直线与双曲线的位置关系1
直线与双曲线位置关系
直线与双曲线位置关系一、教学目标：1.掌握直线与双曲线的位置关系．2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．3.了解与双曲线有关的应用问题.二、教学重点、难点：1.对双曲线方程和性质的应用是本课时的重点和难点；2.本课时内容常与方程、函数、不等式以及平面向量结合命题，而且命题形式灵活，各种题型均有可能出现.三、教学方法：一学，二记，三应用四、知识梳理：1判别式∆.2.直线与双曲线位置关系的有关结论(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点，两条切线和两条与渐近线平行的直线；(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点，一条切线和两条与渐近线平行的直线；(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点，两条与渐近线平行的直线．3．直线与双曲线相交所得的弦长公式：设直线方程y =kx +m 与双曲线22a x +22by = 1(或22a y +22b x =1,其中a >b >0)交于P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2),则 | P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-=])(1[)(21212212x x y y x x ----=21k +|x 2- x 1| 或 | P 1P 2|=211k +|y 2-y 1| 五 五.课前测试：1．若圆3)1()3(22=-+-y x 与双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）A ．332 B ．27 C ．2 D ．72．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是 ( )A ．8 B ．9 C ．10 D ．123．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )(A) (－153，153) (B) (0，153) (C) (－153，0) (D) (－153，－1) 六、典例剖析题型一 直线与双曲线的位置关系例1 （1）（几何法）(2019·广东惠州二调)过点P (2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条（2）（代数法）若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．⎝⎛⎭⎫－153，153B ．⎝⎛⎭⎫0，153C ．⎝⎛⎭⎫－153，0D ．⎝⎛⎭⎫－153，－1（3）（∆判别式与韦达定理）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4,0)，实轴长为43.(1)求双曲线C 的方程．(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围．（4）（选讲提升）设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3课堂小结： 研究直线与双曲线位置关系问题的方法(1)将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)由直线的斜率与渐近线的斜率进行比较来判断直线与双曲线的位置关系．课堂练习1：若直线l 过点P (1,0)与双曲线1422=-y x 只有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ． 2条 D ．1条题型二 与弦长有关问题例2 （弦长公式） 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．课堂练习2：直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距m .题型三 中点弦问题例3 （1）（求离心率）[2018·厦门二检] 斜率为2的直线l 被双曲线C :-=1(a>0,b>0)截得的弦恰被点M (2,1)平分,则C 的离心率是 .（2）（求双曲线方程）已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则双曲线E 的方程为_____________________________．(3) （求中点轨迹）已知斜率为2的直线与双曲线x 2-y 2=12相交于P 1和P 2两点，求线段P 1P 2中点的轨迹方程.（4）（求中点弦所在直线方程）给定双曲线x 2－y 22＝1，过点B (1,1)是否能作直线m ，使它与所给的双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的m 如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由．课堂练习3： 已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A 、B 两点．若P 为AB 的中点，求直线AB 的方程．题型四 综合题型例4 （求字母值或范围） 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点。
直线与双曲线位置关系典例精析
直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2．弦长公式：设直线 ykx b 交双曲线于 P 1 x 1 , y 1 ， P 2 x 2 , y 2 ，则 P 1P 2 x 1x 2 1 k 21 k 2x 1 x 224x 1 x 2 ，或P 1P 2y 1y 2 1 11 1y 1y 224y 1 y 2 k0 ．k 2k 2二、基础自测1．经过点 P1,2 且与双曲线 4x 2 y 2 1仅有一个公共点的直线有（）2(A)4 条 (B) 3条(C) 2 条(D) 1条2．直线 y= kx 与双曲线 4x 2 y 216 不可能（）（ A ）相交（ B ）只有一个交点（ C ）相离（ D ）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线y 2x2的通径长是1619(A) 9 (B)9 (C)9(D)10424 ． 若 一 直 线 l 平 行 于双 曲 线 的 一 条 渐 近线 ， 则 l 与 双 曲线 的公 共 点 个 数为 ．解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切5．经过双曲线 x 2 y 2 8 的右焦点且斜率为2 的直线被双曲线截得的线段的长是．6．直线l在双曲线x2y21上截得的弦长为4，且l的斜率为 2，求直线l的方程．32三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1.如果直线y kx 1 与双曲线 x 2y 2 4 没有公共点，求k的取值范围．有两个公共点呢？解，所以△ =(b)240 ，所以b2 ，e c a2b2 1 (b)2 5 ，故选D.a a a a a2．(2010 ·安徽 )若直线 y＝kx＋2与双曲线 x2－ y2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是()A.15 ,15B. 0,15C.15 ,0D.15 ,133333y＝kx＋ 2，1k 202216k2 4 1k210 0解：由得 (1－ k )x －－＝，∴，解x2－y2＝ 64kx 10 0x1x20x1x20 15得－3 <k<－ 1.3、过点P( 7,5)与双曲线x2y21有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出725它们的方程。
