03【数学】1.2.2《函数的表示法》教案(新人教A版必修1) 河北专用

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2024春新教材高中数学3.1.2函数的表示法教学设计新人教A版必修第一册

解析：由于函数图像开口向下，我们知道a < 0。对称轴为x = 1，意味着函数的顶点坐标为(1, f(1))。我们可以利用顶点公式来表示顶点坐标：
f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c
同时，由于对称轴是顶点的x坐标，我们可以得到b的关系：
b = -2a
答案：a < 0，b = -2a，c的值任意
在教学设计中，应注重让学生通过实际问题来理解函数的概念，通过绘制函数图像来直观感受函数的特性，通过解析式来精确描述函数的关系。在教学过程中，要注重学生的参与和实践，提高学生的动手能力和思维能力。同时，要结合学生的实际水平，适当加深知识点的深度，提高学生的学习兴趣和动力。
核心素养目标
学情分析
教学方法与策略
2024春新教材高中数学3.1.2函数的表示法教学设计新人教A版必修第一册
授课内容
授课时数
授课班级
授课人数
授课地点
授课时间
教材分析
“2024春新教材高中数学3.1.2函数的表示法教学设计新人教A版必修第一册”这一章节主要介绍了函数的表示方法，包括列表法、图象法和解析式法。内容涵盖了函数的基本概念、函数的图像以及函数的解析式。本章节内容是高中数学的基础知识，对于学生理解函数的内涵和外延具有重要意义。
5.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地观察函数的特性，如峰值、谷值、拐点等。
6.函数的解析式：通过解析式，可以精确地描述函数的关系，进行数学推导和计算。
板书设计
①条理清楚、重点突出、简洁明了
1.函数的概念：通过列表法、图象法、解析式法三种方式来表示函数的关系。
2.函数的表示方法：列表法（例：f(x) = x^2）、图象法（例：y = 2x + 1）、解析式法（例：f(x) = ax + b）。

高中数学 1.2.2函数表示法教案新人教A版必修1

1.2.2函数表示法(1)人教A版必修1一、教学目标（1）知识与技能目标：明确函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需求选择恰当的方法表示函数，了解简单的分段函数及其应用。

（2）过程与方法目标：利用实际生活中丰富的函数实例，帮助学生巩固对函数概念的理解，特别是从整体上把握函数概念；克服原有认知局限性，丰富对函数图像、函数对应关系的认识；帮助学生在解决具体问题的过程中领悟数形结合、转化与划归等数学思想方法的重要价值，发展学生思维能力。

（3）情感、态度与价值观目标：通过学习实际生活中丰富的函数实例，让学生感受到学习函数表示的必要性；通过函数的解析式与图象的结合渗透数形结合思想；通过课前预习、课上交流，培养学生良好的学习习惯，使学生获得成功体验，激发学生学习数学的兴趣.二、教学重难点教学重点：会根据不同的实际情境需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示。

三、学情分析及教学内容分析函数是高中数学的重要内容，函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一。

学习函数的表示法，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须涉及的问题，也是加深对函数概念理解所必须的。

同时，基于高中阶段所接触的许多函数均可用几种不同的方式表示，因而学习函数的表示也是领悟数学思想方法（如数形结合、化归等）、学会根据问题需要选择表示方法的重要过程。

学生在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，比较习惯于用解析式表示函数，但对函数的认识还很不全面。

在本节中，从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法：解析法、图象法、列表法。

函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念。

特别是在信息技术环境下，可以使函数在数形结合上得到更充分的表现，使学生更好地体会这一重要的数学思想方法。

因此，在研究函数时，应充分发挥图象直观的作用；在研究图象时要注意代数刻画，以求思考和表述的精确性。

四、教学过程设计环节1：理解函数表示中定义域的“不可或缺”，从整体把握函数的概念师：在初中我们已经接触过函数的三种表示法，它们分别是？生: 解析法、图像法、列表法.问题一：试用函数的三种表示法表示下列函数y=f(x)?(1)某种饮料单价是3元/瓶,买x（x∈{1，2，3，4，5}）瓶这种饮料需要y元;(2)某种食品的单价是3元/公斤，买x （ x ∈[1,5] ）公斤这种食品需要y 元. 学生活动：1，2两组写第(1)问，三四小组写第(2)问. 思考1：这两个函数有什么不同吗？为什么？学生回答：问题（1）中定义域是集合{1，2，3，4，5};而问题（2）中定义域是[1,5]，定义域不同，因此是两个不同的函数。

高中数学人教A版必修一1.2.2 函数的表示法第2课时教案 (1)

