直线与双曲线位置关系典例精析
直线与双曲线的位置关系ppt课件
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)将 y＝kx＋ 2代入x32－y2＝1，得
(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
由直线 l 与双曲线交于不同的两点，得
1－3k2≠0 Δ＝6 2k2＋361－3k2＝361－k2>0
方程化为 2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲
线相交，且只有一个公共点．
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－ 4)＝4(4－3k2)．
x1＋x2＝2－2kk2
，
x1·x2＝k2－2 2
假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C
的右焦点 F( 26，0)，则 FA⊥FB，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
∴(x1－ 26)(x2－ 26)＋y1y2＝0， 即(x1－ 26)(x2－ 26)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0. (1＋k2)x1x2＋(k－ 26)(x1＋x2)＋52＝0， ∴(1＋k2)·k2－2 2＋(k－ 26)·2－2kk2＋52＝0，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
[解析] (1)将直线 l 的方程 y＝kx＋1 代入双曲线 C 的方程 2x2－y2＝1 后整理得，
2.3双曲线与直线,中点弦
情况2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 直线与双曲线相交（两个交点） Δ=0 直线与双曲线相切（一个交点） Δ<0 直线与双曲线相离（没有交点）
变式训练
1.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上 任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围 0 1， ， 是_________ 2．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个
x2 y2 3.过原点与双曲线 4 33 取值范围是 ， 2 1 交于两点的直线斜率的 3 2 ，
练习
x2 y2 1只有一个交点的 3.过点P(1,1)与双曲线 9 16 4
直线共有_______条.
变式:将点P(1,1)改为
解 : (2)5 12 9 12 45
5x 9 y 14 0
变式训练 1.如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4没有公共点，求k 的取值范围．
y＝kx－1 2 2 解：由 2 得 (1 － k )x ＋2kx－5＝0， 2 x －y ＝4
易知此方程无解． 2 1 － k ≠0 5 5 由 得 k> 或 k<－ ， 2 2 2 2 Δ ＝4k ＋20（1－k ）<0 5 5 则 k 的取值范围为 k> 或 k<－ . 2 2
韦达定理法：先写出直线方程，再代入双曲线方程， 利用韦达定理可求得中点坐标。 设而不求
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差 构造出中点坐标和斜率。
2 b （ x1 x2 )( x1 x2 ) a2 ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
b2 2x0 k AB a2 2 y0 0
直线与双曲线位置关系
直线与双曲线位置关系一、教学目标：1.掌握直线与双曲线的位置关系．2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．3.了解与双曲线有关的应用问题.二、教学重点、难点：1.对双曲线方程和性质的应用是本课时的重点和难点；2.本课时内容常与方程、函数、不等式以及平面向量结合命题，而且命题形式灵活，各种题型均有可能出现.三、教学方法：一学，二记，三应用四、知识梳理：1判别式∆.2.直线与双曲线位置关系的有关结论(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点，两条切线和两条与渐近线平行的直线；(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点，一条切线和两条与渐近线平行的直线；(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点，两条与渐近线平行的直线．3．直线与双曲线相交所得的弦长公式：设直线方程y =kx +m 与双曲线22a x +22by = 1(或22a y +22b x =1,其中a >b >0)交于P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2),则 | P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-=])(1[)(21212212x x y y x x ----=21k +|x 2- x 1| 或 | P 1P 2|=211k +|y 2-y 1| 五 五.课前测试：1．若圆3)1()3(22=-+-y x 与双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）A ．332 B ．27 C ．2 D ．72．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是 ( )A ．