《11.3角的平分线的性质》(2)导学案

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11.3角的平分线的性质说课稿

角的平分线的性质（二）一、教材的分析和处理本节课选自人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册，第十一章第三节内容“角的平分线的性质”。

1、教材的地位和作用角的平分线的性质是全等三角形知识的运用和延续，为后面证明线段相等、角相等的几何证明开辟了一种新的，更为简捷的方法。

同时也是轴对称图形的基础，并为解决九年级下册确定内切圆的圆心提供了依据。

本节分两个课时，我选的是第二课时。

本课时主要探究角的平分线的性质和判定，并能在此基础上进行简单的应用.教材不仅为学生动手操作、观察、思考、验证、交流等提供了较好的素材，使学生通过自主探究、合作交流等方式形成新的知识，更让学生学习了怎样从实际问题中建立数学模型，从而解决相关的实际问题。

2、教学目标知识与技能：掌握角的平分线的性质和判定，并会运用它们解决实际问题.过程与方法：通过让学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力.情感态度与价值观：经历对角的平分线的性质和判定的探索过程，发展应用数学知识的意识与能力，培养学生良好的学习态度及严谨的科学态度，体验探索过程中的乐趣与成功后的喜悦.3、教学重、难点重点：掌握角的平分线的性质和判定.难点：理解角的平分线的性质和判定的互逆关系，并能正确运用它们解决问题.4、教材的处理教材是围绕现实生活中的实际问题采用“创设问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的基本教学模式来展开教学活动。

让学生经历探索角的平分线的性质、判定的形成与初步的应用过程，从而能从理性逻辑思维的角度掌握性质和判定的区别与联系，达到真正的“学数学”和“用数学”。

二、教法、学法课堂教学利用引导，鼓励，赏识的教学方法充分调动学生的积极性，激发学生内在的动力，让他们主动的投入到学习中去，成为教学的主体和学习的主人，以获取最大限度的发展。

三、教学手段和教具准备教学手段：多媒体辅助教学，促进学生自主学习，提高学习效率.教具准备：学生各自准备一张三角形纸片.四、教学过程设计（1）创设情境、引入新知有两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，有一头小牛的家就建在小河交汇所成的角平分线上的A处。

初中数学教学课例《角的平分线的性质》教学设计及总结反思

证明后,教师强调经过证明正确的命题可作为定理.同时强调文字命题的证明步骤.。
3.合作交流。判断正误,并说明理由:： (1)如图 1,P 在射线 OC 上,PE⊥OA,PF⊥OB,则 PE=PF. (2)如图 2,P 是∠AOB 的平分线 OC 上的一点,E、F 分别在 OA、OB 上,则 PE=PF.。 (3)如图 3,在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P,若 P 到 OA 的距离为 3cm,则 P 到 OB 的距离边为 3cm。（4）例题讲解例 1 如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且 BD=CD, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E,F.。求证:EB=FC.。变题 1:如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于 E,F 在 AC 上,且 BD=DF,求证:CF=EB. 变题 2:如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线, DE⊥AB 于 E,BC=8,BD=5,求 DE.。教师用多媒体展示问题,学生观察识图,独立思考,
整个教学过程中始终大包大揽,没有放手让学生自主合
作,在教学中总是以我在讲为主,没有培养学生的能力。
对课堂所用时间把握不够准确,由于在开始的尺规
作图中浪费了一部分时间,当然这一环节时间的浪费与
我讲授尺规作图的方式不够合理是分不开的,以至于在
后面所准备的习题没有时间去练习,给人感觉这节课不
够完整。再就是课堂上安排的内容过多,也是导致前面
利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境,在这种情境下,通过思考和操作活动,研究数学现象的本质和发现数学规律.根据如今各学校实际教教学策略选学环境及本节课的实际教学需要,我选择电脑及投影仪择与设计多媒体教学系统辅助教学,另外借助一定的教学软件, 如“几何画板”,“Powerpoint”等将有关教学内容用动态的方式展示出来,让学生能够进行直观地观察,并留下清晰的印象,从而发现变化之中的不变.这样,吸引

