演绎推理
第六章：演绎推理
第六章：演绎推理1、推理：根据已知的判断得到新判断的思维形式。
分前提和结论两部分。
前提是推理所依据的判断，结论是推理所得到的判断。
表达前提与结论关系的语句有：“因为……所以……”，“由于……因此……”，“根据……可知……”，“既然……就……”等。
2、推理的种类：（1）根据推理中的前提和结论的思维进程不同，可分为：1、演绎推理（从一般到个别），2、归纳推理（从个别到一般），3、类比推理（从个别（或一般）到个别（或一般））。
（2）根据推理中前提和结论之间是否有蕴涵关系，可分为：必然性推理（如果前提真，那么结论一定真）和或然性推理（如果前提真，结论仅仅可能真）。
归纳推理和类比推理一般是或然性推理。
3、推理的有效性：推理的有效或无效，不是就推理的内容和意义而言的，而是就推理的形式结构而言的，因此，推理的有效性，也称为形式有效性。
如一个推理形式有效，当且仅当具有推理形式的任一推理都不出现真前提和假结论。
为确保运用推理获得真实结论，必须满足两条：1、推理有效，2、前提真实。
4、直接推理：是以一个判断为前提推出结论的推理，直接推理的前提和结论都是性质判断。
5、对当关系的直接推理：就是依据逻辑方阵，在同一素材的各种性质判断之间进行推理。
（1）矛盾关系的推理：矛盾关系，存在于A和O，E和I之间，存在矛盾关系的两个判断，不能同真，也不能同假，因此根据矛盾关系，可以真推假，也可以假推真。
由真推假：（表示推出），（读作“并非”）。
SAP SOP ，SEP SIP，SIP SEP，SOP SAP。
由假推真：SAP SOP，SEP SIP，SIP SEP，SOP SAP。
（2）差等关系的推理：存在于A和I以及E和O之间，存在差等关系的两个判断分别是全称判断和特称判断，全称真则特征真，全称假则特征真假不定，特称假则全称假，特称真则全称真假不定，因此可由全称真推特称真，也可由特称假推全称假。
由全称真推特称真：SAP SIP，SEP SOP。
第四章 演绎推理
4、两个否定的前提不能得出结论 违反这条规则将犯“结论不当错误”（自 定）。 5、前提中有一否定，结论必否定；结论否 定，则必有一前提否定 违反这条规则前部分将犯“结论不当肯定错 误”，违反后部分将犯“前提不当肯定错误” （自定）。 6、两个特称的前提不能得出结论 7、前提中有一特称，结论必须也是特称。 根据规则6可知，如果有一个前提是特称的，
五、下列三段论是否正确？为什么？ 1.许多水果是北方产的，苹果是水果，因此， 苹果是北方产的。 2.审判员在法院工作，这些人在法院工作， 所以，这些人是审判员。 3.没有一个辨证论者是形而上学者，没有一个思想僵化者 是辨证论者，所以，没有一个思想僵化者是形而上学者。 4.外语翻译都懂外语，他不是外语翻译， 所以，他不懂外语。 5.并非所有细菌都有毒，也并非所有生物都是细菌， 所以，并非所有生物都有毒。
三、 混合关系推理
1．什么是混合关系推理 混合关系推理就是以一个关系判断和一个性质 判断为前提，推出一个关系判断为结论的推理。 例如： （1）甲班所有学生都喜欢姚明。 aRb 小张是甲班学生 。 cAa ———————————— ——— 所以，小张也喜欢姚明。 ∴cRb 2．混合关系推理的规则
第七节
P
S
P
P
P
S
SIP
规则： 1.变换前提判断的质 2.前提判断的主项和量项不变 3.前提判断的谓项换成其矛盾概念，作结论的谓项
改变后的判断的意义不变 肯定变否定 否定变肯定
换质不换位，谓项加并非
换 位 法
变换前提判断的主项和谓项的位置 而推出一个新判断的直接推理 规则： 1.只换位置，不换质。 2.前提中不周延的词项，结论中不得周延。
S
M
P
S
演绎推理
大前提---已知的一般原理； 小前提---所研究的特殊对象；
结论---据一般原理，对特殊
对象做出的判断．
用集合的观点来理解:三段论推理的依据
若集合M的所有元素 都具有性质P，S是M 的一个子集，那么S 中所有元素也都具有 性质P。
P S
M
所有的金属(M)都能够导电(P) M……P 铜(S)是金属(M) S……M 铜(S)能够导电(P) S……P
区 别
推理 由部分到整体、个 由特殊到特殊 由一般到特殊的 推理。 形式 别到一般的推理。 的推理。
推理 结论 结论不一定正确，有待进一 步证明。
在大前提、小 前提 和推理形式都正确 的前提下，得到的 结论一定正确。
联系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎 推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。
lg 0 . 8 lg
8 10
,
所以 lg 0 . 8 lg 8 1 3 lg 2 1 3 m 1 .
