直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线位置关系
直线与双曲线位置关系一、教学目标：1.掌握直线与双曲线的位置关系．2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．3.了解与双曲线有关的应用问题.二、教学重点、难点：1.对双曲线方程和性质的应用是本课时的重点和难点；2.本课时内容常与方程、函数、不等式以及平面向量结合命题，而且命题形式灵活，各种题型均有可能出现.三、教学方法：一学，二记，三应用四、知识梳理：1判别式∆.2.直线与双曲线位置关系的有关结论(1)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点，两条切线和两条与渐近线平行的直线；(2)过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点，一条切线和两条与渐近线平行的直线；(3)过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点，两条与渐近线平行的直线．3．直线与双曲线相交所得的弦长公式：设直线方程y =kx +m 与双曲线22a x +22by = 1(或22a y +22b x =1,其中a >b >0)交于P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2),则 | P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-=])(1[)(21212212x x y y x x ----=21k +|x 2- x 1| 或 | P 1P 2|=211k +|y 2-y 1| 五 五.课前测试：1．若圆3)1()3(22=-+-y x 与双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）A ．332 B ．27 C ．2 D ．72．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是 ( )A ．8 B ．9 C ．10 D ．123．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )(A) (－153，153) (B) (0，153) (C) (－153，0) (D) (－153，－1) 六、典例剖析题型一 直线与双曲线的位置关系例1 （1）（几何法）(2019·广东惠州二调)过点P (2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条（2）（代数法）若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．⎝⎛⎭⎫－153，153B ．⎝⎛⎭⎫0，153C ．⎝⎛⎭⎫－153，0D ．⎝⎛⎭⎫－153，－1（3）（∆判别式与韦达定理）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(4,0)，实轴长为43.(1)求双曲线C 的方程．(2)若直线l ：y ＝kx ＋22与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围．（4）（选讲提升）设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3课堂小结： 研究直线与双曲线位置关系问题的方法(1)将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)由直线的斜率与渐近线的斜率进行比较来判断直线与双曲线的位置关系．课堂练习1：若直线l 过点P (1,0)与双曲线1422=-y x 只有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ． 2条 D ．1条题型二 与弦长有关问题例2 （弦长公式） 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．课堂练习2：直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距m .题型三 中点弦问题例3 （1）（求离心率）[2018·厦门二检] 斜率为2的直线l 被双曲线C :-=1(a>0,b>0)截得的弦恰被点M (2,1)平分,则C 的离心率是 .（2）（求双曲线方程）已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则双曲线E 的方程为_____________________________．(3) （求中点轨迹）已知斜率为2的直线与双曲线x 2-y 2=12相交于P 1和P 2两点，求线段P 1P 2中点的轨迹方程.（4）（求中点弦所在直线方程）给定双曲线x 2－y 22＝1，过点B (1,1)是否能作直线m ，使它与所给的双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的m 如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由．课堂练习3： 已知双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A 、B 两点．若P 为AB 的中点，求直线AB 的方程．题型四 综合题型例4 （求字母值或范围） 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点。
双曲线与直线的位置关系课件
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
(原创)直线与双曲线的位置关系
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
直线与双曲线位置关系典例精析()
直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2．弦长公式：设直线b kx y +=交双曲线于()111,y x P ，()222,y x P ，则()21221222121411x x x x k kx x P P -+⋅+=+-=，或()()04111121221222121≠-+⋅+=+-=k y y y y k k y y P P ．二、基础自测 1．经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条 2．直线y= kx 与双曲线16422=-y x 不可能（ ）（A ）相交 （B ）只有一个交点 （C ）相离 （D ）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线191622=-x y的通径长是 (A)49 (B) 29(C) 9 (D) 10 4．若一直线l 平行于双曲线的一条渐近线，则l 与双曲线的公共点个数为 ． 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切5．经过双曲线822=-y x 的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是 ．6．直线l 在双曲线12322=-y x 上截得的弦长为4，且l 的斜率为2，求直线l 的方程． 三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1. 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，求k 的取值范围．有两个公共点呢？解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2c e a a ==== D.2．(2010·安徽)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 ( )A.33⎛- ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，∴()()222121210164110000k k k x x x x ⎧-≠⎪∆=--⨯->⎪⎨+>⎪⎪>⎩，解得－153<k <－1. 3、过点5)P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
直线与双曲线的位置关系
y
A
F1
O
x
B
y
B F1 O
A x
练习：过双曲线 x2 y2 1的右焦点作一直线l 48
交双曲线于A, B两点，若 | AB | 8, 这样的直线
l有 条。
三.弦的中点问题(韦达定理与点差法） 1.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹； (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；
=
(O为坐标原点)若存在，求l
2
的方程，若不存在，说明理由.