1．2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数及映射●三维目标1．知识与技能(1)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；(2)纠正认为“y＝f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识；(3)了解映射的概念及表示方法．2．过程与方法(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；(2)启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；(3)通过教师指导发现知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观(1)培养辨证地看待事物的观念和数形结合的思想；(2)使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式；(3)激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神．●重点难点重点：分段函数的概念．难点：分段函数的表示及映射的概念(1)重点的突破：首先以两个例题为依据，通过学生的研习，组内讨论等活动，让学生先从感性上认识分段函数，再结合生活中的其他实例充分理解分段函数是一个函数，而不是几个函数．最后通过习题，利用师生合作探究的方式，让学生掌握分段函数问题的解法，在此过程中培养学生分析问题和归纳总结的能力，强化训练学生数形结合、分类讨论的思想意识，突出重点的同时化解分段函数的表示这一难点；(2)难点的解决：在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后列举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对多、一对一四种情况，让学生认真观察、比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识，体会出映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．分段函数【问题导思】在现实生活中，常常使用表格描述两个变量之间的对应关系．比如：国内邮寄信函(本埠)，每封信函的重量和对应邮资如下表：(1)邮资M是信函重量m的函数吗？若是，其解析式是什么？【提示】据函数定义知M 是m 的函数，其解析式为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.80，m ∈ 0，20]1.60，m ∈ 20，40]2.40，m ∈ 40，60]3.20，m ∈ 60，80]4.00，m ∈ 80，100](2)在(1)中有几个函数？为什么？【提示】一个．因为(1)中的函数虽然有5个不同的部分，但不是5个函数，只不过在定义域的不同子集内，对应关系不同而已．如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．【问题导思】在某次数学测试中，高一 1 班的60名同学都取得了较好的成绩，把该班60名同学的名字构成集合A ，他们的成绩构成集合B .1．A 中的每一个元素，在B 中有且只有一个元素与之对应吗？【提示】是的．2．从集合A 到集合B 的对应是函数吗？为什么？【提示】不是．因为集合A 不是数集．映射设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.映射已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－12x ，－1<x <2x22，x ≥2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的值；(2)若f (a )＝2，求a 的值．【思路探究】 (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32→求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32(2)就(a )的取值范围分三种情形分别求解．【自主解答】 (1)∵－1<32<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2×32＝3.又3>2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f (3)＝92.(2)当a ≤－1时，由f (a )＝2，得a ＋2＝2，a ＝0，舍去；当－1<a <2时，由f (a )＝2，得2a ＝2，a ＝1；当a ≥2时，由f (a )＝2，得a 22＝2，a ＝2或a ＝－2(舍去)．综上所述，a 的值为1或2.1．求分段函数函数值的方法分段函数求值(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．已知n ∈N *，且f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －2， n ≥10f n ＋5 ， n <10 ，则f (4)＝________.【解析】由分段函数定义，f (4)＝f (4＋5)＝f (9)＝f (9＋5)＝f (14)＝14－2＝12【答案】 12画出函数y ＝|x ＋1|＋|x －3|的图象，并写出该函数的值域．【思路探究】y ＝|x ＋1|＋|x －3|――→绝对值定义零点分段法去绝对值 ――→分段分段函数―→作图分段函数的图象【自主解答】由y ＝|x ＋1|＋|x －3|＝{ －2x ＋2，x ≤－1 4，－1<x ≤3 2x －2，x >3∴函数图象如图由图象易知函数的值域为[4，＋∞)1．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的定义脱去绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数的图象．2．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．下列图形是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0x －1，x ≥0的图象的是()【解析】由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形C 符合．【答案】 C下列对应关系中，哪些是从集合A 到集合B 的映射？映射的判断(1)A ＝B ＝N *，对应关系f ：x →y ＝|x －3|；(2)A ＝R ，B ＝{0,1}，对应关系f ：x →y ＝{ 1，x ≥0 0，x <0； (3)设A ＝{矩形}，B ＝{实数}，对应关系f ：矩形的面积．【思路探究】紧扣映射概念中的“任意一个”“唯一”即可判断．【自主解答】 (1)集合A 中的3，在f 作用下得0，但0∉B ，即3在集合B 中没有相对应的元素，所以不是映射．(2)对于集合A 中任意一个非负数都唯一对应元素1，对于集合A 中任意一个负数都唯一对应元素0，所以是映射．(3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以f 是从集合A 到集合B 的映射．判断一个对应是否是映射，关键有两点：(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素对应； (2)B 中的对应元素是否是唯一的．注意：“一对一”或“多对一”的对应都是映射．已知点(x ，y )在映射f 作用下对应的元素是(2x ，x ＋y )，则(1,3)在f 作用下对应的元素是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52 B ．(2,4) C ．(3,5)D ．(4,6)【解析】由题意知，x →2x ，y →x ＋y ，故(1,3)在f 作用下对应的元素是(2,4)．【答案】 B与分段函数有关的实际问题的解法(12分)如图1－2－4在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，图1－2－4沿着折线BCDA由点B(起点)向A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB 的面积为y.试求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)画出y＝f(x)的图象．【思路点拨】当点P在线段BC上时△APB的面积随点P的变化而变化，当点P在线段CD上时，△APB的面积是一个定值，当点P在线段AD上时，△APB 的面积随点P的变化而变化，可见应分三段考虑面积计算．【规范解答】(1)①当点P在线段BC上运动时，S△APB＝12×4x＝2x(0≤x≤4).2分②当点P在线段CD上运动时，S△APB＝12×4×4＝8(4＜x≤8).4分③当点P在线段AD上运动时，S△APB＝12×4×(12－x)＝24－2x(8＜x≤12).6分∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4 8， 4＜x ≤824－2x ， 8＜x ≤12 .8分(2)画出y ＝f (x )的图象，如图所示：12分1．本题因点P 所在的位置不同，得到的面积表达式不同，因而应分段计算，得出分段函数表达式．2．解决这类问题的关键点是根据自变量的取值情况决定其对应的运算法则，即保持自变量的取值范围与对应法则的一致性，一般需要分类讨论求解．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．判断一个对应是不是映射，先看第一集合A ：看集合A 中的每一个元素是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一；至于集合B 中的元素不作任何要求.1．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是( )【解析】在映射中允许“多对一”，但不允许“一对多”．【答案】 C2．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图象的是( )【解析】 ∵x ∈[－2,2]，故函数y ＝－|x |在x ＝±2处均有意义，排除C 、D 两选项．又当x ＝1时，y ＝－1<0，从而排除A 选项，故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0－2x ＋1，x <0，则f (1)＋f (－1)＝________.【解析】∵f (1)＝2×1＋1＝3,f (－1)＝－2×(－1)＋1＝3，∴f (1)＋f (－1)＝3＋3＝6.【答案】 64．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．【解】 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝{ 1 0≤x ≤2 1－x －2<x <0 . (2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．一、选择题1．设集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤4}，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝x 2B ．f ：x →y ＝3x －2C ．f ：x →y ＝－x ＋4D ．f ：x →y ＝4－x 2【解析】当x ∈[1,2]时，y ＝4－x 2∈[0,3]，故选项D 中的“f ”不能构成A 到B 的映射．【答案】 D2．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )【解析】 f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥11－x ，x <1.由f (x )的解析式易知应选B.【答案】 B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1x 2＋x －2，x >1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 的值为( )A.1516 B ．－2716C.89D ．18【解析】 ∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516. 【答案】 A4．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)【解析】由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝03－y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，∴A 中的元素为(1,2)．【答案】 C图1－2－55．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图1－2－5，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13 B.13C ．－23D.23【解析】由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， 0＜x ＜1 x ＋1，－1＜x ＜0 ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.【答案】 B 二、填空题6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x >0 π x ＝00 x <0 ，则f (f (－2))＝________.【解析】 ∵f (－2)＝0，∴f (f (－2))＝f (0)＝π. 【答案】 π7．(2014·镇江高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.【解析】由题意知f (0)＝2，又f (2)＝22＋2a ∴22＋2a ＝4a ∴a ＝2 【答案】 28．函数y ＝f (x )的图象如图1－2－6所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．图1－2－6【解析】由图象可知，函数y ＝f (x )的定义域为[－3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]．其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]．【答案】 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≤1x 2－2x ，x ≥1.(1)求a 的值； (2)求f (f (2))的值； (3)若f (m )＝3，求m 的值．【解】 (1)由函数定义，得当x ＝1时，应有1＋a ＝12－2×1，即a ＝－2.(2)由(1)，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤1x 2－2x ，x ≥1.因为2>1，所以f (2)＝22－2×2＝0，因为0<1，所以f (f (2))＝f (0)＝0－2＝－2. (3)当m ≤1时，f (m )＝m －2，此时m －2＝3得m ＝5，与m ≤1矛盾，舍去；当m ≥1时，f (m )＝m 2－2m ，此时m 2－2m ＝3得m ＝－1或m ＝3. 又因为m ≥1，所以m ＝3. 综上可知满足题意的m 的值为3.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0x 2＋bx ＋c ， x ≤0 ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，求f (x )的解析式．【解】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0x 2＋4x ＋2， x ≤0 .11．为减少空气污染，某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤)，采用分段计费的方法计算．电费每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．(1)设月用电x 度时，应交电费y 元，写出y 关于x 的函数关系式； (2)小明家第一季度缴纳电费情况如下：【解】 (1)由题可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.57x ，0≤x ≤10057＋12 x －100 ＝12x ＋7，x >100.(2)一月用电12x ＋7＝76，即x ＝138；二月用电12x ＋7＝63，即x ＝112；三月用电0.57x ＝45.6，即x ＝80； ∴138＋112＋80＝330(度) ∴第一季度共用电330度。