1、下面说法正确的有（ C ）
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理； （2）演绎推理得到的结论一定是正确的； （3）演绎推理一般模式是“三段论”形式； （4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提 和推理形式有关。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然的联系， 只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。因此 演绎推理是数学中严格的证明工具。 3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造 性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助 于科学论证和系统化。
合情推理与演绎推理的区别
合情推理 归纳推理 类比推理 演绎推理
推理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理
3）换质位法 ） 换质位法就是首先改变一个直言命题 联项的性质， 联项的性质，再调换其主谓项的位置从而 推出一个新命题的直接推理。 推出一个新命题的直接推理。它是换质法 和换位法的综合运用。 和换位法的综合运用。 的换质位： （1）SAP的换质位： ） 的换质位 SAP→SE┒P→┒PES。 ┒ ┒ 。 的换质位： （2）SEP的换质位： ） 的换质位 SEP→SA┒P→┒PIS。 ┒ ┒ 。 不能换质位。 （3）SIP不能换质位。 ） 不能换质位 的换质位： （4）SOP的换质位： ） 的换质位 SOP→SI┒P→┒PIS。 ┒ ┒ 。
二、直接推理 直接推理是以一个直言命题为前提推出另 一个直言命题为结论的推理形式， 一个直言命题为结论的推理形式，它是一种最 简单的演绎推理。 简单的演绎推理。 1．直言命题对当关系推理： ．直言命题对当关系推理： 对当关系推理也叫逻辑方阵推理， 对当关系推理也叫逻辑方阵推理，它是根 据同素材四种命题之间的关系， 据同素材四种命题之间的关系，由一个命题的 真假推导出另一个命题真假的直接推理。 真假推导出另一个命题真假的直接推理。它有 四种情况， 个有效式。 四种情况，共16个有效式。 个有效式 1）由真推假：（ 个） ：（6个 ）由真推假：（ 2）由假推真：（ 个） ：（6个 ）由假推真：（ 3）由真推真：（ 个） ：（2个 ）由真推真：（ 4）由假推假：（ 个） ）由假推假：（2个 ：（
2．推理的种类： ．推理的种类： 根据不同标准，推理可划分为不同的类型。 根据不同标准，推理可划分为不同的类型。 首先， 首先，根据前提和结论中是否包含模 态命题， 态命题，可将推理分为模态推理和非模态 推理两大类； 推理两大类； 其次，在非模态推理中， 其次，在非模态推理中，再根据思维 进程方向的不同分为三种——演绎推理、 演绎推理、 进程方向的不同分为三种 演绎推理 归纳推理和类比推理； 归纳推理和类比推理； 再次，在演绎推理中， 再次，在演绎推理中，根据前提和结 论命题性质的不同， 论命题性质的不同，可分为简单命题推理 和复合命题推理。 和复合命题推理。
2.1.2演绎推理
练习：P33
小前提：所研究的特殊情况 结 论：由一般到特殊的判断 大前提 小前提
① 三角函数都是周期函数； ② y是周期函数。 结 论
【例1】用三段论的形式写出下列演绎推理 1、函数 y = sinx 是周期函数；
2、0.332 是有理数；
3、正三角形的内角和是1800。 大前提：M是P 小前提：S是M 结 论：S是P
【例3】判断下列证明过程是否正确？
1、因为 2 和 3 是无理数
两个无理数的和是无理数
所以 所以
2 3 是无理数。
1 1 2 lg lg 4 5 1 1 即 lg lg 16 5
1 1 lg lg 4 5
2、因为 2 > 1 ，又根据对数的性质有
1 2 1 lg( ) lg 4 5 1 1 16 5
3、因为 有些有理数是分数
而 整数是有理数
所以 整数是分数 4、因为 矩形都是对角线相等的四边形
而 等腰梯形不是矩形
所以 等腰梯形不是对角线相等的四边形
5、用三段论证明下列命题
① 通项公式为
a cq
n
n 1
(cq 0)
的数列{an}是等比数列.
② f (x) = x3 + x （x∈R) 为奇函数
【探究】
1、① 两条直线平行，则同旁内角互补；
② A 和 B 是两直线的同旁内角；
③ 所以 A + B=180° . 2、① 三角函数都是周期函数； ② y = tanx 是三角函数； ③ 所以 y = tanx 是周期函数。
【演绎推理】
演 绎 推 理
三段论 大前提：已知的一般结论
MP
SM
演绎推理
三段论推理
三段论是由亚里士多德建立的，也是西方传 统逻辑的主要部分。它的推理是以两个包含 着共同项的性质判断为前提，从而推出一个 新的性质判断为结论的推理方法。由此可知 一个三段论必定有三个判断。
特点：其大前提是一个全称判断，所反映的是已被 人们所掌握的侦破规律或侦查经验，而小前提往往 是一个单称判断，所反映的是与本案有关的某种事 实；结论则是对案件某一方面或某一情况的判断。
3、三段论的词项有两个主要特点 、 ① 任何一个三段论，必须有也只能有三 个不同的词项。 ②任何一个三段论，其中的每一个词项 必须并且只能在两个性质判断中各出现一次。 例如： 物质是永恒不灭的 恐龙是物质 所以，恐龙是永恒不灭的
三段论规则
第一，必须保证中项的同一，中项是联结大小前 提的词项，如果中项不同一，大小前提的关系就 无法确定，导致结论也无法确定； 第二，中项在前提中必须至少周延一次，周延是 逻辑学中关于性质命题中主项和谓项外延被断定 的情况。如果主项和谓项的外延被断定就是周延， 反之，如果主项和谓项的外延没有被断定就是周 延；
第二，除了要注意选言肢是否穷尽的问题，还要注 意选言推理的大前提是相容的还是不相容的。 （所 谓相容选言就是选言肢可以同时为真，而不相容选 言就是选言肢不能同时为真的选言推理。 ） 例如：有一宗盗窃案，本系某甲、某乙和某丙 三个人共同作案，但是侦查人员没有认真分析研究 案情，只是把这三个人列为嫌疑对象。经调查核实， 认定某甲是作案人，于是就排除了某乙和某丙，结 果造成了错误，使乙、丙两个盗窃分子漏网。在此 案的侦查过程中侦查人员就是将相容的选言推理误 认为是不相容的选言推理，才会导致乙、丙两个盗 窃分子漏网。
