建筑力学 十一章 位移

第十一章 梁弯曲时的位移
§11-1 梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成 平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直 于x轴方向的线位移w称为挠度，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角。
第十一章 梁弯曲时的位 移
弯曲后梁的轴线——挠曲线为一平坦而光滑的曲线， 它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程。由于梁变形 后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q 也就 是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转

梁在纯弯曲时微段的应变能： dx M dq dx EI 由
dV 1 2 M ( x )dq 1 2 M(x) M(x) EI dx
FN ( x )
2
整个杆件的弯曲变形位能： V 2EA 杆件发生轴向拉伸、压缩、剪切等 形式的变形时， V M ( x ) dx

l
这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
第十一章 梁弯曲时的位移
在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还
有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产
生影响。 但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h的10倍， 此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有
x
第十一章 梁弯曲时的位移
该梁的边界条件为 在 x=0 处 w=0，
在 x=l 处
w=0
于是有
C2 0
及
4 4 ql l EIw | x l 6 12 C 1 l 0 2
即
从而有 转角方程 挠曲线方程
C1
ql
3
24
， C2 0
q w
C 1 EI w | x 0 EI q 0
C 2 EIw | x 0 EIw
0
第十一章 Leabharlann 弯曲时的位移例题11-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程， 并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
第十一章 梁弯曲时的位移
解：该梁的弯矩方程为
M x ql 2 x 1 2 qx
的转角方程和挠曲线方程。
第十一章 梁弯曲时的位 移
要确定这些积分常数，除利用支座处的约束 条件外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条 件。 ——这两类条件统称为边界条件。
边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图 所示。
第十一章 梁弯曲时的位移
例题11-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
3
768 EI ql
3

3
q A q A1 q A 2
ql
3
ql
3
3 ql

3

48 EI
384 EI
128 EI 7 ql
q B q B1 q B 2
48 EI
384 EI
384 EI
求梁和位移的方法有：



梁的挠曲线近似微分方程及其积分； 叠加法 单位位移法 图乘法——力法基础
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
第十一章 梁弯曲时的位移
解：该梁的弯矩方程为
M x F l x
挠曲线近似微分方程为
EI w M x F l x
以x为自变量进行积分（两次）得
x F lx EI w C 2
1
x

M x EI
第十一章 梁弯曲时的位 移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1 w
x

1 w
2 3/2
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线 (挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方 向的变化率，是有正负的。

Fl
2

3
Fl
2

3

2 EI Fl
2 EI Fl
2 EI
6 EI
3 EI

第十一章 梁弯曲时的位移
由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程
进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数
是有其几何意义的：
C 1 EI w | x 0 EI q 0 C 2 EIw | x 0 EIw
第十一章 梁弯曲时的位移
重要！
正负号规定：在图示坐标系中——
挠度w向下为正，向上为负； 转角q顺时针转向为正，逆时针转向为负。
第十一章 梁弯曲时的位移
§11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出 在前曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中
性层的曲率为

1


M EI
§11-4 单位荷载法
一.实功与虚功


实功——力在自己引起的位移上做的功。 虚功——力在别的荷载或其它外在因素（如温度改变、支座 移动）引起的变形上做的功。 虚功中作功的两个因素与位移彼此无关。
二.线变形位能

构件变形时，积蓄了变形位能V 。 着重讨论弯曲构件变形位能，并利用功能原理 来求梁在简单荷载情况下的位移。
第十一章 梁弯曲时的位 移
再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w" ，正弯矩对 应于负值的w" ，故从上列两式应有 w M x
1 w
2 3/2

EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略 M x 去，于是得挠曲线近似微分方程
w EI
弯矩总是与w’的正负号相反。
第十一章 梁弯曲时的位移
当全梁各横截面上的弯矩
可用一个弯矩方程表示时(例如
图中所示情况)有
EI w M x d x C 1
EIw
M x d x d x C x C
1
2
以上两式中的积分常数C1， C2由边界条件确定后即可得出梁
第十一章 梁弯曲时的位移
例题11-5 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截
面挠度 wC 和两支座截面的转角qA 及 qB。
(a)
解：此梁 wC 及qA，qB 实际上可不按叠加原理而直接
的公式得出。
这里是作为灵活运用叠加原理的例子，假设没有可直
接利用的现成公式来讲述的。
第十一章 梁弯曲时的位移
梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作
用而跨长为 l/2 的简支梁。于是有
q A2 q B2
q / 2 l / 2 3
24 EI

ql
3


384 EI
第十一章 梁弯曲时的位移
按叠加原理得
4 4
wC wC1 wC 2
5 ql
0
5 ql
768 EI ql
dx
2

l
2EI
三．单位荷载法
——计算构件和结构位移的基本方法之一 是应用外力的功和变形位能的概念建立的。


变形位能在数值上等于 外力在变形过程中所做的功

为求得线位移，在点k沿线位移方向施加单位力F=1

注意：M为单位里作用下梁的弯矩方程。
叠加F作用、F=1作用——
对轴力构件，位移公式：
§
补充：
先了解——结构的变形与位移


变形——结构在荷载作用下其形状将会发生改变， 结构的形状改变称为~。 位移——结构由于变形，其结点与截面位置随之发 生移动和转动，这种移动和转动称为结构的位移。
再看——产生变形 的原因
荷载、温度改变、支 座移动、材料收缩 和制造误差等。
了解——位移的类型：

0
此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0， 因而也有C1=0 ，C2=0。
第十一章 梁弯曲时的位移
事实上，当以x为自变量时
EI w M x d x C 1 EIw [ [ M x d x ] d x C 1 x C 2
两式中的积分在坐标原点处(即x=0处)总是等于零，从而有
w qx 24 EI
q 24 EI
l
3
6 lx
2
2
4x
3

l
3
2 lx
x
3

第十一章 梁弯曲时的位移
根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相
等，且均为最大值，故
q max q A q B
ql
3
24 EI
最大挠度在跨中，其值为
w max w | x l

Fx l 2 EI

Fx
6 EI
根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，
以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。
第十一章 梁弯曲时的位移
可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有
q max q | x l
w max w | x l Fl EI Fl
3 2
作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面 C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。
(a)
(b)
第十一章 梁弯曲时的位移
C
在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材 表11-1公式有
wC1 5 q / 2 l 384 EI
4
ql
5 ql
4
768 EI
3


q A1
q / 2 l 3