直线与双曲线的位置关系(公开课) PPT
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直线与双曲线的位置关系ppt课件
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)将 y＝kx＋ 2代入x32－y2＝1，得
(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
由直线 l 与双曲线交于不同的两点，得
1－3k2≠0 Δ＝6 2k2＋361－3k2＝361－k2>0
方程化为 2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲
线相交，且只有一个公共点．
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－ 4)＝4(4－3k2)．
x1＋x2＝2－2kk2
，
x1·x2＝k2－2 2
假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C
的右焦点 F( 26，0)，则 FA⊥FB，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
∴(x1－ 26)(x2－ 26)＋y1y2＝0， 即(x1－ 26)(x2－ 26)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0. (1＋k2)x1x2＋(k－ 26)(x1＋x2)＋52＝0， ∴(1＋k2)·k2－2 2＋(k－ 26)·2－2kk2＋52＝0，
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
[解析] (1)将直线 l 的方程 y＝kx＋1 代入双曲线 C 的方程 2x2－y2＝1 后整理得，
直线与双曲线的位置关系 课件
Δ＝－8<0.
这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不存在．
『规律总结』 中点弦问题：(一)可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；(二) 可以用点差法和中点坐标公式求解．
已知双曲线 3x2－y2＝3，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45°，与双 曲线交于 A，B 两点，试问 A，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的 长.
3，或
2 k>
3
3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲
线无公共点．
综上所述，当－2 3 3<k<－1，或－1<k<1，或
2 1<k<
3 3时，直线与双曲线有
两个公共点；当 k＝±1，或 k＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当
k<－2 3
3，或
2 k>
3
3时，直线与双曲线没有公共点．
『规律总结』 1.直线与双曲线位置关系的判断方法：
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0. 解得 k<32，且 x1＋x2＝2kk2k－－21. ∵B(1,1)是弦的中点，∴kkk2－－21＝1，∴k＝2>32. 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦．
解法二：设存在被点 B 平分的弦 MN，设 M(x1，y1)、N(x2，y2)．
已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实 数 k 的取值范围.
(1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
[思路分析] 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方 程组成方程组，对方程解的个数进行讨论．
双曲线与直线的位置关系课件
双曲线与直线的位置关系
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
直线与双曲线的位置关系PPT优秀课件
2 2
F2 AB 的周长 AB AF2 BF2 AB 2a ex1 AB e x2 x1 2b 2 e a
x2 x1 2 4 x1 x2
例 3：
2 y 经过双曲线 x2 1 的右焦点 F 作直线 l， 2 2 交双曲线于 A ， B 两点，若 AB4 ，则这样
改变 P 点的位置： 1 、 P 1， 0 ； 2 、 P 1， 2 ；
3 、 P 0， 0
例 2： 设 l 的方程为： y 3 x 2 解 y 3 x 2 ：由 2 x 6 2 x 7 0
2 2 2 x y 1
2 1 当 4 k 0 时 , k 2 , 此时 l : y 2 x 3
2 2 2 2 当 4 k 0 时 , 由 6 k 4 4 k 13 0 ,
得 k 13 , 此时 l : y 13 x 3
直线与圆锥曲线的位置关系 可以通过对直线方程与圆锥 曲线方程组成的二元二次方 程组的解的情况的讨论来研 究。即方程消元后得到一个 一元二次方程，利用判别式 ⊿来讨论
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点 二、弦Байду номын сангаас 三、弦的中点的问题
AB ex2 x1 AB e
经过双曲线 x y 1 的左焦点 F 作倾斜角为 1 6 的弦 AB 。求 F AB 的周长 2
2 2
x2 x1
2
4x1x2
变 形 ２： 解 ：
F2 AB 的周长 AB AF2 BF2 AB 2a ex1 AB e x2 x1 2b 2 e a
x2 x1 2 4 x1 x2
例 3：
2 y 经过双曲线 x2 1 的右焦点 F 作直线 l， 2 2 交双曲线于 A ， B 两点，若 AB4 ，则这样
改变 P 点的位置： 1 、 P 1， 0 ； 2 、 P 1， 2 ；
3 、 P 0， 0
例 2： 设 l 的方程为： y 3 x 2 解 y 3 x 2 ：由 2 x 6 2 x 7 0
2 2 2 x y 1
2 1 当 4 k 0 时 , k 2 , 此时 l : y 2 x 3
2 2 2 2 当 4 k 0 时 , 由 6 k 4 4 k 13 0 ,
得 k 13 , 此时 l : y 13 x 3
直线与圆锥曲线的位置关系 可以通过对直线方程与圆锥 曲线方程组成的二元二次方 程组的解的情况的讨论来研 究。即方程消元后得到一个 一元二次方程，利用判别式 ⊿来讨论
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点 二、弦Байду номын сангаас 三、弦的中点的问题
AB ex2 x1 AB e
经过双曲线 x y 1 的左焦点 F 作倾斜角为 1 6 的弦 AB 。求 F AB 的周长 2
2 2
x2 x1
2
4x1x2
变 形 ２： 解 ：
直线和双曲线的位置关系PPT课件.ppt
一元一次方程
一元二次方程
直线与双曲线的 渐近线平行
相交（一个公共点）
计算判别式 △>0 △=0 △<0 相交 相切 相离
直线与圆锥曲线的位置关系
问题2 :
这些直线 l与椭圆C：x2 y2 1的位置关系又如何?