推理形式为： 或者p, 或者q, 或者r 已知非q并且非r 所以p 例如在非正常死亡的案子中，侦查人员首先提出自 杀、他杀、不幸事件三种可能。如果通过调查、分 析，否定了自杀和不幸事件两种可能，那么我们就 可以确定案件性质为他杀，这就大大缩小了侦查范 围，为侦查人员指明了侦查方向。这里所运用的推 理就是选言推理的否定肯定式。
演绎推理知识点总结
演绎推理知识点总结一、命题与命题关系命题是对事实或观点的陈述，它可以是真也可以是假。
在演绎推理中，我们会用到不同的命题关系来进行推理。
命题关系包括等价关系、包含关系、矛盾关系和反对关系。
等价关系是指两个命题的真值相等，包含关系是指一个命题的真值包含另一个命题的真值，矛盾关系是指两个命题的真值互相排斥，反对关系是指两个命题的真值不能同时为真。
二、概念和判断概念是指一类事物的共同特征的抽象表现，而判断是对事物进行断言或评价的认识形式。
在演绎推理中，我们需要运用概念和判断的知识来进行合理的推理。
概念包括分布概念和量词概念，判断包括肯定判断和否定判断。
三、三段论三段论是演绎推理的重要形式之一，它由前提、中项和结论三部分组成。
三段论又分为假言三段论和名言三段论。
假言三段论是指由前提中的假言命题推出结论的推理形式，名言三段论是指由前提中的名言命题推出结论的推理形式。
在三段论中，需要注意中项是否充分，以及结论是否必然。
四、形式逻辑形式逻辑是演绎推理中的一种具体形式，它主要包括范畴逻辑和命题逻辑。
范畴逻辑是研究范畴与范畴之间的关系，它以主观概念和论题为研究对象，通过范畴之间的关系来进行推理。
命题逻辑是研究命题与命题之间的关系，它以命题为研究对象，通过命题之间的关系来进行推理。
在形式逻辑中，我们需要掌握量词的运用、联结词的排列规则以及等价变换的方法。
五、示诸演绎示诸演绎是一种演绎推理的特殊形式，它是指通过多个已知前提来推出一个结论。
在示诸演绎中，我们需要使用多段论的方法，将多个前提逐一进行推理，最终得出结论。
示诸演绎在现实生活中应用广泛，尤其在科学研究和社会分析中有重要价值。
以上就是演绎推理的知识点总结，希望能对读者有所帮助。
演绎推理是一种重要的思维方式，它有助于我们在日常生活和学习工作中更加清晰、准确地进行分析和判断。
通过深入理解演绎推理的原理和方法，我们可以提高自己的逻辑思维能力，更好地应对各种问题和挑战。
演绎推理的概念
3．求函数 y＝ log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是 a 有 意 义 ， 即 a≥0 ， 小 前 提 是 log2x－2 有 意 义 ， 结 论 是 ________．
解析：由三段论的形式可知，结论是 log2x－2≥0. 答案：log2x－2≥0
4．用三段论证明函数 f(x)＝x＋1x在(1，＋∞)上为增函数的过程如 下，试将证明过程补充完整： ①________________________________…………大前提 ②________________________________…………小前提 ③________________________________…………结论
[对点训练]
已知 a，b，m 均为正实数，b＜a，用三段论形式证明ba＜ba＋ ＋mm. 证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变
方向，
(Байду номын сангаас前提)
b＜a，m＞0，
(小前提)
所以，mb＜ma.
(结论)
因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，
(大前提)
mb＜ma，
(小前提)
所以，mb＋ab＜ma＋ab，即 b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)
把演绎推理写成三段论的形式
[例 1] 将下列演绎推【理常写成考三题段论型的】形式．
(1)一切奇数都不能被 2 整除，75 不能被 2 整除，所以 75 是 奇数．
(2)三角形的内角和为 180°，Rt△ABC 的内角和为 180°. (3)菱形对角线互相平分． (4)通项公式为 an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．
解：(1)三角函数是周期函数，…………… 大前提 y＝sin x(x∈R)是三角函数，…………小前提 y＝sin x(x∈R)是周期函数．…………结论 (2)两个角是对顶角，则这两个角相等，…………大前提 ∠1和∠2是对顶角，…………小前提 ∠1和∠2相等．…………结论
数学演绎推理
西方欧几里德几何方法，由公理到定理再到证明；笛卡尔(Réné Descartes 1596 - 1650 )的演绎推理成为西方近代 科学发展的重要推理形式，牛顿力学就是例子。牛顿虽然声明过“我不需要假设”，但实际上，他仍然需要假设。 不用假设，他就无法得到“万有引力”这样的普遍命题和普遍规律。麦克斯韦则在得到maxwekk方程同时应用了 三种方法，他在1865年写了三篇文章：第一篇用归纳法，第二篇用类比法，第三篇用演绎法，推出电磁波存在， 并预言了光是电磁波。再例如，古希腊的原子概念、原子论，“它的价值不仅在于提出了一切物质由‘原子’构 成的想法，更重要的可能还在于：它隐含了一种假设——演绎推理模式”。 爱因斯坦说：理论家的工作可分成两步，首先是发现公理，其次是从公理推出结论。哪一步更难些呢？如果科研 人员在学生时代已经得到很好的基本理论、逻辑推理和数学的训练，那么，他走第二步时，只要有“相当勤奋和 聪明，就一定能够成功”。至于第一步，如何找出演绎出发点的公理，则具有完全不同的性质。这里没有一般的 方法，“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的普遍特性，由此探求自然界的普遍原 理”，请注意“经验事实”这几个字，它们表明了爱因斯坦方法论中的主流是唯物主义。公理必须来自客观实际， 而不能主观臆造，否则就有陷进唯心主义泥潭的危险。爱因斯坦还说：“适用于科学幼年时代以归纳为主的方法， 正让位于探索性的演绎法”。爱因斯坦的方法既然主要是演绎的，所以他特别强调思维的作用，尤其是想象力的 作用，数学才能，这是演绎法所必不可少的。 演绎推理是严格的逻辑推理，一般表现为大前提、小前提、结论的三段论模式：即从两个反映客观世界对象的联 系和关系的判断中得出新的判断的推理形式。如：“自然界一切物质都是可分的，基本粒子是自然界的物质，因 此，基本粒子是可分的。”演绎推理的基本要求是：一是大、小前提的判断必须是真实的；二是推理过程必须符 合正确的逻辑形式和规则。演绎推理的正确与否首先取决于大前提的正确与否，如果大前提错了，结论自然不会 正确。