河北省衡水中学高中数学 1.2.2函数的表示法(一)学案新人教A版必修1

一、学习目标
1、掌握函数的三种表示方法：列表法、图像法、解析法，体会三种表示方法的特点。

2、掌握函数图像的画法及解析式的求法。

二、自学导引
表示函数的方法常用的有：、、。

（1）解析法：用表示两个变量之间的对应关系；
（2）图像法：用表示两个变量之间的对应关系；
（3）列表法：用表示两个变量之间的对应关系；
三、典型例题
1.函数的表示法
例1：已知完成某项任务的时间t 与参加完成此项任务的人数x 之间适合关系式x
b ax t += ，当x=2时，t=100；当x=14时，t=28；且参加此项任务的人数，不能超过20人
（1）写出函数t 的解析式；
（2）用列表法表示此函数；
（3）画出函数t 的图像；
（4）根据（2）（3）分析：随着工作人员的增加，工作效率的变化情况。

变式迁移1
（1）某城市在某一年里各月份毛线的零售量（单位：100kg ）如表所示：
则零售量是否为月份的函数？为什么？
（2）由下列图形是否能确定y 是x 的函数？
2.函数解析式的求法
例2、求下列函数的解析式：
（1）已知f （x ）是一次函数，且f[f(x)]=9x+4,求f （x ）。

（2）已知：c bx ax x f ++=2)( ，若
0)0(=f ，且1)()1(++=+x x f x f ，
求 )(x f
（3）已知：x x x f 2)1(+=+ ，求
)(x f 的解析式；
（4）已知 1)12(2+=+x x f ，求 )(x f
的解析式。

课堂小结：。

高一数学1.2.2函数的表示法教案新人教A版必修1

课题：§1.2.2函数的表示法教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学过程：一、引入课题1.复习：函数的概念；2.常用的函数表示法及各自的优点：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．二、新课教学（一）典型例题例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略）注意：○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2解析法：必须注明函数的定义域；○3图象法：是否连线；○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．巩固练习：课本P27练习第1题例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80赵磊68 65 73 72 75 82班平均分88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：○1 本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；○2 本例能否用解析法？为什么？巩固练习：课本P 27练习第2题例3．画出函数y = | x | ．解：（略）巩固练习：课本P 27练习第3题拓展练习：任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．课本P 27练习第3题例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：设票价为y 元，里程为x 公里，同根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *| x ≤19}．由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=5432y1915151010550≤<≤<≤<≤<x x x x (*N x ∈) 根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：注意：○1本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；○2本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？实践与拓展：请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．三、归纳小结，强化思想理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．四、作业布置课本P28习题1．2（A组）第8—12题（B组）第2、3题。

人教A版数学必修一《1.2.2《函数的表示法》(1)》教案

中学高中数学《 1.2.2函数的表示法（1）》教案新人教A 版必修1课型：新授课教学目标：（1）掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示及其图象。

