【2020精品中考数学提分卷】北京—第9讲解直角三角形+答案

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中考《解直角三角形》复习练习题及答案

中考数学复习专题练习解直角三角形一、选择题：1、在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形2、在直角△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c,那么下列关系中,正确的是（）A．cosA= B．tanA= C．sinA= D．cosA=3、如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( )A．2 B． C． D．4、在Rt ABC中，∠C=90°，sinB=,则tanA的值为( )A. B. C. D.5、在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A． B． C． D．6、在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（）A. B．2 C．1 D．27、如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB值为( )A. B. C. D.8、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长是（）A.10mB.mC.15m D．m9、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4米B.6米C.12米D.24米10、如图,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为( )A. B.－1 C．2－ D.11、如图,已知的三个顶点都在方格图的格点上，则的值为( )A. B. C. D.12、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）A． B． C． D．二、填空题:13、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C=________．14、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，cosB=，则BC= ．15、如图，先锋村准备在坡角为α=30°山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为______米．16、如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为______．17、如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,M、N两点关于对角线AC对称,若DM=1,则tan∠ADN= ．18、如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(+) tan+tan.（填“＞”“＝”“＜”）19、如图在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠B=∠D=45°若 AD=,则AB=__________20、如图所示的半圆中，是直径，且，，则的值是．21、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则________.22、如图,在中,是边边上的中线,如果,tanB值是________23、如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米.24、如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°．根据图形计算tan15°= ．三、简答题:25、在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c=,若关于x的方程(＋b)x2＋2ax＋(-b)=0有两个相等的实数根，方程2x2-(10sin A)x＋5sin A=0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．26、已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，联结CE. 求cos∠ACE和tan∠ACE的值.27、如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）28、如图，河流两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔50m的两个电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF=60°，求河流的宽度CF的值．（结果精确到个位）29、张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）30、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF=DE•DM．31、中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）参考答案1、A．2、C．3、B．4、D.5、B．6、B.7、B.8、A．9、B.10、A.11、D.12、B．13、答案为：60°14、答案为：9．15、答案为：（米）．16、答案为24．17、答案为：4．3 18、答案为：>. 19、答案为：.20、答案为： ;21、答案为：2 ;22、答案为：23、答案为：137．24、答案为：2﹣．25、解：∵方程(5＋b)x2＋2ax＋(5－b)=0有两个相等的实数根，且c=5，∴△=(2a)2－4(c＋b)(c-b)=0，∴a2＋b2=c2,则△ABC为直角三角形，且∠C=90°．设x1，x2是方程2x2－(10sin A)x＋5sin A=0的两个根，则根据根与系数的关系有x1＋x2=5sin A，x1·x2=sin A．∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2x l·x2=(5sin A)2－2×sin A=6，解得sinA=或sinA=－(舍去)，∴a=csin A=3，b==4，S△ABC=ab==18．26、解：过点作于点，∵四边形是正方形，∴平分，．∴，．∵是中点，∴．设，则，，．在Rt△AEF中，，．∴．∴，．27、【解答】解：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离约为60海里．28、【解答】解：过点C作CE∥AD，交AB于E∵CD∥AE，CE∥AD∴四边形AECD是平行四边形∴AE=CD=50m，EB=AB﹣AE=50m，∠CEB=∠DAB=30°又∠CBF=60°，故∠ECB=30°∴CB=EB=50m∴在Rt△CFB中，CF=CB•sin∠CBF=50•sin60°≈43m答：河流的宽度CF的值为43m．29、解：如图，过B作BE⊥CD交CD延长线于E，∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，∴∠CAB=15°∵∠CBD=60°，∠DBE=30°，∴∠CBD=30°，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∴∠CAB=∠ACB=15°，∴AB=BC=20，在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，∴DE=BEtan∠DBE=10×，∴CD=CE﹣DE=≈11.5，答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．30、：（1）解：∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴EC=DF=×4=2，由勾股定理得，DE==2，∵点F是CD的中点，点N为DE的中点，∴DN=DE=×2=，NF=EC=×2=1，∴△DNF的周长=1++2=3+；在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2，所以，sin∠DAF===；（2）证明：在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠DAF+∠AFD=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，∴AF⊥DE，∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴NF是△CDE的中位线，∴DF=EC=2NF，∵cos∠DAF==，cos∠CDE==，∴=，∴2AD•NF=DE•DM．31、【解答】解：过A作AD⊥CF于D，由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt△ACD中，sin∠ACD=，则AD=AC•sin∠ACD=250≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．答：消防车不需要改道行驶．。