角的平分线的性质导学案

角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质学习目标1.掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质.2.掌握角平分线的画法.自主学习阅读教材P48-49“两个探究”，掌握并理解三角形的三条角平分线的性质，掌握角平分线的画法，学生独立完成下列问题：(1) 叫做角的平分线.(2)角的平分线的性质是角的平分线上的点到角的两边的距离相等.它的题设是，结论是(1)如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长多少？解：15cm.(2)已知：如图，∠AOB.求作：∠AOB的平分线OC.作法：略.教师点拨：角平分线的性质是证明线段相等的另一途径，通常能使证明过程简略.其前提条件有两条，角平分线和垂直.合作探究小组讨论例1 已知：如图，直线AB及其上一点P.求作：直线MN，使得MN⊥AB于P.作法：略.例2 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE＝DF.证明：在△ABD与△ACD中，∵AB=A C，AD=AD，B D=CD，∴△ABD≌△ACD.∴∠BAD＝∠CAD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.教师点拨：先利用等腰三角形顶角平分线、底边上的中线互相重合证得AD为顶角平分线，然后运用角平分线的性质证DE=D F.拓展延伸1.已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC.(画出图形，并写出画法)解：作∠B的平分线交AC于点P.2.如图，已知△ABC内，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点P，且PD、PE、PF分别垂直于BC、AC、AB于D、E、F三点.求证：PD＝PE＝PF.证明：∵BP是∠ABC的平分线，PF⊥AB，PD⊥BC，∴PF=PD.同理证得PE=PD.∴PD=PE=PF.教师点拨：角平线的性质是证线段相等的另一途径.3.已知,如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°.试判断DE和DF的大小关系并说明理由.解：结论：DE=DF.(提示：过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，则DM⊥DN，再证△DME≌△DNF，∴D E=DF.)教师点拨：在已知角的平分线的前提下，做两边的垂线段是常用辅助线之一.课堂小结在本节中，在已知角平分线的条件下，常想到过角平分线上的点向角两边做垂线段的方法.在已知角平分线的条件下，也可想到翻折造全等的方法.。

11.3角平分线的性质(2)

P
M C
练习：已知：BD、CE分别是△ABC两个
外角的角平分线，BD、CE交于点P．
求证：点Ｐ到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
D C P A B E
例1 已知：如图，△ABC的角平分线 BM、CN相交于点P. 求证：点P在∠BAC的平分线上.
A
N B
P
M C
练习
求证：三角形三个内角的平分线交于一点.
角平分线的判定：已知：PD⊥OA于点D， PE⊥OB于点E， PD=PE，求证: 点P在∠AOB 的平分线上
A D C P O E B
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
例1 已知：如图，△ABC的角平分线 BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
A
N B
图2
O
D P E
C B
例
已知: CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， ∠1＝∠2，求证：OB＝OC.
C
E
1 2
O D B
A
已知：如图， BC OA于点 C、 AD OB 于点 D， BC和 AD相交于点 E，且 OE平分AOB。求证： EA EB
C E A B D O
练习、已知BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E， BD、CE交点F，CF＝BF，求证：点F在∠A的平分线上．
C D F A E B N M
角平分线的性质：
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
A D 1 2 O E B∵OC平分∠AOBC NhomakorabeaP
PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE
练习：如图1， ∵P是∠AOB的平分线 OC上任意一点， ∴ PD＝PE．(× )

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角的平分线的性质【学习目标】1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

【重点难点】1、角平分线的性质及其应用2、灵活应用两个性质解决问题【自主学习】1、复习思考（1）、画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？（2）、如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。

2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）3、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）【合作探究】1、比较角平分线的性质与判定D C B A2、如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，OB ＝OC ，求证∠1＝∠2【训练反馈】课本22页练习题【拓展延伸】如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180°小结这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流作业1、已知△ABC 中，∠A=60°，∠ABC,∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为2、下列说法错误的是（）A 、到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上B 、一条直线上有一点到已知角的两边的距离相等，则这条直线平分已知角C 、到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角D 、已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角3、到三角形三条边的距离相等的点是（）A 、三条中线的交点B 、三条高线的交点C 、三条边的垂直平分线的交点D 、三条角平分线的交点4、课本23页第6题小组评价：教师评价：【课后反思】教学反思1 、要主动学习、虚心请教，不得偷懒。