教学过程：一、课前准备（预习教材19p ---21p ，找出疑惑之处)复习1.回忆函数的定义；复习2.函数的三要素分别是什么？二、新课导学：（一）学习探究探究任务：函数的三种表示方法讨论：结合课本P 15 给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点小结：解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）；优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）；优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）；优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图；列车时刻表；银行利率表等。

*典型例题例1．（课本P 19 例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．{}5,4,3,2,1,5∈=x x y变式：作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元），试用三种方法表示此实例中的函数。

反思：例1及变式的函数有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？例2：（课本P 20 例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩例3：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。

231.高中数学 1.2.2 函数的表示法教案新人教A版必修1

1.2.2函数的表示法教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学过程：一、引入课题1.复习：函数的概念；2.常用的函数表示法及各自的优点：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．二、新课教学（一）典型例题例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略）注意：○1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；○2解析法：必须注明函数的定义域；○3图象法：是否连线；○4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．巩固练习：课本P27练习第1题例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95张城90 76 88 75 86 80赵磊68 65 73 72 75 82班平均分88．278．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：○1本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；○2 本例能否用解析法？为什么？巩固练习：课本P 27练习第2题例3．画出函数y = | x | ．解：（略）巩固练习：课本P 27练习第3题拓展练习：任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．课本P 27练习第3题例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：设票价为y 元，里程为x 公里，同根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *| x ≤19}．由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=5432y 1915151010550≤<≤<≤<≤<x x x x (*N x ∈)根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：O x y543215101519注意：○1 本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ○2 本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？实践与拓展：请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．三、归纳小结，强化思想理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．四、作业布置课本P 28 习题1．2（A 组）第8—12题（B 组）第2、3题〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b<<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．。

高中数学人教A版必修1《1.2.2函数的表示法》教学案5

必修一1.2.2 函数的表示法一、说教材函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一．学习函数表示法，可以加深对函数概念的理解，领悟数形结合，化归等函数思想，函数的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．解析法优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．解析法缺点：不直观形象图象法的优点：直观形象地表示自变量的变化的趋势，在生产和生活中有许多应用缺点：不精确列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．银行的利率表等．缺点：只能表示自变量个数较少的情况在研究函数时，函数有三种表示方法，但并不是每个函数都可以用三种方法表示，根据问题的特点，恰当的选取表示方法。

分段函数是一类重要的函数．所谓分段函数，就是在同一个定义域的不同子集上对应关系不同的函数．这类似于，同一个国家的不同地区可以实行不同的社会制度．二、说目标1、知识目标：(1)理解函数的三种表示方法；(2)掌握简单的分段函数，并能简单应用．2、能力目标：(1) 进一步提高对函数本质的理解；(2) 初步培养学生运用函数知识解决实际问题的能力．3、情感目标：通过本节课的教学，使学生进一步认识到，数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．三、说重难点1．函数三种表示方法的优缺点，恰当选取表示方法。

2．分段函数的理解突破方法：通过探究1、说明函数有三种表示方法，而例1 ，无法用列表法表示，引出问题，加上思考2，说明，函数有三种表示方法，但并不是每个函数都可以用三种方法表示，应根据问题的特点，恰当的选取表示方法。

如何选取呢，就要研究其优缺点，一气呵成，使学生易于接受分段函数，通过实例实践，加上画含绝对值号的函数的图象，让学生体验到，分段函数的问题应该分段解决，然后再综合．这也为下一步研究分段函数的单调性等性质打下伏笔．四、说教学基本流程五、教学过程设计一、自主学习我们在初中就已经知道函数的三种表示法：解析法，图象法，列表法．探索1：北方馒头的单价是0.5元，卖 x 个馒头得钱y 元，刚5岁的儿童暑期帮父母卖馒头，只要你说出购买个数，他就能准确说出钱数，其秘笈如右图，儿童的秘笈是用法表示的函数，试用其它两种表示方法表示该函数。