【2020精品中考数学提分卷】北京[数学][三角形和四边形]+答案

三角形和四边形一、选择题1．（2020·门头沟二模）将284231︒′″保留到“′”为（） A ．2842︒′ B ．2843︒′C ．2842︒′30″D ．2900︒′ 2．（2020·平谷二模）用直角三角板，作△ABC 的高，下列作法正确的是（）3. (2020·朝阳二模)如图所示，用量角器度量∠AOB ，可以读出∠AOB 的度数为（） A ．45° B ．55° C ．135° D ．145°4．(2020·海淀二模)如图，用圆规比较两条线段A B ''和AB 的长短，其中正确的是（） A ．A B AB ''> B ．A B AB ''= C ．A B AB ''<D ．不确定5．（2020·顺义二模）能与60︒的角互余的角是（）A B CDA B()6．(2020·海淀二模)如图，在正方体的一角截去一个小正方体，所得立体图形的主视图是( )A B C D7．（2020·平谷二模）下面所给几何体的俯视图是（）8. （2020·门头沟二模）如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（）A.B.C.D.9.（2020·房山二模）下面的四个展开图中，是右图所示的三棱柱纸盒的展开图的是（）10. （2020·东城二模）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能．．围成正方体的位置是（）A．①B．②C．③D．④11．（2020·通州二模）下列图形中，正方体展开后得到的图形不可能．．．是（）12．（2020·怀柔二模）如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是（）正面看13．（2020·昌平二模）在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是A B C D 14．（2020·顺义二模）图1是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是15．（2020·丰台二模）如图是几何体的三视图，该几何体是A．圆锥B．圆柱C．正三棱锥D．正三棱柱16．（2020·昌平二模）钟鼎文是我国古代的一种文字，是铸刻在殷周青铜器上的铭文，下列钟鼎文中，不是轴对称图形的是A B C D 17．（2020·通州二模）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为DCBA图1A．B．C．D．18．（2020·丰台二模）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A． B. C. D. 19．（2020·石景山二模）在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）20. （2020·房山二模）在我国传统的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，它不仅具有功能性作用，而且具有高度的艺术价值. 下列窗棂的图案中，不是．．中心对称图形的是（）21.(2020·朝阳二模)下列图标中，是轴对称的是A B C D 22．（2020·通州二模）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4// l1，若∠1=∠2=36°,则∠3的度数为A．60°B．90°C．108°D．150°23.（2020·石景山二模）如图，直线a△b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC△b于点C，若1=50∠°，则2∠的度数为（）l2l3l1l4123A ．130°B ．50°C ．40°D ．25°24．（2020·丰台二模）如图，AB △CD ，△B =56°，△E =22°，则△D 的度数为 A ．22° B ．34° C ．56°D ．78°25.（2020·门头沟二模）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上一点且CD CA =，过点A 作MN BC ∥，48CAN ∠=︒， 41B ∠=︒，BAD ∠=A ．23°B ．24°C ．25°D ．26°26．（2020·昌平二模）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =55°，点D 是斜边AB 的中点，那么∠ACD 的度数为 A ．15°B ． 25°C ． 35°D ．45°27．（2020·顺义二模）如图，△ABC 中，∠A =60︒，BD ，CD 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，则∠BDC 的度数是A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒aDC BAECDBA28．（2020·东城二模）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则△1的度数为（）A ．75°B ．65°C ．45°D ．30° 29．（2020·门头沟二模）以下是关于正多边形的描述①正多边形的每条边都相等； ②正多边形都是轴对称图形； ③正多边形的外角和是360°；④正多边形都是中心对称图形. 其中正确的描述是A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 30.（2020·房山二模）在四边形ABCD 中，如果∠A ＋∠B ＋∠C=260°，那么∠D 的度数为（）A. 120°B. 110°C. 100°D. 90° 31.(2020·朝阳二模)内角和与外角和相等的多边形是A B C D32.（2020·怀柔二模）如图，在五边形ABCDE 中，△A+△B+△E=300°，DP ，CP 分别平分△EDC 、△BCD ，则△P 的度数是（）(A)60° (B)65° (C)55° (D)50° 33．（2020·通州二模）右图多边形ABCDE 的内角和是A ．360°B ．540°A BCDEC ．720°D ．900°34．（2020·丰台二模）五边形的内角和是 A ．180°B ．360°C ．540°D ．600°35．（2020·顺义二模）内角和为540︒的多边形是A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形36．（2020•西城区二模）如图是由射线AB ，BC ，CD ，DE ，EA 组成的平面图形，若∠1+∠2+∠3+∠4=225°，ED ∥AB ，则∠1的度数为（）A ．55°B ．45°C ．35°D ．25°37．（2020·平谷二模）如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量学校旗杆CD 的高度，标杆BE 高1.5m ，测得AB=2m ，BC=14m ，则旗杆CD 高度是（）A ． 9mB ．10.5mC ．12mD ．16m 38．（2020·石景山二模）如图，某河的同侧有A ，B 两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为2km AC =，3km BD =，这两条小路相距5km .现要在河边建立一个抽水站，把水送到A ，B 两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（）A ．距C 点1km 处B ．距C 点2km 处 C ．距C 点3km 处D ．CD 的中点处 39．(2020·海淀二模)如图，ABCD 中，AD =5，AB =3，∠BAD 的平分线AE 交BC 于E 点，则EC 的长为 A ．4B ．3B E CA DC ．2D ．1二、填空题1．（2020•西城区二模）如图，长方体中所有与棱AB 平行的棱是．2．（2020•西城区二模）如图，正方形ABCD 中，点E 为对角线AC 上一点，且AE=AB ，则∠BED 的度数是度．3．（2020·丰台二模）三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH 组成的．已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD 的面积是．4.（2020·昌平二模）如图，阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE ，已知亮区DE 到窗口下的墙角距离CE =5米，窗口高AB =2米，那么窗口底边离地面的高BC =_________ 米.G ABC DEFH5.（2020·丰台二模）某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB 的高度．如图，他们先在点C 处测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向建筑物AB 前进10m 到达点D 处，又测得点A 的仰角为60°，那么建筑物AB 的高度是（） m ．6．（2020·通州二模）如图，Rt △ABC ≌Rt △DCB ，两斜边交于点O ，如果AC =3，那么OD 的长为____________．7．(2020·海淀二模)下图是测量玻璃管内径的示意图，点D 正对“10mm ”刻度线，点A 正对“30mm ”刻度线，DE ∥AB ．若量得AB 的长为6mm ，则内径DE 的长为 mm ．8.(2020·朝阳二模)在某一时刻，测得一根高为1.2m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋楼的影长为45m ，那么这栋楼的高度为 m ．9．（2020·顺义二模）小明的爸爸承包了一个鱼塘，小明想知道鱼塘的长（即A ，B 间的距离）．他通过下面的方法测量A ，B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC ，BC 的中点M ，N ，并测得MN 的长为20m ，由此他就知道了A ，B 间的距离．请你回答A ，B 间的距离是60°30°CDBABCD10. （2020·怀柔二模）如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，如果12AE EC ，DE =7，那么BC 的长为．11.（2020·顺义二模）如图，在正方形ABCD 和正方形AEFG 中，顶点E 在边AD 上，连接DG 交EF 于点H ，若FH ＝1，EH ＝2，则DG 的长为NMCAA B EDH G F EDCBA12．（2020·昌平二模）如图，已知钝角△ABC ，老师按照如下步骤尺规作图：步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，交弧①于点D ；步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H . 小明说：图中的BH ⊥AD 且平分AD . 小丽说：图中AC 平分∠BAD . 小强说：图中点C 为BH 的中点.他们的说法中正确的是__________.他的依据是_ __. 13．（2020·通州二模）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小亮的作法如下：ABCDH老师说：“小亮的作法正确”，请回答：小亮的作图依据是__ 14．(2020·朝阳二模)阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小强的作法如下：老师表扬了小强的作法是对的．请回答：小强这样作图的主要依据是．如图：（1）作射线CE ；（2）以C 为圆心，AB 长为半径作弧交CE 于D .则线段CD 就是所求作的线段.D ABC E尺规作图：经过直线外一点作这条直线的平行线．已知：直线l 和直线l 外一点A ．求作：直线l 的平行线，使它经过点A ．如图,（1）过点A 作直线m 交直线l 于点B ；（2）以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交直线m 于点C ；（3）在直线l 上取点D （不与点B 重合）,连接CD ；（4）作线段CD 的垂直平分线n ，交线段CD 于点E ；（5）作直线AE . 所以直线AE 即为所求．15．（2020·石景山二模）下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程.16．（2020·顺义二模）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小丽的作法如下：三、解答题1．(2020·海淀二模)如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ．请你添加一条线把它分成两个全等三角形，并给出证明．2．（2020·通州二模）如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠B ，CB =CE . 求证：CE //AD .3.（2020·房山二模）已知：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，连接EF . 求证：AE=AF4．（2020·丰台二模）如图，在△ABC 中，AB =AC ，过点 A 作 AD ⊥BC 于点D ，过点 D 作AB 的平行线交AC 于点E ．求证: DE =EC =AE ．BA ABCE F ABCE DC5.（2020·平谷二模）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ，EF ⊥BD 于点F ．求证：∠BEF=∠DEF ．6．（2020•西城区二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，BF ∥DE 交CD 于点F ．求证：DE=BF ．7.(2020·朝阳二模)如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的高, 过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E. 求证:CE =ABB8．（2020·怀柔二模）如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，且DC =DB ．点E 在CD 的延长线上，且AD =DE ．求证：∠EBC =∠ACB ．9. （2020·昌平二模）如图，在等边△ABC 中，点D 为边BC 的中点，以AD 为边作等边△ADE ，连接BE .求证：BE=BD10．（2020·石景山二模）如图，在ABC △中，CDCA =，CE AD ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F ．求证：ACE DBF ∠=∠BCAEDDB E CA F11．（2020·顺义二模）如图，△ABC 中，点D 在AB 的延长线上，BE 平分∠CBD ，BE ∥AC ．求证：AB=BC ．12．（2020·丰台二模）如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边三角形ACD 及等边三角形ABE .已知∠BAC = 30º，EF ⊥AB 于点 F ，连接 DF .（1）求证：AC =EF ；（2）求证：四边形 ADFE 是平行四边形.13．(2020·海淀二模)如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，线段AC 的垂直平分线交AC 于D 点，交BC 于E 点，过点A 作BC 的平行线交直线ED 于F 点，连接AE ，CF ．（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若AB =10，∠ACB =30°，求菱形AECF 的面积．ABCDEF ABDCE14．（2020•西城区二模）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC ，BD 交于点O ，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB=2，求△OEC 的面积．15．（2020·东城二模）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°. 以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于21MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D . 若CD =4，AB =15，求△ABD 的面积.16．（2020·东城二模）如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB ，BD ，BC于点E ，F ，G ，连接ED ，DG ．（1）请判断四边形EBGD 的形状，并说明理由；（2）若∠ABC =30°，∠C =45°，ED =2，求GC 的长.17. (2020·朝阳二模)如图，在ABCD 中，BC =2AB ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点， AE ，BF 交于点O ，连接EF ，OC .（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若BC =8， 60ABC ∠=︒，求OC 的长.18.（2020·房山二模）如图，河的两岸l 1与l 2互相平行，A 、B 是1l 上的两点，C 、D 是2l 上的两点．某同学在A 处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB 方向走20米到达点E （即AE =20），测得∠DEB=60°. 求：C ，D 两点间的距离．119．（2020·平谷二模）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 边上的点，且AE=CF ．（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形；（2）若AB =12，AE =5，3cos 5BFE ∠=，求矩形ABCD 的周长．20．（2020·顺义二模）已知：如图，四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90︒，AB =AD .（1）求证：BC=CD ；（2）若∠A =60︒，将线段BC 绕着点B 逆时针旋转60︒，得到线段BE ，连接DE ，在图中补全图形，并证明四边形BCDE 是菱形．DCBA21．（2020·石景山二模）如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在AD 边上，点F 在AD 的延长线上，且BE CF =．（1）求证：四边形EBCF 是平行四边形．（2）若90BEC ∠=°，30ABE ∠=°，AB =ED 的长．22．（2020·通州二模）如图，在菱形ABCD 中，CE 垂直对角线AC 于点C ，AB 的延长线交CE 于点E .（1）求证：CD ＝BE ；（2）如果∠E ＝60°，CE=m ，请写出求菱形ABCD 面积的思路．23. （2020·昌平二模）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为BC 的中点，AE 与对角线BD 交于点F .（1）求证：DF =2BF ；（2）当∠AFB =90°且tan ∠ABD =21时，若CD =5，求AD 长.FEDCBAEA24. （2020·怀柔二模）已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，AD ∥BC ，∠ADB=45°，∠C=60°，AB=6.求四边形ABCD 的周长.25．（2020·门头沟二模）如图，已知AD 是△ABC 的中线，∠ADC =45°，把△ADC 沿直线AD翻折，使得点C 落在点E 的位置，BC =6；求线段BE 的长.26.（2020·门头沟二模）如图，在菱形ABCD 中，延长BD 到E 使得BD =DE ,连接AE ，延长CD 交AE 于点F .（1）求证：AD ＝2DF（2）如果FD ＝2，∠C ＝60°，求菱形ABCD 的面积．DCBA27. （2020·房山二模）数学课上，老师提出如下问题：已知点A ，B ，C 是不在同一直线上三点，求作一条过点C 的直线l ，使得点A ，B 到直线l 的距离相等. 小明的作法如下：①连结线段AB ；②分别以A ，B 为圆心，以大于21AB 为半径画弧，两弧交于M 、N 两点； ③作直线MN ，交线段AB 于点O ； ④作直线CO ，则CO 就是所求作的直线l. 根据小明的作法回答下列问题：（1）小明利用尺规作图作出的直线MN 是线段AB 的；点O 是线段AB 的；（2）要证明点A ，点B 到直线l 的距离相等，需要在图中画出必要的线段，请在图中作出辅助线，说明作法，并说明线段的长是点A 到直线l 的距离，线段的长是点B 到直线l 的距离；（3）证明点A ，B 到直线l 的距离相等.AB三角形和四边形四、选择题1-5BDCAA6-10DBDDA11-15DCCBD16-20ADAAB21-15DCCBC26-30CCAAC31-35CABCB36-39BCBC五、填空题1．DC，EF，HM ．2．1353． 100 ．4.5 25.3 5 6．1.5 7．2 8.18 9．40 10.2111.ABCE F12．正确的是______小明_____.他的依据是_到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线__. 13．等圆的半径相等.14．同圆半径相等；线段垂直平分线的定义；三角形的中位线平行于第三边. 15．①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②有两条边相等的三角形是等腰三角形．16．到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上_．六、解答题1．(2020·海淀二模)证明：连接AC ，则△ABC ≌ △ADC ．证明如下：在△ABC 与△ADC 中，AB AD AC AC CB CD ===⎧⎪⎨⎪⎩，，， ∴△ABC ≌ △ADC ．2．（2020·通州二模）①∠B =∠CEB ②∠A =∠CEB ③CE //AD 3.（2020·房山二模）证明：方法一：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F∴DE= DF ，∠AED =∠AFD=90° ∴∠DEF =∠DFE ∴∠AEF =∠AFE ∴AE=AF方法二：∵AD 平分∠BAC∴∠DAE =∠DAF∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于FDCBAABCEF∴∠AED =∠AFD=90°又∵AD=AD∴△AED ≌△AFD ∴AE=AF4．（2020·丰台二模）证明：∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠B =∠C ，∠BAD =∠CAD ．又∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B ，∠ADE =∠BAD ． ∴∠EDC =∠C ，∠ADE =∠CAD ． ∴DE =EC ，AE =DE ． ∴DE =EC =AE ．5.（2020·平谷二模）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD . ∵DE ∥BC ， ∴∠EDB =∠CBD . ∴∠EDB =∠ABD . ∴EB=ED . ∵EF ⊥BD 于点F ， ∴∠BEF =∠DEF .6．（2020•西城区二模）ABCDE FBABCEB证明：∵CD 平分∠ACB ， ∴∠1=∠2，∵DE ⊥AC ，∠ABC=90° ∴DE=BD ，∠3=∠4， ∵BF ∥DE ， ∴∠4=∠5， ∴∠3=∠5， ∴BD=BF ， ∴DE=BF ．7.(2020·朝阳二模)证明：∵,AB AC AD BC =是边上的高， ∴∠BAE =∠CAE ． ∵CE ∥AB ， ∴∠E =∠BAE ． ∴∠E =∠CAE ．∴CE =AC .∵AB =AC ， ∴CE =AB . 8．（2020·怀柔二模）证明：∵DC =DB ， ∴∠DCB =∠DBC ．在△ACD 和△EBD 中， ,,,AD DE ADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△EBD ．∴∠ACD=∠EBD ． ∴∠EBC =∠ACB ． 9. （2020·昌平二模）证明：∵在等边△ABC 中，点D 为边BC 的中点∴∠CAD =∠DAB=12∠CAB= 30° ∵△ADE 为等边三角形， ∴AD=AE ，∠DAE = 60°∵∠DAB = 30° ∴∠DAB =∠EAB = 30° 在△ADB 与△AEB 中，AD AE DAB EAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△AEB ∴ BE=BD10．（2020·石景山二模）证法一：如图1．∵CE AD ⊥，BF AD ⊥， ∴90CED BFD ∠=∠=°．∴CE ∥BF ． ∴12∠=∠． ∵CD CA =，CE AD ⊥， ∴32∠=∠． ∴32∠=∠．证法二：如图2． ∵CD CA =，∴12∠=∠．又∵32∠=∠，∴13∠=∠． ∵CE AD ⊥，BF AD ⊥，图1A F21AB CDE∴90CEA BFD ∠=∠=°． ∴CEA △∽BFD △． ∴45∠=∠． 11．（2020·顺义二模）证明：∵BE 平分∠CBD ， ∴∠1=∠2．∵BE ∥AC ，∴∠1=∠A ，∠2=∠C ． ∴∠A=∠C ． ∴ AB=BC ． 12．（2020·丰台二模）证明：（1）∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，∴∠AEF =21∠AEB = 30º，AE =AB ，∠EFA = 90º． ∵∠ACB = 90º，∠BAC = 30º， ∴∠EFA =∠ACB ，∠AEF =∠BAC ． ∴△AEF ≌△BAC ． ∴AC = EF ．（2）∵△ACD 是等边三角形，∴AC = AD ，∠DAC = 60º．由（1）的结论得AC = EF ， ∴AD= EF ． ∵∠BAC = 30º，∴∠FAD=∠BAC+∠DAC = 90º． ∵∠EFA = 90º， ∴EF ∥AD ． ∵EF =AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．13．(2020·海淀二模)图2（1）证明：∵ EF 垂直平分AC ， ∴ FA =FC ，EA =EC ， ∵ AF ∥BC ， ∴ ∠1=∠2． ∵ AE =CE ，∴ ∠2=∠3． ∴ ∠1=∠3． ∵ EF ⊥AC ，∴ ∠ADF =∠ADE =90°． ∵ ∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90°． ∴ ∠4=∠5．∴ AF =AE ． ∴ AF =FC =CE =EA ．∴ 四边形AECF 是菱形．（2）解：∵∠BAC =∠ADF =90°， ∴AB ∥FE ． ∵AF ∥BE ， ∴四边形ABEF 为平行四边形． ∵AB =10， ∴FE =AB =10． ∵∠ACB =30°，∴tan ABAC ACB==∠∴12AECF S AC FE ⋅==菱形14．（2020•西城区二模）（1）证明：∵AD ∥BC ， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵∠ABC=90°， ∴∠BAD=90°，54321F E DCB A∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）作OF⊥BC于F．∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴AO=BO=CO=DO，∴BF=FC，∴OF=CD=1，∵DE平分∠ADC，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，在Rt△EDC中，EC=CD=2，∴△OEC的面积=•EC•OF=1．15．（2020·东城二模）解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E.又∵∠C=90°，∴DE=CD.∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．16．（2020·东城二模）解：（1）四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD.∴∠EBD=∠EDB.∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF.又∵DF=BF，∠EFD=∠GFB，∴△EFD ≌△GFB ， ∴ED =BG ， ∴BE =ED =DG =GB ，∴四边形EBGD 是菱形．（2）过点D 作DH ⊥BC 于点H . ∵DG ∥AB ，∴∠DGC =∠ABC =30°. 在Rt △DGH 中，可求3, 1.DG GH ==在Rt △DGH 中，可求 3.CH = ∴1 3.GC =+17. (2020·朝阳二模)(1) 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC =AD . ∵E ，F 分别是BC ，AD 的中点， ∴11,22BE BC AF AD ==.∴BE =AF .∴四边形ABEF 是平行四边形. ∵BC =2AB ， ∴AB =BE .∴ABEF 是菱形.（2）解：过点O 作OG ⊥BC 于点G . ∵E 是BC 的中点，BC =8，∴BE =CE =4.∵四边形ABEF 是菱形，∠ABC =60°， ∴∠OBE =30，∠BOE =90°. ∴OE =2，∠OEB =60°.1∴GE =1，. ∴GC =5. ∴OC=18.（2020·房山二模）解：过点D 作DF ⊥l 1于点F∵ l 1∥l 2 ，∠CAB=90° ∴ 四边形CAFD 是矩形，CD=AF ∵ ∠DAB=30°，∠DEB=60°∴ ∠ADE=∠DEB-∠DAB=30°，即∠ADE =∠DAE ∴ AE=DE =20在Rt △DEF 中，已知∠DFE=90°，∠DEF=60°，DE =20 ∴ EF=10 ∴CD=AF=AE+ EF =30 答: C ，D 两点间的距离是30米．19．（2020·平谷二模）（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ，AD=BC ． ∵AE=CF ， ∴DE=BF ．∴四边形BFDE 是平行四边形．（2）解：∵矩形ABCD ， ∴∠A =∠ABC =90°．在Rt △ABE 中，AB =12，AE =5， ∴BE =13．过点E 作EG ⊥BC 于G ．∵∠A =∠ABC =∠BGE =90°， ∴四边形ABGE 是矩形．E ABCD∴AE=BG =5，AB=EG=12． ∵在Rt △EFG 中，3cos 5BFE ∠=， ∴35FG FE =．设FG =3x ， EF =5x ，∴EG =4x =12． ∴x =3． ∴FG =3x =9．∴BC=BG+GF+FC =19．∴矩形ABCD 的周长=19×2+12×2=62．20．（2020·顺义二模）（1）证明：连接AC ，∵∠ABC =∠ADC =90︒，∴△ABC 和△ADC 均为直角三角形． ∵AB =AD ，AC=AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC ． ∴BC=CD（2）解：补全图如图所示．由旋转得BE =BC ，∠CBE =60︒． ∴BE =CD ．∵∠BAD=60︒，∠ABC =∠ADC =90︒， ∴∠BCD =120︒． ∴∠CBE +∠BCD =180︒． ∴BE ∥CD ．∴四边形BCDE 是平行四边形．又∵BE =CD ， ∴□BCDE 是菱形．21．（2020·石景山二模）（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴=90A CDF ABC ∠∠=∠=°， AB DC =，AD BC =．DCBA在BAE Rt △和CDF Rt △中， ,,AB DC BE CF ==⎧⎨⎩∴BAE Rt △≌CDF Rt △． ∴1F ∠=∠．∴BE ∥CF ．又∵BE CF =，∴四边形EBCF 是平行四边形．（2）解：∵BAE Rt △中，2=30∠°，AB =， ∴tan 21AE AB =⋅∠=， 2cos 2AB BE ==∠，360∠=°． BEC Rt △中，24cos 3cos 60BE BC ===∠°．∴4AD BC ==．∴413ED AD AE =-=-=． 22．（2020·通州二模）（1）①连接BD ，BD ⊥AC ………………………………..(1分)②CE //BD ………………………………..(2分)③四边形BECE 为平行四边形；CD =BE ………………………………..(3分) （2）思路通顺 ………………………………..(5分) 23. （2020·昌平二模）(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AD //BC ，AD=BC ，AB =CD ∵点E 为BC 的中点 ∴BE=12BC=12A D ∵AD //BC ∴△BEF ∽△DAF ∴12BE BF DA DF == FEDCBA∴DF =2BF（2）解：∵CD =5 ∴AB =CD =5∵在Rt △ABF 中，∠AFB=90°1tan 2AF ABD BF ∠== ∴设AF =x ，则BF =2x ∴AB5 x =5∴x=1，AF =1，BF =2 ∵DF =2BF ∴DF=4 ∴ AD24. （2020·怀柔二模）解： ∵ AB ⊥BD ，∴∠ABD=90°.在Rt △ABD 中，∠ABD=90°，∠ADB=45°，.∴∠DAB=45°. ∴∠DAB=∠ADB.∴∴由勾股定理解得：∵ AD ∥BC , ∴∠ADB=∠DBC=45°. 过点D 作DE ⊥BC 交BC 于点E. ∴ ∠DEB=∠DEC=90°.在Rt △DEB 中，∠DEB=90°，∠DBC =45°，AC=2. ∴∠BDE=45°, sin ∠DBC =. ∴∠DBC=∠BDE ， .∴. 在Rt △DEC 中，∠DEC=90°，∠C=60°. ∵ . ∴CD=2,CE=1.=DEBDsin ,tan DE DEC C CD CE==EABCD∴+1 .∴四边形ABCD 的周长+25．（2020·门头沟二模）由题意可知∠EDA 是由∠CDA 翻折得到∴∠EDA =∠CDA =45°.ED =CD . ∴ ∠EDB =90° ∵ AD 是△ABC 的中线，BC =6∴ BD =CD =3.∴ ED =BD =3. 在Rt BDE ∆中，根据勾股定理可得∴BE = 26.（2020·门头沟二模）（1） ∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AD =AB , CD ∥AB .∵BD =DE∴EF =FA∴FD 是△EAB 的中位线 ∴AB =2FD∴AD =2FD （2）过点D 作DM ⊥AB∵FD =2∴AB =4 ∵∠C ＝60°∴ ∠ADB =∠60°. △DAB 为等边三角形∴∠ADM ＝30°，AM =2 ∴ DM=tan 60AM︒，可得DM =123++=A∴ 4ABCD S AB DM =⋅=⨯=菱形27. （2020·房山二模）（1）直线MN 是线段AB 的垂直平分线；点O 是线段AB 的中点；（2）过点A 作AE ⊥l 于点E ，过点B 作BF ⊥l 于点F线段 AE 的长是点A 到直线l 的距离，线段 BF 的长是点B 到直线l 的距离；（3）∵ AE ⊥l ，BF ⊥l∴ ∠AEO =∠BFO =90° 又∵OA =OB ，∠AOE =∠BOF ∴ △AEO ≌△BFO∴AE =BF ，即点A ，B 到直线l 的距离相等。