8 B ．9 C ．10 D ．123．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )(A) (－153，153) (B) (0，153) (C) (－153，0) (D) (－153，－1) 六、典例剖析题型一 直线与双曲线的位置关系例1 （1）（几何法）(2019·广东惠州二调)过点P (2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条（2）（代数法）若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．⎝⎛⎭⎫－153，153B ．⎝⎛⎭⎫0，153C ．⎝⎛⎭⎫－153，0D ．⎝⎛⎭⎫－153，－1（3）（∆判别式与韦达定理）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4,0)，实轴长为43.(1)求双曲线C 的方程．(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围．（4）（选讲提升）设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3课堂小结： 研究直线与双曲线位置关系问题的方法(1)将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)由直线的斜率与渐近线的斜率进行比较来判断直线与双曲线的位置关系．课堂练习1：若直线l 过点P (1,0)与双曲线1422=-y x 只有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ． 2条 D ．1条题型二 与弦长有关问题例2 （弦长公式） 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．课堂练习2：直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距m .题型三 中点弦问题例3 （1）（求离心率）[2018·厦门二检] 斜率为2的直线l 被双曲线C :-=1(a>0,b>0)截得的弦恰被点M (2,1)平分,则C 的离心率是 .（2）（求双曲线方程）已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则双曲线E 的方程为_____________________________．(3) （求中点轨迹）已知斜率为2的直线与双曲线x 2-y 2=12相交于P 1和P 2两点，求线段P 1P 2中点的轨迹方程.（4）（求中点弦所在直线方程）给定双曲线x 2－y 22＝1，过点B (1,1)是否能作直线m ，使它与所给的双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的m 如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由．课堂练习3： 已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A 、B 两点．若P 为AB 的中点，求直线AB 的方程．题型四 综合题型例4 （求字母值或范围） 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点。
直线与双曲线的位置关系及判定
直线与双曲线的位置关系及判定直线与双曲线是在平面几何中经常遇到的图形，它们的位置关系和判定在数学学科中是一个重要的概念。
在本文中，我们将详细讨论直线与双曲线的位置关系及判定。
首先，让我们来了解一下直线和双曲线的定义。
直线是平面上的一条无限延伸的线段，其特点是任意两点可以确定一条直线。
双曲线是平面上的一种二次曲线，其数学表示为一个方程为x^2/a^2 -y^2/b^2 = 1的曲线。
双曲线有两个分支，并且是无限延伸的。
现在我们开始讨论直线与双曲线的位置关系及判定。
一、直线与双曲线的位置关系在平面几何中，直线与双曲线可以有以下几种位置关系：1.直线与双曲线相交：当直线与双曲线有交点时，它们的位置关系为相交。
这时可以有以下几种情况：直线与双曲线相交于两个点，此时直线穿过双曲线的两个分支；直线与双曲线相交于一个点，此时直线穿过双曲线的一个分支；直线与双曲线相切，此时直线与双曲线相切于某一点；2.直线与双曲线相离：当直线与双曲线没有交点时，它们的位置关系为相离。
在这种情况下，直线与双曲线之间没有交集，它们分别存在于平面上的不同位置；3.直线包含在双曲线内部：当直线包含在双曲线的两个分支之间时，它们的位置关系为包含。
此时可以看作直线被双曲线所包围，直线完全位于双曲线的内部；4.直线与双曲线重合：当直线和双曲线完全重合时，它们的位置关系为重合。
此时直线与双曲线完全相同，即它们的方程相同，所以是同一条曲线。
二、直线与双曲线的判定在平面几何中，我们常常需要判定给定的直线和双曲线的位置关系，这是一个重要的数学问题。
下面讨论一下如何判定给定直线和双曲线的位置关系：1.直线与双曲线相交的判定：给定一条直线L和一个双曲线H，要判定直线L是否与双曲线H相交，可以通过解直线方程和双曲线方程得到交点的坐标，然后判断交点是否在双曲线上即可。
如果交点在双曲线上，那么说明直线与双曲线相交；如果交点不在双曲线上，那么说明直线与双曲线相离。
课例直线与双曲线的位置关系
两个公共点 %求 (的取值范围 " ’" "& 且两根之和 ) 并两根之积 0 "& & 1
’ ’
2 !& % 1
学生 -! 如果直线 #%(!)$ 与双曲线 ! )# %* 的右支有 两个公共点 %求 (的取值范围 " ’" "& 且两根之和 ) 并两根之积 0 "& & 1 2 "& % 1
线只有一个公共点的直线有几条 ( 与该点的位置有何 关系 ( ’ 多媒体展示% 引导学生经过讨论 % 逐步填写下面 的表格 &
!"
