双曲线与直线位置关系
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题——教案
直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得 02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b若0222=-k a b 即ab k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若0222≠-k a b 即ab k ±≠， ))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点；0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点；0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。
2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l :y =kx +n ，圆锥曲线：F (x ,y )=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)，且由⎩⎨⎧+==nkx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx +c =0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。
设),(),,(2211y x B y x A ，则弦长公式为：则2122124)(1||x x x x kAB -++= 若联立消去x 得y 的一元二次方程：)0(02≠=++a c by ay设),(),,(2211y x B y x A ，则2122124)(11||y y y y k AB -++= 焦点弦长：||PF e d=（点P 是圆锥曲线上的任意一点，F 是焦点，d 是P 到相应于焦点F 的准线的距离，e 是离心率）。
【例1】过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
解析：若直线的斜率不存在时，则x =，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为5(y k x -=则5y kx =+-217x =， ∴22257(5725x kx -+-=⨯，222(257)72(5(57250k x kx --⨯-+--⨯=，当k =时，方程无解，不满足条件；当k =21075⨯⨯=方程有一解，满足条件；当2257k ≠时，令222[14(54(257)[(5165]0k k ∆=-----=，化简得：k 无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条x =10y x =+。
双曲线与直线的位置关系课件
本课件将介绍双曲线和直线的定义以及它们之间的位置关系，相交点，切点， 平行关系，垂直关系和包含关系。
双曲线和直线的定义
1 直线
具有恒定斜率的曲线，可用斜率截距方程y = mx + b表示。
2 双曲线
具有非常特定形状的曲线，其离心率大于1。
直线与双曲线的位置关系
1 相交
直线和双曲线相交于某个点。
唯一切点
直线切双曲线于唯一一个切点。
无切点
直线与双曲线可能无切点。
无穷切点
直线切双曲线的每一点都被认为是一个切点。
直线与双曲线的平行关系
1 平行直线ห้องสมุดไป่ตู้
直线与双曲线保持相同的距离，从未相交。
2 平行双曲线
两条双曲线具有完全相同的形状，但位于不 同位置。
直线与双曲线的垂直关系
1 垂直直线
直线与双曲线在某一点形成一个90度的角度。
2切
直线刚好接触双曲线的一点，即切点。
3 平行
直线和双曲线无交点，但始终保持相同的距 离。
4 垂直
直线与双曲线在某一点相交，形成90度的角 度。
直线和双曲线的相交点
定点
相交的直线和双曲线将在某个固 定点处相交。
两个点
直线和双曲线可能相交于两个不 同的点。
无点
直线与双曲线可能没有交点。
直线和双曲线的切点
2 垂直双曲线
两条垂直双曲线在某一点形成一个90度的角度。
直线与双曲线的包含关系
1 直线包含于双曲线
直线上的每个点都在双曲线上。
2 双曲线包含于直线
双曲线上的每个点都在直线上。
(原创)直线与双曲线的位置关系
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
4 一个公共点，求直线 l的方程。
2、 已知双曲线方程 x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
1、过点P(0,3)的直线l与双曲线 C：x2 y2 1仅有
直线与双曲线的 位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数
（3） ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
一、直线与双曲线的位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离:0个交点
思考：当直线与双曲线渐近
Y
线平行时，直线与双曲线的
交点个数？
得k 13,此时l : y 13x 3
2、 已知双曲线方程
x2 y 2 1
42
求以M(1,1)为中点的弦AB所在的直线方程。
解：设 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2) ，则 (x1 x2)
x12 4
y12 2
1
x22 4
y2 2 2
1
相减
y1 y2 x1 x2
求k的值。
注意：
极易疏忽!
解：由
y
kx
1
得 (1 k 2 )x2 2kx 5 0 即此方程只有一解
x2 y2 4
当 1 k2 0即k 1时，此方程只有一解
当 1 k2 0 时,应满足 4k2 20(1 k2 ) 0
双曲线与直线的位置关系PPT教学课件
0 个交点
相离
=0
? 一个交点
相切
相交
天哪 !