【2020精品中考数学提分卷】北京[数学][三角形]+答案

三角形一、选择、填空题1．（2020·西城一模）如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m ，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m ．若小明的眼睛与地面距离为1.5m ，则旗杆的高度为（单位：m ）（A）163（B ）9 （C ）12 （D ）643答案：C2．（2020·石景山一模）为了测量校园里水平地面上的一棵大树的高度，数学综合实践活动小组的同学们开展如下活动：某一时刻，测得身高1.6m 的小明在阳光下的影长是1.2m ，在同一时刻测得这棵大树的影长是3.6m ，则此树的高度是 m ．答案：4.83．（2020·海淀一模）如图，AB ，CD 相交于O 点，△AOC ∽△BOD ，OC :OD =1:2，AC =5，则BD 的长为．答案：104．如图所示，某地三条互相平行的街道a ，b ，c 与两条公路相交，有六个路口分别为A ，B ，C ，D ，E ，F .路段EF 正在封闭施工.若已知路段AB 约为270.1米，路段BC 约为539.8 米，路段DE 约为282.0米，则封闭施工的路段EF 的长约为_______米．答案:564左右5．（2020·平谷一模）如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知灯泡距离地面2.4m ，桌面距OB DCAa D A bBEcFC离地面0.8m （桌面厚度不计算），若桌面的面积是1.2m²，则地面上的阴影面积是 m²．答案：2.75．（2020·丰台一模）如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC 和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA =3OC ，OB =3OD ），然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段a 的两个端点上，当CD =1.8cm 时，则AB 的长为 A ．7.2 cm B ．5.4 cmC ．3.6 cmD ．0.6 cm答案：B6．（2020·顺义一模）小刚身高180cm ，他站立在阳光下的影子长为90cm ，他把手臂竖直举起，此时影子长为115cm ，那么小刚的手臂超出头顶 cm ．答案：507．（2020·平谷一模）某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示．其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8 m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是A ．43mB ．8 mC ．833mD ．4 mAB CaA BD CBCD150°h答案：D8．（2020·顺义一模）如图，一张三角形纸片ABC ，其中∠C=90︒，AC =6，BC =8．小静同学将纸片做两次折叠：第一次使点A 落在C 处，折痕记为m ；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A 落在B 处，折痕记为n ．则m ，n 的大小关系是．答案：m n >二、解答题；1．（2020·石景山一模）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是CB 的中点，AE 的延长线与DC 的延长线相交于点F ．求证：AB FC =．证明：∵AB ∥DC ，∴1=F ∠∠，=2B ∠∠． ………………………………… 1分 ∵E 是CB 的中点， ∴BE CE =．在AEB △和FEC △中，1,=2,,F B BE CE ∠=∠∠∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴AEB △≌FEC △． ………………………………… 4分 ∴=AB FC ． ………………………………… 5分 2．（2020·海淀一模）如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 边上两点，AD=AE ，BAD CAE ∠=∠．求证：AB=AC .解法一：解：∵ AD =AE ，B D E CA∴ ∠1=∠2． ---------------------------------------------- 1分 ∵∠1=∠B +∠BAD ，∠2=∠C +∠CAE ， -------------------------------------3分 ∴∠B +∠BAD =∠C +∠CAE ． ∵∠BAD =∠CAE ，∴ ∠B =∠C ． --------------------------------------4分 ∴ AB =AC ． -------------------------------------- 5分解法二：解：∵ AD =AE ，∴ ∠1=∠2． ---------------------------------------------- 1分 ∴180°-∠1=180°-∠2．即∠3=∠4． ---------------------------------------------------------------------------------------- 2分在△ABD 与△ACE 中，34BAD CAE AD AE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，，∴ △ABD ≌ △ACE （ASA ）．----------------------------------------------------------------- 4分 ∴ AB =AC ． --------------------------------------------------------------------- 5分 3．（2020·门头沟一模）如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，EF 垂直平分BD .求证：ABD BDF ∠=∠. ∵EF 垂直平分BD ，∴FB =FD . ……………………………………2分 ∴∠FBD =∠BDF .………………………………3分 ∵BD 是∠ABC 的平分线∴∠ABD =∠FBD . …………………………4分 ∴∠ABD =∠BDF . …………………………5分4. （2020·房山一模）已知:如图，△ABC 是等边三角形，BD ⊥AC 于D ，E 是BC 延长线上的一点，且∠CED =30º. 求证：BD =DE.B21B D E CA4321B D E CADA证明： △ABC是等边三角形，BD⊥AC∴∠ABC=60º，BD平分∠ABC ------2分∴∠DBC=30º ------3分∵∠CED=30º∴∠DBE=∠DEB ------4分∴BD=DE ------5分5．（2020·东城一模）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，求∠BAD的度数．解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线．则AD=DC．故∠C=∠DAC．…………2分∵∠C=30°，∴∠DAC=30°．…………3分∵∠B=55°，∴∠BAC=95°．…………4分∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°．…………5分6．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，AE，DF 交于点O.求证：AE⊥DF.20．证明：∵AB∥DC,OAB∴∠BAD +∠ADC =180°.∵AE ，DF 分别是∠BAD ，∠ADC 的角平分线, ∴∠EAD =∠BAD ，∠FDA =∠ADC. ∴∠EAD +∠FDA =90°. ∴∠AOD =90°. ∴AE ⊥DF .2121。

