所以P Q ⊆. (1)当P =∅时,即121a a +>+,解得0.a <(2)当P ≠∅时,即121,12, 02215,a a a a a ++⎧⎪+-⇒≤≤⎨⎪+⎩………综上,实数a 的取值范围为(,2]-∞.结论九、反演律（德摩根定律)()()()I I I C A B C A C B ⋂=⋃(交的补等于补的并)()()()I I I C A B C A C B ⋃=⋂（并的补等于补的交）[例9]若U 为全集,下面三个命题中是真命题的有() (1)若A B ⋂=∅,则()()U U C A C B U ⋃=. (2)若A B U ⋃=,则()()U U C A C B ⋂=∅. (3)若A B ⋃=∅,则A B ==∅.A.0个B.1个C.2个D.3个[答案] D[解析] （1）()()()U U U U C A C B C A B C U ⋃=⋂=∅= (2)()()()U U U U C A C B C A B C U ⋂=⋃==∅;(3) 证明:因为()A A B ⊆⋃,即A ⊆∅,而A ∅⊆,所以A =∅; 同理B =∅, 所以A B ==∅ 综上，三个命题均为真命题.故选D.【变式】若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（）..A M N ⋃.B M N ⋂.()()U U C C M C N ⋃.()()U U D C M C N ⋂[答案] D[解析]因为{1,2,3,4}M N ⋃=,所以()()(){5,6}U UU M N M N ⋂=⋃=痧?.故选D.结论十、容斥原理用card()A 表示集合A 中的元素个数(有资料中用A 或其他符号)，则通过维恩图可理解其具备的二维运算性质card()card()card()card()A B A B A B ⋃=+-⋂.[例10]高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下:参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三;参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人;两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人.则此班的人数为_____[答案] 40人[解析]设{}|U x x =是高一某班学生，{}|A x x =是该班参加大舞台学生，{}|B x x =是该班参加风情秀学生.设该班两个节目都参加的人数为x ，只参加风情秀的人数为y ，由图可知,3(73)8x y x y x y +=+++++,解得15x y +=，因为315408÷=(人),所以该班总人数为40人. 【变式】设A B ，是有限集,定义(,)card()card()d A B A B A B =⋃-⋂, 其中card()A 表示有限集A 中的元素个数,命题(1):对任意有限集 ,",A B A B ≠"是“(,)0d A B >"的充分必要条件;命题(2):对任意有限集,,,(,)(,)(,)A B C d A C d A B d B C +….下列判断正确的是（）. A.命题(1)和命题(2)都成立 B.命题(1)和命题(2)都不成立C.命题(1)成立,命题(2)不成立D.命题(1)不成立,命题(2)成立[答案]A[解析](,)d A B 实际表示的是只在A 中或只在B 中的元素个数.对命题(1),当A B ≠时,至少有1个元素只在A 中或只在中, 所以(,)0;d A B > 对命题(2),如图所示,记图中的各个区域内的元素个数是(1,2,,7)i S i =且0i S …,所以(,)d A C =1245134623,(,),(,)S S S S d A B S S S S d B C S S +++=+++=++56S S +, 所以123456(,)(,)22d A B d B C S S S S S S +=+++++…，1245(,)S S S S d A C +++=,所以命题(2)也成立. 故选A.。