2.演绎推理
解题思路（一）会翻译【如果A那么B】翻译为【A→B】【倘若A则B】翻译为【A→B】【若A便B】翻译为【A→B】【只要A就B】翻译为【A→B】【凡是A都是B】翻译为【A→B】【所有A都是B】翻译为【A→B】【每个A都是B】翻译为【A→B】【任何A都是B】翻译为【A→B】【任何A都是B】翻译为【A→B】【A无一列外是B】翻译为【A→B】【是A则是B】翻译为【A→B】【A离不开B】翻译为【A→B】【A是B的充分条件】翻译为【A→B】【为了A一定B】翻译为【A→B】【要想A必须B】翻译为【A→B】【哪怕A也B】翻译为【A→B】【只有A才B】翻译为【B→A】【不是A则不是B】翻译为【B→A】【除非A否则不B】翻译为【B→A】【A是B的必要条件】翻译为【B→A】【A是B的必不可少】翻译为【B→A】【A是B的基础】翻译为【B→A】【A是B的前提】翻译为【B→A】【A是B的假设】翻译为【B→A】【A是B的关键】翻译为【B→A】【仅当A才B】翻译为【B→A】【如果A唯有B】翻译为【A↔B】【A当且仅当B】翻译为【A↔B】【A应该B，B应该A(有时这种描述须非形式理解)】翻译为【A↔B】【或者A或者B】翻译为【A或B】【A与B至少一个是】翻译为【A或B】【A与B并非都不是】翻译为【A或B】【A与B不能都不是】翻译为【A或B】【也许A也许B】翻译为【A或B】【可能A，也可能B】翻译为【A或B】【即A又B】翻译为【A且B】【A也B】翻译为【A且B】【A、B】翻译为【A且B】【A和B】翻译为【A且B】【A然后B】翻译为【A且B】【不仅A而且B】翻译为【A且B】【虽然A但是B】翻译为【A且B】【（A或B）且-A】翻译为【-A→B】【要么A要么B】翻译为【-A→B】或【-B→A】【所有A不是B】翻译为【A→-B】【没有A是B】翻译为【A→B】【不是A就是B】翻译为【-A→B】【有的A是B】翻译为【有的A→B】【有的A不是B】翻译为【有的A→-B】【不必然是A】翻译为【-A，A】【必然不是A】翻译为【-A】【不可能是A】翻译为【-A】【可能不是A】翻译为【-A，A】【不都是A】翻译为【有的-A，所有都-A】【A与B不都是】翻译为【-A且B，A且-B，-A且-B】【都不是A】翻译为【所有-A】【并非】翻译为【-】【并不是】翻译为【-】【A不成立】翻译为【-】【A是假的】翻译为【-】【A不符合事实】翻译为【-】（二）懂关系1、全同关系（推理关系）【A→B】↔【-B→-A】【A→B且B→C】→【A→C】【-且】↔【或】【-或】↔【且】【-所有】↔【有的】【-有的】↔【所有】【-必然】↔【可能不】【-可能】↔【必然不】【-都】↔【不都】【A→B】↔【-A或B】【所有A都不是B】↔【所有的B都不是A】【有的A是B】↔【有的B是A】2、矛盾关系【某A是B】与【某A不是B】必定一真一假，不分前后，均可推理【A必然是B】与【A可能不是B】必定一真一假，不分前后，均可推理【A可能是B】与【A一定不是B】必定一真一假，不分前后，均可推理【所有A都是B】与【有的A不是B】必定一真一假，不分前后，均可推理【所有A都不是B】与【有的A是B】必定一真一假，不分前后，均可推理【A且B】与【-A或-B】必定一真一假，不分前后，均可推理【A或B】与【-A且-B】必定一真一假，不分前后，均可推理【A→B】与【A且-B】必定一真一假，不分前后，均可推理【B→A】与【B且-A】必定一真一假，不分前后，均可推理【A↔B】与【（A且-B）或（B且-A）】必定一真一假，不分前后，均可推理【要么A要么B】【（A且B）或（-A且-B）】必定一真一假，不分前后，均可推理【要么A】【要么B】必定一真一假，不分前后，均可推理3、反对关系【所有A都B】与【所有A都不B】可能一真一假，可能都假，交叉关系下全假，不可能都真，不分前后，设真可推，设假不可推。
演绎推理
(大前提)所有人都是必死的， (小前提)苏格拉底是人， (结论)所以苏格拉底是必死的。 (大前提)图片在桌子上， (小前提)桌子在地板之上， (结论)所以图片在地板之上。
例1.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC， D、C为垂足.求证：AB的中点M到D、E的距离相等
大前提：M是P
前面我们学习了合情推理，合情推理主要有：
其最大特点为：
部分 个别
整体 一般
今天我们来学习另外一种推理方法：
我们首先来看一个例子 1.某班有一位非常热心的学生,他只给这个班里的所有不自己 做作业的人做作业,而班上所有不做作业的人都来找这个学生 做作业,则这个学生: A.自己的作业自己做 B.叫他人为他做作业
A.如果和为1，则两数必然都为1 B.如果和为0，则两数必然都为0 C.如果和为0，则两数中可能有一个为1 D.如果和为1，则两数中至少有一 个为0
上面的问题都是由一般性的原理出发， 推出某个特殊情况的结论，我们称其为 演绎推理(demonstrative reasoning)或 逻辑推理(logic reasoning)小前提：S是M 结 论Fra bibliotekS是Ps
M＝{x|p(x)}
练习：如图在△ABC中，AC>BC,CD是AB边上的高， 求证：∠ACD>∠BCD 并说明在证明过程中说明“三段论”
C
A D
例2证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数 分析：大前提：增函数的定义 小前提：f(x)满足增函数的定义 结 论：f(x)是增函数 如果对于属于定义域I内某个区间上 你会证明吗？ 的任意两个自变量的值 x1,x2,若 x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)是 这个区间上的增函数
演绎推理 课件
(2)连接 GE，∵EG∥A1A，∴GE⊥平面 ABC. ∵DC⊥平面 ABC，∴GE∥DC， ∵GE＝DC＝12a，∴四边形 GECD 为平行四边形， ∴EC∥GD. 又∵EC⊄平面 AB1D，DG⊂平面 AB1D， ∴EC∥平面 AB1D.
