直线与圆锥曲线的位置关系
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2 2
3 解得： k 3 ∴直线L的方程为： x 3 y 3 0
y
| x y4| d 2
x 8 8y
2
•P
L x
d
| 2 2 1 y 2 y 4 | 2
例2 如图, 已知点P在椭圆x2 + 8y2 = 8上, 求点P 到直线L:x – y + 4 = 0 距离的最大、最小值. 解法二： 过点P作平行于L的直线L` y 当直线L`平移至与椭圆 L` L L1 相切的位置时点P到直线 •P L:x – y + 4 = 0 距离达到 最大、最小值. x 设L`的方程为： L2 x–y+m=0
直线与圆锥曲线的位置关系
例1 已知双曲线x2-y2=4,直线L过点P(1,1),斜率为k, 问：k为何值时，直线L与双曲线只有一个交点； 有两个交点；没有交点？
解：∵直线L的方程为： y-1=k(x-1) 代入双曲线方程得：(1-k2)x2+2k(k-1)x-(k2-2k+5)=0 当：1-k2=0 时，k= ±1 直线与双曲线没有交点 k=1时：方程无解， k=-1时： 方程有一解， 直线与双曲线只有一个交点 当：1-k2≠0 时，Δ=4k2(k-1)2+4(1-k2)(k2-2k+5) =4(3k+5)(1-k)
5 当： k 1且k 1 时，直线L与双曲线有两个交点 3
3
5 直线L与双曲线没有交点 当： k 或k 1 时， 3
例1 已知双曲线x2-y2=4,直线L过点P(1,1),斜率为k, 问：k为何值时，直线L与双曲线只有一个交点； 有两个交点；没有交点？ 5 当：k 1或k 时， 3 直线L与双曲线只有一个交点
5 当： k 1或 1 k 1 时， 3
直线L与双曲线有两个交点
5 直线L与双曲线没有交点 当： k 或k 1 时， 3
例2 如图, 已知点P在椭圆x2 + 8y2 = 8上, 求点P 到直线L:x – y + 4 = 0 距离的最大wenku.baidu.com最小值.
解：设点P的坐标为(x, y) 则点P到直线L的距离为
x 2 8 y 2 8 由： x y m 0
9x 得： 2 + 16mx + 8(m2 – 1) = 0 由Δ=0 得： m = ±3 d 当m = 3时：d = 2 2 当m = – 3时： = 7 2 2
例3 已知双曲线2x2-y2=6,直线L过点P(3,0), 且直线 16 3 L与双曲线有两个交点A、B,若|AB|= 5 求的直线L方程.
5 k 时： 直线与双曲线只有一个交点 3
解：∵直线L的方程为： y-1=k(x-1) 代入双曲线方程得：(1-k2)x2+2k(k-1)x-(k2-2k+5)=0 当：1-k2=0 时，k= ±1 直线与双曲线没有交点 k=1时：方程无解， k=-1时： 方程有一解， 直线与双曲线只有一个交点 当：1-k2≠0 时，Δ=4k2(k-1)2+4(1-k2)(k2-2k+5) =4(3k+5)(1-k) 5 直线与双曲线只有一个交点 k 时：
解：设直线L的斜率为k，则直线L的方程为: y=k(x-3) 代入双曲线方程得：(2-k2)x2+6k2x-9k2-6=0
AB | 1 k | x1 x2 | |
2
6k 2 9k 6 4 3 (1 k 2 ) 16 2 3 1 k ( 2 ) 4 2 5 | k2 2| k 2 k 2
3 解得： k 3 ∴直线L的方程为： x 3 y 3 0
y
| x y4| d 2
x 8 8y
2
•P
L x
d
| 2 2 1 y 2 y 4 | 2
例2 如图, 已知点P在椭圆x2 + 8y2 = 8上, 求点P 到直线L:x – y + 4 = 0 距离的最大、最小值. 解法二： 过点P作平行于L的直线L` y 当直线L`平移至与椭圆 L` L L1 相切的位置时点P到直线 •P L:x – y + 4 = 0 距离达到 最大、最小值. x 设L`的方程为： L2 x–y+m=0
直线与圆锥曲线的位置关系
例1 已知双曲线x2-y2=4,直线L过点P(1,1),斜率为k, 问：k为何值时，直线L与双曲线只有一个交点； 有两个交点；没有交点？
解：∵直线L的方程为： y-1=k(x-1) 代入双曲线方程得：(1-k2)x2+2k(k-1)x-(k2-2k+5)=0 当：1-k2=0 时，k= ±1 直线与双曲线没有交点 k=1时：方程无解， k=-1时： 方程有一解， 直线与双曲线只有一个交点 当：1-k2≠0 时，Δ=4k2(k-1)2+4(1-k2)(k2-2k+5) =4(3k+5)(1-k)
5 当： k 1且k 1 时，直线L与双曲线有两个交点 3
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5 直线L与双曲线没有交点 当： k 或k 1 时， 3
例1 已知双曲线x2-y2=4,直线L过点P(1,1),斜率为k, 问：k为何值时，直线L与双曲线只有一个交点； 有两个交点；没有交点？ 5 当：k 1或k 时， 3 直线L与双曲线只有一个交点
5 当： k 1或 1 k 1 时， 3
直线L与双曲线有两个交点
5 直线L与双曲线没有交点 当： k 或k 1 时， 3
例2 如图, 已知点P在椭圆x2 + 8y2 = 8上, 求点P 到直线L:x – y + 4 = 0 距离的最大wenku.baidu.com最小值.
解：设点P的坐标为(x, y) 则点P到直线L的距离为
x 2 8 y 2 8 由： x y m 0
9x 得： 2 + 16mx + 8(m2 – 1) = 0 由Δ=0 得： m = ±3 d 当m = 3时：d = 2 2 当m = – 3时： = 7 2 2
例3 已知双曲线2x2-y2=6,直线L过点P(3,0), 且直线 16 3 L与双曲线有两个交点A、B,若|AB|= 5 求的直线L方程.
5 k 时： 直线与双曲线只有一个交点 3
解：∵直线L的方程为： y-1=k(x-1) 代入双曲线方程得：(1-k2)x2+2k(k-1)x-(k2-2k+5)=0 当：1-k2=0 时，k= ±1 直线与双曲线没有交点 k=1时：方程无解， k=-1时： 方程有一解， 直线与双曲线只有一个交点 当：1-k2≠0 时，Δ=4k2(k-1)2+4(1-k2)(k2-2k+5) =4(3k+5)(1-k) 5 直线与双曲线只有一个交点 k 时：
解：设直线L的斜率为k，则直线L的方程为: y=k(x-3) 代入双曲线方程得：(2-k2)x2+6k2x-9k2-6=0
AB | 1 k | x1 x2 | |
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6k 2 9k 6 4 3 (1 k 2 ) 16 2 3 1 k ( 2 ) 4 2 5 | k2 2| k 2 k 2