直线与双曲线的关系

x y 12 x y 10 0与 1 20 5 2 2 x y 24 x 3 y 16 0与 1 25 10
2
2
3x y 1 0与x
2
y 3
2
x y 12 x y 10 0与 1 y 20 5
3 2 交点(6,2),( , ) 14 3
2
2
直线与双曲线有两个交 相交 点
O
x
Leabharlann Baidu
x y 24 x 3 y 16 0与 1 25 10
只 有 一 个 公 共 点
2
2
25 ,3 ) 交点 ( 4
4x－3y－16=0
相 切
3x y 1 0与x
只 有 一 个 公 共 点
2
y 3
2
交点 (－3，－1)
x－y－1=0
直线与渐近线平行
相切 有一个公共点,△=0 相离
例3:如果直线y=kx－1与双曲线x2-y2=4仅有一个公共点, 求k的取值范围. 解: 分析:只有一个公共点,即方程组仅有一组实数解. y=kx－1 消去y整理得 由 x2-y2=4 (1－k2) x2+2kx －5=0
(1)当1－k2≠0且△=(2 k)2 －4 (1－k2) (－5)=0时
小结
⑴直线与双曲线的位置关系和直线与椭圆的位置关系 在分类上是一致的,但在相交时情形不尽相同,椭圆中 相交必有两个公共点,双曲线中可能有一个也可能有两 个公共点. ⑵直线与双曲线有且仅有一个公共点是直线与双曲 线相切的必要不充分条件. (3)注意二次曲线、二次方程、二次函数三者之间的 内在联系，直线与双曲线的位置关系的相关问题通 常可转化为二次方程和二次函数问题，运用判别式 和根与系数的关系来解决。
即k=
5 2
时, 方程组有一解
(2)当1－k2=0时, 即k=±1 方程组有一解
∴当k=±1或
5 2
时, 直线与双曲线仅有一个公共点
k=－1
k=1
k
5 2
5 k 2
变式: ⑴ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共 点,求k的取值范围. ⑵ 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点, 求k的取值范围. ⑶如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支有两 个公共点,求k的取值范围. ⑷如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右支只有一 个公共点,求k的取值范围.
作业
1、复习本节内容，识记基本知识点； 2、《教与测》P77例1，例2
2、过双曲线 x
2
线的两支都相交，则直线l的倾斜角的取值范围是
y2 1 的右焦点F，作直线l与双曲 3
3、预习8.5抛物线及其标准方程
相 交
知识点滴
直线与双曲线的交点个数 方程组解的个数 （1）小题直线与双曲线相交
⑵小题直线与双曲线相切
⑶小题中直线与双曲线相交，与双曲线的渐近 线平行。
从解方程的角度看： ⑴中△>0 ⑶中为一元一次方程, 没有△ ⑵中△ =0
知识点滴 直线与双曲线位置关系:
有两个公共点△>0
相交 直线与双曲线 有一个公共点,
学习目标：
1、巩固双曲线的几何性质，掌握直线与 双曲线位置关系的判定，能处理直线与双曲 线交点个数问题。 2、掌握利用方程研究曲线的基本思想， 加深对曲线与方程关系的理解，提高分析问 题，解决问题的能力。 3、理解事物既有联系又有区别的辨证观 点，体会等价转化思想，数形结合思想的渗 透作用。
例1： 求下列直线与双曲线的交点坐标， 并在同一系中画出直线与双曲线的图形