【2020精品中考数学提分卷】北京[数学][几何综合题]+答案

几何综合1. （2020·东城二模）取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：如图1，先把正方形ABCD对折，折痕为MN；第二步：点G在线段MD上，将△GCD沿GC翻折，点D恰好落在MN上，记为点P，连接BP.（1）判断△PBC的形状，并说明理由；（2）作点C关于直线AP的对称点C′，连PC′，D C′，△在图2中补全图形，并求出△APC′的度数；△猜想△PC′D的度数，并加以证明.（温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接A C′，C C′，研究图形中特殊的三角形）2．（7分）（2020•西城区二模）△ABC是等边三角形，以点C为旋转中心，将线段CA按顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接BD交AC于点O．（1）如图1．△求证：AC垂直平分BD；△点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND=NM，连接BN，判断△MND的形状，并加以证明；（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段AO上，且ND=NM，补全图2，求证：NA=MC．3．(2020·海淀二模)在锐角△ABC 中，AB=AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 中点．（1）如图1，过点C 作CF △AB 于F 点，连接EF ．若△BAD =20°，求△AFE 的度数；（2）若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN △AM 于N 点，射线EN ，AB 交于P 点． △依题意将图2补全；△小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M 运动的过程中，始终有△APE =2△MAD ．小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接DE ，要证△APE =2△MAD ，只需证△PED =2△MAD ．想法2：设△MAD =α，△DAC =β，只需用α，β表示出△PEC ，通过角度计算得△APE =2α．想法3：在NE 上取点Q ，使△NAQ =2△MAD ，要证△APE =2△MAD ，只需证△NAQ △△APQ ． ……请你参考上面的想法，帮助小宇证明△APE =2△MAD ．（一种方法即可）EFA图1 图24.(2020·朝阳二模)在△ABC中，△ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，且点D 与点C在直线AB的两侧，连接CD．(1) 如图1，若△ABC=30°，则△CAD的度数为．(2)已知AC=1，BC=3.△依题意将图2补全；△求CD的长；小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成了求CD长的几种想法：想法1:延长CB，在CB延长线上截取BE=AC，连接DE.要求CD的长，需证明△ACD△△BED，△CDE为等腰直角三角形.想法2:过点D作DH△BC于点H，DG△CA，交CA的延长线于点G，要求CD的长，需证明△BDH△△ADG，△CHD为等腰直角三角形.……请参考上面的想法，帮助小聪求出CD的长（一种方法即可）.(3)用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．图2图15. （2020·房山二模）在Rt△ABC 中，△ACB=90°，AC=BC=2，点P 为BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）. 点P 关于直线AC 、AB 的对称点分别为M 、N ，连结MN 交AB 于点F ，交AC 于点E .（1）当点P 为BC 的中点时，求△M 的正切值；（2）当点P 在线段BC 上运动（不与B 、C 重合）时，连接AM 、AN . 求证：△ △AMN 为等腰直角三角形； △△AEF △△BAM .图2图1ME FNFEMABCP PCBA6．（2020·顺义二模）在△ABC中，AB=AC，D为线段BC上一点，DB=DA，E为射线AD 上一点，且AE=CD，连接BE．（1）如图1，若∠B=30°，AC=√3，请补全图形并求DE的长；（2）如图2，若BE=2CD，连接CE并延长，交AB于点F，小明通过观察、实验提出猜想：CE=2EF．小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：过A作AM∥BC交CF的延长线于点M，先证出△ABE≌△CAD，再证出△AEM是等腰三角形即可；想法2：过D作DN∥AB交CE于点N，先证出△ABE≌△CAD，再证点N为线段CE的中点即可．请你参考上面的想法，帮助小明证明CE=2EF．（一种方法即可）7．（2020·丰台二模）已知正方形ABCD ，点E ，F 分别在射线AB ，射线BC 上，AE =BF ，DE 与AF 交于点O .（1）如图1，当点E ，F 分别在线段AB ，BC 上时，则线段DE 与AF 的数量关系是，位置关系是 .（2）如图2，当点E 在线段AB 延长线上时，将线段AE 沿AF 进行平移至FG ，连接DG .△依题意将图2补全；△小亮通过观察、实验提出猜想：在点E 运动的过程中，始终有22222AE AD DG +=.小亮把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接EG ，要证明22222AE AD DG +=，只需证四边形F AEG 是平行四边形及△DGE 是等腰直角三角形.想法2：延长AD ，GF 交于点H ，要证明22222AE AD DG +=，只需证△DGH 是直角三角形.图1 图2请你参考上面的想法，帮助小亮证明22222AE AD DG +=.（一种方法即可）O F EDC BAAFCDO8．（2020·石景山二模）已知在Rt BAC △中，90BAC ∠=°，AB AC =，点D 为射线BC 上一点（与点B 不重合），过点C 作CE △BC 于点C ，且CE BD =（点E 与点A 在射线BC 同侧），连接AD ，ED ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，请直接写出ADE ∠的度数.（2）当点D 在线段BC 的延长线上时，依题意在图2中补全图形并判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）在（1）的条件下，ED 与AC 相交于点P ，若2AB =，直接写出CP 的最大值．9．（2020·通州二模）在△ABC 中，AB =BC ，△ABC =90°. 以AB 为斜边作等腰直角三角形ADB . 点P 是直线DB 上一个动点，连接AP ，作PE △AP 交BC 所在的直线于点E . （1）如图1，点P 在BD 的延长线上，PE △EC ，AD =1，直接写出PE 的长；（2）点P 在线段BD 上（不与B ，D 重合），依题意，将图2补全，求证P A =PE ；（3）点P 在DB 的延长线上，依题意，将图3补全，并判断P A =PE 是否仍然成立.图1 图2 图310. （2020·昌平二模）如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边上一点，连接DE ，将△ADE绕点D 逆时针旋转90°得到△CDF ，作点F 关于CD 的对称点，记为点G ，连接DG . （1）依题意在图1中补全图形；（2）连接BD ，EG ，判断BD 与EG 的位置关系并在图2中加以证明；（3）当点E 为线段AB 的中点时，直接写出△EDG 的正切值.EDCBA图2图1ABCDEA D11．（2020·平谷二模）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的点，且BE=CF．连结CE，DF．将线段FD绕点F逆时针旋转90°，得到线段FG．（1）依题意将图1补全；（2）连结EG，请判断：EG与CF的数量关系是，位置关系是；并证明你的结论；（3）当FG经过BE中点时，写出求∠CDF度数的思路．12．（2020·怀柔二模）在△ABN中，△B =90°，点M是AB上的动点（不与A,B两点重合），点C是BN延长线上的动点（不与点N重合），且AM=BC，CN=BM，连接CM与AN 交于点P.（1）在图1中依题意补全图形；（2）小伟通过观察、实验，提出猜想：在点M，N运动的过程中，始终有△APM=45°.小伟把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的一种思路：要想解决这个问题，首先应想办法移动部分等线段构造全等三角形，证明线段相等，再构造平行四边形，证明线段相等，进而证明等腰直角三角形，出现45°的角，再通过平行四边形对边平行的性质，证明△APM=45°.他们的一种作法是：过点M在AB下方作MD⊥AB于点M，并且使MD=CN.通过证明△AMD ≅△CBM，得到AD=CM,再连接DN，证明四边形CMDN是平行四边形，得到DN=CM，进而证明△ADN是等腰直角三角形，得到△DNA=45°.又由四边形CMDN是平行四边形，推得△APM=45°.使问题得以解决.请你参考上面同学的思路，用另一种方法证明△APM=45°.13.（2020·门头沟二模）已知：△ABC ，AB =4,AC =3,以CB 为边作等边三角形△CBP ，连接AP ，求AP 的值.这道题目难到了小明，首先没有图形，然后发现△ABC 不是一个固定的图形，等边三角形△CBP 也没有指定在BC 所在直线的哪一侧，这两个不确定的因素会使得AP 的值不一定是固定的长度，为此小明从特殊情况出发研究这个问题，按如下步骤进行了解决：步骤1：取△CAB =30°，以CB 为边作等边三角形△CBP ，使点A 与点P 在BC 所在直线的异侧；步骤2：要想建立AB ，AC ，AP 的联系，需要将这三条线段进行转移处理，由于图中有等边三角形，可以通过旋转来完成线段与角的转移，因此将△ACP 以P 点为旋转中心，逆时针旋转60°，得到△P BP ′,通过推理与计算得到了此位置时AP 的值.（1）请结合小明的步骤补全图形；（2）结合补全后的图形求出AP 的值；（3）根据上述经验，改变△CAB 的度数，发现△CAB 在变化到某一角度时，AP 有最大值，画出这个特殊角度时的示意图，写出AP 的最大值，并说明取得最大值的思路.几何综合1. （2020·东城二模）（1）△PBC 是等边三角形.证明：在正方形ABCD 中，BC=CD ，又CD=CP ， △BC=CP ， △P 在MN 上， △PB=PC .B△PB=BC=PC.△△PBC是等边三角形.…………2分（2）△补全图形如图所示.由BA=BP，△CBP=60°，可求得△APB=75°,又△BPC=60°，可得△APC=135°.根据对称性，△APC=△APC’=135°.△证法一：连AC’，CC’.由△可得△CPC’=90°.由对称性可知PC=PC’，从而可求得AC=AC’=CC’=2AB.从而△ACC’为等边三角形；由AC’=CC’，DA=DC，C’D=C’D，可证△AC’D△△CC’D，可得△AC’D=△CC’D=30°.根据对称性△AC’C=△ACC’，△PC’C=△PCC’，从而△AC’P=△ACP，由△ABC为等腰直角三角形，可得△ACB=45°，由△PBC为等边三角形，可得△BCP=60°，从而△ACP=△AC’P=15°.所以△PC’D=△AC’D﹣△AC’P=15°. …………8分证法二：连AC’，CC’.由BA=BP，△CBP=60°，可求得△APB=75°,又△BAC=45°，可得△CAP=30°.根据对称性，△CAP=△C’AP=30°,从而△CA C’=60°；由对称性可知AC=AC’，从而△ACC’为等边三角形；以下同证法一.2．（2020•西城区二模）证明：△△ABC是等边三角形，△△ABC=△ACB=△CAB=60°，△以点C为旋转中心，将线段CA按顺时针方向旋转60°得到线段CD，△CD=CA，△ACD=△ACB=60°，△BO=DO，CO△BD，△AC垂直平分BD；△△MND是等边三角形，如图1，由△知AC垂直平分BD，△NB=ND，△CBD=△ABC=30°，△△1=△2，△△BND=180°﹣2△2，△ND=NM，△NB=NM，△△3=△4，△BNM=180°﹣2△4，△△DNM=360°﹣180°+2△2﹣180°+2△4=2（△2+△4）=60°，△△MND是等边三角形；（2）连接AD，BN，如图2，由题意知，△ACD是等边三角形，△△ADC=60°，AD=CD，与（1）同理可证△1=△2，△3=△NBM，△BND=180°﹣2△2，△BNM=180°﹣2△NBM，△△MND=△BND﹣△BNM=2（△NBM﹣△2）=60°，△ND=NM，△△MND是等边三角形，△DN=DM，△NDM=60°，△ADC=△NDM，△△NDA=△MDC，在△AND与△MDC中，△△AND△△CMD，△NA=MC．3．(2020·海淀二模)（1）证明：△AB=AC，AD为BC边上的高，△BAD=20°，△△BAC=2△BAD=40°．----------------------- 1分∵CF⊥AB，∴△AFC=90°．∵E为AC中点，FE A∴EF =EA =12AC ．∴△AFE =△BAC =40°． ---------------------------- 2分（2）△画出一种即可． --------------------------- 3分 △证明：想法1：连接DE ．△AB=AC ，AD 为BC 边上的高， △D 为BC 中点．△E 为AC 中点， △ED △AB ，△△1=△APE ． ------------- 4分△△ADC =90°，E 为AC 中点，△12AE DE CE AC ===．同理可证12AE NE CE AC ===．△AE =NE =CE =DE ．△A ，N ，D ，C 在以点E 为圆心，AC 为直径的圆上． ----- 5分MPN ECDB AEDCB APMN M PN ECDB A△△1=2△MAD．------------------- 6分△△APE=2△MAD．--------------------------- 7分想法2：设△MAD=α，△DAC=β，△CN△AM，△△ANC=90°．△E为AC中点，△12AE NE AC==．△△ANE=△NAC=△MAD+△DAC=α+β．--------------------- 4分△△NEC=△ANE+△NAC=2α+2β．---------------- 5分△AB=AC，AD△BC，△△BAC=2△DAC=2β．△△APE=△PEC-△BAC=2α．-------------- 6分△△APE=2△MAD．------------------------ 7分想法3：在NE上取点Q，使△NAQ=2△MAD，连接AQ，△△1=△2．△AB=AC，AD△BC，△△BAD=△CAD．△△BAD-△1=△CAD-△2，即△3=△4．-------------------------- 4分△△3+△NAQ=△4+△NAQ，即△P AQ=△EAN．△CN△AM，△△ANC=90°．△E为AC中点，△12AE NE AC==．△△ANE=△EAN．--------------------- 5分△△P AQ=△ANE．4321QNMPABCDE△△AQP=△AQP，△△P AQ △ △ANQ．--------------------- 6分△△APE=△NAQ=2△MAD．------------------ 7分4.(2020·朝阳二模)解：（1）105°.（2）△补全图形，如图所示.△想法1：如图，△△ACB=△ADB =90°，△△CAD+△CBD==180°.△△DBE+△CBD==180°，△△CAD=△DBE.△DA=DB，AC=BE，△△ACD△△BED．△DC=DE，△ADC=△BDE.△△CDE =90°.△△CDE为等腰直角三角形.△AC=1，BC=3,△CE=4.△CD=22.想法2：如图，△△ACB=△ADB =90°，△△CAD+△CBD==180°.△△DAG+△CAD==180°，△△CBD=△DAG.△DA=DB，△DGA=△DHB=90°，△△BDH△△ADG．△DH=DG，BH=AG.△△DCH=△DCG=45°.△△CHD为等腰直角三角形.△AC=1，BC=3，△CH=2.△CD=22.（3）2+=.AC BC CD5. （2020·房山二模）解：（1）连接NB，……………………1分ABCPME FN45321PCANFE M∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC∴∠CAB =∠CBA =45°=∠PBA∵点P 关于直线AB 的对称点为N ，关于直线AC 的对称点为M ， ∴∠NBA=∠PBA =45°，NB=PB ，MC=PC ……………………2分 ∴∠MBN =∠PBN =90°∵点P 为BC 的中点，BC=2∴MC=CP=PB=NB=1，MB=3 ∴tan ∠M=13NBMB……………………3分(2) ①连接AP ∵点P 关于直线AC 、AB 的对称点分别为M 、N ，∴AP =AM =AN ，∠1=∠2，∠3=∠4 ∵∠CAB =∠2+∠3 =45°∴∠MAN=90°∴△AMN 为等腰直角三角形②∵△AMN 为等腰直角三角形 ∴∠5 =45°∴∠AEF =∠5+∠1 =45°+∠1 ∵∠EAF=∠CAB =45°∴∠BAM =∠EAF +∠1 =45°+∠1∴∠AEF =∠BAM 又∵∠CBA=∠EAF=45°∴△AEF ∽△BAM6．（2020·顺义二模）（1）解：∵DA=DB ，∠ABC=30°，∴∠BAD = ∠ABC =30°． ∵AB=AC ，∴∠C =∠ABC =30°．∴∠BAC =120°．ABDECG FECDBA4GFCD∴∠CAD=90°．………………………………………………………2分 ∴AD=AC ×tan30°=1，AE=CD=2AD=2，∴DE=AE -AD=1．……………………………………………………3分（2）证明：如图，过A 作AG ∥BC ，交BF 延长线与点G ，∵DB=DA ，AB=AC ，∴∠BAD=∠ABC ，∠ABC=∠ACB ． ∴∠BAD=∠ACB ． ∵AE=CD ，∴△ABE ≌△CAD ．……………………4分 ∴BE=AD ． ∵BE=2CD ， ∴AD=2CD=2AE ． ∴AE=DE ． ∵AG ∥BC ，∴∠G=∠DCE ，∠GAE=∠CDE ．∴△AGE ≌△DCE ．………………………………………………5分 ∴EG=CE ，AG=CD=AE ． ∴△AGE 为等腰三角形． ∴∠GAF=∠ABC=∠BAD ．∴F 为GE 的中点．………………………………………………6分 ∴CE=EG=2EF ．……………………………………………………7分7．（2020·丰台二模）解：（1）相等，垂直．（2）△依题意补全图形．△法1：证明：连接GE .由平移可得AE =FG ，AE △FG ，△四边形AEGF 是平行四边形. △AF =EG ，AF △EG ，△△1=△2.△四边形ABCD 是正方形， △AD = AB ，△DAE =△ABC= 90°. △AE =BF ， △△AED △△BF A . △△3=△4，AF = DE . △EG =DE . △△2+△4=90°，△△1+△3=90°，△△DEG =90°. △22222DE EG DE DG =+=. 又 △222AE AD DE +=， △22222AE AD DG += 法2：证明：延长AD ，GF 交于点H ，由平移可得AE =FG ，AE △FG ， △△H +△DAB= 180° △四边形ABCD 是正方形， △△DAB= 90°，AD =DC . △△H=90°. …………………………………………………………………………4分 △222DH GH DG +=. △△HDC=△DCF= 90°, △四边形HDCF 是矩形. △HF =DC . △HF =AD . △HG =FG +HF ,△HG =AE +HF=AE+AD . △易证BF=AH 且BF=AE , △HD =AE –AD .GH AEF CDO∴()()2222222AE AD AD AE AD AE DG +=-++=8．（2020·石景山二模）解：（1）45°． ………………… 1分（2）补全图形，如图1所示．………………… 2分结论成立．证明：连接AE ，如图2．△在Rt BAC △中，90BAC ∠=°，AB AC =， △145B ．△CE BC ，△90BCE °．△245．△2B ． ………………… 3分又△ABAC BDCE ，，△ABD ACE ≌． ………………… 4分 △AD AE BAD CAE ，．△90DAEBAC °． ………………………………… 5分△DAE △是等腰直角三角形． △345． ………………………………… 6分（3）1． ………………………………… 7分9．（2020·通州二模）解：（1）2……………………..(1分)（2）法△过P 作PM △BD ,交AB 于M法△过P 作PM △BC 于点M , 过P 作PN △AB 于点N 法△延长AB ,在AB 的延长线上截取PM =P A图1图2法△过点B 作BM △BD ,截取BM =BP ，连接CM .法△连接AE ,取AE 中点M ，连接BM ，PM ,四点共圆. …………..(5分)（3）图正确，成立……………… 10. （2020·昌平二模）（1）依题意补全图形如图1：（2）判断： BD △EG .证明：如图2，BD ，EG 交于M ，△正方形ABCD ，△AB =BC ，△DAE=△DCB =90° 由旋转可得△ADE △△CDF ，DE =DF ，AE =CF△△DCF = △DAE =△DCB =90° △点B ，C ，F 在一条直线上. △点G 与点F 关于CD 的对称 △△DCG △△DCF ，DG =DF ，CG =CF △DE=DG ，AE=CG △BE=BG △BD △EG 于M . （3）△EDG 的正切值为43. 11．（2020·平谷二模）（1）如图所示：G图1FG ABC E图2ABC E（2）EG与CF的数量关系是EG=CF，位置关系是EG△CF；证明：△正方系ABCD，△BC=CD，△ABC=△BCD=90°．△BE=CF，△△BCE△△CDF△DF=CE，△BEC=△CFD．△△BCE+△BEC=90°，△△BCE+△CFD=90°．即CE△DF．△线段FD绕点F逆时针旋转90°，得到线段FG，△CE△FG，DF=FG．△CE=FG．△四边形GFCE是平行四边形．△EG=CF，EG△CF．（3）当FG经过BE中点P时，由△BCE△△CDF，可得△CDF=△BCE．由□GFCE，可得△BCE=△G．即△CDF==△G．由BE=CF=GE，可得12PE GE；利用锐角三角函数，可求∠G的度数，从而可求△CDF的度数．12．（2020·怀柔二模）（1）在图1中依题意补全图形,如图1所示：…………………………1分（2）证明：如图2，PEGDAB CFCD过点A作AD⊥AB于点A,并且使AD=CN.连接DM,DC. …………………………2分△AM=BC，△DAM=△MBC =90°，△△DAM≅△MBC. …………………………3分△DM=CM, △AMD=△BCM. …………………………4分△△DAM=90°.△△AMD+△BMC =90°.△△DMC =90°.△△MCD =45°. …………………………5分△AD△CN,AD=CD,△四边形ADCN是平行四边形. …………………………6分△AN△DC.△△MCD =45°.△△APM=45°. …………………………7分（其它方法相应给分）13.（2020·门头沟二模）（1）补全图形正确（2）△△ACP以P点为旋转中心，逆时针旋转60°，得到△P′BP△△A C P△△P′BP△△ACP=△P′BP,AP= P′P, △CP A=△P′PBAC = P′B =3 △△CBP 为等边三角形 △△APP ′=60° △CBP =60° △△P ′AP 为等边三角形△AP = AP ′ △△CAB =30°△△ACB +△ABC =150°△△ABP ′=360°-150°-120°=90° 在Rt △ABP ′中AP = AP（3）当△CAB =120°，最大值是7.图形正确思路：△由△CAB =120°，可得△ACB +△ABC =60°△由（2）中的旋转后的全等，可得△ACP =△P ′BP ， AP = P ′P ， AC = P′B△由△CBP =60°,进而推出△ABC +△CBP+△P ′BP =180°(即点A 、B 、P 共线) ………6分△由AC =3，AB =4，可得AP = AP ′=AB +BP ′=7 … ………………7分P'。

2020年九年级数学中考复习题型解直角三角形(带答案)