组有一解 %此时 (% # $ %共有四个取值 " 教师 ! 非常 好 ) 说 明同学 们从代 数方程的 角度认 真理解了直 线与双曲线的位置关 系的判断方法 " 从几 何角度是否 也有判断方法呢 ( ’ 多媒体演示 % 引导学生 讨论 & 学生 !判断直线是否与双曲线的渐近线平行 " 教师 !探究 ’ 可以变式探讨 % 同学们打开思 维 %大胆 尝试 " ’学生自主深入地 探究 %相互交流 * 总结 % 老师适时 给予点拨 %使学生体验成功的喜悦 " & 学生 $! 如果直线 #%(!)$ 与双曲线 ! )# %* 没有公共 点 %求 ( 的取值范围 " ’ 相离!" ! & & 学生 ’! 如果直线 #%(!)$ 与双曲线 ! )# %* 有两个公 共点 %求 ( 的取值范围 " ’ 两个交点的相交 !" " &+ 学生 .! 如果直线#%( !)/与双曲线! )# %* 的两支各有 一个公共点%求( 的取值范围 " ’"" &且两根之积
高中数学 知识讲解 直线与双曲线的位置关系理
直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质双曲线双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何性质 直线与双曲线的位置关系 双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题22221(0,0)x y a b a b -=>>22221(0,0)y x a b a b -=>>标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b-=(0,0)a b >> 图形性质焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c焦距 2212||2()F F c c a b ==+ 2212||2()F F c c a b ==+范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 (,0)a ±(0,)a ±轴 实轴长=a 2，虚轴长=2b离心率 (1)ce e a=> 渐近线方程x ab y ±= a y x b =±要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a =±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220,b a k -≠即bk a≠±，①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化（2） 利用双曲线的几何性质 （3） 转化为函数求最值 【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.设F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，且122PF PF ac ⋅=，其中c =【解析】由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2， 又122PF PF ac ⋅=，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝12，即双曲线的离心率为12+. 【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。
双曲线与直线的位置关系课件
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
双曲线优秀经典例题讲解
双 曲 线是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）.解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m).设双曲线的方程为12222=-by a x （a >0,b >0）令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y－55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以,1)55(12252222=--b y .112132222=-by解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--(2)11213(1) 1)55(122522222222b y b y 由方程（2）得 b y 125= （负值舍去）.代入方程（1）得,1)55125(12252222=--bb化简得 19b 2+275b －18150=0 （3） 解方程（3）得 b ≈25 (m).所以所求双曲线方程为：.162514422=-y x 例2. ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．解：取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，因为4=BC ，所以B(0,2-)，)0,2(c ．利用正弦定理，从条件得2421=⨯=-b c ，即2=-AC AB ．由双曲线定义知，点A 的轨迹是B 、C 为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为32的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为1322=-y x (1>x )． 变式训练3：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准线的距离为l .（1）求双曲线的方程；（2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值.典型例题（1）解：依题意有：.3,1,,12,3222222==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==b a c b a c aa b解得可得双曲线方程为.1322=-y x （2）解：设).,(,),,(0000y x N y x M --可得由双曲线的对称性,33,33,13.),,(222020220222020000-=-==---=++⋅--=⋅P P P P P P P P PNPM P P x y x y y x x x y y x x y y x x y y k k y x P 同理所以又则设所以.3333322202=-+--=⋅x x x x k k P P PNPM 例3. 设双曲线C ：1222=-y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q 。
(原创)直线与双曲线的位置关系