高考数学必考知识点归纳全

高考数学必考知识点归纳全高考数学是高中阶段学生面临的一次重要考试，它涵盖了多个数学领域的基础知识点。

以下是高考数学必考知识点的归纳：一、集合与函数- 集合的概念：集合的表示、子集、并集、交集、补集。

- 函数的概念：函数的定义、值域、定义域、单调性、奇偶性。

- 函数的表示：函数的图象、函数的解析式。

二、代数基础- 指数与对数：指数函数、对数函数、对数运算法则。

- 幂运算：幂的运算法则、根式。

- 代数方程：一元一次方程、一元二次方程、高次方程、方程组的解法。

三、不等式与不等式组- 不等式的基本性质：不等式的基本解法、不等式组的解集。

- 绝对值不等式：绝对值的定义、绝对值不等式的解法。

四、数列- 等差数列：等差数列的定义、通项公式、求和公式。

- 等比数列：等比数列的定义、通项公式、求和公式。

- 数列的极限：数列极限的概念、极限的运算。

五、三角函数与解三角形- 三角函数：正弦、余弦、正切等基本三角函数的性质和图像。

- 解三角形：正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式。

六、解析几何- 直线：直线的方程、直线的位置关系。

- 圆：圆的方程、圆与直线的位置关系。

- 椭圆、双曲线、抛物线：圆锥曲线的性质和方程。

七、立体几何- 空间直线与平面：空间直线的方程、平面的方程、线面关系。

- 多面体与旋转体：多面体的体积、旋转体的表面积和体积。

八、概率与统计初步- 随机事件的概率：概率的定义、概率的计算方法。

- 统计初步：数据的收集、整理、描述。

九、导数与微分- 导数的概念：导数的定义、几何意义。

- 基本导数公式：常见函数的导数公式。

- 微分的概念：微分的定义、微分的应用。

十、积分与应用- 不定积分：不定积分的概念、基本积分公式。

- 定积分：定积分的概念、定积分的计算方法。

- 积分的应用：面积、体积、物理量等的计算。

十一、复数- 复数的概念：复数的定义、复数的运算。

- 复数的几何表示：复平面、复数的模和辐角。

十二、逻辑推理与证明方法- 逻辑推理：命题逻辑、逻辑运算。

数学高考知识点及公式总结

数学高考知识点及公式总结在高中数学的学习过程中，我们需要掌握各种各样的知识点和公式。

这些知识点和公式是我们高考备考的重要基础，也是我们在数学考试中的得分点。

下面，我们就来总结一下数学高考中常见的知识点和公式，希望对大家备考有所帮助。

一、代数与函数1. 方程与不等式- 一元二次方程：$ax^2 + bx + c = 0$- 二次函数图像的特征：顶点、对称轴、开口方向- 一元二次不等式：$ax^2 + bx + c > 0$ 或 $< 0$ 的解集2. 数列与数列极限- 等差数列通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$- 等比数列通项公式：$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$- 递推关系与通项公式的转化- 数列极限的概念与计算3. 函数与图像- 一次函数：$y = kx + b$- 二次函数：$y = ax^2 + bx + c$- 指数函数：$y = a^x\ (a > 0,\ a \neq 1)$- 对数函数：$y = \log_a{x}\ (a > 0,\ a \neq 1)$- 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等二、平面几何1. 图形的性质- 四边形性质：平行四边形、矩形、正方形、菱形等- 三角形性质：等边三角形、等腰三角形、直角三角形等- 圆的性质：圆的周长、面积、弦长、弧长等2. 相似与全等- 三角形相似的判定条件- 三角形全等的判定条件3. 向量与坐标- 向量的基本运算：加法、减法、数乘- 向量的模、平行、垂直等概念- 平面直角坐标系中的点与向量的关系三、空间几何1. 空间图形的性质- 空间几何体：球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等- 空间图形的表面积和体积计算2. 空间直角坐标系- 空间直角坐标系的建立与应用- 斜率与二维、三维直线的关系3. 空间平面与直线- 空间平面的方程与性质- 空间直线的方程与性质四、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的概念与性质- 概率的基本性质及其计算方法- 排列与组合的概念与计算2. 数据处理与统计- 数据分布的统计指标：平均数、中位数、众数、极差等- 统计图表的绘制与分析以上就是数学高考中常见的知识点和公式的总结。

新高考数学基础知识点总结

新高考数学基础知识点总结一、函数与方程1. 函数的概念函数指的是一种特殊的关系，它将一个或多个自变量的取值映射到一个因变量的取值上。

函数通常用f(x)或者y来表示。

2. 常见的函数类型常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数等。

3. 函数的图像特征不同类型的函数有着不同的图像特征，例如线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线等。