不存在
作业
2.给定双曲线x2 - y2 = 1,过点A(1,1)能否作直线L 2
使L与所给双曲线交于两点P,Q,且A是线段PQ的中点?
说明理由.
解 : 假设存在P(x1,y1),Q(x2,y2)为直线L上的两点,
且PQ的中点为A,则有 :
43
点关于直线y = 2x + m对称．
分析二：设A、B两点在椭 圆上, 且关于直线l：y = 2x + m 对称，则可由线段AB的中点P 在椭圆内来确定m的取值范围.
m ( 1 , 1) 22
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称 5.设而不求(韦达定理、点差法)
1. 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程.
例3.已知椭圆中心在原点, 焦点在坐标轴上, 直线y x 1
与该椭圆相交于P, Q,且OP OQ,| PQ | 10 ,求椭圆方程. 2
直线和双曲线的位置关系-一道典型问题的解
5
.
2
1−
1−
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(5)交于异支两点；
(5)-1＜k＜1 ；
代数解法
解：把直线y=kx-1代入双曲线x2-y2=4中
得x2-(kx-1)2=4,化简得(1-k2)x2+2kx5=0.
∵直线和双曲线的异支交于两点，
∵直线和双曲线有一个公共点，
（1）当1-k2≠ 0时∆=0,即20-16k2=0,解
5
5
得 = 或 = − .
2
2
2
（2）当1-k = 0时， = 1或 = −1.
综上k=±1或
k
5
2
代数解法
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(3)与左支交于两点.
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
Δ=0
Δ<0
直线与双曲线相交（两个交点）
直线与双曲线相切
直线与双曲线相离
数
学习新知
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的
∵直线和双曲线有两个公共点，
∴1-k2≠ 0且∆>0,即20-16k2>0,解得
<−
5
且k≠±1.
2
5
2
<
5
5
＜k＜
2
2
且k 1
；
高中数学直线与双曲线位置关系
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
直线与双曲线的位置关系
2 2 3 k ＋2 2 3 k 2 当 2－k ≠0 时，x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 ， k －2 k －2
|AB|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋k2 ＝ 1＋k2
2 2 3k2 2 12k ＋8 2 － 2 k －2 k －2
16k2＋1 k2－22
[解析] (1)将直线 l 的方程 y＝kx＋1 代入双曲线 C 的方程 2x2－y2＝1 后整理得， (k2－2)x2＋2kx＋2＝0① 依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点， k2－2≠0 2 2 Δ＝2k －8k －2>0 2k 故－ 2 >0 k －2 2 k2－2>0
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
2 y 过点P(0,3)的直线l与双曲线C：x 2 1仅有 4 一个公共点，求直线 l的方程。
2 2a (a +1) +a +1=0 2 2 3a 3a
2
解得a=±1.
探索延拓创新 综合应用问题
[例 1] 直线 l：y＝kx＋1 与双曲线 C：2x2－y2＝1 的右 支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围； (2)是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双 曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明 理由．
[解析] 解法一：设被 B(1,1)所平分的弦所在的直线方程
2 y 为 y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程 x2－ ＝1，得(k2－2)x2－ 2
高中数学 选修2-1 4.3.2直线与双曲线的位置关系
②相切一点: ③相 离:
△=0 △＜0
含
含
焦
含
焦 点
点
焦 点
区
区
区
域
域
域
内
外
内
P 4条
4条 P
当点P在双曲线上时，能 作3条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
当点P在其中一条渐近线上 （中心除外）时，一条是 切线，一条是与另一条渐 近线平行，共 2条
P
当点P在含焦点区域 内时，两条是分别与 两条渐近线平行，共 2条。
1相减
x22 4
y2 2 2
1
y1 y2 x1 x2
1 2
x1 y1
x2 y2
1 2
xN yN
1
y
即 kCD 1，
l的方程为：y 1 x 1即y x 1
2
2
把y x 1 代入 x2 y 2 1得242 Nhomakorabea2
oM2..N 2
x
2
x2 2x 9 0其中 5 0 4
直线l 与双曲线没有交点与所设矛盾
练习:
1.过双曲线 x2
y2 3
1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲
4
线交于 A、B 两点，则|AB|= 3 2
练习 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
（1）过 M（1，1）的直线交双曲线于 A、B 两点，若 M 为弦 AB 的中点，
求直线 AB 的方程；
（2）是否存在直线l，使
N
以 N(1，12) 为弦的中点的直线不存在 .