3
判判断断直直线线与与圆双锥曲曲线线位位置置关关系系的的一一般般思思路 路 直直线线方方程程与与圆双锥曲曲线线方联程立联方立程并并消消元元
一元一次方程
一元二次方程
直线直与线双与曲双线曲的渐线近的线平行或 计 算 判 别 式 与抛物渐线的近对线称平轴行平行（重合）
△>0 △=0 △<0
相交（一个公共点） 相交 相切 相离
直线与圆锥曲线的位置关系
例、已知直线 l：y kx k，双曲线C：x2 y2 4,
当k为何值时：
（1）l 与C有唯一公共点； （2）l 与C有两个不同的公共点.
谢谢！
欢迎您到余杭高级中学来！
直线与圆锥曲线的位置关系
课后的延续思考：
1、对于课堂上的例题：直线y kx k与双曲线x2 y2 4， 如果这个直线改为y k( x 2)或y k( x 3)，这样的直 线与双曲线有唯一公共点的直线各有几条？如何解释？
2、如果过两点A(a,0)和B(0, a)的直线与抛物线y x2 2x 3没有公共点，那么求实数a的取值范围你认 为 可 以 从 哪 几 方 面 去 解决 ？
执教：杭州市余杭高级中学 吴寅静
二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0五年十一月
直线与圆锥曲线的位置关系
问题1：
已知直线l ：y kx 2与双曲线C：x2 y2 1，
3 请你列举出一些k的值，使其与双曲线有不同 的位置关系，并说明公共点的个数.
《直线与双曲线》课件
根据双曲线的定义和性质，可以得出点到焦点的距离公式。然后根据题目给出的条 件，将已知数值代入公式进行计算。
综合题类型及解题思路
类型三：与切线有关的问题
求切线方程，需要利用导数和切线的定义，结合几何意义进行求解。
首先求出双曲线在某一点的导数，这个导数表示该点切线的斜率。然后根据切线的定义和斜 率，写出切线方程。最后将已知数值代入切线方程进行求解。
直线与双曲线的交点
交点的求法
当直线的方程与双曲线的方程相等时 ，解出x和y的值即为交点坐标。
交点的性质
直线与双曲线的交点满足两个方程， 因此交点同时属于直线和双曲线。
01
直线与双曲线的位 置关系
直线与双曲线相切
切点定义
直线与双曲线在某一点相切，该 点称为切点。
切线性质
切线与双曲线的渐近线平行，且切 线斜率等于双曲线在该点的导数。
步骤
设直线方程为 $x = ty + m$，双曲线方程为 $x = rho cos theta, y = rho sin theta$，联立两个方程消去参数 $theta$ 和 $rho$。
应用
适用于求解与参数相关的直线与双曲线的交点问题。
01
直线与双曲线的综 合题解析
综合题类型及解题思路
类 各种轨迹问题，如行星运动轨迹等。
物理问题中的应用
光学和声学
在光学和声学中，光线和声波的 传播路径可以模拟为直线或双曲
线的形式。
力学
在力学中，直线与双曲线可以用 来描述物体运动轨迹和受力分析
。
电学
在电学中，电流的传导和电场的 分布可以用直线与双曲线的知识
来解释。
实际生活中的应用
《直线与双曲线》 ppt课件
综合题类型及解题思路
类型三：与切线有关的问题
求切线方程，需要利用导数和切线的定义，结合几何意义进行求解。
首先求出双曲线在某一点的导数，这个导数表示该点切线的斜率。然后根据切线的定义和斜 率，写出切线方程。最后将已知数值代入切线方程进行求解。
直线与双曲线的交点
交点的求法
当直线的方程与双曲线的方程相等时 ，解出x和y的值即为交点坐标。
交点的性质
直线与双曲线的交点满足两个方程， 因此交点同时属于直线和双曲线。
01
直线与双曲线的位 置关系
直线与双曲线相切
切点定义
直线与双曲线在某一点相切，该 点称为切点。
切线性质
切线与双曲线的渐近线平行，且切 线斜率等于双曲线在该点的导数。
步骤
设直线方程为 $x = ty + m$，双曲线方程为 $x = rho cos theta, y = rho sin theta$，联立两个方程消去参数 $theta$ 和 $rho$。
应用