4. 方程与不等式方程是两个表达式的相等关系，不等式指的是两个表达式的大小关系。

解方程和不等式是数学中的基础操作。

二、平面几何1. 平面几何基本概念平面几何主要包括点、线、面等基本概念，以及直线、角、三角形、四边形等基本图形的性质。

2. 平行线与垂直线平行线指的是在同一平面内不相交的两条直线，垂直线指的是两条直线相交时互相垂直的关系。

3. 三角形的性质三角形是平面几何中的重要图形，它有着各种独特的性质，如角的和为180度、三边关系、三角形的内切圆和外接圆等。

4. 四边形的性质四边形是指有四个边的封闭图形，有着各种特殊的性质，如平行四边形的性质、直角梯形的性质等。

三、立体几何1. 立体几何基本概念立体几何是研究三维空间中的图形和物体的几何学分支，包括球体、圆柱体、圆锥体、棱柱体、棱锥体等基本图形。

2. 球面与球体球面是以一条直线为轴旋转一周所得到的曲面，球体则是球面所包围的立体。

3. 圆柱体与圆锥体圆柱体是由一个矩形绕其一条边旋转一周所得到的立体，圆锥体则是圆锥所包围的立体。

4. 棱柱体与棱锥体棱柱体是由多边形绕其一条边旋转一周所得到的立体，棱锥体则是多边形所包围的立体。

四、解析几何1. 坐标系与坐标解析几何是利用代数方法研究几何问题的方法，它主要依赖于坐标系和坐标的概念。

2. 直线的方程在坐标系中，直线可以用点斜式、截距式、一般式等不同的方程形式来表示。

3. 圆的方程圆可以用标准方程或一般方程来表示，在坐标系中可以通过方程的形式来描述圆的位置和大小。

高考数学所有公式及结论总结大全

高考数学所有公式及结论总结大全高考数学涉及到的公式和结论非常多，无法一一列举。

以下是一些高中数学中较为常用的公式和结论的总结，能够帮助你备考：1.二次方程：二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，a ≠ 0。

二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。

2.一元二次不等式：一元二次不等式的解集可以通过判别式和一次项系数的正负情况确定。

3.三角函数：正弦函数的定义域为实数集R，值域为[-1,1]。

余弦函数的定义域为实数集R，值域为[-1,1]。

正切函数的定义域为{x，x≠(2k+1)π/2，k∈Z}，值域为实数集R。

4.平面几何：平面直角坐标系中，两点之间的距离公式为：AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。

5.空间几何：空间直角坐标系中，两点之间的距离公式为：AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。

6.相似三角形：相似三角形的三边成比例，相应的三个角相等。

7.对数运算：loga (x·y) = loga x + loga y。

loga (x/y) = loga x - loga y。

loga (x^k) = k·loga x。

8.复数：复数的表示形式为：z = a + bi，其中a为实部，b为虚部。

两个复数的加减法：(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ±d)i。

两个复数的乘法：(a + bi) · (c + di) = (ac - bd) + (ad +bc)i。

两个复数的除法：(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) ÷ (c^2 +d^2)] + [(bc - ad) ÷ (c^2 + d^2)]i。

9.概率统计：事件A发生的概率：P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)为事件A的样本点数，n(S)为样本空间的样本点数。

高考数学公式大全(完整版)

