直线与双曲线位置关系
直线与双曲线的位置关系
3、已知双曲线x2－y2=4，直线 ：y=k(x－1)试 、已知双曲线 ，直线l： － 试 讨论实数k的取值范围． 讨论实数 的取值范围． 的取值范围 (1)直线 与双曲线有两个公共点． 直线l与双曲线有两个公共点 直线 与双曲线有两个公共点． (2)直线 与双曲线有且只有一个公共点． 直线l与双曲线有且只有一个公共点 直线 与双曲线有且只有一个公共点． (3)直线 与双曲线没有公共点． 直线l与双曲线没有公共点 直线 与双曲线没有公共点．
直线与 双曲线
一:直线与双曲线位置关系种类 直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离 相切 相交(两个交点 一个交点) 种类 相离;相切 相交 两个交点 一个交点 相离 相切;相交 两个交点,一个交点
位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点 相交 两个交点
O X
相切:一个交点 相切 一个交点 相离: 0个交点 相离 个交点
>0 <0 =0
两个交点 0 个交点 一个交点
相交 相离 相切
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点） 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 相交 =0 相切 <0 相离
例题讲解
与双曲线x 没有公共点， 没有公共点 的取值范围 例1：如果直线 ：如果直线y=kx-1与双曲线 2-y2=4没有公共点，求k的取值范围 与双曲线
-1<k<1
2 <0
直线与双曲线的位置关系 课件
Δ＝－8<0.
这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不存在．
『规律总结』 中点弦问题：(一)可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；(二) 可以用点差法和中点坐标公式求解．
已知双曲线 3x2－y2＝3，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45°，与双 曲线交于 A，B 两点，试问 A，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的 长.
3，或
2 k>
3
3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲
线无公共点．
综上所述，当－2 3 3<k<－1，或－1<k<1，或
2 1<k<
3 3时，直线与双曲线有
两个公共点；当 k＝±1，或 k＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当
k<－2 3
3，或
2 k>
3
3时，直线与双曲线没有公共点．
『规律总结』 1.直线与双曲线位置关系的判断方法：
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0. 解得 k<32，且 x1＋x2＝2kk2k－－21. ∵B(1,1)是弦的中点，∴kkk2－－21＝1，∴k＝2>32. 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦．
解法二：设存在被点 B 平分的弦 MN，设 M(x1，y1)、N(x2，y2)．
已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实 数 k 的取值范围.
(1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
[思路分析] 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方 程组成方程组，对方程解的个数进行讨论．
双曲线与直线的位置关系课件
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
3.2.2 双曲线的简单几何性质(第2课时)直线与双曲线的位置关系
第12页
探究1
解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量， 转化成关于 x 或 y 的一元二次方程.再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线 的位置关系.这时首先要看二次项的系数是否等于 0.当二次项系数等于 0 时， 就转化成 x 或 y 的一元一次方程，只有一个解.这时直线与双曲线相交且只有 一个交点.当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位 置关系.
∴|MN|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 1＋k2·
＝6（|3k－2＋k21|）＝4.解得 k＝± 515.
∴直线 l 的方程为 y＝± 515(x－2).
－ 3－4kk222＋4（43－k2＋k23）
第15页
题型二 弦长问题
例 2 (1)求直线 y＝x＋1 被双曲线 x2－y42＝1 截得的弦长. 【解析】 由x2－y42＝1，得 4x2－(x＋1)2－4＝0.
y＝x＋1，
即 3x2－2x－5＝0.①
设方程①的解为 x1，x2， ∴x1＋x2＝32，x1x2＝－53.
∴弦长 d＝ 2|x1－x2|＝ 2· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 2×
第7页
知识点二 直线与双曲线相交所得弦长的两种求法 方法一：利用距离公式. 求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长. 方法二：利用弦长公式. 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2·|x1－x2|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 1＋k12·|y1－y2| ＝ 1＋k12· （y1＋y2）2－4y1y2.