适用于求解与参数相关的直线与双曲线的交点问题。
01
直线与双曲线的综 合题解析
综合题类型及解题思路
类 各种轨迹问题，如行星运动轨迹等。
物理问题中的应用
光学和声学
在光学和声学中，光线和声波的 传播路径可以模拟为直线或双曲
线的形式。
力学
在力学中，直线与双曲线可以用 来描述物体运动轨迹和受力分析
。
电学
在电学中，电流的传导和电场的 分布可以用直线与双曲线的知识
来解释。
实际生活中的应用
《直线与双曲线》 ppt课件
直线与双曲线的位置关系(公开课)ppt课件
直线与双曲线的位置关系
一、复习引入
直线与椭圆的位置关系
位置关系 几何直观
相离
没有公共点
相切
只有一个公共点
相交
有两个公共点
代数方法
方程组（*）无解 △＜0 方程组（*）有一解 △＝0 方程组（*）有两解 △＞0
相离
相切
相交
直线与双曲线有哪些位置关系，该如何判断？
二、直线与双曲线的位置关系
2. 弦长公式
| AB |
1 k 2 x1 x2
1
1 k2
y1 y2
3. 中点弦问题点差法（设而不求）
六、作业布置 1.金版P46A组8（按解答题要求写过程） 2.课本P62B组4
12
二、直线与双曲线的位置关系
探究2：如果直线y kx 1 与双曲线 x2 y2 4 满足 以下条件，请分别求出 k的取值范围。
①没有公共点
k ,
5 2
5 2
,
②有两个公共点
k
5, 2
5 2
且k
1
的周长.（ F1 为双曲线的左焦点）
求直线与双曲线相交弦长的方法：
1.求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长
2. 利用弦长公式| AB |
1 k 2 x1 x2
1
1 k2
y1 y2
和根与系数关系求弦长
四、中点弦问题
例3.设 A，B 为双曲线 x2－y22＝1 上的两点，AB 中点为
把直线方程代入双曲线方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐近线平行
相交（一个交点）
一、复习引入
直线与椭圆的位置关系
位置关系 几何直观
相离
没有公共点
相切
只有一个公共点
相交
有两个公共点
代数方法
方程组（*）无解 △＜0 方程组（*）有一解 △＝0 方程组（*）有两解 △＞0
相离
相切
相交
直线与双曲线有哪些位置关系，该如何判断？
二、直线与双曲线的位置关系
2. 弦长公式
| AB |
1 k 2 x1 x2
1
1 k2
y1 y2
3. 中点弦问题点差法（设而不求）
六、作业布置 1.金版P46A组8（按解答题要求写过程） 2.课本P62B组4
12
二、直线与双曲线的位置关系
探究2：如果直线y kx 1 与双曲线 x2 y2 4 满足 以下条件，请分别求出 k的取值范围。
①没有公共点
k ,
5 2
5 2
,
②有两个公共点
k
5, 2
5 2
且k
1
的周长.（ F1 为双曲线的左焦点）
求直线与双曲线相交弦长的方法：
1.求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长
2. 利用弦长公式| AB |
1 k 2 x1 x2
1
1 k2
y1 y2
和根与系数关系求弦长
四、中点弦问题
例3.设 A，B 为双曲线 x2－y22＝1 上的两点，AB 中点为
把直线方程代入双曲线方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐近线平行
相交（一个交点）
最新直线与双曲线的位置关系(重要)教学讲义PPT
2
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ；
(5)与左支交于两点.-
5 k 1 2
解 ： x y 2 = -k y 2 由 - = x 1 4 得 x （ 2， 1 -k 2 ） 2 k x 50
2.过点P(1,1)与双曲线
x2 9
y2 16
1
只有
Y
一个
交点的直线 共有___4____条.