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题
7弦问题1•直线与双曲线的位置关系的判断2 2设直线l:y = kx+ 工0),双曲线亠一亠=i(a > 0上> 0)联立解得(b 2 -a 2k 2)x 2 -2a 2mkx-a 2m 2 -a 2b 2 =0若b 2-a 2k 2= 0即k = ±-,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点; a 若戾一心2 H0即 a A = (~2a 2mk)2 -4(Z?2 -a 2k 2)(-a 2m 2 -a 2b 2)△ >0二>直线与双曲线相交，有两个交点：△ = o=>直线与双曲线相切，有一个交点：△ <0=>直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2•直线与圓锥曲线相交的弦长公式设直线/:.V=h+小 圆锥曲线：F(x,y)=O,它们的交点为P\ Uhyj), PiF(x. y) = 0且由 < ，消去 y —^ax 2+hx+c=0 (a*0), S=b 2 —4uc 。
y = kx+n设人(旺，”),3(£,儿)，则弦长公式为：贝UI AB 1= Jl +以J (册+七尸—4“勺若联立消去X 得y 的一元二次方程：©2 +by + c = 0(。
H 0)则I AB 1= {1 +右*儿+儿)'一4儿儿\PF\ 焦点弦长：—— =£ (点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，〃是P 到相应于焦 d 点F 的准线的距离，e 是离心率)。
2 2【例1】过点P (J7,5)与双曲线—=1有且只有一个公共点的直线有几条，分别 7 25 求出它们的方程。
解析：若直线的斜率不存在时，则x = V7 •此时仅有一个交点(、/亍0),满足条件： 若直线的斜率存在时，设直线的方程为y_5 = k(x_# )则『=kx 七5-k#,(25 Jk 、》一7x2kx(5-k 厲 + (5-k 耐 一*25 = 0,当k = 0时，方程无解，不满足条件:直线与双曲线的位置关系及中点X 2 伙X + 5_kJ7)2 T_ 25 =1,••• 25x 2 一 7(匕 + 5 - MF = 7 x 25 ,当k = _丄时，2x5“xxlO = 75方程有一解，满足条件；7当&丰耳时，令厶= [14R(5 — M)F—4(25 — 7L)[(5 —Rd” 5] = 0,化简得: k无解，所以不满足条件：所以满足条件的直线有两条x = *和，=一节^'+1°。
直线和双曲线的位置关系-一道典型问题的解
5
.
2
1−
1−
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(5)交于异支两点；
(5)-1＜k＜1 ；
代数解法
解：把直线y=kx-1代入双曲线x2-y2=4中
得x2-(kx-1)2=4,化简得(1-k2)x2+2kx5=0.
∵直线和双曲线的异支交于两点，
∵直线和双曲线有一个公共点，
（1）当1-k2≠ 0时∆=0,即20-16k2=0,解
5
5
得 = 或 = − .
2
2
2
（2）当1-k = 0时， = 1或 = −1.
综上k=±1或
k
5
2
代数解法
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(3)与左支交于两点.
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
Δ=0
Δ<0
直线与双曲线相交（两个交点）
直线与双曲线相切
直线与双曲线相离
数
学习新知
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的
∵直线和双曲线有两个公共点，
∴1-k2≠ 0且∆>0,即20-16k2>0,解得
<−
5
且k≠±1.
2
5
2
<
5
5
＜k＜
2
2
且k 1
；
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系一、知识要点:1．直线:l y kx m =+与双曲线2222:1x y C a b-=的位置关系 ①相交：直线与双曲线有两个交点或有一个公共点（直线与渐近线平行）。
②相切：直线与双曲线有且只有一个公共点，且直线不平行于双曲线的渐近线。
③相离：直线与双曲线无公共点。
2. 直线:l y kx m =+与双曲线2222:1x y C a b-=的位置关系判断方法。
联立方程组2222=+=1y kx m x y ab ⎧⎪⎨-⎪⎩ 消去y 得到 ()2222222222=0b a k x kma x a m a b ---- 当2220,0b a k -≠∆>时，直线l 与双曲线C 有两个不同交点； 当2220,0b a k -≠∆=或2220b a k -=时，直线l 与双曲线C 有一个交点； 当2220,0b a k -≠∆<时，直线l 与双曲线C 无公共点。
3. 直线被双曲线截得弦长公式()()[]21221241x x x x k PQ -++=Ak ∆+=21 4 .中点弦问题:点差法—设端点坐标—代入双曲线方程作差—得斜率—写方程。
二．典例分析例1. 判断下列直线与双曲线的位置关系（1）2221001205x y x y --=-=与 （2）22103x y x y -+=-=与例2．（1）过定点P(0,-1)的直线与双曲线224x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）条。
（2）过定点P(1,1)的直线与双曲线 224x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）条。
（3）过点()2,1P 的直线与双曲线1322=-y x 有且只有一个公共点，这样的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条例3．经过双曲线2213y x -=的右焦点2F 作倾斜角为30°的直线交该双曲线于A ，B 两点，求1F AB ∆ 的周长。
（1F 为双曲线的左焦点）例4.（1）以P （1，8）为中点作双曲线为224=4y x -的一条弦AB ，求直线AB 的方程。
高中数学 选修2-1 4.3.2直线与双曲线的位置关系
②相切一点: ③相 离:
△=0 △＜0
含
含
焦
含
焦 点
点
焦 点
区
区
区
域
域
域
内
外
内
P 4条
4条 P
当点P在双曲线上时，能 作3条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
当点P在其中一条渐近线上 （中心除外）时，一条是 切线，一条是与另一条渐 近线平行，共 2条
P
当点P在含焦点区域 内时，两条是分别与 两条渐近线平行，共 2条。
1相减
x22 4
y2 2 2
1
y1 y2 x1 x2
1 2
x1 y1
x2 y2
1 2
xN yN