双曲线与直线的位置关系课件
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
直线与双曲线位置关系典例精析()
直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2．弦长公式：设直线b kx y +=交双曲线于()111,y x P ，()222,y x P ，则()21221222121411x x x x k kx x P P -+⋅+=+-=，或()()04111121221222121≠-+⋅+=+-=k y y y y k k y y P P ．二、基础自测 1．经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条 2．直线y= kx 与双曲线16422=-y x 不可能（ ）（A ）相交 （B ）只有一个交点 （C ）相离 （D ）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线191622=-x y的通径长是 (A)49 (B) 29(C) 9 (D) 10 4．若一直线l 平行于双曲线的一条渐近线，则l 与双曲线的公共点个数为 ． 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切5．经过双曲线822=-y x 的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是 ．6．直线l 在双曲线12322=-y x 上截得的弦长为4，且l 的斜率为2，求直线l 的方程． 三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1. 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，求k 的取值范围．有两个公共点呢？解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2c e a a ==== D.2．(2010·安徽)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 ( )A.33⎛- ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，∴()()222121210164110000k k k x x x x ⎧-≠⎪∆=--⨯->⎪⎨+>⎪⎪>⎩，解得－153<k <－1. 3、过点5)P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
高中数学直线与双曲线位置关系
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系学习目标：1.双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 2.直线与双曲线的位置关系及判断方法：（1）位置关系有三种（2）判断方法：设直线方程为y=kx+m ，双曲线方程为22221x y a b-=，两方程联立得：Ax 2+Bx+C=0.若A ＝0，则直线与双曲线的渐近线 。
若A ≠0，其判断式∆＝B 2－4AC 。
当∆>0时，直线与双曲线 ；当∆＝0时，直线与双曲线 ；当∆<0时，直线与双曲线 。
基础自测1.已知双曲线22221x y a b-=若过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是：A 。
（1，2） B 。
（1，3） C 。
[2,)+∞ D 。
（3，)+∞ 2.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F0），直线y=x-1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线方程是： A ．22134x y -= B 。
22143x y -= C 。
22152x y -= D 。
22125x y -= 3.已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且120MF MF ⋅= ，则点M 到x 轴的距离为 A 。
43B 。
53 C。
3 D4.过P （3，4）与双曲线221916x y -=有且仅有一个公共点的直线的条数是 。
典例分析例1.已知双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是： A 。
(1,2] B 。
（1，2） C 。
[2,)+∞ D 。
(2,)+∞变式：已知F 1，F 2为双曲线22221x y a b -=的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，求双曲线的渐近线方程。
例2.过点P （1的直线与双曲线2213y x -=有且只有一个公共点，这样的直线共有 条。
直线与双曲线的位置关系
2 2
2
3
12 2 +8
16( 2 +1)
2
2
＝ 1+ ·
− 2 ＝ 1+ · 2 2
2
−2
−2
( −2)
4( 2 +1)
2
＝
＝4，解得 k ＝± .
2
2
｜ −2｜
当2－ k 2≠0时， x
考点三
例3
综上可知过 P 0，2 且与双曲线2 x 2－ y 2＝1有且只有一个公共点的直线
有4条.
考点二
例2
弦长问题
如图，过双曲线2 x 2－ y 2＝6的左焦点 F 1，作倾斜角为30°的直线交双
曲线于 A ， B 两点，则｜ AB ｜＝
16 3
5
.
设 A 点坐标为( x 1， y 1)， B 点坐标为( x 2， y 2).
B. x ＋2 y －1＝0
AB ｜＝4，则下列不满足条件的直线 l 为(
B )
设 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)，
当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x ＝ 3 ，
由ቐ
＝ 3，
2
−
2
2
得 y ＝±2，
= 1，
∴｜ AB ｜＝｜ y 1－ y 2｜＝4满足题意.