高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系 Ux A x C A ∈⇔∉,Ux C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系 A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.5．集合12{,,,}na a a 的子集个数共有2n个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x NM f x ->- ⇔11()f x N M N>--.8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=kf 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a b x 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}m in m a x m a x ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}m i n ()m i n (),()fx fp f q =，若[]q p a b x ,2∉-=，则{}m a x ()m a x (),()fx f p fq =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q pm ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min(,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()manf x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或240a b ac <⎧⎨-<⎩. 12.真值表14.四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若ｑ互为为否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称.21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数11()nn nn P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()(f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a m x f b m x⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称.(3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系 a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log af x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim 1x g x f x→==.29.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）na =.（2）当na =；当n为偶数时，,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. 32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsrsa a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r srsa a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式 log baN b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>. 34.对数的换底公式log log log mam NN a= (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠,0N >).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log aaaMN M N =+; (2) log log log aa aM M N N=-;(3)log log ()n aaM n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a≠,则函数log ()axy bx =(1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log()axy bx =为增函数.，(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则（1）log ()log m pm n p n ++<. （2）2log log log 2aaam n m n +<.38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nnaa a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}na :11,(0)n n aqa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s ()2(1)s i n ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式s i n ()s i n c o s c o αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).48.二倍角公式 sin 22sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.51.正弦定理 2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理（1）111222abc S ah bhch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OABS∆=. 54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+ 222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解 s i n (1)a r c s i n(kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2a r c c o s (,|c o x a x k a k Z aπ=⇔=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s c o s 2(c o k k Zαβαπβ=⇔=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集s i n (||1)(2a r c s i n,2a x a a x k a k ak Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. c o s (||1)(2a r c c o s ,2a xa a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. c o s (||1)(2a r c c o s ,22a x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈. t a n ()(a r c t a n ,),2xa a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈. tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b= a ·（λb ）; (3)（a+b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b=|a||b|cos θ． 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a=(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a=11(,)x y ,b=22(,)x y ). 64. ,A Bd =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则 A||b ⇔b=λa 12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）.67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y yG ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x hy y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ .注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k . 69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k++. (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==.（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R+∈⇒2a b +≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大. 73.一元二次不等式20(0)a x b x c ++><或2(0,40)a b a c ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或. 74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-. 75.无理不等式（1）()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （3）2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式 2121y yk x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y(12xx ≠)).(4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:ly k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A BA B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点0(,)P x y 的直线系方程为0()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点0(,)P x y 的直线系方程为0()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A xB yC A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax B y C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分；111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩. （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3)过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y Fλ+++++++++=,λ是待定的系数． 88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d . 91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为0()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=; ②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b+=. （2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是22a b（3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=. (2)若渐近线方程为x ab y ±=⇔0=±bya x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=. （2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是22a b（3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线pxy 22=上的动点可设为P),2(2y py或或)2,2(2pt pt PP (,)x y ，其中22y px=.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a--；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点0(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y p x p ⇔<>. 点0(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点0(,)P x y 在抛物线22(0)y p x p =->的内部22(0)y p x p ⇔<->. 点0(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y p x p ⇔>->. (3)点0(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x p y p ⇔<>. 点0(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点0(,)P x y 在抛物线22(0)x p y p =>的内部22(0)x p y p ⇔<>. 点0(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->.104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点0(,)P x y 处的切线方程是0()y y p x x =+. （2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是 12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212||||AB x x y y ==-=-点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点0(,)P x y 成中心对称的曲线是0(2-,2)0F x x y y -=.（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y 即得方程0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使O P O M x M A y=++. 119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔A Dx A B y =+⇔ (1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使O P x O A y O B z O C=++. 121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e 122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；(4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---. 124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r r r r（其中θ（090θ<≤ooa b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有 22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+. 特别地,当90AOB ∠=时,有 22212sin sin sin θθθ+=.131.二面角l αβ--的平面角cos||||m narc m n θ⋅=或cos ||||m n arc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ; 1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=. 135.点Q 到直线lh =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.138.异面直线上两点距离公式d .',d EA AF =.d ='E AAF ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式 2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则 ①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =；（2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =.146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为,外接. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）. 149.分类计数原理（加法原理） 12nN m m m =+++.150.分步计数原理（乘法原理） 12nN m m m =⨯⨯⨯. 151.排列数公式m nA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.152.排列恒等式 (1）1(1)m m nnA n m A -=-+; （2）1m m nn n A A n m-=-;（3）11m m nn A nA --=; （4）11n n n nn nnA A A ++=-;。