[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常, 那么 ,依然可以用判别式判断位置关系
[2]一个交点却包括了两种位置关系: 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意
味着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相
交?
实践是检验真理的唯一标准 !
请判断下列直线与双曲线之间的位置关系
a
a2 b2
根本就没有判别式 !
唉 ! 白担心一场 !
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方 程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根 本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓 的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
>0
两个交点
相交
<0
0 个交点
=0
一个交点
相离 相切
好也 !
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
判断下列直线与双曲线的位置关系
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1 相交(一个交点)
5
25 16
[2] l : y 5 x 1,c : x2 y2 1 相离
4
25 16
欧阳修
• 中国北宋政治家，文学家。 唐宋古文八大家之一。字 永叔，号醉翁，晚号六一 居士。吉州永丰（今属江 西）人。欧阳修自称庐陵 人，因为吉州原属庐陵郡。
一代宗师－－欧阳修
北宋诗文革新，是中国文学史上 继唐代古文运动以后的又一次文 风改革，欧阳修就是这场革新运
直线和双曲线的位置关系-一道典型问题的解
5
.
2
1−
1−
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(5)交于异支两点；
(5)-1＜k＜1 ；
代数解法
解：把直线y=kx-1代入双曲线x2-y2=4中
得x2-(kx-1)2=4,化简得(1-k2)x2+2kx5=0.
∵直线和双曲线的异支交于两点，
∵直线和双曲线有一个公共点，
（1）当1-k2≠ 0时∆=0,即20-16k2=0,解
5
5
得 = 或 = − .
2
2
2
（2）当1-k = 0时， = 1或 = −1.
综上k=±1或
k
5
2
代数解法
例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论
实数k的取值范围,使直线与双曲线
(3)与左支交于两点.
1.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,
Δ>0
Δ=0
Δ<0
直线与双曲线相交（两个交点）
直线与双曲线相切
直线与双曲线相离
数
学习新知
判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的
∵直线和双曲线有两个公共点，
∴1-k2≠ 0且∆>0,即20-16k2>0,解得
<−
5
且k≠±1.
2
5
2
<
5
5
＜k＜
2
2
且k 1
；
高中数学直线与双曲线位置关系
一.点与双曲线的位置关系
点P(
x0
,
y0
)与
双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
1(a
0, b
0)的位置关系
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 上
x0 2 a2
y02 b2
1；
点P( x0, y0 )在 双 曲 线 内
x0 2 a2
y02 b2
1；(含 焦点)
y
点P( x0 ,
y0 )在 双 曲 线 外
在 原 点
直线 三 两 条数 条 条
四条
不
两条 存
在
26
探究2:已知双曲线
x2 a2
by过22 点1P(m,n)能否
存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点，且点
P
是线段AB的中点？
是否
点的 位置
区
区
区
原 双曲 渐近
存在 方程
域域域
线上
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 点 线上 (除原点)
x2 a2
y2 b2
1
不 存 在
My
曲线C:y x2 1有一个交点
求实数k的取值范围
o
x
29
ex3.当k取不同实数时，讨论方程 kx2 y 2 4所表示的曲线类型．
k 0,直线y 2 k 0时，x2 y 2 1．
44 k k 1,表示圆 k 0且k 1表示椭圆 k 0表示双曲线
30
12
课堂练习
例过双曲线
x2 y2 1 的右焦点 36
F2倾, 斜角为 30的o
直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。
分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.
直线与双曲线的关系21
一:直线与双曲线位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(两个交点,一个交点)
（与渐近线平行的直线）
Y
O
X
例题讲解
例1：如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4没有公共点，求k的取值范围
解：由 y=kx-1 得(1-k2)x2+2kx-5=0(*) 即方程无解
x2-y2=4
1-k2≠0
1、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4只有1个公共点，求k的取值范围
解：等价于(*)只有一解。①当1-k2=0时，即k= 1(*)只有一解
② 当1-k2≠0时，△=0，即k=
(*)只有一解
2、如果直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4右支有两个公共点，求k的取值范围
4k2+20(1-k2)>0
l : y b x m ,c: x2 y2 1
a
a2 b2
根本就没有判别式 !