(1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁， 如果前提是显然的，则可以省略．
AE⊂平面 ABC， ∴AD⊥AE，又 AO⊥ED， ∴AE2＝EO·ED，(8 分) ∴12BC·AE2＝12BC·EO·12BC·ED， 即 S2△ABC＝S△BOC·S△BCD.(10 分) 同理可证：S2△ACD＝S△COD·S△BCD，S2△ABD ＝S△BOD·S△BCD. ∴S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD)＝S△BCD·S△ BCD＝S2△BCD.(12 分)
[规范解答] (1)∵AB⊥AD，AC⊥AD，∴AD⊥平面 ABC，∴AD⊥ BC，又∵AO⊥平面 BCD，AO⊥BC， ∵AD∩AO＝A，(3 分) ∴BC⊥平面 AOD，∴BC⊥DO，同理可证 CD⊥BO， ∴O 为△BCD 的垂心． (2)猜想：S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD ＝S2△BCD.(6 分) 证明：连结 DO 并延长交 BC 于 E，连结 AE， 由(1)知 AD⊥平面 ABC，
名师点睛
1．关于演绎推理的理解
(1)①演绎的前提是一般性的原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全 蕴涵于前提之中；
②演绎推理是一种收敛性的思考方法，少创造性，但具有条理清晰，令人信服的论证作用，有助于 科学的理论化和系统化．
(2)对于“三段论”应注意两点：
①“三段论”的模式包括三个判断：第一个判断是大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个判断叫做 小前提，它指出了一种特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产 生了第三个判断——结论．
法律逻辑学-第八章 演绎推理
(1)蕴涵消去规则,也称分离规则(略缩为M.P.)或肯定
前件式(记为→_ ) A→B
从A→B和A可推出B。图示： A ——
规则：肯 定前件就 要肯定后
件
B
(2)否定后件式(略缩为M.T.) A→B
从A→B和B可推出A。图示： B —— A
规则：否 定后件就 要否定前
件
28
关于→的推理规则的应用
（1）如果甲方付给了定金,乙方就得按时发
2．从它所包含的不同判断来看，三段论有大小前提和结论三部分。① 大 前提：包含大项的前提。
② 小前提：包含小项的前提。
③ 结论：推出的新判断。
一般地说，在关联词“所以”、“因此”，“由此可见”等等后面的是结论； 在关联词“因为”前面的是结论。大小前提和结论的区分一定要按上述规定 进行，不能认为大前提一定是第一句，小前提一定是第二句，结论一定在最 后。
货。甲方已付给了定金。所以乙方得按时
发货。 其推理形式为：p →q，p├ q
规则：肯 定前件就 要肯定后
件
（2）如果这部电影受观众欢迎，那么买票
的人就多。买票的人不多。所以这部电影
不受观众欢迎。
规则：否 定后件就
其推理形式为：p →q, q├ p
要否定前 件
29
关于→的推理的错误应用
在日常思维中，关于→的推理，容易发生 的错误是：从A→B和B推出A；从A→B和 A推出 B。例如
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四、三段论的应用形式---省略式 （一） 定义：是一种不完整的三段论式。在语言表达时，
其成份被部分地省去的三段论形式。 （二） 三种类型： 1．省大前提的：如，总得给我饭吃吧，我也是人啦！ 2．省小前提的：如，对干部都得审查，你当然不能例外！ 3．省结论的：如，我们的事业是正义的事业，而正义的
初中数学演绎推理
专题15 演绎推理【规律总结】所谓演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程。
关于演绎推理，还存在以下几种定义：①演绎推理是从一般到特殊的推理；②它是前提蕴涵结论的推理；③它是前提和结论之间具有必然联系的推理。
④演绎推理就是前提与结论之间具有充分条件或充分必要条件联系的必然性推理。
演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用。
这是因为演绎推理保证推理有效的根据并不在于它的内容，而在于它的形式。
演绎推理的最典型、最重要的应用，通常存在于逻辑和数学证明中。
【经典例题】例题1 如图，“●、■、●”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？处只放“■”那么应放“■”()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个【分析】首先根据图示可知，2×○=△+□①，○+□=△②，据此判断出○、△与□的关系，然后判断出结果．本题主要考查了等量代换问题，判断出○、△与□的关系是解答此题的关键．根据图示可得，2×○=△+□①，○+□=△②，由①、②可得，○=2□，△=3□，∴○+△=2□+3□=5□，选A．例题2 某地发生车祸，A、B、C三名司机中有一位司机肇事，警察找了A、B、C三个司机询问，A说：“是B肇事．”，B说：“不是我肇事．”，C说：“不是我肇事．”这三个司机中只有一人说的话正确，请问，聪明的同学，你可以推断出是司机______肇事．【分析】本题考查推理与论证，属于基础题，分别假设A，B，C说真话，再进行分析即可．【解析】不妨设A是说真话，则B说假话，C也是说真话，这里两人说真话，不符合题意，假设错误；不妨设B是说真话，则A、C两人说的都是假话，故C是肇事．不妨设C是说真话，则A、B两人都说的假话，两人的话矛盾，不符合题意．故答案为C．