第5页
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).
(原创)直线与双曲线的位置关系
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系一、直线与双曲线的位置关系的判断 (1)根据图像交点个数来判断 相交：相离: 相切:（特殊情况）相交于一个交点的情况,直线和__________平行时，直线和双曲线相交于一点. 2代数法：根据直线和双曲线方程的公共解个数来判断位置关系 设直)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax联立2222(0)1y kx m m y x ab =+≠⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得 02)(222222222=----ba m a mkx a x k a b（1）若0222=-k a b 即a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； （2）若0222≠-k a b 即ab k ±≠，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点； 0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点； 0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的 条件。
直线l 与双曲线相交于两点时，若相交于同侧（两个交点在一支上）的条件为0x x >⎧⎨>⎩；若相交于异侧（两个交点在不同支上）的条件为120x x >⎧⎨<⎩二、涉及直线与双曲线相交弦的问题： 设直线l :y =kx +n 和圆锥曲线：)0,0(12222>>=-b a by ax 相交于两点，它们的交点为),(),,(2211y x B y x A且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++=例1.已知直线y=kx-1与双曲线x 2-y 2=4,试讨论实数k 的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点; (2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.例2 过双曲线22136yx-=的右焦点作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A 、B 两点，求|AB|.三.中点弦问题例3.以P （1，8）为中点作双曲线为y 2-4x 2=4的一条弦AB ，求直线AB 的方程。
高二数学直线和双曲线的位置关系
2a x1 x2 3 a 则 2 x1 x2 3 a2
以AB为直径的圆过原点
OA OB
x1 x2 y1 y2 0
y1 y2 a 2 x1 x2 a( x1 x2 ) 1
2a x x 1 2 3 a 2 x1 x2 2 3 a
2 2 2 2
1 a 0 4 2 2 4a 8a (1 a ) 0
2
解得: 0 a 2且a 1
双曲线的离心率 1 a e a
2
1 6 1 且e 2 2 a 2
例2：已知直线
2 2
y ax 1
与双曲线
3x y 1 交于A,B两点，若以
>0 <0 =0
两个交点 0 个交点 一个交点
相交 相离 相切
好也 !
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
得到一元二次方程
计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离
相交（一个交点）
相交
例1 判断下列直线与双曲线的位置关系
4 x y [1] l : y x 1 , c : 1 5 25 16 5 x y [2] l : y x 1 , c : 1 4 25 16
AB为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值。
y ax 1 2 2 解：由 2 2 ( 3 a ) x 2 ax 2 0 3 x y 1
3 a 2 0 依题意有 即 6 a 6且a 3 0
设A( x1 , y1 ).B( x2 , y2 )
直线和双曲线的位置关系-一道典型问题的解
5
.
2
1−
1−
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(5)交于异支两点；
(5)-1＜k＜1 ；
代数解法
解：把直线y=kx-1代入双曲线x2-y2=4中
得x2-(kx-1)2=4,化简得(1-k2)x2+2kx5=0.
∵直线和双曲线的异支交于两点，
∵直线和双曲线有一个公共点，
（1）当1-k2≠ 0时∆=0,即20-16k2=0,解
5
5
得 = 或 = − .
2
2
2
（2）当1-k = 0时， = 1或 = −1.
综上k=±1或
k
5
2
代数解法
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(3)与左支交于两点.
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
Δ=0
Δ<0
直线与双曲线相交（两个交点）
直线与双曲线相切
直线与双曲线相离
数
学习新知
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的
∵直线和双曲线有两个公共点，
∴1-k2≠ 0且∆>0,即20-16k2>0,解得
<−
5
且k≠±1.