疯狂操练 1
3. 小明有两个书架,第一个书架比第二个 书架多20本书,第二个书架给第一个书 架10本书后,两个书架谁的书多?多多 少本? 2×10=20 (本)
20+ 20 =40 (本)
答:第一个书架的书多,多40本.
例题 2
甲乙两筐西瓜各28个,从甲筐取几个放入 乙筐中后,乙筐就比甲筐多10个.甲筐现在 有多少个西瓜?
一个交点: 直线与渐进线平行
②相切一点: △=0
③相 离: △＜0
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点——交点个数 二、弦长——弦长公式 三、弦的中点的问 ------题——点差法
过点 P的直l与 线双曲 C：x线 2y2 1仅有 4
12
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称 5.设而不求(韦达定理、点差法)
拓展延伸
1.已知P为双曲线 x2 16
y2 9
1右支上的一点,F1, F2
分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3 : 2，试求点
P( x0 , y0 )的坐标。
2.已知双曲线x2
y2 3
1左、右焦点分别为F1, F2，
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ；
(5)与左支交于两点.-
5 k 1 2
解 ： x y 2 = -k y 2 由 - = x 1 4 得 x （ 2， 1 -k 2 ） 2 k x 50
2.过点P(1,1)与双曲线
x2 9
y2 16
1
只有
Y
一个
交点的直线 共有___4____条.
疯狂操练 1
3. 小明有两个书架,第一个书架比第二个 书架多20本书,第二个书架给第一个书 架10本书后,两个书架谁的书多?多多 少本? 2×10=20 (本)
20+ 20 =40 (本)
答:第一个书架的书多,多40本.
例题 2
甲乙两筐西瓜各28个,从甲筐取几个放入 乙筐中后,乙筐就比甲筐多10个.甲筐现在 有多少个西瓜?
一个交点: 直线与渐进线平行
②相切一点: △=0
③相 离: △＜0
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
直线与圆锥曲线相交所产生的问题：
一、交点——交点个数 二、弦长——弦长公式 三、弦的中点的问 ------题——点差法
过点 P的直l与 线双曲 C：x线 2y2 1仅有 4
12
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称 5.设而不求(韦达定理、点差法)
拓展延伸
1.已知P为双曲线 x2 16
y2 9
1右支上的一点,F1, F2
分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3 : 2，试求点
P( x0 , y0 )的坐标。
2.已知双曲线x2
y2 3
1左、右焦点分别为F1, F2，
2019【中学数学】直线与双曲线的位置关系ppt课件.ppt
思考：如何通过研究方程判断 直线与双曲线的位置关系
O
X
举例说明：
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。 2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
5 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA PB, 求a的值。 12
6 (1)e 且e 2 2
17 (2) a 13
双曲线第一、二定义的应用
x2 y2 1.已知P为双曲线 1右支上的一点,F1 , F2 16 9 分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3 : 2，试求点 P( x0 , y0 )的坐标。
边F 1 F2 的切点坐标。
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形，其中 | PF | PF2 |和 | F1F2 | 1 |、 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦.弦长公式
解：由
y=kx-1 x2-y2=4 1-k2≠0
得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
∴
△=4k2+20(1-k2)<0
5 5 k , 2 2 ,
引申2：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围 解：直线与双曲线有两个公共点
点A（2，1）能否作直线 l使它与双曲线
交于P1 ，P2 两点，且 点A是线段 PP 1 2 的中点？ 这样的直线 l如果存在，求出它的方程及 弦长| PP |，如果不存在，请说明理由。 1 2
O
X
举例说明：
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行 或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。 2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
5 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA PB, 求a的值。 12
6 (1)e 且e 2 2
17 (2) a 13
双曲线第一、二定义的应用
x2 y2 1.已知P为双曲线 1右支上的一点,F1 , F2 16 9 分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3 : 2，试求点 P( x0 , y0 )的坐标。
边F 1 F2 的切点坐标。
