直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线
一:直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(两个交点,一个交点)
（与渐近线平行的直线）
Y
O
X
例题讲解
例1：如果直线 y=kx-1 与双曲线x2-y2=4没有公共点，求 k的取值范围
解：由 y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
x2-y2=4
l : y? b x? m a
,c:
x2 a2
?
y2 b2
?1
根本就没有判别式 !
总结二
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方 程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根 本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓 的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
请判断下列直线与双曲线之间的位置关系
[1] l : x? 3 ,c: x2 ? y2 ? 1 9 16
相切
[2]
l : y ? 4 x ? 1 ,c : x2 ? y2 ? 1 相 交
3
9 16
回顾一下:判别式情况如何?
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
判断下列直线与双曲线的位置关系
[ 1]l : y? 4x?1,c: x2 ? y2 ?1 相交(一个交点)
5
25 16
[ 2]l: y? 5 x?1,c: x2 ? y2 ?1 相离
思考？
1、如果直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=4只有1个公共点，求 k的取值范围
解：等价于(*)只有一解。①当1-k2=0时，即k= 1(*)只有一解
② 当1-k2≠0时，△=0，即k=
(*)只有一解
2、如果直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=4右支有两个公共点，求 k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
1-k2≠0
∴
△=4k2+20(1-k2)<0
k> 或k< -
∴ k> 或k< 引申1：如果直线y=kx-1 与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求 k的取值范围
解：直线一双曲线有两个公共点
1-k2≠0 △=4k2+20(1-k2)<0
∴ - <k< 或k≠ 1
方程(*)有两个不等的根
- <k< 或k≠ 1
解：等价于
4k2+20(1-k2)>0
1-k2≠0
- x1x2=
2 <0
-1<k<1
总结一
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 那么 ,依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意
味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相
交?
P
当点P在双曲线的中 心时，不可能作出一 条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
4
25 16
1、如果直线y=kx+1与双曲线x2-3y2=5的 左右支各有一个交点，求k的取值范围
P
当点P在双曲线上时，能 作3条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
当点P在其中一条渐近 线上（中心除外）时， 一条是切线，一条是与 另一条渐近线平行。
P
当点P在含焦点区域 内时，两条是分别与 两条渐近线平行。
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 >0
1<k<
- x1x2=
2 >0
3、如果直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=4左支有两个公共点，求 k的取值范围
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4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 >0
- <k<-1
- x1x2=
2 <0
4、如果直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=4左、右支各 1个公共点，求 k的取值范围