角平分线性质2

求证：
求证：
证明：
完成知识技能2：
1、认真阅读21页例题的解题过程并能独立完成。
2、思考点P在∠A的平分线上吗？你会证明吗？
3、由此说明三角形的三条角平分线有什么关系？
二、记录预习中存在的问题：
三、课堂学习：
（一）完善并整理自学内容
（二）以小组为单位合作交流自学中存在的问题
（三）汇报展示自学效果
（四）质疑与教师精讲
八年级数学导学案课题：11.3角的平分线的性质（2）
主备人：备课时间：月日学科领导签字：上课时间：月日
1分工预设
人员
分配
任务
2学情预设
3知识点：
学习目标：
1、掌握角平分线上点的判定。
2、能初步应用判定解决实际问题。
3、提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。
4、初步了解角的平分线的判定在生活、生产中的应用。
4关键点：
5易错点
6.拓展变式
7.注意问题
8.反思提高
重点：角平分线上点的判定的证明及运用
难点：角平分线上点的判定的探究
学习过程：
一自主学习完成知识技能1：
1、阅读教材第21页思考你想怎么做？
2、操作（保留作图痕迹）：
3、从上述操作中你能发现什么结论？试加以证明：
4、结论（文字描述）：
几何语言：
已知：
（五）课堂练习课堂练习（12分钟）
1、教材22页1题：2、22页练习：
（六）课堂小结：八）课堂检测（10分钟）
1．如图ll．3—9，且DE=CE，下列结论错误的是( )．
，，
2．如图11．3—10，已知0为的平分线的交点，0E_kAC于E，若0E=2
求0到AB与0到CD的距离之和．

角的平分线的性质(2)导学案

18.3角的平分线的性质(2)一、学习目标∙了解角平分线的性质，并运用其解决一些实际问题。

∙经历操作，推理等活动，探索角平分线的性质，发展空间观念，在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。

教学重点：三角形三条角平分线的性质定理教学难点：掌握三角形三条角平分线的性质定理并进行证明。

二、自主学习1．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为. 2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（）A、4㎝B、6㎝C、10㎝D、不能确定三、引领学习1．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。

求证：AD是△ABC的角平分线。

2．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC.3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.4、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )A.一处B. 两处C.三处D. 四处5、如图在中，AD是的平分线，E，F分别是AB，AC上的点，且，求证DE=DF。

CBAPD BA四、学习反馈1. 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥AO ， ED ⊥BO ，垂足分别是C 、D ．求证： ∠EDC ＝∠ECD ．2. 如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，P 是对角线AC 上一点，求证：PB=PC 。

八年级数学角的平分线的性质导学案人教新课标版

八年级数学角的平分线的性质导学案人教新课标版11、3 角的平分线的性质(1)学习什么通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理、怎样学习经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法、学习或教学笔记教学程序一、练习回顾：二、自主学习：已知：∠AOB、求法：∠AOB的平分线、作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N、（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C、（3）作射线OC，射线OC•即为所求。

如下图，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等、”证明如下：已知：∠AOC=∠BOC，点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E。

求证：PD=PE、证明：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上、三合作探究【例】如课本图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P•到三边AB，BC，CA的距离相等、证明：注意：因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们、所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理、如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写、四学习测评：1、已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE、求证：点P在∠AOB的平分线上、证明：2、△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F、求证EB=EC、3、如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC、求证∠１＝∠２、课后反思。

