直线与双曲线的位置关系(公开课) PPT
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化简整理 (1k2)x22kx50
由韦达定理得：x1x21 2kk2;x1x21 注 :x5 k直22-线（y与※2）双=曲4
要使直线与双曲线的右支有两个
线的右支有两个 交点,实际上给出
相异的公共点，则应满足
了 方程 解的
1k20
0
(x12)(x22)0
1k2 0 0
(x1x2)40
范围,涉及到二次 方程的根的分布 问题.解题时需要
设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 , 则 x 1 , x 2 是 方 程 1 的 两 个 不 等 实 根 .
∴ Δ = 4 k 2 8 - k 2 - 4 k 2 - 4 8 - k 2 - 4 > 0 2
Q 弦 A B 的 中 点 是 P 1 ,8 , ∵ 由中 2点 坐 3标 得 公 k式 =与 1韦 达 定 理 , 得 - k k 8 2 - - 4 k = 13
过点 P(0,3)的直 l与 线双曲 C： x线 2y2 1仅有 4
一个公共点 l的 ，方 求程 直。 线
设l的方程为 y： k x3
由 xy2 ky42 x314k2x26k x13 0 1 当 4 k 2 0 时 , k 2 , 此 l : y 2 时 x 3
2 当 4 k 2 0 时 ,由 6 k 2 4 4 k 2 1 3 0 ,
例题讲解
例3：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围
解：由 y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
x2-y2=4
1-k2≠0
∴
△=4k2+20(1-k2)<0
k> 或k< -
∴ k> 或k< 引申1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围
② 当1-k2≠0时，△=0，即k=
(*)只有一解
2、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 >0
1<k<
- x1x2=
2 >0
3、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点，求k的取值范围
2
直 线 AB的 方 程 为 y-8= 1x 1
2 即 直 线 A B 的 方 程 为 x - 2 y + 1 5 = 0
解法二:设Ax1, y1,Bx2, y2,则
yy122244xx122244,
y 1 y 1 y 1 y 1 4 x 1 x 2 x 1 x 2 ,
Q 弦 A B 的 中 点 是 P 1 ,8 , x 1x22 ,y1y2 1 6 .
得 k 1,此 3l:y 时 1x 3 3
2.过点P(1,1)与双曲线
x2 9
y2 16
1
只有
Y
一个
交点的直线 共有___4____条.
（1，1）
变式:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
理论分析：
y = kx+ m
x2
a2
-
y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，直线L（K= 线的渐近线平行或重合。
b a
）与双曲
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
注意!
(x12)(x22)0 x1x22(x1x2)40
解得 1 k 5 2
例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
解法一： （1） 当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被双曲线
截得的弦的中点不是P点。 （2） 当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设其斜率为k．
则直线AB的方程为y-8=k（x-1）
由yy2--84=xk2=x4-1,得
k2-4x2+2kk-8x+8-k2-4=0
例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
k 2 - 4 x 2 + 2 k k - 8 x + 8 - k 2 - 4 = 0 1
解：直线一双曲线有两个公共点
1-k2≠0 △=4k2+20(1-k2)>0
∴ - <k< 且k≠ 1
方程(*)有两个不等的根
- <k< 且k≠ 1
思考？
1、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有1个公共点，求k的取值范围
解：等价于(*)只有一解。①当1-k2=0时，即k= 1(*)只有一解
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 <0
- <k<-1
- x1x2=
2 >0
4、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围
解：等价于
4k2+20(1-k2)>0
1-k2≠0
- x1x2=
2 <0
-1<k<1
（2）解：将直线 ykx1代入双曲线方程 x2 y2 4
直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
含
含
焦
含
焦 点
点
焦Βιβλιοθήκη Baidu点
区
区
区
域
域
域
内
外
内
P
P
当点P在双曲线上时，能 作3条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
当点P在其中一条渐近 线上（中心除外）时， 一条是切线，一条是与 另一条渐近线平行。
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
判断直线与双曲线位置关系的处理程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
P
当点P在含焦点区域 内时，两条是分别与 两条渐近线平行。
P
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
当点P在双曲线的中 心时，不可能作出一 条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
过点P且与双曲线只 有一个公共点的直 线最多有4条
也就是说过点P作与 双曲线只有一个公共 点的直线条数可能是 4条、3条、2条、0条
由韦达定理得：x1x21 2kk2;x1x21 注 :x5 k直22-线（y与※2）双=曲4
要使直线与双曲线的右支有两个
线的右支有两个 交点,实际上给出
相异的公共点，则应满足
了 方程 解的
1k20
0
(x12)(x22)0
1k2 0 0
(x1x2)40
范围,涉及到二次 方程的根的分布 问题.解题时需要
设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 , 则 x 1 , x 2 是 方 程 1 的 两 个 不 等 实 根 .