解直角三角形题型一利用勾股定理求面积例 1.在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =，以AD 为边在AED ∆的外侧作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的面积是( )A ．5B ．25C ．7D ．10【解析】根据勾股定理得到225AD AE DE =+=，根据正方形的面积公式即可得到结论．【答案】解：在Rt AED ∆中，90E ∠=︒，3AE =，4ED =，225AD AE DE ∴=+=，四边形ABCD 是正方形，∴正方形ABCD 的面积22525AD ===，故选：B ．变式训练1.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E 的边长为10，则四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为( )A ．24B ．56C ．121D ．100【解析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知：E F G S S S =+A B C D S S S S =+++100=；即四个正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为100；故选：D ．题型二勾股定理逆定理的应用例2-1.在以线段a ，b ，c 的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( )A ．4a =，5b =，6c =B ．::5:12:13a b c =C ．2a =，3b =，5c =D ．4a =，5b =，3c =【解析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【答案】解：A .222456+≠，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B .设三角形三边为5k ，12k ，13k ，2(5)(k +2212)(13)k k =，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C .(22)(+23)(=25)，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D .222345+=，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A ．例2-2.如图，已知在四边形ABCD 中，20AB cm =，15BC cm =，7CD cm =，24AD cm =，90ABC ∠=︒．（1）连结AC ，求AC 的长；（2）求ADC ∠的度数；（3）求出四边形ABCD 的面积【解析】（1）连接AC ，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根据三角形的面积公式解答即可．【答案】解：（1）连接AC ，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，20AB cm =，15BC cm =，∴由勾股定理可得：2222201525AC AB BC cm ++=；（2）在ADC ∆中，7CD cm =，24AD cm =，222CD AD AC ∴+=，90ADC ∴∠=︒；（3）由（2）知，90ADC ∠=︒，∴四边形ABCD 的面积2112015724234()22ABC ACD S S cm ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=. 变式训练1.下列说法中，正确的有( )①如果0A B C ∠+∠-∠=，那么ABC ∆是直角三角形；②如果::5:12:13A B C ∠∠∠=，则ABC ∆是直角三角形； 71017ABC ∆为直角三角形；④如果三角形三边长分别是24n -、4n 、24(2)n n +>，则ABC ∆是直角三角形；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出C ∠为90度；②不正确，因为根据三角形的内角和得不到90︒的角；7x ，10x 17x ，则有2271017x +=；④正确，因为222(4)(4)(4)n n n -+=+．所以正确的有三个．故选：C ．变式训练2.如图，在四边形ABCD 中，已知12AB =，9BC =，90ABC ∠=︒，且39CD =，36DA =．求四边形ABCD 的面积．【解析】连接AC ，在Rt ADC ∆中，已知AB ，BC 的长，运用勾股定理可求出AC 的长，在ADC ∆中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD 的面积为Rt ACD ∆与Rt ABC ∆的面积之差．【答案】解：连接AC ，90ABC ∠=︒，12AB =，9BC =，15AC ∴=，39CD =，36DA =，222215361521AC DA +=+=，22391521CD ==，ADC ∴∆为直角三角形，ACD ABC ABCD S S S ∆∆∴=-四边形1122AC AD AB BC =⨯-⨯ 11153612922=⨯⨯-⨯⨯ 27054=-216=．故四边形ABCD 的面积为216．题型三利用勾股定理求最短路径例3.如图，一圆柱高BC 为20cm ，底面周长是10cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点P 处吃食，且35PC BC =，则最短路线长为( )A．20cm B．13cm C．14cm D．18cm【解析】根据题意画出图形，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出AP即可．【答案】解：如图展开，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，则90C∠=︒，11052AC cm cm=⨯=，20BC cm=，35PC BC=，12CP cm∴=，由勾股定理得：222251213()AP AC CP cm=+=+=，即蚂蚁爬行的最短路线长是13cm，故选：B．变式训练1.如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为()A．15 dm B．17 dm C．20 dm D．25 dm【解析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为(23)3dm+⨯，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：22228[(23)3]17x =++⨯=，解得17x =．故选：B ．变式训练 2.如图，长方体的底面边长为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达B ，那么所用细线最短需要( )A ．12cmB ．11cmC ．10cmD ．9cm【解析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接A 、B '，则13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=，根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=．故选：C ．变式训练3.如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是( )A ．73厘米B ．10厘米C ．82厘米D ．8厘米【解析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．【答案】解：如图所示：最短路径为：P A '→，将圆柱展开，2222(162)(6 1.5 1.5)10PA PE EA cm ''=+=÷+-+=，最短路程为10PA cm '=．故选：B ．题型四利用勾股定理解折叠问题例4.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，求BDE ∆的面积．【解析】由勾股定理可求AB 的长，由折叠的性质可得6AC AE cm ==，90DEB ∠=︒，由勾股定理可求DE 的长，由三角形的面积公式可求解．【答案】解：6AC cm =，8BC cm =2210AB AC CB cm ∴=+=将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，6AC AE cm ∴==，90DEB ∠=︒1064BE cm ∴=-=设CD DE x ==，则在Rt DEB ∆中，2224(8)x x +=-解得3x =，即DE 等于3cmBDE ∴∆的面积14362=⨯⨯= 答：BDE ∆的面积为26cm变式训练1.如图，把长为12cm 的纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，且90FPH ∠=︒，3BF cm =，求FH 的长．【解析】由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH ∆中，根据222FH PH PF =+，构建方程即可解决问题．【答案】解：由翻折不变性可知：BF PF =，CH PH =，设FH x cm =，则(9)PH x cm =-，在Rt PFH ∆中，90FPH ∠=︒，222FH PH PF ∴=+，222(9)3x x ∴=-+，5x ∴=，FH ∴的长是5cm ．变式训练 2.如图，把长方形ABCD 沿AC 折叠，AD 落在AD '处，AD '交BC 于点E ，已知2AB cm =，4BC cm =．（长方形的对边相等，四个角都为直角）（1）求证：AE EC =；（2）求EC 的长；（3）求重叠部分的面积．【解析】（1）根据轴对称的性质和矩形的性质就可以得出EAC ECA ∠=∠，就可以得出AE CE =，（2）设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理就可以求出结论；（3）根据（2）的结论直接根据三角形的面积公式就可以求出结论．【答案】解：（1）四边形ABCD 是矩形，AB CD ∴=，AD BC =，90B ∠=︒，//AD BC ，DAC BCA ∴∠=∠．ADC ∆与△AD C '关于AC 成轴对称ADC ∴∆≅△AD C '，DAC D AC ∴∠=∠'，D AC ACB ∴∠'=∠，AE EC ∴=；（2）2AB cm =，4BC cm =，2CD cm ∴=，4AD cm =．设EC x =，就有AE x =，4BE x =-，在Rt ABE ∆中，由勾股定理，得224(4)x x +-=，解得： 2.5x =．答：EC 的长为2.5cm ；（3）2AEC EC AB S ∆=， 22.52 2.52AEC S cm ∆⨯==．答：重叠部分的面积为22.5cm ．题型五勾股定理的实际应用例5.数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？【解析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．【答案】解：设旗杆高xm ，则绳子长为(2)x m +，旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为2228(2)x x +=+，解得15x m =，∴旗杆的高度为15米．变式训练1.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）【解析】在Rt ABC ∆中，利用勾股定理计算出AB 长，再根据题意可得CD 长，然后再次利用勾股定理计算出AD 长，再利用BD AB AD =-可得BD 长．【答案】解：在Rt ABC ∆中：90CAB ∠=︒，17BC =米，8AC =米， 2215AB BC AC ∴=-=（米)，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D 的位置，171710CD ∴=-⨯=（米)，22100646AD CD AC ∴=-=-=（米)，1569BD AB AD ∴=-=-=（米)，答：船向岸边移动了9米．变式训练 2.勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，在现实世界中有着广泛的应用．请你尝试应用勾股定理解决下列问题：一架2.6m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 为2.4m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 向外移了多少米？（注意：3.15 1.77)≈【解析】先根据勾股定理求出OB 的长，再根据梯子的长度不变求出OD 的长，根据BD OD OB =-即可得出结论．【答案】解：Rt OAB ∆中， 2.6AB m =， 2.4AO m =，222226241OB AB AO m ∴=-=-=；同理，Rt OCD ∆中，2.6CD m =， 2.40.5 1.9OC m =-=，22222619 3.15 1.77OD CD OC m ∴=-=-=，1.7710.77()BD OD OB m ∴=-=-=．答：梯子底端B 向外移了0.77米．题型六锐角三角函数定义例1.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AB BC =，则sin B 的值为( )A．12B．22C．32D．223【解析】设BC为x，根据题意用x表示出AB，根据勾股定理求出BC，运用正弦的定义解答即可．【答案】解：设BC为x，则AB＝3x，由勾股定理得，AC＝＝＝2x，∴sin B＝＝＝，故选：D．变式训练1.如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cos A的值的有()个（1）ADAC（2）ACAB（3）BDBC（4）CDBC．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∴∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴cos A＝＝＝，故（1），（2），（4）正确．故选：C．题型七网格中的锐角三角函数值例7.如图，A，B，C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin ACB∠的值为( )A ．55B ．255C ．12D ．33【解析】由勾股定理可求AC ，BC 的长，由三角形的面积公式可求BD 的长，即可求sin ∠ACB 的值．【答案】解：设小正方形的边长为1，过点B 作BD ⊥AC 于D ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ， ∵S △ABC ＝2×7﹣＝5 由勾股定理可知：AC ＝＝5， ∵AC •BD ＝5，∴BD ＝，由勾股定理可知：BC ＝＝， ∴sin ∠ACB ＝＝＝故选：A ．变式训练 1.如图，在22⨯正方形网格中，以格点为顶点的ABC ∆的面积等于32，则sin (CAB ∠= )A．332B．35C．105D．310【解析】根据勾股定理，可得AC、AB、BC的长，根据三角形的面积公式，可得CD的长，根据正弦函数的定义，可得答案．【答案】解：如图：作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，由勾股定理，得AB＝AC＝，BC＝．由等腰三角形的性质，得BE＝BC＝．由勾股定理，得AE＝＝，由三角形的面积，得AB•CD＝BC•AE．即CD＝＝．sin∠CAB＝＝＝，故选：B．题型八特殊角三角函数值的计算例8.计算：2sin60cos45sin30tan60︒+︒-︒︒．【解析】首先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方，后算乘除，最后算加减即可．【答案】解：原式＝+﹣×，＝+﹣，＝．变式训练1.计算：（1）222sin 30sin60sin 45cos 30︒+︒-︒+︒；（2）tan30tan 45tan 60tan 45︒+︒︒︒．【解析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【答案】解：（1）原式＝（）2+﹣（）2+（）2＝+﹣+ ＝+；（2）原式＝＝．变式训练2.22cos30tan30cos60(1tan60)︒+︒︒--︒【解析】把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的加减运算法则计算．【答案】解：原式＝2×+×﹣+1＝+1．题型九解直角三角形例9.如图，在ABD ∆中，AC BD ⊥于点C ，32BC CD =，点E 是AB 的中点，tan 2D =，1CE =，求sin ECB ∠的值和AD 的长．【解析】利用已知表示出BC ，CD 的长，再利用勾股定理表示出AB 的长，进而求出sin ∠ECB 的值和AD 的长．【答案】解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°．∵点E 是AB 的中点，CE ＝1，∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB ．∵＝，∴设BC ＝3x ，CD ＝2x ．在Rt △ACD 中，tan D ＝2，∴＝2，∴AC ＝4x ．在Rt △ACB 中，由勾股定理得AB ＝＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝＝．由AB ＝2，得x ＝，∴AD ＝＝＝2x ＝2×＝．变式训练1.如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=．（1）求AD 的长；（2）求sin DBC ∠的值．【解析】（1）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理以及锐角三角形函数的定义即可求出答案．（2）由（1）可求出CD ＝4，根据勾股定理可求出BD 的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：（1）过点D 作DH ⊥AB 于点H ，∵等腰三角形ABC ，∠C ＝90°∴∠A ＝45°，∴AH ＝DH ，设AH ＝x ，∴DH ＝x ，∵tan∠DBA＝，∴BH＝5x，∴AB＝6x，∵AC＝6，∴由勾股定理可知：AB＝6，∴x＝，∴AH＝DH＝，∴由勾股定理可知：AD＝2；（2）由于AD＝2∴DC＝4，∴由勾股定理可知：DB＝2，∴，变式训练 2.如图，已知Rt ABC∠=︒，CD是斜边AB上的中线，过点A作∆中，90ACB=．AH CH⊥，AE分别与CD、CB相交于点H、E，2AE CD（1）求sin CAH∠的值；（2）如果5CD=，求BE的值．【解析】（1）由勾股定理得出AC＝＝CH，由锐角三角函数定义即可得出答案；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB＝1：，由AB＝2，得AC＝2，设CE＝x（x＞0），则AE＝x，由勾股定理得出方程，求出CE＝1，从而得出BE．【答案】解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AHC＝90°，∵AH＝2CH，∴由勾股定理得：AC＝＝CH，∴sin∠CAH＝＝＝；（2）∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝2，∴∠B＝∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACH＝90°，∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，∵sinB＝＝sin∠CAH＝＝，∴AC：AB＝1：，∴AC＝2．设CE＝x（x＞0），则AE＝x，在Rt△ACE中，由勾股定理得：x2+22＝（x）2，解得：x＝1，∴CE＝1，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4，∴BE＝BC﹣CE＝3．题型十解直角三角形的应用之坡度坡角问题例10.如图，扶梯AB坡比为1:2，滑梯CD坡比为3．若40=，某人BC mAE m=，30m≈，从扶梯上去，经过顶部BC，再沿滑梯滑下，共经过多少路径？（结果精确到0.1)(2 1.41≈3 1.73≈5 2.24)【解析】首先在直角△ABE中根据AE＝40m和坡比求得AB和BE，然后得出CF的长，最后在直角△CFD中求得CD的长即可，继而求出经过的路径＝AB+BC+CD的长度即可．【答案】解：∵扶梯AB的坡比为1：2，即BE：AE＝1：2，AE＝40m，∴BE＝20m，∴AB＝＝＝20（m），∵CF＝BE＝20米，CF：DF＝1：，∴FD＝CF＝20（m），∴CD＝＝＝40（m），∴经过的路径＝AB+BC+CD＝20+30+40＝70+20≈114.8（m）．答：共经过路径长114.8m．变式训练1.今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示，斜坡AB的长为20013米，斜坡BC的长为2002米，坡度是1:1，已知A点海拔121米，C点海拔721米（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度；（3）为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆AC的长度．【解析】（1）根据题意和图形，可以求得点B的海波，本题得以解决；（2）根据题目中的数据可以求得AF和BF的长度，从而可以求得斜坡AB的坡度；（3）根据题目中的数据可以求得AD和CD的长度，然后根据勾股定理即可求得AC的长度．【答案】解：（1）作CD⊥AM于点D，作BE⊥CD于点E，作BF⊥AM于点F，连接AC，∵斜坡BC的长为200米，坡度是1：1，∴BE＝CE＝200米，∵A点海拔121米，C点海拔721米，∴CD＝600米，∴BF＝400米，∵121+400＝521（米），∴点B的海拔是521米；（2）∵斜坡AB的长为200米，BF＝400米，∴AF＝＝600米，∴BF：AF＝400：600＝2：3，即斜坡AB的坡度是2：3；（3）∵CD＝600米，AD＝AF+FD＝AF+BE＝600+200＝800（米），∴AC＝＝1000米，即钢缆AC的长度是1000米．题型十一解直角三角形的应用之仰角俯角问题例11.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53︒，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45︒，已知山坡AB的坡度1:3，10AB=米，21AE=米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：4tan533︒≈，cos530.60)︒≈【解析】过B作DE的垂线，设垂足为G，BH⊥AE．在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG＝45°，则CG＝BG，由此可求出CG的长然后根据CD＝CG+GE﹣DE即可求出宣传牌的高度．【答案】解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，Rt△ABF中，i＝tan∠BAH＝＝，∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝5米；∴AH＝5米，∴BG＝AH+AE＝（5+21）米，Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝（5+21）米．Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，∴DE＝AE＝28米．∴CD＝CG+GE﹣DE＝26+5﹣28＝（5﹣2）m．答：宣传牌CD高为（5﹣2）米．变式训练1.如图（1），在豫西南邓州市大十字街西南方，耸立着一座古老建筑-福胜寺梵塔，建于北宋天圣十年（公元1032年），当地民谚云：“邓州有座塔，离天一丈八．”学完了三角函数知识后，某校“数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识测量“福胜寺梵塔”的高度．如图（2），刘明在点C处测得塔顶B的仰角为45︒，王华在高台上的点D处测得塔顶B的仰角为40︒，若高台DE高为5米，点D到点C的水平距离EC为1.3米，且A、C、E三点共线，求该塔AB的高度．（参考数据：sin400.64︒≈，︒≈，cos400.77︒≈，tan400.84结果保留整数）【解析】作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，根据矩形的性质得到CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，设FM＝x米，根据正切的定义用x表示出DM、BM，结合图形列出方程，解方程得到答案．【答案】解：作DM⊥AB于M，交CB于F，CG⊥DM于G，则四边形DECG为矩形，∴CG＝DE＝5，DG＝EC＝1.3，设FM＝x米，由题意得，∠BDM＝40°，∠BFM＝∠BCA＝45°，∴∠CFG＝45°，BM＝FM＝x，∴GF＝GC＝5，∴DF＝DG+GF＝5+1.3＝6.3，在Rt△BDM中，tan∠BDM＝，∴DM＝≈，由题意得，DM﹣DF＝FM，即﹣6.3＝x，解得，x≈33.2，则BA＝BM+AM＝38.2≈38（米），答：该塔AB的高度约为38米．四、易错点辨析1.三角形构成问题中，忘记对构成三角形的前提（三边关系）进行检验.2.忽视直角三角形致错，题中没有说明角是直角，而直接应用正弦、余弦函数的定义.3.边角关系理解不透致错.4.记忆特殊三角函数值不准确，造成计算错误.五、直击中考1.（2017河北（11））如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的( ).【答案】A.【解析】试题分析：正方形的对角线的长是10214.14，所以正方形内部的每一个点，到正方形的顶点的距离都有小于14.14，故答案选A.2.（2015河北（16））如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( )A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以C.甲不可以，乙可以D.甲可以，乙不可以【答案与解析】所作图形如图所示，甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．故选A．3.（2014河北（8））如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠【】A.2B.3C.4D.5【答案】A．【解析】4.（2019河北（19））勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km．【答案】（1）20；（2）13；【解析】解：（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣（﹣8）20；（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE＝1﹣（﹣17）＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝（18﹣x）2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13.5.（2013河北（26））一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE = α，如图1所示）．探究如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm；（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB）（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝34，tan37°＝34)拓展在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.图1图2图3图4延伸在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.图5【答案与解析】。