人教版-数学-八年级上册-11.3角的平分线的性质导学案

11.3角的平分线的性质学习目标、重点、难点【学习目标】1、熟练掌握角平分线的尺规作图．2、能应用三角形全等的知识，解释尺规作角平分线的原理．3、掌握几种基本的三角形作图．【重点难点】1、利用尺规作已知角的平分线．2、角平分线的性质.知识概览图新课导引如右图所示，需在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且使集贸市场离公路与铁路交叉点A 处500米．则这个集贸市场应建在何处(在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000)?【问题探究】要使集贸市场到公路、铁路的距离相等，则可连接S区与公路、铁路的交叉点，利用三角形全等的知识找到两个全等的直角三角形，进而找到集贸市场的位置，可证出连接集贸市场与公路、铁路交叉点A 的直线平分公路与铁路的夹角，问题可求．【解析】作出公路与铁路夹角的平分线，以其顶点为端点，作出一条长为2．5厘米的线段，则这条线段的另一端点即为所求．教材精华知识点１角平分线的作法已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线．作法：(1)以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ．(2)分别以M ，N 为圆心，大于21MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C ．(3)画射线OC ，射线OC 即为∠AOB 的平分线．拓展 (1)这是最常见的尺规作图，也是最基本的作图之一，必须掌握．(2)类比这种方法，利用直尺和圆规可作出过直线上一点且和这条直线垂直的直线．(3)以大于21MN 的长为半径画弧中，大于21MN 的条件不可少，若以小于21MN 的长为半径画弧，则两弧没有交点．确定不出C 的位置，若以等于21MN 的长为半径画弧，则两(条件) 点在角的平分线上 (结论) (结论) 点到角的两边的距离相等 (条件)判定性质弧相切，不易精确找出点C 的位置，也无法作出角平分线．知识点2角的平分线的性质及其推导角的平分线上的点到角的两边的距离相等．如图11-80所示，OC 是∠AOB 的平分线，点P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，则PD ＝PE ．角的平分线的性质的推导．如图11-80所示，点P 是∠AOB 的平分线OC 上的一点，PD ⊥OA 于D ．PE ⊥OB 于E ，求证PD ＝PE ．证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC ＝∠BOC ．∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°．在△PDO 和△PEO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,OP OP BOC AOC PEO PDO∴△PDO ≌△PEO (AAS)∴PD ＝PE ．知识点3 角平分线的判定及其推导角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(1)角平分线的判定可帮助我们证明角相等，使证明过程简化，需要注意的是：在推导过程中应注意垂直关系的书写．指明垂直线段，并由垂线段相等直接得到角相等．而不必再去证明三角形全等了．(2)角平分线可以看做是到角的两边距离相等的点的集合．(3)三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等．规律方法小结 (1)角平分线的性质及判定的关系：点在角的平分线上判定性质点到角的两边的距离相等．(2)对于角的平分线的性质及其判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的交换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证两角相等的依据．知识点4 证明一个几何命题的步骤1．明确命题中的已知和求证．2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．3．分析思路，并写出证明过程．探究交流如图11-81所示，点P是∠AOB的平分线OC上的一点，且DP⊥OC，EP⊥OC，点D，E分别在OA，OB上，则PD＝PE吗?PD，PE是点P到∠AOB的两边的距离吗?解析PD，PE不是点P到∠AOB的两边的距离，点到射线OA．OB的距离应该是垂足在OA，OB上，而不是如图11-81所示的那样，但是，尽管PD，PE不是点P到OA，OB的距离，依然存在PD＝PE．试着推导一下吧!要仔细读图哟!拓展利用角平分线的性质可直接推导与角的平分线有关的两条线段相等，但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写，同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，可直接得到垂线段相等，不必再证两个三角形全等而走弯路．课堂检测基础知识应用题1、在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若DC＝6，则D点到AB的距离是．2、如图11-85所示，三条直线l1，l2，l3相互交叉，交点分别为A，B，C，在平面内找一个点．