2 ＋ 2
2
3
6
2
所以 e ＝
＝1＋ 2 ＝ ，即 e ＝ .
2
2
2
4.
2
(2024·浙江金华模拟)过点 P (1，1)作直线 l 与双曲线 x 2－ ＝λ交于
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系株洲市四中高二数学组 罗叶青一、复习引入直线与椭圆的位置关系:相离,相切,相交.判定方法:运用数形结合和方程的思想,通过△判断位置关系二、直线与双曲线的位置关系问1:直线与双曲线有怎样的位置关系?(生答三种: 相离,相切,相交)问2:如何判定各种关系?(生答:联立方程组,得到关于x 的一元二次方程.根据△判断解的个数.)问3:联立以后是否一定得到关于x 的一元二次方程呢?例1 :判定直线和双曲线的位置关系(1)(2)多媒体演示小结1: 判定位置关系的方法是代数法,即联立方程组,消元,得到关于 x 的方程, ①当直线与渐近线平行时,即此时二次项系数为0,直线与双曲线相交于一点;②不平行时,二次项系数不为0,得到一元二次方程,判断实数解的个数:例2 已知直线 和双曲线 , 当k 为何值时,直线和双曲线只有一个交点?(多媒体演示)变题:将直线方程改为kx y =, ,结论如何?(多媒体演示) 小结2与双曲线有一个公共点的直线条数 :①过中心的直线系中不存在;②过渐近线上某点(原点除外)的直线系中有2条;1:,)0(:2222=-+±=by a x c m m x a b y l ＞14:,3:22=-+=y x c x y l 14:,121:22=-+=y x c x y l )2(2:-=-x k y l 4:22=-y x c )2(-=x k y③过双曲线上某点的直线系中有3条. 练习 求经过点( ),且与双曲线 仅有一个公共点的直线方程.备用例3：过双曲线1422=-y x 的右焦点作倾斜角为︒30的直线，交双曲线于A 、B 两点，求|AB|课堂小结:本节课主要研究了直线和双曲线的位置关系.主要解决位置关系的判定和定点直线系的交点问题, 都可以用代数法解决.它的一般步骤如下:课堂练习:1.判断直线和双曲线的位置关系(1) (2)2.当k 为何值时,直线和双曲线, ①没有交点 ②交于一点 ③交于两点作业:学案P39页5，6，72,2114:22=-y x c 1169:,3:22=-=y x c x l 1169:,134:22=-+=y x c x y l 2:+=kx y l ()04:22＞x y x c =-。
知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理)
直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质双曲线双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何性质 直线与双曲线的位置关系 双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题22221(0,0)x y a b a b-=>>22221(0,0)y x a b a b-=>>要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP=12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化 （2） 利用双曲线的几何性质 （3） 转化为函数求最值 【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.设F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，且122PF PF ac ⋅=，其中c =【解析】由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2， 又122PF PF ac ⋅=，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝12+，即双曲线的离心率为12+. 【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。
谈直线和双曲线的位置关系之(1)联立方程法
【专题九】登峰造极,唯我独尊——谈直线和双曲线的位置关系之（1）联立方程法直线与双曲线的位置关系题型包括①判断交点个数②判断相切、相交、相离三种位置关系③求弦长及三角形面积等问题；用到的思想是数形结合思想，方法是联立方程法，具体做法如下：① 联立方程： 直线l ：)0(≠+=m m kx y双曲线C ：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12222b y ax m kx y ②消去y(或x) ，得到关于x(或y)的方程02)(222222222=----b a m a mkx a x k a ba) 讨论二次项系数为零和不为零两种情况ⅰ）为零，相交，且只有一个交点当0222=-k a b ，即abk ±=时，直线l 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C 相交于一点； ⅱ）不为零时，利用判别式△来判断当2220b a k -≠，即a b k ±≠时，2222(2)4()()(a m k b a k a k a ∆=------ ①0∆>时，直线l 与双曲线相交，有两个公共点②0=∆时，直线l 与双曲线相切，有且仅有一个公共点③0∆<时，直线l 与双曲线相离，无公共点【点拨】①直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么? ?