初三数学解直角三角形试题答案及解析

初三数学解直角三角形试题答案及解析1.一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：，）【答案】53米.【解析】首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD的度数，得到AD的长度，然后在直角△ADC 中，利用三角函数即可求解．试题解析：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠ADC-∠B=60°-30°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD=62（米）．在直角△ACD中，AC=AD•sin∠ADC=62×=31≈31×1.7=52.7≈53（米）．答：小岛的高度约为53米．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）．【解析】（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD；（2）∵∠A=∠ABD=36°，∴AD=BD，∵BD=BC，∴AD=BD=CD=1，设CD=x，则有AB=AC=x+1，∵△ABC∽△BCD，∴，即，整理得：x2+x-1=0，解得：x1=，x2=（负值，舍去），则x=；（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，∵BD=CD，∴E为CD中点，即DE=CE=，在Rt△ABE中，cosA=cos36°=，在Rt△BCE中，cosC=cos72°=，则cos36°-cos72°=-=．【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AD=3，cosB=3/5，则AC等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】B.【解析】∵∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠CAD=∠B，∴cos∠CAD=cosB=，在直角△ACD中，∵∠ADC=90°，AD=3，∴cos∠CAD=，∴AC=5．故选B．【考点】解直角三角形．4.在△ACB中，∠C=90°，AB=10，，，.则BC的长为（）A．6B．7.5C．8D．12.5【答案】A．【解析】∵∠C=90°，∴.又∵AB=10，∴.故选A．【考点】1.解直角三角形；2.锐角三角函数定义．5.已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【答案】(1)10米；（2）19米.【解析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出AH，PH，AH的关系求出即可；（2）利用矩形性质求出设BC=x，则x+10=24+DH，再利用tan76°=，求出即可．试题解析：：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴，设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k．∴13k=26．解得k=2．∴AH=10．答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x-14．在Rt△ABC中，tan76°=，即，解得x=，即x≈19，答：古塔BC的高度约为19米．【考点】1.解直角三角形的应用-坡度坡角问题；2.解直角三角形的应用-仰角俯角问题．6.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离(AC)为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC＝75°.(1)求B、C两点的距离；(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？(计算时距离精确到1米，参考数据：sin 75°≈0.965 9，cos 75°≈0.258 8，tan 75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒)【答案】（1）112(米) （2）此车没有超过限制速度【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，AC＝30，∴BC＝AC·tan ∠BAC＝30×tan 75°≈30×3.732≈112(米)．(2)∵此车速度＝112÷8＝14(米/秒)＜16.7(米/秒)＝60(千米/小时)∴此车没有超过限制速度．7.在△ABC中，若∠A、∠B满足|cos A－|＋＝0，则∠C＝________．【答案】75°【解析】∵|cos A－|＋＝0，∴cos A－＝0，sin B－＝0，∴cos A＝，sin B＝，∴∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°.8.在△ABC中，∠C＝90°，，则（）．A．B．C．D．【答案】D．【解析】由sin A=，设∠A的对边是3k，则斜边是5k，∠A的邻边是4k．再根据正切值的定义，得tanA=．故选D．【考点】锐角三角函数．9.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm.（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】2.7【解析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E.在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，∴BD＝OD＝2cm，∴CE＝BD＝2cm.在△COE中，∠CEO＝90°，∠COE＝37°，∵tan37°＝≈0.75，∴OE≈2.7cm.∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7 cm.10.如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD.（i＝CE∶ED，单位：m）【答案】（7.5＋4）m【解析】解：作BF⊥AD于点F.则BF＝CE＝4m，在直角△ABF中，AF＝＝＝3m，在直角△CED中，根据i＝，则ED＝＝＝4m.则AD＝AF＋EF＋ED＝3＋4.5＋4＝（7.5＋4）m.11.如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）【答案】（5+5-5）千米【解析】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30°，∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5，在Rt△BCD中，∵∠B=45°，∴BD=CD=5，BC=5，则用AC+BC-（AD+BD）=10+5-（5+5）=5+5-5（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5-5）千米．12.在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A的值，再求出sinA的值即可．∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A是锐角，∵cosA==，∴设AB=25x，BC=7x，由勾股定理得：AC=24x，∴sinA=.故选A．考点:同角三角函数的关系.13.如图，在△中，，，则△的面积是（）A．B．12C．14D．21【答案】A【解析】如图，作因为，所以.由勾股定理得.又，所以所以所以所以14.计算下列各题：（1）；（2）.【答案】（1）2 （2）【解析】解：（1）（2）15.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，设BC=3x，则AB=5x，∴AC=4x．∴cosB=．故选C．考点: 互余两角三角函数的关系.16.计算：【答案】-2.【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、负整数指数幂以及绝对值等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：考点: 实数的混合运算.17.若（为锐角），则=【答案】1.【解析】因为所以得,代入可得值为1【考点】正切和正、余弦函数的关系.18.如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是________【答案】.【解析】折叠后形成的图形相互全等，利用三角函数的定义可求出．根据题意，BE=AE．设CE=x，则BE=AE=8-x．在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，即（8-x）2=62+x2解得x=，∴tan∠CBE==考点:（1）锐角三角函数的定义；（2）勾股定理；（3）翻折变换（折叠问题）．19.（1）一个人由山底爬到山顶，需先爬450的山坡200ｍ，再爬300的山坡300ｍ，求山的高度（结果可保留根号）。

北京版九年级数学上册 20.4《解直角三角形》同步练习(包含答案)

北京课改版九年级数学上册20.4《解直角三角形》同步练习一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝1，BC ＝2，则下列结论中正确的是( )A ．sinB ＝55 B ．cosB ＝25C ．tanB ＝2D ．cosB ＝122. 如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN ，若MN ＝2，则OM 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，用含38°的三角函数值表示AC ，可得AC 为( )A ．10sin38°B ．10cos38°C ．10tan38°D ．无法确定4．cos55°和sin36°的大小关系是( )A ．cos55°＞sin36°B ．cos55°＜sin36°C ．cos55°＝sin36°D ．不能确定5. 如图，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sinB 的值是( ) A.5714 B.35C.217D.21146．下列各式：①sin20°－cos20°＜0；②2sin20°＝sin40°；③sin10°＋sin20°＝sin30°；④tan20°＝sin20°cos20°.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝7，则BC 的长度为( )A ．7sin35°B ．7cos35°C ．7cos35°D ．7tan35°8．直角三角形纸片的两直角边AC 与BC 之比为3∶4.(1)将△ABC 按如图①所示方式折叠，使点C 落在AB 边上，折痕为BD ；(2)将△BDA 按如图②所示方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则tan ∠DEA 的值为( )A.34B.43C.1925D.459. 如图，梯子跟地面所成的锐角为α，关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系叙述正确的是( )A ．sinα的值越小，梯子越陡B ．cosα的值越小，梯子越陡C ．tanα的值越小，梯子越陡D ．陡缓程度与α的函数值无关10．已知α为锐角，下列结论：①sinα＋cosα＝1；②如果α＞45°，那么sinα＞cosα；③如果cosα＞12，那么0°＜α＜60°；④（sinα－1）2＝1－sinα，其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝52，c ＝5，则∠A ＝______，∠B ＝________，b ＝___________． 12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝37°，BC ＝32，则AC ＝_______．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，∠B ＝α，则AB ＝________，BC ＝________．(结果用含α的三角函数表示)14. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处．若AB ＝4，BC ＝5，则tan ∠AFE ＝________．15．如图，A ，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC ＝a 米，∠A ＝90°，∠C ＝40°，则AB 等于__________．(用含40°的三角函数表示)16．不用计算器求下列各式的值．(1)sin 225°＋cos 225°＝________；(2)(sin32°48′23″＋tan47°18′)0＝________；(3)tan39°×tan51 °＝________；17．如图，已知AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，AB ＝c ，∠A ＝α，则AC ＝________，BC ＝________，CD ＝____________(用含c 和α的三角函数表示)．18．如图，某地某时刻太阳光线与水平线的夹角为31°，此时在该地测得一幢楼房在水平地面上的影长为30m，则这幢楼房的高AB=________m(结果精确到1m，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝35，b＝315，解这个直角三角形．20．(6分) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AB＝22，解这个直角三角形．21．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5，解这个直角三角形．22．(6分) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，解这个直角三角形．23．(6分) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，BC＝10，解这个直角三角形(长度精确到0.1)．(sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839)24.(8分) 如图，沿AC方向开修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝127°，沿BD的方向前进，取∠BDE＝37°，测得BD＝520m，并且AC，BD和DE在同一平面内．(1)施工点E离D点多远正好能使A，C，E成一条直线？(结果保留整数)(2)在(1)的条件下，若BC＝80m，求公路CE段的长．(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)25．(8分)如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD 于点F，AE与BF交于点O，连结EF，OD.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝4，AD＝5，∠BCD＝120°，求tan∠ADO的值．参考答案：1-5ACABD 6-10 BCABC11. 30°，60°，52 3 12. 2413. 10sinα，10tanα14. 3415. atan40°米16. (1)1 (2)1 (3)117. ccosα，csinα，csinαcosα18. 18 19. 解：由勾股定理得c ＝a 2＋b 2＝（35）2＋（315）2＝65，∵tanA ＝a b ＝35315＝33，∴∠A ＝30°， ∴∠B ＝90°－∠A ＝60°，故c ＝65，∠A ＝30°，∠B ＝60°20. 解：∵∠C ＝90°，∠A ＝45°，∴∠B ＝45°，BC ＝AC ，sinA ＝sin45°＝BC AB ＝22. ∵AB ＝22，∴BC ＝AC ＝22AB ＝2. 21. 解：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠B ＝60°. ∵sinA ＝sin30°＝BC AB ＝12，BC ＝5， ∴AB ＝2BC ＝10.∵sinB ＝sin60°＝AC AB ＝32，AB ＝10， ∴AC ＝32AB ＝5 3. 22. 解：∵∠C ＝90°，AC ＝6， BC ＝2，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝2 2. ∵BC ＝2，AB ＝22，∴sinA ＝BC AB ＝12.∴∠A ＝30°. ∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠B ＝60°.23. 解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝40°，∴∠A ＝90°－40°＝50°.在Rt △ABC 中，∵tanB ＝AC BC， ∴AC ＝10×tan40°≈8.4.在Rt △ABC 中，∵cosB ＝BC AB ，∴AB≈100.766≈13.1. 24. 解： (1)∵∠ABD ＝127°，∠BDE ＝37°，∴∠DEB ＝127°－37°＝90°. 在Rt △BDE 中，cosD ＝DE BD， ∴DE ＝BD·cosD ＝520×cos37°≈520×0.80＝416(m)，即施工点E 离D 点416m 正好能使A ，C ，E 成一条直线；(2)在(1)的条件下可得BE ＝BD·sinD ＝520×sin37°≈520×0.60＝312(m)， ∴CE ＝BE －BC≈312－80＝232(m)．25. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠DAE ＝∠AEB.∵AE 是角平分线，∴∠DAE ＝∠BAE.∴∠BAE ＝∠AEB.∴AB ＝BE.同理AB ＝AF.∴AF ＝BE.∴四边形ABEF 是平行四边形.∵AB ＝BE ，∴四边形ABEF 是菱形；(2) 作OH ⊥AD 于H ，如图所示．∵四边形ABEF 是菱形，∠BCD ＝120°，AB ＝4，∴AB ＝AF ＝4，∠ABC ＝60°，AO ⊥BF ，∴∠ABF ＝∠AFB ＝30°，∴AO ＝12AB ＝2， ∴OH ＝3，AH ＝1，DH ＝AD －AH ＝4，∴tan ∠ADO ＝OH DH ＝34.。

【2020精品中考数学提分卷】北京[数学][图形变换]+答案

图形变换1．（2020·石景山一模）篆体是我国汉字古代书体之一．下列篆体字“美”，“丽”，“北”，“京”中，不是．．轴对称图形的为A B C D答案：B2．（2020·东城一模）我国传统建筑中，窗框（如图1）的图案玲珑剔透、千变万化. 如图2，窗框的一部分所展示的图形是一个轴对称图形，其对称轴有A．1条B．2条C．3条D．4条答案：B3.（2020·房山一模）下列图案是轴对称图形的是A. B. C. D.答案：C4．（2020·丰台一模）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是北京林业大学北京体育大学北京大学中国人民大学A．B．C．D．答案：B5．（2020·海淀一模）下列四个图形依次是北京、云南、西藏、安徽四个省市的图案字体，其中是轴对称图形的是A B C D答案：A6．（2020·平谷一模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A．B．C．D．答案：D7．（2020·顺义一模）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A B C D答案：B8．（2020·通州一模）下列图形中，是中心对称图形的是A．B．C．D．答案：D9．（2020·西城一模）右图是某几何体的三视图，该几何体是（A）三棱柱（B）长方体（C）圆锥（D）圆柱答案：B10.（2020·门头沟一模）剪纸是中国古老的汉族传统民间艺术之一.下面是制作剪纸的简单流程，展开后的剪纸图案从对称性来判断A．是轴对称图形但不是中心对称图形B．是中心对称图形但不是轴对称图形C．既是轴对称图形也是中心对称图形D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形答案：C。