∴ Δ = 4 k 2 8 - k 2 - 4 k 2 - 4 8 - k 2 - 4 > 0 2
Q 弦 A B 的 中 点 是 P 1 ,8 , ∵ 由中 2点 坐 3标 得 公 k式 =与 1韦 达 定 理 , 得 - k k 8 2 - - 4 k = 13
过点 P(0,3)的直 l与 线双曲 C： x线 2y2 1仅有 4
一个公共点 l的 ，方 求程 直。 线
设l的方程为 y： k x3
由 xy2 ky42 x314k2x26k x13 0 1 当 4 k 2 0 时 , k 2 , 此 l : y 2 时 x 3
2 当 4 k 2 0 时 ,由 6 k 2 4 4 k 2 1 3 0 ,
例题讲解
例3：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围
解：由 y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
x2-y2=4
1-k2≠0
∴
△=4k2+20(1-k2)<0
k> 或k< -
∴ k> 或k< 引申1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围
② 当1-k2≠0时，△=0，即k=
(*)只有一解
2、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 >0
1<k<
- x1x2=
2 >0
3、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点，求k的取值范围
2
直 线 AB的 方 程 为 y-8= 1x 1
2 即 直 线 A B 的 方 程 为 x - 2 y + 1 5 = 0
解法二:设Ax1, y1,Bx2, y2,则
yy122244xx122244,
y 1 y 1 y 1 y 1 4 x 1 x 2 x 1 x 2 ,
Q 弦 A B 的 中 点 是 P 1 ,8 , x 1x22 ,y1y2 1 6 .
得 k 1,此 3l:y 时 1x 3 3
2.过点P(1,1)与双曲线
x2 9
y2 16
1
只有
Y
一个
交点的直线 共有___4____条.
（1，1）
变式:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
理论分析：
y = kx+ m
x2
a2
-
y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，直线L（K= 线的渐近线平行或重合。
b a
）与双曲
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
注意!
(x12)(x22)0 x1x22(x1x2)40
解得 1 k 5 2
例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
解法一： （1） 当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被双曲线
截得的弦的中点不是P点。 （2） 当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设其斜率为k．
则直线AB的方程为y-8=k（x-1）
由yy2--84=xk2=x4-1,得
k2-4x2+2kk-8x+8-k2-4=0
例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
k 2 - 4 x 2 + 2 k k - 8 x + 8 - k 2 - 4 = 0 1
解：直线一双曲线有两个公共点
1-k2≠0 △=4k2+20(1-k2)>0
∴ - <k< 且k≠ 1
方程(*)有两个不等的根
- <k< 且k≠ 1
思考？
1、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有1个公共点，求k的取值范围
解：等价于(*)只有一解。①当1-k2=0时，即k= 1(*)只有一解
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 <0
- <k<-1
- x1x2=
2 >0
4、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围
解：等价于
4k2+20(1-k2)>0
1-k2≠0
- x1x2=
2 <0
-1<k<1
（2）解：将直线 ykx1代入双曲线方程 x2 y2 4
直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
含
含
焦
含
焦 点
点
焦Βιβλιοθήκη Baidu点
区
区
区
域
域
域
内
外
内
P
P
当点P在双曲线上时，能 作3条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
当点P在其中一条渐近 线上（中心除外）时， 一条是切线，一条是与 另一条渐近线平行。
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
判断直线与双曲线位置关系的处理程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
P
当点P在含焦点区域 内时，两条是分别与 两条渐近线平行。
P
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
当点P在双曲线的中 心时，不可能作出一 条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
过点P且与双曲线只 有一个公共点的直 线最多有4条
也就是说过点P作与 双曲线只有一个公共 点的直线条数可能是 4条、3条、2条、0条