高考数学常用的50个二级结论

高考数学常用的50个二级结论二级结论绝对会提高你的解题速度，对提升正确率无疑也很有帮助。

但二级结论不同于公式，仅仅将其记住，一是考场上很难想起，二是生搬硬套，很容易陷入老师的命题陷阱里。

因此，一定要自己动手，将每一个二级结论推导一遍，考场上才好放心使用哦~5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和.12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.13. 圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导.推论：14. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程.22. 过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值.24. 抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦.25. 双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a(长半轴长).26. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两直线斜率之积为定值，两直线交曲线于A，B两点，则直线AB恒过定点.32. 角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线.39. 帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上.45. 三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心；(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心；(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心；(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.。

高考数学核心知识点全解析

高考数学核心知识点全解析一、数与代数运算1. 实数集及其性质实数集包括有理数集和无理数集。

有理数集包括整数、分数和小数，无理数集包括无限不循环小数。

实数集具有完备性，即实数集任意一非空有上界的数集必有上确界。

同时，实数集还满足稠密性，即任意两个不同的实数之间必存在有理数和无理数。

2. 数的运算数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。

减法和除法不满足交换律，除法要求被除数不为零。

3. 代数式代数式是由常数和变量通过加、减、乘、除和乘方等基本运算符号组成的算式。

4. 方程与不等式方程是指等式中含有未知数的等式。

不等式是指等式中含有不等号的等式。

二、函数与方程1. 函数的概念函数是指数集到数集的映射关系，通常用f(x)表示。

函数由定义域、值域和对应关系构成。

2. 基本初等函数常见的基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

3. 函数的性质函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、最值和图像等。

4. 方程与不等式的解法解方程的方法包括化简、同解变形、因式分解、配方法、乘法和除法原理等。

解不等式的方法包括化简、加减法原理、乘除法原理、绝对值不等式和一次不等式等。

三、几何与变换1. 几何基本概念几何基本概念包括点、线、面、角、线段等。

几何基本定理包括相交线定理、平行线定理、垂直线定理、角平分线定理等。

2. 图形的性质与判定常见图形的性质包括长方形、正方形、菱形、圆等。

图形的判定方法包括等腰三角形的判定、直角三角形的判定、平行四边形的判定等。

3. 平面向量平面向量的定义包括模、方向和零向量。

平面向量的运算包括加法、减法、数量积和向量积。

4. 变换与相似常见的几何变换包括平移、旋转、对称和放缩。

相似是指两个图形在形状上相同但尺寸不同。

四、概率与统计1. 随机事件及其概率随机事件是指在相同的条件下可能发生也可能不发生的事件。

概率是事件发生的可能性大小，用数表示。

高考数学基础知识常见结论总结

怎样在最短的时间复习完最基本的内容，做这些让你学习高效起来高考数学基础知识常见结论总结—欧哥整理,提分秘籍希望孩子们能在假期把这些内容打印完成，尤其是数学基础不够好的孩子，让你能快速掌握我们刚刚一轮复习过的这些基本知识点函数指数函数与对数函数一、函数： 1. 函数的概念2. 函数)(x f y =的图象与直线a x =交点的个数至多为__________个。

二、函数的三要素：__________，__________，__________。

相同函数的判断方法：(1)__________；(2)__________ (两点必须同时具备)1. 函数解析式的求法：(1) 定义法(拼凑)，(2) 换元法，(3) 待定系数法，(4) 赋值法；如：(1) 已知f (x )=3x +1，求f (2x +1)； 2) 已知f (2x +1)=3x +1，求f (x )； (3) 已知f (2x +1)=3x +1，求f (3x +1)；(4) 已知2211x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求f (x )。