1
y
即 kCD 1，
l的方程为：y 1 x 1即y x 1
2
2
把y x 1 代入 x2 y 2 1得242 Nhomakorabea2
oM2..N 2
x
2
x2 2x 9 0其中 5 0 4
直线l 与双曲线没有交点与所设矛盾
练习:
1.过双曲线 x2
y2 3
1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲
4
线交于 A、B 两点，则|AB|= 3 2
练习 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
（1）过 M（1，1）的直线交双曲线于 A、B 两点，若 M 为弦 AB 的中点，
求直线 AB 的方程；
（2）是否存在直线l，使
N
以 N(1，12) 为弦的中点的直线不存在 .
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.设而不求(韦达定理、点差法)
1，12
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系学习目标：1.双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 2.直线与双曲线的位置关系及判断方法：（1）位置关系有三种（2）判断方法：设直线方程为y=kx+m ，双曲线方程为22221x y a b-=，两方程联立得：Ax 2+Bx+C=0.若A ＝0，则直线与双曲线的渐近线 。
若A ≠0，其判断式∆＝B 2－4AC 。
当∆>0时，直线与双曲线 ；当∆＝0时，直线与双曲线 ；当∆<0时，直线与双曲线 。
基础自测1.已知双曲线22221x y a b-=若过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是：A 。
（1，2） B 。
（1，3） C 。
[2,)+∞ D 。
（3，)+∞ 2.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F0），直线y=x-1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线方程是： A ．22134x y -= B 。
22143x y -= C 。
22152x y -= D 。
22125x y -= 3.已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且120MF MF ⋅= ，则点M 到x 轴的距离为 A 。
43B 。
53 C。
3 D4.过P （3，4）与双曲线221916x y -=有且仅有一个公共点的直线的条数是 。
典例分析例1.已知双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是： A 。
(1,2] B 。
（1，2） C 。
[2,)+∞ D 。
(2,)+∞变式：已知F 1，F 2为双曲线22221x y a b -=的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，求双曲线的渐近线方程。
例2.过点P （1的直线与双曲线2213y x -=有且只有一个公共点，这样的直线共有 条。
直线与双曲线的位置关系及判断方法
10
习题
双曲线与直线的位置关系
x2 y2
(2009·福建)已知双曲线12－ 4 ＝1
的右焦点为
F，若过点
F
的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围
(
33 )A．(－ 3 ， 3 ) B．(－
3，
3)C.－
33，
33D．[－
3， 3]
答案：C
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双曲线与直线的位置关系及判断方法
2021/10/10
5
相交 相离
一个交点 两个交点
相切
双曲线与直线的位置关系
双曲线与直线的位置关系判别方法
双曲线与直线的位置关系判别方法
特别注意直线与双曲 线的位置关系中：
一解不一定相切 相交不一定两解 两解不一定同支
双曲线与直线的位置关系
题目练习
2021/10/10
直线与双曲线的位置关系
高二数学选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程
2021/10/10方法
2021/10/10
2
复习
椭圆与直线的位置关系
相离 相切 相交
复习
椭圆与直线的位置关系判别方法
第一步：将直线方程代入椭圆方程中
第二步：计算一元二次方程的判别式△
第三步：若△＞0，则直线与椭圆相交 若△＝0，则直线与椭圆相切 若△＜0，则直线与椭圆相离
2021/10/10
12
知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理)
直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质双曲线双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何性质 直线与双曲线的位置关系 双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题22221(0,0)x y a b a b-=>>22221(0,0)y x a b a b-=>>要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP=12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化 （2） 利用双曲线的几何性质 （3） 转化为函数求最值 【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.设F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，且122PF PF ac ⋅=，其中c =【解析】由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2， 又122PF PF ac ⋅=，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝12+，即双曲线的离心率为12+. 【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。
《解析几何》第15讲 直线与双曲线的位置关系
直线与渐近线平行
相交
>0
相交
2个交点
=0
相切
1个交点
<0
相离
无交点
1个交点
x y 例题1.设直线 y=kx+m 与双曲线 交于 1 2 2 a b
A(x1,y1),B(x2,y2)两点 , P(x0,y0)是弦AB的中点. (1). 求弦长|AB|; (2). 用x0,y0表示直线AB斜率.