2
5
2
<
5
5
＜k＜
2
2
且k 1
；
高中数学直线与双曲线位置关系
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
直线与双曲线的位置关系及判定
直线与双曲线的位置关系及判定
直线与双曲线在平面上的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。
1. 相离：直线与双曲线没有交点，它们分别在平面上任意位置，没有交集。
2. 相切：直线与双曲线有且仅有一个公共切点，此时直线的斜率等于双曲线在该点的切线斜率。
3. 相交：直线与双曲线有两个交点，此时直线穿过双曲线。
判定直线与双曲线的位置关系可以通过以下方法进行：
1. 将直线的方程和双曲线的方程联立，求解它们的交点，如果有解，就是相交或相切；如果没有解，就是相离。
2. 比较直线的斜率与双曲线在交点处的切线的斜率，如果相等，则相切。
3. 比较直线的斜率与双曲线的离心率（e）的关系。
如果直线
的斜率大于离心率，则相离；如果直线的斜率小于离心率，则相交；如果直线的斜率等于离心率，则相切。
注意：在进行判定时，需要先化简双曲线的方程，确定其标准形式，然后再进行计算。
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系学习目标：1.双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 2.直线与双曲线的位置关系及判断方法：（1）位置关系有三种（2）判断方法：设直线方程为y=kx+m ，双曲线方程为22221x y a b-=，两方程联立得：Ax 2+Bx+C=0.若A ＝0，则直线与双曲线的渐近线 。
若A ≠0，其判断式∆＝B 2－4AC 。
当∆>0时，直线与双曲线 ；当∆＝0时，直线与双曲线 ；当∆<0时，直线与双曲线 。
基础自测1.已知双曲线22221x y a b-=若过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是：A 。
（1，2） B 。
（1，3） C 。
[2,)+∞ D 。
（3，)+∞ 2.已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F0），直线y=x-1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线方程是： A ．22134x y -= B 。
22143x y -= C 。
22152x y -= D 。
22125x y -= 3.已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且120MF MF ⋅= ，则点M 到x 轴的距离为 A 。
43B 。
53 C。
3 D4.过P （3，4）与双曲线221916x y -=有且仅有一个公共点的直线的条数是 。
典例分析例1.已知双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是： A 。
(1,2] B 。
（1，2） C 。
[2,)+∞ D 。
(2,)+∞变式：已知F 1，F 2为双曲线22221x y a b -=的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，求双曲线的渐近线方程。
例2.过点P （1的直线与双曲线2213y x -=有且只有一个公共点，这样的直线共有 条。
专题54直线与双曲线(课件)-2024年中职数学对口升学考试专题复习精讲课件_42057202
即 k＝±23 3时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且
仅有一个公共点．
4－3k2＜0， ③1－k2≠0，
即 k＜－23 3，或 k＞23 3时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无
公共点．
专题54——直线与双曲线的关系 综上所述， 当－2 3 3＜k＜－1，或－1＜k＜1，或 1＜k＜2 3 3时，直线与双曲线有两个公共点； 当 k＝±1，或 k＝±2 3 3时，直线与双曲线有且只有一个公共点； 当 k＜－23 3，或 k＞2 3 3时，直线与双曲线没有公共点．
1
x2
12x 24 0
则 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 2 (12)2 4 24 4 6
故 AB 4 6
专题54——直线与双曲线的关系
【题型一 】 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数 k 的取值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
|AB|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k2
2k2－3k222－1k22k－2＋2 8
＝ 1＋k2 16k2k－2＋212＝4|k12＋－k22|＝4，
解得 k＝± 22，故这样的直线有 3 条．
专题54——直线与双曲线的关系
2.过双曲线 x2－y32＝1 的左焦点 F1，作倾斜角为π6的直线与双曲线交于 A，B 两
∴|AB|＝|y1－y2|＝4 满足题意．
专题54——直线与双曲线的关系
当直线 l 的斜率存在时，其方程为 y＝k(x－ 3)，
y＝k x－ 3 ， 由x2－y22＝1，
直线与双曲线的位置关系知识点
直线与双曲线的位置关系知识点左右直线与双曲线的位置关系是高中几何教学中的一道重要考题，它涉及到直线、双曲线、圆、椭圆等曲线几何的知识，并且能包含诸多的数学思想。
做这道题的关键是要掌握直线与曲线的基本定义以及推导方法，因此先从基础知识开始系统讲解。
首先是直线：它是两个不同的实点A和B之间满足“所有点均等距”条件的线段组成的空间数学称之为直线。
它的特性有两个，一是它平行两旁，二是其距离从一点到另一点是唯一一条。
其次是双曲线：它是由圆周上等距离构成的一种曲线。
双曲线的几何特点有：它的位置关系与圆相似，两端的曲率反向，它的几何特性与圆形的弧有相似处，且两端的曲率是正负交替的。
那么接下来就是考虑直线与双曲线的具体位置关系了。
从图形上描述，可以得出：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线，两条双曲线交于一点时，直线也必定经过这一点，但是直线与双曲线的位置关系，尤其是是否会相切，则需要数学思考和推导。
从直线与双曲线的极坐标方程看，可以发现双曲线的当两个参数均相等时，即双曲线的曲线面上有一条与直线相切的切线，可以知道，双曲线与直线存在相切关系。
再来讨论双曲线当双曲线和直线平行时，两条双曲线也可能相切，因两条双曲线的拐点均等距离，因此当双曲线具有同一条拐点与另一条平行线上的拐点的特点时，就可以说双曲线与平行线相切。
最后要讲的是双曲线与圆的位置关系，文中提到双曲线的几何特点有，两端的曲率反向，因此双曲线和圆也可能存在相切关系。
当两端曲率正反交替时，双曲线就会切圆，而且双曲线的曲率正反交替程度越大，形成的轮廓就会越像一个圆。
所以，双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好在圆边上，则双曲线与圆就会相切。
总结起来，直线与双曲线的位置关系有以下几类：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线；双曲线与直线相切，并且当直线与双曲线平行时，双曲线也可能相切；双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好出现在圆边上时，双曲线与圆就可能相切。
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题