2. 函数定义域的求法：(1))()(x g x f y =，则__________； (2)∈=n x f y n ()(2N)，则__________；(3)0)]([x f y =，则__________； (4))(log )(x g y x f =，则__________； (5) 搞清楚求函数定义域到底是什么的取值范围；如：已知函数y =f (2x )的定义域是[1,2]，求函数y =f (lo g 2x )的定义域。

(6) 含参问题的定义域要分类讨论；如：已知函数)(x f y =的定义域是]1,0[，求)()()(a x f a x f x F -++=的定义域。

(7) 对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

如：已知扇形的周长为20，半径为r ，扇形面积为S ，则==)(r f S __________。

高中数学基础知识、常见结论详细解析

高考数学基础知识、常见结论详解一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。

集合元素的互异性：如：)}lg(,,{xy xy x A =，}|,|,0{y x B ，求A ；（2）集合与元素的关系用符号∈，∉表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有理数集、实数集。

（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。

（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

（2）_}__________{_________=B A ；____}__________{_________=B A ；_}__________{_________=A C U （3）对于任意集合B A ,，则：①A B B A ___；A B B A ___；B A B A ___； ②⇔=A B A ；⇔=A B A ；⇔=U B A C U ；⇔=φB A C U ；③=BC A C U U ； )(B A C U =；（4）①若n 为偶数，则=n；若n 为奇数，则=n ；②若n 被3除余0，则=n ；若n 被3除余1，则=n ；若n被3除余2，则=n ；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是。

高中高考数学所有二级结论《完整版》(经典实用)

高中高考数学所有二级结论《完整版》（经典实用）
一、绝对值的性质：
1、绝对值的值总是非负的，即
|a|≥0
2、绝对值的值等于它的相反数的绝对值，即
|-a|= |a|
3、如果a和b为两个实数，则
|a+b|≤|a|+|b|
4、绝对值的值等于双端括号内括号内的表达式的实部，即
|a+bi|=√(a^2+b^2)
若a≥0，则|a^n|=a^n
6、幂律性质：
若a≠0，则
|a^m/a^n|=|a|^m-n 或|a|^n-m
7、约分式的绝对值性质：对于幂的约定法则有
二、不等式的性质：
1、交换律：
若x＞y，则y＜x
2、累加律：
(1)、ax＞ay，其中x＞y
(1)、a mod b＞0
6、乘方不等式：
若x≥0，n为奇数，则
(1)、x^n＞0
若x>1，y>0，则
三、函数的性质：
1、一次函数的特点：
若f(x)为一次函数，则对于任意x1，x2∈D，都有：
f(x1)＞f(x2)，当且仅当x1＞x2
2、函数的上下界：
设f(x)在[a,b]上存器，M为f(x)在[a,b]上的最⼤值，m为f(x)在[a,b]上的最⼤值，则称M为f(x)在[a,b]上的上⼤界，m为f(x)在[a,b]上的下⼤界
3、函数的最⼤值：
若f(x)在[a,b]上有最⼤值m，则在[a,b]上必存器⼤个使f(x)的导数为0的点x1，
满⼤f′(x1)=0。