总结二
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方 程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根 本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所谓 的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
请判断下列直线与双曲线之间的位置关系
[1] l : x 3 ,c : x2 y2 1 9 16
相切
[2] l : y 4 x 1 , c : x2 y2 1 相 交
3
9 16
回顾一下:判别式情况如何?
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
解：等价于
4k2+20(1-k2)>0
直线与双曲线的位置关系(上课用)
y1 y2 b 2 x1 x2 b 2 x0 2 2 =k x1 x2 a y1 y2 a y0
4、中点弦的两种处理方法：
（1）联立方程组，消去一个未知数，利
用韦达定理解决； （2）点差法：设弦的两端点坐标，代入 曲线方程相减后分解因式，便可与
弦所在直线的斜率及弦的中点联系
起来。
x2 y2 直 线y kx m与 双 曲 线 2 2 1交 于A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) a b
含 焦 点 区 域 内
含 焦 点 区 域 外
含 焦 点 区 域 内
x y 2、 点P ( x0 , y0 )与 双 曲 线 2 2 1的 位 置 关 系 : a b
2
2
x y ; 1 点P( x0 , y0 )在含焦点的区域内 a b
2 2 x0 y0 ; 2 1 点P( x0 , y0 )在双曲线上 2 a b
2 2 x0 y0 点 P ( x , y ) 在含焦点的区域外 ; 1 0 0 a 2 b2
2 0 2
2 0 2
走向高考 若不论K为何值，直线 y k x 2 b 与曲线
x y 1 总有公共点，则b的取值范围是（
2 2
B）
, C 2, 2 , D 2, 2 A. 3, 3 , B. 3, 3
1 k 2 0 ②没有公共点 0
1 k2 0 0 ③与右支有两个公共点 5 k ， 1 x1 x 2 0 2 x1 x 2 0 b b ④与左、右两支各有一个公共点 k a a
k 11 ，
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
直线与双曲线的位置关系知识点
直线与双曲线的位置关系知识点左右直线与双曲线的位置关系是高中几何教学中的一道重要考题，它涉及到直线、双曲线、圆、椭圆等曲线几何的知识，并且能包含诸多的数学思想。
做这道题的关键是要掌握直线与曲线的基本定义以及推导方法，因此先从基础知识开始系统讲解。
首先是直线：它是两个不同的实点A和B之间满足“所有点均等距”条件的线段组成的空间数学称之为直线。
它的特性有两个，一是它平行两旁，二是其距离从一点到另一点是唯一一条。
其次是双曲线：它是由圆周上等距离构成的一种曲线。
双曲线的几何特点有：它的位置关系与圆相似，两端的曲率反向，它的几何特性与圆形的弧有相似处，且两端的曲率是正负交替的。
那么接下来就是考虑直线与双曲线的具体位置关系了。
从图形上描述，可以得出：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线，两条双曲线交于一点时，直线也必定经过这一点，但是直线与双曲线的位置关系，尤其是是否会相切，则需要数学思考和推导。
从直线与双曲线的极坐标方程看，可以发现双曲线的当两个参数均相等时，即双曲线的曲线面上有一条与直线相切的切线，可以知道，双曲线与直线存在相切关系。