第15讲 直线与双曲线的位置关系
引例. 已知直线 y=kx-1 与双曲线x2-y2=4，
试讨论实数k的取值范围.
(1)直线与双曲线有两个公共点;
(2)直线与双曲线的右支交于两点.
判断直线与双曲线位置关系的操作
把直线方程代入双曲线方程
（2次系数等于0） （2次系数不等于0）
得到一元一次方程
得到一元二次方程 计算判别式
2
2
x2 2 y 1(a 0) 与直线 l : x y 1 例题2.双曲线C： 2 a 相交于两个不同的点A, B.
(1) 求双曲线C的离心率e的取值范围.
5 (2) 设直线l与y轴的交点为P, 且 PA PB, 求a的值. 12
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直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2．弦长公式：设直线 ykx b 交双曲线于 P 1 x 1 , y 1 ， P 2 x 2 , y 2 ，则 P 1P 2 x 1x 2 1 k 21 k 2x 1 x 224x 1 x 2 ，或P 1P 2y 1y 2 1 11 1y 1y 224y 1 y 2 k0 ．k 2k 2二、基础自测1．经过点 P1,2 且与双曲线 4x 2 y 2 1仅有一个公共点的直线有（）2(A)4 条 (B) 3条(C) 2 条(D) 1条2．直线 y= kx 与双曲线 4x 2 y 216 不可能（）（ A ）相交（ B ）只有一个交点（ C ）相离（ D ）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线y 2x2的通径长是1619(A) 9 (B)9 (C)9(D)10424 ． 若 一 直 线 l 平 行 于双 曲 线 的 一 条 渐 近线 ， 则 l 与 双 曲线 的公 共 点 个 数为 ．解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切5．经过双曲线 x 2 y 2 8 的右焦点且斜率为2 的直线被双曲线截得的线段的长是．6．直线l在双曲线x2y21上截得的弦长为4，且l的斜率为 2，求直线l的方程．32三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1.如果直线y kx 1 与双曲线 x 2y 2 4 没有公共点，求k的取值范围．有两个公共点呢？解，所以△ =(b)240 ，所以b2 ，e c a2b2 1 (b)2 5 ，故选D.a a a a a2．(2010 ·安徽 )若直线 y＝kx＋2与双曲线 x2－ y2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是()A.15 ,15B. 0,15C.15 ,0D.15 ,133333y＝kx＋ 2，1k 202216k2 4 1k210 0解：由得 (1－ k )x －－＝，∴，解x2－y2＝ 64kx 10 0x1x20x1x20 15得－3 <k<－ 1.3、过点P( 7,5)与双曲线x2y21有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出725它们的方程。
题型二：直线与双曲线的相交弦问题4.过双曲线 x2y 21的左焦点F1，作倾斜角为的弦 AB ，求⑴AB；⑵ F2 AB 的36周长（ F2为双曲线的右焦点）。
5.已知双曲线方程为 3x2 y2 3 ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出 k 值对判别式△ >0 进行验证即可．6. 双曲线方程为 3x 2 y 2 3 .问：以定点 B(1,1) 为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点A 1, A 2 在x 轴上，离心率为21的双曲线经过点P(6,6)3（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线 l 经过 A 1PA 2 的重心 G ，与双曲线交于不同的两点 M , N ，问是否存在直线 l 使 G 平分线段 MN 。