（不一定）②直线与双曲线相交，必有两个公共点?（对吗，为什么?）③弦长公式：ⅰ） 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21（含x的方程）ⅱ）2122122124)(1111y y y y ky y k AB -++=-+=211()k a ∆=+（含y 的方程）④相交两点时，首先0∆>，ⅰ）若120x x >直线与双曲线交与单支；ⅱ）120x x <直线与双曲线交与两支；ⅲ）若120x x +>，且120x x >直线与双曲线交于右单支；ⅳ）若120x x +<，且120x x >直线与双曲线交于左单支。
直线和双曲线的位置关系
直线和双曲线的位置关系一、知识点直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离. 设双曲线方程()0,012222>>=-b a by a x ，直线Ax +By +C =0, 将直线方程与双曲线方程联立,消去y 得到关于x 的方程mx 2+nx +p =0,(1)若m ≠0,当Δ>0时,直线与双曲线有两个交点；当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点；当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.(2)若m =0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行.二、例题已知直线y=kx-1与双曲线x 2－y 2＝4，① 若直线与双曲线只有一个公共点，求k 的取值范围.② 若直线与双曲线右支有两个公共点，求k 的取值范围.③ 若直线与双曲线左支有两个公共点，求k 的取值范围.④ 若直线与双曲线左、右各一个公共点，求k 的取值范围.三、习题1．经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条2．直线y= kx 与双曲线16422=-y x 不可能（ ）（A ）相交 （B ）只有一个交点 （C ）相离 （D ）有两个公共点3． 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153B.⎝⎛⎭⎫0，153C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－14.过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
5.直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 两点，当a 为何值时，A 、B 在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？。
直线与双曲线的位置关系课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
例题探究
例1、直线y=kx+1和双曲线3x2-y2=1何时有两个交点？
解：由3yx2
kx y2
1
得, 1
3 k2 x2 2kx 2 0
要使直线与双曲线有两个交点，则
4k 2 8(3 k 2 ) 0
3
k2
0
解得 6 k 6且k 3
当 6 k 6且k 3时，直线y kx 1 与双曲线3x2 - y2 1有两个交点
a
a
相切：一个交点（ 0） 相离：无交点（ 0）
2.弦长公式
AB
1 k 2 x1 x2
1 1 k2
y1 y2
3.已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1，以该双曲线内一点M x0 ,
yo 为中点的弦的斜率为k
b2 x0 a2 y0
思考：上面两种情况有什么不同？分别有什么特点？
新知讲解
判断直线与双曲线位置关系的基本步骤 把直线方程代入双曲线方程
二次项系数为0 二次项系数不为0
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
计算判别式 >0 =0 <0 相交 相切 相离
针对训练
练习1：直线l过点(3,0)且和双曲线4x2-y2=4只有1个交点，这样的直线
该弦所在直线斜率k 1
即 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0
3
6
方程为y x 3
针对练习
练习2：已知直线双曲线3x2 − y2 = 3，过点P(2,1)作一直线交双曲线于A，B两点， 且P为AB的中点. (1)求直线AB的方程；(2)求弦AB的长.
解：将y = 6x + 11代入3x2 − y2 = 3，得33x2 − 132x + 124 = 0. 由弦长公式|AB| = 1 + k2|x1 − x2| = 1 + k2 (x1 + x2)2−4x1x2，