再来讨论双曲线当双曲线和直线平行时，两条双曲线也可能相切，因两条双曲线的拐点均等距离，因此当双曲线具有同一条拐点与另一条平行线上的拐点的特点时，就可以说双曲线与平行线相切。
最后要讲的是双曲线与圆的位置关系，文中提到双曲线的几何特点有，两端的曲率反向，因此双曲线和圆也可能存在相切关系。
当两端曲率正反交替时，双曲线就会切圆，而且双曲线的曲率正反交替程度越大，形成的轮廓就会越像一个圆。
所以，双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好在圆边上，则双曲线与圆就会相切。
总结起来，直线与双曲线的位置关系有以下几类：双曲线穿透直线，直线为双曲线曲线面上的一贯线；双曲线与直线相切，并且当直线与双曲线平行时，双曲线也可能相切；双曲线与圆也会存在一定的关系，当双曲线的拐点恰好出现在圆边上时，双曲线与圆就可能相切。
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系株洲市四中高二数学组 罗叶青一、复习引入直线与椭圆的位置关系:相离,相切,相交.判定方法:运用数形结合和方程的思想,通过△判断位置关系二、直线与双曲线的位置关系问1:直线与双曲线有怎样的位置关系?(生答三种: 相离,相切,相交)问2:如何判定各种关系?(生答:联立方程组,得到关于x 的一元二次方程.根据△判断解的个数.)问3:联立以后是否一定得到关于x 的一元二次方程呢?例1 :判定直线和双曲线的位置关系(1)(2)多媒体演示小结1: 判定位置关系的方法是代数法,即联立方程组,消元,得到关于 x 的方程, ①当直线与渐近线平行时,即此时二次项系数为0,直线与双曲线相交于一点;②不平行时,二次项系数不为0,得到一元二次方程,判断实数解的个数:例2 已知直线 和双曲线 , 当k 为何值时,直线和双曲线只有一个交点?(多媒体演示)变题:将直线方程改为kx y =, ,结论如何?(多媒体演示) 小结2与双曲线有一个公共点的直线条数 :①过中心的直线系中不存在;②过渐近线上某点(原点除外)的直线系中有2条;1:,)0(:2222=-+±=by a x c m m x a b y l ＞14:,3:22=-+=y x c x y l 14:,121:22=-+=y x c x y l )2(2:-=-x k y l 4:22=-y x c )2(-=x k y③过双曲线上某点的直线系中有3条. 练习 求经过点( ),且与双曲线 仅有一个公共点的直线方程.备用例3：过双曲线1422=-y x 的右焦点作倾斜角为︒30的直线，交双曲线于A 、B 两点，求|AB|课堂小结:本节课主要研究了直线和双曲线的位置关系.主要解决位置关系的判定和定点直线系的交点问题, 都可以用代数法解决.它的一般步骤如下:课堂练习:1.判断直线和双曲线的位置关系(1) (2)2.当k 为何值时,直线和双曲线, ①没有交点 ②交于一点 ③交于两点作业:学案P39页5，6，72,2114:22=-y x c 1169:,3:22=-=y x c x l 1169:,134:22=-+=y x c x y l 2:+=kx y l ()04:22＞x y x c =-。
直线与双曲线的位置关系
可形成多少个切点？
f x = x2 -12源自g x = - x2 -1 h x = -x q x =x
1.5
1
0.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-0.5
-1
-1.5
-2
2 2 l 例 1(8).过(0,0)可旋转的直线 与双曲线 x y 1
可形成多少个切点？
f x = x2 -1
直线与双曲线的位置关系
——切点分析
双曲线的第一定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的差 的绝对值等于常数(小于|F1 F2|)的点的轨迹 叫做双曲线.
即 | | MF1 | | MF2 | | 2a , (2a | F1F2 |) .