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.设而不求(韦达定理、点差法)
1，12
直线与双曲线的位置关系知识点
直线与双曲线的位置关系知识点左右直线与双曲线的位置关系是高中几何教学中的一道重要考题，它涉及到直线、双曲线、圆、椭圆等曲线几何的知识，并且能包含诸多的数学思想。
做这道题的关键是要掌握直线与曲线的基本定义以及推导方法，因此先从基础知识开始系统讲解。
首先是直线：它是两个不同的实点A和B之间满足“所有点均等距”条件的线段组成的空间数学称之为直线。
它的特性有两个，一是它平行两旁，二是其距离从一点到另一点是唯一一条。
其次是双曲线：它是由圆周上等距离构成的一种曲线。
双曲线的几何特点有：它的位置关系与圆相似，两端的曲率反向，它的几何特性与圆形的弧有相似处，且两端的曲率是正负交替的。
那么接下来就是考虑直线与双曲线的具体位置关系了。
从图形上描述，可以得出：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线，两条双曲线交于一点时，直线也必定经过这一点，但是直线与双曲线的位置关系，尤其是是否会相切，则需要数学思考和推导。
从直线与双曲线的极坐标方程看，可以发现双曲线的当两个参数均相等时，即双曲线的曲线面上有一条与直线相切的切线，可以知道，双曲线与直线存在相切关系。
再来讨论双曲线当双曲线和直线平行时，两条双曲线也可能相切，因两条双曲线的拐点均等距离，因此当双曲线具有同一条拐点与另一条平行线上的拐点的特点时，就可以说双曲线与平行线相切。
最后要讲的是双曲线与圆的位置关系，文中提到双曲线的几何特点有，两端的曲率反向，因此双曲线和圆也可能存在相切关系。
当两端曲率正反交替时，双曲线就会切圆，而且双曲线的曲率正反交替程度越大，形成的轮廓就会越像一个圆。
所以，双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好在圆边上，则双曲线与圆就会相切。
总结起来，直线与双曲线的位置关系有以下几类：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线；双曲线与直线相切，并且当直线与双曲线平行时，双曲线也可能相切；双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好出现在圆边上时，双曲线与圆就可能相切。
直线与双曲线的位置关系(公开课)ppt课件
一、复习引入
直线与椭圆的位置关系
位置关系 几何直观
相离
没有公共点
相切
只有一个公共点
相交
有两个公共点
代数方法
方程组（*）无解 △＜0 方程组（*）有一解 △＝0 方程组（*）有两解 △＞0
相离
相切
相交
直线与双曲线有哪些位置关系，该如何判断？
二、直线与双曲线的位置关系
2. 弦长公式
| AB |
1 k 2 x1 x2
1
1 k2
y1 y2
3. 中点弦问题点差法（设而不求）
六、作业布置 1.金版P46A组8（按解答题要求写过程） 2.课本P62B组4
12
二、直线与双曲线的位置关系
探究2：如果直线y kx 1 与双曲线 x2 y2 4 满足 以下条件，请分别求出 k的取值范围。
①没有公共点
k ,
5 2
5 2
,
②有两个公共点
k
5, 2
5 2
且k
1
的周长.（ F1 为双曲线的左焦点）
求直线与双曲线相交弦长的方法：
1.求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长
2. 利用弦长公式| AB |
1 k 2 x1 x2
1
1 k2
y1 y2
和根与系数关系求弦长
四、中点弦问题
例3.设 A，B 为双曲线 x2－y22＝1 上的两点，AB 中点为
把直线方程代入双曲线方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐近线平行
相交（一个交点）
直线与双曲线位置关系判断流程
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直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系株洲市四中高二数学组 罗叶青一、复习引入直线与椭圆的位置关系:相离,相切,相交.判定方法:运用数形结合和方程的思想,通过△判断位置关系二、直线与双曲线的位置关系问1:直线与双曲线有怎样的位置关系?(生答三种: 相离,相切,相交)问2:如何判定各种关系?(生答:联立方程组,得到关于x 的一元二次方程.根据△判断解的个数.)问3:联立以后是否一定得到关于x 的一元二次方程呢?例1 :判定直线和双曲线的位置关系(1)(2)多媒体演示小结1: 判定位置关系的方法是代数法,即联立方程组,消元,得到关于 x 的方程, ①当直线与渐近线平行时,即此时二次项系数为0,直线与双曲线相交于一点;②不平行时,二次项系数不为0,得到一元二次方程,判断实数解的个数:例2 已知直线 和双曲线 , 当k 为何值时,直线和双曲线只有一个交点?(多媒体演示)变题:将直线方程改为kx y =, ,结论如何?(多媒体演示) 小结2与双曲线有一个公共点的直线条数 :①过中心的直线系中不存在;②过渐近线上某点(原点除外)的直线系中有2条;1:,)0(:2222=-+±=by a x c m m x a b y l ＞14:,3:22=-+=y x c x y l 14:,121:22=-+=y x c x y l )2(2:-=-x k y l 4:22=-y x c )2(-=x k y③过双曲线上某点的直线系中有3条. 练习 求经过点( ),且与双曲线 仅有一个公共点的直线方程.备用例3：过双曲线1422=-y x 的右焦点作倾斜角为︒30的直线，交双曲线于A 、B 两点，求|AB|课堂小结:本节课主要研究了直线和双曲线的位置关系.主要解决位置关系的判定和定点直线系的交点问题, 都可以用代数法解决.它的一般步骤如下:课堂练习:1.判断直线和双曲线的位置关系(1) (2)2.当k 为何值时,直线和双曲线, ①没有交点 ②交于一点 ③交于两点作业:学案P39页5，6，72,2114:22=-y x c 1169:,3:22=-=y x c x l 1169:,134:22=-+=y x c x y l 2:+=kx y l ()04:22＞x y x c =-。
知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理)