直线与双曲线
y -热身练习x2y21．与双曲线16 4第十七讲 直线与双曲线= 1有公共焦点，且过点(3 2,2) 的双曲线方程为 ．2．与双曲线 x 9- y 216 = 1有共同的渐近线，且过点 P (-3,2 3) 的双曲线方程为．x 2 23．设 P 为双曲线 - 16 9= 1上一点， F 1、F 2 为两焦点，若 PF 2 = 9 ，则 PF 1 =．4．已知 P 为双曲线 x 4 为．-y 2 = 1上一点， F 1、F 2 为两焦点，若∠F 1 PF 2 = 60，则 ∆F 1PF 2 的面积5．判断方程(k - 3)x 2+ (9 - k ) y 2= (k - 3)(9 - k ) 所表示的曲线，如果有焦点，求出焦点坐标．知识梳理2 2例题解析一、直线与双曲线的位置关系⎧ y = kx + m ⎪ 一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组⎨ x 2 - y 2 =的解的个数进行判断.⎪⎩ a 2 b 21 将直线方程代入双曲线方程中得(b 2 - a 2k 2)x 2 - 2a 2mkx - a 2m 2 - a 2b 2= 0 .当b 2- a 2k 2= 0 ，即 k = ± b时，若 m ≠ 0 ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线交于一a点.若 m = 0，直线即为双曲线的渐近线，与双曲线无交点.当b 2- a 2k 2≠ 0 ，即 k ≠ ± b时，a∆ = (-2a 2mk )2- 4 (b 2 - a 2k 2 )(-a 2m 2 - a 2b 2 )；∆ > 0 ⇔ 直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； ∆ = 0 ⇔ 直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； ∆ < 0 ⇔ 直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.【例 1】（1）过点 P ( 7, 5) 与双曲线的方程。
x 2 - y 2 =7 251有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们 （2）直线 y = kx +1与双曲线3x 2- y 2= 1相交于 A 、B 两点，当 k 为何值时， A 、B 在双曲线的同一支上？当 k 为何值时， A 、B 分别在双曲线的两支上？【例 2】已知双曲线方程为 x 2 - y 4= 1，过 P （1， 0）的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数共有（）A ．4 条B ．3 条C ．2 条D ．1 条2-= 2【例 3】若双曲线 x 2－y 2＝1 的右支上一点 P （a ，b ）到直线 y =x 的距离为 A.－1 B.1 C.±1 D.±2，则 a +b 的值为22 2【例 4】已知直线 y = kx - 2 与双曲线 x 2 - y 2= 1只有一个交点，则 k 的取值范围是2 【例 5】过点 P ( 7, 5) 与双曲线 x y 1有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方725程.【巩固训练】1．已知直线 y = kx -1与双曲线 x 2- y 2= 4 .（1）若直线与双曲线没有公共点，求 k 的取值范围； （2）若直线与双曲线有两个公共点，求 k 的取值范围； （3）若直线与双曲线只有一个公共点，求 k 的取值范围.2y 2 2.如果直线 y = k (x -1) 与双曲线 x 2 - y 2= 4 没有交点，则 k 的取值范围是3．已知双曲线 x 9 2- = 1的一个焦点到它的一条渐近线的距离为5，则 m =m4．若直线 y ＝kx ＋2 与双曲线 x 2－y 2＝6 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是5．直线 y = ax + 1与双曲线3x 2- y 2=1交于 A 、 B 两点. ①当 a 为何值时， A 、 B 分别在双曲线的两支上？ ②当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？二、交点及弦长直 线 l : y = kx + m (k ≠ 0)与 双 曲 线x- y 2= 1(a > 0, b > 0 ) a 2b2相 交 于 两 个 不 同 的 点A (x 1, y 1 )，B (x 2 , y 2 )，则线段 AB 叫做双曲线的弦，AB == x - x 1 22y或 AB == y - y . 1 2【例 6】斜率为2 的直线l 与双曲线 x2 - = 1交于 A , B 两点，且 AB = 4 ，求直线l 的方程.3 2【例7】已知双曲线 x 2－ y 3＝1，过 P （2，1）点作一直线交双曲线于 A 、B 两点，并使 P 为 AB 的 中点，则直线 AB 的斜率为【例8】过双曲线 x 2- y 3= 1的左焦点 F ，作倾斜角为π的弦 AB ，求⑴ AB ；⑵ ∆F AB 的周长1 6 2（ F 2 为双曲线的右焦点）。