使它到一条直线的距离相等，则这样的点共有( )A．三个B．两个C．一个D．四个综合应用题3、如图11-87所示，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于点O，OB＝OC．求证AO平分∠BAC．探索创新题4、如图11-90所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，BD平分∠ABC，求证∠A＋∠C＝180°．体验中考1、如图11-93所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC 于点D，BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为．2、八(1)班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角(如图11-95所示)．设计了如下方案：(Ⅰ)∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．(Ⅱ)∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N重合，即PM＝PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．(1)方案(Ⅰ)，方案(Ⅱ)是否可行?若可行，请证明；若不可行，请说明理由．(2)在方案(Ⅰ)PM＝PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行?请说明理由．学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、6. 本题主要考查角平分线的性质．由题意可画出如图11-83所示的图形，∵∠C ＝90°，∴DC ⊥AC ．作DE ⊥AB 于E ，则点D 到AB 的距离是线段DE 的长，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DC ＝DE ．又∵DC ＝6，∴DE ＝6．∴D 点到AB 的距离是6．故填6．2、分析本题主要考查角平分线的判定．如图11-85所示，此点可以在△ABC 的内部，也可以在△ABC 的外部．若在△ABC 的内部，则为两内角平分线的交点；当在△ABC 的外部时，可以为两内角的邻补角的平分线的交点(或一个内角平分线与另两个内角中的一个内角的邻补角的平分线的交点)．故选D ．【解题策略】到三角形三边距离相等的点应在三角形的三条角平分线的交点处，但应注意题设中“三边所在直线”中直线的特征，因而还应注意从三角形外角平分线进行分析．3、分析要证∠1＝∠2，已知OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，则只需证OD ＝OE ，而OD ，OE 分别是△ODB 和△OEC 的边，由已知OB ＝OC ，易证得△ODB ≌△OEC ．证明：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC (已知)，∴∠ODB ＝∠OEC ＝90°(垂直的定义)．在△ODB 和△OEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,OC OB OEC ODB COE BOD∴△ODB ≌△OEC (AAS)，∴OD ＝OE ．又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ．∴∠1＝∠2，即AO 平分∠BAC ．【解题策略】利用角平分线的判定解决具体问题时，应强调“角的内部的点到角两边的距离相等”这一特征，否则就不能认为这点在角平分线上．4、分析从条件BD 为∠ABC 的平分线入手，联想到过D 作∠ABC 两边的垂线，可建立∠A 与∠C 的关系．证明：过D 作DE ⊥BA 交BA 的延长线于E ，过D 作DF ⊥BC 于F ．∵BD 平分∠ABC ，∴DE ＝DF ．在Rt △EAD 与Rt △FCD 中，⎩⎨⎧==,,CD AD DF DE ∴Rt △EAD ≌Rt △FCD (HIL)，∴∠EAD ＝∠C ．∵∠EAD ＋∠BAD ＝180°，∴∠C ＋∠BAD ＝180°．【解题策略】解与角平分线的性质和判定方法有关的综合题时，应注重分析题目特点，通过适当添加辅助线，挖掘其中隐含的条件，获得问题的答案．体验中考1、分析本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．过D 作AB 的垂线交AB 于E ．由于DC ⊥AC ，AD 是∠BAC 的平分线，所以DE ＝CD ．由BC ＝10．BD ∶CD ＝3∶2，可得CD ＝4，所以DE ＝4．即点D 到线段AB 的距离为4．故填4．2、分析本题是一道探究性综合题，主要考查角平分线的判定以及三角形全等的判定．解：(1)方案(Ⅰ)不可行，因为在PM ＝PN 的条件下，再加上隐含条件OP ＝OP ，仍不能判定△OPM ≌△OPN ，所以不可行．方案(Ⅱ)可行．理由如下：在△OPM 和△OPN 中，⎪⎩⎪⎨⎧===,,,OP OP ON OM PN PM∴△OPM ≌△OPN (SSS)．∴∠POM ＝∠PON ，即OP 是∠AOB 的平分线．(2)可行．理由如下：在Rt △POM 和Rt △PON 中，⎩⎨⎧==,,OP OP PN PM ∴Rt △POM ≌Rt △PON (HL)．∴∠POM ＝∠PON ，即OP 是∠AOB 的平分线．。