例题3 甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成．合同规定15天完成，若完不成视为违约，甲、乙两人经过商量后签订了该合同．(1)正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同?为什么?(2)现在两人合作了9天，因别处有急事，必需调走1人，问两人是否违约?【解析】(1)设甲、乙两人合作完成此项工程需x天，根据题意得x30+x20=1，解得x=12，∵x=12<15，∴正常情况下，甲、乙两人能履行该合同；(2)设两人合作了9天后，甲继续完成此项工程还需a天，则930+920+a30=1，解得a=7.5，此时，9+7.5=16.5>15，违约；设两人合作了9天后，乙继续完成此项工程还需b天，则930+920+b20=1，解得b=5，此时，9+5=14<15，不违约．综上所述：若调走甲，不违约；若调走乙，会违约．【小结】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)分调走甲或调走乙两种情况列出一元一次方程．(1)设甲、乙两人合作完成此项工程需x天，根据x天甲完成的工程+x天乙完成的工程=总工程，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)分调走甲或调走乙两种情况考虑：设两人合作了9天后，甲继续完成此项工程还需a天，根据甲完成的工程+乙完成的工程=总工程，即可得出关于a的一元一次方程，解之可求出a值，将其加9与15比较可得出违约；设两人合作了9天后，乙继续完成此项工程还需b 天，根据甲完成的工程+乙完成的工程=总工程，即可得出关于b的一元一次方程，解之可求出b值，将其加9与15比较可得出不违约．综上即可得出结论．【巩固提升】1.枣阳工贸家电某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%.现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为()A. 562.5元B. 875元C. 550元D. 750元【答案】B【解析】略2.甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一场)，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是()A. 3B. 2C. 1D. 0【分析】四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可．此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析即可．【解析】四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，所以甲只能是胜两场，即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．选D．3.甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是()A. 甲的车是白色的，乙的车是银色的B. 乙的车是蓝色的，丙的车是红色的C. 丙的车是白色的，丁的车是蓝色的D. 丁的车是银色的，甲的车是红色的【解析】∵丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，假设乙的车是红色，∴乙的说法是实话，∴丙的车也是红色，和乙的车是红色矛盾，假设丙的车是红色，∴丙的说法是实话，而乙说：“丙的车是红色的．”，∴乙的说法是实话，∴有两人说的是实话，与只有一个人是说法是实话矛盾，∴只有甲的车是红色，∴甲的说法是实话，∴丙的说法不是实话，∵丙说：“丁的车不是蓝色的．”∴丁的车是蓝色，∴乙和丙的车一个是白色，一个是银色，∵甲说：“乙的车不是白色．”且甲的说法是实话，∴丙的车是白色，乙的车是银色，即：甲的车是红色，乙的车是银色，丙的车是白色，丁的车是蓝色，选C【小结】先判断出乙和丙的车不是红色，进而判断出甲的车是红色，再根据丙的说法不是实话，判断出丁的车是蓝色，再根据甲的说法判断出丙和乙的车的颜色，此题是推理与论证题目，解决此类题目先假设某个说法正确，然后根据题意进行分析推理，看是否有矛盾，进而得出结论，4.如图，圆周上均匀分布着5个分点，将圆周分成5份，每份为一个单位．现有两颗棋子，甲棋子从A处起跳沿逆时针方向跳动，每秒跳2个单位，乙棋子从E处起跳沿顺时针方向跳动，每秒跳1个单位，若甲、乙同时起跳，则经过2018秒，它们在分点上相遇()A. 401次B. 402次C. 403次D. 404次【分析】本题考查归纳推理找出规律，解题时要审题，仔细求解．根据题意，通过分析可得规律：两颗棋子五秒一个循环，其中一个循环里有一次相遇，即可求出经过2018秒，它们在分点上相遇多少次．【解析】由题意知，第1秒甲跳到C处，乙跳到D处;第2秒甲跳到E处，乙跳到C处;第3秒甲跳到B处，乙跳到B处，相遇;第4秒甲跳到D处，乙跳到A处;第5秒甲跳到A处，乙跳到E处，回到出发点;依此类推可得两颗棋子5秒一个循环，其中一个循环里在第3秒时有一次相遇，故经过2018秒即2018s=403×5s+3s，则它们在分点上相遇了404次．选D5.在足球、篮球、网球和垒球中，小张、小王、小李和小刘分别喜欢其中的一种，根据下面的提示，判断小刘喜欢的是()①小张不喜欢网球；②小王不喜欢足球；③小王和小李都是既不喜欢篮球也不喜欢网球．A. 足球B. 篮球C. 网球D. 垒球【分析】本题考查了推理论证，利用所给条件中的逻辑关系认真分析，从而推理出正确结论是解题关键，根据题意，进行求解即可．【解析】由小王和小李都是既不喜欢篮球也不喜欢网球，可知：小王喜欢足球或垒球中的一种，由小王不喜欢足球，得小王喜欢垒球，则小李喜欢足球，由小张不喜欢网球，得小张喜欢篮球，只剩下网球，故小刘喜欢网球，选C．