课题：直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即ab k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若0222≠-k a b 即ab k ±≠， ))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点；0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点；0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++= 若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y k AB -++= 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
【例1】过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
解析：若直线的斜率不存在时，则x =，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=-则5y kx =+-22(51725x kx +--=， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当k =时，方程无解，不满足条件；当7k =-时，21075⨯⨯=方程有一解，满足条件； 当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =10y x =+。
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直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b ，双曲线x 2a2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a ≠0），Δ=B 2 －4AC 。
若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.弦长问题设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2 －4ac 。
弦长公式：12||PP =1212x y y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲：例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．数k 的取值围；解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值围是－2<k <－ 2.例2：已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为213的双曲线经过点(6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。
试证明你的结论。
例3：已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2 (其中O 为原点)，求k 的取值围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0.Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2) ＝36(1－k 2)>0.∴k 2≠13且k 2<1. ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1. 故k 的取值围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，1. 例4：已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，，且过点(4,． （1）求双曲线方程；（2）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=； （3）对于（2）中的点M ，求21MF F ∆的面积．解：（1）由题意，可设双曲线方程为22x y λ-=，又双曲线过点()4,10-，解得6λ=∴ 双曲线方程为226x y -=； （2）由（1）可知，6a b ==，23c =， ∴ ()123,0F -，()223,0F∴ ()1233,MF m =---，()2233,MF m =--， ∴ 2123MF MF m ⋅=-，又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 296m -=， ∴ 23m =， 即120MF MF ⋅=； （3）121211433622S F MF F F m ==⋅⋅= ∴21MF F ∆的面积为6．知识点2：抛物线及其标准方程1．抛物线定义平面与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0)图形围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R对称轴 x 轴顶点坐标 原点O (0,0)焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0准线方程 x ＝－p 2x ＝p2离心率e ＝1例1：(1)(2011·高考)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74(2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)[自主解答] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.(2)由题知点A 在抛物线部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1,2)．[答案] (1)C (2)B练习1：(2012·高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22，∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x －1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∴|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32题型2：抛物线的标准方程及几何性质 例2：(1)(2012·高考)已知双曲线C 1：x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y(2)(2012·高考)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．22B ．2 3C ．4D ．25[自主解答] (1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .(2)依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝23.[答案] (1)D (2)B练习2：若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程[解析] 设点'A 是点A 在准线上的射影，则3|'|=AA ，由勾股定理知22|'|=MA ，点A 的横坐标为)23,22(p-，代入方程py x 22=得2=p 或4，抛物线的方程y x 42=或y x 82= 题型3：直线与抛物线的位置关系1．设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x 得到关于y 的方程my 2＋ny ＋q ＝0.(1)若m ≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．(2)若m ＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行． 