高中数学《函数及其表示-1.2.2函数的表示法》说课稿1新人教A版必修1

函数的表示法（1）冷静讲课学习函数的表示，不单是研究函数自己和应用函数解决实质问题所一定波及的问题，而且是加深理解函数观点的过程. 同时，鉴于高中阶段所接触的很多函数均可用几种不一样的方式表示，因此使得学习函数的表示也是向学生浸透数形联合方法的重要过程.初中已经接触过函数的三种表示法：分析法、列表法和图象法. 高中阶段是让学生在了解三种表示法各自长处的基础上，要点在于使学生面对实质情境时，会依据不一样的需要选择适合的方法（图象法、列表法、分析法）表示函数. 依据实质问题中的条件列出函数分析式的训练，是成立函数模型研究实质问题的要点步骤，这类应意图识的培育和应用能力的提升应不停贯串于此后的教课过程中 . 本课还介绍了分段函数，在实质问题中，有好多函数是用分段函数来表示的，因此商讨分段函数是很有必需的，在教课中联合教材内容向学生浸透分类思想方法，对培育学生全面剖析问题、解决问题的能力是很有帮助的. 应当说这是知识螺旋化的一种表现，教课时要让学生领会到函数三种表示法拥有内在的联系，它们在必定条件下是能够互相转变的. 对函数的分析式和图象表示应要点研究.三维目标一、知识与技术1. 能娴熟掌握函数的三种不一样表示.2. 认识函数不一样表示法的优弊端 .3. 认识分段函数及其表示 .4. 会求某些函数的分析式 .二、过程与方法1. 自主学习，认识函数表示形式的多样性和转变方法.2. 研究与活动，理解何时的函数用何种方法表示适合.3. 加强动向意识、经过察看、对照、剖析，发展辩证思想能力.三、感情态度与价值观培育学生重要数学思想方法——数形联合与分类议论思想方法，激发学生学习的热忱.教课要点函数的三种不一样表示的互相间转变.教课难点函数的分析式的表示，理解和表示分段函数.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的资料.教课过程一、创建情形，引入新课师：在前面的课中，我们已经初步研究函数的观点和表示方法. 今日我们再特意研究函数的表示方法 .（板书：函数的表示方法）师：请观察下边三个函数：投影胶片 1（或多媒体系作镜头1）：预计人口数目变化趋向是我们拟订一系列有关政策的依照 . 从人口统计年鉴中能够查得我国从 1949 年至 1999 年人口数据资料如表所示，你能依据这个表说出我国人口的变化状况吗？1949～ 1999 年我国人口数据表年份人口数 / 百万1949 5421954 6031959 6721964 7051969 8071974 9091979 9751984 10351989 11071994 11771999 1246师：该题是用的什么方法来表示函数的？生：这是一份表格 .师：这位同学说得很好 . 这类用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法. 投影胶片 2（或多媒体系作镜头2）：一物体从静止开始着落，着落的距离y（m）与下落时间 x（s）之间近似地知足关系式22 s，你能求出它着落的距离吗？y=4.9 x .若一物体着落师：这类用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为分析式法. 这个等式往常叫做函数的分析表达式，简称分析式 .投影胶片 3（或多媒体系作镜头3）：y y= f()x ，x∈［0 ，2 4］1086424 6xO 2 24- 2上图为某市一天24 小时内的气温变化图 .请问：（ 1）上午6 时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？（2）在什么时辰，气温为 0 ℃？师：这个问题我们用图象表示了时辰与气温的关系，这类用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.二、解说新课1.函数的表示法（ 1）分析法分析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这个数学表达式叫做函数的分析式，简称为分析式，如S=60t 2， S=2πrl ， y=ax+b， y=ax2+bx+c（ a≠0）等等，都是用分析式法表示的函数关系.分析法有两个长处：一是简洁、全面地归纳了变量间的关系；二是能够经过分析式求出随意一个自变量的值所对应的函数值. 中学阶段所研究的主假如能够用分析式表示的函数.（ 2）图象法图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.图象法的长处是直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋向，有益于我们经过图象来研究函数的某些性质. 图象法在生产和生活中有很多应用，如公司生产图，股市走势图等 .（ 3）列表法列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.列表法的长处是不需要计算就能够直接看出与自变量的值相对应的函数值，表格法在实际生产和生活中也有宽泛应用. 如银行利率表、列车时辰表等.2. 例题解说【例 1】教科书 P22例 3.本例介绍了一个能够用三种表示方法来表示的函数. 经过这个例子能够达到以下目的：（ 1）让学生领会到三种表示方法各自的长处. 而且，本例后的“思虑”为学生比较三种表示方法供给了时机，教课时教师应注意不要让学生错过这个时机. 对于“全部的函数能否能用分析法表示” ，学生比较难以回答，教课时不如先举一些例子启迪学生，而后再由学生试着举一些例子 .（2）使学生看到函数的图象能够是一些失散的点，这与学生从前接触到的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线有很大的差异，教课时要考虑到学生的认知基础，重申 y=5x（ x∈R）是连续的直线，但 y=5x（ x∈{1，2，3，4，5}）倒是5个失散的点，由此又让学生看到，函数观点中，对应关系、定义域、值域是一个整体.函数图象既能够是连续的曲线，也能够是直线、折线、失散的点等. 本例边框中的问题“判断一个图形能否是函数图象的依照是什么?”，应在组织学生议论后获取结论“平行于y 轴的直线（或y 轴）与图形至多一个交点”.【例 2】教科书 P23例 4.本例利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的各次考试成绩及各次考试的班级均匀分. 由表格划分三位同学的成绩高低不直观，因此教科书选择了图象法表示. 教课时要培育学生依据实质需要选择适合的函数表示法的能力. 要注意的是，图中的虚线不是函数图象的构成部分，之因此用虚线连结散点，主假如为了划分这三个函数，而且让三个函数的图象拥有整体性，以方便比较. 教课时应指引学生察看图象，学习怎样从图象上获取实用信息，为剖析每位同学的学习状况供给依照.【例 3】教科书 P24例 5.本例的主要目的有两个：一是让学生进一步领会数形联合在理解函数中的重要作用，二是为介绍分段函数作准备.【例 4】教科书 P24例 6.本例的主要目的有以下几点：（1）让学生试试用数学表达式去表达实质问题；（2）学习分段函数及其表示；（3）注意在数学模型中全面反应问题的实质意义；（4）让学生依据这个例题的边框要求，自行设计随意两站之间的票价表以方便售票员与乘客，领会在不一样情境中使用适合的函数表示法.由上述例 3 和例 4 归纳出分段函数的观点以下：2.分段函数有些函数在它的定义域中，对于自变量 x 的不一样取值范围，对应关系不一样，这样的函数往常称为分段函数 .实质生活中，出租车的计费、电信资费、个人所得税额等均是分段函数.【例 5】求以下函数的分析式：（ 1）已知f（x）是二次函数，且 f （0）=2， f （ x+1）－ f （ x）=x－1，求 f （ x）；2（ 2）已知f（x +1）=x+2x ，求 f （ x）， f （ x+1）， f （ x ）；（ 3）已知 f （x1 ）= x21 + 1，求 f （ x ）；xx 2x（ 4）已知 3f （x ） +2f （－ x ） =x +3，求 f （ x ） .方法指引：（1）由已知 f （ x ）是二次函数，因此可设f （ x ）=ax 2+bx +c （ a ≠ 0）想法求出、、 c 即可 .a b（ 2）若能将 x +2 x 适合变形，用 x +1 的式子表示就好办了 .（ 3）视x 1为一整体不如设为 t ，而后用 t 表示 x ，代入原表达式求解 .x（ 4）、－ x 同时使得 f （）存心义，用－ x 代 x 成立对于 f （）、（－ x ）的两个方x xx f 程就好了 .解：（ 1）设 f （x ） =ax 2+bx +c （ a ≠ 0），由 f （ 0） =2，得 c =2.由 f （ x +1）－ f （ x ）=x － 1，得恒等式 2ax +a +b =x －1，得 a = 1 ，b =－ 3. 故所求函数的 2 2表达式为 f （ x ） = 1x 2－ 3x +2.2 2（ 2）∵ f （ x +1） =x +2 x =（2x +1－ 1=（ 2x ） +2 x +1）－ 1，又∵x ≥0， x +1≥ 1，∴ f （ x ） =x 2－ 1（x ≥ 1） .（ 3）设x 1=t ，则 x =1， t ≠ 1.xt 1则 f （t ） =f （x1 ）= x21 + 1 =1+1 + 1=1+（ t － 1）2+（ t － 1） =t 2－ t +1.xx 2 xx 2x∴ f （ x ） =x 2－ x +1（ x ≠ 1）.（ 4）∵ 3f （ x ）+2f （－ x ） =x +3，① x 用－ x 代得 3f （－ x ） +2f （ x ） =－ x +3.②解①②得 f （ x ） =x + 3.5方法技巧：求函数分析式常有的题型有：（ 1）分析式种类已知的，如本例（ 1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意22一般式〔 y =ax +bx +c （ a ≠ 0）〕，极点式〔 y =a （ x － h ） +k 〕和标根式〔 y =a （ x － x 1）（ x －x 2）〕的选择 .（ 2）已知 f ［ g （ x ）］求 f （ x ）型问题方法一是用配凑法；方法二是用换元法. 如本例（ 2）、（ 3） .（ 3）函数方程问题，需成立对于f （ x ）的方程组，如本例（ 4）. 若函数方程中同时出现 f （ x ）、f （ 1 ），则一般 x 用 1代之，结构另一方程 .xx特别要指出的是，求函数分析式均应严格考虑函数的定义域.三、讲堂练习教科书 P 27 练习题 1，2， 3.答案： 1. y=x2 500x2（0＜ x＜50)，图象以下.y140012001000800600400200O10 20 30 4 0 50 60 x2.（ 1）题与 D 图，（ 2）题与 A 图，（ 3）题与 B 图符合得最好，剩下与 C 图符合的一件事可能为：我出发后感觉时间较紧，因此加快行进，此后发现时间还很丰裕，于是放慢了速度.3.y321O1234x四、讲堂小结1.本节学习的数学知识：函数的表示法、分段函数、函数分析式的求法.2.本节学习的数学方法：定义法、换元法、待定系数法、数形联合与分类议论的思想方法.五、部署作业教科书 P28习题 1.2 A 组 5， 7，9， 10，11， 12，13.板书设计函数的表示法（1）1.函数的表示法（1）分析法（2）图象法（3）列表法规 1例 2例 3例 42.分段函数例 5讲堂练习讲堂小结。