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求下列直线与双曲线的交点坐标 (1)2x-y-10=0 与 x
2
20 x
2
y
2
5 y
=1
2
(1)(6, 2), (
3 14
,
2 3
)
(2)4x-3y-16=0 与
225 102 Nhomakorabea=1
(2)(
25 4
, 3)
(3)x-y+1=0 与 x -y =3
思考：
(3)( 2, 1)
上面的每题中的直线与双曲线分别是什么位置关系？
2 2
o x M
(3)1<k<
5 2
5 2
支有两个公共点，求 k的取值范围。
(4)-1<k 1 或 k=
(5)-
5 2
<k<-1
随堂练习
已知直线 y=kx+2 和双曲线 9x 2 -4y 2 =36 ，求下列条 件下 k的取值范围： (1)直线与双曲线只有一个交点； (2)直线与双曲线相切； (3)直线与双曲线有两个交点； (4)直线与双曲线右支只有一个交点； (5)直线与双曲线右支有两个交点； (6)直线与双曲线有交点。
直线与双曲线的 位置关 系 ： 有两个公共点 >0 直线与双曲线相交 ----- 有一个公共点 直线与渐近线平行 直线与双曲线相切 -----有一个公共点 =0 直线与 双曲线相离 -----没有 公共点 <0
例题讲解
例1、如果直线 y=kx-1 与双曲线 x 2 -y 2 =4 仅有一个公共 点，求 k的取值范围。
(0 , 60 ) (120 ,180 )
A. 3
B.3
3 线 y=x+ 4对称的两点？如果有请算出其中点的坐标。
3 、已知双曲线 x 2 -
y2
=1 ，问双曲线上是否存在关于直
(-1,3)
2 2
(1)
5 2
k
5 2
且 k 1
求 k的取 值范围。
(2)k<-
5 2
或 k>
5 2
例1、如果直线 y=kx-1 与双曲线 x 2 -y 2 =4 仅有一个公共 点，求 k的取值范围。
y
(3)如果直线 y=kx-1 与双曲线 x 2 -y 2 =4 的右支有两个公共 点，求 k的取值范围。 (4)如果直线 y=kx-1 与双曲线 x 2 -y 2 =4 的右支只有一个公共 点，求 k的取值范围。 (5)如果直线 y=kx-1 与双曲线 x -y =4 的左
直线与双曲线的位置关系
思考题： 当 m 取何值时，直线 y=x+m 与椭圆9x 2 +16y 2 =144 相切、相交 、相离？
小结 ：
直线与椭圆相交 ------有两个公共点 >0；
直线与椭圆相切 ------有一个公共点 =0；
直线与椭圆相离 ------没有 公共点 <0。
2 直线与双曲线只有一个公共点。
时，方程只有一解，
例1、如果直线 y=kx-1 与双曲线 x 2 -y 2 =4 仅有一个公共 点，求 k的取值范围。
y
变式训练： (1)如果直线 y=kx-1 与双曲 线 x -y =4 有两个公共点，
2 2
o x M
求 k的取值范围。 (2)如果直线 y=kx-1 与双曲 线 x -y =4 没有公共点，
例1、如果直线 y=kx-1 与双曲线 x 2 -y 2 =4 仅有一个公共 点，求 k的取值范围。
y=kx-1 解：由 2 2 消去 y 整理得 x -y =4 (1-k 2 )x 2 +2kx-5=0 当1-k 2 =0 时，即 k= 1 时，方程有一解； 当 k 1 时，即 =4k 2 -4(1-k 2 ) (-5)=0 k= 当 k= 1 和 k= 5 5 2 时，方程有一解；
2 2 2 2
点 A 为 M 、 N 的中点， x 1 +x 2 =6, 8k(3k+1)
2
=6, k=- .341=0, 此时满足 >0 。 (4k -1) 4
2 2
3
M 、 N 存在，直线方程为 3x+4y-5=0.
|MN|= (1+k )[(x 1 +x 2 ) -4x 1x 2 ] =3 5
例 题 2： 求过点工 A(3 ， 且被点 A 平分的双曲线 -1) x -4y =4 的弦 MN 所在的直线方程，并求此时
2 2
弦 M N 的长度。
解：设过 A(3 ， 的直线方程为 y=k(x-3)-1 -1) M(x 1 ,y 1 ) N(x 2 ,y 2 ) y=k(x-3)-1 由 2 消去 y 得 2 x -4y =4 (4k -1)x -8k(3k+1)x+36k +24k+8=0.........(1) 则 x 1 ,x 2是方程 (1)的两解 由韦达定理可知 x 1 +x 2 = 8k(3k+1) (4k -1)
变式训练1
直线 y=kx+1 与双曲线 3x -y =1 相交于 A 、 B 两点，
2 2
当 k为何值时 OA 0B ，即 k OA k OB =-1?
课堂练习：
x2 y 2 1 、设双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0) 的一条准线与两 a b 渐近线交于 A 、 B 两点，相应的焦点为 F ，若 ABF 为正三角形，则双曲线的离心率为( C ) C. 2 D.2 y2 2 、过双曲线 x 2 - =1 的右焦点 F ，作直线 与双曲线 3 的两支都相交，则直线 的倾斜角 的取值范围是 ____ 。