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形，其中 | PF | PF2 |和 | F1F2 | 1 |、 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦.弦长公式
解：由
y=kx-1 x2-y2=4 1-k2≠0
得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
∴
△=4k2+20(1-k2)<0
5 5 k , 2 2 ,
引申2：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围 解：直线与双曲线有两个公共点
点A（2，1）能否作直线 l使它与双曲线
交于P1 ，P2 两点，且 点A是线段 PP 1 2 的中点？ 这样的直线 l如果存在，求出它的方程及 弦长| PP |，如果不存在，请说明理由。 1 2
直线与双曲线位置关系种类市公开课金奖市赛课一等奖课件
• 变: ⑴假如直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝ 4只有一个公共点，求k取值范围。
• 变: 过点P(0,－1)直线l与双曲线x2－y2＝4 只有一个公共点，求直线l方程。
• ⑵假如直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4有 两个公共点，求k取值范围。
• ⑶假如直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4右 支有两个公共点，求k取值范围。
2.假如直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支 有两个公共点，求k取值范围
3.假如直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左
支有两个公共点，求k取值范围
4.假如直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右 支各1个公共点，求k取值范围
第8页
(1) 解: 等价于(*)只有一解。
①当 1 k2 0 时, 即 k 1 (*)只有一解
0
5 k 1 2
(4)
4k2+20(1-k2)>0
解: 等价于
1k2 0
x1x2
5 1 k2
0
1 k 1 第10页
总结一
[1] 0 个交点和两个交点情况都正常, 那么 ,仍然能够用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊相交 ) , 那么是否意味
着判别式等于零时 , 即也许相切也也许相
<0
0 个交点
=0
一个交点
相交 相离 相切
第15页
判断直线与双曲线位置关系操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程
计算判别式
>0 =0 <0
相交
相切
相离
第16页
• 变: 过点P(0,－1)直线l与双曲线x2－y2＝4 只有一个公共点，求直线l方程。
• ⑵假如直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4有 两个公共点，求k取值范围。
• ⑶假如直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4右 支有两个公共点，求k取值范围。
2.假如直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支 有两个公共点，求k取值范围
3.假如直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左
支有两个公共点，求k取值范围
4.假如直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右 支各1个公共点，求k取值范围
第8页
(1) 解: 等价于(*)只有一解。
①当 1 k2 0 时, 即 k 1 (*)只有一解
0
5 k 1 2
(4)
4k2+20(1-k2)>0
解: 等价于
1k2 0
x1x2
5 1 k2
0
1 k 1 第10页
总结一
[1] 0 个交点和两个交点情况都正常, 那么 ,仍然能够用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊相交 ) , 那么是否意味
着判别式等于零时 , 即也许相切也也许相
<0
0 个交点
=0
一个交点
相交 相离 相切
第15页
判断直线与双曲线位置关系操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程
计算判别式
>0 =0 <0
相交
相切
相离
第16页
直线与双曲线的位置关系 课件
2．已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过
F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N(－12，
－15)，则 E 的方程为( )
A.x32－y62＝1
B.x42－y52＝1
C.x62－y32＝1
D.x52－y42＝1
解析： 由于 AB 的中点为 N(－12，－15)，所以直线 l 的斜率 k＝－－1152－－03＝1，所以直线 l 的方程为 y＝x－3，由于 F(3,0)是 E 的焦点，可设双曲线的方程为xa2－9－y2 a＝1(0<a<9)，
＝2kk22－＋12＝2＋k2－4 1.
10 分
又因为 x1x2＞0，所以 k2－1＞0，从而O→A·O→B＞2. 综上，当 AB⊥x 轴时，O→A·O→B取得最小值 2.12 分
此类题涉及到的知识点相对较多：直线、圆、双曲线的相 关知识以及定点问题，求解时利用直线和双曲线的关系建 立方程组，通过根与系数的关系或向量的运算求解相关参 变量的值．
直线双曲线的综合问题
已知点 M(－2,0)，N(2,0)，动点 P 满足条件|PM| －|PN|＝2 2，记动点 P 的轨迹为 W.