高中数学函数的表示法教案2 新人教A版必修1

课题：§1.2.1函数的概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：3.4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P 20例1解：（略）说明：○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例； ○2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本P 22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P 21例2解：（略）说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

高中数学 1.2.3函数的表示法(一)教案新人教A版必修1

1.2.3函数的表示法（一）（一）教学目标1．知识与技能（1）了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数.（2）提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力.2．过程与方法通过示例的分析和求解，明确函数三种不同表示法的优点，从而培养学生恰当选用函数的表示形式表示函数的能力.3．情感、态度与价值观在恰当应用不同形式表示函数的过程，感受数与形结合的动态美，体会应用辨证思维的乐趣.（二）教学重点与难点重点：选用恰当形式表示函数；难点：体会函数三种表示形式的优点.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，通过示例的探究，使学生感知“三种形式”的各自优点. 从而培养学生恰当选用不同形式表示不同情境下的函数的能力.（四）教学过程复习回顾...).5}.{1, 2, 3, 4, 5}.三种形式表示的函数图象—图象法解析式—解析法反比例函数知识总结：.第1第2第3第第.从上图我们看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀. 张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较测试例1 下图中可作为函数y = f (x)的图象是（ D ）例2 函数||xy xx=+的图象为下图中的（ C ）例3 作出下列函数的图象：（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2|；（2）y = |x 2– 4x + 3|.【解析】（1）y = |x – 1| + 2 |x – 2| =53(1),3(12),35(2).x x x x x x -≤⎧⎪-<≤⎨⎪->⎩函数的图象如图（1）所示.（2）y = |x 2– 4x + 3| =2243(1,3),43(13).x x x x x x x ⎧=+≤≥⎪⎨-+-<<⎪⎩或图象如图（2）所示图（1）图（2）例4 已知y = f (x )的图象如右图所示，求f (x ). 【解析】1,(0),(),(01).x x f x x x +<⎧=⎨-≤≤⎩。