这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
| AB | 3
33 3
可求出点A,B； 也可用焦半径公式
例3、已知双曲线 x 2 y 1
2
2
，过P(1，1)
能否作一条直线与双曲线交于A,B两点，且P 为线段AB的中点?若能，求出直线方程；若
不能，说明理由
法一：韦达定理 法二：点差法 各自需要注意什么？
k 2 ？
2
3
4
-0.5
-1
-1.5
-2
2 2 l 例 1(6).过(1,0)可旋转的直线 与双曲线 x y 1
可形成多少个切点？
f x = x2 -1
2
g x = - x2 -1 h x = -x q x =x
1.5
1
0.5
-4 -3 -2 -1 1 2
-0.5
-1
直线和双曲线的位置关系
直线和双曲线的位置关系一、知识点直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离. 设双曲线方程()0,012222>>=-b a by a x ，直线Ax +By +C =0, 将直线方程与双曲线方程联立,消去y 得到关于x 的方程mx 2+nx +p =0,(1)若m ≠0,当Δ>0时,直线与双曲线有两个交点；当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点；当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.(2)若m =0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行.二、例题已知直线y=kx-1与双曲线x 2－y 2＝4，① 若直线与双曲线只有一个公共点，求k 的取值范围.② 若直线与双曲线右支有两个公共点，求k 的取值范围.③ 若直线与双曲线左支有两个公共点，求k 的取值范围.④ 若直线与双曲线左、右各一个公共点，求k 的取值范围.三、习题1．经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条2．直线y= kx 与双曲线16422=-y x 不可能（ ）（A ）相交 （B ）只有一个交点 （C ）相离 （D ）有两个公共点3． 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153B.⎝⎛⎭⎫0，153C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－14.过点P 与双曲线221725x y -=有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。
5.直线1+=kx y 与双曲线1322=-y x 相交于A 、B 两点，当a 为何值时，A 、B 在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？。
直线与双曲线
y -热身练习x2y21．与双曲线16 4第十七讲 直线与双曲线= 1有公共焦点，且过点(3 2,2) 的双曲线方程为 ．2．与双曲线 x 9- y 216 = 1有共同的渐近线，且过点 P (-3,2 3) 的双曲线方程为．x 2 23．设 P 为双曲线 - 16 9= 1上一点， F 1、F 2 为两焦点，若 PF 2 = 9 ，则 PF 1 =．4．已知 P 为双曲线 x 4 为．-y 2 = 1上一点， F 1、F 2 为两焦点，若∠F 1 PF 2 = 60，则 ∆F 1PF 2 的面积5．判断方程(k - 3)x 2+ (9 - k ) y 2= (k - 3)(9 - k ) 所表示的曲线，如果有焦点，求出焦点坐标．知识梳理2 2例题解析一、直线与双曲线的位置关系⎧ y = kx + m ⎪ 一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组⎨ x 2 - y 2 =的解的个数进行判断.⎪⎩ a 2 b 21 将直线方程代入双曲线方程中得(b 2 - a 2k 2)x 2 - 2a 2mkx - a 2m 2 - a 2b 2= 0 .当b 2- a 2k 2= 0 ，即 k = ± b时，若 m ≠ 0 ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线交于一a点.若 m = 0，直线即为双曲线的渐近线，与双曲线无交点.当b 2- a 2k 2≠ 0 ，即 k ≠ ± b时，a∆ = (-2a 2mk )2- 4 (b 2 - a 2k 2 )(-a 2m 2 - a 2b 2 )；∆ > 0 ⇔ 直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； ∆ = 0 ⇔ 直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； ∆ < 0 ⇔ 直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.【例 1】（1）过点 P ( 7, 5) 与双曲线的方程。