(1)求 W 的方程； (2)若 A，B 是 W 上的不同两点，O 是坐标原点，求O→A·O→B 的最小值．
思路点拨： 定义法求方程 → 讨论AB的斜率 → 联立方程组 → 根与系数的关系表示出O→A·O→B → 利用函数知识求出最小值
若 A，B 在双曲线的同一支上，须 x1x2＝k2－2 3＞0， 解得 k＜－ 3或 k＞ 3； 若 A，B 分别在双曲线的两支上，须 x1x2＝k2－2 3＜0， 解得－ 3＜k＜ 3. 所以，当－ 6＜k＜－ 3或 3＜k＜ 6时，A，B 两点在 同一支上；当－ 3＜k＜ 3时，A，B 两点在双曲线的两支上．
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P
当点P在含焦点区域 内时，两条是分别与 两条渐近线平行。
P
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
当点P在双曲线的中 心时，不可能作出一 条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
过点P且与双曲线只 有一个公共点的直 线最多有4条
也就是说过点P作与 双曲线只有一个公共 点的直线条数可能是 4条、3条、2条、0条
则直线AB的方程为y-8=k（x-1）
由yy2--84=xk2=x4-1,得
k2-4x2+2kk-8x+8-k2-4=0
例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
k 2 - 4 x 2 + 2 k k - 8 x + 8 - k 2 - 4 = 0 1
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 <0
- <k<-1
- x1x2=
2 >0
4、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围
解：等价于
4k2+20(1-k2)>0
1-k2≠0
- x1x2=
2 <0
-1<k<1
（2）解：将直线 ykx1代入双曲线方程 x2 y2 4
化简整理 (1k2)x22kx50
由韦达定理得：x1x21 2kk2;x1x21 注 :x5 k直22-线（y与※2）双=曲4
要使直线与双曲线的右支有两个
线的右支有两个 交点,实际上给出
相异的公共点，则应满足
了 方程 解的
1k20
0
(x12)(x22)0
1k2 0 0
(x1x2)40
范围,涉及到二次 方程的根的分布 问题.解题时需要
过点 P(0,3)的直 l与 线双曲 C： x线 2y2 1仅有 4
一个公共点 l的 ，方 求程 直。 线
设l的方程为 y： k x3
由 xy2 ky42 x314k2x26k x13 0 1 当 4 k 2 0 时 , k 2 , 此 l : y 2 时 x 3
2 当 4 k 2 0 时 ,由 6 k 2 4 4 k 2 1 3 0 ,
得 k 1,此 3l:y 时 1x 3 3
2.过点P(1,1)与双曲线
x2 9
y2 16
1
只有
Y
一个
交点的直线 共有___4____条.
（1，1）
变式:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
例题讲解
例3：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围
解：由 y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
x2-y2=4
1-k2≠0
∴
△=4k2+20(1-k2)<0
k> 或k< -
∴ k> 或k< 引申1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围
直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
含
含
焦
含
焦 点
点
焦 点
区
区
区
域
域
域
内
外
内
P
P
当点P在双曲线上时，能 作3条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
当点P在其中一条渐近 线上（中心除外）时， 一条是切线，一条是与 另一条渐近线平行。
理论分析：
y = kx+ m
x2
a2
-
y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，直线L（K= 线的渐近线平行或重合。
b a
）与双曲
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
2
直 线 AB的 方 程 为 y-8= 1x 1
2 即 直 线 A B 的 方 程 为 x - 2 y + 1 5 = 0
解法二:设Ax1, y1,Bx2, y2,则
yy122244xx122244,
y 1 y 1 y 1 y 1 4 x 1 x 2 x 1 x 2 ,
Q 弦 A B 的 中 点 是 P 1 ,8 , x 1x2x22(x1x2)40
解得 1 k 5 2
例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
解法一： （1） 当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被双曲线
截得的弦的中点不是P点。 （2） 当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设其斜率为k．
② 当1-k2≠0时，△=0，即k=
(*)只有一解
2、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 >0
1<k<
- x1x2=
2 >0
3、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点，求k的取值范围
解：直线一双曲线有两个公共点
1-k2≠0 △=4k2+20(1-k2)>0
∴ - <k< 且k≠ 1
方程(*)有两个不等的根
- <k< 且k≠ 1
思考？
1、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有1个公共点，求k的取值范围
解：等价于(*)只有一解。①当1-k2=0时，即k= 1(*)只有一解
设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 , 则 x 1 , x 2 是 方 程 1 的 两 个 不 等 实 根 .