直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2焦点在y 轴上的双曲线的标准方程说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值.要点二、双曲线的几何性质双曲线双曲线的定义与标准方程 双曲线的几何性质 直线与双曲线的位置关系 双曲线的综合问题双曲线的弦问题双曲线离心率及渐近线问题22221(0,0)x y a b a b-=>>22221(0,0)y x a b a b-=>>要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22221x y a b-=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=若2220,b a k -=即bk a=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若2220,b a k -≠即b k a≠±， ①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离，无公共点． 直线与双曲线的相交弦设直线y kx m =+交双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP=12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -12||y y -双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： （1） 利用定义转化 （2） 利用双曲线的几何性质 （3） 转化为函数求最值 【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.设F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=1(a >0，b >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=，且122PF PF ac ⋅=，其中c =【解析】由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2， 又122PF PF ac ⋅=，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝12+，即双曲线的离心率为12+. 【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。
直线与双曲线位置关系典例精析
直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2．弦长公式：设直线b kx y +=交双曲线于()111,y x P ，()222,y x P ，则()21221222121411x x x x k kx x P P -+⋅+=+-=，或()()04111121221222121≠-+⋅+=+-=k y y y y kk y y P P ．二、基础自测 1．经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条 2．直线y= kx 与双曲线16422=-y x 不可能（ ）（A ）相交 （B ）只有一个交点 （C ）相离 （D ）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线191622=-x y 的通径长是(A)49 (B) 29(C) 9 (D) 10 4．若一直线l 平行于双曲线的一条渐近线，则l 与双曲线的公共点个数为 ． 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切 5．经过双曲线822=-y x 的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是 ．6．直线l 在双曲线12322=-y x 上截得的弦长为4，且l 的斜率为2，求直线l 的方程． 三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1. 如果直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，求k 的取值范围．有两个公共点呢？解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2c e a ====，故选D.2．(2010·安徽)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 ( )A.33⎛- ⎝⎭B.0,3⎛ ⎝⎭C.3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.,13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，∴()()222121210164110000k k k x x x x ⎧-≠⎪∆=--⨯->⎪⎨+>⎪⎪>⎩，解得－153<k <－1.3、过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
直线和双曲线的位置关系
直线和双曲线的位置关系一、知识点直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离. 设双曲线方程()0,012222>>=-b a by a x ，直线Ax +By +C =0, 将直线方程与双曲线方程联立,消去y 得到关于x 的方程mx 2+nx +p =0,(1)若m ≠0,当Δ>0时,直线与双曲线有两个交点；当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点；当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.(2)若m =0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行.二、例题已知直线y=kx-1与双曲线x 2－y 2＝4，① 若直线与双曲线只有一个公共点，求k 的取值范围.② 若直线与双曲线右支有两个公共点，求k 的取值范围.③ 若直线与双曲线左支有两个公共点，求k 的取值范围.④ 若直线与双曲线左、右各一个公共点，求k 的取值范围.三、习题1．经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条2．直线y= kx 与双曲线16422=-y x 不可能（ ）（A ）相交 （B ）只有一个交点 （C ）相离 （D ）有两个公共点3． 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153B.⎝⎛⎭⎫0，153C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－14.过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