高中数学常用结论集锦

高中数学常用结论集锦数学是科学中最基本的一部分，它是世界上最伟大的思想体系之一，在高中学习数学可以培养学生对抽象思维的能力。

高中数学中的一些常用结论如下：一、元素概念：元素的概念指的是确定性的大小，如平面、直线、以及其他几何体的形状和组合而成的集合。

例如：正方形是由四条直线组成，这四条直线就是正方形的元素。

二、互斥原理：如果两个事件不存在同时发生的可能性，那么它们称为互斥事件。

例如：交叉相乘，也就是交叉乘法，它具有互斥性，即一个事件发生，另一个则不会发生。

三、等比例原理：如果两个直线平分得到的两部分等比例，则两个直线等比例，并且它们共线。

例如：如果AB//CD,那么AB/AC=E/ED.五、证明原理：数学证明是传统意义上的数学推理技术，它按照一系列推理过程，对数学结论进行证明判定。

例如：如果要证明函数f(x)的导数为2x，则可以使用定义导数的证明方法，通过应用极限理论来证明。

六、定义律原理：定义律是数学作为一门实践性学科中常用的一种工具语言，它是构建数学体系的基础。

例如：平行线定义：两条线段在平面上至少有两个点都在同一条直线上，则称这两条线段是平行的。

七、函数原理：函数是把定义域的每个元素映射为唯一的一个定义域成员的一种联系，它是数学中最重要的概念和工具，也是数学经典描述形式。

例如： y = ax+b 是一元函数，a和b分别为函数的系数。

八、应用结论：应用结论指的是应用某一原理，以解决某一实际问题的结果。

例如：应用勾股定理求三角形的斜边，若一个三角形的两条边分别为a和b，他们的和大于第三条边的长度c，那么斜边的长度就是根号下a2+b2-c2的结果。

高考数学基础知识归纳

高考数学基础知识归纳高考数学是普通高中学生参加高考时所考察的数学知识，也是考生在高中阶段学习数学的基础知识。

高考数学包括了代数、几何、函数、概率与统计等多个方向的知识点。

下面将对高考数学的基础知识进行详细归纳。

一、代数1.1 数与式数是用于计算和测量的基本概念，包括自然数、整数、有理数、无理数和实数等。

式由数、字母、运算符和括号组成，是数学的基本表达方式，可以代表数或表示数之间的关系。

1.2 方程与不等式方程是含有未知数的等式，通过求解方程可以得到未知数的值。

不等式是含有不等号的等式，可以表示数之间的大小关系。

1.3 函数函数是一种特殊的关系，将一个自变量对应到一个因变量上。

常见的函数包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

1.4 数列与数列的通项公式数列是按照一定规律排列的一系列数的集合，数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项与其序号之间的关系。

二、几何2.1 图形的基本概念图形是由线段、直线、角、面等基本元素构成的空间形象。

常见的图形包括点、直线、线段、角、三角形、四边形、圆等。

2.2 相似与全等相似是指两个图形形状相同，但大小不同。

全等是指两个图形形状和大小都完全相同。

2.3 三角形的性质和判定三角形是由三条边和三个内角组成的图形，根据三条边的关系可以判断三角形的形态（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）；根据三个内角的关系可以判断三角形的形态（等腰三角形、等边三角形）。

2.4 圆的性质和判定圆是由与一个固定点距离相等的所有点构成的图形，圆的性质包括半径、直径、弧、弦、切线等。

三、函数3.1 函数的性质函数有定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，了解函数的性质可以帮助解决函数的相关问题。