x 2 - y 2 =7 251有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们 （2）直线 y = kx +1与双曲线3x 2- y 2= 1相交于 A 、B 两点，当 k 为何值时， A 、B 在双曲线的同一支上？当 k 为何值时， A 、B 分别在双曲线的两支上？【例 2】已知双曲线方程为 x 2 - y 4= 1，过 P （1， 0）的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数共有（）A ．4 条B ．3 条C ．2 条D ．1 条2-= 2【例 3】若双曲线 x 2－y 2＝1 的右支上一点 P （a ，b ）到直线 y =x 的距离为 A.－1 B.1 C.±1 D.±2，则 a +b 的值为22 2【例 4】已知直线 y = kx - 2 与双曲线 x 2 - y 2= 1只有一个交点，则 k 的取值范围是2 【例 5】过点 P ( 7, 5) 与双曲线 x y 1有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方725程.【巩固训练】1．已知直线 y = kx -1与双曲线 x 2- y 2= 4 .（1）若直线与双曲线没有公共点，求 k 的取值范围； （2）若直线与双曲线有两个公共点，求 k 的取值范围； （3）若直线与双曲线只有一个公共点，求 k 的取值范围.2y 2 2.如果直线 y = k (x -1) 与双曲线 x 2 - y 2= 4 没有交点，则 k 的取值范围是3．已知双曲线 x 9 2- = 1的一个焦点到它的一条渐近线的距离为5，则 m =m4．若直线 y ＝kx ＋2 与双曲线 x 2－y 2＝6 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是5．直线 y = ax + 1与双曲线3x 2- y 2=1交于 A 、 B 两点. ①当 a 为何值时， A 、 B 分别在双曲线的两支上？ ②当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？二、交点及弦长直 线 l : y = kx + m (k ≠ 0)与 双 曲 线x- y 2= 1(a > 0, b > 0 ) a 2b2相 交 于 两 个 不 同 的 点A (x 1, y 1 )，B (x 2 , y 2 )，则线段 AB 叫做双曲线的弦，AB == x - x 1 22y或 AB == y - y . 1 2【例 6】斜率为2 的直线l 与双曲线 x2 - = 1交于 A , B 两点，且 AB = 4 ，求直线l 的方程.3 2【例7】已知双曲线 x 2－ y 3＝1，过 P （2，1）点作一直线交双曲线于 A 、B 两点，并使 P 为 AB 的 中点，则直线 AB 的斜率为【例8】过双曲线 x 2- y 3= 1的左焦点 F ，作倾斜角为π的弦 AB ，求⑴ AB ；⑵ ∆F AB 的周长1 6 2（ F 2 为双曲线的右焦点）。
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笔迹，因此对玉盈而言，只有这信笺和信封才是最能代表王爷本人。此时，同样的信封出现在她的面前，就像上次
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小 结
结 束
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思考1：双曲线与直线有什么样的位置关系？
1.直线与双曲线相交： （1）有两个交点 （2）有一个交点（直线与渐近线平行）
2.直线与双曲线相切： 只有一个交点
注意：只有一个交点直线与双曲线相切的必要条件 但不是充分条件。
3.直线与双曲线相离： 没有交点。
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思考2：怎样判断双曲线与直线有什么样的位置关系？
复习与提高
关于双曲线渐近线的进一步探讨:共渐近线的双曲线系
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问题一：课本引入双曲线的渐近线概念有何用意 呢？渐近线本身有何特点？
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问题二：如何由双曲线方程写出其渐近线方程呢？
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问题三：如何由已知渐近线方程写出对应的双曲线 方程呢？