6.假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方(包括右上、右下)爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去．则从最初位置爬到4号蜂房中，不同的爬法有()A. 4种B. 6种C. 8种D. 10种【解析】本题可分两种情况：①蜜蜂先向右爬，则可能的爬法有：一、1⇒2⇒4；二、1⇒3⇒4；三、1⇒3⇒2⇒4；共有3种爬法；②蜜蜂先向右上爬，则可能的爬法有：一、0⇒3⇒4；二、0⇒3⇒2⇒4；三、0⇒1⇒2⇒4；三、0⇒1⇒3⇒4；四、0⇒1⇒3⇒2⇒4；共5种爬法；因此不同的爬法共有3+5=8种．选C．【小结】本题应分两种情况考虑：①当蜜蜂先向右爬行时；②当蜜蜂先向右上爬行时；然后将两种情况中所以可能的爬行路线一一列出，即可求出共有多少种不同的爬法．本题应该先确立大致的解题思路，然后将有可能的爬法按序排列，以免造成头绪混乱，少解错解等情况．7.夏洛特去山里寻宝，来到藏有宝藏的地方，发现这里有编号分为一，二，三，四，五的五扇大门，每扇门上都写有一句话：一，宝藏在五号大门的后面；二，宝藏或者在三号大门的后面，或者在五号的后面；三，宝藏不在五号大门的后面；四，宝藏不在此门后面；五，宝藏在二号大门的后面，夏洛特从当地人得到，五句话中只有一句是真的，那么夏洛特应该去______号大门后面寻找宝藏．【解析】由只有一句话正确可知，一号门和三号门上的话必有一个正确的，而另一个是不正确的．假设一号门上的话正确，则四号门上的话也是正确的，假设不成立；假设三号门的话是正确的，因为四号门上的话不正确，可知宝藏在四号门后，证明其它门上的话也是不正确的，假设成立；所以三号门上的话是正确的，宝藏在四号门后面．故答案为：四．【小结】利用五句话中只有一句是真的，利用已知可得一号门和三号门上的话必有一个正确的，而另一个是不正确的，进而分析得出即可；此题主要考查了推理与论证，根据题意利用假设法分析得出是解题关键．8.有三把锁和三把钥匙，现在用三把钥匙去打开三把锁，最多要试次。
演绎推理与归纳推
高斯定理
数学家高斯小时候很聪明，上小学时数学老师 除了一道题目，1+2+3+4+……+48 +49+50+…… +97+98+99+100=？高斯想了想，很快给出了答案。 他的思考方法就是利用完全归纳的推理方法。
1+100=101 2+99 =101 …… 50+51=101
50个101，即101X50=5050
根据前提中是否考差了事物对象与其间 属性间内在联系，不完全归纳推理分为简单 枚举归纳推理和科学归纳推理。
2.简单枚举归纳推理： （1）含义：简单枚举归纳推理也称简单枚举法。它 是以经验为主要一句，根据一类事物中的部分对象 具有（或不具有某种属性），又没有遇到反例，从 而推出该类事物的全部对象具有（或不具有）某种 属性的归纳推理。 S1是（或不是）P S2是（或不是）P …… Sn是（或不是）P (S1~Sn 是S类的部分对象，并且枚举中未遇到反例)， ————————————————— 所以，凡S都是（或不是）P。
人们知道，铁导电，铜导电，铝导 电…… 铁、铜、铝都是金属，因此可以得出 金属都是导电的。可以表示为： 铁导电， 铜导电， 铝导电， …… 铁、铜、铝都是金属， ————————————————— 所有金属都是导电的。
4.分类： 完全归纳推理
归纳推理
简单枚举推理 不完全归纳推理
科学归纳推理
（二）完全归纳推理 1.含义： 完全归纳推理是根据某类事物中每一对象都具 有或不具有某种属性，推出该类事物的全部对象都 具有或不具有某种属性的推理。 S1是（或不是）P S2是（或不是）P …… Sn是（或不是）P (S1~Sn 是S类的全部对象)， ————————————————— 所以，凡S都是（或不是）P。
什么是演绎推理？
什么是演绎推理？演绎推理是一种基于逻辑规则和前提条件的推理方法，通过从已知的事实或前提中推导出结论。
它基于一个简单的原则：如果前提是真实的，并且推理规则是正确的，那么得出的结论也必然是真实的。
演绎推理通常包括三个主要元素：前提、推理规则和结论。
1. 前提：前提是已知的事实、假设或条件，它们作为推理的起点。
前提可以是单个陈述，也可以是一系列陈述。
2. 推理规则：推理规则是逻辑上正确的方法，用于从前提中推导出结论。
常见的推理规则包括假言推理、拒取推理、分离规则等。
这些规则是根据逻辑原则和规律建立的，确保推理的准确性。
3. 结论：结论是通过应用推理规则从前提中得出的逻辑推断。
结论是根据前提和推理规则的逻辑关系得出的，它是推理过程的最终结果。
演绎推理的过程可以用以下步骤来描述：步骤1：理解前提。
仔细阅读和理解给定的前提，确保对其含义和相关信息有清晰的理解。
步骤2：确定推理规则。
根据前提的类型和逻辑关系，选择适当的推理规则。
推理规则应该与前提的形式相匹配，并且应该是逻辑上有效的。
步骤3：应用推理规则。
根据选定的推理规则，将前提中的信息进行推导，逐步推演出新的信息。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到不能再应用任何推理规则为止。
步骤5：得出结论。
结论是通过应用推理规则从前提中推导出的最终结果。
结论应该是基于已知信息的逻辑推断，且符合推理规则。
总结来说，演绎推理是一种通过逻辑规则和前提条件来推导出结论的思维过程。
它的关键是理解前提、应用适当的推理规则，并得出符合逻辑的结论。
通过锻炼演绎推理，你可以提高思维的逻辑性和分析能力，帮助你更好地解决问题和做出合理的推断。
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题型二 利用三段论解题、证题 例 2、已知 lg2＝m，计算 lg0.8.