11.3角的平分线的性质导学案

教学三维目标：
知识与技能：会应用角平分线的性质和判定解决相关的问题．
过程与方法：通过对具体问题的分析培养学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：进一步发展学生的推理证明意识和能力．
重点：角平分线的性质和判定的应用．
难点：运用角平分线性质和判定进行推理及解决实际问题．
教学环节
一、知识回顾：
1、角平分线的性质是什么？请用数学语言表达。2、角平分线的判定有哪些？请用数学语言表达。
A
B
C
P
E
F
二、角平分线的判定：
1、用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P,画射线OP，则OP平分∠AOB。为什么？
P
O
A
MN2、在△ABC中，是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证：AD是△ABC的角平分线。
3、如图，在△ABC中,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D，E,BE、CD相交于点O,OB=OC.求证：∠1=∠2。
E
D
C
B
A
O
O
通钢二中__八____年级__数学____学科导学案
时间：教师：
三、角平分线性质的应用：
1、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E,PF∥AC交BC于相交于F.求证：点D到PE的距离与D到PF得的距离相等。
课题：11.3角的平分线性质习题课
课时：一课时
课标及学情分析：
课标分析：课程标准要求，了解角平分线性质。在教学过程中，探索角平分线性质并掌握角平分线性质，与实际联系进行综合应用。
学情分析：学生已经学习了角平分线的性质及判定，通过具体问题的分析和解决，让学生更深刻的理解角平分线的性质和判定，并能解决实际问题。对于学困生，我相信在小组的带动下会跟上。

角的平分线的性质2 教案

11.3 角的平分线的性质（第2课时）【课题】：角的平分线的性质（2）(平行班)【设计与执教者】：增城市新塘一中，刘宝芝，liu_baozhi@【教学时间】：45分钟【学情分析】：注重联系实际，通过确定集贸市场的位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。

同时注意学生应用结论进行证明时的严格性与规范性。

【教学目标】：（1）知识与技能目标：掌握角的平分线的两个性质；能应用角的平分线的性质解决一些简单的实际问题。

（2）过程与方法目标：通过探索集贸市场的位置加深学生对角的平分线的性质的理解。

引导学生从数学的视角观察客观世界，用数学的思维思考客观世界，以数学的语言描述客观世界。

（3）情感与态度目标：利用角的平分线的性质探索集贸市场的位置，使学生的求知欲望得到激发，使学生通过应用已学知识解决身边的问题，提高学生学习数学的兴趣。

【教学重点】：角的平分线的性质的运用及运用【教学难点】：角的平分线的性质的探究【教学突破点】：通过实际生活中的例子对比角的平分线的两个性质。

【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入问题1.一个S区有一个集贸市场，在公路与铁路所成的角平分线上的P点，要从P点建两条路，一条到公路上，另一条到铁路上，怎样修建距离最短？这两条路有什么关系？画出来看一看？问题2.以上我们运用了什么知识点？角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题3.那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。

角的平分线的性质》(2)导学案

P N M C B A 课题：《11.3角的平分线的性质》（2）导学案1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2、能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．教学重点：角平分线的性质及其应用教学难点: 灵活应用两个性质解决问题。

【学习过程】一、自主学习1、复习思考（1）、画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？（2）、如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。

2、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）3、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５00米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）二、合作探究1、比较角平分线的性质与判定D C B A2、如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，OB ＝OC ，求证∠1＝∠2三、学以致用22页练习题四、能力提高(*)如图，在四边形ABCD 中，BC >BA ，AD =DC ,BD 平分∠ABC ,求证：∠A +∠C =180°五、课堂小结这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流六、作业1、已知△ABC 中，∠A =60°，∠ABC ,∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为2、下列说法错误的是（）A 、到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上B 、一条直线上有一点到已知角的两边的距离相等，则这条直线平分已知角C、到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角D、已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角3、到三角形三条边的距离相等的点是（）A、三条中线的交点B、三条高线的交点C、三条边的垂直平分线的交点D、三条角平分线的交点4、课本23页第6题。