2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据) (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)S △AOB ＝p 22sin θ(θ为AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (5)以AB 为直径的圆与准线相切． (6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． (7)∠CFD ＝90°.例3： (2012·高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．[自主解答] (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x . 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 2，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 设M (0，y 1)，令MP ·MQ ＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP ·MQ ＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．练习3：(2012·模拟)如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x的焦点F .(1)若点O 到直线l 的距离为12，求直线l 的方程；(2)设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．点B 是以点F 为圆心，|FA |为半径的圆与x 轴的交点，试判断AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明．解：(1)抛物线的焦点F (1,0)，当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1不符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以，|－k |1＋k2＝12，解得k ＝±33. 故直线l 的方程为：y ＝±33(x －1)，即x ±3y －1＝0.(2)直线AB 与抛物线相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)，整理得：x ＝2x 0yy 0－x 0①把方程①代入y 2＝4x 得：y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0，Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0，所以直线AB 与抛物线相切．基础练习：1．(2012·模拟)抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )A ．x 2＝－45yB ．y 2＝－45xC ．x 2＝－413yD ．y 2＝－413x解析：选A 由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝ 5.∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .2．(2012·东北三校联考)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为( )A ．2B ．18C ．2或18D ．4或16解析：选C设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 2＝2px 0，∴36＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫10－p 2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18.3．(2013·模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12 D.14解析：选A 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p 2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2＋3＝4.又p ＞0，因此有p 2＋3＝4，解得p ＝2. 4．(2012·模拟)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2 解析：选B 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得6sin 2θ＝12， 所以sin θ＝22，所以θ＝π4或3π4. 5．(2012·模拟)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．2x －y －1＝0 解析：选C ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0) 设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，② 由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2，∴k BC ＝－2.又∵x 1＋x 2＋13＝1，∴x 1＋x 2＝2，∴BC 中点为(1，－1)，则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.6．(2013·模拟)已知直线y ＝k (x －m )与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于D .若动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，则m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 设点D (a ，b )，则由OD ⊥AB 于D ，得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝－1k ，b ＝k a －m ，则b ＝－km1＋k 2，a ＝－bk ；又动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，即a 2＋b 2－4a ＝0，将a ＝－bk 代入上式，得b 2k 2＋b 2＋4bk ＝0，即bk 2＋b ＋4k ＝0，－k 3m 1＋k 2－km 1＋k 2＋4k ＝0，又k ≠0，则(1＋k 2)(4－m )＝0，因此m ＝4.7．(2012·模拟)已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的离心率为32，抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆C 1的长半轴长a ＝2，半焦距c ＝4－b 2.由e ＝c a ＝4－b 22＝32得b 2＝1， ∴椭圆C 1的上顶点为(0,1)，即抛物线C 2的焦点为(0,1)，故抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由已知可得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由x 2＝4y 得y ＝14x 2， ∴y ′＝12x . ∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2. 当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1x 2＝－4. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(4k )2－4×(－4k )＞0，解得k ＜－1或k＞0.① 且x 1x 2＝－4k ＝－4，即k ＝1，满足①式，∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.。