2020年中考九年级数学：解直角三角形专题复习题含答案

2020年中考九年级数学：解直角三角形专题复习题1、如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（取1.73，结果精确到0.1千米）2、某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．3、如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度（结果保留根号）4、如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）5、太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）6、南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732，=1.732，=1.414）7、如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B相距27米的C处，用高1.5米的测角仪DC测得纪念碑顶端A的仰角为47°，求纪念碑的高度（结果精确到0.1米）【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】8、南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．10、如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可以绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=10cm.(1)当∠AOB=18º时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）(2)保持∠AOB=18º不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到0.01cm)(参考数据：sin9º≈0.1564,com9º≈0.9877º,sin18º≈0.3090, com18º≈0.9511,可使用科学计算器)11、如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据： =1.414， =1.732）12、如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．请你计算出这片水田的面积．（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，≈1.732）13、据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．14、某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）15、某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所，秋千拉绳OB的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m（计算结果精确到0.1m）（1）当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h= m（2）某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？（参考数据：≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）16、在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O 的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r 至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？17、长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）18、测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）（1）若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；（2）若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．2020年中考九年级数学：解直角三角形专题复习题1、如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（取1.73，结果精确到0.1千米）1、解：过B作BE⊥AD于E，∵∠NAD=60°，∠ABD=75°，∴∠ADB=45°，∵AB=6×=4，∴AE=2．BE=2，∴DE=BE=2，∴AD=2+2，∵∠C=90，∠CAD=30°，∴CD=AD=1+．2、某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．2、解：如图，[来源:]过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．3、如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30°，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得旗杆顶端A的仰角为45°，请计算旗杆AB的高度（结果保留根号）3、解：由题意可得，CD=16米，∵AB=CB•tan30°，AB=BD•tan45°，∴CB•tan30°=BD•tan45°，∴（CD+DB）×=BD×1，解得BD=8，∴AB=BD•tan45°=（）米，即旗杆AB的高度是（）米．4、如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）4、解：（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=，则=，解得：x=20．即教学楼的高20m．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt△AME中，cos22°=．∴AE=，即A、E之间的距离约为48m5、太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）5、解：∵∠BDC=90°，BC=10，sinB=，∴CD=BC•sinB=10×0.59=5.9，∵在Rt△BCD中，∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣36°=54°，∴∠ACD=∠BCD﹣∠ACB=54°﹣36°=18°，∴在Rt△ACD中，tan∠ACD=，∴AD=CD•tan∠ACD=5.9×0.32=1.888≈1.9（米），则改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米．6、南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732，=1.732，=1.414）6、解：过B作BD⊥AC，∵∠BAC=75°﹣30°=45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°，由勾股定理得：BD=AD=×20=10（海里），在Rt△BCD中，∠C=25°，∠CBD=75°，∴tan∠CBD=，即CD=10×3.732=52.77048，则AC=AD+DC=10+10×3.732=66.91048≈67（海里），即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．7、如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B相距27米的C处，用高1.5米的测角仪DC测得纪念碑顶端A的仰角为47°，求纪念碑的高度（结果精确到0.1米）【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】7、解：作DE⊥AB于E，由题意得DE=BC=27米，∠ADE=47°，在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=27×1.072=28.944米，AB=AE+BE≈30.4米，答：纪念碑的高度约为30.4米．8、南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．8、解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°．设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，可得BD=x，又∵BC=20（1+），CD+BD=BC，即x+x=20（1+），解得：x=20，∴AC=x=20（海里）．答：A、C之间的距离为20海里．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．9、解：（1）∵AD=2CD，AC=3，∴AD=2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，∴∠A=∠B=45°，AB===3，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，∴AE=AD•cos45°=2×=，∴BE=AB﹣AE=3﹣=2，即线段BE的长为2；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，∴EH=BH=BE•cos45°=2×=2，∵BC=3，∴CH=1，在Rt△CHE中，cot∠ECB==，即∠ECB的余切值为．10、如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可以绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=10cm.(1)当∠AOB=18º时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）(2)保持∠AOB=18º不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到0.01cm)(参考数据：sin9º≈0.1564,com9º≈0.9877º,sin18º≈0.3090, com18º≈0.9511,可使用科学计算器)10、解(1) 图，作OC⊥AB，∵OA=OB, OC⊥AB，∴AC=BC, ∠AOC=∠BOC=∠AOB=9°, 在Rt⊿AOC 中，sin∠AOC = , ∴AC≈0.1564×10=1.564, ∴AB=2AC=3.128≈3.13.∴所作圆的半径是3.13cm.(2)图2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交OB于点C,作AD⊥BC于点D;∵AC=AB, AD⊥BC，∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD=∠BAC,∵∠AOB=18°,OA=OB ,AB=AC,∴∠BAC=18°, ∴∠BAD=9°,在Rt⊿BAD 中， sin∠BAD = ,∴BD≈0.1564×3.128≈0.4892,∴BC=2BD=0.9784≈0.98∴铅笔芯折断部分的长度约为0.98cm.11、如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据： =1.414， =1.732）11、解：由题意得，AH=10米，BC=10米，在Rt△ABC中，∠CAB=45°，∴AB=BC=10，在Rt△DBC中，∠CDB=30°，∴DB==10，∴DH=AH﹣AD=AH﹣（DB﹣AB）=10﹣10+10=20﹣10≈2.7（米），∵2.7米＜3米，∴该建筑物需要拆除．12、如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．请你计算出这片水田的面积．（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，≈1.732）12、解：作CM⊥BD于M，如图所示：∵∠A=90°，∠ABD=60°，∴∠ADB=30°，∴BD=2AB=400m，∴AD=AB=200m，∴△ABD的面积=×200×200=20000（m2），∵∠CMB=90°，∠CBD=54°，∴CM=BC•sin54°=300×0.809=242.7m，∴△BCD的面积=×400×242.7=48540（m2），∴这片水田的面积=20000+48540≈83180（m2）．13、据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．13、解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m，在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m，∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m，则B，C的距离为20m；（2）根据题意得：20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．14、某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）14、解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示：在Rt△DHC中，∠DCH=60°，CD=4，则CH=CD•cos∠DCH=4×cos60°=2，DH=CD•sin∠DCH=4×sin60°=2，∵DH⊥BG，∠G=30°，∴HG===6，∴CG=CH+HG=2+6=8，设AB=xm，∵AB⊥BG，∠G=30°，∠BCA=45°，∴BC=x，BG===x，∵BG﹣BC=CG，∴x﹣x=8，解得：x≈11（m）；答：电线杆的高为11m．15、某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所，秋千拉绳OB的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m（计算结果精确到0.1m）（1）当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h= m（2）某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？（参考数据：≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）15、解：（1）在Rt△ANO中，∠ANO=90°，∴cos∠AON=，∴ON=OA•cos∠AON，∵OA=OB=3m，∠AON=45°，∴ON=3•cos45°≈2.12m，∴ND=3+0.6﹣2.12≈1.5m，∴h=ND=AF≈1.5m；故答案为：1.5．（2）如图，过C点作CM⊥DF，交DF于点M，在Rt△CEO中，∠CEO=90°，∴cos∠COE=，∴OE=OC•cos∠COF，∵OB=OC=3m，∠CON=55°，∴OE=3•cos55°≈1.72m，∴ED=3+0.6﹣1.72≈1.9m，∴CM=ED≈1.9m，∵成人的“安全高度”为2m，∴成人是安全的．16、在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O 的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r 至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？16、解：（1）在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°，∴OC===100，∵OC=×100=50∴雷达的有效探测半径r至少为50海里．（2）作AM⊥BC于M，∵∠ACB=30°，∠CBA=60°，∴∠CAB=90°，∴AB=BC=30，在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°，∴BM=AB=15，AM=BM=15，∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15海里．（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，∵∠HBN=∠HNB=15°，∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°，∴HN=HB=2x，MH=x，∵BM=15，∴15=x+2x，x=30﹣15，∴AN=30﹣30，BN==15（﹣），设B军舰速度为a海里/小时，由题意≤，∴a≥20．∴B军舰速度至少为20海里/小时．17、长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）17、解：设DH=x米，∵∠CDH=60°，∠H=90°，∴CH=DH•sin60°=x，∴BH=BC+CH=2+x，∵∠A=30°，∴AH=BH=2+3x，∵AH=AD+DH，∴2+3x=20+x，解得：x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．18、测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°，（可用的参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）（1）若已知CD=20米，求建筑物BC的高度；（2）若已知旗杆的高度AB=5米，求建筑物BC的高度．18、解：（1）由题意可得：tan50°==≈1.2，解得：AC=24，∵∠BDC=45°，∴DC=BC=20m，∴AB=AC﹣BC=24﹣20=4（m），答：建筑物BC的高度为4m；（2）设DC=BC=xm，根据题意可得：tan50°==≈1.2，解得：x=25，答：建筑物BC的高度为25m．。

【2020精品中考数学提分卷】北京[数学][新定义题]+答案

代几综合1．（2020·东城二模）在平面直角坐标系xOy中，点P与点Q不重合.以点P为圆心作经过点Q的圆，则称该圆为点P，Q的“相关圆”.（1）已知点P的坐标为（2，0），①若点Q的坐标为（0，1）,求点P，Q的“相关圆”的面积；①若点Q的坐标为（3，n）,且点P，Q的“相关圆”，求n的值.（2）已知①ABC为等边三角形，点A和点By轴正半轴上.若点P，Q的“相关圆”恰好是①ABC的内切圆且点Q在直线y=2x上，求点Q的坐标.（3）已知①ABC三个顶点的坐标为：A（3-，0），B（92，03 2），点Q的坐标为（m,32）.若点P，Q的“相关圆”与①ABC的三边中至少一边存在公共点，直接写出m的取值范围.() ()()2．（2020•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，①ABC的顶点坐标分别是A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），对于①ABC的横长、纵长、纵横比给出如下定义：将|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x1|中的最大值，称为①ABC的横长，记作D x；将|y1﹣y2|，|y2﹣y3|，|y3﹣y1|中的最大值，称为①ABC的纵长，记作D y；将叫做①ABC的纵横比，记作λ=．例如：如图1，①ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，3），B（2，1），C（﹣1，﹣2），则D x=|2﹣（﹣1）|=3，D y=|3﹣（﹣2）|=5，所以λ==．（1）如图2，点A（1，0），①点B（2，1），E（﹣1，2），则①AOB的纵横比λ1=①AOE的纵横比λ2=；①点F在第四象限，若①AOF的纵横比为1，写出一个符合条件的点F的坐标；①点M是双曲线y=上一个动点，若①AOM的纵横比为1，求点M的坐标；（2）如图3，点A（1，0），①P以P（0，）为圆心，1为半径，点N是①P上一个动点，直接写出①AON的纵横比λ的取值范围．3．(2020·海淀二模)在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到两坐标轴的距离之和等于点Q 到两坐标轴的距离之和，则称P ，Q 两点为同族点．下图中的P ，Q 两点即为同族点．（1）已知点A 的坐标为（3-，1），①在点R （0，4），S （2，2），T （2，3-）中，为点A 的同族点的是； ①若点B 在x 轴上，且A ，B 两点为同族点，则点B 的坐标为；（2）直线l ：3y x =-，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，①M 为线段CD 上一点，若在直线x n =上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，求n 的取值范围；①M 为直线l 上的一个动点，若以（m ，0为半径的圆上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，直接写出m 的取值范围．4. (2020·朝阳二模)在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r(r＞0)的①O和点P，给出如下定义：若r≤PO≤32r，则称P为①O的“近外点”．（1）当①O的半径为2时，点A(4，0)，B (52-，0)，C(0，3)，D (1，-1)中，①O的“近外点”是；（2）若点E（3，4）是①O的“近外点”，求①O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径为2时，直线33y x b=+（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“近外点”，直接写出b的取值范围.5.（2020·房山二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(7，0).（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果①APB=45°，则称点P为线段AB的“等角点”.显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆.① 设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和①C的半径；①y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”?如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）当点P在y轴正半轴上运动时，①APB是否有最大值？如果有，说明此时①APB最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有，也请说明理由.6．（2020·顺义二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点M （1，1），N （1，-1），经过某点且平行于OM 、ON 或MN 的直线，叫该点关于①OMN 的“关联线”．例如，如图1，点P （3，0）关于①OMN 的“关联线”是：y =x +3，y =-x +3，x =3．（1）在以下3条线中，是点（4，3）关于①OMN 的“关联线”（填出所有正确的序号； ①x =4；①y =-x -5；①y =x -1．（2）如图2，抛物线n m x y +-=2)(41经过点A （4，4），顶点B 在第一象限，且B 点有一条关于①OMN 的“关联线”是y =-x +5，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，过点A 作AC ①x 轴于点C ，点E 是线段AC 上除点C 外的任意一点，连接OE ，将①OCE 沿着OE 折叠，点C 落在点C ′的位置，当点C ′在B 点关于①OMN 的平行于MN 的“关联线”上时，满足（2）中条件的抛物线沿对称轴向下平移多少距离，其顶点落在OE 上？7. （2020·丰台二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y′），给出如下定义：若()()⎩⎨⎧<-≥='00x y x y y ，则称点Q 为点P 的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为；（2）若点P 在函数162+-=x y 的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；（3）若点P 在函数162+-=x y （a x ≤≤-5）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′ 的取值范围是1616≤'≤-y ，求实数a 的取值范围.8．（2020·石景山二模）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(,)a b ，点P 的变换点P '的坐标定义如下：当a b >时，点P '的坐标为(,)a b -；当a b ≤时，点P '的坐标为(,)b a -. （1）点(3,1)A 的变换点A '的坐标是；点(4,2)B -的变换点为B '，连接OB ，OB '，则BOB '∠= °；（2）已知抛物线2(2)y x m =-++与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E .点P 在抛物线2(2)y x m =-++上，点P 的变换点为P '.若点P '恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP D '是菱形，求m 的值；（3）若点F 是函数26y x =--（42x --≤≤）图象上的一点，点F 的变换点为F '，连接FF '，以FF '为直径．．作①M ，①M 的半径为r ，请直接写出r 的取值范围.9．（2020·通州二模）我们规定：平面内点A 到图形G 上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d ，点A 到图形G 上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D ，定义点A 到图形G 的距离跨度为R =D -d .（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy 中，图形G 1为以O 为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G 1的距离跨度： A (1,0)的距离跨度；B (21-,23)的距离跨度；C (-3,-2)的距离跨度；①根据①中的结果，猜想到图形G 1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 .（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，图形G 2为以D (-1,0)为圆心，2为半径的圆，直线)1(-=x k y 上存在到G 2的距离跨度为2的点，求k 的取值范围。