3.2 函数的图像与应用函数的图像是函数在坐标平面上的表示，通过观察函数的图像可以了解函数的特点。

函数在实际问题中的应用非常广泛，常见的应用包括数学建模、经济管理、物理等。

四、概率与统计4.1 概率概率是描述事件发生可能性大小的数值，概率的计算有基本概率、条件概率、乘法原理、加法原理等方法。

高三数学知识点及二级结论

高三数学知识点及二级结论高三是每位学子都将要经历的重要阶段，也是为进入大学做最后冲刺的时期。

在这个阶段，数学作为一门基础学科，显得尤为重要。

下面我们将要介绍一些高三数学知识点及其二级结论，希望对同学们的学习有所帮助。

一、函数与方程函数是高三数学的基础，也是应用广泛的数学工具。

在高三数学中，我们需要熟练掌握函数的性质和图像的变化规律。

此外，方程也是数学中的一个重要分支，我们需要掌握一元的、二元的和三元的方程解法，以及利用方程解决实际问题的能力。

1. 一元一次方程：常见的形式为ax+b=0，其中a≠0。

解这种方程的步骤可以总结为先去括号，再移项，最后化简。

要注意方程的解可能有0个、1个或无穷多个。

2. 一元二次方程：通常形式为ax²+bx+c=0，其中a≠0。

我们可以利用求根公式或配方法来解这种方程。

当判别式大于0时，方程有两个不等实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根。

3. 二元一次方程组：常见的形式为{a₁x+b₁y=c₁a₂x+b₂y=c₂}我们可以通过消元法、代入法或加减法来解决这种方程组。

当方程组有唯一解时，两个方程的系数行列式不为0；当方程组无解或有无穷多个解时，两个方程的系数行列式为0。

二、数列与数学归纳法数列作为一种特殊的函数，是高三数学中常见的知识点。

熟练掌握数列的性质和规律对于解题有很大的帮助。

此外，数学归纳法也是数列证明中的重要方法，我们需要掌握如何运用数学归纳法解决问题。

1. 等差数列：等差数列的通项公式为an=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。

利用等差数列的求和公式Sn=(n/2)(a₁+an)，我们可以计算出数列的前n项和。

2. 等比数列：等比数列的通项公式为an=a₁·r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比。

利用等比数列的求和公式Sn=a₁(1-r^n)/(1-r)，我们可以计算出数列的前n项和。

三、三角函数与解三角形三角函数作为高中数学的难点之一，通常会有很多复杂的性质和公式。

数学高三知识点和结论

数学高三知识点和结论在高中数学的学习中，高三是一个非常重要的阶段，学生们需要掌握并应用各种数学知识点和结论。

下面将对高三数学的重要知识点和结论进行介绍。

一、函数与方程1. 一次函数：一次函数的标准式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

一次函数的图像为一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，而截距决定了直线与y轴的交点位置。

2. 二次函数：二次函数的标准式为y = ax² + bx + c，其中a不为零。

二次函数的图像为抛物线，开口的方向由二次项的系数a 的正负来决定。

二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，是抛物线的最低点或者最高点。

3. 指数函数：指数函数的标准式为y = aᵏ，其中a为底数，k为指数。

指数函数的图像为平滑的曲线，当k为正数时，曲线逐渐上升；当k为负数时，曲线逐渐下降。

指数函数包括常见的指数增长和指数衰减两种情况。

4. 对数函数：对数函数的标准式为y = logₐx，其中a为底数，x 为函数的自变量。

对数函数的图像为平滑的曲线，与指数函数的图像互为镜像。

两种主要的对数函数是自然对数函数y = ln(x)和常用对数函数y = log₁₀(x)。

二、三角函数1. 正弦函数：正弦函数的图像为周期性的波动曲线，在数学上用记号sin(x)表示。

正弦函数的周期为2π，振幅为1，可以通过更改参数来拉伸或压缩函数的图像。

2. 余弦函数：余弦函数的图像也是周期性的波动曲线，可以通过cos(x)来表示。

余弦函数与正弦函数的图像相似，只是相位不同。

3. 正切函数：正切函数的图像为周期性的波动曲线，在数学上用tan(x)表示。

正切函数的周期为π，图像在x轴的零点称为渐近线。

4. 反三角函数：反三角函数是对三角函数的逆运算，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。

反三角函数可以用于解决三角方程和求解三角关系。

三、极限与导数1. 极限：极限可以理解为函数在某一点的趋近值，用数学符号表示为lim(f(x))。

高考高中数学基础知识归纳及常用公式和结论

高考高中数学基础知识归纳第一部分集合1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2 .数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素与集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.〔2〕德摩根公式： ();()U U U U U U C AB C A C B C A B C A C B ==.〔3〕A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况.〔4〕集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空真子集有2n –2个.4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分函数1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义〔斜率、距离、绝对值的意义等〕；⑧利用函数有界性〔xa 、x sin 、x cos 等〕；⑨平方法；⑩ 导数法3．复合函数的有关问题:〔1〕复合函数定义域求法：① 假设f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 假设f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域. 〔2〕复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.4．分段函数：值域〔最值〕、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

数学高考基础知识、常见结论详解