高中数学 1.2.2 函数的表示法第一课时教案精讲新人教A版必修1

1．2.2 函数的表示法第一课时第一课时函数的表示方法[读教材·填要点][小问题·大思维]1．任何一个函数都能用解析式表示吗？提示：不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析式表示．2．已知函数f(x)如下表所示：x 123 4则f(x)的定义域是什么？值域是什么？提示：由表格可知定义域为{1,2,3,4}，值域为{－1，－2，－3，－4}．3．如何判断一个图形是否可以作为函数图象？提示：任作垂直于x轴的直线，如果图形与此直线至多有一个交点，则此图形可以作为函数图象；若图形与直线存在两个或两个以上的交点，则此图形不可作为函数的图象．如图，由上述判断方法可得，(1)可作为函数的图象，(2)不可作为函数的图象，因为存在垂直于x轴的直线与图形有两个交点．[例1] 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )． [自主解答] ∵f (x )为二次函数， ∴可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝c ＝2. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋2.f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2＝a (x 2＋2x ＋1)＋bx ＋b ＋2f (x ＋1)－f (x )＝2ax ＋a ＋b ＝x －1∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.若将例1中“f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1”改为“f (1)＝2，顶点坐标为(12，－3)”，求f (x )．解：设二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)∵顶点坐标为(12，－3)则h ＝12，k ＝－3∴f (x )＝a (x －12)2－3又∵f (1)＝2， ∴2＝a (12)2－3.∴a4＝5. ∴a ＝20.∴f (x )＝20(x －12)2－3.——————————————————待定系数法求函数解析式的步骤如下： 1设出所求函数含有待定系数的解析式.如一次函数解析式设为f x ＝ax ＋b a ≠0，反比例函数解析式设为f x ＝\f(k,x )k ≠0，二次函数解析式设为f x＝ax 2＋bx ＋c a ≠0；2把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组； 3解方程或方程组，得到待定系数的值；4将所求待定系数的值代回原式从而得到函数的解析式.————————————————————————————————————————1．如果一次函数f (x )，满足f (f (x ))＝2x －1，求一次函数f (x )的解析式．解：∵f (x )为一次函数，设f (x )＝kx ＋b . ∴f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝2x －1.∴k 2＝2，kb ＋b ＝－1，k ＝± 2. 当k ＝2时，(2＋1)b ＝－1，b ＝－12＋1＝1－2，f (x )＝2x ＋1－ 2. 当k ＝－2时，(1－2)b ＝－1，b ＝12－1＝2＋1，f (x )＝－2x ＋2＋1.利用换元法(或配凑法)求函数解析式[例2] 已知f (1＋1x )＝1＋x 2x 2＋1x，试求f (x )．[自主解答] 法一(换元法)：令t ＝1＋1x ，则t ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，于是x ＝1t －1，代入1＋x 2x 2＋1x中，可得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．法二(配凑法)：f (1＋1x )＝1＋x 2x 2＋1x ＝x 2＋2x ＋1x 2－2x x 2＋1x ＝(1＋1x )2－(1＋1x)＋1，因为1＋1x≠1，所以函数解析式为f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．——————————————————已知f g x＝hx ，求f x ，常用的有两种方法：1换元法，即令t ＝g x ，解出x ，代入h x 中，得到一个含t 的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围.2配凑法，即从f g x的解析式中配凑出“g x ”，即用g x来表示h x ，然后将解析式中的g x 用x 代替即可.————————————————————————————————————————2．已知f (x －1)＝x ＋2x ，求f (x )．解：令x －1＝t ，则x ＝(t ＋1)2∴f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)，(t≥－1)，＝t2＋2t＋1＋2t＋2＝t2＋4t＋3.∴f(x)＝x2＋4x＋3.(x≥－1)．函数图象的作法及应用[例3] 作出函数y＝x2－4x＋6，x∈[0,4]的图象．[自主解答] y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2在x∈[0,4]上如下图．——————————————————1.作函数图象的一般步骤：1列表：计算要正确，取值要具有代表性、典型性；2描点：点的位置要准确；3连线：用光滑曲线连接起来.2.作函数图象时应注意的问题：1在定义域内作图；2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；3宜标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点. ————————————————————————————————————————3．作出下列函数的图象．(1)y＝x(－2≤x≤2，x∈Z且x≠0)；(2)y＝－2x2＋4x＋1(0<x≤3)；解：(1)由于函数定义域为大于等于－2，小于等于2且不等于0的整数组成的集合，所以函数图象为图中直线y＝x上孤立的点．(2)∵函数的定义域为(0,3]，这个函数的图象是二次函数y＝－2x2＋4x＋1在(0,3]上的部分．解题高手多解题不一样的旅程，不一样的风景，换个思维开拓视野！已知f(x－1)＝x3－3x2＋2x，求f(x)的解析式．[解] 法一：(换元法)设u＝x－1，则x＝u＋1，代入原函数式得，f(u)＝(u＋1)3－3(u＋1)2＋2(u＋1)＝u3－u，∴f(x)＝x3－x.法二：(配凑法) ∵x3－3x2＋2x＝x3－x2－2x2＋2x＝x2(x－1)－2x(x－1)＝(x－1)(x2－2x)＝(x－1)[(x－1)2－1]＝(x－1)3－(x－1)，∴f(x－1)＝(x－1)3－(x－1)．∴f(x)＝x3－x.[点评] 法一中，u＝x－1的前提是以x－1，u为自变量的函数的定义域相同．法二中，将f(x－1)＝(x－1)3－(x－1)直接写成f(x)＝x3－x也是同样的道理．1．集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}．给出下列4个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )解析：A 项中的定义域为[－2,0]≠M ；C 项中对x 的值如x ＝－2时有两个y (y ＝0,2)值与之对应，不是函数；D 项中的值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}．答案：B2．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝3x ＋2B ．f (x )＝3x －2C ．f (x )＝2x ＋3D ．f (x )＝2x －3解析：可设f (x )＝kx ＋b ，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧22k ＋b －3k ＋b ＝520k ＋b －－k ＋b ＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2故f (x )＝3x －2.答案：B3．已知f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1，则p ＝{x |f (x )＝g (x )}为( ) A ．{1，－2} B ．{－1,2} C ．{－1，－2}D ．{2}解析：∵f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1， ∴f (x )＝g (x )有x 2－x －2＝0.x ＝2或x ＝－1.答案：B4．某班连续进行了5次数学测试，其中智方同学的成绩如下表所示，在这个函数中，定义域是________________________________________________________________________，值域是________.次数 1 2 3 4 5 分数9597939995答案：{1,2,3,4,5} {93,95,97,99}5．已知f (2x ＋1)＝3x －2，且f (a )＝4，则a 的值为________．解析：∵f (2x ＋1)＝3x －2 ∴令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.∴f (t )＝3t －12－2＝32t －72.∴f (a )＝32a －72＝4，32a ＝152. ∴a ＝5. 答案：5 6．(1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．解：(1)令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t，∴f (t )＝1－t 1＋t ，即f (x )＝1－x1＋x.(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.一、选择题1．y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x解析：设y ＝k x ，由1＝k2得，k ＝2.因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2x.答案：C2．已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1D ．0解析：∵f (x －1)＝x 2－3令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝(t ＋1)2－3.f (2)＝9－3＝6.答案：B3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝2x ＋1B ．g (x )＝2x －1C ．g (x )＝2x －3D ．g (x )＝2x ＋7解析：∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3， ∴令x ＋2＝t ，则x ＝t －2，g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.∴g (x )＝2x －1. 答案：B4．垂直于x 轴的直线与函数y ＝x ＋1x图象的交点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或0个解析：当x >0时，垂直于x 轴的直线与函数的图象有一个交点，当x ≤0时垂直于x 轴的直线与函数的图象无交点．答案：D 二、填空题5．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为________．解析：∵正方形的周长为x .∴正方形的边长为x4.∴正方形的对角线长为24x ∴y ＝28x (x ＞0)．答案：y ＝28x (x ＞0) 6．下列关于函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象与直线x ＝a (a ∈R )的交点，说法正确的有________．①至多有一个；②至少有一个；③有且仅有一个；④有一个或两个；⑤与a 的值有关，不能确定．解析：直线x ＝a (a ∈R )是与x 轴垂直的一条直线，与定义域为R 的函数y ＝f (x )的图象有且仅有一个交点．答案：③7．若2f (x )＋f (1x )＝2x ＋12(x ≠0)，则f (2)＝________.解析：令x ＝2得2f (2)＋f (12)＝92，令x ＝12得2f (12)＋f (2)＝32，消去f (12)得f (2)＝52.答案：528．若f (2x )＝4x 2＋2，则f (x )的解析式为________．解析：∵f (2x )＝4x 2＋2. 令2x ＝t ，则x ＝t2，∴f (t )＝4(t 24)＋2＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2. 答案：f (x )＝x 2＋2 三、解答题9．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，对于x ∈R 恒成立，且f (x )＝0的两个实数根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．解：∵f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称．于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)，则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ， ∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实数根的平方和为10， ∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2－4x ＋3.10．2013年4月1日，王兵买了一辆别克新凯越1.6 L 手动挡的家庭轿车，该种汽车燃料消耗量标识是：市区工况：10．40 L/100 km ；市郊工况：6.60 L/100 km ；综合工况：8.00 L/100 km.王兵估计：他的汽车一年的行驶里程约为10 000 km ，汽油价格按平均价格7.50元/L 来计算，当年行驶里程为x km 时燃油费为y 元．(1)判断y 是否是关于x 的函数，如果是，求出函数的定义域和解析式． (2)王兵一年的燃油费估计是多少？解：(1)y 是关于x 的函数．函数的定义域是[0,10 000]，函数解析式为y ＝8×x100×7.50＝0.60x .(2)当x ＝10 000时，y ＝0.60×10 000＝6 000，所以王兵一年的燃油费估计是6 000元．。

