(完整版)直线与圆锥曲线的位置关系

3、点P(3,2)是椭圆4x2+9y2=144内一点,过点P的弦恰 是以P为中点，求此弦所在直线方程。
4、 椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0与直线x+y-1=0相交于两
点P、Q，且OP⊥OQ(O为原点)。
求证： 1 1 等于定值。
a2 b2
例题讲解：
例1：
1).直线y=kx-k+1与椭圆x2/9+y2/4=1有_C_个公共点
k 2 x1 x2
焦点弦公
1
式
1
，k 2
y1 y2
但是
在
， 双曲
线中要判断 A, B 两点是在双曲线的同支还是异支
上。
（2）直线与圆锥曲线的有关问题通常可通过联 立方程组处理
（3）与中点、斜率有关的问题，可用“点差法” 处理
知识点三：弦中点问题
• 求中点弦所在直线方程和弦的中点 轨迹方程
• “点差法”、“韦达定理”
A、0个 B、一个 C、二个 D、不确定
y
【解题回顾】 过封闭曲线内的点的 直线必与此曲线相交
.
o
X
变题：
变1:不论k为何值,如果直线 y=kx+b 与椭 圆y2/9+x2/4=1总有公共点,求b的取值范 围？
变2:若直线kx-y+1=0与椭圆x2/5+y2/m=1 对于任何实数k恒有公共点，则实数m的 取值范围？
2.直线与双曲线的位置关系 代数法 联立直线与双曲线的方程,消去x(或y),得 到一个关于x(或y)的一元二次方程.
直线与双曲线没有交点： 0，或与渐近线重合
直线与双曲线有一个交点： 0，或与渐近线平行
直线与双曲线有两个交点： 0
问若题直线2.设x+双y-曲1=线0与C双的曲方线程左为、ax右22 两y支2 交1于a 不0同
设椭圆的中心为O,MN的中点为P,则 kop
即(3)可表示为
kMN
• kop
b2 a2
y1 y2 x1 x2
知识点四：求字母的取值范围
1、如果曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共
点，求正实数a的值。
2、两点A(-3,4),B(4,4)，若线段AB与椭圆x2+y2/2=a2 没有公共点,求a的取值范围。
b2
1
x22
a2
y22 b2
1
1 (a b 0) 设M (x1 , y1)、N（x2 , y2 )
（(12)（）1）yx－11 （xy222）• yx得11 xxy1222a2 x22
b2Байду номын сангаасa2
y12 b2
y22
(3)
0
kMN
y1 x1
y2 x2
,
y1 y2 x1 x2
2y中 ＝ y中－0 2x中 x中－0
的两点A、B，求双曲线离心率e的取值范围；
3.直线与抛物线的位置关系 联立直线与抛物线的方程,消去x(或y),得 到一个关于x(或y)的一元二次方程. ⑴直线与抛物线有两个交点△＞0
⑵直线与抛物线有一个交点△=0或直线 与对称轴平行.
⑶直线与抛物线没有交点△＜0
知识点二：弦长问题
总结：
（1）弦长公式 AB 1 若弦 AB 过焦点，可用
(1)当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上?
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点?
解析(1)
y B
解析(2)
A
O
x
【解题回顾】注意直线与双曲线渐近线的关系, 即一元二次方程首项系数是否为零的讨论。
解(1): 令A和B的坐标分别为 A(x1, y1), B(x2, y2 ) 首先联立两方程
马关县第一中学 杨平荣
mgyzyang@163.com
直线与圆锥曲线位置关系的综合题在高 考中多以高档题、压轴题出现，主要 涉及位置关系的判定，弦长问题、最 值问题、对称问题、轨迹问题等。突 出考查了数形结合、分类讨论、函数 与方程、等价转化等数学思想方法， 对考生分析问题和解决问题的能力、 计算能力的要求较高，起到了拉开考 生“档次” 、有利于选拔的功能。
知识点一：交点个数问题
用数形结合的方法,能迅速判 断某些直线和圆锥曲线的位
置关系,但要注意:形准不漏
• 1) 几何法：运用圆锥曲线的几何性质将问 题进行等价转化；
• 2) 代数法：等价转化为直线方程和圆锥曲 线方程组成的方程组解的问题，进而转化 为一元方程解的问题。
1.直线与椭圆位置关系的判断方法：
遇到弦中点,两式减一减; 若要求弦长,韦达来帮忙.
知识点三: 有关弦中点的问题(求中点弦所在直
线方程和弦的中点轨迹方程)
【例】
x2
已的知直椭线圆方程16.
y2 9
1,求以点P(2,1)为中点的弦所在
点评:本题属于中点弦问题,一般采用韦达定理和点差法求解.
对于椭圆x2 y2
则:
ax122a2by122
y ax 1 3x2 y2 1
消去y得到
解:(2)由题意知OA与OB垂直
例4:已知双曲线x2-y2/2=1,过点P(1,1)能否作 一条直线l与双曲线交于A,B两点,且P为AB的 中点；若存在，求AB的弦长。
课堂问题：
直线与圆锥曲线位置问题的有关知识点:
知识点一: 直线与圆锥曲线交点个数问题；
知识点二: 有关曲线的弦长问题；
知识点三: 有关弦中点问题(求中点弦所在直线方程
和弦的中点轨迹方程)；
知识点四: 利用直线与圆锥曲线的位置关系求字母
的取值或取值范围；
知识点五: 圆锥曲线上的点对称问题；
知识点六: 圆锥曲线上的点到直线的距离的最值。
评析：
3).若直线y=kx+1与双曲线 x2 y2 1 仅 有一个公共点,则这样的k可取_4__个值. 对于直线 l : y kx 1与双曲线 C : x2 y2 1
当 k 2 或 k 1 时,只有一个公共点。 y
p
O
x
例3.直线y-ax-1=0与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.
例题讲解：
例2：
1).直线y=kx-k+1与椭圆x2/9+y2/4=1有_C_个公共点
A、0个 B、一个 C、二个 D、不确定
2).过点(0,2)与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线条
数是( D )
A、0
B、1
C、2
D、3
3).若直线y=kx-1与双曲线x2/9-y2/4=1仅有一个公共 点,则这样的k可取___个值.
代数法
联立直线与椭圆的方程,消去x(或y),得到
一个关于x(或y)的一元二次方程.
△< 0
相离
△= 0
相切
△> 0
相交
问题1.要使直线 y kx 1(k R)与焦点在x轴
上的椭圆 x 2 y2 1总有公共点，实数a的
7a
取值范围是 A.0＜a≤1 B.0＜a＜7 C.1≤a＜7 D.1＜a≤7