人教版八年级数学上册-角的平分线的性质角平分线的性质导学案

12.3 角的平分线的性质第1课时角平分线的性质一、教学目标（一）知识与技能1.会作已知角的平分线；2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算.（二）过程与方法在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角的平分线的性质的证明及应用；难点：角的平分线的性质的探究.三、教法学法三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式.（一）激情导课如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？二、温故知新如图1，在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．求证：（1） Rt△MOC≌Rt△NOC（2）∠MOC=∠NOC．图1 三、自主探究合作展示探究（一）1、依据上题我们应怎样平分一个角呢？2、思考:把上面的方法改为“在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON ，使MC=NC ，连接OC ，则OC 即为∠AOB 的平分线。

”结论是否仍然成立呢？3、受上题的启示，我们可以制作一个如图2所示的平分角的仪器：其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？探究（二）思考：如何作出一个角的平分线呢？已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC 即为所求．请同学们依据以上作法画出图形。

角的平分线的性质

11.3 角的平分线的性质（二）【教学目标】1．知识与能力：利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质和判定定理，使学生能够利用其解决相应的问题．2．过程与方法：在探索问题的过程中体会知识间的关系，能够进行有条理的思考，并进行简单的推理．3．情感、态度与价值观：（1）使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；（2）让学生体验数学来源于生活，服务于生活的辩证思想．【教学重点】探究角平分线的性质，能够利用其解决相关实际问题．【教学难点】性质的得出过程．【教学方法】创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．【教学过程】一提出问题引起思考问题要在S区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路的交叉处500米．这个集贸市场应建于何处（比例尺为1:20000）？学生活动设计：学生小组合作，在独立思考的基础上小组交流，发现若到公路、铁路的距离相等，则集贸市场一定在上述角的平分线上，于是可以用尺规作出角平分线，然后根据比例尺画出集贸市场所在地即可．教师活动设计：组织学生思考、讨论、交流，引导学生发现集贸市场所在地应在角平分线上这个结论．铁路公路S二探究角平分线的判定定理。

我们已经知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么若一个点到角两边的距离相等，这个点是否在这个角的平分线上呢？⎧⎫⎨⎬⎩⎭已知：一点到角两边的距离相等一.求证：这一点在角平分线上二．用数学符号表示已知求证。

如图，已知PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,且PD =PE ，那么P 点在∠AOB 的平分线上吗？为什么？EOPDBA三．经过分析，找出已知推出求证的途径，写出证明过程。

证明：,,t t ()()t PD AO PE OB PDO PEO R R PDO PEO PD PE PO PO R PDO PEO DOP EOP P AOP ⊥⊥∴=⎧⎫⎨⎬=⎩⎭≅∴∠=∠∴∠ 是三角形在和Rt 中已知公共边Rt （HL ）在的角平分线上学生活动设计：学生独立思考，自主探索，利用三角形全等解决问题．考虑连接OP ，由条件OP=OP ，PD=PE ，可以判断Rt △OPD ≌Rt △OPE ，于是得到∠DOP =∠EOP ，即OP 平分∠AOB ．教师活动设计：引导学生对所得出的结论进行推理，在推理的过程中注重学生语言的准确性和简洁性，最后归纳：到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．〔解答〕略三知识应用例题1.解决课前提出的问题一公路问题。

初中数学导学案2：角的平分线的性质

角的平分线的性质课题角的平分线的性质课时本学期第课时日期课型新授主备人复备人审核人学习目标1、会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明．2、经历探索角的平分线的性质的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．重点难点重点：角的平分线的性质难点：角的平分线的性质的运用．教学流程师生活动时间一、复习：判定全等三角形的方法？二、合作探究（周围同学配合）1.不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。

你有什么办法？再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？2.如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？3.如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。

将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗?三、精讲精练1、精讲（1）由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法复习师提出问题，学生动手操作，比照，增加生活情景体验215已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线.作法:⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.⑵分别以M,N为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于点C.⑶作射线OC,射线OC即为所求.探究角平分线的性质(2)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.（3）已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE（4）你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？角平分线上的点到角的两边的距离相等(你能用数学符号表示吗？)2、精练在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？⑵哪条线段与DE相等？为什么？⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长。