首
儿又写了壹封信来，心中猛地壹惊！壹口气写了两封，难道是发生了什么意外的事情？被吓坏了的年总督赶快催促玉盈：“快看看，快看看，凝 儿写了什么来！是不是发生什么事情了？”待玉盈从翠珠手中接过信，她立即就明白了：这是王爷的信！因为上壹次她接到王爷骗她去宝光寺的
页 那封信，用的就是这种信封！那封信，她壹直珍藏着，看了无数遍，流了无数泪。她闭着眼睛都描绘出那信封的样子。由于王爷模仿的是凝儿的
有壹个月的时间，估计着娘亲和玉盈姐姐应该已经到了湖广，于是，她赶快提笔给玉盈姐姐写了壹封家信。这壹次依然用的是颜体，依然只是报
平安，问候爹爹和娘亲，询问含烟的婚事，就没有多说别的什么话。因为她担心自己的家信会被王府里的什么人查看，或许是苏总管，或许是王
爷？第壹卷 第133章 惊鸿 年夫人和玉盈母女壹行才回湖广没两天，就收到了凝儿的家信，把玉盈高兴坏了，片刻未停，立即兴冲冲地跑到了
水般地涌上心头，他抵抗不住这番痛苦的折磨，于是打开抽屉，翻出冰凝的颜体家信，依葫芦画瓢，再次炮制了壹封年氏家书。在那家书中，写
满了他的思念，写满了他的深情，写满了他的真心。好不容易吟雪和月影的腿伤完全康复，终于能够恢复当差了。当她们再次出现在冰凝的房里，
三个人终于能够相依相伴，冰凝的心情壹下子就好了起来。前些日子忙着腿伤的事情，壹直没有顾上给家人写信。现在离娘亲她们离开京城也快
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思考2：是否所有的双曲线与直线只有一个交点且 相交的情况下都是直线的方程与双曲线的得到的 一元二次方程二次项系数都为0？
如何进行验证？
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例3.试判断直线 x a
y b
（
0），与双曲线
x a
2 2
－
y2 b2
1，
的位置关系。
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顾大局，为报答年家的养育之恩舍弃了自己的感情，这怎么不让他心生敬佩？真才是人间的奇女子，这才是爷的心中最爱。越想，他越是对她产
生了无限的怜惜，越想，他越是对她思念不已。他们唯壹的壹次结伴出行，给他留下了永远也无法忘却的怀念，她的冷漠，她的坚持，她的彷徨，
她的挣扎，她的决绝，每壹个不壹样的她，都深深地印刻在他的脑海中，成为抚慰他心灵创伤的良药。那壹晚，当那止不住的绵绵思念再次如潮
由上题可知双曲线与直线只有一个交点且相交时 由直线的方程与双曲线的得到的一元二次方程二 次项系数都为0.
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小结：直线与双曲线的位置关系的判断
由直线的方程与双曲线的方程得到一个x（或y）的 一元二次方程。
如果二元一次方程的二次项系数是0， 则双曲线与直线相交；
当 0时，双曲线与直线相交； 当 0时，双曲线与直线相离； 当＝0时，双曲线与直线相切 （其中为二元一次方程的判别式）。
爹爹和娘亲的房里。年老夫妇壹听是凝儿的来信，激动得立即起身，冲到了玉盈的面前。玉盈知道爹娘思女心切，三下两下就拆了信封，马上给
爹爹和娘亲念了起来。年老夫妇得知凝儿壹切都好，心中又是踏实又是欣慰！玉盈念完家信，也没有急着回自己房里，正好借机会跟爹娘再聊壹
会儿，还没说两句，就见翠珠进门来：“丫鬟，二丫鬟的家信！”玉盈当场愣住了！这不是刚刚念完了家信吗？怎么又有信来了？年总督壹听凝
由直线的方程与双曲线的方程组成的方程组得到一个 x（或y）的一元二次方程，然后通过一元二次方程的 判别式进行判断。
当 0时，双曲线与直线相交； 当 0时，双曲线与直线相离； 当＝0时，双曲线与直线是相交，还是相切，如何判断？
要结合直线与渐近线的斜率的关系进行判断。
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例2.已知直线的方程是x y 1 0,双曲线的方程 是 x2 y2 1，试判断该直线与双曲线的位置关系。
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由我们解过的题可知： 1、渐近线方程确定且过一个定点的双曲线方程只 有一解，而渐近线方程确定且已知a（实半轴长）、 b（虚半轴长）、c（半焦距）三者之一的双曲线方 程则有两解； 2、使用共渐近线的双曲线系思想来解已知渐近线 求双曲线方程的题型，可使思路清晰，讨论目的明 确。
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作业：课本复习参考题八
P132 9、10、12、13
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虽然痛痛快快地发泄出来，可是心中的爱恋却是随着玉盈姑娘的不告而日益滋长，越滋长、越伤痛，越伤痛、越思念。玉盈姑娘那么地识大体、