5.直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 两点，当a 为何值时，A 、B 在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？。
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例6(’04全国)设双曲线C:
x2 a2
y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1
相交于点A、B。(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且
uuur PA=
5
PuuBur，求a的值。
12
例7(绿书P186例3) 已知双曲线3x2-y2=3，且双曲线上 存在关于直线l : y=kx+4对称点，如图所示，求实数k 的取值范围，并求中点M的轨迹。
3x2 y2 1
因为直线与双曲线交于A、B两点
故
3 k 2 0
解得 6 k 6且k 3
4k 2 8(3 k 2 ) 0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
x1
x2
2k 3 k2
x1 x2
2 3 k2
而以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0
一. 直线与双曲线位置关系(从“形”角度研究)
㈠ 相交
⑴有两个公共点
①在同一支 ②分别在两支 ⑵有一个公共点 直线与渐进线平行
㈡相切
只有一个公共点
㈢相离
注意：直线与双曲线只有一个公共 点，情况有两种，与椭圆不同。
没有公共点
二. 直线与双曲线位置关系(从“数”角度研究)
例1 如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求
25kk
5 2
5 2
或或11或k或1k0k11k0
1
故k的取值范围为 1 k 5 2
实际上，△>0可省 略，为什么？
引申：（3）如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有一个公
共点，求k的值。
注意： 极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
例4(绿书P185例1) 过双曲线3x2-y2=3的左焦点，作 倾斜角为30°的弦AB，求 (1)|AB| ; (2)△F2AB的周长 （F2为双曲线的右焦点）
例5 已知双曲线的方程为2x2-y2=2，试问：是否存在被点 B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如 果不存在，说明理由。
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 (1)
x2 y2 4
此时等价于（1）式方程有两个不等的正根，则
分分析析：1：115k2141k2kk5k22245kk2k04k22k2022000(021200(1k(12 )kk2 )20)即00即kk 2kk115
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
例2
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
例3 直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点，当 k为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。
解：由
y
kx
1
得 (3 k 2 )x2 2kx 2 0
2
2
引申：（1）如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4有两个公共
点，求k的取值范围。
k的取值范围为 5 k 5 且k 1
2
2
问: k≠±1有何 几何意义？
（2）如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4的右左两支支支有都两有 个公共 点，求k的取值范围。
解：由
y
kx
A M (0,4) B
直线与双曲线 的位置关系
相交 相切
有两个公共点(△>0) 有一个公共点（与渐进线平行）
只有一个公共点(△=0)
相离
没有公共点(△<0)
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
解得k 5 2
故k的值为1或 5 2
直线与双曲线只有一个公共点有两种情况：
①直线平行渐近线
②直线与双曲线相切
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
k的取值范围。
解：由
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 (1) 即此方程无解。
x2 y2 4
故
1 k 2 0
得 k
4k 2 20(1 k 2 ) 0
5 或k 5
2
2
则k的取值范围为（-， 5）（ 5， ）
又 y y (kx 1)(kx 1) k2x x k(x x ) 1
12
1
2
12
1
2
故 (1 k2 )x x k(x x ) 1 0
12
1
2
解得 k 1满足条件
即 (1 k2 ) 2k 3 k2
k 2 3 k2
1 0
故当k 1时，以AB为直径的圆过原点