试证明你的结论。
题型三： 求双曲线方程8. 已知焦点在 x 轴上的双曲线上一点 P ，到双曲线两个焦点的距离分别为 4和 8，直线 yx 2 被双曲线截得的弦长为 20 2 ，求此双曲线的标准方程．9、设双曲线 C :x 2y 21 a 0 与直线l : x y1相交于不同的点 A 、B.a 2⑴求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；⑵设直线 l 与 y 轴的交点为 P ，且 PA5PB ，求 a 的值。
2 12解： (1)将 y ＝－ x ＋ 1代入双曲线x2－ y 2＝ 1 中得 (1－ a 2)x 2＋ 2a 2x － 2a 2 ＝ 0①a由题设条件知，1－ a 2≠0，解得 0<a<2且 a ≠1， 又双曲线的离心率 1＋ a 242－ 2e ＝ a ＝4a ＋8aa ?>0?1 12＋ 1，a6∵ 0<a< 2且 a ≠1，∴ e> 2 且 e ≠ 2.(2)设A(x1， 1)，B(x2，2，P(0,1)．→＝5→，∴(x 1，1－1)＝5 2 ，y y )∵ PA12PBy12(xy2－ 1)．∴ x1＝5x2，12∵ x1、x2是方程①的两根，且2∴17x2＝－2a 22，522a22，1－ a ≠0，12－x2＝－－121a1 a消去 x2得，－2a2289∵ a>0，∴ a＝17 2＝60，. 1－a1310. 已知双曲线的焦点为F1c,0 ， F2 c,0，过 F2且斜率为3的直线交双曲线于5P、Q两点，若 OP OQ(其中 O 为原点）， PQ 4，求双曲线方程。
11.双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F 垂直于 l1的直线分别交l1， l 2于A，B两点．已知O A 、AB 、OB 成等差数列，且BF 与 FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：（Ⅰ）设 OA m d ， AB m ， OB m d由勾股定理可得：(m d )2m2(m d ) 2得： d 1m ， tan AOFb， tan AOB tan 2 AOF AB4 42b a OA34，解得b1, 则离心率e 5 ．由倍角公式a2b3a221a（Ⅱ）过 F 直线方程为y a( x c) ,与双曲线方程x2y2 1 联立，将 a2b ，b a2b2c5b 代入，化简有152 x28 5x 21 0a2a241x1 x21( x1 x2 )24x1x2 4b b b b2 2将数值代入，有 4532 5b4 28b , 解得 b 3故所求的双曲线方程为155x 2 y 21。
36 9x 2 y 212、已知双曲线 a 2－ b 2＝1(b>a>0)，O 为坐标原点，离心率e ＝ 2，点 M ( 5， 3)在双曲线上．1(1) 求双曲线的方程； (2) 若直线 l 与双曲线交于P ，Q 两点，且 OP OQ0 .求 |OP|21＋ |OQ|2 的值．解：∵＝，∴＝ 2＝22＝ 2，双曲线方程为 x 2y 22－ 2(1) ，c－a 3a－＝ 1，即 3xy＝e 2c2a b22a 3a3a 2.∵点 M( 5， 3)在双曲线上，∴ 15－ 3＝3a 2.∴a 2 ＝4.x 2 y 2∴所求双曲线的方程为 4 －12＝1.x2y2(2)设直线 OP 的方程为 y ＝ kx(k ≠0)，联立 4 －12＝1，得x 2122212 k＋ 113 k2 ∴|OP|2＝x 2＋ y 2 ＝ 2.则 OQ 的方程为 y ＝－ x ，y212kk3－ k 3 k 212 11 2＋ 1112 2－ 1k 2212 k3－ k ＋ 3k同理有 |OQ| ＝31 ＝3k 2－1 ，∴|OP|2＋|OQ|2＝12 k 2＋ 1＝k22＋ 2k212＝ 6.12 k ＋ 113．(2012 上海 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 1： 2x 2－ y 2 ＝1.