【2020精品中考数学提分卷】北京[数学][阅读理解题]+答案

阅读理解题1. （2020·东城二模）佳佳想探究一元三次方程32220x x x +--=的解的情况. 根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与x 轴交点的横坐标即为一次方程0(0)kx b k +=≠的解；二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交点的横坐标即为一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解. 如：二次函数223y x x =--的图象与x 轴的交点为(1,0)-和(3,0)，交点的横坐标-1和3即为方程2230x x --=的解.根据以上方程与函数的关系，如果我们知道函数3222y x x x =+--的图象与x 轴交点的横坐标，即可知道方程32220x x x +--=的解.佳佳为了解函数3222y x x x =+--的图象，通过描点法画出函数的图象：（1）直接写出m 的值，并画出函数图象；（2）根据表格和图象可知，方程的解有_____个，分别为__________________；（3）借助函数的图象，直接写出不等式3222x x x +>+的解集.2．（2020•西城区二模）学习了《平行四边形》一章以后，小东根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．以下是小东探究过程，请补充完整：（1）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB∥CD，补充下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（写出一个你认为正确选项的序号即可）；（A）BC=AD （B）∥BAD=∥BCD （3）AO=CO（2）将（1）中的命题用文字语言表述为：∥命题1；∥画出图形，并写出命题1的证明过程；（3）小东进一步探究发现：若一个四边形ABCD的三个顶点A，B，C的位置如图所示，且这个四边形满足CD=AB，∥D=∥B，但四边形ABCD不是平行四边形，画出符合题意的四边形ABCD，进而小东发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．3．(2020·海淀二模)已知y是x的函数，该函数的图象经过A（1，6），B（3，2）两点．（1）请写出一个符合要求的函数表达式；x≥，该函数无最小（2）若该函数的图象还经过点C（4，3），自变量x的取值范围是0值．∥如图，在给定的坐标系xOy中，画出一个．．符合条件的函数的图象；Array∥根据∥中画出的函数图象，写出6x 对应的函数值y约为；（3）写出（2）中函数的一条性质（题目中已给出的除外）．4. (2020·朝阳二模)下面是小东的探究学习过程，请补充完整：（1）探究函数22222x x y x +-=-（x ＜1）的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数22222x x y x +-=-（x ＜1）的图象与性质进行了探究．∥下表是y 与x 的几组对应值．求m 的值；∥如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；∥进一步探究发现，该函数图象的最高点的坐标是（0，1），结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）： _____；（2）小东在（1）的基础上继续探究：他将函数22222x x y x +-=-（x ＜1）的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到函数22724x x y x +-=-（x ＜2）的图象，请写出函数22724x x y x +-=-（x ＜2）的一条性质：_____.5.（2020·房山二模）某班“数学兴趣小组”对函数xx y 1+=的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x 的取值范围是；（2）下表是y 与x 的几组对应数值：在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点. 根据描出的点，画出该函数的图象；（3）进一步探究发现：该函数在第一象限内的最低点的坐标是（1，2）．观察函数图象，写出该函数的另一条性质；（4）请你利用配方法证明：当x ＞0时，xx y 1+=的最小值为2．（提示：当x ＞0时，()2xx =，211⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x ）6．（2020·顺义二模）阅读下列材料：实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克／百毫升）随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低．小明根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y 是时间x 的函数，其中y 表示血液中酒精含量（毫克／百毫升），x 表示饮酒后的时间（小时）.下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y (毫克／百毫升)随饮酒后的时间x （小时）（x >0）的变化情况：饮酒后的时间x（小时） …4121 43 145 23 2 3456 …血液中酒精含量y （毫克／百毫升）…2175 150 2375 200 2375150 **** **** 422545 6225… 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出血液中酒精含量y 随时间x 变化的函数图象；（2）观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线x =23两侧可以用不同的函数表达式表示，请你任选其中一部分写出表达式．（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20∶00在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上6∶30能否驾车去上班?请说明理由．7.（2020·石景山二模）已知y 是x 的函数，下表是y 与x 的几组对应值小明根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出：∥1x =-对应的函数值y 约为；∥该函数的一条性质：．8．（2020·通州二模）有这样一个问题：探究函数x x y 2122-=的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数x x y 2122-=的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：（1）函数x x y 2122-=的自变量x 的取值范围是；（2）下表是y 与x 的几组对应值，求m 的值；x …-4-3-2 23--1 32- 32 1234… y…817 1831 23 3659 25 629 625 23 21- 1823- m …（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第二象限内的最低点的坐标是（-2，23），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）．（5）根据函数图象估算方程22122=-x x的根为．（精确到0.1）9.（2020·昌平二模）有这样一个问题：探究函数2)2(1-=x y 的图象与性质，小静根据学习函数的经验，对函数2)2(1-=x y 的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整：（1）函数2)2(1-=x y 的自变量x 的取值范围是__________；（2）下表是y 与x 的几组对应值.（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；（4）结合函数图象，写出一条该函数图象的性质：______________________________.10．（2020·平谷二模）小敏通过学习，知道了“在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，她猜想这个命题的逆命题为“在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”．为了证明这个命题的正确性，她画出了如图所示的图形．她又结合图形把这个命题理解为“在直角三角形ABC 中，∥ACB=90°，直角边BC 的长等于斜边AB 长的一半时，BC 所对的锐角∥A 的度数等于30°”．请你根据小敏的图形和理解，补全已知．．和求证．．，并完成证明．已知：在Rt∥ABC 中，∥ACB=90°，____________________________．求证：_____________________________________ ．小敏把自己的猜想与数学小组的同学们进行了交流，经过充分交流、研讨，得出了以下两种想法：想法一：取AB 中点D ，连结CD ，利用直角三角形斜边中线的性质使问题得到解决；想法二：沿AC 翻折∥ABC ，得∥ADC ，构造特殊的三角形，使问题得到解决．请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程．A11. （2020·怀柔二模）小明遇到这样一个问题：已知：1=-acb . 求证：042≥-ac b . 经过思考，小明的证明过程如下： ∥1=-acb ， ∥ac b =-. ∥0=+-c b a .接下来，小明想：若把1=x 带人一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ），恰好得到0=+-c b a .这说明一元二次方程02=++c bx ax 有根，且一个根是1-=x .所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：042≥-ac b .根据上面的解题经验，小明模仿上面的题目自己编了一道类似的题目：已知：24-=+bca . 求证：acb 42≥.请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程.12.（2020·门头沟二模）小鹏遇到这样一个问题，已知实数a 、b （0,0a b >>），请问2a b+-是否有最小值，如果有请写出最小值并说明理由.他找不到思路，开始翻阅笔记，发现此题可以用以前老师讲的“配方”来解决笔记中写到：求26+9xx +的最小值步骤如下： 22226+963(3)x x x x x +=++=+ ∥无论x 取任意实数，2(3)0x +≥ ∥26+9x x +的最小值是0（1）小鹏发现代数式23a -+可以用上面的方法找到最小值，请问最小值是多少，并说明理由；（2）小鹏通过笔记和问题（1）的方案很快解决了上面的问题，请你完成解答过程.阅读理解题1. （2020·东城二模）解：（1）0m =，画出函数的图象如下：（2）方程的解有三个，分别是-2，-1,1.（3）不等式的解集是2-11x x -＜＜或＞. …………5分2．（2020•西城区二模）解：（1）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB∥CD，则当∥BAD=∥BCD或AO=CO时，四边形ABCD是平行四边形；故答案为：B或C；（2）∥选择C，文字语言表述为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；故答案为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；∥已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD交于点O，AO=CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∥AB∥CD，∥∥ABO=∥CDO，∥BAO=∥DCO，∥AO=CO，∥∥AOB∥∥COD，∥AB=CD，又∥AB∥CD，∥四边形ABCD是平行四边形．（3）如图所示，四边形ABCD满足CD=AB，∥D=∥B，但四边形ABCD不是平行四边形．3．(2020·海淀二模)（1）答案不唯一，例如6yx=，28y x=-+，2611y x x=-+等；---------------2分（2）答案不唯一，符合题意即可；--------------------------- 4分（3）所写的性质与图象相符即可．--------------------- 5分4. (2020·朝阳二模)解:（1）∥当x=12时，y=34.∥34 m .∥该函数的图象如下图所示：∥答案不惟一，如：当x＜0时，y随x的增大而增大.（2）答案不惟一，如：函数图象的最高点坐标为（1,2）.5.（2020·房山二模）（1）x≠0 ；（2）（3）答案不唯一,如: x＞1时，y随x增大而增大；0＜x＜1时，y随x增大而减小；函数的图象经过第一、三象限；函数图象与坐标轴无交点（4）∵当x ＞0时，2xx ，21xx1x x∴221xxx x2222xx22xx……………………4分∵2xx≥0 ∴ 22xx≥2∴1xx≥2 即当x ＞0时，1y xx的最小值为6．（2020·顺义二模）解：（1）画图象．（2）y =-200x 2+400x 或xy 225=（3）把y =20代入反比例函数xy 225=得x =11.25．∴喝完酒经过11.25小时为早上7：15．∴第二天早上7：15以后才可以驾驶，6：30不能驾车去上班．7.（2020·石景山二模）（1）如右图．……………………… 2分（2）∥1.5（答案不唯一）．……………… 3分∥当2x 时，y随x的增大而减小；当2x≥时，y随x的增大而增大；yx–1–2123456–1–2–3–4–5–612345O当2x =时，y 有最小值为2-． ……（写出一条即可） ………………… 5分8．（2020·通州二模）（1）0≠x ………………………………..(1分) （2）815-………………………………..(2分) （3）图正确………………………………..(3分) （4）性质正确………………………………..(4分)（5）5.34-<<-x ；15.1-<<-x ；16.0<<x 中取值………………………..(5分)9.（2020·昌平二模）（1）2≠x ；…………………………………………1分（2）m=4；………………………………………………2分（3）………………………………4分（4）函数图象关于直线x=2对称（答案不唯一，正确即可）. ………5分10．（2020·平谷二模）（1）12BC AB =；∥A =30°．（2）想法一证明：取AB 中点D ，连结CD ．∥∥ACB =90°， ∥CD=AD=BD =12AB ．∥12BC AB =， ∥CD=BD=BC ．∥∥B =60°． ∥∥A =30°．想法二证明：沿AC 翻折∥ABC ，得∥ADC ． ∥∥ABC∥∥ADC ．∥BC=CD ，AB=AD ，∥ACD =∥ACB =90° ∥∥ACB +∥ACD =180°．∥D ，C ，B 三点在同一条直线上． ∥12BC AB =， ∥BD=AB=AD ． ∥∥B =60°． ∥∥BAC =30°．11. （2020·怀柔二模）解：∥42a cb +=-，∥42ac b +=-.∥420a b c ++=∥2x =是一元二次方程20ax bx c ++=的根.∥240b ac -≥，∥24b ac ≥A【2020年中考数学——精品提分卷】第 2 页 / 共 21 页 12.（2020·门头沟二模）（1）最小值是0理由：22223=(a a a -+-+=∥2(0a -≥∥23a -+的最小值是0.（2）最小值是0 理由：2222220,0a b a b a b +=+->>=+-=∵∴原式∥20≥。

2020中考数学辅导之—解直角三角形(含答案)

中考数学辅导之—解直角三角形（相关中考题）一、填空题1、在则的面积为_____。

2、在中，，AB上的中线CE＝5，BC＝6，那么BC在AB上的射影长为_____。

3、已知角的终边上一点P(x,2)，且sin=，则x＝_____。

4、已知角的终边经过点P(-,1)，则tg(1800-)＝_____。

5、在中，如果2sinC＝sin900，那么＝_____。

6、计算：＝_____。

7、已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P()，则sin＝_____。

8、在Rt中，已知＝900，BC＝3,AB＝3，那么＝_____度。

9、在中，D、E是AB上的点，CD⊥AB，，AD＝3，AC＝6，则BC的长是_____。

10、若ctg+1=0，且00＜＜1800，则＝_____。

11、CD是Rt的斜边AB上的高，AD＝9，DB＝4，则CD＝_____。

12、在中，若BA＝BC，＝1200，AC＝12，则BC＝_____。

13、一个人从A点出发向北偏东600方向走了一段距离到B点，再从B点出发，向南偏西150方向走了一段距离到C点，则的度数为_____。

14、如图1，＝900，，利用此图求得tg750＝_____。

15、在直角坐标系中，角的顶点在原点，它的始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P的坐标是()，那么cos＝_____。

16、若A是锐角，则＝_____。

17、已知角的终边经过点P(-4,3)，则＝_____。

18、在直角三角形中，若两直角边在斜边上的射影分别是4和6，则这个直角三角形的面积是_____。

19、如图2，D是的边AB上的点，且BD=2AD，若CD=4，，那么BC边上的高AE＝_____。

二、选择题1、在Rt中，，下列式子中不一定成立的是：A、sinA=sinBB、cosA=sinBC、sinA=cosBD、sin(A+B)=sinC2、在中，已知，则＝：A、 B、3 C、 D、3、直角三角形中，自锐角顶点所引的两条中线长为5和，那么这个直角三角形的斜边长为：A、4B、C、4D、24、在中，若＜0，则：A、A为锐角，B为钝角B、A为钝角，B为锐角C、A、B均为锐角D、A、B均为钝角5、如果，那么等于：A、300B、600C、1200D、15006、若是锐角，且cos=tg300，则：A、00＜＜300B、300≤＜450C、450＜＜600D、600≤＜9007、已知中，，的对边长为，的对边长为10，那么的度数为：A、300B、450C、600D、9008、在中，a、b、c分别为的对边的长，若则的形状是：A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形9、如图3，在Rt中，＝900，a、b分别是的对边，如果sinA:sinB=3:2，那么a:b等于：A、2:3B、3:2C、4: 9D、9:410、在Rt中，＝900，a、b、c分别为角A、B、C的对边的长，若a=6,B=300，则c和tgA的值分别为：A、 B、 C、 D、11、若互为补角，那么以下四个关系式中，不一定成立的是：A、＞0B、cos-cos＞0C、＝0D、cos＋cos＝012、是直角三角形的一个锐角，＞则：A、＞600B、＜600C、＞300D、＜30013、若00＜＜1800，且，则角的度数是：A、300B、600C、1500D、300或150014、在中，，AD⊥BC，若AB＝2AC，则BC与DC之间的关系为：A、BC=2DCB、BC=3DCC、BC=4DCD、BC=5DC15、已知Rt中，，斜边长为5，两直角边的长分别是x2-(2m-1)x+4(m-1)=0的根，则m的值等于：A、-1B、4C、-4或1D、-1或416、在中，，AC=1，，那么为：A、600B、600或1200C、300或1500D、30017、已知中，，CD是AB边上的高，则CD:CB等于：A、sinAB、cosAC、tgAD、ctgA18、如图4，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成600角，则拉线AC的长为：A、米B、米C、米D、19、如图5，在中，，P为AB上一点，，PQ⊥BC于Q，连结AQ，则等于：A、 B、 C、 D、20、在中，若＜0，则：A、不可能是钝角B、不可能是钝角C、不可能是钝角D、、、都不可能是钝角21、如图6，在Rt中，＝900，CD⊥AB，D为垂足，如果AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于：A、17B、5C、13D、922、已知一直角三角形的周长是，斜边上的中线长是2，则这个三角形的面积是：A、5B、C、D、123、若CD是Rt的斜边AB上的高，且AB＝25，BC＝20，则DB和CD的长分别为：A、16和9B、9和16C、16和12D、12和16三、解答题1、已知00＜＜1800，00＜θ＜1800，且，求的值。

【2020精品中考数学提分卷】北京[数学][原理依据题(几何)]+答案

原理依据题1．（2020·石景山一模）用尺规作图法作已知角AOB ∠的平分线的步骤如下：①以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交OB 于点D ，交OA 于点E ； ①分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在AOB ∠的内部相交于点C ；①作射线OC 。

则射线OC 为AOB ∠的平分线. 由上述作法可得OCD △①OCE △的依据是 A ．SAS C ．AAS B ．ASA D ．SSS答案：D2．（2020·朝阳一模）阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：请回答：小红的作图依据是______________________．到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线.3．（2020·西城一模）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l 和直线l 外一点P ．求作：直线l 的平行直线，使它经过点P ．作法：如图2．（1）过点P 作直线m 与直线l 交于点O ;（2）在直线m 上取一点A （OA ＜OP ），以点O 为圆心，OA 长为半径画弧，与直线l 交于点B ；（3）以点P 为圆心，OA 长为半径画弧，交直线m 于点C ，以点C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D ；（4）作直线PD ．所以直线PD 就是所求作的平行线．请回答：该作图的依据是．答案：三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等，同位角相等，两直线平行；两点请确定一条直线4．（2020·东城一模）下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程.已知：线段AB. 求作：以AB 为直径的⊙O .作法：如图，（1）分别以A ，B 为圆心，大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C ，D ；（2）作直线CD 交AB 于点O ； BA请回答：该作图的依据是．答案：垂直平分线的判定；垂直平分线的定义和圆的定义5．（2020·房山一模）在数学课上，老师提出如下问题：小云的作法如下：小云作图的依据是．答案：①四条边相等的四边形是菱形；菱形的对边平行；两点确定一条直线.① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行；两点确定一条直线.6．（2020·丰台一模）在数学课上，老师提出如下问题：小姗的作法如下：老师说：“小姗的作法正确”．请回答：得到①ABC 是等腰三角形的依据是：____________________________．答案：垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；16-1FK到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；有两条边相等的三角形是等腰三角形.7．（2020·海淀一模）下面是“作三角形一边中线”的尺规作图过程.已知：①ABC ．求作：BC 边上的中线AD ．作法：如图，（1）分别以点B ，C为圆心，AC ，AB 长为半径作弧，两弧相交于P 点；（2）作直线AP ，AP 与BC 交于D 点．所以线段AD 就是所求作的中线．请回答：该作图的依据是_____________________________________________________．答案：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分． 8.（2020·门头沟一模）在数学课上，老师布置了一项作图任务，如下：已知：如图16-1，在①ABC 中，AC AB =，请在图中的①ABC 内（含边），画出使 45APB ∠=︒的一个点P（保留作图痕迹），小红经过思考后，利用如下的步骤找到了点P ：（1）以AB 为直径，做①M ，如图16-2；（2）过点M 作AB 的垂线，交①M 于点N ；（3）以点N 为圆心，NA 为半径作①N ,分别交CA 、CB 边于F 、K ，在劣弧上任取一点P 即为所求点，如图16-3.说出此种做法的依据__________.PAB D CPABB C A 16-216-3答案：（1）直径所对的圆周角等于90° （2）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半9．（2020·平谷一模）小米是一个爱动脑筋的孩子，他用如下方法作∠AOB 的角平分线：作法：如图，（1）在射线OA 上任取一点C ，过点C 作CD ∥OB ；（2）以点C 为圆心，CO 的长为半径作弧，交CD 于点E ；（3）作射线OE ．所以射线OE 就是∠AOB 的角平分线．请回答：小米的作图依据是____________________________ ____________________________________________________．答案：两直线平行，内错角相等； ·········································································· 1 等腰三角形两底角相等； ················································································· 3 （其他正确依据也可以）． 10．（2020·顺义一模）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小凯的作法如下：老师说：“小凯的作法正确．”请回答：在小凯的作法中，判定四边形AECF是菱形的依据是______________________．答案：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（或有一组邻边相等的平行四边形是菱形．或四条边都相等的四边形是菱形．）11．（2020·通州一模）工人师傅常用角尺（两个互相垂直的直尺构成）平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同．．的刻度分别与点M，N重合.过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线.这样做的依据是：______________________．答案：SSS。

【2020精品中考数学提分卷】北京[数学][视图与展开图]+答案

主视图俯视图视图与展开图1．（2020·石景山一模）若某几何体的三视图如右图所示，则该几何体是A B C D答案：A2．右图是某个几何体的三视图，该几何体是（A）棱柱（B）圆锥（C）球（D）圆柱答案：D3．（2020·东城一模）下列哪个几何体，它的主视图、左视图、俯视图都相同A B C D答案：B4. （2020·房山一模）如图，A，B，C，D是四位同学画出的一个空心圆柱的主视图和俯视图，正确的一组是A B C D俯视图左视图主视图答案：D5．（2020·门头沟一模）右图是某几何体的三视图，这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．三棱锥D ．三棱柱答案：A6．（2020·平谷一模）右图是某几何体从不同角度看到的图形，这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．正三棱柱D ．三棱锥答案：A 7．（2020·西城一模）右图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）三棱柱（B ）长方体（C ）圆锥（D ）圆柱答案：B8．（2020·顺义一模）手鼓是鼓中的一个大类别，是一种打击乐器．如图是我国某少数民族手鼓的轮廓图，其俯视图是答案：A9．（2020·通州一模）右图是某个几何体的三视图，该几何体是 A ．圆锥 B ．四棱锥主视图左视图俯视图主视图左视图俯视图C ．圆柱D ．四棱柱答案：B 10．（2020·海淀一模）下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是A BC D答案：B11．（2020·丰台一模）在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁义礼智信孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是A ．义B ．仁C ．智D ．信答案：A。