变式训练: 2.如图，D，E，F 分别是 BC,CA,AB 上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF.
题型三 传递性关系推理的应用 例 3、求证：当 a 0, b 0, a b 1 时， a
1 1 b 2. 2 2
变式训练：3、证明： k 1 时， k k 1 k 1 k
题型四 完全归纳推理的应用 例 4、证明函数 f(x)＝x4－x3＋x2－x＋1 的图象恒在 x 轴的上方．
变式训练 4.讨论函数 y＝kx(x∈R，k 为常数)的单调性。
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【当堂检测】 1.下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( ) A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 2.由数列 1，10，100，1000，„，猜测该数列的第 n 项可能是( ) － ＋ － A．10n B．10n 1 C．10n 1 D．10n 2 解析：选 B.数列各项依次为 100，101，102，103„„，由归纳推理可知，选 B. 3.在平面上，若两个正三角形的边长比为 1∶2，则它们的面积比为 1∶4.类似地，在空间中，若 两个正四面体的棱长比为 1∶2，则它们的体积比为__________． 1 1 1 3 5 7 4.已知 f(n)＝1＋ ＋ ＋„＋ (n∈N*)，计算得 f(2)＝ ，f(4)>2，f(8)> ，f(16)>3，f(32)> ，推测当 2 3 n 2 2 2 n≥2 时，有__________． 【巩固练习】 1.下列说法错误的是( ) A．归纳推理是指由特殊到一般的推理 B．类比推理是指由特殊到特殊的推理 C．合情推理包含归纳推理与类比推理 D．合情推理的结论一定是正确的 2.观察下列数的特点，1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，„中，第 100 项是( ) A．10 B．13 C．14 D．100 底×高 3.已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积公式：S＝ ，可推知扇形面积公式 S 扇 2 等于( ) r2 l2 lr A. B. C. D．不可类比 2 2 2 4.观察下列各式： 1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72， „„ 第 n 个式子是__________________________________________________________． 5.下表中空白处应填写________________________________________________. 平面 三角形的两边之和大于第三边 空间 四面体的任意三个面的面积之 和大于第四个面的面积 三棱锥的体积等于任一底面的 1 面积与这底面上的高的乘积的 3
【拓展提高】 1.已知数列 1，a＋a ，a ＋a ＋a ，a ＋a ＋a ＋a ，„，则数列的第 k 项是( A．a ＋a C．a
k－1 k k＋1 2 2 3 4 3 4 5 6
)
＋„＋a
2k
B．a D．a
k－1
＋a ＋„＋a ＋a ＋„＋a
k
k
2k－1
＋a ＋„＋a
k
2k
k－1
2k－2
2.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么，这两个角相等或互补”．在 立体几何中，类比上述命题，可以得到命题____________________________． 3.如图为一串白黑相间排列的珠子,按此规律,求第 36 颗珠子的颜色．
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编号：X2-2-10 课型：复习课 编制人： 李震 审核人： 李震 年级主任： 班级： 姓名： 课题： 2．1.2 演绎推理 【学习目标】 个性笔记
【重难点】 重点难点 重点：演绎推理的含义． 难点：利用三段论进行简单推理． 【新知】 一、演绎推理 含 义 特 征 由概念的定义或一些_______，依照一定的_______得到正确结论的过程，叫做演绎推理 当前提为真时，结论__________
三角形的面积等于任意一边的 1 长度与这边上高的乘积的 2 三角形的面积等于其内切圆半 1 径与三角形周长的乘积的 2 1 1 1 1 6.已知代数式 ＋ ＋ ＋„＋ ，写出 n＝1，2，3，4 时代数式的值，归纳并猜 1×2 2×3 3×4 n（n＋1） 想出结果．
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7.观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，„，则 52011 的末四位数字为( ) A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 x x 8.设函数 f(x)＝ (x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝ ， x＋2 x＋2 x f2(x)＝f[f1(x)]＝ ， 3x＋4 x f3(x)＝f[f2(x)]＝ ， 7x＋8 x f4(x)＝f[f3(x)]＝ ， 15x＋16 „„ 根据以上事实，由归纳推理可得： 当 n∈N*且 n≥2 时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝__________． 3 3 9.已知 sin230°＋sin290°＋sin2150°＝ ，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝ .通过观察上述两等式 2 2 的规律，请你写出一绎推理的推理规则 推理规则 推理方式 三段论推理 M 是 P，S 是 M，所 以_______ 传递性关系推理 如果 aRb，bRc，则_____ (R 表示具有传递性的关系) 完全归纳推理 把________都考虑在内的 演绎推理规则
典型例题
题型一 把演绎推理写成三段论的形式 例 1、将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分； (2)等腰三角形的两个底角相等，∠A，∠B 是等腰三角形的两个底角，所以∠A＝∠B； (3)通项公式为 an＝2n＋3 的数列{an}为等差数列； (4)y＝cosx(x∈R)是周期函数．
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变式训练 1、将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)向量既有大小又有方向，0 是向量，故 0 有大小和方向； (2)在一个标准大气压下,水的沸点是 100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到 100 ℃时，水 会沸腾； (3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．在同一平面内，有点 P 和直线 a，则 过点 P 有且只有一条直线与直线 a 垂直．
【教学反思】
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