∴ Δ = 4 k 2 8 - k 2 - 4 k 2 - 4 8 - k 2 - 4 > 0 2
Q 弦 A B 的 中 点 是 P 1 ,8 , ∵ 由中 2点 坐 3标 得 公 k式 =与 1韦 达 定 理 , 得 - k k 8 2 - - 4 k = 13
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
判断直线与双曲线位置关系的处理程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
当点P在含焦点区域 内时，两条是分别与 两条渐近线平行。
P
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
当点P在双曲线的中 心时，不可能作出一 条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
过点P且与双曲线只 有一个公共点的直 线最多有4条
也就是说过点P作与 双曲线只有一个公共 点的直线条数可能是 4条、3条、2条、0条
则直线AB的方程为y-8=k（x-1）
由yy2--84=xk2=x4-1,得
k2-4x2+2kk-8x+8-k2-4=0
例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
k 2 - 4 x 2 + 2 k k - 8 x + 8 - k 2 - 4 = 0 1
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 <0
- <k<-1
- x1x2=
2 >0
4、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左、右支各1个公共点，求k的取值范围
解：等价于
4k2+20(1-k2)>0
1-k2≠0
- x1x2=
2 <0
-1<k<1
（2）解：将直线 ykx1代入双曲线方程 x2 y2 4
化简整理 (1k2)x22kx50
由韦达定理得：x1x21 2kk2;x1x21 注 :x5 k直22-线（y与※2）双=曲4
要使直线与双曲线的右支有两个
线的右支有两个 交点,实际上给出
相异的公共点，则应满足
了 方程 解的
1k20
0
(x12)(x22)0
1k2 0 0
(x1x2)40
范围,涉及到二次 方程的根的分布 问题.解题时需要
过点 P(0,3)的直 l与 线双曲 C： x线 2y2 1仅有 4
一个公共点 l的 ，方 求程 直。 线
设l的方程为 y： k x3
由 xy2 ky42 x314k2x26k x13 0 1 当 4 k 2 0 时 , k 2 , 此 l : y 2 时 x 3
2 当 4 k 2 0 时 ,由 6 k 2 4 4 k 2 1 3 0 ,
得 k 1,此 3l:y 时 1x 3 3
2.过点P(1,1)与双曲线
x2 9
y2 16
1
只有
Y
一个
交点的直线 共有___4____条.
（1，1）
变式:将点P(1,1)改为 1.A(3,4)
。
O
X
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?
1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
例题讲解
例3：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围
解：由 y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
x2-y2=4
1-k2≠0
∴
△=4k2+20(1-k2)<0
k> 或k< -
∴ k> 或k< 引申1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共点，求k的取值范围
直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
含
含
焦
含
焦 点
点
焦 点
区
区
区
域
域
域
内
外
内
P
P
当点P在双曲线上时，能 作3条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
当点P在其中一条渐近 线上（中心除外）时， 一条是切线，一条是与 另一条渐近线平行。
理论分析：
y = kx+ m
x2
a2
-
y2 b2
消去y，得: =1
(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0
1.二次项系数为0时，直线L（K= 线的渐近线平行或重合。
b a
）与双曲
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
2
直 线 AB的 方 程 为 y-8= 1x 1
2 即 直 线 A B 的 方 程 为 x - 2 y + 1 5 = 0
解法二:设Ax1, y1,Bx2, y2,则
yy122244xx122244,
y 1 y 1 y 1 y 1 4 x 1 x 2 x 1 x 2 ,
Q 弦 A B 的 中 点 是 P 1 ,8 , x 1x2x22(x1x2)40
解得 1 k 5 2
例4.以P（1，8）为中点作双曲线为y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
解法一： （1） 当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被双曲线
截得的弦的中点不是P点。 （2） 当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设其斜率为k．
② 当1-k2≠0时，△=0，即k=
(*)只有一解
2、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
解：等价于
1-k2≠0 x1+x2=
-
2 2 >0
1<k<
- x1x2=
2 >0
3、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4左支有两个公共点，求k的取值范围
解：直线一双曲线有两个公共点
1-k2≠0 △=4k2+20(1-k2)>0
∴ - <k< 且k≠ 1
方程(*)有两个不等的根
- <k< 且k≠ 1
思考？
1、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有1个公共点，求k的取值范围
解：等价于(*)只有一解。①当1-k2=0时，即k= 1(*)只有一解
设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 , 则 x 1 , x 2 是 方 程 1 的 两 个 不 等 实 根 .
∴ Δ = 4 k 2 8 - k 2 - 4 k 2 - 4 8 - k 2 - 4 > 0 2
Q 弦 A B 的 中 点 是 P 1 ,8 , ∵ 由中 2点 坐 3标 得 公 k式 =与 1韦 达 定 理 , 得 - k k 8 2 - - 4 k = 13
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
判断直线与双曲线位置关系的处理程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支