(1)过 C 1 的左顶点引 C 1 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为 1 的直线 l 交 C 1 于 P 、Q 两点．若 l 与圆 x 2＋ y 2＝1 相切，求证：OP ⊥ OQ ；(3)设椭圆 C 2 ：4x 2＋ y 2＝ 1.若 M 、 N 分别是 C 1 、C 2 上的动点，且 OM ⊥ ON ，求证：O 到直线 MN 的距离是定值．解： (1)双曲线 C 1：x 2y21 ，左顶点 A2,0 ，渐近线方程为： y ＝± 2x.1 22过点 A 与渐近线 y ＝2x 平行的直线方程为2y2 x2，即 y ＝ 2x ＋1.y 2x y2124 解方程组，得y2x 11 . ∴所求三角形的面积为 S ＝ 2|OA||y|＝ 8 .y2(2) 证明：设直线 PQ 的方程是 ＝ ＋ ，∵直线PQ与已知圆相切，∴ |b|＝ 1，y x b 2即 b 2＝ 2.由yx b得 x 2－ 2bx －b 2－ 1＝0.设 P(x 1 ， 1 、 2 ， 2 )，则x 1x22b 2x 2y 21y ) Q(x y x 1x 21 b 2又 y 1y 2＝(x 1＋b)(x 2＋ b)，∴ OP OQ ＝ x 1 x 2 ＋ y 1y 2 ＝ 2x 1 x 2 ＋ b(x 1 ＋ x 2)＋ b 2＝ 2(－ 1－ b 2)＋ 2b 2 ＋ b 2＝ b 2 － 2＝1.故 OP ⊥ OQ.2(3)证明：当直线 ON 垂直于 x 轴时， |ON|＝ 1，|OM|＝ 2 ，则 O 到直线 MN 的3距离为 3.当直线 ON 不垂直于 x 轴时，设直线 ON 的方程为 y ＝ kx(显然 k2)，21y kxx 2 14 k2则直线 OM 的方程为 y ＝－ k x.由 4x 2 y 2 1 得y 2k 2k 24∴ |ON|2＝1＋ k21＋ k2.设 O 到直线 MN 的距离为 d.2.同理 |OM|2＝24＋ k2k － 11＝112＝3k2＋ 33∵ (|OM|2＋ |ON|2)d2＝ |OM|2|ON|2，∴2 2 ＋|ON|2＋1＝ 3，即 d＝3.d|OM|k综上， O 到直线 MN 的距离是定值．五、能力提升1．若不论 k 为何值，直线 y=k(x-2)+b与双曲线 x 2y 2 1 总有公共点，则 b 的取值范围是（）(A)3,3(B)[3,3](C)2,2(D)2,22．过双曲线x 2y 21交双曲线于A、B两点，若 |AB|=4 ，则2的右焦点 F 作直线l这样的直线 l 有（）(A)1 条(B)2条(C)3条(D)4条3．过点P1,b的直线 l 与双曲线x2y2 1 a0, b0有且仅有一个公共点，且a a2b2这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（）(A)2(B)4(C) 1或 2(D)2或 44. 已知双曲线x2y21a0, b 0 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为45 的直a 2b2线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）(A) (1，2](B)（ 1， 2)(C) [2，+∞ )(D) (2，+∞)6．直线l : y kx 2 与双曲线 C : x2y2 6 的右支交于不同两点，则k 的取值范围是．7.已知倾斜角为的直线l被双曲线x2 4 y260 截得的弦长AB 8 2 ，求直线 l4的方程．8. 设直线 l : y 3x1与双曲线于x 2y 2 1 a 0, b 0 相交于 A 、B 两点，且弦 ABa 2b 2中点的横坐标为1．22(1) 求a2 的值； (2) 求双曲线离心率． b9. 已知双曲线 x2y 2 1 a 0, b 0 的离心率 e 12 ，左、右焦点分别为 F 1 、F 2 ，a 2b 2左准线为 l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得 PF 1 是 P 到 l 的距离 d 与 PF 2的等比中项？。