函数的表示法教案（人教A版）

函数的表⽰法教案（⼈教A版）课题 §1．2．2函数的表⽰法⼀、教学任务分析1、了解函数的⼀些基本表⽰法(列表法、图象法、解析法),会根据不同实际情境选择合适的⽅法表⽰函数，树⽴应⽤数形结合的思想；2、会根据实际问题中的条件列出函数解析式，提⾼应⽤函数解决实际问题的能⼒，增加学习数学的兴趣；3、通过本节的教学，进⼀步向学⽣渗透事物间是普遍联系和相互转化的辨证唯物主义观点；4、培养学⽣把实际问题抽象成数学问题的能⼒，即数学地发现问题、提出问题和解决问题的能⼒．⼆、教学重点与难点重点：函数的三种表⽰⽅法．难点：根据不同的需要选择恰当的⽅法表⽰函数，什么才算“恰当”？三、教学⽅法尝试指导与合作交流相结合，通过⽰例的探究，使学⽣感知“三种形式”的各⾃优点. 从⽽培养学⽣恰当选⽤不同形式表⽰不同情境下的函数的能⼒．四、教学情境设计（⼀）复习回顾，引⼊课题．思考：在初中我们学习过⼏种函数的表⽰⽅法？它们分别是什么？结合课本P15给出的三个引例，说明三种表⽰⽅法的适⽤范围及其优点．总结：（1）解析法：把两个变量的函数关系, ⽤⼀个等式来表⽰, 这个等式就叫做函数的解析表达式，简称解析式；优点：简明、全⾯地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意⼀个⾃变量的值所对应的函数值.（2）列表法：列出表格来表⽰两个变量之间的函数关系的⽅法叫列表法；优点：不需要计算就可以直接看出与⾃变量的值相对应的函数值．（3）图象法：利⽤函数图象来表⽰两个变量之间的函数关系的⽅法叫做图象法；优点：直观形象地表⽰⾃变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质．（⼆）⽰例剖析，巩固新知．例1、（课本P19例3）某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试⽤三种表⽰法表⽰函数()y f x =．解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},⽤解析法可将函数y=f(x)表⽰为y=5x,x ∈{1,2,3,4,5}.⽤列表法可将函数y = f (x)表⽰为.⽤图象法可将函数y = f (x)表⽰为下图.问题：（1）⽤解析法表⽰函数是否⼀定要写出⾃变量的取值范围？函数的定义域是函数存在的前提，在写函数解析式的时候，⼀定要写出函数的定义域。

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